arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨
Kordamisküsimused 1) Kompleksarvu mõiste. Kompleksarvu algebraline kuju ja tehted algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul.
1. Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise
Z. Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus. Täisarve ei saa jagada, sest siis pole tulemuseks enam täisarv. Ratsionalarv arv, mida saab esitada kujul a/b , kus a ja b on täisarvud ning b0 . Ratsionaalarvude tähis on Q. Kompleksarvude hulk- Kompleksarvud on algebraline süsteem, mis lubab kirja panna suvalise astme võrrandi lahendeid. Koosneb reaal- osast (tavaline reaalarv) ja imaginaar-osast (reaalarvu korrutis imaginaarühikuga i. Imaginaarühik defineeritakse seosega i²=-1 . Matemaatikud kasutavad kompleksarve II järku diferentsiaalvõrrandite teoorias, füüsikud ostsilleeruvate (võnkuvate) süsteemide kirjeldamisel, kus nad annavad tavaliste arvudega võrreldes märksa kompaktsema esituse. Nii on kvantmehaanika esitatav ainult kompleksarvude vahendusel, suurt ruumi ja aja kokkuhoidu annavad nad ka vahelduvvoolu teoorias. Ongi käes veel kaks lahendit, mis erinevad vaid imaginaarosa märgi poolest
3) Arendame deti valitud veeru järgi. Nii saame ühe võrra mdalama järguga deti 4) Kordame punkte 1-3 kuni jõuame 2. või 3. järku detini, mida saab vahetult arvutada. Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab
z = ab -ba C imaginaarosaks ja t¨ ahistatakse b = Im z. 1.4 ¨ Uhik, imaginaaru ¨ hik ja null Kompleksarvu I := ( 10 01 ) := 1, s.t teist j¨ arku u ¨hikmaatriksit ni- metatakse u ¨hikuks ehk u ¨heks. Kompleksarvu i := 01 -1 0 nime- uhikuks. Kompleksarvu 0 := ( 00 00 ) nimetatakse tatakse imaginaar¨ nulliks. Lause 1. Iga kompleksarv avaldub u ¨heselt u ¨hiku ja imaginaar¨ uhiku lineaarkombinatsioonina kujul C z = (Re z) I +(Im z)i. T~ oestus. T~oepoolest 1 0 Re z 0 (Re z) I = (Re z) = 0 1 0 Re z
Selleks, et ka niisuguste võrrandite puhul saaks kasutada mõistet "võrrandi lahend", arvu 4 - 5i kaaskompleksarv on 4 + 5i, laiendati reaalarvude hulka ühe teatava arvuga, mille ruut on võrdne -1-ga. Kuna arvu 3i - 5 = -5 + 3i kaaskompleksarv on -5 - 3i ja ühtegi sellise omadusega reaalarvu ei leidu, siis hakati kujutletavat arvu, mille ruut on arvu 9i kaaskompleksarv on -9i. -1, nimetama imaginaarühikuks 1 ja tähistama tähega i. Kompleksarvu a + ib vastandarvuks nimetatakse arvu -(a + ib) = -a - ib. Arvu, mille ruut on -1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Näide 3. Leiame arvudele 4i - 5 ja 6 - 4i vastandarvud. sümboliga i, s.t. i = -1
leksarvud siis mahtuda võiksid? Märkame, et isegi kui tõmbame paberile ühe aukudeta sirge, jääb paberile veel ruumi kui palju – sirgest üles ja alla jääb mõlemale poole tühjus. Kompleksarvud täidavad kogu selle tühjuse, nad täidavad arvudega terve paberilehe. Nii on kompleksarvud mingis mõttes kahemõõtmelised arvud: võib öelda, et neil on reaalmõõde ja imaginaar- ehk kompleksmõõde, mille toob kaasa uus sissetoo- dud arv . Kohe selgitame! Seda arvu nimetataksegi imaginaararvuks ja kuna teda on tüütu kogu aeg välja kir- jutada, anname talle tähiseks . Nimi imaginaararv tuleneb just sellest, et tundus vähemalt esialgu eksisteerivat ainult matemaatikute endi ettekujutuses ja mitte välises maailmas.
annaabi.ee 
