Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a)
funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st = + ja/või =c (c ). 2. Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator. Operaatorit L:V W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: 1° L(f+g) = L(f) + l(g) kui f,g (aditiivsus) 2° L(cf) = cL(f) kui f V ja c (homogeensus)
aluseks on joon AB ja kõrguseks funktsiooni vastav väärtus Tasandiline joonintegraal on kui joon AB asetseb xy-tasandil (või yx- tasandil või zx-tasandil). Sel juhul funktsioon f võib olla kahe muutuja funktsioon. Ruumilineb joonintegraal- Kui joon AB on ruumiline joon. I liiki joonintegraali omadused: Joonintegraal ei sõltu integreerimise AB läbimise suunast. Lineaarsus. Aditiivsus. II liiki joonintegraali omadused: Lineaarsus ja aditiivsus. Teist liiki joonintegraal sõltub integreerimise AB läbimise suunast. ❑ ❑ ∫ fds=∫ f ( x , y ) ds I liiki joonintegraal AB AB β ∫ ( f ( x ( t ) , y ( t ) )∗x ' + g ( x ( t ) , y ( t ) )∗y ' ) dt II liiki joonintegraal α 23.Green’i valem(mis seose annab Green’i valem?) ❑ ❑
b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni ülemise raja ümbruses. 2) kui tegu on integraaliga f(x) rajades ]a;b]. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a+'st b'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni alumise raja ümbruses.
0 0 a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R tõestust. (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st () + ()= () + () ja/või () = c () ( c ).
funktsioon on integreeruv piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim funktsiooni w=f(x,y,z) kolmekordseks integraaliks üle piirkonna D: lim n = f ( x, y, z )dxdydz n D Omadusi: Lineaarsus: (f + g )dxdydz = fdxdydz + gdxdydz D D D Aditiivsus: Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis fdxdydz = fdxdydz + fdxdydz D D1 D2 Monotoonsus: kui f(P) g(P) igas punkti P puhul piirkonnast D, siis fdxdydz gdxdydz D D Kolmekordse integraali arvutamine. Tema rakendusi
tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib
· ( f (x)dx)' = f (x), st määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga · (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx · af(x)dx = a f(x)dx 22. Milline on määratud integraali geomeetriline tähendus? Integraal on võrdne sellise kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mida piiravad sirged y = 0, x = a, x = b ja joon y = f(x). 23. Nimetada määratud integraali omadusi. · Aditiivsus: kui c [a; b] , siis = + · Lineaarsus: kui , R , siis = + · Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus [a; b] ja f (x) g(x) iga x[a; b] , siis 24. Mis on tarbija ja tootja hinnavaru? Tarbija hinnavaru näitab kui palju on tarbija nõus kauba eest
n→∞ ∑ f ( ξi ) xi ∈ ∈ ∈ Kui eksisteerib piirväärtus i=1 , mis ei L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). max ∆ xi → 0 max ∆ xi →0 i i Määramata integraal on lineaarne operaator, st ∫ f ( x ) + g ( x ) dx =
·Mitmed raskmetallid nagu kaadmium, plii, elavhõbe on näidatud akumuleeruvat inimese juustes (samuti üks tee toksilise aine kehast väljaviimiseks) BIOAKUMULATSIOONprotsess, mille käigus toimub aine kogunemine organismi või selle osadesse aja jooksulabsorptsioonekskretsioon BIOKONTSENTRATSIOONerilinebioakumulatsiooniprotsess, mille tulemusel ainekontsentratsioonorganismison kõrgemkuiselleainekontsentratsioonorganismiümbritsevasõhusvõiveesabsorp tsioon ekskretsioon ADITIIVSUS (1+1=2) Kui saasteainete segu komponendid omavad sarnast toimemehhanismi nii, et segu summaarne toksilisus on võrdne üksikkomponentide toksilisusega. Kõige levinum kemikaalide segude toimemehhanism.Näide: närviimpulsside ülekande aktiveerimise kaudu toimivate fosfororgaaniliste insektitsiidide toime liitub nende koos toimimisel SÜNERGISM (1+12)koos mõjuvad, Kui saasteainete segu komponendid omavad ennustatust suuremat mõju. Eriti ohtlik toimemehhanism, kuna on
Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2. Liitmisaksioom: vastastikku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = O (-aditiivsus) 3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) > 0) Tõenäosuse määramise viisid: 1) Klassikalised (kombinatooren, geomeetriline, statistiline) 2) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunktsiooni väärtus...) Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi
diferentseeruv, kusjuures iga t T korral kehtib seos: ( F )' (t ) = F ' ((t )) ' (t ) = f ((t ))' (t ) Niisis on funktsioon ( f ) ' funktsiooni F algfunktsioon piirkonnas T, mistõttu: f ((t ))' (t )dt = ( F )(t ) +C = F ((t )) +C Kuna funktsiooni muutumispiirkond on piirkond X, võime võtta x = (t ) ja seega kehtib: f ((t ))' (t )dt = F ( x) + C ( 2) Arvestades seoseid 1 ja 2, saamegi võrduse 0. 28. Määratud (Newtoni- Leibnizi) integraal (definitsioon; omadused: aditiivsus *, lineaarsus, monotoonsus, keskväärtusteoreem*). Määratud integraal ülemise raja funktsioonina, selle funktsiooni tuletis.* Näiteid. Newton-Leibnizi integraal: kui f on pidev lõigus [a;b], siis kehtib Newton-Leibnizi integraal b f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) kus funktsioon F on funktsiooni f mingi algfunktsioon. a Omadused: · Aditiivsus : Olgu funktsioon f integreeruv lõigus L. Iga a,b,c korral lõigust L kehtib seos: b c b
Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1 2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = Ø (-aditiivsus) 3.Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) 0) Tõenäosuse määramisviisid: Klassikalised: Kombinatoorne; Geomeetriline; statistiline mitteklassikalised: subjektiivne/intersubjektiivne; kuuluvusfunktsiooni väärtus,.. Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus
rajades a-st b-ni ja tähistatakse f(x)dx. piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] 35. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul {a,b}. S= f(x)dx, f(x)>=0. 36. Nimetada määratud integraali omadusi. 1) Aditiivsus: kui 2) Lineaarsus: kui 3) Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus {a,b} ja f(x)<= g(x) iga 37. Newton-Leibnizi valem. Olgu f(x) lõigul integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x). Siis Sageli kasutatakse ka tähistust: 38. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtus :
7.epistaas- domineerimine mittealleelsete geenide vahel(dominantne ja retsessiivne epistaas). Üks geen surub alla teis(t)e geeni avaldumise Geenide koostoime - ühe geeni avaldumine mõjutab teise geeni fenotüüpilist avaldumist. Kahe või enama (mittealleelse) geeni koostoime ühiselt määratava tunnuse fenogeneesis. Enamasti eristatakse järgmisi geenide interaktsiooni tüüpe: komplementaarsus, epistaas, duplikaatsus (või multiplikaatsus) ja polümeersus e. aditiivsus. Komplementaarsus- täiendav domineerimine. Alleelsed geenid annavad heterosügootses olekus koostoime tulemusena uue väljundi uue omaduse või tunnuse näol. 8.Pleiotroopsus- nähtus kus üks geen mõjub mitme või paljude tunnuste avaldumisele. Polümeeria- eri kohtades asuvad geenid määravad ära sama tunnuse A 1, A2, A3 9.Genotüüp- kromosoomides paiknevate pärilikkuse diskreetsete determinantide geenide- summa. Koostoimivate geenide kogum
7.epistaas- domineerimine mittealleelsete geenide vahel(dominantne ja retsessiivne epistaas). Üks geen surub alla teis(t)e geeni avaldumise Geenide koostoime - ühe geeni avaldumine mõjutab teise geeni fenotüüpilist avaldumist. Kahe või enama (mittealleelse) geeni koostoime ühiselt määratava tunnuse fenogeneesis. Enamasti eristatakse järgmisi geenide interaktsiooni tüüpe: komplementaarsus, epistaas, duplikaatsus (või multiplikaatsus) ja polümeersus e. aditiivsus. Komplementaarsus- täiendav domineerimine. Alleelsed geenid annavad heterosügootses olekus koostoime tulemusena uue väljundi uue omaduse või tunnuse näol. 8.Pleiotroopsus- nähtus kus üks geen mõjub mitme või paljude tunnuste avaldumisele. Polümeeria- eri kohtades asuvad geenid määravad ära sama tunnuse A1, A2, A3 9.Genotüüp- kromosoomides paiknevate pärilikkuse diskreetsete determinantide geenide-summa. Koostoimivate geenide kogum
Näiteid. Lineaarne kujutus koordinaatkujul. Lineaarse kujutuse maatriks. X, Y - hulgad; y = f(x); x,yR; V,W - vektorruumid Kujutuseks hulgast X hulka Y nimetatakse reeglit f, mis hulga X igale elemendile paneb vastavusse mingi elemendi y hulgast Y. f: X -> Y Näiteid: 1. funktsioonid f: DR -> R (y=lnx, f=ln; y=cosx, f=cos) 2. X = Rnxm; Y = R; det: X -> Y; x -> |x| Lineaarseks kujutuseks vektorruumist V vektorruumi W nimetatakse kujutust L: V -> W, mis rahuldab omadusi 1. (aditiivsus) L( + ) = L() + L() ,V ja 2. (homogeensus) L(c) = cL() cR; V Näiteid: 1. L() = V 2. samasuskujutus. 1v: V -> V; 1V() = V 3. V = W - geomeetriliste vektorite hulk tasandil; L(); L - projekteerimine x- teljele 4. V = C[a;b]; W=R; L = ab: V -> W; fV; ab(f) = abf(x)dx 5. V = C[a;b] - lõigul [a;b] lõpmata arv kordi diferentseeruvate pidevate funktsioonide hulk; W = V; L: V -> V; f -> f' = df/dx; L = d/dx Lineaarne kujutus koordinaatkujul: V baas 1, ..., n; V; = (x1; ..
Kui funktsioon f on pidev, lõigus [a,b], siis funktsioonil f eksisteerib algfunktsioon (§6, p.1), seega ka Newton-Leibnizi integraal (1), mis ei sõltu algfunktsiooni valikust. Määratud integraali omadused. Eeldame kõigi järgnevates omadustes vaadeldavate integraalide olemasolu. Algfunktsiooni ja Newton Leibnizi integraali definitsioonist järelduvad lihtsalt Newton Leibnizi integraali järgmised omadused. Omadus 1. (aditiivsus) Kui a c b, siis b c b f ( x)dx = f ( x )dx + f ( x )dx. a a c Omadus 2. (lineaarsus) b b b [f ( x ) + g ( x )] dx = f ( x )dx + g ( x )dx. a a a Omadus 3. (monotoonsus) Kui f(x) g(x) iga x (a,b) korral, siis
läbib punkte sirgele paisatud juhuslikest punktidest valitakse välja punkt, mille juures on sihifunktsiooni väärtus väikseim, 4. See punkt võetakse uue ringjoone tsentriks ja arvutusprotseduur jätkub punktist 2. 28. Dünaamiline programmeerimine. Selle meetodi olemus ja kasutamine süsteemanalüüsis. Dünaamiline programmeerimine kujutab endast mitmesammulist optimeerimismeetodit. DP ülesanne peab rahuldama tingimusi järelmõju puudumine ja sihifunktsiooni aditiivsus. Järelmõju puudumise nõude täitmine võimaldab ülesande jaoks formuleerida Bellmani optimaalsus-printsiibi: missugune ka poleks süsteemi olek enne järgmist sammu, tuleb antud sammul valida juhttoime selliselt, et tulu sellel sammul pluss optimaalne tulu kõikidel järgmistel sammudel oleks maksimaalne.(optimaalne juhtimisstrateegia, mis koosneb juhtimistest järjestikkustel sammudel U=u1+u2+...)
a b b b 3)määratud int lin om: (f ( x) + g ( x))dx = f ( x )dx + g ( x)dx 4) a a a b c b Aditiivsus-kui on vaja leida int a->b; f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a a c 5) b b b a a f (t )dt = f ( x )dx 6) f ( x) dx = - f ( x)dx =>F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)] a a b 35.As võte ja ositi int määratud int puhul
Sensitiseerumine on mõne ärritaja suhtes jälle tundlikuks muutumine. Harjumine käitumusliku reaktsiooni ärritajaspetsiifiline nõrgenemine selle konkreetse ärrituse kestval kordumisel, kui sellele ärritusele ei järgne mingit isendile olulist tulemust. 10. Sisemiste ja väliste tegurite aditiivsuse küsimus. Sisemiste ja väliste tegurite suhteline tähtsus käitumises varieerub tugevasti, sõltuvalt konkreetsest käitumismustrist. Aditiivsus eeldab, et tugeva sisemise motivatsiooni korral esineb välisärritaja puudumisel "tühikäitumine". Ent usaldusväärseid näiteid vähe tugev välisärritaja võib käitumise esile kutsuda ka sisemise motivatsiooni puudumisel. Näiteid veelgi vähem 11. Otsustamine loomadel. Järelikult peab esinema mingi mehhanism, mille abil loomad pidevalt vaevad nii sisemisi kui ka väliseid tegureid, mis kutsuvaid esile erinevaid käitumismustreid 12
kui maatriksid A ja B kommuteeruvad. 3.7 Maatrikskorrutise omadusi: Poissoni-Lie algebra Teoreem 9. Maatriksid A, B, C olgu u ¨hesuguse j¨ arguga ruutmaat- riksid ning R. Siis 1) [A, B] = -[B, A] (antis¨ ummeetria) II. Maatriksarvutus 11 2) [A ± B, C] = [A, C] ± [B, C] (aditiivsus) 3) [A, B] = [A, B] = [A, B] (homogeensus) 4) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] (Leibnizi valem) 5) [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 (Jacobi identsus) Omadused 1) - 5) on nn Poissoni-Lie algebra definitsioonseo- sed. Neid algebraid kasutatakse laialdaselt mehhaanikas. 4 Transponeerimine ja selle omadusi 4.1 Transponeerimine Maatriksi A Matk × n transponeeritud maatriksiks nimetatakse
i =1 D Kui f ( x, y ) 0 , siis f (x, y )dxdy = V (K ) . D 11 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Kahekordse integraali omadused Eeldame, et kõik selles osas vaadeldavad integraalid eksisteerivad. Omadus 1 (aditiivsus). Kui D = D1 D2 , kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f (P )dS = f (P )dS + f (P )dS . D D1 D2 Omadus 2 (lineaarsus). Iga , R korral (f (P ) + g (P ))dS = f (P )dS + g (P )dS . D D D Omadus 3 (monotoonsus). Kui f (P ) g (P ) iga P D korral, siis
D on piiratud pinnaga z f x, y , xy-tasandiga z 0 ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon (vt. allpool olevat joonist) Ketib järgmine Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas. 1.3.1 Kahekordse integraali omadused. Kahekordsel integraalil on järgmised omadused 1. Aditiivsus. Kui D D 1 D 2 , siis f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxd D D1 D2 2. Lineaarsus. Kui funktsioonid z f x, y ja z g x, y on integreeruvad, siis ka funktsioon z af x, y bf x, y on integreeruv ja kehtib võrdus af x, y bg x, y dxdy a f x, y dxdy b g x, y dxdy.
Ehk teisiti - täpselt ühesuguste üldefektide puhul on võimalikud mitmesugused (mitut tüüpi) interaktsioonid. Näide: [Fig. 10-5 kuni 10-11] Fig. 10-5 näitab, et F1 üldefekt on 20 ja F2 üldefekt on 60. Fig. 10-6 näeme 2*2 FE, kus puudub interaktsioon. Teades ühe välja väärtust, saame üldefekte teades leida teiste väljade väärtused. Tulemused on seega aditiivsed. Aditiivsus on seega tunnus, mis näitab interaktsiooni puudumist 2 sõltumatu muutuja vahel. Aditiivsuse e. interaktsiooni puudumise tähtsaim tunnus on see, et graafikud on paralleelsed. Antud juhul Fig.10-7 esineb kummagi faktori üldefekt, kuid nendevaheline interaktsioon puudub. Kui graafikud ei ole paralleelsed nagu Fig.10-9, siis see näitab interaktsiooni faktorite vahel. Interaktsioon võib olla nö. samasuunaline (Fig. 10-8 ja 10-9) või vastassuunaline (Fig. 10-10 ja 10-11).
2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.2 Integraali tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.3 Integraali monotoonsusomadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3.4 Integraali keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . .
Ma¨ aramata ¨ integraal Ma¨ aramata ¨ integraal Ma¨ aramata ¨ integraal kui lineaarne operaator Operaatorit L : V - W nimetame lineaarseks kui on taidetud ¨ tingimused: 1 L(f + g) = L(f ) + L(g) kui f , g V (aditiivsus) 2 L(c f ) = c L(f ) kui f V ja c R (homogeensus) Lause Ma¨ aramata ¨ integraal on lineaarne operaator, st f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx c f (x) dx = c f (x) dx (c R) ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 7 / 34
annaabi.ee 
