naabrusmaatriks aritmeetikaavaldis loogikaavaldis Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale : Igal relatsioonil peab relatsioonikriteerium olema alati olemas Vali üks: Tõene Väär Küsimus 12 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised relatsioonide omadused on olemas ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: antisümmeetria antidistributiivsus antirefleksiivsus antitransitiivsus kommutatiivsus sümmeetria antikommutatiivsus antiaktiivsus aktiivsus distributiivsus assotsiatiivsus refleksiivsus antiassotsiatiivsus transitiivsus Küsimus 13 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised omadused on olemas graafil näidatud relatsioonil ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: antikommutatiivsus transitiivsus assotsiatiivsus antiaktiivsus antiassotsiatiivsus antidistributiivsus sümmeetria
Valige üks või mitu: refleksiivsus antiaktiivsus antitransitiivsus sümmeetria distributiivsus antirefleksiivsus antisümmeetria antikommutatiivsus transitiivsus antiassotsiatiivsus assotsiatiivsus kommutatiivsus aktiivsus antidistributiivsus Küsimus 13 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised omadused on olemas graafil näidatud relatsioonil ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: antirefleksiivsus sümmeetria antiaktiivsus antiassotsiatiivsus antitransitiivsus
distributiivsus Lehekülg 2/5 24.11.2012 19:39 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - vastavused ja relatsioonid file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... sümmeetria kommutatiivsus antisümmeetria aktiivsus antirefleksiivsus antidistributiivsus antitransitiivsus refleksiivsus
Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas: 1. aditiivne kommutatiivne poolrühm (a+b)+c=a+(b+c) liitmise assotsiatiivsus a+b=b+a liitmise kommutatiivsus 2. multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm (a*b)*c= a*(b*c) korrutamise assotsiatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus
AB 6) Loetelu hulga elementide loetelu. 2. Juurde ja mahaarvutamise valem. 1) Elimineerimismeetod. 2) Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused. a) a+b=b+a a, b liitmise kommutatiivsus(vahetuvusseadus) b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus
.. -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus kui igale arvule a järgneb arv a+1 selliselt, et nende arvude
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c
Diskreetne Matemaatika KAUGÕPE 1.arvestustöö Tallinna Tehnikaülikool Lk.53 ülesanded · A B = {a; b; c; d; e; f; g; h} A B = {a; b; c; d; e} AB=Ø B A = {f; g; h} B A = {f; g; h} · Hulk A {1;3;5;6;7;8;9} Hulk B {2;3;6;9;10} · A B = A Juhul kui A on B sees A B = A Juhul kui B on A sees A B = A Erijuhul kui B on tühihulk A B = B A Kirjeldab kommutatiivsus teooriat A B = B A Kirjeldab mitte lõikuvaid hulki, ehk puudub ühisosa · (A B) C ABC C(AB) Tallinna Tehnikaülikool · A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) · AB=A AB=A · [ (A B) (A B) (A C) ] = = (A B) (A B) (A C) = = Ø (A B) Ø = (A B) = = ( A) ( B) = Ø ( B) = B · (A C) (B C) (A C ) ( B C) =
Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi. Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga f. Lineaarkujutiste liitmisel ja korrutamisel arvuga lepitakse kokku järgmises: 1
u disjunktsioon ühend A A = A A A = A t i t . . . ei oma loogikas vastavat tehet . . . lahutamine e. vahe n s summa mooduliga 2 kommutatiivsus: I välistav VÕI ( XOR ) sümmeetriline vahe A B = B A A B = B A konstant 0 tühi hulk { } assotsiatiivsus:
vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . Seega c P , c = c . Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Teoreem. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1° + = + iga , V korral (liitmise kommutatiivsus); 2° ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral (liitmise assotsiatiivsus); 3° leidub selline vektor V , et + = + = iga V korral (nullvektori olemasolu); 4° iga vektori V jaoks leidub selline vektor V , et + = + = (vastandvektori olemasolu); 5° ( a + b ) = a + b iga a, b ja V korral; 6° a ( + ) = a + a iga a ja , V korral; 7° ( ab ) = a ( b ) iga a, b ja V korral; 8° 1 = iga V korral. 4. Aritmeetiline vektor
( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommutatiivsus) 2) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ ⃗c ∈V korral ( ⃗a + b⃗ )+ ⃗c =⃗a +(b⃗ + ⃗c ) (liitmise assotsiatiivsus) 3) ∃ 0⃗ ∈V nii, et ∀ ⃗a ∈V korral ⃗a + 0⃗ =⃗a (nullelemendi olemasolu)
Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga.
Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga.
lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud aga tingimus f(x)=*x, aga lineaarteisenduse omaväärtuseks. Vektorarvutus: 3 algmõistet: punkt, vektor, reaalarv. 1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud
vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n
Väidete süsteem on vastuoluline siis, kui tõesustabelis pole ühtegi rida, kus väited oleksid kõik korraga tõesed. Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega). Reeglid: õ 287 Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral): (P v q) = (q v p) Assotsiatiivsus Distributiivsus Liiasus P=pvp p=p&p Kahekordne eitus p = - - p De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q -(p v q) = -p & -q Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q Ümberpööramine p-> q = -q -> -p Materiaalne ekvivalents Täiendavad LA reeglid:
Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a on suurem kui b või a võrdub b või a on väiksem kui b. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb a +1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu.
liitmisel. Maatriksi korrutis sõltub tegurite järjekorrast. BAAB 1. Maatriksi, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nimetatakse nullmaatriksiga. =0 A+=A 2. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud võrdsed nulliga nimetatakse ühikmaatriksiks E. EA=AAE=A Maatriksite liitmisel, nende korrutamisel arvuga ja nende omavahelisel korrutamisel kehtivad omadused: · A+B = B+A (liitmise kommutatiivsus) · (A+B)+C = A+(B+C) liitmise assotsiatiivsus · A+ = A · A+(-A) = · 1A= A · A= · 0A = · (a+ b ) A= aA + bA · a (A+B) = aA + aB · a( b A) = b (a A) · a (b A) = (ab) A · (a A) B = A (a B) = a ( A B) · A = A= · EA=AE=A · A B B A (üldjuhul) · (A+ B ) C = C A+ C B · ( A B) C = A ( B C) · -A = (-1)A · A B = A + (-1)B · A0 = E Maatriksi ja pöördmaatriksi kommutaator on null maatriks. AA-1=
b b b b d bd a c ac a ac = c = b d bd b b b ab a c a d ad a = : = = c c b d b c bc a a b c ac :c = a : = a = b bc c b b 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a +b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine:
räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks.
Seejuures ilmneb, et ruutvormi kanooniline kuju pole üheselt määratav.Võib nad moodustavad inversiooni. nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet.
elemendiga, saab vastuses selle sama elemendi. Pöördelement on selline element, mis tehte rakendamisel elemendiga annab vastuseks ühikelemendi. Poolrühm on assotsiatiivse tehtega süsteem. Poolrühm, kus eksisteerib ka ühikelement on monoid. Rühm on süsteem milles kehtib: assotsiatiivsus, ühikelement ja iga element omab pöördelementi. Abeli rühm on rühm, kus kehtib ka kommutatiivsus. Vastavus: Vastavus on ühe hulga elementide seotus teise hulga elementidega. Lähtehulk on hulk, mis on seotud teise hulgaga. Sihthulk on hulk, millega on teine hulk seotud. Määramispiirkond on lähtehulga elemendid ja muutumispiirkond sihthulga elemendid. Vastavuse täiend on paarid, mis ei ole vastavuses. Pöördvastavus on sihthulgast lähtehulka vastavus. Vastavusega saab teha kompositsioonitehet ehk korrutamist.
Definitsioon. Vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a , mis on vektoriga a samasuunaline, kui 0 ja temaga vastassuunaline, kui 0 . Moodul: a a . 1 Lineaartehete omadused: a b b a , kommutatiivsus a b c a b c , assotsiatiivsus k1 k2 a k1k2 a , k1 k2 a k1a k2a , k a b ka kb . VEKTORI PROJEKTSIOON TELJEL Definitsioon. Punkti A projektsiooniks sirgele l nimetatakse punkti A1, milles sirge l lõikub tasandiga, mis läbib punkti A ja on risti sirgega l.
korrutisega,arendame 3 või 2 järguni ja leiame väärtuse. 16. Vektorruumi def.,lin.tehted. Vektorruumi näited,vektorite lin.sõltuvus. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le (on ) elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6. ( x) = ()x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes); 7. (x + y) = x + y (distributiivsus vektorite liitmise suhtes); 8. ( +)x = x + x (distributiivsus arvude liitmise suhtes). Vektorruumi näited-aritmeetilised-,geomeetrilised-,maatriksite-,polünoomide hulk.
Tühi hulk on iga hulga alamhulk (sealhulgas ka tühja hulga enda). Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused N Z Q R C. Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka AB, mis koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad
Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed), kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. Assotsiatiivsus 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ; 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) Kommutatiivsus 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧𝐴 ;𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨𝐴 Idempotentsus 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 ;𝐴 ∨𝐴 = 𝐴 Neeldumine 𝐴 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴 ∨ (𝐴 ∧ 𝐵) = 𝐴 Distributiivsus 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶) ; 𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ 𝐶) Seadused konstantidega 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ; 𝐴 ∨ 1 = 1 ; 𝐴 ∧ 0 = 0 ; 𝐴 ∧ 1 = 𝐴
3,8 : 0,02 0,1 - 0,09 2 19) 1: 20) -16 + (-7) 21) -15 ( -9) 0,5 +1 0,6 - 0,58 5 3 1 22) -24 + 8 23) - 45 38 24) 12 (- ) - ( - 15) -1 4 5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b=b+a ab = ba a(b + c) = (b + c)a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus a + (b + c) = ( a + b) + c a(bc) = (ab) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ac Sulgude avamine: a + (b + c) = a +b + c a - (b + c) = a - b - c
[A + (-A)]ij = aij + (-A)ij = aij - aij = 0 = 0ij = -aij + aij = (-A)ij + aij = [-A + A]ij 2 Maatrikstehete omadusi 2.1 Elementaarsed omadused Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame j¨argmiselt. Teoreem 3. Olgu A, B, C u ¨hesuguste j¨ arkudega maatriksid ning , R. Siis 1) A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus), 3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus), 4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame
L=
lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a.
lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a.
Reaalarvude hulk R · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1.4 Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused · Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet: P(A)= m/n 1.5 Reaalarvu absoluutväärtus |a|={a, kui a0 või {-a, kui a<0 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist 1
) + tõene. Näitame, et siis kehtib ka parem pool +( + ) = ( + ) + . Rakendame võrduse vasakule poolele kaks korda liitmise teist aksioomi. Saame: + ( + ) = + ( + ) = ( + ( + )) Sulgude sees rakendame implikatsiooni eeldust ja edasi viime teist liitmise aksioomi paremalt vasakule rakendades funktsiooni ' summa teisele liikmele: ( + ( + ))' = (( + ) + )' = ( + ) + . Seega on vasak ja parem pool tõesti võrdsed. Liitmise kommutatiivsus Naturaalarvude liitmine on kommutatiivne: [ + = + ] Tõestus: Liitmise kommutatiivsuse tõestamiseks kasutame kõigepealt induktsiooni muutuja järgi ja selle induktsiooniga tekkivas kummaski lemmas veel induktsiooni järgi. Induktsioonis muutuja järgi on aksioomis P7 oleva valemi A(x) rollis on [ + = + ] . Tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 2.1 (induktsiooni baas). [0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]]
Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus); 5° ( + ) = ( ) + ( ) , ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus). Näide 1. Aritmeetilises vektorruumis V = Rn vaadeldakse tavaliselt II peatükis § 2 määratud skalaarkorrutist: = ( a1; a2 ; ... ; an ) ( b1; b2 ; ... ; bn ) =
Üleval on kujutatud De Morgani reeglid (valemid 8 ja 9 tabel 1.) ja paremal on esitatud implikatsioon normaalkujul (vasakpoolne) ning ekvivalents normaalkujul (parem- poolne, valemid 10 ja 12 tabel 1.) 20_fl_i-v TABEL 1. Liitotsustuse struktuuri teisendamine 1. ¬¬p = p Kahekordne eitus 2. p & q = q & p Kommutatiivsus 3. p & (q & r) = (p & q) & r = p & q & r Assotsiatiivsus 4. p q = q p Kommutatiivsus 5. p (q r) = (p q) V r = p q r Assotsiatiivsus 6. p & (q r) = (p & q) (p & r) Distributiivsus 7. p (q & r) = (p q) & (p r) Distributiivsus 8. ¬(p & q) = ¬p ¬q De Morgani reegel 9. ¬(p q) = ¬p & ¬q De Morgani reegel 10
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu)
Omadusi: 1. vektor(AA) = A P. Tõestus: (3.) A=B=C; v(AA) + v(AA) = v(AA) |-v(AA) => v(AA) = 2. A,BP => v(AB) = -v(BA). Tõestus: C=A, siis v(AB) + v(BA) = v(AA) = |- v(BA) => v(AB) = -v(BA) 24. Skalaarkorrutise defnitsioon üldjuhul. Skalaarkorrutise näiteid. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile ja paneb vastavusse reaalarvu * nii, et on täidetud järgmised tingimused: 1. * >= 0 V 2. * = 0 <=> = 3. * = * ,V (kommutatiivsus) 4. *(+) = * + *; (+)* = * + * ,,V (distributiivsus) 5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25
assotsiatiivsus: Välistatud kolmanda seadus : A ∧ B ∧ C = (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) __ A ∨ A = 1 A ∨ B ∨ C = (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) Vastuolu seadus : kommutatiivsus: __ A ∧ B = B ∧ A A ∨ B = B ∨ A A ∧ A = 0 idempotentsus: Kontrapositsiooni seadus : A ∧ A = A A ∨ A = A __ __
See võimaldab defineerida lisaks liitmisele ja korrutamisele ka lahutamise ja jagamise nullist erineva elemendiga: a-b= a+ (-b) ja a/b=a*b-1 . Niisiis võib väita, et lõplik korpus on selline elementide kogu, mis on kinnine nelja peamise aritmeetilise tehte suhtes, v.a. jagamine nulliga. Aritmeetiliste tehete suhtes kehtib assotsiatiivsus [a+ (b+ c)= (a+ b)+ c] , distributiivsus [a* (b +c )= a *b + a *c], kommutatiivsus a+ b= b +a ja a *b =b *a. Nii korrutamine kui liitmine toimub modulo 2 järgi. 41. Hulkliikmete liitmine, kui kordajad kuuluvad lõplikku korpusesse GF (2m ). (raamat lk.14-16 ja loengumaterjalid 13- (10.märts)) See ei ole tavaline liitmine ja korrutamine, vaid selline mille tulemuseks loetakse jääki: nt. 3*mod74=5 (3*4=12 ja 12-7=5). Liitmine toimub positsiooniliselt, kordajad liituvad modulo 2 järgi. Hulkliikmete liitmine: Korpuses GF(2) on elemente kaks 0 ja 1 ja nende liitmine toimub
F^G^ k = G^ F^ k . (26.15) Kuna valem (26.15) kehtib arenduse (26.12) iga liikme kohta, siis ka summa enese kohta, s o F^ G^ = G^ F^ , mott meelevaldsuse tõttu jäetakse ta sageli juurde märkimata ning kirjutatakse operaatorite kommutatiivsus sümboolsel kujul F^G^ = G^ F^ . Teoreemidest 1 ja 2 järgneb, et kui kaks füüsikalist suurust on samaaegselt mõõdetavad, siis neile vastavad operaatorid kommuteeruvad ja ümberpööratult: kommuteeruvad operaatorid vastavad samaaegselt mõõdetavatele füüsikalistele suurustele. Teoreem 3:Kui operaator F^ kommuteerub operaatoriga G^ ja operaatoriga H^ , kusjuures G^ ja H^ omavahel ei kommuteeru, siis operaatori F^ omaolekud on kõdunud
algebraliste teisendustega Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 114 instituut. 57 Loogikafunktsioonid, loogikavõrrandid Nr. Teisendusvalemid Teisenduse alus 1. x+y=y+x x·y=y·x Kommutatiivsus 2. x+0=x x·1=x Identsus 3. x + (y · z) = (x + y) · (x + z) Distributiivsus x · (y + z) = (x · y)+ (x · z) 4. x + x =1 x x=0 Komplementaarsus 5. x+x=x x·x=x Idempotentsus 6. 1+x=1 0·x=0 Domineerimine 7
järjekorrast. · B6 ={ f0 , f13 } Kasulikud on järgmised abivalemid: x = x 0 x1 x2 = ( x1 0) x2 ( x1 & x2 = x1 ( x2 0) 0 ) (x1 0) ( x2 0) = x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 0) ( ( x3 x2 ) 0) = ( x3 x2 ) x1 · B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. · B8 ={ f1 , f6 , f15 } Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1 Teisendusel kasulikud abivalemid: x = x 1 x1 x2 = x1 x2 x1 x2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1 x3 Kui vaadeldavas algebras analoogiliselt eelmise näitega avada sulud, saame normaalkuju sarnase avaldise, kus disjunktsiooni asemel kasutatakse funktsiooni ja puuduvad argumentide inversioonid. See on loogikafunktsiooni Read-Mülleri polünoom.
x1 & x2 x1 x2 0 0 x1 0 x2 0 x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 0 x3 x2 0 x3 x2 x1 B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. B8 ={ f1 , f6 , f15 } 27 Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1 Teisendusel kasulikud abivalemid: x x 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1 x3 Kui vaadeldavas algebras analoogiliselt eelmise näitega avada sulud, saame normaalkuju sarnase avaldise, kus disjunktsiooni asemel kasutatakse funktsiooni ja puuduvad argumentide inversioonid
Venni diagrammil on kahe hulga ühisosa kujutatud järgmiselt Näide: 1. Kui A = {a, b, c} ja B = {a, c, d, e}, siis A B = {a, c}; 2. [0, 1) (0, 1] = (0, 1); 3. = . Kui kahel hulgal A ja B ei ole ühiseid elemente, siis A B = ning hulki A ja B nimetatakse lõikumatuteks. Näiteks, ratsionaalarvude ja irratsionaalarvude hulgad on lõikumatud. Hulkade ühendi ja ühisosa omadused Teoreem Hulkade ühendil ja ühisosal on järgmised omadused: 1. Idempotentsus: A A = A, A A = A; 2. Kommutatiivsus: A B = B A, A B = B A; 3. Assotsiatiivsus: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 4. Distributiivsus: (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). TÕESTUS 4. Tõestame teise distributiivsuse võrduse ehk (A B) C = (A C) (B C). (i) Olgu x (A B) C. Siis x A B või x C. Kui x C, siis x A C ja x B C, mistõttu x (A C) (B C). Kui aga x C, siis x A B ehk x A ja x B. Siis aga x A C ja x B C, s.t x (A C) (B C). Sellega on näidatud, et
Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac * Rooma numbrid I =1; X=10; C=100; M=1000; V=5; L=50; D=500 Rooma numbrid moodustavad mittepositsioonilise arvusüsteemi. Kasutatakse seitset numbrit. Enam kui kolm korda üht märki ei kirjutata. Kui väiksema väärtusega number asub suurema järel, siis numbrite väärtused liidetakse, nt VIII=8. Vastupidisel juhul lahutatakse, nt
a c ac a ac = c = b d bd b b b ab a c a d ad a = : = = c c b d b c bc a a b c ac :c = a: = a = b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine:
[29]. Moodularitmeetika. *Moodularitmeetikat kutsutakse sageli ka ,,kella aritmeetikaks" ning see on täisarvude jaoks defineeritud aritmeetika süsteem, kus numbrid ,,teevad täisringi" pärast mingi kindla väärtuse (moodulini) jõudmist. *Moodularitmeetika moodsa lähenemise esimesteks juurutajateks olid Sveitsi matemaatik Leonhard Euler ning Saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss. Moodularitmeetika matemaatilisi omadusi: *Moodularitmeetikas kehtivad kommutatiivsus, assotsiatiivsus, fakt, et liitmine on lahutamise pöördtehe jne. *Juhul, kui moodul m on algarv, on moodularitmeetikas defineeritud ka jagamistehe. (Kusjuures mitte-algarvulise mooduli korral jagamistehe üks-üheselt määratud ei ole). *Suvalise jagatise y = a/b leidmiseks moodularitmeetikas peame esmalt leidma jagatise kujul y = 1/b ning alles pärast seda korrutame y = 1/b'i soovitud lugejaga a'ga läbi, et saada meelepärane lõppjagatis.
b bc 9 9⋅8 b a c ac 4 9 5 9 ⋅5 a: = = a⋅ = . Näiteks 9 : = = 9⋅ = . c b b b 5 4 4 4 c 5 4 2.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b =b+a ab = ba a (b + c ) = (b + c ) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + (b + c ) = ( a + b ) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b − c ) = ab − ac Sulgude avamine:
c b d bd b b b ab a c a d ad a : c c b d b c bc a a b c ac :c a: a b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: ab ba ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac
annaabi.ee 
