x= = = = 22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3 4 4 4 4 y = 2x2 + 7x + 3 + + -3 _ - 0,5 x Vastus. Lahendihulk on (-; -3) (-0,5; ). Näide 2. Lahendame võrratuse x2 - 2x 3 < 0. Lahendame võrrandi x2 - 2x 3 = 0. Saame x1 = 3 ja x2 = -1. y = x2 - 2x - 3 + + -1 _ 3 x Vastus. Lahendihulk on (-1; 3). Näide 3. Lahendame võrratuse - x2 - 2x + 3 > 0. - x2 - 2x + 3 = 0 | : (-1) x2 + 2x - 3 = 0 x1 = -3 ja x2 = 1. +
vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x 3 7 5 Lahendus Süsteemi lahendamiseks tuleb leida eraldi kummagi võrratuse lahendihulk ja siis nende hulkade ühisosa. Näide 1 (2) Esimese võrratuse lahendamisel viime kõik murrud vasakule poole võrratusmärki ja läheme üle ühisele murrujoonele: 3 x - 1 13 - x 7 x 11( x + 3) - < - 3 7 3 6 3x - 1 13 - x 7 x 11( x + 3) - - + <0 3 7 3 6 14(3 x - 1) - 6(13 - x) - 14 7 x + 7 11( x + 3)
k 4 k 0 k 4 k 40 -4,5 0 3 4 x ja saame vastust Vastus: k [4,5; 0] (4; ) . NB! Juhul kui mõne süsteemi kuuluva võrratuse lahendihulk on tühi hulk, siis on kogu võrratusesüsteemi lahendihulk tühi hulk, sest . x a Mõnikord võrratusesüsteem esitatakse ahelvõrratuse kujul a x b . x b 2x 4 1 Näiteks, 1 2 x 4 5 . Lahendame antud ahelvõrratuse: 2 x 4 5 1 4 2 x 5 4 3 2 x 1 : 2 1,5 x 0,5 x (1,5; 0,5] .
Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt teisele, muutes liidetava märgi vastupidiseks.
kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad. Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest suurem või väiksem: y = ax , y a) juhul kui b a> a > 1, 1 siis on võrratus ax > b täidetud kui x > logab, 1 võrratus ax < b aga juhul kui 0 logab x x < logab.
7x - 4 2 x + 1 x -1 55. + = ( x - 2)( x + 3) x + 3 x - 2 x+ y = 5 46. x + y = 13 2 2 56. Lahenda võrratus 57. 3 x - 2( 2 x + 5) > 2( 3 x +1) - 40 58. 2( x - 3) - 3( 2 x +1) > x -19 59. 5( 2 x + 6 ) - 3( 4 - 3 x ) < 15 x + 28 kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on suuremad kui -2. 60. 4( 5 - 2 x ) - 2( 3 x + 4 ) > 6 -18 x kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on väiksemad kui 3. 61. Leia võrratuse 2 x - 3 < 5 kõik positiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 62. Leia võrratuse 5( x + 3) 4 x +12 kõik negatiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 63
x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide 2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna (x teljest ülalpool oleva piirkonna). Jooniselt leitud abivõrratuse positiivsuspiirkond ongi lähtevõrratuse lahend. Antud võrratuse lahendihulk on X (;2) (3; ) Intervallimeetod Võrratusi kujul ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 kus x1 x2 x3 on võrratuse nullkohad, saab lahendada intervallimeetodil. Praktiliselt kujuneb võrratuse lahendamine intervallmeetodil järgmiseks: kanname võrratuse nullkohad (antud juhul x1, x2, x3 ) x teljele, eeldades, et a > 0 (vastasel juhul korrutame lähtevõrratust 1-ga), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ülalt,
f1 ( x) 0, f 2 ( x) 0, ... , f n ( x) 0. Näide (sin 2 x 1) tan x 0 sin 2 x 1 0 või tan x 0, , kus k Z sin x 1 0 x (2k 1) 2 2 tan x 0 x k , kus k Z Muutuja väärtused x (2k 1) on aga esialgse võrrandi jaoks 2 võõrlahendid, kuna tan x ei ole muutuja nende väärtuste korral defineeritud. Seega on lahendihulk {x | x k , k Z }. Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid f ( x) Võrrandi 0 asendamine võrrandiga f ( x) 0. g ( x) Näide sin x 0 sin x 0, cos x 1 kuna esialgse võrrandi lahendeiks on x (2k 1) , k Z , tuletatud võrrandi korral lisandub veel võõrlahendite x 2k , k Z komplekt. Lahendite kadu Kui tuletatud võrrandil on lahendeid vähem kui esialgsel, siis on tegemist lahendite kaoga.
x1 x2 x3 x4 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused a , kui a ≥ 0 , Absoluutväärtuse definitsioon: a = − a , kui a < 0 . Vastavalt absoluutväärtuse definitsioonile: 1) võrratuse x < a lahendihulk on − a < x < a ; 2) võrratuse x ≤ a lahendihulk on − a ≤ x ≤ a ; 3) võrratuse x > a lahendihulk on x < −a või x > a ; 4) võrratuse x ≥ a lahendihulk on x ≤ −a või x ≥ a . Nende nn. põhivõrratuste abil on võimalik leida keerukamate võrratuste lahendihulgad. 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest 5 − 2x 3x − 8 Näide 1. Lahendada võrratus +3< − x.
Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d
Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d
Murdvõrratuse lahendite hulka ei kuulu nimetajas oleva polünoomi nullkohad. 2.14 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused a , kui a 0, Absoluutväärtuse definitsioon: a= - a , kui a < 0. 14 Vastavalt absoluutväärtuse definitsioonile: 1) võrratuse x lahendihulk on - a < x < a ; 2) võrratuse x a lahendihulk on - a x a ; 3) võrratuse x >a lahendihulk on x < - a x > a ; 4) võrratuse x a lahendihulk on x -a x a . Nende nn. põhivõrratuste abil on võimalik leida keerukamate võrratuste lahendihulgad. 2.15 Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on kontantne. Jada vahe: d = an - an -1 = an +1 - an . Üldliige: an = a1 + ( n - 1) d .
2.14 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused a , kui a 0 , Absoluutväärtuse definitsioon: a a , kui a 0. 14 Vastavalt absoluutväärtuse definitsioonile: 1) võrratuse x a lahendihulk on a x a ; 2) võrratuse x a lahendihulk on a x a ; 3) võrratuse x a lahendihulk on x a x a ; 4) võrratuse x a lahendihulk on x a x a . Nende nn. põhivõrratuste abil on võimalik leida keerukamate võrratuste lahendihulgad. 2.15 Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on kontantne. Jada vahe: d an an 1 an 1 an . Üldliige: an a1 n 1 d .
arvuga 2)võrrsüs kordajate maatriksi determinant erineb nullist. Crameri peajuhul {a11x1+.. +a1nxn=b1 ..;.. an1x1+.. +annxn=bn kusjuures süsteemi maatriksi determinant D=/0. Crameri peajuhul on lvs-il üks lahend, mille saab valemiga Xi=Di/D, i=1...n kus Di on det, mis on saadud det-s D i-nda veeru asendamisel lvs-i vabaliikmete veeruga. LVS lahendamiseks kasutatakse põhiliselt meetodit, kus olemasolev lvs asendatakse uue lihtsama lvsiga, millel on sama lahendihulk. Def. Öeldakse, et kaks lvs-i on ekvivalentsed, kui neil on samad lahendihulgad. Eesmärgiks on saada selline lvs, kust lahend oleks kohe välja loetav. Uus lvs saadakse tundmatute järk-järgulise süstemaatilise elimineerimise teel. Selleks kasutatakse kolme liiki teisendusi, mida nim lvs elementaarteisendusteks: 1)süsteemi mistahes võrrandit korrutada nullist erineva arvuga 2)vahetada süsteemi kaks võrrandit
5+2 3 5–2 3 1 = arccos 13 ja 2 = arccos 13 © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 42 VÕRRATUSED Lineaarvõrratus on võrratus kujul ax > b või ax < b. 7 Võrratuse 3x > 7 lahendihulk on lõpmatu vahemik ; 3 Võrratuse –3x > 7 mõlema poole jagamisel arvuga (–3) muutub võrratuse märk 7 7 vastupidiseks, s.t. x < ning lahendihulk on ; . 3 3 Ruutvõrratus on võrratus kujul ax2 + bx + c > 0 või ax2 + bx + c < 0
Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 3.4 Lahendite omadusi Teoreem 2. Olgu a ja b homogeense LVS-i Ax = 0 lahendid, s.t Aa = 0 = Ab. Siis a + b ja a on samuti lahendid. T~ oestus. T~oepoolest, kasutades maatrikstehete omadusi, saame 1) A(a + b) = Aa + Ab = 0 + 0 = 0 2) A(a) = (A)a = (A)a = (Aa) = 0 = 0 Seega homogeense LVS-i lahendihulk (kui aritmeetilise vektor- ruumi alamhulk) on kinnine liitmise ja arvuga korrutamise suhtes. 3.5 Kui tundamatute arv = vo ~rrandite arv (n = k) Kui n = k ja det A = 0, siis homogeensel LVS-il leidub vaid tri- viaalne lahend. Kui n = k, siis mittetriviaalse lahendi olemasoluks peab det A = 0. T~oestus. T~oepoolest, kui n = k, siis regulaarse A korral on v~ orran-
N¨aide. Leiame funktsiooni y = x2 e-x kasvamis- ja kahanemispiirkonna. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = R. Leiame tuletise y = 2xe-x - x e = xe-x (2 - x). Teoreemi 3 j¨argi saame kasvamispiirkonna tingimu- 2 -x sest xe-x (2 - x) > 0 ja teoreemi 4 p~ohjal kahanemispiirkonna tingimu- sest xe-x (2 - x) < 0. Et iga x R korral e-x > 0, siis esimene v~orratus on samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) > 0 ja teine samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) < 0. Esimese v~orratuse lahendihulk on funktsiooni kasvamispiirkon- naks X = (0; 2) ja teise v~orratuse lahendihulk funtksiooni kahanemispiir- konnaks X = (-; 0) (2; ). 3.9 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ¨ Definitsioon 1. Oeldakse, et funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub selline u¨mbrus (x1 -; x1 +), et iga x (x1 -; x1 +) korral f (x) < f (x1 ). ¨ Definitsioon 2. Oeldakse, et funktsioonil on punktis x2 lokaalne mak-
annaabi.ee 
