Loogika konspekt 6-10 (4)

1_fl_vi-x
L6 ARUTLUS (järeldamine) Arutlus (ik inference ) kui mõtlemise vorm on protsess, mille käigus lähtutakse mingist otsustusest või otsustuse hulgast ning neile ja mingitele reeglitele tuginedes jõutakse uue otsustuseni. Arutluse ehk järeldamise tulemusena saadud otsustust nimetatakse järelduseks (ik conclusion ) ehk tuletiseks ning lähteotsustusi eeldusteks (ik premises ). Arutlus väljendub keeles lausete hulgana. Klassikalises loogikas käsitletakse arutlust kui propositsioonide hulka või ka kui väidete hulka. Üks neist on järeldus, ülejäänud on eeldused. Tuletis järgneb eeldustest paratamatult (ik necessarily). Et rõhutada tuletise paratamatut iseloomu, alustatakse tema sõnastamist väljendiga järelikult, siit järeldub või sellepärast jt. Neid väljendeid nimetatakse eelduse ja tuletuse seoseks. Loogika ülesandeks on seaduste ja printsiipide formaliseerimine, millest kinnipidamine on paratamatu, kui soovime saada tõestest eeldustest tõese järelduse. Loogikas on mitmeid formaliseeritud süsteeme ning järeldamise reeglid ja printsiibid on teatud mõttes suhtelised, nad sõltuvad konkreetse loogika valdkonna süntaksi iseärasustest. Kuigi arutluse kehtivust saab kontrollida mitmeti, on suure enamuse loogikavaldkondade arutlusmeetodite aluseks ikkagi klassikaline loogika.
Arutlus on kehtiv (ik valid) siis ja ainult siis, kui ei saa olla nii, et arutluse eeldused on tõesed väited, aga paratamatult tuletatud järeldus on väär. Kehtiv arutlusvorm garanteerib tõeste eelduste puhul tõese järelduse ning on loogika seisukohalt seaduspärane. Arutlus ei ole kehtiv (või on mittekehtiv ik invalid) siis, kui antud vormi järgi arutledes ei paratamatu, et me saame tõestest eeldustest tõese järelduse. St, et arutlus ei ole loogika seisukohalt seaduspärane. Arutlus on korrektne (ik sound ) siis ja ainult siis, kui ta on kehtiv ning kõik tema eeldused (ja järeldus) on tõesed väited. Eesti keeles on kasutatud terminit õige arutlus kehtiva arutluse kohta ja vale ehk vigane arutlus mittekehtiva kohta. Õige arutlus võib olla sellise terminoloogia järgi ebakorrektne ehk väär, kui eeldused pole tõesed. Termin tõene arutlus on olnud kasutuses korrektse arutluse sünonüümina. Selguse mõttes nõuan ma meie kursuses sellise terminoloogia järgimist, kuigi see pole tänapäeval üldlevinud.
ARUTLUSE LIIKIDEST Deduktsioon . Deduktiivne arutlus on arutlus, milles on loogilise paratamatusega garanteeritud tõestest eelsustest tõeste järelduste saamine. Enamasti on tegemist järeldamisega, mis on suunatud üldiselt osalisele või üksikule, kuid mitte ainult. Deduktsiooni näiteks on lihtne kategooriline süllogism, otsesed (vahetud) järeldused ning arutlused liitväidetega. (NB! Täielik matemaatiline induktsioon on pigem deduktsioon.) Klassikaline loogika tegeleb peamiselt deduktsiooniga. Induktsioon. Induktiivne arutlus on arutlus, milles tuletis on kehtiv mingi tõenäosuse või tõesusastmega. Enamasti on tegemist järeldamisega üksikult üldisele. Nt induktsioon lihtsa loendamise kaudu: Pontul on saba, Muril on saba , jne ..., järelikult (tõenäoliselt) on kõikidel koertel saba. Vt ka Milli meetodid Vuksi õpikust. Analoogia . Arutlus analoogia põhjal on järeldamine, mis on enamasti suunatud üksikult üksikule. Arutluse aluseks on arutlusobjektide sarnasus. Arutlusobjektide suurema hulga korral võib analoogia-arutlus muutuda induktiivseks. ( Abduktsioon on arutlus, milles jõutakse tõendusmaterjali põhjal parima seletuseni, st saab teostada õigustatud valiku mingite alternatiivide vahel.) 2_fl_vi-x
OTSESED JÄRELDUSED (ik immediate inference) Otsese järelduse eelduseks on üks atributiivne lihtotsustus. Me juba tutvusime otseste järeldustega mida saab teha loogilise ruudu abil. 1. Järeldused muutmise teel (ik obversion): jaatav otsustus muutub eitavaks, eitav jaatavaks, predikaat asendatakse endisele vasturääkivaga. Järeldus muutmise teel on tegelikult ühe ja selle-sama ütlemine teisel viisil. Järelduse skeemides on joone peal eeldus, joone all ­ järeldus. SaP: Kõik S on P Kõik varesed on linnud Ükski S ei ole mitte-P Ükski vares ei ole mittelind. SeP: Ükski S ei ole P Ükski rumalus ei ole tegemata Kõik S on mitte-P Kõik rumalused on tehtud SiP: Mõni S on P Mõni inimene on hea Mõni S ei ole mitte-P Mõni inimene ei ole mittehea SoP: Mõni S ei ole P Mõnid inimene ei ole halb Mõni S on mitte-P Mõni inimene on mittehalb.
Eelduse predikaat tuleb asendada just nimelt vasturääkivaga, mitte vastupidisega. Näiteks ei tohi predikaati hea asendada predikaadiga halb, sest on olemas ka neutraalne . Paremal paiknevat meeldetuletavat Venni diagrammi võime käsitleda nii, et mingi mõiste P mahu keskselt on kõik (kogu universum) kas P või tema eitus . St, et Venni diagrammides ulatub mitte-P maht üldjuhul kaugemale kui S-i maht ning P P muidugi ulatub ka mitte-S maht üldjuhul kaugemale kui P maht.
See aitab mõista järgnevaid Venni diagramme :
S P S P SP = 0 SP = 0
A: Kõik S on P E: Ükski S ei ole P (E:) Ükski S ei ole mitte-P (A:) Kõik S on mitte-P
S P S P SP 0 x SP 0 x
I: Mõni S on P O: Mõni S ei ole P (O:) Mõni S ei ole mitte-P (I:) Mõni S on mitte-P 3_fl_vi-x
2. Järeldused ümberpööramise teel (ik conversion): vastavate reeglite järgi vahetatakse otsustuses subjekti ja predikaadi asukoht. SaP: Kõik S on P Kõik varesed on linnud Mõni P on S Mõni lind on vares (limiteeritud järeldus) SeP: Ükski S ei ole P Ükski ruut pole ring Ükski P ei ole S Ükski ring pole ruut SiP: Mõni S on P Mõni tudeng on pillimees Mõni P on S Mõni pillimees on tudeng SoP: Mõni S ei ole P Mõni inimene ei ole tudeng (Ei saa järeldada) Ei saa järeldada, et !!(Mõni tudeng ei ole inimene)!! Et järeldus oleks õige, peab kehtima reegel: tõesest eeldusest peame saama tõese järelduse. Oletame, et otsustus "Mõni S ei ole P" on tõene. Osaeitav otsustus võib olla tõene kolmel juhul. Neist kahe puhul on otsustus "Mõni P ei ole S" tõene: (1) S ja P on välistavad mõisted või (2) S ja P on ristuvad mõisted. Kolmandal juhul, kus P on S suhtes alluv mõiste, oleks eeldus tõene, aga järeldus väär. Sellest tuleneb, et osaeitav otsustus pole üldjuhul ümberpööratav. (Kui on teada, S ja P välistavad või ristuvad mõisted, siis võib ka osaeitava otsustuse puhul teha järelduse ümberpööramise teel, kuid sel juhul seome ennast konkreetse interpretatsiooniga ning järeldus pole alati loogiliselt paratamatu.)
S P S P SP = 0 SP = 0
A: Kõik S on P E: Ükski S ei ole P (I:) Mõni P on S (E:) Ükski P ei ole S
S P S P SP 0 x SP 0 x
I: Mõni S on P O: Mõni S ei ole P (I:) Mõni P on S Pole teada, kas on tõsi, et ,,Mõni P ei ole S" 4_fl_vi-x
3. Järeldused vastandamise teel (ik contraposition): teostatakse muutmine ning seejärel veel ka ümberpööramine. SaP: Kõik S on P Kõik varesed on linnud Ükski mitte-P ei ole S Ükski mittelind ei ole vares SeP: Mitte ükski S ei ole P Mitte ükski ruut pole ring Mõni mitte-P on S Mõni mitte-ring on ruut (limiteeritud järeldus) SiP: Mõni S on P Mõni tudeng on inimene Ei saa teostada! Ei saa teostada SoP: Mõni S ei ole P Mõni inimene ei ole tudeng Mõni mitte-P on S Mõni mittetudeng on inimene. Üldeitava otsustuse muutmisel saame üldjaatava ning selle ümberpööramisel peame tegema osalise tuletise. Osajaatava otsustuse muutmisel saame osaeitava, ning seda ei saa ümber pöörata.
S P S P SP = 0 SP = 0
A: Kõik S on P E: Ükski S ei ole P (E:) Ükski mitte-P ei ole S (I:) Mõni mitte-P on S
S P S P SP 0 x SP 0 x
I: Mõni S on P O: Mõni S ei ole P Pole teada, kas on tõsi, et (I:) Mõni mitte-P on S ,,Mõni mitte-P ei ole S" 5_fl_vi-x
4. Järeldused muudetud vastandamise teel: (ik obverted contraposition,ka transposition): teostatakse muutmine, ümberpööramine ja veelkord muutmine. NB! Mõnedes allikates (nt Copi & Cohen ) käsitletakse just seda protseduuri kui vastandamist. SaP: Kõik S on P Kõik varesed on linnud Kõik mitte-P on mitte-S Kõik mittelinnud on mittevaresed SeP: Mitte ükski S ei ole P Mitte ükski ruut pole ring Mõni mitte-P pole mitte-S Mõni mitte-ring ei ole mitte-ruut (limiteeritud järeldus) SiP: Mõni S on P Mõni tudeng on inimene Ei saa teostada! Ei saa teostada SoP: Mõni S ei ole P Mõni inimene ei ole tudeng Mõni mitte-P pole mitte-S Mõni mittetudeng ei ole mitteinimene.
S P S P SP = 0 SP = 0
A: Kõik S on P E: Ükski S ei ole P (A:) Kõik mitte-P on mitte-S (O:) Mõni mitte-P on mitte-S
S P S P SP 0 x SP 0 x
I: Mõni S on P O: Mõni S ei ole P Pole teada, kas on tõsi, et (O:) Mõni mitte-P ei ole mitte-S ,,Mõni mitte-P on mitte-S"
Otseste järelduste koondtabel:
Algne lause Muudetud lause Ümberpööratud Vastandatud lause Vastandatud ja lause muudetud lause A: Kõik S on P E: Ükski S pole ¬P I: Mõni P on S (lim.) E: Ükski ¬P pole S A: Kõik ¬P on ¬S E: Ükski S pole P A: Kõik S on ¬P E: Ükski P pole S I: Mõni ¬P on S (lim) O: Mõni ¬P pole ¬S (lim) I: Mõni S on P O: Mõni S pole ¬P I: Mõni P on S ­ ­ O: Mõni S pole P I: Mõni S on ¬P ­ I: Mõni ¬P on S O: Mõni ¬P pole ¬S 6_fl_vi-x
ÜLESANDEID: 6. Teostage otsustuse muutmine, ümberpööramine, vastandamine ja transpositsioon.
6.1. Kõik intellektuaalid on skeptikud . See on üldjaatav otsustus SaP. S ­ intellektuaalid, P ­ skeptikud. Muutmine (S e ¬P): Mitte ükski intellektuaal ei ole mitteskeptik. Ümberpööramine (P i S): Mõni skeptik on intellektuaal. (Lim!) Vastandamine (¬P e S): Mitte ükski mitteskeptik ole intellektuaal. Transpositsioon (¬P a ¬S): Kõik mitteskeptikud on mitteintellektuaalid.
6.2. Tõeline õpetlane on tagasihoidlik . ( Ilmutatud kujul: Kõik tõelised õpetlased on tagasihoidlikud) See on üldjaatav otsustus SaP. S ­ tõeline õpetlane, P ­ tagasihoidlikud. Muutmine (S e ¬P): Mitte ükski tõeline õpetlane ei ole mittetagasihoidlik. Ümberpööramine (P i S): Mõni tagasihoidlik [inimene] on tõeline õpetlane. (lim.) Vastandamine (¬P e S): Ükski mittetagasihoidlik [inimene] pole tõeline õpetlane. Transpositsioon (¬ P a ¬S): Kõik mittetagasihoidlikud [inimesed] on mitte-(tõelised õpetlased).
6.3. Mõned lõbud ei ole lubatud. See on osaeitav otsustus SoP. S ­ lõbud, P ­ lubatud [tegevused]. Muutmine (S i ¬P): Mõned lõbud on mittelubatud. Ümberpööramine (!): Ei saa teostada! Vastandamine (¬P i S): Mõned mittelubatud [tegevused] on lõbud. Transpositsioon (¬P o ¬S): Mõned mittelubatud [tegevused] ei ole mittelõbud.
6.4. Mõned filosoofid on kirjanikud . See on osajaatav otsustus SiP. S ­ filosoofid, P ­ kirjanikud. Muutmine (S o ¬P): Mõned filosoofid ei ole mittekirjanikud. Ümberpööramine (P i S): Mõned kirjanikud on filosoofid. Vastandamine: Ei saa teostada! Transpositsioon: Ei saa teostada!
6.5. Ükski nõid ei ole teadlane . (Ilmutatud kujul: Mitte ükski nõid ei ole teadlane) See on üldeitav otsustus SeP. S ­ nõiad, P ­ teadlased. Muutmine (S a ¬P): Kõik nõiad on mitteteadlased. Ümberpööramine (P e S): Mitte ükski teadlane ei ole nõid. Vastandamine (¬P i S): Mõni mitteteadlane on nõid. (lim.) Transpositsioon (¬P o ¬S): Mõni mitteteadlane pole mittenõid. (lim.)
6.6. Kõik on hea, mis hästi lõpeb. (Ilmutatud kujul: Kõik hästilõppev on hea; ehk: Kõik hästilõppev[ad sündmused, nähtused jne.] on hea[d sündmused, nähtused jne]. See on üldjaatav otsustus SaP. S ­ hästilõppev[ ], P ­ hea[ ]. Muutmine (Se ¬P): Ükski hästilõppev[ ] ei ole mittehea; ehk: Mitte miski pole mittehea, mis hästi lõpeb. Ümberpööramine (PiS): Mõned head [sündmused, nähtused jne] on hästilõppevad; ehk: Mõned head [ ] lõpevad hästi. (lim.) Vastandamine (¬PeS): Mitte ükski mittehea [ ] ei ole hästilõppev [ ] ; ehk: Mitte miski, mis hästi lõpeb pole mittehea. Transpositsioon (¬Pa¬S): Kõik mittehead [ ] on mitte-hästilõppevad; ehk: Kõik on mittehea, mis lõpeb mittehästi. 7_fl_vi-x
6.7. Inimene õpib kogu elu. Võimalik tõlgendus: Kõik inimesed on kogueluõppijad. See on üldjaatav otsustus SaP. S ­ inimesed, P ­ kogueluõppijad. Muutmine(Se¬P): Mitte ükski inimene pole mitte-kogueluõppija. ehk nt: Inimene pole see, kes ei õpi kogu elu. Ümberpööramine (PiS): Mõni kogueluõppija on inimene; ehk nt: Mõni neist, kes õpib kogu elu on inimene. Vastandamine (¬PeS): Mitte ükski mitte-kogueluõppija ei ole inimene; ehk nt: Kes ei õpi kogu elu, pole inimene. Transpositsioon (¬Pa¬S): Kõik mitte-kogueluõppijad on mitte-inimesed; ehk nt: Kes ei õpi kogu elu, on mitte-inimene.
6.8. Keegi ei õpi vigadest. Võimalikuks tõlgenduseks peame määratlema subjekti. Näib, et jutt on inimestest (sõltuvalt asjaoludest võib subjektiks olla nt loom, kurjategija või poliitik .) Tõlgendus: Mitte ükski inimene ei ole vigadestõppija. See on üldeitav otsustus SeP. S ­ inimene, P ­ vigadestõppija. Muutmine(Sa¬P): Kõik inimesed on mitte-vigadestõppijad; ehk nt: Inimene ei suuda vigadest õppida. Ümberpööramine (PeS): Mitte ükski vigadestõppija pole inimene; ehk nt: Kes õpib vigadest, pole inimene. Vastandamine (¬PiS): Mõni mitte-vigadestõppija on inimene; ehk nt: Mõnigi, kes vigadest õppida ei oska, on inimene. Transpositsioon (¬Po¬S): Mõni mitte-vigadestõppija ei ole mitteinimene; ehk nt: Mõnigi, kes vigadest ei õpi, pole mitte-inimene. 8_fl_vi-x
L7 KATEGOORILINE SÜLLOGISM
Kategooriline süllogism (ik categorical syllogism) on deduktiivne arutlus, mille moodustavad kolm kategoorilist propositsiooni (väidet), millest kaks on eeldused ja kolmas järeldus. Suvalises kolmes väites on kokku kuus terminit, sh 3 subjekti ja 3 predikaati: S1­P1 , S2 ­ P2 , S3 ­ P3. Kategoorilise süllogismi moodustavad kolm seotud väidet, millest kaks on eeldused ja kolmas järeldus. Selleks, et väited saaks olla arutlusena omavahel seotud, esineb kategoorilises süllogismis iga termin kahes väites. Seega on kategoorilises süllogismis kokku kolm terminit, mis kõik on kasutusel kaks korda, täites kuus termini positsiooni kolmes lauses . Kategoorilises süllogismis on kolm terminit. Terminit, mis on järelduse subjektiks (S), nimetatakse väiksemaks terminiks (ik minor term ), ning eeldust , milles ta esineb - väiksemaks eelduseks (ik minor premise ). Terminit, mis on järelduse predikaadiks (P), nimetatakse suuremaks terminiks (ik major term ), ning eeldust, milles ta esineb - suuremaks eelduseks (ik major premise). Neid kahte terminit, mis esinevad järelduses, nimetatakse ühiselt ka äärmisteks terminiteks. Kolmas termin esineb ainult eeldustes ning seda nimetatakse keskmiseks (ik middle term). Keskmist terminit tähistatakse klassikaliselt tähega M (Id terminus medius - 'keskmine termin'). Traditsiooniliselt kirjutatakse kõigepealt välja suurem eeldus ning siis väiksem eeldus. Vastavalt sellele, kuidas terminid eeldustes paiknevad, eristatakse süllogismi nelja figuuri (ik figure , Id figura - 'kuju, välimus'). Kõige arusaadavam on esimene figuur , kõige raskem on mõista neljandat figuuri. Nt: I): M ­­­­ P Kõik maod on roomajad S ­­­­ M Kõik rästikud on maod S ­­­­ P Kõik rästikud on roomajad II): P ­­­­ M Kõik pühakud on ausad S ­­­­ M Mitte ükski poliitik pole aus S ­­­­ P Mitte ükski poliitik pole pühak III): M ­­­­ P Mõned kurjategijad on vargad M ­­­­ S Kõik kurjategijad on inimesed S ­­­­ P Mõned inimesed on vargad IV): P ­­­­ M Mitte ükski tudeng ei ole lollpea M ­­­­ S Mõned lollpead on poliitikud S ­­­­ P Mõned poliitikud ei ole tudengid
Väidete A, E, I, O kombinatsioonid ei saa süllogismi figuuris olla suvalised. Aristoteles analüüsis empiiriliselt süllogismi mooduseid (ik mood) ning sõnastas lihtsa kategoorilise süllogismi reeglid. Süllogismi mooduseid tähistatakse kolme suurtähega, nt EIO tähistab süllogismi, mille suurem eeldus on üldeitav, väiksem eeldus osajaatav ning järeldus osaeitav väide. Süllogismi reeglite järgimine garanteerib arutluse kehtivuse ning juhul, kui eeldused on tõesed, on tõene ka järeldus ning arutlus on korrektne.
Lihtsa kategoorilise süllogismi reegleid võib liigitada terminite , eelduste ja figuuride reegliteks. Iga süllogismi lahendamiseks piisab terminite ja eelduste reeglitest. Figuuride reeglid on pigem abistava tähendusega, nende abil on võimalik kiiresti hinnata enamiku süllogismide kehtivust. 9_fl_vi-x
SÜLLOGISMI TERMINITE REEGLID. (Nende vastu eksitakse sagedamini ja neid on raskem märgata.)
1. Igas süllogismis peab olema mitte vähem ega rohkem kui kolm terminit. Selle reegli kõige levinumat rikkumisviisi nimetatakse terminite neljandamiseks (ik fallacy of four terms ). 2. Kesktermin peab olema piiritletud (täismahus) vähemalt ühes eelduses . Selle reegli rikkumist nimetatakse kesktermini veaks (ik fallacy of the undistributed middle). 3. Termin võib olla järelduses täismahus ainult siis, kui ta on eelduses täismahus. Selle reegli rikkumist nimetatakse termini lubamatuks laiendamiseks (ik=ld illicit process ). (Märkus: õpikutes räägitakse tihti üksnes suurema termini lubamatust laiendamisest, ld illicit major, sest see on levinud ja parandamatu viga. Siiski on võimalik ka väiksema termini lubamatu laiendamine ld illicit minor, mis on vähem levinud ning teatud juhtudel ka kõrvaldatav.)
SÜLLOGISMI EELDUSTE REEGLID.
4. Kahest eitavast eeldusest ei saa tuletada tõekindlat järeldust. Selle reegli rikkumist nimetatakse inglise keeles fallacy of exclusive premises. 5. Kui üks eeldustest on eitav, siis peab ka järeldus eitav olema. Selle reegli rikkumist nimetatakse inglise keeles fallacy of drawing an affirmative conclusion from negative premise. (*) Kahest osalisest eeldusest ei saa tuletata tõekindlat järeldust. Selle paljudes õpikutes toodud reegli tundmine on praktiliselt kasulik, kuid nõue on automaatselt täidetud juba eelmiste reeglitega (kontrollige ise järele). (*) Kui üks eeldustest on osaline väide, siis peab ka järeldus olema osaline väide. Ka selle paljudes õpikutes toodud reegli tundmine on praktiliselt kasulik, kuid nõue on automaatselt täidetud juba eelmiste reeglitega (kontrollige ise järele). (*) Mõnikord on esitatud süllogismi reeglina õigustatud nõue, et eeldused peavad olema tõesed väited. Kuid samas on see nõue, mis kehtib iga arutluse kohta, kusjuures väite tõesuse määramine jääb enamasti loogikaväliseks protseduuriks. (*6.) Kahest üldisest väitest ei tohi tuletada osalist järeldust. (Mitteklassikaline reegel.) Selle reegli rikkumist nimetatakse olemasolu impordiks (ik existential fallacy). Reegel tuleneb loogika interpretatsioonist Boole'i eeskujul. Selle järgi ei postuleeri üldine väide subjekti tegelikku olemasolu, kusjuures osaline väide nõuab, et peab eksisteerima vähemalt üks element, millest räägitakse. Reegel on tänapäeval valdavalt tunnustatud ning esitatud paljudes õpikutes, kuid seda ei tuntud loogika varasemas interpretatsioonis. Muuhulgas eksib selle reegli vastu ka alluvussuhe loogilises ruudus . Probleemi saab vältida, kui postuleerime, et väite subjekt ei tohi olla tühja mahuga mõiste. Üldiselt saab klassikalist loogikat niiviisi käsitleda, kuid see toob kaasa omakorda uusi probleeme, mis jäävad meie kursuse raamidest väljapoole. Meie järgime oma kursusel võimaluste piires vana klassikalist loogikat (vähemalt loogilise ruudu ja lihtsa kategoorilise süllogismi osas) ning seetõttu võime eeldada, et subjekt ei ole tühi mõiste. Sel juhul tohib tuletada kahest üldisest väitest ka osalise väite, nii nagu üldjaatava väite tõesusest järeldub osajaatava väite tõesus.
SÜLLOGISMI FIGUURIDE REEGLID Esimese figuuri reeglid. Suurem eeldus on üldine väide. Väiksem eeldus on jaatav väide. Teise figuuri reeglid. Suurem eeldus on üldine väide. Üks eeldustest on eitav väide, seega on ka järeldus eitav. Kolmanda figuuri reeglid. Väiksem eeldus on jaatav väide. Tuletis on osajaatav või osaeitav väide. 10_fl_vi-x
Süllogismis võib eeldusi teatud määral muuta, kasutades järeldamist ümberpööramise teel. Niimoodi toimides muutub ka süllogismi figuur. Võtame näiteks neljanda figuuri süllogismi ja teeme sellest võrdväärse esimese figuuri süllogismi:
Mitte ükski tudeng ei ole lollpea Mitte ükski lollpea ei ole tudeng Mõned lollpead on poliitikud Mõned poliitikud on lollpead Mõned poliitikud ei ole tudengid Mõned poliitikud ei ole tudengid
KATEGOORILISE SÜLLOGISMI KEHTIVAD MOODUSED.
I II III IV AAA EAE AAI AAI EAE AEE IAI AEE AII EIO AII IAI EIO EOO EAO EAO (AAI) (EAO) OAO EIO (EAO) (AEO) ElO (AEO)
Klassikaliselt nimetatakse kehtivaid süllogismi mooduseid järgnevate nimedega, millest koostatud luuletused aitasid keskajal süllogismid ära õppida:
Barbara , Celarent, Darii, Ferio, (Barbari), (Celaront); Cesare, Camestres, Festino, Baroco, (Cesaro), (Camestrop); Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison; Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison, (Camenop).
Vokaalid nimedes vastavad süllogismide moodustele. Esitäht määrab millisele esimese figuuri süllogismile süllogism taandub, nt Felapton Feriole; s ja p lõpus annavad taandamise meetodi; c- mitte esitähena näitab, et süllogism ei taandu, tõestuseks tuleb kasutada meetodit reductio ad absurdum. Punasega olen ma tähistanud moodused, mis on lubamatud Boole'i interpretatsiooni järgi olemasolu import ). Sulgudes on toodud täiendavad moodused, mis on saadud üldise järeldusega kehtivast moodusest muutes järelduse osaliseks .
Näide1: Kõik lilled on ilusad. Mõni mürgitaim on lill Mõni mürgitaim on ilus. On kolm terminit ­ lilled, ilusad, mürgitaimed. Kesktermin (M) on lilled, sest see esineb mõlemas eelduses ( ja ei esine järelduses). Järelduse subjektiks on väiksem termin ja predikaadiks suurem termin. Suurem termin (P) esineb suuremas eelduses (esimeses) ja järelduses. Seega on suurem termin ilusad. Väiksem termin (S) esineb väiksemas eelduses ja järelduses. Seega on väiksem termin mürgitaimed. Saame valemi: M+ a P­ S­ i M­ S­ i P­ Eelduste reeglite järgi: Pole kahte eitavat eeldust. Pole ühte eitavat eeldust, järeldus peab olema jaatav. Pole kahte osalist eeldust. Kuna üks eeldus on osaline väide, siis peab ka järeldus olema osaline väide. (Eeldused on tõesed.) Eelduste reeglid on täidetud. Terminite reeglite järgi: On kolm terminit. Keskmine termin on suuremas eelduses piiritletud. S ja P ei ole ei eeldustes ega järelduses piiritletud. Süllogismi reeglid on täidetud, süllogism on kehtiv ja korrektne. 11_fl_vi-x
Näide2: Kõik joodikud joovad palju. M+ a P­ Mõni inimene ei ole joodik . S­ o M+ Mõni inimene ei joo palju. S­ o P+ Keskmine termin on joodikud, suurem termin - joovad palju ja väiksem termin - inimesed. Keskmine termin on küll vähemalt ühes eelduses piiritletud (siin mõlemas), kuid suurem termin P ei ole eelduses piiritletud, aga järelduses osutub ta piiritletuks. Seega on järeldus valesti tehtud. Seega ei saa neist eeldustest teha paratamatut järeldust, et mõned inimesed ei joo palju (ehki see osutub juhuslikult tõeseks.)
Kes ei usu, vaadaku analoogilist (sama valemiga) näidet: Kõik koerad on surelikud . Mõned inimesed ei ole koerad. Mõned inimesed ei ole surelikud.
VENNI DIAGRAMMID
Lihtsa kategoorilise süllogismi puhul on meil tarvis kolme terminit. Neist saab kombineerida paremal paikneva joonise:
Esitame süllogismi, suurem eeldus on vasakul, väiksem keskel ning järeldus paremal. Näeme, et süllogism töötab. Allpool esitame sama skeemi mustvalgelt.
Kõik Magus on Paha Kõik Saiad on Magusad Kõik Saiad on Pahad
Kõik M on P Kõik S on M Kõik S on P 12_fl_vi-x
Kõik koerad (P) on imetajad (M). Kõik kassid (S) on imetajad (M). Järelikult: Kõik kassid (S) on koerad (P).
Kõik P on M SPM Kõik S on M S¬PM Kõik S on P
Järeldus peaks välistama kõik piirkonnad peale SPM. Kuid eeldused jätsid peale SPM lubatuks ka piirkonna S¬PM. Selline süllogism ei ole korrektne. Järeldus väidab enamat , kui eeldused lubavad väita. Kõik näitlejad (M) on egoistid (P). Mõned näitlejad (M) on vaesed (S). Järelikult: Mõned vaesed (S) on egoistid (P). SP¬M Kõik M on P Mõni M on S SPM Mõni S on P x Järeldus väidab, et x peab paiknema alas SPM või SP¬M. Nii see eelduste põhjal ka on.Süllogism on korrektne. NB! Alati märgi diagrammil enne üldine väide, seejärel osaline!
Kõik professorid (P) on mainekad (M). Mõned sportlased (S) on mainekad (M) Järelikult:Mõned sportlased (S) on professorid.(P) SP¬M Kõik P on M Mõni S on M Mõni S on P Järeldus väidab, et x peab paiknema alas SPM või x S¬PM SP M SP¬M. Eelduste põhjal on SP¬M välistatud ning SPM on lubatud. Kuid eeldused lubavad x-le ka piirkonda S¬PM. Seda järeldus ei luba. Selline süllogism ei ole korrektne. Järeldus ei väida sama, mida eeldused. Kõik edukad (P) on tööhullud (M). Ükski tööhull (M) ei lase end segada (S) S P Järelikult: Mitte keegi neist, kes end segada laseb (S), pole edukas (P).
Kõik P on M Ükski M pole S Ükski S pole P
Järeldus väidab, et S hulgast on välistatud P. M Nii on see ka eelduste põhjal. Süllogism on korrektne. 13_fl_vi-x
LÜHENDATUD SÜLLOGISM: ENTÜMEEM JA EPIHEIREEM Süllogismi, millest on välja jäetud kas suurem või väiksem eeldus või järeldus, nimetatakse lühendatud süllogismiks ehk entümeemiks (ik enthymem).
Tihti esitatakse entümeem liitlausena, milles mõni eeldus loetakse vaikimisi tõeks: Nt: Sa oled neonats, sest sa vihkad kommuniste. Järelduseks on: Sa (S) oled neonats (P). (Seda põhjendatakse) Kuna eelduslause sisaldab väiksemat terminit Sa, siis vihkad kommuniste peab olema kesktermin (M) ja väide Sa (S) vihkad kommuniste (M) on väiksem eeldus. Vaikimisi on eeldatud suurem eeldus, mis peab olema üldjaatav väide: Kõik, kes vihkavad kommuniste (M) on neonatsid (P). Nüüd on võimalik diskuteerida selle varjatud eelduse tõeväärtuse üle.
Epiheireemiks (ik epicheirema). nimetatakse lühendatud süllogismi, mille üheks või mõlemaks eelduseks on entümeemid. Epiheireemi skeem: M on P, sest M on N. (1) Nt: Kõik mu tuttvad on vargad, sest nad on eestlased. S on M, sest S on O. (2) S on mu tuttav, sest ta on Otuküla poiss. Järelikult, S on P. S on varas (1) on süllogism: Kõik N on P (arutluses välja jäetud) Kõik eestlased on vargad (vt Rehepapp. A. Kivirähk) Kõik M on N kõik M on P. (2) on süllogism: Kõik O on M (arutluses välja jäetud) Kõik Otuküla poisid on mu tuttavad. Kõik S on O kõik S on M Järelikult: kõik S on P.
Arutlus võib koosneda omavahel seotud süllogismidest, mis moodustavad ahela, kus eelneva süllogismi järeldus on järgmise eelduseks. Eelnevat süllogismi nimetatakse prosüllogismiks ja järgnevat episüllogismiks, ahelat ennast nimetatakse polüsüllogismiks.
Soriit (ik sorite) on polüsüllogism, milles on esitatud rohkem kui kaks eeldust ning järeldus. Nt: Lapsed on ebaloogilised. Ükski põlatud isik ei suuda valitseda krokodille . Ebaloogilised isikud on põlatud. Järelikult ei suuda ükski laps valitseda krokodille. Järjestame laused : Kõik lapsed on ebaloogilised isikud. Kõik ebaloogilised isikud on põlatud. Neist kahest saame entümeemi, mille lahendiks on: Kõik lapsed on põlatud isikud. See on eelduseks järgmisele süllogismile, mille teine eeldus on: Ükski põlatud isik ei suuda valitseda krokodille. Viimase süllogismi lahendiks ongi: Ükski laps ei suuda valitseda krokodille.
KUI ÜLESANDEKS ON ANALÜÜSIDA SÜLLOGISMI, mida siis teha? Süllogismi analüüs peab näitama, kas antud süllogism on kehtiv ja korrektne või siis seda, miks ta ei ole korrektne. Juhul, kui süllogismi tüüp pole teada antud, siis tuleb see kindlaks määrata. Meie kursuses esineb järgmisi süllogismi tüüpe: · Lihtne kategooriline süllogism (LKS) · Entümeem (lühendatud kategooriline süllogism) (KS) Järgnevas loengus käsitletakse süllogisme liitväidetega, ja need on: · Hüpoteetiline süllogism (HS), mis võib olla täielik või hüpoteetilis-kategooriline (ehk tingiv kategooriline), (TKS). · Liigitav-kategooriline süllogism (LKS) ehk disjunktiivne süllogism. · Lemmaline (tingiv-liigitav) süllogism (TLS). 14_fl_vi-x
Kategoorilise süllogismi korral: · Tehke kindlaks milline väide on suurem eeldus, milline väiksem eeldus ning milline on järeldus. Vajadusel arvestage, et üksikotsustust võib käsitleda üldotsustusena. * Kui süllogism on esitatud kolme lihtlause lause kujul ning midagi täiendavat pole öeldud, siis esimene väide on alati suurem eeldus, teine väide väiksem eeldus ning kolmas väide on järeldus. * Kui süllogism on esitatud kolmest lausest koosneva liitlausena, siis tuleb eraldi välja tuua mõlemad eeldused ja järeldus. Nende järjekord võib olla suvaline . Esiteks tuleb leida järeldus. NB! Järeldus esineb tunnussõnade ,,sellepärast", "seepärast", "järelikult", "seega" jmt järel või tunnussõnade ,,sest", ,,kuna" jmt ees). * Pärast lausete määratlemist on tungivalt soovitav kirjutada süllogism välja klassikalisel kujul kolme lihtlausena: suurem eeldus, väiksem eeldus, järeldus.
· Entümeemi (lühendatud süllogismi) korral kasutage lihtsa kategoorilise süllogismi eelduste reegleid puuduva väite konstrueerimiseks. * Kui entümeem on esitatud kahe lihtlausega ning midagi täiendavat pole öeldud, siis esimene väide on alati suurem eeldus, teine väide on väiksem eeldus ning konstrueerida tuleb järeldus. Mingil juhul ei tohi lauseid ära vahetada! * Tihti esitatakse entümeem kahest lausest koosneva liitlausena, sel juhul on üks eeldus varjatud, seda loetakse vaikimisi tõeks. Kõigepealt tuleb leida, milline väide on järeldus, ehk see, mida entümeemiga tegelikult öelda tahetakse. NB! Ka entümeemi korral paikneb järeldus tunnusõnade ,,sellepärast", "seepärast", "järelikult", "seega" jmt järel või tunnussõnade ,,sest", ,,kuna" jmt ees). Juhul, kui üks väidetest on eitav ja teine jaatav, siis järelduseks saab olla üksnes eitav väide. (Sest vastasel juhul tekib meil üks eitav eeldus ning jaatav järeldus, mis aga on eelduste reeglitega vastuolus .) Märkus: Mõnikord oleme sunnitud sisulistel põhjustel või sundiva sidesõna (sest vms) tõttu lugema järelduseks siiski jaatava väite. Sel juhul peame me entümeemi eitava eelduse muutma jaatavaks kasutades järeldamist muutmise teel. * Kui järeldus on leitud, siis tuleb leida, kas teine lause on suurem või väiksem eeldus. Juhul, kui selles leidub termin, mis esineb järelduslauses subjektina (väiksem termin), on tegemist väiksema eeldusega. Teine samas eelduses paiknev termin peab olema kesktermin. Juhul, kui eelduslauses leidub termin, mis esineb järelduslauses predikaadina (suurem termin), on tegemist suurema eeldusega. Teine samas lauses paiknev termin peab olema kesktermin. * Seejärel on võimalik süllogismi eelduste ja terminite reegleid kasutades konstrueerida varjatud eeldus: meil on teada kesktermin ning vajalik äärmine termin.
· Koostage valem, mille ülemine rida kajastab terminite paiknemist suuremas eelduses, keskmine rida kajastab terminite paiknemist väiksemas eelduses ning viimane rida näitab terminite paiknemist järelduses ja selleks on alati S-P. Määrake kõigi lausete tüübid (A,E,I,O) ning sellest tulenevalt saate määrata terminite mahud. (NB! Termite mahtude reeglid leiate peatükist OTSUSTUS. Need tuleb kindlasti ära õppida, ilma hakkama ei saa! Terminite mahud on otsutuse tüübiga üheselt määratud. Kes aru ei saa, see võib need neli varianti lihtsalt pähe õppida: +a-, +e+, -i- ja ­o+)
· Määrake süllogismi figuur. · Kontrollige süllogismi kehtivust eelduste ja terminite reeglite abil. · Kui mõni reegel pole täidetud, siis entümeemi puhul uurige, kas Teie poolt konstrueeritud kolmanda väite modifitseerimine võiks asja parandada. · Täiendavaks kontrolliks sobivad figuuride reeglid. 15_fl_vi-x
ÜLESANDEID: 7. Analüüsige kategoorilisi süllogisme (figuur, terminite maht, korrektsus)
7.1. Helepunastel lilledel lõhna ei ole. Sel lillel ei ole lõhna. See lill on helepunane.
Viime väited kategooriliste otsustuste kujule (A, E, I, O)
Helepunastel lilledel lõhna ei ole. Ehk: Mitte ühelgi helepunasel lillel ei ole lõhna. Sel lillel ei ole lõhna. See lill on helepunane [lill].
S ­ See lill; P ­ helepunane lill; M ­ lõhn (omadus olla lõhnav). Saame süllogismi panna kirja kujul: P+ e M+ S+ e M+ (üksikotsustus on käsitletav üldotsustusena) S+ a P­
See on teise figuuri süllogism. Vaatleme järgevalt süllogismi eelduste reegleid. Süllogism ei ole kehtiv, sest kahest eitavast eeldusest ei saa tuletada tõsikindlat järeldust.
7.2. Mõned inimlikud toimingud on taunitavad. Valetamine on inimlik toiming. Valetamine on taunitav .
S ­ Valetamine; P ­ taunitav [toiming]; M ­ inimlik toiming. Saame süllogismi panna kirja kujul:
M­ i P­ S+ a M­ (igasugune valetamine ehk kõik valetamine on taunitav) S+ a P­
See on I figuuri süllogism. Vaatleme eeslduste reegleid. Süllogism ei ole kehtiv, sest kui üks eeldus on osaline väide, siis peab ka järeldus olema osaline, siin aga on järeldus üldine väide. Süllogismi ebakorrektsust näitavad ka I figuuri reeglid, mille järgi peab esimene eeldus olema üldine väide.
7.3. Kõik inimesed on surelikud. Ükski koer ei ole inimene. Ükski koer ei ole surelik.
M P S M S P Kõik inimesed on surelikud. Ükski koer ei ole inimene. Ükski koer ei ole surelik.
M+ a P­ S+ e M+ S+ e P+
See on I figuuri süllogism. Kõik eelduste reeglid on täidetud. Vaatleme terminite reegleid. Süllogism ei ole kehtiv, sest esineb suurema termini (P) lubamatu laiendamine. Süllogismi ebakorrektsust näitavad ka I figuuri reeglid, mille järgi peab väiksem (teine) eeldus olema jaatav väide. 16_fl_vi-x
7. 4. Mõned maod ei ole ohtlikud, aga kõik maod on roomajad, sellepärast ei ole mõned ohtlikud loomad roomajad. Kui süllogism on esitatud liitlausena, siis tuleb eraldi välja tuua mõlemad eeldused ja järeldus. Nende järjekord võib olla suvaline. Esiteks tuleb leida järeldus. Pole raske taibata, et järeldus järgneb sõnale "sellepärast". Seega antud juhul on järelduseks väide: Mõned ohtlikud loomad ei ole roomajad. See on osaeitav otsustus S­oP+; kusjuures ohtlikud loomad on S ja roomajad on P. Järgnevalt tuleb leida, kumb eeldus on suurem (esimene) ja kumb on väiksem (teine). Suurem eeldus peab sisaldama suuremat terminit (P), väiksem eeldus väiksemat terminit (S). Väide Mõned maod ei ole ohtlikud [loomad] sisaldab väiksemat terminit ohtlikud loomad. Ülejäänud termin maod peab olema keskmine termin. Väide Kõik maod on roomajad sisaldab suuremat terminit roomajad. Ka selles esineb keskmine termin maod. Kirjutame süllogismi välja klassikalisel kujul:
Kõik maod on roomajad. M+ a P­ Mõned maod ei ole ohtlikud [loomad] M­ o S+ Mõned ohtlikud loomad ei ole roomajad. S­ o P+
See on III figuuri süllogism. Kõik eelduste reeglid on täidetud. Vaatleme terminite reegleid. Süllogism ei ole kehtiv, sest esineb suurema termini (P) lubamatu laiendamine. Süllogismi ebakorrektsust näitavad ka III figuuri reeglid, mille järgi peab väiksem (teine) eeldus olema jaatav väide.
7.5. Lõvid on kiskjad , sest lõvidel on kihvad ja kiskjatel on kihvad. Esiteks tuleb leida järeldus. Pole raske taibata, et järeldus eelneb vahetult sõnale "sest", kuna sellele järgnev ju põhjendab eelnevat. Seega on järelduseks väide: [Kõik] lõvid on kiskjad. See on üldjaatav otsustus S+aP­; kusjuures lõvid on S ja kiskjad on P. Suurem eeldus peab olema otsustus: [kõikidel] kiskjatel on kihvad ja väiksem eeldus on [kõikidel] lõvidel on kihvad. (Kesktermini "kihvad" võib vajadusel lahti kirjutada kujul " kihvu omavad loomad".)
Kiskjatel on kihvad. P+ a M­ Lõvidel on kihvad S+ a M­ Lõvid on kiskjad. S+ a P­
See on II figuuri süllogism. Kõik eelduste reeglid on täidetud. Kuid süllogism ei ole kehtiv, sest keskmine termin (M) peab esinema vähemalt ühes eelduses täies mahus . Süllogismi ebakorrektsust näitavad ka II figuuri reeglid, mille järgi peab üks eeldustest olema eitav väide.
7.6. Mõnedel loomadel on kihvad, sest lõvid on loomad ja lõvidel on kihvad. [Kõikidel] lõvidel on kihvad. M+ a P­ [Kõik] lõvid on loomad. M+ a S­ Mõnedel loomadel on kihvad. S­ i P­
See on III figuuri süllogism. Kõik eelduste ja terminite reeglid on täidetud. Süllogism on kehtiv ja korrektne. (NB! Kahest üldisest väitest tuleneb siin osaline väide, vastasel juhul esineks termini lubamatu laiendamine. Ka III figuuri reeglite järgi saab tuletis olla üksnes osaline väide.) Märkus: Siin peab tegema lisaeelduse, et terminite maht pole null, muidu esineks siin olemasolu import (vt viimane eelduste reegel). 17_fl_vi-x
7.7. Ükski kass ei haugu, sest kassid ei ole koerad ja koerad hauguvad . Kõik koerad hauguvad. M+ a P­ Ükski kass pole koer. S+ e M+ Ükski kass ei haugu. S+ e P+
See on I figuuri süllogism. Kõik eelduste reeglid on täidetud. Kuid süllogism ei ole kehtiv, sest esineb suurema termini (P) lubamatu laiendamine. Süllogismi ebakorrektsust näitavad ka I figuuri reeglid, mille järgi peab väiksem (teine) eeldus olema jaatav väide.
7.8. Mõned araablased ei ole fanaatikud, sest mõned araablased ei ole natsionalistid ja kõik natsionalistid on fanaatikud. Kõik natsionalistid on fanaatikud. M+ a P­ Mõned araablased ei ole natsionalistid. S­ o M+ Mõned araablased ei ole fanaatikud. S­ o P+
See on I figuuri süllogism. Süllogism ei ole kehtiv, sest esineb suurema termini (P) lubamatu laiendamine. Seda on näha ka I fig. reeglitest: väiksem eeldus pole jaatav väide.
LAHENDAGE SÜLLOGISME Kui lühendatud süllogism (entümeem) on esitatud kahe lihtlausega ning midagi täiendavat pole öeldud, siis esimene väide on alati suurem eeldus, teine väide on väiksem eeldus. Lahenduse käigus tuleb leida järeldus ning kontrollida, kas süllogism on kehtiv ja korrektne. Kui järeldust teha ei saa, tuleb näidata, mis on valesti. 7.9. Mõned ravimid on mürgid. Kõik ravimid on tervisele kasulikud. Mõned ravimid on mürgid. M­ i P­ Kõik ravimid on tervisele kasulikud [ained]. M+ a S­ Mõned tervisele kasulikud [ained] on mürgid. S­ i P­
See on III figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Kõik eelduste ja terminite reeglid on täidetud.
7.10. Ühelgi mäletsejal ei ole kihvu. Kõikidel lõvidel on kihvad. [Mitte] ühelgi mäletsejal ei ole kihvu. P+ e M+ Kõikidel lõvidel on kihvad. S+ a M­ Mitte ükski lõvi pole mäletseja [loom]. S+ e P+
See on II figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Kõik eelduste ja terminite reeglid on täidetud.
7.11. Kõik lilled on taimed. Kõik roosid on taimed. Kõik lilled on taimed. P+ a M­ Kõik roosid on taimed. S+ a M­ Kõik roosid on lilled. S+ a P­
See on II figuuri süllogism. Süllogism ei ole kehtiv, sest rikutud on kesktermini reeglit.
7.12. Kindral on sõjaväelane. Poisikesed ei ole kindralid . Kõik kindralid on sõjaväelased. M+ a P­ Mitte ükski poisike ei ole kindral. S+ e M+ Ükski poisike ei ole sõjaväelane. S+ e P+
See on I figuuri süllogism. Süllogism ei ole kehtiv, sest esineb suurema termini lubamatu laiendamine. 18_fl_vi-x
7.13. Ükski laps ei olnud kurb. Kõik lapsed olid põgenikud. Mitte ükski laps ei olnud kurb. M+ e P+ Kõik lapsed olid põgenikud. M+ a S­ Mõni põgenik ei olnud kurb. S­ o P+
See on III figuuri süllogism. Kõik eelduste ja terminite reeglid on täidetud. Süllogism on kehtiv ja korrektne. NB! Eelduste reeglid lubaksid siin tuletada üldise järelduse: Mitte ükski põgenik ei olnud kurb. Kuid terminite reeglid keelavad selle, vastasel juhul esineks väiksema termini lubamatu laiendamine. Kahest üldisest väitest tuleneb siin osaline väide, seda eelduste reeglid ei keela . Ka III figuuri reeglite järgi saab tuletis olla üksnes osaline väide. Märkus: Siin peab tegema lisaeelduse, et terminite maht pole null, muidu esineks siin olemasolu import (vt viimane eelduste reegel).
ANALÜÜSIGE ENTÜMEEME Kui lühendatud süllogism on esitatud kahest lausest koosneva liitlausena, siis üks väide on kindlasti järeldus ning üks eeldus on varjatud, seda loetakse vaikimisi tõeks. Kõigepealt tuleb leida, milline väide on järeldus, ehk see, mida entümeemiga tegelikult öelda tahetakse. Seejärel tuleb kindlaks teha kas teine lause on suurem või väiksem eeldus. Juhul, kui selles leidub termin, mis esineb järelduslauses subjektina (väiksem termin), on tegemist väiksema eeldusega. Teine samas eelduses paiknev termin peab olema kesktermin. Juhul, kui eelduslauses leidub termin, mis esineb järelduslauses predikaadina (suurem termin), on tegemist suurema eeldusega. Teine samas lauses paiknev termin peab olema kesktermin. Seejärel on võimalik süllogismi eelduste ja terminite reegleid kasutades konstrueerida varjatud eeldus, kuna: meil on teada kesktermin ning vajalik äärmine termin.
7.14. Ma olen rikas, sest mul on palju raha.
Järelduseks on (lause esineb ,,sest" ees): Ma olen rikas. See on üldjaatav otsustus S+aP­; kusjuures Mina on S ja rikas on P. Teine väide peab olema väiksem eeldus, kuna selles sisaldub väiksem termin Mina. Keskterminiks on palju raha ­ (palju raha omav isik).
?? (palju raha) (on/ei ole) (rikas) ?P M Mul on palju raha. S+ a M­ Ma olen rikas. S+ a P­
Eelduste reeglitest: Suurem eeldus on üldjaatav. Terminite reeglitest: Kesktermin peab suuremas eelduses esinema subjektina, vastasel korral rikutakse kesktermini reeglit.
Kõik, kel on palju raha on rikkad. M+ a P­ Mul on palju raha. S+ a M­ Ma olen rikas. S+ a P­
See on I figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Varjatud eeldus on: Kõik, kel on palju raha on rikkad. Ja süllogism ei kehti, kui eelduseks oleks: Rikastel on palju raha.
7.15A. Sa oled argpüks, mitte minu poeg. Kui kahest lausest üks on eitav, siis järelduseks peab olema eitav lause: Sa ei ole minu poeg. S+eP+; kusjuures Sina on S ja minu poeg on P. Teine väide peab olema väiksem eeldus, kuna selles sisaldub väiksem termin Sina. Keskterminiks on argpüks. 19_fl_vi-x
?? (minu poeg) (on/ei ole) (argpüks) ?P M Sa oled argpüks. S+ a M­ Sa ei ole minu poeg. S+ e P+
Eelduste reeglitest: Suurem eeldus on üldeitav. Terminite reeglitest: Kesktermini asukoht on vaba.
Ükski minu poeg ei ole argpüks ( ) M+ e P+ Sa oled argpüks. S+ a M­ Sa ei ole minu poeg. S+ e P+
See on I/II figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Varjatud eeldus on: Ükski minu poeg ei ole argpüks või Ükski argpüks pole minu poeg.
7.15A. Sa oled argpüks, sest sa ei ole minu poeg. Nüüd oleme sunnitud võtma järelduseks ,,sest" ees oleva lause: Sa oled argpüks. S+aP­; kusjuures Sina on S ja argpüks on P lause. Eitava eelduslause Sa ei ole minu poeg peame MUUTMA jaatavaks: Sa (S) oled mitte-minupoeg (M). Me saame seda teha, sest suurem eeldus on varjatud ning kesktermini kuju on vaba. Teine väide peab olema väiksem eeldus, kuna selles sisaldub väiksem termin Sina ning keskterminiks on mitte-minupoeg.
?? (mitte-minupoeg) (on/ei ole) (argpüks) ?P M Sa oled mitte-minupoeg. S+ a M­ Sa oled argpüks. S+ a P­
Eelduste reeglitest: Suurem eeldus on üldjaatav. Terminite reeglitest: Kesktermin peab suuremas eelduses olema subjekt.
Kõik mitte-minupojad on argpüksid. M+ a P­ Sa oled mitte-minupoeg. S+ a M­ Sa oled argpüks. S+ a P­
See on I figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Varjatud eeldus on: Kõik mitte-minupojad on argpüksid. Süllogism ei oleks kehtiv, kui varjatud eelduseks oleks lause: Kõik argpüksid on mitte-minupojad.
7.16.Täna buss ei välju, sest täna on esmaspäev. Kui kahest lausest üks on eitav, siis formaalselt peab järelduseks olema eitav lause. Õnneks esineb see siin ka sõna ,,sest" ees: Täna buss ei välju S+eP+;. kusjuures Täna on S ja bussi väljumine on P. See on üksikotsustus, seda käsitleme üldotsustusena. Teine väide peab olema väiksem eeldus, kuna selles sisaldub väiksem termin Täna. Keskterminiks on esmaspäev.
Lisamärkus. Eelduslause aitab meil leida, et väiksem termin on just nimelt täna ilma bussi või väljumiseta , sest see esineb eelduslauses eraldi bussist ja väljumisest. Seega peab suurem termin sisaldama nii bussi kui väljumist.)
?? (esmaspäeviti) (on/ei ole) (bussi väljumine) ?P M Täna on esmaspäev. S+ a M­ Täna buss ei välju. S+ e P+ 20_fl_vi-x
Eelduste reeglitest: Suurem eeldus on üldeitav. Terminite reeglitest: Kesktermini asukoht on vaba.
Esmaspäeviti bussid ei välju. ( ) M+ e P+ Täna on esmaspäev. S+ a M­ Täna buss ei välju. S+ e P+
See on I/II figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Varjatud eeldus on: Esmaspäeviti bussid ei välju või Bussid ei välju esmaspäeviti .
7.17. Mõni ei ole loll , sest mõned oskavad elada. Järelduseks on eitav lause (esineb ka ,,sest" ees): Mõni ei ole loll. KINDLASTI tuleb määrata subjekt: Nt: Mõni inimene ei ole loll. See on osaotsustus S­oP+; kusjuures inimene on S ja loll on P. Teine väide peab olema väiksem eeldus, kuna selles sisaldub varjatult väiksem termin inimene. Keskterminiks on elada oskav [ olend ].
?? (oskab elada) (on/ei ole) (loll) ?P M Mõni inimene oskab elada. S­ i M­ Mõni inimene ei ole loll S­ o P+
Eelduste reeglitest: Suurem eeldus on üldeitav. Terminite reeglitest: Kesktermini asukoht on vaba.
Ükski loll ei oska elada. ( ) P+ e M+ Mõni inimene oskab elada. S­ i M­ Mõni inimene ei ole loll. S­ o P+
See on I/II figuuri kehtiv ja korrektne süllogism. Varjatud eeldus on: Lollid ei oska elada või Ükski elada oskaja pole loll.
7.18. Lambad on rahumeelsed, sest rohusööjad on rahumeelsed. Järeldus on ,,sest" ees: Lambad (S) on rahumeelsed (P). Eeldusväide on suurem eeldus, sest selles esineb suurem termin rahumeelsed (P). Rohusööjad peab olema keskmine termin (M).
Kõik rohusööjad on rahumeelsed M+ a P­ ? (rohusööjad) (on/pole) (lambad) ?M S Kõik lambad on rahumeelsed S+ a P­
Eelduste reeglitest: Väiksem eeldus on üldjaatav. Terminite reeglitest: S peab eelduses olema subjekt. Kõik rohusööjad on rahumeelsed M+ a P­ Kõik lambad on rohusööjad S+ a M­ Kõik lambad on rahumeelsed S+ a P­
Süllogism on kehtiv ja korrektne. Varjatud eeldus: Kõik lambad on rohusööjad. Süllogism ei oleks kehtiv, kui varjatud eelduseks oleks lause: Kõik rohusööjad on lambad. 21_fl_vi-x
7.18. Moodusta süllogism järgnevatest terminitest:
Neljajalgne, putukas , loom. Siin läheb tarvis süllogismi figuuride reegleid. Edaspidi arvestame fakti, et kõik putukad on kuuejalgsed loomad.
I figuur: Suurem eeldus peab olema üldine ning väiksem eeldus peab olema jaatav väide. Mitte ükski neljajalgne ei ole putukas. M+ e P+ Mõned loomad on neljajalgsed. S­ i M­ Mõned loomad ei ole putukad. S­ o P+
II figuur: Suurem eeldus peab olema üldine ning üks eeldustest peab olema eitav väide. Mitte ükski neljajalgne ei ole putukas. P+ e M+ Mõned loomad on putukad. S­ i M­ Mõned loomad ei ole neljajalgsed. S­ o P+
III figuur: Väiksem eeldus peab olema jaatav ning tuletis osaline väide. Mitte ükski putukas ei ole neljajalgne. M+ e P+ Kõik putukad on loomad. M+ a S­ Mõned loomad ei ole neljajalgsed. S­ o P+
KUI ÜLESANDEKS ON ANALÜÜSIDA SÜLLOGISMI, siis Tingiv-kategoorilise süllogismi korral: (nõuandeid järgmise loengu ülesannete jaoks) · Tähistage süllogismis esinevad lihtlaused. Eksimisi tuleb palju vähem ette, kui Te tähistate positiivse lause. Nt tingiv väide on kujul: Kui metsa ei raiuta, siis laastud ei lenda. Soovitatav on tähistada: M - Metsa raiutakse; L ­ Laastud lendavad. Ja tingiv väide ise on siis valemis kujul ¬M ¬L. Antud juhul on ¬M suuremas eelduses aluseks ning ¬L tagajärjeks.
· Tehke kindlaks, kas kategooriline väide (teine ehk väiksem eeldus) võimaldab süllogismi koostamist. Tingiv-kategoorilise süllogismiga on tegemist siis, kui väiksem eeldus jaatab või eitab ühte kahest: kas lauset, mis on suuremas eelduses aluseks või lauset, mis on suuremas eelduses tagajärjeks.
· Ülesande viimiseks süllogismi kujule tuleb mõnikord teha täiendavaid eeldusi, nt eeldada, et Malle on inimene (kui suuremas eelduses räägitakse inimesest ja väiksemas Mallest) või et Mersu on auto (kui suuremas eelduses räägitakse autost ja väiksemas Mersust) või seda, et kinoskäimine on millegi tegemine (kui suuremas eelduses räägitakse millegi tegemisest ja väiksemas kinoskäimisest).
· Tehke selgeks, millega neljast võimalikust variandist on tegemist. Kahel juhul süllogism töötab: siis kui esineb aluse jaatus ( modus ponens) või tagajärje eitus (modus tollens). Kahel juhul süllogism ei tööta: siis kui esineb tagajärje jaatus või aluse eitus. NB! Eitava lause jaatus on seesama eitav lause ning eitava lause eitus on jaatav lause!
· Kui süllogism ei tööta, siis midagi järeldada ei saa. Kui süllogism töötab, siis peab täiendava eelduse korral teostama arutelu üldiselt üksikule või osalisele. 22_fl_vi-x
L8 SÜLLOGISMID LIITVÄIDETEGA
Igasugune väide kujul Kui p, siis q kannab nimetust konditsionaal (ik conditional ). Esimene väide on alus ehk antetsedent (ld. antecedens, ik antecedent) teine on tagajärg ehk konsekvent (ld consequens ik consequent). Lausearvutuse defineerisime implikatsiooni Kui p, siis q, valemina p q binaarse tehtena, mis annab tõese lause alati, välja arvatud juhtum, kui esimene osalause (p) on tõene ning teine (q) väär. Sellist implikatsiooni nimetatakse ka materiaalseks implikatsiooniks (ik material implication ). Materiaalne implikatsioon on konditsionaali kõige väiksema tugevusega (nõudlikkusega) vorm. Väljaspool lausearvutust on kasutusel väga erinevaid konditsionaale: nt selline, mis nõuan aluse ja tagajärje vahel põhjuslikku seost. Klassikalises loogikas on kasutusel formaalne implikatsioon (ik logical implication), milles antentsedent implitseerib konsekvendi, kui leidub tõestus, mis lähtub alusest kui eeldusest ning jõuab välja tagajärjeni kui järelduseni. Ka sel juhul on väga erinevaid lähenemis- ja tõlgendusvõimalusi (ja ka terminoloogiat), nt on probleemiks, kas asjad lihtsalt ongi nii või leidub kõnealusel suhtel mingi täiendav alus. Järgnevalt lähtume pigem formaalsest implikatsioonist, ning ütleme, et väide kujul: Kui p, siis q on tingimuslik väide, ehk tingiv väide, ehk hüpoteetiline väide (ik hypotetical proposition ), mis on tõsi siis, kui aluse tõesus on mingil viisil tagajärje tõestuse eeltingimuseks. Tingivas väites eeldatakse, et osalaused on omavahel ka sisuliselt seotud. (Siis võib aluse kohta öelda: eeldus ning tagajärje kohta: järeldus.) Kuidas nad just seotud on, see sõltub kasutaja maailmapildist, kontekstist jne. (Nt: Mõeldud ­ tehtud = Kui on mõeldud, siis on tehtud.) Tingiva väite puhul eeldatakse tavaliselt, et alus ongi tõsi, järelikult on tõsi ka tagajärg. Seda võib isegi tõlgendada nii, et ütleja jätab vaatluse alt välja maailmad , kus asjaolud on teistmoodi. Tavakeeles kasutatakse siiski teadlikult ka olukordi , kus alus on väär. Nt: Kui põrsal oleks küüned, siis roniks ta puu otsa. Ema ütleb rüblikule: Kui sa hoiad särgi puhtana, siis saad sa kommi. Ta ei kavatsegi kommi anda, teades, et sellist vajadust ei tekigi. Selliste lausete analüüsiga tegelevad tänapäevased loogikad, klassikalise loogika alla need ei mahu. (Probleemi võite lähemalt uurida, kasutades otsinguks märksõna ,,counterfactual conditional", nt käsitletakse sealjuures olukordi, kus väär alus võib olla tõsi mingites võimalikes maailmades)
Tingiv süllogism ehk hüpoteetiline süllogism (ik hypothetical syllogism) on süllogism, mille suurem eeldus on kindlasti tingiv väide ning väiksem eeldus võib olla tingiv väide. Püsimaks kooskõlas põhiõpikuga, kasutame enamasti terminit tingiv väide ning süllogismi kohta ütleme hüpoteetiline süllogism edasipidi siis, kui mõlemad eeldused on tingivad väited (ik on see: pure hypothetical syllogism).
Järgnevalt vajame veel kahte sümbolit: ­ loogiline järeldumine, nt: p ­ eeldustest järeldub loogiliselt p; ­ eeldustest saab tuletada, nt: p ­ eeldustest saab tuletada p. Lausearvutuses me juba kasutasime esimest sümbolit, konditsionaalide puhul on arukas kasutada teist. 23_fl_vi-x
TINGIV-KATEGOORILINE süllogism ehk hüpoteetilis-kategooriline süllogism (ik mixed hypothetical syllogism) on süllogism, mille suurem eeldus on tingiv ning väiksem eeldus on kategooriline väide. Tingiv-kategoorilisel süllogismil on ainult kaks korrektset moodust, mis kindlustavad tõese järelduse juhul, kui eeldused on tõesed. Need on: jaatav moodus (ld=ik modus ponens) ja eitav moodus (ld=ik modus tollens).
1) Modus ponens: aluse jaatus viib tagajärje jaatusele. Kehtiv moodus.
pq Kui vihma sajab, siis on tänav märg. p Vihma sajab. q J: Tänav on märg.
p , q tähistavad väiteid, p on alus, q on tagajärg. Seda loetakse: Kui p, siis q. On p. Järelikult, on q. Järeldus tuleneb eeldusest PARATAMATULT. Valemina: (p q) & p q .
p ja q võivad olla nii negatiivsed kui positiivsed väited. Tähistame positiivsed väited: A, B. (Nt. A: isend on noor; B: isend on terve.) Saame neli toimivat valemit: (A B) & A B (On noorus, on tervis. On noorus. J: on tervis.) (¬A B) & ¬A B (Pole noorust , on tervis. Pole noorust. J:on tervis.) (A ¬B) & A ¬B (On noorus, pole tervist. On noorus. J:pole tervist) (¬A ¬B) & ¬A ¬B (Pole noorust, pole tervis. Pole noorust. J: pole tervist.)
2) Modus tollens: tagajärje eitus viib aluse eitusele. Kehtiv moodus.
pq Kui vihma sajab, siis on tänav märg. ¬q Tänav ei ole märg. ¬p, J: Vihma ei saja.
p on endiselt alus, q on tagajärg. Seda loetakse: Kui p, siis q. On mitte-q. Järelikult, on mitte-p. Järeldus tuleneb eeldusest PARATAMATULT. (p q) & ¬q ¬p . p ja q võivad olla nii negatiivsed kui positiivsed väited. Tähistame positiivsed väited: A, B. (Nt. A: isend on noor; B: isend on terve.) Saame neli toimivat valemit: (A B) & ¬B ¬A (On noorus, on tervis. Pole tervist. J: pole noorust) (¬A B) & ¬B A (Pole noorust, on tervis. Pole tervist. J:on noorus.) (A ¬B) & B ¬A (On noorus, pole tervist. On tervis. J:pole noorust) (¬A ¬B) & B A (Pole noorust, pole tervis. On tervis. J:on noorus.)
3) Tagajärje jaatus on mittekehtiv moodus (ik fallacy of affirming the consequent): Ei saa tõsikindlalt järeldada tagajärje jaatamisest aluse jaatamist. Arutluse tõesed eeldused ei garanteeri sel juhul tõsikindlat järeldust. Kui p, siis q. On q. Järelikult ??? (kes teab ...). q võib ilmneda ka mingil muu alusega. Nt: Kui vihma sajab, siis on tänav märg. Tänav on märg. J:? Vo sadaski vihma, aga vo sõitis nt kastmisauto. p ja q võivad olla nii negatiivsed kui positiivsed väited. Tähistame positiivsed väited: A, B. Saame neli mittetoimivat valemit: (A B) & B ? (¬A B) & B ? (A ¬B) & ¬B ? (¬A ¬B) & ¬B ? 24_fl_vi-x
4) Aluse eitus on mittekehtiv moodus (ik fallacy of denying the antecedent): Ei saa tõsikindlalt järeldada tagajärje eitamist aluse eitamisest. Arutluse tõesed eeldused ei garanteeri tõsikindlat järeldust. Kui p, siis q. On mitte-p. ??? (kes teab ...). Mitte-p võib anda hoopis teise tagajärje. Nt: Kui vihma sajab, siis on tänav märg. Vihma ei saja. J:? Vo ongi tänav kuiv, aga vo sõitis nt kastmisauto. p ja q võivad olla nii negatiivsed kui positiivsed väited. Tähistame positiivsed väited: A, B. Saame neli mittetoimivat valemit:
(A B) & ¬A ? (¬A B) & A ? (A ¬B) & ¬A ? (¬A ¬B) & A ?
Näide: tähistame: O - tudeng õpib; E - tudeng saab eksamil läbi
· Kui tudeng ei õpi, siis ei saa ta eksamil läbi. ¬O ¬E Tudeng õpib. O(= ¬¬O) ? (aluse eitus) ? (¬O ¬E) & ¬(¬O) ? (ae)
· Kui tudeng ei õpi, siis ei saa ta eksamil läbi. ¬O ¬E Tudeng ei õpi. ¬O _ _ _ J: Tudeng ei saa eksamilt läbi. (MP) ¬E (¬O ¬E) & ¬O ¬E (MP)
· Kui tudeng ei õpi, siis ei saa ta eksamil läbi. ¬O ¬E Tudeng ei saanud eksamilt läbi. ¬E _ _ _ ? (tagajärje jaatus) ? (¬O ¬E) & ¬E ? (tj)
· Kui tudeng ei õpi, siis ei saa ta eksamil läbi. ¬O ¬E Tudeng sai eksamil läbi. E(= ¬¬E) J: Tudeng õppis. (MT) O(= ¬¬O) (¬O ¬E) & ¬(¬E) ¬(¬O) (MT)
ÜLESANDEID:
8.1. Kui on suured külmad (K), siis vili hävib (V). K V Vili on hävinud. V _ ? (tj) ? (K V) & V ? (tj)
8.2. Kui vesi on soojenenud (V), siis ta aurab (A). V A Vesi on soojenenud. V __ J: Vesi aurab. (MP) A (V A) & V A (MP)
8.3. Kui kaebealune on süütu (S), siis mõistetakse ta õigeks (O). S O Kaebealust ei mõistetud õigeks. ¬O _ _ J: Kaebealune pole süütu (= k.alune on süüdi). ¬S 25_fl_vi-x
(S O) & ¬O ¬S (MT) 8.4. Kui kasta lilli, siis nad ei närtsi. Teie lilled on närtsinud. See pole süllogism, sest Teie lilled pole sama mis lilled. Tähistame: L ­ lilli kastetakse: N ­ lilled närtsivad.
A) Üldistame teist eeldust: Lilled on närtsinud. Kui kasta lilli, siis nad ei närtsi. L ¬N Lilled on närtsinud N(= ¬¬N) J: Lilli pole kastetud. (MT) ¬L (L ¬N) & ¬(¬N) ¬L (MT) Süllogism töötab kõikide lillede korral, järelikult ka "Teie lillede" korral. Seega Teie lilli pole kastetud.
B) Kui kõiki lilli kastetakse, siis kastetakse ka Teie lilli. Täh: LT ­ Teie lilli kastetakse: NT ­ Teie lilled närtsivad. Kui kasta Teie lilli, siis nad ei närtsi. LT ¬NT Teie lilled on närtsinud NT . J: Teie lilli pole kastetud. (MT) ¬LT (LT ¬NT) & ¬(¬NT) ¬LT (MT)
8.5. Kui keegi on pime, siis ei leia ta midagi üles. Ma ei leia oma prille . See pole süllogism. (v1.) Üldistame eeldusi ja tähistame: K ­ keegi on pime; M ­ keegi leiab midagi üles. Kui keegi on pime, siis ei leia ta midagi üles. K ¬M Keegi ei leia midagi üles. ¬M___ ? (tj) ? (K ¬M) & ¬M ? (tj) Süllogism ei tööta üldisel juhul, järelikult ka mitte üksikjuhtudel. Seega ei saa väita, et olen pime. (v2.) Keegi üksikjuhtumil olen mina. Miski võib üksikjuhul olla minu prillid . Täh: Km ­ mina olen pime; Mp ­ ma leian oma prilid. Kui ma olen pime, siis ei leia ma prille. Km ¬Mp Ma ei leia oma prille. ¬Mp_____ ? (tj) ? (Km ¬Mp) & ¬Mp ? (tj)
8.6. Analüüsida arutlusi: (7nj= seitse nädalat järjest) 8.6.1. Kui seitsmevennapäeval sajab ( S7vp ), siis sajab 7nj. Tänavu seitsmevennapäeval sadas. Tõenäoliselt sajab seitse nädalat järjest ( S7nj ). Kahest eeldusest saame koostada süllogismi: (S7vp S7nj) & S7vp S7nj (MP) Kui eeldustest järeldub, et kindlasti sajab 7nj siis on tõsi ka nõrgem väide, et tõenäoliselt sajab.
8.6.2. Kui seitsmevennapäeval sajab, siis sajab 7nj. Seitsmevennapäeval ei sadanud. On oodata kuiva ilma seitse nädalat järjest. (S7vp S7nj) & ¬S7vp ? (ae) Ei saa järeldada, et ei saja 7nj, ammugi siis tugevamat väidet, et üldse ei saja 7 nädala jooksul. 26_fl_vi-x
8.6.3. Kui seitsmevennapäeval sajab, siis sajab 7nj. Tänavu sadas seitse nädalat järjest. Seitsmevennapäeval sadas. (S7vp S7nj) & S7nj ? (tj) Tagajärje jaatus ei anna tõsikindlat järeldust. Arutlus võib põhineda hoopis teistsugusel varjatud eeldusel : Kui sajab 7nj, siis sajab seitsmevennapäeval.
8.6.4. Kui seitsmevennapäeval sajab, siis sajab 7nj. Seitse nädalat on järjest kuiva ilma. Seitsmevennapäeval ei sadanud. (S7vp S7nj) & ¬ S7njp ¬S7 vp (MT) Kui kuiva ilma oli 7nj, siis kindlasti ei sadanud 7nj. Kui kontekstiga on kõik korras (nt mitte- sadamise periood) siis võib küll nii järeldada.
HÜPOTEETILINE süllogism: AB Kui Gaaga on hani , siis on ta lind. BC Kui Gaaga on lind, siis ta muneb. AC Kui Gaaga on hani, siis ta muneb. (A B) & (B C) A C Hüpoteetilise süllogismi järelduseks on tingiv lause.
ÜLESANDEID 8.7. Kui Erichil on sõbratar (S) ja tema naine on sellest teadlik (N), siis on Erichil perekonnas probleeme (P). Kui Erichil on kodus probleeme, siis ta joob (J). (S & N P) & (P J) (S & N J) Järelikult: Kui Erichil on sõbratar ja tema naine on sellest teadlik, siis Erich joob.
8.8. Rooma ajaloost: Riik valmis ­ sõda läbi. Sõda läbi ­ orjad otsas. Orjad otsas ­ riik otsas. Tähistame: Rv ­ riik on valmis; S ­ sõjad on otsas; O ­ orjad on otsas; Ro ­ riik on otsas (riik hävib). (1.) Rv S (1.)&(2.) Rv O (2.) S O (3.) O Ro Rv O Rv Ro Või siis nii: (1.) Rv S (2.) S O (3.) O Ro Rv Ro (Rv S) & (S O) & (O Ro) (Rv Ro) J: Riik valmis ­ riik otsas.
8.9. Kui Pegasus on valge, siis on tal värvus. (1.) Kui Pegasusel on värvus, siis on ta nähtav. (2.) Kui ta on nähtav, siis on ta ka olemas. (3.) Pegasust ei ole olemas. (4.) Täh: P ­ Pegasus on olemas; N ­ Pegasus on nähtav; C ­ Pegasusel on värvus; W ­ Pegasus on valge. 5. (3.)&(4.) (N P) & ¬P ¬N (MT) 6. (2.)&(5.) (C N) & ¬N ¬C (MT) 7. (1.)&(6.) (W C) & ¬C ¬W (MT) 8. ¬W (või ka) ¬P ¬W Järeldus: Pegasus ei ole valge. Või ka: Kui Pegasust pole olemas, siis ei ole ta valge. 27_fl_vi-x
LIIGITAVAKS (disjunktiivseks) nimetatakse süllogismi, kus üks või mõlemad eeldused on liigitavad, alternatiivi väljendavad väited (ik disjunctive syllogism). Tavaliselt on jutt liigitav- kategoorilisest süllogismist. Liigitav-kategoorilisel süllogismil on kaks kehtivat moodust: modus ponendo tollens (jaatav-eitav moodus) ja modus tollendo ponens (eitav-jaatav moodus).
1. Modus ponendo tollens: üks eeldus on liigitav väide, teine - kategooriline. Võimalikud on kaks varianti: pvq Ma sõidan Rooma kas laeva lõi lennukiga. p Ma sõidan Rooma laevaga . ¬q Järelikult ei sõida ma Rooma lennukiga. pvq Ma sõidan Rooma kas laeva lõi lennukiga. q Ma sõidan Rooma lennukiga. ¬p Järelikult ei sõida ma Rooma laevaga.
2. Modus tollendo ponens'i struktuuri väiksemas eelduses eitatakse kõiki alternatiive peale ühe, mida järelduses jaatatakse. Esineb kaks varianti: pvq Ma sõidan Rooma kas laeva lõi lennukiga. ¬q Ma ei sõida Rooma lennukiga. p Järelikult sõidan ma Rooma laevaga.
p v q, Ma sõidan Rooma kas laeva lõi lennukiga. ¬p Ma ei sõida Rooma laevaga. q Järelikult sõidan ma Rooma lennukiga.
Disjunktiivne süllogism on tõene ainult siis, kui suures eelduses on esitatud kõik võimalikud alternatiivid ja eeldused on tõesed.
ÜLESANDEID 8.10. Iga ravim on kas kasulik, kahjulik või neutraalne. See ravim on kasulik. Saamaks süllogismi, peame arvestama, et see mis kehtib iga ravimi kohta, peab kehtima ka selle ravimi kohta. Tähistame: K - see ravim on kasulik; A - see ravim on kahjulik; N - see ravim on neutraalne. (K v A v N) & K ¬A & ¬N (modus ponendo tollens) Järelikult: See ravim pole ei kahjulik ega neutraalne. (K v A v N) K______ ¬A & ¬N
8.11. Selgroogsed on kas imetajad, linnud, roomajad või kalad . See selgroogne ei ole imetaja , lind ega kala. Saamaks süllogismi, peame arvestama, et see mis kehtib kõikide selgroogsete kohta, peab kehtima ka selle selgroogse kohta. Tähistame: I - see selgroogne on imetaja; L - see selgroogne on lind; R - see selgroogne on roomaja; K ­ see selgroogne on kala. (I v L v R v K)&(¬I&¬L&¬K) R (modus tollendo ponens) Järelikult on see selgroogne roomaja. IvLvRvK ¬I & ¬L & ¬K R 28_fl_vi-x
8.12. Jooned on kas sirged , kõverad või murtud . Tasapinnalise kolmnurga külg ei ole kõver. Saamaks süllogismi, peame eeldama, et tasapinnalise kolmnurga külg on joon. See mis kehtib kõikide joonte kohta, peab kehtima ka selle joone ­ tasapinnalise kolmnurga külje kohta. Tähistame: S ­ joon on sirge; K- joon on kõver; M- joon on murtud. (S v K v M) & (¬K) S v M (MTP) Järeldus: Tasapinnalise kolmnurga külg on kas sirge või murtud.
8.13. Politsei kaitseb korda või inimest. Politsei kaitseb korda. Süllogism ei tööta, sest esimese eelduses pole tegemist alternatiividega.
TINGIV - LIIGITAV (lemmaline) süllogism. Lemmaliseks nimetatakse süllogismi, kus suurem eeldus koosneb kahest või enamast tingivast väitest, väiksem eeldus on disjunktiivne väide, mis väljendab alternatiivi. Kui väiksem eeldus koosneb kahest alternatiivist, nimetatakse süllogismi dilemmaks, kui kolmest alternatiivist, siis trilemmaks, kui neljast alternatiivist, siis tetralemmaks jne. Lemmalise järelduse tõesus oleneb sellest, kas tingivad väited suuremas eelduses on tõesed ja kas kõik liigituse liikmed väiksemas eelduses on ammendavalt esitatud.
Konstruktiivne dilemma
Lihtne (ik simple ) modus ponens (jaatav moodus): (p q) & (t q), Kui hüppan alla aknast , saan surma, ja kui rõdult, saan surma. p xor t Ma pean hüppama alla kas aknast või rõdult. q Järelikult: Ma saan surma. [(p q) & (t q)] & (p v t) q (LMP)
Keeruline (ik complex ) modus ponens: ( p q ) & ( t d), Kui lähen üle tee, jään auto alla, ja kui üle raudtee , jään rongi alla. ( p xor t) Ma pean minema kas üle tee või üle raudtee. qvd Ma jään kas auto või rongi alla. [(p q) & (t d)] & (p v t) q v d (KMP)
Destruktiivne dilemma
Lihtne modus tollens (eitav moodus): ( p q ) & ( p d), Kui hüppan alla, murran jala, ja kui hüppan alla murran käe. ¬q xor ¬d Ma kas ei murdnud kätt või ei murdnud jalga. ¬p Ma ei hüpanud alla. (p q) & (p d) & (¬q v ¬d) ¬p (LMT)
Keeruline modus tollens: ( p q ) & ( t m), Kui lähen üle tee, jään auto alla, ja kui üle raudtee, jään rongi alla. ¬q xor ¬m Ma kas ei jäänud auto või ei jäänud rongi alla. ¬p v ¬t Ma kas ei läinud ei üle tee või ei läinud üle raudtee. (p q) & (t m) & (¬q v ¬m) ¬p v ¬t (KMT) 29_fl_vi-x
ÜLESANDEID 8.14. Kui roimarid on vaimuhaiged, siis tuleb nad isoleerida . Kui roimarid on vaimselt terved , siis tuleb neid karistada . Kuid roimarid on kas vaimuhaiged või vaimselt terved inimesed. See on dilemma. Tähistame: V ­ roimarid on vaimuhaiged; I ­ roimarid tuleb isoleerida; T ­ roimarid on vaimselt terved; R ­ roimareid tuleb karistada. [(V I) & (T K)] & (V v T ) I v K (KMP) J: Roimareid tuleb kas isoleerida või karistada.
8.15. Kui ta oleks tark (T), siis ta näeks oma viga (N), ja kui ta oleks avameelne (A), siis ta tunnistaks seda (U). Kuid ta kas ei näe oma viga või ei tunnista seda. [(T N) & (A U)] & (¬N v ¬U) ¬T v ¬A (KMT) Järelikult: Ta kas pole tark või pole ta avameelne.
8.16. Kui ta turismireisile sõidab (T), siis peab ta maksma sõidu eest (S), ja hotellis ööbimise eest (H). Kuid ta ei saa maksta kas ühe või teise eest. See on dilemma: [(T S) & (T H)] & (¬S v ¬H) ¬T Järelikult ei saa ta turismireisile sõita.
8.17. Kui ta turismireisile sõidab (T), siis peab ta maksma sõidu eest (S), ja hotellis ööbimise eest (H). Kuid ta ei saa maksta ei ühe ega teise eest. See pole dilemma, vaid modus tollens: (T S & H) & ¬(S & H) ¬T Järelikult ei saa ta turismireisile sõita. ¬(S & H) = ¬S v ¬H :­ pole tõsi, et ta saab maksta hotelli eest või sõidu eest või mõlema eest. Variant: [(T S) & (T H)] & ¬S & ¬H) ¬T
8.18. Kui sel talumehel oleks olnud vikat (V), siis ta oleks rukki niitnud (N), ja kui tal oleks olnud sirp (S), siis ta oleks lõiganud selle (L). Kuid ta kas ei ole rukist ei niitnud või ei ole lõiganud. Dilemma: [(V N) & (S L)] & (¬N v ¬L) ¬V v ¬S
8.19. Kui sel talumehel oleks olnud vikat (V), siis ta oleks rukki niitnud (N), ja kui tal oleks olnud sirp (S), siis ta oleks lõiganud selle (L). Kuid ta ei ole rukist ei niitnud ega lõiganud. MT: [(V N) & (S L)] & (¬N & ¬L) ¬V & ¬S
8.20. Kui sel talumehel oleks olnud vikat (V), siis ta oleks rukki koristanud (K), ja kui tal oleks olnud sirp (S), siis ta oleks rukki koristanud. Kuid ta rukis on koristamata. MT: [(V K) & (S K)] & ¬K ¬V & ¬S
8.21. Kui organismis ületab kulu tulu, siis organismi kaal väheneb. Kui tulu ületab kulu, siis ta kaal suureneb. Kuid organismi kaal ei vähene ega suurene. Tähistame: Kst ­ organismi kulu on suurem kui tulu; Tsk ­ organismi tulu on suurem kui kulu; Ms ­ organismi kaal suureneb; Mv ­ organismi kaal väheneb. See on modus tollens: (Kst Mv) & (Tsk Ms)] & (¬Mv & ¬Ms) ¬Kst & ¬Tsk Järelikult organismi tulud ei ületa kulusid ja kulud ei ületa tulusid. Konteksti tundes saame järeldada, et organismi kulud on tasakaalus: (Tulu Kulu) & (Kulu Tulu) Tulu = Kulu 30_fl_vi-x
8.22. Kui Caesar oleks olnud ebausklik, siis ta oleks Calpurnia palveile senatisse mitte minna järele andnud. Kui ta olnuks ettevaatlik, oleks ta eemaldanud Brutuse. Caesar ei andnud järele Calpurnia palveile ega eemaldanud Brutust.
Tähistame: Eb ­ Caesar oli ebausklik; J ­ Caesar andis järele Calpurnia palvele senatisse mitte minna; Et ­ Caesar oli ettevaatlik; B ­ Caesar eemaldas Brutuse. See on MT:
[(Eb J) & (Et B)] & (¬J & ¬B) ¬Eb & ¬Et
Järeldus: Caesar ei olnud ei ebausklik ega ka mitte ettevaatlik.
8.23. Rooma keiser Titus lausus: "Kes minust kõneleb halba, tol on kas õigus või mitte. Kui tal on õigus, siis ei saa teda karistada; kui tal pole õigus, siis tuleb teda haletseda ja ka mitte karistada." Tähistame: Th ­ isik kõneleb Titusest halba; O ­ isikul on õigus; K ­ isikut karistatakse; H ­ isikut haletsetakse.
(1) Th O v ¬O (2) Konstruktiivne dilemma: [(O ¬K) & (¬O H&¬K)] & (O v ¬O) ¬K v (H & ¬K)
(1),(2) Th ¬K v H & ¬K
Järeldus: Kui keegi kõneleb keiser Titusest halba, siis tuleb teda kas mitte karistada või haletseda ja mitte karistada.
8.24. Professor , kes otsis oma prille, arutles järgmisel viisil: "Kontrollime versiooni - kas varas võis mu prille varastada. Kui varas pole lühinägelik, siis ta ei vaja prille, järelikult pole ta neid ka varastanud. Kui varas on lühinägelik, siis ta kas kannab prille või ei kanna neid: kui ta neid kannab, siis tal pole neid vaja varastada; ei kanna ta aga prille, siis ta - kui lühinägija - ei näinud minu prille ega saanud neid ka varastada. Järelikult..."
Tähistame: R ­ varas varastas professori prillid; V ­ varas vajas prille; N ­ varas nägi prille; Ly ­ varas on lühinägelik; Kp ­ varas kannab prille. (Varjatud eelduse joonime alla.)
(1e) (¬Ly ¬V) & (¬V ¬R) (¬Ly ¬R ) (HS) (2e) (Kp ¬V) & (¬V ¬R) (Kp ¬R ) (HS) (3e) Ly & [(¬Kp ¬N) & (¬N ¬R)] Ly & (¬Kp ¬R ) (HS) (4e) Ly (Kp v ¬Kp) (5, vt 2 ja 3) [(Kp ¬R) & (¬Kp ¬R)] & (Kp v ¬Kp) ¬R (LMP) (6, vt 4 ja 5) Ly ¬R (7, vt 1 ja 6) [(¬Ly ¬R ) & (Ly ¬R)] & (¬Ly v Ly) = ¬R
J: Prille ei saanud varastada varas. 31_fl_vi-x
(L8a) LOOMULIK TULETUSSÜSTEEM (ik system of natural deduction)
Sümboleid: ­ eeldustest saab tuletada, samasus (loogiline samaväärsus); ¬ ­ eitus; & ­ konjunktsioon ; V ­ disjunktsioon ; ­ implikatsioon; ­ ekvivalents ;
Tuletussüsteem koosneb tuletusreeglitest ja teisendusreeglitest. Tuletusreeglid näitavad mida saab mingist väitest (oletusest) või väidetest tuletada. Nende reeglite endi põhjendamine osutub aga tõsiseks filosoofiliseks probleemiks. Nagu loogikaid nii on ka tuletussüsteeme mitmesuguseid, nt predikaatarvutuse tuletussüsteem. Järgnevalt käsitleme nö loomulikku tuletussüsteemi võttes aluseks Copi ja Coheni raamatu, mis pole mõeldud matemaatikutele. Esitatud süsteem on täielik ja kasutab lausearvutust. Muidugi on võimalik tuletada lisavalemeid, kuid olemasolevatest piisab lahenduva tõeväärtusülesande lahendamiseks. Tuletusreeglite abil saame teha loogilisi järeldusi märksa kiiremini kui näiteks tõeväärtustabeleid kasutades. Loomulikus tuletussüsteemis on 9 tuletusreeglit ja 10 teisendusreeglit, kokku seega 19 reeglit, enamus on meile juba tuttavad.
TULETUSREEGLID:
1. Modus ponens (MP) p q, p, q 2. Modus tollens (MT) p q, ¬q, ¬p 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p q, q, r, p r 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p q, ¬p, q; p q, ¬q, p 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p q) & (r s), p r q s 6. Absorptsioon (Abs) p q, p (p & q) 7. Lihtsustusreegel ( Simp ) p & q, p; p & q, q 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q, p & q 9. Lisamisreegel (Add) p, p q
ASENDUSREEGLID (teisendusreeglid)
10. De Morgani teoreem (DeM) ¬(p & q) ¬p ¬q; ¬(p q) ¬p & ¬q 11. Kommutatiivsus (Com) (p q) (q p); (p & q) (q & p) 12. Assotsiatiivsus (Assoc) [p (q r)] [(p q) r]; [p & (q & r)] [(p & q) & r] 13. Distributiivsus (Dist) [p & (q r)] [(p & q) (q & r)]; [p (q & r)] [(p q) & (p r)] 14. Kahekordne eitus (DN) p ¬¬p 15. Transpostsioon (Trans) p q ¬q ¬p 16. Materiaalne implikatsioon (Impl) p q ¬p q 17. Materiaalne ekvivalents (Equiv) p q [(p q) & (q p)]; p q [(p & q) (¬p & ¬q)] 18. Väljaviimisreegel (Exp) [(p & q) r] [p (q r)] 19. Tautoloogia (Taut) p p p; pp&p 32_fl_vi-x
NÄIDE 1: Kui Anul on hea tuju, siis Peeter on õnnelik. Kui Peeter on õnnelik, siis Anu ja Peeter vaatavad filmi või joovad teed. Aga Anul on hea tuju, kuid Anu ja Peeter ei vaata filmi. Mida teevad Anu ja Peeter?
1. Kui Anul on hea tuju, siis Peeter on õnnelik. 2. Kui Peeter on õnnelik, siis Anu ja Peeter vaatavad filmi või joovad teed. 3. Anul on hea tuju, kuid Anu ja Peeter ei vaata filmi. J: Anu ja Peeter joovad koos teed.
1. A P 2. P (F T) 3. A & ¬F £T
See kehtib, sest: 4. A (3. põhjal; Simp) Anul on hea tuju. 5. P (1. ja 3. põhjal; MP) Peeter on õnnelik. 6. F V T (2,5; MP) Anu ja Peeter vt. filmi või joovad teed 7. ¬F (3; Simp) Anu ja Peeter ei vaata filmi. 8. T (6,7; DS) Anu ja Peeter joovad koos teed.
NÄIDE 2: Politsei andmetel oli maffiaperekonnas tavaks, et "katusepappi" käisid sisse kasseerimas neli inimest Sam, Mike , Peter ja Andy . Lisaks oli teada, et kui aktsioonis käis Sam, oli temaga kaasas ka Peter, ja kui Sam ei käinud, käis Mike, ja kui käis Andy, siis ei käinud Peter. Kas Mike tuleb täna aktsioonile, kui Andy on juba välja sõitnud?
(1) Kui aktsioonis käis Sam, käis ka Peter. S P (eeldus) (2) Kui Sam ei käinud, käis Mike. ¬S M (eeldus) (3) Kui käis Andy, siis ei käinud Peter. A ¬P (eeeldus) (4) Andy on juba välja sõitnud. A (eeldus)
(5) Peeter ei sõida täna aktsioonile. A ¬P; A (3; MP) ¬P
(6) Sam ei sõida täna aktsioonile. S P; ¬P (5,1; MT) ¬S
Mike sõidab aktsioonile. £ ¬S M ; ¬S (6,2; MP) M 33_fl_vi-x
NÄIDE 3: Kui seif oli avatud, siis tegi seda Smith kasutades Browni või Robinsoni abi. Mitte keegi neist kolmest ei saa olla asjasse segatud kui ta osales koosolekul. Kuid on teada, et kas Smith või Brown osales koosolekul. Seif oli avatud. Kes aitas seda teha?
(1) Kui seif oli avatud, siis pidi seda tegema Smith, Browni või Robinsoni abiga. (1) F S & (B R) (eeldus)
(2) Mitte keegi neist kolmest ei saa olla asjasse segatud kui ta osales koosolekul. (2) (Sk ¬S); (Bk ¬B); (Rk ¬R) (eeldus)
(3) Kas Smith või Brown osales koosolekul (3) Sk V Bk (eeldus)
(4) Seif oli avatud. (4) F (eeldus)
(5) Smith avas seifi ja Brown või Robinson aitas. (4,1) (5) F S & (B R); F (4,1; MP) S & (B R);
(6) Smith puudus koosolekult. (5,2) (6) Sk ¬S; S (5,2; MT) ¬Sk
(7) Brown osales koosolekul. (6,3) (7) Sk V Bk; ¬Sk (6,3; DS) Bk
(8) Brown ei aidanud seifi avada. (7,2) (8) (Bk ¬B); Bk (7,2; MP)
¬B Robinson aitas seifi avada. (8,5) £ S & (B R); ¬B (8,5; DS) S&R 34_fl_vi-x
L9 MODAALLOOGIKAST(ik modal logic )
Sõna modaalsus (ld. modus `mõõt', `vahend') tähendab hinnangut , mille abil täpsustatakse otsustuse (S-P) terminite sisulist seost. Modaalse otsustuse üldvalem: M (S-P), Kus M on modaliteet ehk operaator : nii tähistatakse igasuguseid mõisteid, mis sobivad otsustuse (S-P) terminite sisulise seose täpsustamiseks. Nt: "on kindel (M), et poliitikud i tee midagi (S-P)"; "on hea (M), et ma olen rumal (S-P)." Modaalsete otsustuste liike on väga palju. ALEETILISED (ik alethic) modaalsed laused väljendavad paratamatust, juhuslikkust, võimalikkust ja mittevõimalikkust. Tavaliselt kui jutt on modaalloogikast, siis on tegemist just seda tüüpi lausetega. Siin kehtivad kõik klassikalise loogika seadused ja lisaks veel võimalikkuse modaalne operaator (ik necessity) ja paratamatuse modaalne operaator (ik possibility), mida kasutatakse sarnaselt eitusega. Väidete p ja p tõeväärtused pole väite p tõeväärtusega täielikult määratud. Nt On võimalik, et ma olen Hiina keiser. Seda saab tõlgendada On võimalik ette kujutada olukorda, kus ma olen Hiina keiser. Võimalikke olukordi, milliseks asjad oleks võinud areneda, nim võimalikeks maailmadeks (G.W. Leibnitz. S.A. Kripke).
Loogiliselt võimalik on kõik see, mis võib kehtida vähemalt ühes võimalikus maailmas (alati ka see, mis kehtib tegelikult).
Loogiliselt mittevõimalik (võimatu) on see, mis pole võimalik mitte üheski võimalikus maailmas, tavaliselt öeldakse, et loogiliselt mittevõimalik on see, millest järeldub vastuolu, nt viisnurkne kolmnurk . Iga väide, mille väärus on tõestatud, on loogiliselt mittevõimalik, iga tõestatud väide on paratamatult tõene. Kui lause pole paratamatult väär, on ta loogiliselt võimalik. Lause Mart Laar oli EV peaminister 1999.a. on võimalik, kuid pole paratamatult tõene. Kuna lause on mittevõimalik siiss, kui ta on paratamatult väär:
¬p = ¬p, saame ja avaldada teineteise kaudu:
p = ¬¬p;
p = ¬¬p
Iga tõene lause on võimalik, iga paratamatu lause on tõene. Loogiliselt paratamatu lause on tõene kõikides võimalikes maailmades.
AKSIOLOOGILISED (ik axiological) modaalsed laused (