.. Loogikatehted: &, V, , , Kirjavahemärgid: () Loogikatehted Konjunktsioon - &, AND Konjunktsioon kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on tõesed. Disjunktsioon – V, OR Disjunktsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Implikatsioon -, IF...THEN... Implikatsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui tema vasakpoolne osalause on tõene ja parempoolne osalause on väär. Ekvivalents - Ekvivalents kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on ühesuguse tõeväärtusega. Eitus- , NOT Tõese lause eitus on väär ja vastupidi. Tõeväärtustabelid p q p&q pVq pq pq 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Arutluse tõestamine 30.01.2014 Arutlust saab loogikas esitada kujul: E1 E2
t v v v t v v v v ,,või" A B A B Disjunktsioon on väär ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on väärad. t v t v t t v v v ,,Kui ..., siis" A B A B Implikatsioon on väär ainult siis, kui eeldus t t t on tõena ja järeldus on väär. t v v eeldus > järeldus v t t v v t ,,on võrdne" A B A B Ekvivalents on tõene siis, kui tema t t t osalausete tõeväärtused on võrdsed. t v v v t v v v t
v " 19 on algarv " " Kui P , siis Q " r " popcorn on hea " "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P Q A " jänesed jooksevad vihmaveetorudes " Samaväärsus ( ekvivalents ) : Lausearvutuslauseteks ei ole (ei kõlba): " P (siis ja) ainult siis, kui Q " P Q u t " kõigi maade proletaarlased, ühinege " t u " olla või mitte olla " ( & ) i
Lause on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0). Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär. Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga. Lause on tõene siis, kui oponendid on korraga tõesed või väärad. Antiekvivalents p ⊕q (välistav disjunktsioon) Emb-kumb, kas...või... p ⊕q on tõene parajasti siis, kui p ja q tõeväärtused on erinevad. Lausearvutuse tehete järjekord: 1) tehted sulgudes 2) tehted eitusega 3) konjunktsioon
Eitus: Mitte P, pole õige, et P. ~P, on ka teisi alternatiive. Ühe alternatiivi kehtimise nõue: PvQ P või Q Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: P &Q P ja Q Järeldumine: P->Q Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q P ainult siis, kui Q Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehted on binaarsed? Binaarsed tehted seovad kahte lauset, nendeks on konjuktsioon, disjunktsioon, ekvivalents ja implikatsioon. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehted on unaarsed? Unaarsed tehted on rakendatavad ühele lausele. Unaarseks on eitus. Milline aritmeetiline tehe vastab igale loogikatehtele? Konjuktsioon korrutamine. Disjunktsioon liitmine. Ekvivalents võrdumine. Implikatsioonile ei ole aritmeetikas analoogi. Millist loogikatehet nimetatakse loogikaliseks korrutamiseks? Millist loogikaliseks liitmiseks? Loogiline korrutamine on konuktsioon, liitmine on dusjunktsioon
Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted.
komplekti korral kaks loogikaavaldist on alati võrdsed, kuna nad on mõlemad loogikaavaldised Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige ? Kui mingi avaldise duaalsele kujule leida omakorda edasi selle duaalne kuju, siis on tulemuseks esialgne avaldis. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 4 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehtega on samaväärne tehtemärgi puudumine operandide vahel ? Vali üks: ekvivalents disjunktsioon implikatsioon konjunktsioon inversioon Küsimus 5 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on loogikaalgebra põhiseosteks (ehk kehtivad nende muutujate x y z suvaliste väärtuste korral) Vali üks või enam: 1 2 3 4 5 6 7 8 Küsimus 6 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Sea võrdsed avaldised omavahel vastavaks (avaldised allpool) 5. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 2 3
loogikatehe DISJUNKTSIOON väärtus "0" väärtus "2" loogikatehe VÄLISTAV VÕI loogikatehe EKVIVALENTS väärtus "1" Küsimus 3 Kas järgnev väide on õige ? Õige Kui mingi avaldise duaalsele kujule leida omakorda Mark 1 out of 1 edasi selle duaalne kuju, siis on tulemuseks
disjunktsioon on VÕI-tehe Küsimus 7 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid kvantoreid on võimalik EITADA? Vali üks või enam: tõekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada lausekvantorit olemasolu kvantorit Küsimus 8 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: implikatsioon inversioon konjunktsioon distributsioon disjunktsioon ekvivalents Küsimus 9 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Vastus: 5 Küsimus 10 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Märgista järgnevas loetelus need nimed, mis loogikaseaduste hulgas tõepoolest eksisteerivad: Vali üks või enam: välistatud teise seadus kontrapositsiooni seadus välistatud kolmanda seadus vastuolu seadus päritolu seadus Morgani seadus eeldusseadus topelteituse seadus DeMorgani seadus
,,ümbervahetatud") tõlketulemus sihtkeeles on ebasobiv, kõlab veidralt (nt ,,The time when..." tõlgitakse ,,Le moment où...", mitte ,,The time where..."). Eristatakse jällegi valikulist/vaba modulatsiooni ja kohustuslikku/ parandatud modulatsiooni. Vaba võib muutuda parandatud modulatsiooniks juhul, kui sellele on viidatud sõnaraamatutes ja grammatikates ning on õpetatud. Protseduur 6 Ekvivalents (samaväärsus) on sihtkultuuri vaste kasutamine eriti idioomide, kliseede, vanasõnade puhul. Enamik ekvivalentse on parandatud, et edasi anda mõtet ,, Like a bull in a china shop" =,,Nagu elevant portselanipoes" , kuid mõnikord, näiteks onomatopoeetiliste, ekslamatiivsete väljendite puhul (kogemata lüüakse haamriga näpu pihta: pr.k ,,Aïe!", ingl.k ,,Ouch!" ) on see vaba.
1)*elektrivool laetud osakeste suunatud liikumine *Elektrivool metallides - vabade elektronide suunatud liikumine. Metallide elektrijuhtivust nim. elektronjuhtivuseks. *ioon laetud aatom *Elektrivool elektrolüüdides - ioonide suunatud liikumine. Elektrolüütide elektrijuhtivust nim ioonjuhtivuseks. (elektroodid(söepulgad) 1.katood-negatiivne, positiivsed ioonid suunduvad sinna; 2. anood-positiivne, negatiivsed ioonid suunduvad sinna) *Elektrivool gaasides ehk gaaslahendus elektronide ja ioonide suunatud liikumine, seega esineb gaasides nii elektron-, kui ka ioonefektiivsus *elektrivool vaakumis elektrivoolu tekitamiseks vaakumis tuleb sinna viia laetud osakesi, seda on võimalik teha termoemissiooni abil 2)Elektrolüüs nähtus, kus elektrolüüdist eraldub elektrivoolu toimel metall. Kasutamine galvanosteegias, puhaste metallide saamises maakidest. 3)Elektrolüüdid hapete, aluste ja soolade vesilahused 4)sõltumatu gaaslahendus - ...
Disjunktsioon p q pq t t t t v t v t t v v v Disjunktsioon on väär ainult siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Implikatsioon p q pq t t t t v v v t t v v t Implikatsioon on väär ainult siis, kui tema eeldus on tõene ja järeldus väär. Ekvivalents p q pq t t t t v v v t v v v t Ekvivalents on tõene ainult siis, kui tema osalausete tõeväärtused on samad. Tautoloogia, kontradiktsioon ja kontingentne valem 1) Kui valem on tõene temasse kuuluvate lausemuutujate kõigi tõeväärtuste kombinatsioonide korral, siis nimetatakse valemit tautoloogiaks ehk samaselt tõeseks valemiks.
2. JA-element teeb sisendite loogilist korrutamist ehk konjunktsiooni. (AND) 3. VÕI-element teeb oma sisendite loogilist liitmist ehk disjunktsiooni. (OR) _______ 7. Ekvivalents realiseeritakse asendusseose x 1 x 2 = x 1 x 2 kaudu: 4. JA-EI element teeb oma sisendite konjunktsiooni inversiooni. (NAND) -------------------------------------------------------------------- näide: ____________
Eitus on inversioon Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid kvantoreid on võimalik EITADA? Vali üks või enam: lausekvantorit olemasolu kvantorit tõekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada Küsimus 7 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: distributsioon ekvivalents disjunktsioon konjunktsioon implikatsioon inversioon Küsimus 8 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . .
Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Küsimus 5 Osaliselt õige Hinne 0,50 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: implikatsioon distributsioon inversioon ekvivalents konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6 Osaliselt õige Hinne 0,83 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Märgista järgnevas loetelus need nimed, mis loogikaseaduste hulgas tõepoolest eksisteerivad: Vali üks või enam: topelteituse seadus neeldumisseadus DeMorgani seadus vastuolu seadus ÕIGE eeldusseadus päritolu seadus välistatud teise seadus topeltjaatuse seadus
1 + 2 + 2 = 17. Seega kui 9-tipulisel graafil on rohkem kui 29 serva, st 4·3 5·4 vähemalt 30 serva, siis ei saa selline graaf sisaldada ühtegi silda. Materjal õpikus. Lk 5355 (sidusus). Ülesanne 5. Teha kindlaks, kas järgmine positiivsete reaalarvude hulgal määratud relatsioon x2 y R = {(x, y) : 2 = } y x on ekvivalents. 2 Lahendus. Võrdus xy2 = xy on samaväärne võrdusega x3 = y 3, sest põhi- hulga elemendid on positiivsed reaalarvud. Järelikult võib relatsiooni esitada kujul R = {(x, y) : x3 = y 3 }. Kontrollime ekvivalentsi omaduste kehtivust. · Relatsioon on refleksiivne, sest iga positiivse reaalarvu x korral kehtib x3 = x3 , st (x, x) R. · Relatsioon on sümmeetriline, sest kui x3 = y 3, siis ka y 3 = x3 , st kui
Tõekvantor Lausekvantor Normaalkvantor Question 9 Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Correct Mark 1 out of 1 Select one or more: ekvivalents disjunktsioon implikatsioon distributsioon inversioon konjunktsioon Question 10 Märgista järgnevas loetelus need nimed, mis loogikaseaduste hulgas tõepoolest eksisteerivad:
MDNK sisaldab siin sellel funktsioonil (ÕIGE) lihtimplikanti. 3 (implikantide arvu määramine õnnestub kiiremini, kui see kaart joonistada ümber paberile ja hakata seal implikante kaardile äramärkima. Silmaga ekraanilt implikante loendades kulub palju aega ja väga kerge on eksida) Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehte osalusel esitub loogikafunktsiooni tuletis ? Vali üks: disjunktsioon ekvivalents konjunktsioon implikatsioon summa mooduliga 2 Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Disjunktiivne Shannoni arendus kõigi muutujate järgi annab funktsiooni täieliku DNK Küsimus 12 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse sellist (n-1)muutuja funktsiooni, mis saadakse mingi n-muutuja funktsiooni mingi muutuja asendamisel konstandiga 0 või 1 ? (sisesta ühesõnaline vastus) Vastus:
konstantsed funktsioonid ? eksponentsiaalsed funktsioonid ? pidevad funktsioonid ? pööratavad funktsioonid ? nulli säilitavad funktsioonid ? määramatust säilitavad funktsioonid ? lineaarsed funktsioonid ? Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehtega on võimalik funktsiooni tõeväärtustabeli abil äratunda selle funktsiooni lineaarsust ? Vali üks: lahutamine summa mooduliga 2 jagamine implikatsioon konjunktsioon inversioon ekvivalents disjunktsioon Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikafunktsiooni normaalkujulises avaldises ei leidu mitte ühtegi inversiooni, siis selline funktsioon on alati . . . ( vali kõik õiged ) Vali üks või enam: nulli säilitav ? ühte säilitav ? pööratav ? - VALE monotoonne ? lineaarne ? - VALE Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas järgmine väide on õige või vale ? Leidub loogikafunktsioone, mis kuuluvad samaaegselt kõikidesse
Küsimus 5 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikatehted järgnevatest kuuluvad implikatiivse baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: inversioon implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed-Mulleri baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: implikatsioon konstant 1 inversioon ekvivalents summa mooduliga 2 (välistav VÕI) konstant 0 konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 7 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikafunktsioonid peavad kuuluma loogikafunktsioonide süsteemi koosseisu, et see süsteem oleks täielik ? Valige üks või mitu: vähemalt üks funktsioon, mis on nulli säilitav; vähemalt üks funktsioon, mis ei ole monotoonne; vähemalt üks funktsioon, mis on 1-te säilitav;
Küsimus 17 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid 2-muutuja loogikafunktsioone esitavad need tõeväärtustabelid ? kolmas tõeväärtustabel (3) on konjunktsiooni inversioon neljas tõeväärtustabel (4) on välistav VÕI teine tõeväärtustabel (2) on pöördimplikatsioon esimene tõeväärtustabel (1) on disjunktsiooni inversioon viies tõeväärtustabel (5) on ekvivalents Küsimus 18 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige vastus arvuna: Mitu kahendvektorit kuulub 5-mõõtmelisse Boole'i ruumi? Vastus: 32 Küsimus 19 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta lahtrisse õige vastus küsimusele: Kuidas nimetatakse kahendvektorite (kindlate omadustega) hulka, kus on 1 või 2 või 4 või 8 või 16 jne kahendvektorit ja mille vektoresitus koosneb sümbolitest 0 1 — (näiteks: 00—1 1—— 01 ) Vastus: intervall Küsimus 20
DeMorgani seaduse Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikatehted järgnevatest kuuluvad implikatiivse baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon inversioon Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed- Mulleri baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: konstant 0 konjunktsioon summa mooduliga 2 (välistav VÕI) ekvivalents inversioon konstant 1 disjunktsioon implikatsioon Küsimus 7 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikafunktsioonid peavad kuuluma loogikafunktsioonide süsteemi koosseisu, et see süsteem oleks täielik ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: vähemalt üks funktsioon, mis on 1-te säilitav; vähemalt üks funktsioon, mis on pööratav; vähemalt üks funktsioon, mis on monotoonne; vähemalt üks funktsioon, mis ei ole 0-li säilitav;
Mark 1 out of 1 Select one: summa mooduliga 2 implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon ekvivalents Question 2 Osaliselt määratud loogikafunktsioonile MDNK leidmisel McCluskey' meetodiga lisatakse Correct määramatuspiirkond selle funktsiooni 1de piirkonnale mille tulemusel Mark 3 out of 3 saadakse laiendatud 1de piirkond
00 out of 1.00 Select one: implikatsioon disjunktsioon konjunktsioon summa mooduliga 2 lahutamine ekvivalents jagamine inversioon Question 10 Kui loogikafunktsiooni normaalkujulises avaldises ei leidu mitte ühtegi Correct inversiooni, siis selline funktsioon on alati . . . Mark 1.00 out of ( vali kõik õiged ) 1.00
implikatsioon konstant 1 konjunktsioon konstant 0 inversioon ekvivalents disjunktsioon Question 7 Millised loogikafunktsioonid peavad kuuluma Correct loogikafunktsioonide süsteemi koosseisu, et see süsteem oleks Mark 1.00 out of täielik ? 1.00 vali kõik õiged :
Loogikaaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed, kõik hulgaalgebra seadused kehtivad ka loogikaalgebras, tehes järgnevad asendused: ühend disjunktsiooniks, ühisosa konjuktsiooni,s tühi hulk konstandiks 0 ja universaalhulk konstandiks 1 Vaata põhiseoseid ja õpi selgeks lk 156-157 Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistel tehetel on nad olemas? Et asendada mitteelementaarseid loogikatehteid elementaarsete loogikatehete kaudu. Nad on olemas tehetel implikatsioon,ekvivalents ja moodul summast 2-ga. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon f(x1,x2......,xn) on vastavus n-muutuja Boole Ruumist {0,1}n loogikaväärtuste hulka {0,1} Mis on argumentvektor ja mida ta esitab? Argumentvektor on loogikamuutujate väärtuskomplekt, mis esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatud väärtust 1 või 0. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel?
Jüri ja Mari on üliõpilased. Jüri ja Mari on sõbrad. (Jüri on sõber ja Mari on sõber – nad pole ilmtingimata omavahel sõbrad) Jüri ja Mari vestlevad. 3. Disjunktsioon v (WEDGE) A v B sidesõna ’või’ 4. Implikatsioon (ing k material conditional) – järeldusseos A B või A B (A implitseerib Bd) ’kui …, siis …’ 5. Ekvivalents (ing k material biconditional) A B või A B ’parajasti siis’ Tehete prioriteet määratakse sulgudega, va eituse puhul, mis tehakse alati esimesena. T – true, F – false 1) eitus – muudab tõese vääraks ja väära tõeseks; eitus nõuab, et tõe väärtus peab muutuma eitus unaarne teha, rakendub millelegi ühele; teised binaarne, seob kahte lauset 4) implikatsioon – deduktiivne kehtivus. Tõesest eeldusest väära tegemine
x x x = x A r Digitaaltehnikas tähistatakse XOR-tehte inversiooni ka lühendiga XNOR. x x x x = 0 XNOR on seega sama mis loogikatehe ekvivalents. x x x x x = x Tehte omadused x x x x x x = 0 u t
erinev). Iga vaatleja võib struktuuri kirjeldada oma nägemuse kohaselt (iga lugeja/vaataja pöörab tähelepanu erinevatele asjadele). Kirjeldav vs. strukturaalne poeetika Kirjeldav poeetika sarnaneb vaatlejaga, kes üksnes fikseerib teatud elunähtuse. Strukturaalne poeetika lähtub alati sellest, et vaadeldav fenomen on vaid üks keeruka terviku koostisosi. Teksti paradigmaatilisus: teatud elementide korduvus e. ekvivalents (sarnasussuhe, võib Strukturalism: Aigi Heero olla täielik või mittetäielik) [vt. R. Jakobson]; nt. luules rütmikordused. Invariant ja variant. Variatiivsete elementide väljaselgitamine ja nende semantilise rolli tuvastamine. Variatiivse elemendi suhe teiste elementidega Teksti süntagmaatilisus: elementide ühendamine. Kuidas ühenduvad ühesugused ja kuidas erinevad struktuurielemendid. Kummastumise võte: kui on ühendatud elemendid, mida teatud reeglite kohaselt
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast
Diskmatt terminid Lausearvutus Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul
S üm m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R korral alati ka (b,a) R (a,b) ja (b,a)s ees A n tisü m m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R ja (b,a) R korral alati a= b ei tohi olla s ümmee tri lis i paare T ran s itiivs ek s , kui iga (a,b) R j a (b,c) R korral ka (a,c) R R efleks iivne on näiteks samas us relats ioon. D ef: relats ioon i, m is on ref lek s iivn e, s üm m eetrilin e ja tran s itiivn e n im etatak s e ek vivalen ts ik s . S amas us rel ats ioon s uvalis el hulgal A on ka ekvivalents ir elats ioon s ellel hulgal. N äide: O lgu hulgaks A täis arvude hulk j a olgu n pos itiivne täis arv. D efineeri me relats iooni R nii, et ta kehtib kahe täis arvu a j a b vahel paraj as ti s iis kui nende arvude (mõle ma te) jääk jagamis el arvuga n on s ama. S elline relats ioon on ekvivalen ts . H ulgateooria tões tataks e, et hulgal A mä äratud ekvivalents j agab hulga A klas s ideks mis omavahe l ei lõiku j a katavad kogu hulga A. S amas s e klass i
A n tiref lek s iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R S üm m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R korral alati ka (b,a) R A n tisü m m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R ja (b,a) R korral alati a= b T ran s itiivs ek s , kui iga (a,b) R j a (b,c) R korral ka (a,c) R R efleks iivne on näiteks samas us relats ioon. D ef: relats ioon i, m is on ref lek s iivn e, s üm m eetrilin e ja tran s itiivn e n im etatak s e ek vivalen ts ik s . S amas us rel ats ioon s uvalis el hulgal A on ka ekvivalents ir elats ioon s ellel hulgal. N äide: O lgu hulgaks A täis arvude hulk j a olgu n pos itiivne täis arv. D efineeri me relats iooni R nii, et ta kehtib kahe täis arvu a j a b vahel paraj as ti s iis kui nende arvude (mõle ma te) jääk jagamis el arvuga n on s ama. S elline relats ioon on ekvivalen ts . H ulgateooria tões tataks e, et hulgal A mä äratud ekvivalents j agab hulga A klas s ideks mis omavahe l ei lõiku j a katavad kogu hulga A. S amas s e klass i
v u jääb konstant 1 : r implikatsioon: x w xy = x (1 w y ) = x ( 1) = x A ekvivalents: summa mooduliga 2: ( ka "välistav VÕI" XOR ) pane tähele: x w x y = x (1 w y ) on korrektne teisendussamm, kuna sulgude lahtikorrutamisel x (1 w y) tekkib taas avaldis x w xy ( see tehe on käsitletud edaspidi )
Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI- tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷↔𝑸 on nagu 𝑃→𝑄 ja samal ajal ka 𝑄→𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem,
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Eesti keeles võib sõnapaar kui...siis esineda ka muus tähenduses. Nt: Kui Juku õpib hoolega, siis Juhan tegeleb rohkem lõbutsemisega. (Pigem konjunktsioon.) Implikatsiooni saab avaldada teiste lausearvutuse tehete kaudu p q = ¬p q p q = ¬(p & ¬q) EKVIVALENTS: (equivalence): Lausete p ja q ekvivalentsiks nimetatakse lauset, mis on tõene parajasti siis, kui tema mõlemad komponentlaused on ühesuguse tõeväärtusega. Ekvivalentsi-seosele viitavad väljendid siis ja ainult siis kui (siiss), parajasti siis kui . Nt Kass näub siis ja ainult siis kui koer haugub. Tähistus: p q p q p ~ q p iff q Tõeväärtustabel: p q pq 1 1 1 1 0 0
Lausearvutuslauseid tähistame formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q . . . " Kui P , siis Q " Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P→Q konstruktsioonide abil liitlauseid: Samaväärsus (ekvivalents): " kui palka ei tõsteta või tööaega ei vähendata, siis algab streik " " P (siis ja) ainult siis, kui Q " P ↔ Q " ülemus on kohal ainult siis, kui tema auto on maja ees" Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise JA-tehte märgina kasutatakse ka sümbolit 'ampersand ' : & ( & ≡ ∧) konstruktsiooni ehk loogikatehte abil.
Sa vihkad kommuniste. Sa oled neonats. Epiheireem on süllogism, kus üks või mõlemad eeldused on entümeemid. ! 5/14 14. LAUSEARVUTUSE TEHTED. Vastavalt tehete järjekorrale: Eitus – tähistatakse märgiga ¬. Konjunktsioon – tähistatakse märgiga &. Disjunktsioon – tähistatakse märgiga ∨. Implikatsioon – tähistatakse märgiga →. Ekvivalents – tähistatakse märgiga . Antiekvivalents – tähistatakse märgiga ⊕. 15. LAUSEARVUTUSE VALEMITE KLASSIFITSEERIMINE. TÕESUSTABELID. 16. TEKSTI INTERPRETEERIMINE LAUSEARVUTUSE VALEMITEKS. Teksti tõlkimisel loogika keelde peab järgima minimaalse interpretatsiooni printsiipi. Tekstist tuleb välja lugeda ainult seda infot, mis seal tõesti on. Näiteks pole võimalik lausest “Mats läheb kõrtsi või koju”, kui tähistada A – “Mats läheb
Kõik, kes vihkavad kommuniste, on neonatsid. Sa vihkad kommuniste. Sa oled neonats. Epiheireem on süllogism, kus üks või mõlemad eeldused on entümeemid. ! 5/14 14. LAUSEARVUTUSE TEHTED. Vastavalt tehete järjekorrale: Eitus tähistatakse märgiga ¬. Konjunktsioon tähistatakse märgiga &. Disjunktsioon tähistatakse märgiga . Implikatsioon tähistatakse märgiga . Ekvivalents tähistatakse märgiga . Antiekvivalents tähistatakse märgiga . 15. LAUSEARVUTUSE VALEMITE KLASSIFITSEERIMINE. TÕESUSTABELID. 16. TEKSTI INTERPRETEERIMINE LAUSEARVUTUSE VALEMITEKS. Teksti tõlkimisel loogika keelde peab järgima minimaalse interpretatsiooni printsiipi. Tekstist tuleb välja lugeda ainult seda infot, mis seal tõesti on. Näiteks pole võimalik lausest "Mats läheb kõrtsi või koju", kui tähistada A "Mats läheb
tugevatesse positsioonidesse ei tohiks sattuda lühikesed pearõhulised silbid e.esmavältelised sõnad ei tohiks alata rea tugevast positsioonist;3)eelnevad reeglid kehtivad teise, kolmanda, neljanda värsijala kohta. Esimene värsirida sellele ei allu. Kvantiteedireegleid täidetakse seda vähem, mida kaugemal Soome lahest. 8. Helikõrguse kognitiivsed dimensioonid. Pidev sagedusskaala ning selle liigendamine diskreetseteks heliridadeks erinevates muusikakultuurides. Oktavi ekvivalents. Diatooniline, kromaatiline ja pentatooniline helirida. Helikõrguse varjatud kahemõõtmelisus muusikas: noodinimed (krooma) ja erinevad oktavid (nn psühhofüüsiline helikõrgus). Hierarhiad tonaalse muusika heliridades.Helikõrguse kahemõõtmelisust kujutab Shepardi spiraal, helid erinevad teineteisest ühel ja samal ajal esiteks krooma poolest, mida väljendavad noodinimed, ja teiseks nn psühofüüsilise kõrguse poolest, mida väljendab kuuluvus ühte kindlasse oktavisse
a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . g. Def. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil. g.i. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. g.ii. Kui on lausearvutuse valem, siis ka ¬ on lausearvutuse valem. g.iii. Kui ja on lausearvutuse valemid, siis ka ( & ), ( ), (
aldavad nende alusel koostada min.elementide arvuga juhtimisskeemi. Projekt. etapid- 1. skeemi töösünaline kirj.koostamine 2.talitlustingimuste esitamine 3.Loogikavalemi minimeerimine 4.lülitusskeemi koostamine. Sign.jagunevad- 1. Sisendsign 2.väljudsign. 3.vahesign. 12. El.ajamite juht.skeemide sõlmed loogikaelem.baasil- Loogikatehete elemendid-1.Disjunktsioon (VÕI-OR) 2.Konjunktsioon (NING-AND) 3.Iversioon (EI-NO) 4.implikatsioon 5.Keeld 6.Ekvivalents (EXCL NOR (XNOR)) 7.Antivalents e.välistav VÕI (EXCL OR(XOR)) 8.Pierce´i nool (EI- EGA;(VÕI-EI)- NOR;) 9.Shefferi kriips (NING-EI; NAND) Valm.ka veel loogikael. EXCL OR; EXCL NOR. Sign. iseloomu järgi liigitataxe kont.vabad loogikael.: Potentsiaalel; Impullsel.(tavaliselt kujutataxe sünk.süsteemina). 13. Türistoride kasut. El.ajamite jõuahelates- Türistorskeeme kasut.el.ajamites mitmesuguste ül.täitmisex:1.regul.alalispinge saamisex(tüüritvad alaldid)
Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja samal ajal ka 𝑄 → 𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem, siis
põllule kartulid“. Disjunktsiooni all mõistame mittevälistavat „võid“. o Implikatsioon (märk →) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni „kui . . . , siis . . . “. Näiteks „Kui Sven terve aasta korralikult õpib, siis suudab ta kevadel eksamid hõlpsasti ära teha“ või „Kui kehtib teoreem P, siis kehtib teoreem Q“. Mõlemad laused võib kirja panna valemiga A → B. o Ekvivalents (märk ↔) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost „parajasti siis, kui“ ehk „siis ja ainult siis, kui“. Näiteks lause „hulk X on kinnine parajasti siis, kui X ühtib oma sulundiga“ on valemkujul A ↔ B. Tehete järjekord o ¬, &, ∨, →, ↔ o vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest
SKP on voonäitaja, mitte jääginäitaja SKP arvutamiseks on kolm meetodit: · SKP arvutamine sissetuleku meetodil · SKP arvutamine tootmise meetodil · SKP arvutamine tarbimise meetodil Rahvamajanduse koguprodukti definitsioon. · Rahvamajanduse koguprodukt (RKP) Residentide poolt teatud ajaperioodi jooksul lõpptarbimiseks toodetud kaupade ja teenuste kogum väljendatuna rahas Ricardo ekvivalents. · Kui valitsus kärbib makse ja suurendab defitsiiti, hakkavad tarbijad ootama tulevast maksutõusu ja suurendavad valitsussektori säästu vähenemise katteks erasektori säästu. Maksutõusu ja defitsiidi vähenemisel peaks toimima vastupidine protsess. Tegelikus elus see päris nii alati ei toimi. Maksebilanss ja selle kontod. · Maksebilanss on statistiline aruanne, mis summeerib konkreetse riigi teatud ajavahemiku jooksul
LAUSEARVUSTUSE TEHTED 1. EITUS 2. KONJUNKTSIOON p&q, on tõene parajasti siis, kui p ja q mõlemad on tõesed. 3. DISJUNKTSIOON p v q, on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. 4. IMPLIKATSIOON p--) q, on väär parajasti siis, kui p on tõene ja q on väär. Lausearvustuses on kasutusel MATERIAALNE IMPLIKATSIOON ( lk 265), mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 5. Ekvivalents p(--)q, on tõene parajasti siis, kui tema operantidel on ühesugune tõeväärtus. 6. Antiekvivalents ehk välistav disjunktsioon p+q, on alati tõene parajasti siis, kui tema operantidel on erinevad tõeväärtused. Lausearvutuse SÜNTAKS- lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil. Lause on SAMASELT TÕENE ehk loogiliselt tõene ehk TAUTOLOOGIA parajasti siis, kui lause on tõene oma komponentlausete mis tahes
10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas? Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu. 12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon on vastavus n- muutuja Boole’i ruumist loogikaväärtuste hulka {0, 1}. 13. Mis on argumentvektor ja mida ta esitab? Argumentvektor ehk kahendvektor esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatavat väärtust 0 või 1. 14. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel
Juhiksolemine on karismaatiline, põhineb isiku omadustel (kui on võimeline oma isa tööd jätkama, muidu valitakse keegi teine). Hõimulised kogukonnad on egalitaarsed. Sooline diskrimineerimine: lastetapp (tüdrukud yanomamidel). Mehel võim naise üle. Ja kuna naisi on sp vähe, peavad külad omavahel sõdu naiste hankimiseks. Hõim on suuresti segmentaarne kogukond. Koosneb suurest hulgast sõltumatutest lokaal kogukondadest primaarsed segmendid. Struktuuriline ekvivalents - üksused, mis asuvad samal tasandil, on nagu suure ehitise ehituskivid üksteise vastu vahetatavad. Funktsionaalne ekvivalents - iga primaarne üksus teostab enda sees samu funktsioone mida teine tema kõrval. Poliitiline võrdsus - ükski üksus pole teisest samal tasandil olevast üksusest parem, ükski ei domineeri teise üle. Poliitiliselt on nad üksteisest sõltumatud. Näited: Irokeeside liiga käib koos, see on hõimutasandil, juhti pole.
1979ndal aastal anti kaasaegsele programmkeelele tema auks nimi Ada. Morse 1837: elektritelegraaf, Wheatstone 1857: perfolint George Boole, de Morgan Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra:1*A = A, 0*A = 0, A+0 = A, A+1 = 1,A+B = B+A, A*B = B*A, A*A = A Enimkasutatud tehted on: & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) A& B AV B -A A => B -------- -------- ---- -------- TTT TTT VT TTT TVV TTV TV TVV VVT VTT VTT VVV VVV VTV Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift")
seotud olema, nt „Kui ilm on ilus, siis on tõene, et 5 × 5 = 25”. Lausearvutuses kasutatavat implikatsiooni nimetatakse ka materiaalseks implikatsiooniks (material implication) põhjendusega, et sellise implikatsiooni tõesus sõltub vaid operandide tõeväärtustest. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 9 EKVIVALENTS (biconditiona, equivalence) Tõeväärtuste Boole’i algebras defineeritakse muutujate p ja q ekvivalents kui binaarne tehe, mille tulem on tõene parajasti siis, kui tema operandide tõeväärtused on ühesugused. Ekvivalentsi kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Lausete p ja q ekvivalents on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q ekvivalents. D7.3
annaabi.ee 
