Soojusõpetuse konspekt (0)

Tallinna Ülikool
Matemaatika  ja Loodusteaduste Instituut
Loodusteaduste  osakond
Soojusõpetuse  lühikonspekt
Tõnu Laas
2009-2010
2
Sisukord
Sissejuhatus. Soojusõpetuse kaks erinevat käsitlusviisi.......................................................................3
I Molekulaarfüüsika  ja  termodünaamika ..............................................................................................4
1.1.Molekulide mass ja mõõtmed....................................................................................................4
1.2. Süsteemi olek. Protsess. Tasakaaluline protsess.......................................................................4
1.3. Termodünaamika I printsiip......................................................................................................5
1.4. Temperatuur ja temperatuuri mõõtmine....................................................................................5
1.5. Rõhk ja rõhu mõõtmine............................................................................................................7
1.6. Soojuspaisumine . Vee  anomaalne  käitumine. Soojuspaisumine ja mehaanilised pinged .........7
1.7. Ideaalse gaasi olekuvõrrand......................................................................................................9
II Gaaside kineetiline teooria..............................................................................................................12
2.1. Gaaside kineetilise teooria  põhialused ....................................................................................12
2.2. Temperatuur ja  siseenergia ......................................................................................................13
2.3. Siseenergia ja  soojusmahtuvus ...............................................................................................15
2.4. Adiabaatiline ja polütroopne protsess ....................................................................................16
2.5. Ideaalse gaasi töö erinevates protsessides..............................................................................17
2.6. Gaasimolekulide jaotus kiiruste järgi.....................................................................................18
2.7. Baromeetriline  valem. Boltzmanni jaotus..............................................................................19
III pt.  Reaalsed  gaasid. Vedelikud ja  kristalsed  kehad.......................................................................20
3.1. Ülekandenähtused...................................................................................................................20
3.1.1.  Viskoossus .......................................................................................................................20
3.1.2. Soojusjuhtivus .................................................................................................................21
3.1.3. Difusioon gaasides ..........................................................................................................21
3.1.4. Molekulide keskmine vaba tee pikkus gaasides.............................................................21
3.2. Gaaside kõrvalekaldumine ideaalsusest. Van der Waalsi võrrand..........................................21
3.3. Gaaside veeldamine. Joule'i-Thomsoni efekt.........................................................................24
3.4. Faasiüleminekud.....................................................................................................................24
3.5. Kristallid . Kristallilise oleku omadused..................................................................................26
3.6. Vedelikud. Kapilaarsus ...........................................................................................................26
IV Termodünaamika alused................................................................................................................26
4.1. Soojusmasin . Soojusmasina kasutegur...................................................................................26
4.2. Termodünaamika II printsiip, ideaalne soojusmasin. Külmkapp ja soojapump.....................28
4.3. Entroopia .................................................................................................................................30
4.3.1. Clausiuse  võrratus. Entroopia muut ja termodünaamika II printsiip..............................30
4.3.2. Entroopia.........................................................................................................................31
4.3.3. Entroopia statistiline interpretatsioon.............................................................................33
Sissejuhatus. Soojusõpetuse kaks erinevat käsitlusviisi.
Soojusõpetuse kaks erinevat käsitlusviisi – molekulaarfüüsika ja termodünaamika.
A. Molekulaarfüüsika
Molekulaarfüüsika  – füüsika haru, mis uurib aine ehitust ja omadusi lähtudes aine  molekulaar -
kineetilistest omadustest. 
Lähtepunktid   –   iga   keha   koosneb   suurest   hulgast   väga   väikestest    osakestest    (molekulidest   ja 
aatomitest). Iga aine molekulid on korrapäratus, kaootilises liikumises. Liikumise intensiivsus, mida 
iseloomustab osakeste kiirus, sõltub temperatuurist. 
Teooria alused. 
–
Idee,   et   aine   koosneb   aatomitest,  on   pärit   vana-Kreekast   Demokritoselt   (460-370   e.m.a.) 
( atomistliku  ideed vt lähemalt nt. Vikipeediast).  Katselised tõestused  on antud teooria saanud 
18.sajandi teisest poolest – 19.sajandil saadud katsenandmete üldistusest: kui kaks või  enamat  
elementi moodustavad uue aine, siis on nende massiproportsioonid alati samad. Näiteks – soola 
moodustamisel on alati 23 osa naatriumit ning 35 osa kloori (NaCl). John Dalton ( 1766 -1844 
inglise   keemik   ja    füüsik    ehk   –   loodusfilosoof)   juhtis   tähelepanu   tõsiasjale,   et   sellised 
massiproportsioonid oleksid võimalikud vaid juhul, kui aine  molekul  moodustub aatomitest, mis 
on   kindlate   massidega.   Sellist   massiproportsioonide   kehtivust   ei   õnnestunud   seletada   aine 
pidevuse  hüpoteesiga.
–
Browni    liikumine  (avastatud   Robert   Browni   (1773-1858,   Šoti    botaanik )   poolt   1827.a.)   - 
mikroskoopilise   ainetüki   juhuslik   liikumine.  Algselt   avastatu   oli   õietolmuosakeste   juhuslik 
liikumine.   Kuigi   seda   osakest   loetakse   mikroskoopiliseks,   on   see   aatomite   ja   molekulide 
mõõtmetega   võrreldes   märgatavalt   suurem.   Browni   liikumise   põhjus   –   aatomite   või/ja 
molekulide  põrked vastu osakest. 
1905.   a.   käsitles     Albert    Einstein    Browni   liikumist   teoreetilisest   lähtepunktist   ja   arvutas 
eksperimentaalsetele   andmetele   tuginedes   aatomite   ligikaudse   massi   ja   mõõtmed.  Aatomite 
ligikaudne läbimõõt:  D~10−10 m . 
Molekulaarkineetilise   teooria     eesmärk   –  seletada   katsetes   ilmnevaid   ja   mõõdetavaid   kehade 
omadusi   (temperatuur,   rõhk,   ruumala,   tihedus)   kui   molekulide   summaarse   mõju   tulemust. 
Kasutatakse   statistilise    meetodeid    (statistiline   füüsika,   statistiline   termodünaamika),   milles 
kasutatakse   suurusi   nagu   keskmine   kiirus,   kontsentratsioon,   molekulide   keskmine   kineetiline 
energia jms.
B. Termodünaamika
Termodünaamika   uurib   kehade   omadusi   ning    olekute    muutumise   seaduspärasusi   lähtudes 
makroskoopilistest   parameetritest   (rõhk,   temperatuur   jne).   Termodünaamika   põhiprintsiibid 
( põhiseadused )   on  suure   hulga  katseliste   faktide   üldistus  (termodünaamika  I,  II  printsiip,  Gay-
Lussaci,  Boyle - Mariotte 'i seadus jt). 
Lähtekohad aine olekute muutuste uurimisele on erinevad, lõppjäreldused langevad kokku – need 
kaks teooriat täiendavad teineteist.
4
I Molekulaarfüüsika ja termodünaamika
1.1.Molekulide mass ja mõõtmed
1
Keemilise elemendi aatommass A näitab aatomi massi suhet 
12C aatomi massi.  Aatommassi  
12
ühik on 1 u.
1
1 u=
m12C =1,66⋅10−27 kg.
(1.1)
12
1
Molekulmass   M  on aine molekuli massi suhe  
12C aatomi massi. Kuivõrd tegemist on ühe 
12
massi suhtega teise massi, siis on molekulmass on dimensioonita suurus. 
Sellist  aine   hulka,   mille   mass   kilogrammdies   on  arvuliselt   võrdne  tema   molekulmassiga, 
nimetatakse kilomooliks.
Iga aine kilomool sisaldab sama palju molekule, seda arvu nimetatakse Avogadro arvuks 
N =6,022⋅1026 1
A
.
(1.2)
kmol
Molekulide lineaarmõõtmete suurusjärk on 1 Å (ongström) = 10-10 m suurusjärgus. Vesiniku aatomi 
läbimõõt on 10-12m, aatomituuma läbimõõt on 10-15 m suurusjärgus.
Näide 1. Hindame vase aatomi mõõtmeid arvestades, et vase tihedus on 8900 kg/m3.
1.2. Süsteemi olek. Protsess. Tasakaaluline protsess.
Kehade süsteemi ehk  süsteemina  käsitlema vaadeldavate kehade kogumit, vedelik ja aur on antud 
juhul  erijuhud . 
Süsteemi olekut iseloomustavad temperatuur, rõhk, ruumala, tihedus jms  parameetrid . Iga süsteem 
võib olla erinevates olekutes, mille korral on parameetrite väärtused erinevad. Neid parameetreid, 
mis   olekutes   muutuvad,   nimetatakse  olekuparameetriteks.    Olekuparameetrid    võivad   olla   kõigis 
süsteemi osades ühesugused, kuid ei pruugi. Näiteks temperatuur toas või gaasi rõhk võivad ruumi 
erinevates osades olla erinevad. Näiteks jääst ja veest ja veeaurust koosnevas 0oC juures olevas 
süsteemis on tihedused  ning rõhud  erinevad süsteemi erinevates osades. 
Süsteemi tasakaaluolekuks nimetatakse sellist olekut, mille puhul süsteemi kõigil parameetritel on 
kindlad väärtused, mis muutumatute välistingimuste  korral püsivad muutumatutena kuitahes kaua. 
Kui parameetrid või üks neist on süsteemi erinevates osades erinev, siis nimetatakse süsteemi olekut 
mittetasakaaluolekuks. Kui selline süsteem ülejäänud kehadest (ehk väliskeskkonnast) isoleerida, 
siis   saavutavad   süsteemi   parameetrid   kõikjal   ühesuguse   väärtuse,   st   –   süsteem   läheb   üle 
tasakaaluolekusse.
Tasakaaluolekut   saab   kujutada   punktina  pV-,   pT,   TV-graafikutel,   mittetasakaaluolekuid    selliselt  
graafikul kujutada ei saa.  
Protsess –  süsteemi üleminek ühest olekust teise, on seotud tasakaaluolekute rikkumistega, st – 
minnes üle ühest olekust teise läbib süsteem rea mittetasakaaluolekuid. Kui protsess on nö lõpmata 
aeglane, siis võib seda vaadata kui järjestikuliste tasakaaluolekute rida. Sellist protsessi, mis toimub 
nii   aeglaselt,   et   süsteemi   kõigis   osades   jõuavad   parameetrid   igal   ajamomendil   võrdsustuda, 
nimetatakse tasakaaluliseks  protsessiks . Tasakaaluline protsess on tegelikult abstraktsioon.
5
Antud kursuse raames käsitletav teooria on rangelt võttes rakendatav ainult tasakaauliste protsesside 
korral.
Termodünaamika nullis printsiip: Kui kaks keha on soojuslikus tasakaalus  kolmandaga , siis on nad 
tasakaalus ka omavahel.
Süsteemi  siseenergia U  saame, kui lahutame süsteemi koguenergiast keha kui terviku kineetilise 
energia   ja   potentsiaalse   energia   välisjõudude   väljas.   Siseenergia   sõltub   molekulide    kaootilise  
liikumise   kineetilisest   energiast,   molekulide   vahelisest   potentsiaalsest   energiast   ning 
molekulidesisesest energiast.
Liitsüsteemi   siseenergia   on   alamsüsteemide   siseenergiate   summa   pluss   alamsüsteemide 
vastastikune potentsiaalne energia:
U =∑ U  E
i
i
p
(1.3)
Ep on sisuliselt kahe keha pinnal olevate molekulide vastastikune potentsiaalne energia. 
Süsteemi siseenergia on  olekufunktsioon  – ta sõltub vaid olekuparameetritest ning mitte sellest, 
kuidas süsteem on antud olekusse jõudnud. Seega, siseenergia muutus süsteemi üleminekul ühest 
olekust teise on vaid nende kahe oleku siseenergiate vahe:
 U =U −U
2
1
(1.4)
kus U2 on süsteemi siseenergia lõppolekus ning U1 süsteemi siseenergia algolekus.
1.3. Termodünaamika I printsiip.
Süsteemi siseenergia võib muutuda peamiselt kahe protsessi arvel – kehale rakendatud töö  A  või 
kehale   väljastpoolt   antud   soojushulga   Q tõttu.   Töö   tegemine   on   alati   seotud   süsteemi 
mõjutavate väliskehade ümberpaiknemisega. Näiteks gaasi kokkusurumisel teevad väliskeskkonna 
kehad tööd A' . Gaas  teeb sellisel juhul tööd  A=−A' .
Soojusenergia    ülekandumine   toimub   kas   molekulide   põrgete   (mikroskoopilised   protsessid) 
tagajärjel või soojuskiirguse abil. 
Seega   U =U −U =QA '
2
1
, seega  Q=U − A' =U A .
Termodünaamika I printsiip: Süsteemile antud  soojushulk  läheb süsteemi siseenergia kasvuks ning 
töö tegemiseks süsteemi välisjõudude vastu (ehk – süsteemi poolt tehtavaks tööks).
 Q=dU − A ,
(1.5)
kus   Q on nn elementaarsoojushulk (soojushulga väga väike muutus),  dU on  sisenergia  väike 
muutus ning   A on süsteemi poolt tehtud töö väike muutus.
1.4. Temperatuur ja temperatuuri mõõtmine
Temperatuur   on füüsikaline suurus, mis iseloomustab aine osakeste keskmist  kineetilist  energiat, 
ehk – osakeste keskmise kineetilise energia mõõt. 
Temperatuur on keha siseenergia  kvantitatiivne  hinnang. Temperatuuri mõõtmiseks saab kasutada 
erinevaid   keha  omadusi   –  näiteks   keha  ruumala  muutuse,   elektritakistuse  muutuse   vms   kaudu. 
Temperatuuri mõõtmisel on kasutusel erinevad skaalad.
Celsiuse   skaala  fikseeritud   punktideks   on   valitud   jää   sulamise   temperatuur   0oC,   ning   vee 
6
keemistemperatuur  100oC normaalõhurõhu korral.  Valides  temperatuuri mõõtmise viisiks näiteks 
keha  paisumise , saame temperatuuri leida seosest
V −V
t=
0 ⋅100o ,
(1.6)
V 100−V 0
kus V0 on keha ruumala temperatuuril 0oC, V100 on keha ruumala temperatuuril 100oC ning V keha 
ruumala temperatuuril t. Õnnestunud keha, mida mõõtmiseks kasutatakse, materjali valikul on seos 
keha ruumala suurenemise ja temperatuuri vahel lineaarne ning ülaltoodud seos kehtib.
Temperatuuri mõõtmisel tuleb  termomeeter  viia soojuslikku tasakaalu  kehaga  ning siis määrata 
mõõdetav tunnus (füüsikaline suurus). Temperatuuri mõõtmisel on probleemiks see, et mõõtmise 
ajal toimub soojuse ülekanne  süsteemist  termomeetrile, seega – mõõtmise protseduur mõjutab keha.
Termodünaamika II printsiibi ( vaatleme  hiljem) järgi on loodud absoluutse temperatuuri skaala. 
Mõõtühik – 1 K ( kelvin ). Selle skaala järgi vastab 0 K nn absoluutsele  nullile , millest väiksemaid 
temperatuure   pole   põhimõtteliselt   võimalik   saavutada.   Absoluutse   temperatuuri   skaala   ning 
Celsiuse skaala on omavahel seotud järgmiselt:
T  K =t oC273,15oC .
(1.7)
USA-s ja ka paljudes teistes riikides kasutatakse temperatuuri mõõtmiseks Fahrenhaiti skaalat, mis 
on Celsiuse skaalaga seotud järgmiselt:
5
t oC = t oF −32.
(1.8)
9
Fahrenhaiti skaala 100 kraadi vastab ligikaudu keha normaaltemperatuurile 36,6oC.
USA-s kasutatakse tehnikas ka  Rankine 'i skaalat, mis on Kelvini skaalaga seotud järgmiselt: 
t oR=1,8⋅T  K .
(1.9)
Temperatuuri mõõtmise viisid ja vahendid:
a)   Toatemperatuuril   ja   sellele   lähedaste   temperatuuride   korral   kasutatakse   tavaliselt   vedelike 
soojuspaisumist. Kui vahemik, milles temperatuuri mõõdetakse, ei ole väga suur ('suur' on suhteline 
mõiste, sõltub vedelikust, mida kasutatakse), siis sõltub keha ruumala temperatuurist lineaarselt. 
Sellist piirkonda saabki kasutada mõõtmiseks.
b) Takistustermomeetrid   tuginevad  sellele,  et  juhtide  elektritakistus sõltub  (mingis piirkonnas) 
temperatuurist lineaarselt: 
R= R 1 t−t .
o
o
(1.10)
Selliselt võib temperatuure mõõta vahemikus -261 .. 1000oC.
c)    Pooljuhtide    elektrijuhtivusel   tuginevad    termomeetrid .   Mitmete   pooljuhtide    elektrijuhtivus  
suureneb temperatuuri tõusul temperatuuri kasvuga lineaarselt (st takistus väheneb lineaarselt).
d)   Gaastermomeetrid.   Kasutatakse   asjaolu,   et   gaasi   rõhk  p  kasvab   temperatuuri   kasvamisel 
lineaarselt temperatuuri tõusuga. 
e)  Termoelemendid – mõõdavad temperatuuri erinevustest põhjustatud elektromotoorjõudu (pinget) 
erinevate metallide vahel. 
f)  Optilised  püromeetrid – arvestavad keha  heleduse  (kiirgusvõime) ja temperatuuri vahelist seost. 
Kasutatakse kui t>600oC.
g) Paramagnetiliste soolade magnetilised omadused: -273..-270oC.
7
h) jne.
1.5. Rõhk ja rõhu mõõtmine
F
Mehaanikas on rõhk määratud kui pinnale mõjuva jõu F ja selle pinna pindala S suhe: p=
. 
S
Rääkides gaasis või  vedelikus  mingis punktis mõjuvast rõhust, siis selline definitsioon enam hästi ei 
sobi (punkti pindala on 0). Seega peaks defineerima rõhu järgmise seose abil: 
F
p=lim
(1.11)
S 0 S
Kasutatakse jägrmisi rõhuühikuid: 
N
1 Pa=1
,
(1.12)
m2
1 bar=105 Pa ,
(1.13)
1Torr=1 mmHg≈1,33 mbar .
(1.14)
Normaalõhurõhk on  1,013⋅105 Pa=760 mmHg.
Rõhu mõõtmise korral mõõdetakse tihti rõhkude erinevust (mitte absoluutset rõhku). Sel puhul saab 
kasutada  vedelikusammaste  kõrguste  erinevust.  Elektrooniliste  andurite  korral  saab  mõõtmiseks 
kasutada näiteks piesoelektrilist efekti – kristallile mõjuv jõud tekitab elektromotoorjõu, mis on 
võrdeline  mõjuva  jõuga.  Samuti   saab  kasutada   efekti,  et   pooljuhist   läbi   mineva   voolu  tugevus 
muutub, kui pooljuhtkristallile avaldada rõhku.
1.6. Soojuspaisumine. Vee anomaalne käitumine. Soojuspaisumine ja 
mehaanilised pinged
A Soojuspaisumine
Enamik aineid  paisub  temperatuuri tõustes, sest nende aatomite ja molekulide vahelised keskmised 
kaugused suurenevad. Vaatame lihtsuse mõttes kahest aatomist  koosnevat  süsteemi, kus aatomite 
keskpunktide   vaheline   kaugus   temperatuuril   0   K   on  ro.  Joonisel   1   on   toodud   sellise   kahest 
aatomituumast    koosneva    süsteemi   potentsiaalse   energia   kõver   sõltuvana   tuumade   vahelisest 
kaugusest. Selline süsteem üritab võtta minimaalsema potentsiaalse energiaga olekut, st olekut, 
mille korral tuumade vaheline kaugus on ro. Kui süsteemile anda juurde energiat (temperatuuri tõus 
tähendab kineetilise energia  suurenemist ), siis võib tuumade vaheline kaugus muutuda – sellises 
piires nagu seda lubab potentsiaalse energia kõver – näiteks energia  Ekogu  korral hakkab süsteem 
võnkuma sellistes piires nagu  energiatase  Ekogu selle määrab. Kui süsteemile anda juurde väga palju 
energiat, siis tuumadest koosnev süsteem laguneb. Tänu asjaolule, et potentsiaalse energia auk on 
ebasümmeetriline,   nihkub   tuumade   keskmine   kaugus   temperatuuri   tõusul   (ning   energia 
suurenemisel )  r0-st    suuremaks .   Kui   nüüd   on   tegemist   kehaga,   mis   koosneb   väga   paljudest 
aatomitest, siis suurenevad temperatuuri tõusul kõigi aatomite vahelised keskmised kaugused ning 
seega ka keha pikkus. 
8
Joonis 1. Kahe aatomi vahelise potentsiaalse energia  sõltuvus  aatomite vahelisest kaugusest.
Eksperimentidest   on   teada,   et   keha   pikkus  l  on   temperatuuri   kasvuga   T =T −T 0 seotud 
järgmiselt:
l=l 1T  ,
0
(1.15)
ehk
l−l = l=l T
0
0
                (1.16)
kus   on lineaarmõõtmete soojuspaisumistegur (ehk ka soojuse lineaarpaisumistegur) ehk lihtsalt 
soojuspaisumistegur ning  l0 on keha pikkus temperatuuril  T 0 . Keha suhteline  pikenemine  on 
sel juhul
 l =T
l
(1.17)
0
Leiame ka seose pindala suhtelise suurenemise jaoks. Lihtsuse mõttes eeldame, et pinnaks on ruut, 
mille külje pikkus temperatuuril  T0  on  l0.  Temperatuuril  T  on külje pikkus  l. Pindala suhteline 
pikenemine on seega 
2
2
2
 S
S −S
l2−l
l 2 l
0 =
0 = 0
0  l  l 2 −l 0 .
S
S
2
2
0
0
l
l
0
0
(vt ka joonis 2 selgituseks ). Kuivõrd   l2≪2l0 l , siis võime võtta  l2≈0 . Saame 
 S
2l l 2 l
≈
0
=2  T
S
2
2
(1.18)
0
l
l
0
0
l0
 l
l
9
Joonis 2. Keha pindala suurenemine soojenemisel.
Järelikult on soojuse pindpaisumistegur kaks korda suurem lineaarpaisumistegurist. Analoogiliselt 
võib näidata, et keha ruumala suhteline suurenemine keha soojenemisel on 
V =3T
V
(1.19)
0
B Vee anomaalne käitumine
Erinevalt teistest ainetest on vee tihedus tahkes olekus (ehk jää tihedus) väiksem kui vedelas olekus. 
Jää   ja   vee   tihedused   on   vastavalt   900   kg/m3  ning   1000   kg/m3.  Analoogiliselt   tahkete   kehade 
soojuspaisumisega   paisuvad   ka vedelikud  mõningal  määral.  Joonisel  3  on toodud  vee  tiheduse 
sõltuvus temperatuuris. Nagu näha, on vee tihedus suurim temperatuuril 4oC. Seega, kui veekogu 
hakkab   jahtuma,   siis   soojem   vesi   on   pinnal   kuni   hetkeni,   mil    veetemperatuur    veekogu   põhjas 
saavutab 4oC. Edasisel jahtumisel langeb ka veekogu pinnal temperatuur kuni 4oC-ni ning seejärel 
allapoole 4oC. St, võrreldes algse olukorraga, mil põhjas oli külmem vesi, on nüüd põhjas soojem 
vesi (võrreldes vee pinnatemperatuuriga). 
Kui   vesi   hakkab   nüüd   külmuma,   siis   algab   ka    külmumine    pealt,   ning   kuivõrd   jää   tihedus   on 
väiksem kui veel, jääb jää vee pinnale, takistades sedasi veekogu edasist kiiret jahtumist. Vee selline 
käitumine temperatuuri muutustel on võimaldanud elu arengut piirkondades, kus vesi külmub.
1. 0050
1.0000
) 0.9950
3
/m
 (kg 0.9900
0.9850
0.9800
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t (ºC)
Joonis 3. Vee tiheduse sõltuvus temperatuurist.
10
C Soojuspaisumise seos mehaaniliste pingetega
Mehaanikast on teada Hooke'i seadus: kehale mõjuv jõud ja keha  deformatsioon  (pikenemine või 
lühenemine) on võrdelised:
F =k l ,
(1.20)
kus  F  on   kehale   mõjuv   jõud,    l on   keha   deformatsioon   ning  k  on   keha   jäikus.   Samas, 
mehaanikast on teada ka asjaolu, et keha jäikus sõltub keha pikkusest lo, keha ristlõikepindalast S 
ning elastsusmoodulist ehk  Youngi  moodulist E: 
E
k
⋅S
= l . 
(1.21)
0
Kui   keha   pikkus   ja   ristlõikepindala   (mõõdetud   mõjuva   jõuga   risti)   iseloomustavad   füüsikalisi 
mõõtmeid, siis Youngi  moodul  iseloomustab vaid keha materjali. 
Arvestades nüüd võrdusi (1.17), (1.20), (1.21), võime kirjutada
F
 l
=k  l =E⋅S⋅
=E⋅S⋅  T
l
(1.22)
0
Seega oleme saanud järgmise tulemuse: keha soojuspaisumisest tingitud pikenemine avaldab teda 
ümbritsetavatele  kehadele  jõudu, mille saame leida seose (1.17) abil. 
1.7. Ideaalse gaasi olekuvõrrand
Anname  esmalt   ideaalse gaasi    mõiste – ideaalne  gaas  on gaas, mille osakesed ei ole omavahel 
mingis  vastastikmõjus  ning nende mõõtmed võib jätta arvestamata.
Ideaalne   gaas   on   idealisatsioon   –   ükski   reaalne   gaas   ei   vasta   ideaalse   gaasi   ülaltoodud 
definitsioonile,   kuid   samas   –   väga   paljudel   juhtudel   võib   ka   reaalseid   gaase   käsitleda   nö 
ideaalsetena.
Kui gaas (või ka mingi muu keha või süsteem) on tasakaalulises olekus, siis võib keha olekut 
kirjeldada   makroskoopiliste   olekuparameetritega   (rõhk,   tihedus,   temperatuur,   siseenergia, 
entroopia).   Iga   gaasihulga   oleku    määramiseks    piisab   kolmest   parameetrist   –   rõhk,   ruumala   ja 
temperatuur. Need 3 parameetrit on omavahel seotud  teatava  seaduspäraga, mille üldisel kujul võib 
kirjutada järgmiselt:  f  p , V , T =0 . 
Olekuvõrrandiks  nimetatakse avaldist, mis määrab ära seose nende parameetrite vahel (etteantud 
gaasikoguse korral). 
Empiiriliselt ehk katseliselt on tehtud juba 17.-18. sajandil kindlaks järgmised seaduspärasused.
Boyle-Mariotte'i seadus:  Konstantsel temperatuuril on etteantud gaasikoguse rõhk pöördvõrdeline 
tema ruumalaga:
1
p~
ehk  pV =p V = p V = const  .
(1.23)
V
1
1
2
2
Boyle-Mariotte'i   seadus   kirjeldab   nn   isotermilist   protsessi.   Näited   isotermiliste   protsesside 
graafikutest ehk isotermidest erinevates teljestikes on toodud joonisel 4 (a-c).
11
Joonis 4.  Isotermilise  protsessi  graafikud  erinevates teljestikes.  T T
1
2
. Nooled graafikutel a, b 
ja c näitavad protsessi kulgemise suunda – rõhk kahaneb ning ruumala suureneb. 
Charles'i   seadus:    Konstantsel   rõhul   on   etteantud   gaasikoguse   ruumala   võrdeline   tema 
temperatuuriga:
V
V
V
V ~T ehk 
= 1 = 2 =const .
(1.24)
T
T 1 T 2
Ülalnimetatud   seadus   kirjeldab   isobaarilist   protsessi.   Näited   isobaaridest   ehk   isobaariliste 
protsesside graafikutest on toodud joonisel 5 (a-c).
Joonis 5. Isobaarid erinevates teljestikes. 
Gay- Lussac 'i   seadus:    Jääval   ruumalal   on   etteantud   gaasikoguse   rõhk   võrdeline   gaasi 
temperatuuriga:
p
p
p
p~T ehk 
= 1 = 2 =const
(1.25)
T
T 1 T 2
Ülalnimetatud   seadus   kirjeldab   isokoorilist   protsessi.   Isokooride   ehk   samaruumalakõverate 
graafikud on toodud joonisel 6 (a-c).
Joonis 6. Isokoorid (isohoorid) erinevates teljestikes.
12
Antud alapunkti alguses toodud ideaalse gaasi määratlusest erineva võime anda selliselt: gaasid, mis 
käituvad etteantud protsessis vastavalt seostele (1.23)-(1.25), võib käsitleda ideaalsete gaasidena.
Joonis 7. Keha ruumala suurenemine temperatuuri tõusul. Kõikide kehade ruumala-temperatuuri 
sõltuvust  kirjeldavad sirged lõikuvad ühes punktis.
Alljärgnevalt uurime, millest tuleneb seos (1.24). Eksperimendist on teada, et temperatuuri tõusul 
 t võrra on gaasi  ruumala suurenenud: 
V =V 1  t
0
, 
(1.26)
kus   V 0 on   etteantud   gaasikoguse   ruumala   temperatuuril   T =0O C ning    on   konstant. 
Katsed   näitavad,   et   sõltumata   gaasi   rõhust   lõikuvad   kõik   graafikud  V(t)  punktis,   kus 
1
t=−273,15o C (vt   joonis   7).   Võttes     t=T −  ,     saame   võrdusest   (1.26)   seose 

V =V T
0
,   st   konstantsel   rõhul   on   etteantud   gaasikoguse   ruumala   võrdeline   tema 
temperatuuriga.   Ülaltoodud   seletusest   tuleneb   ka   absoluutne   temperatuuri   skaala,   mis   tugineb 
gaaside  paisumisel . 
Leiame üldisema seose isoprotsesside üldistuseks. Selleks vaatleme protsessi, mis koosneb kahest 
osast   –   esimene   osa   on   isotermiline    paisumine    olekust   parameetritega    p , V , T 
1
1
1
olekusse 
 p ' ,V , T 
, T 
2
1
ning teine osa on isohooriline protsess – üleminek olekust   p ' ,V 2
1
olekusse 
 p , V , T 
2
2
2
(vt joonist 8). Esimese protsessi kohta kehtib võrdus:
p V = p ' V
1
1
2
(1.27)
p '
p
teise protsessi kohta
= 2 .
    (1.28)
T1 T2
Joonis 8. Üldine protsess – alguses toimub isotermiline paisumine, seejärel isohooriline protsess 
(soojenemine).
13
Avaldades seosest (1.27) p' ning asendades selle seosesse (1.28), saame järgmise võrduse:
p V
p V
1
1 = 2 2 =const .
(1.29)
T 1
T2
J
Katseliselt   on   leitud,   et   ühe   mooli   korral   on   antud   konstandi   väärtus   R=8,314
. 
mol⋅K
m
Arvestades, et etteantud massiga m ja molaarmassiga M moolide arv on  z =
, saame suvalise 
M
gaasikoguse kohta ideaalse gaasi olekuvõrrandi ehk  Mendelejev -Clapeyroni võrrandi:
pV
m
R .
(1.30)
T
M
Antud võrrand on saadud katseliste seaduspärasuste üldistamisel.
14
II Gaaside kineetiline teooria
2.1. Gaaside kineetilise teooria põhialused
A Gaaside kineetilise teooria põhipostulaadid. 
Gaaside kineetilise teooria põhivõrrandite tuletamisel lähtutakse järgmistest postulaatidest:
1) Molekulidevahelised   kaugused   on   palju   suuremad   molekulide   lineaarmõõtmetest 
(läbimõõdust).
2) Gaasisüsteemi osakesed alluvad  mehaanika  seaduspärasustele.
3) Molekulid liiguvad kaootiliselt. Et neid on palju, siis liiguvad molekulid igas suunas võrdse 
tõenäosusega. Molekulide kiirused muutuvad vaid põrgetel. Gaasi kui terviku masskese on 
paigal. 
4) Molekulide põrked anuma seintega ning omavahel on absoluutselt elastsed.
5) Põrgete   vahel   ei   mõjuta   molekule   mingid   jõud,   nende   liikumine   on   ühtlane.   Põrgeteks 
kulunud aeg on tühiselt väike võrreldes põrgetevahelise  ajaga .
Gaasides   on   molekulide   vahelised   kaugused   suurusjärgus   40⋅10−10 m .   Kuivõrd   molekulide 
läbimõõt on 1-3 Å (1 Å = 10-10 m), siis on esimene postulaat rahuldatud. 
B Ideaalse gaasi rõhk
Tuletame seose ideaalse gaasi rõhu määramiseks mikroparameetritest (osakeste keskmine kiirus, 
ühe   osakese   mass,   osakeste   kontsentratsioon   jms)   ning   mehaanika   seaduspärasustest   lähtudes. 
Lihtsuse   mõttes   eeldame,   et   anumaks,   milles   gaas   paikneb,   on   kuup   küljepikkusega  l.   Olgu 
molekuli mass  mo  ning (keskmine) kiirus  v.  Leiame gaasi poolt seinale avaldatava rõhu. Kuivõrd 
ruumisuunad  on samaväärsed  (ning molekulid  liiguvad  kõigis suundades võrdse tõenäosusega), 
võime valida suvalise seina. Olgu seinaks, millele avaldatavat rõhu uurime, x- teljega  risti olev sein. 
Gaasi poolt seinale avaldatav rõhk on
F
p= x ,
(2.1)
S
kus   S=l 2   on   külje   pindala   ning   F x on   x-telje   sihis   liikuvate   molekulide   poolt   seinale 
avaldatav jõud. Jõu leiame Newtoni II seadusest:
m v 
m  v
2 m v
F
0
x
0
x
0
x ,
x=
     (2.2)
t
t
 t
kus   arvestasime,   et   absoluutselt    elastsel    põrke   korral   muutub   keha   kiirus   suunalt   algsega 
vastassuunaliselt ning jääb suuruse poolest algsega võrdseks,  st
   v =v −v =v −−v =2 v ≡2 v
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
1
1
Ajavahemik  t on aeg molekuli kahe põrke vahel vastu sama seina, selleks on aeg, mis kulub 
2l
kahekordse   seinapikkuse   läbimiseks,   st   t = v . Seega oleme saanud ühe molekuli poolt 
x
avaldatava jõu jaoks  avaldise
m 2
F = 0vx .
(2.3)
x
l
15
Olgu molekulide arv N, siis kõigi molekulide poolt avaldatav jõud on 
m
F = 0 v2 v2 v2 ...v2 .
(2.4)
x
l
1x
2x
3x
N x
Molekulide x-telje suunaliste kiiruste  ruutude  keskmine ehk (x-telje suunaline)  ruutkeskmine  kiirus 
on
∑N v2

i x
v2=
i=1
(2.5)
x
N
m
Seega, kõigi molekulide poolt  x-teljega risti asuvale seinale avaldatav jõud on   F =
N 
v2
x
. 
l
x
Teisalt , arvestame, et kõikides suundades on ruutkeskmised kiirused võrdsed, st  
v2= 
v2= 
v2 , siis 
x
y
z
et  
v2= 
v2 
v 2 
v2=3 
v2  võime jõu jaoks kirjutada
x
y
z
x
1
F = m l N 
v2
x
(2.6)
3 0
Arvestades, et gaasi kontsentratsioon 
N
n=
(2.7)
V
ning   gaasihulga   kogumass   m=m N
0
,   siis   võime   seostest   (2.1)   ja   (2.6)   kirjutada   gaasi   rõhu 
järgmistel kujudel:
1
p= n m 
v2 ,
(2.8)
3
0
1
p=  
v2 .
(2.9)
3
Kuigi seoste (2.8) ja (2.9) tuletamisel on kasutatud lihtsustavaid eeldusi, võib näidata, et täpsete 
arvutuste korral saab ülaltoodutega samad tulemused.
2.2. Temperatuur ja siseenergia
A Ideaalse gaasi siseenergia seos temperatuuriga
Leiame nüüd seosed temperatuuri, osakeste kineetilise energia ja gaasi siseenergia jaoks. Lähtume 
seostest (2.7) ning (2.8):
1 N m 
v2
p=
0
 .
(2.10)
3
V
Viime antud avaldises ruumala vasakule poolele ning korrutame ja  jagame  parema poole läbi 2-ga:
2
m 
v2 2
2
p V = N 0 = N 

E ,
(2.11)
3
2
3
k = 3 k
kus  
   
k
on osakeste keskmine kineetiline energia ning Ek on gaasi kõigi osakeste kogu kineetiline 
energia.   Arvestades   võrduse   (2.10)   jaoks   Mendelejev-Clapeyroni   võrrandit   (1.30)   ning   et 
m
N =
N
M
A
, siis 
16
m
2 m
pV =
RT =
N
M
3 M
A 
k. .
(2.12)
Siit saame osakeste keskmise kineetilise energia jaoks avaldise
3 R
3

 =
T = kT ,
k
2 N
2
(2.13)
A
kus  k =1,38⋅10−23 J on Boltzmanni konstant. 
K
Kuivõrd ideaalse gaasi korral tema osakeste vahelise vastastikmõju võib jätta arvestamata, st ka 
osakeste vahelise vastastikmõju potentsiaalne energia on null, siis on ideaalse gaasi siseenergia 
võrdne tema kõigi osakeste kineetiliste  energiate   summaga :
3
3
U =N  = k N T = z RT ,
k
(2.14)
2
2
kus z on gaasi moolide arv.
B Energia jaotus vabadusastmete järgi
Alapunktis   A   leidsime   ideaalse   gaasi   osakese   keskmine   kineetiline   energia   (2.13)   ja   gaasi 
temperatuuri vahelise seose. Seos (2.13) kehtib tegelikult gaaside korral, mille molekulid koosnevad 
ühest aatomist. Lähem analüüs näitab, et iga võimaliku ruumisuuna kohta, mille sihis osake saab 
1
liikuda ,   tuleb   kineetiline   energia  
kT   .   Kui   vaatleme   1-aatomilise   osakese   liikumist   3-
2
mõõtmelises ruumis, siis on võimalikke vabadusastmeid i=3 - st 3 võimalikku (kulg)liikumissihti. 
Kui tegemist on 2-aatomilise  molekuliga , siis lisaks kulgliikumise kolmele vabadusastmele tuleb 
arvestada molekuli võimaliku pöörlemisega. Kaheaatomiline molekul saab pöörelda kahes  erinevas  
pöörlemistasandis,   seega   on   pöördliikumise   vabadusastmeid   2   ning   vabadusastmeid   kokku 
( kulgliikumine  + pöördliikumine) on  i=5. Kui molekulis on kolm või rohkem aatomit, siis on 
võimalikke   pöördliikumise   tasandeid   (ning   pöördliikumise   vabadusastmeid)   kolm   ning 
vabadusastmeid kokku i=6. 
Seega,   üldjuhul   avaldub   ideaalse   gaasi   osakese   keskmine   kineetiline   energia   temperatuuri   abil 
seosega
i

= kT ,
(2.15)
2
kus i on molekuli vabadusastmete arv. Samuti muutub siis ka gaasi siseenergia avaldis:
i
U = z RT .
(2.16)
2
Kui   gaasi   temperatuur   on   toatemperatuurist   märgatavalt   kõrgem,   tuleks   lisaks   kulg-   ja 
pöördliikumise vabadusastmetele arvestada ka võnkliikumise vabadusastmeid -  aatomid  molekulis 
hakkavad üksteise suhtes võnkuma. 
C Gaaside segu rõhk
Võrdustest (2.8) ja (2.13) on lihtne tuletada, et ideaalse gaasi rõhk ja gaasi temperatuur on omavahel 
seotud järgmiselt:
p=nkT ,
(2.17)
kus n on gaasi kontsentratsioon. Oletame, et gaas koosneb erinevat liiki gaaside  segust , sel juhul on 
gaasi kogurõhk erinevate gaaside osarõhkude (ehk partsiaalrõhkude) summa:
p= p  p  p ...=n kT n kT n kT ...
1
2
3
1
2
3
(2.18)
17
kus  n1,  n2,  ...  on  erinevat  liiki   gaaside  kontsentratsioonid.   Seost   (2.18)  nimetatakse   ka   Daltoni  
seaduseks.
2.3. Siseenergia ja soojusmahtuvus
Keha soojusmahtuvuseks Ckeha  nimetatakse suurust, mis võrdub soojushulgaga, mis tuleb kehale 
anda, et tõsta tema temperatuur ühe kraadi võrra. 
Olgu   temperatuuri   tõstmiseks  dT  võrra   vajalik   soojushulk  dQ.  Siis   on   keha   soojusmahtuvus 
vastavalt definitsioonile:
dQ
C
keha
(2.19)
dT
Soojusmahtuvuse mõõtühiks SI-s on J/K. 
Aine  moolsoojuseks  C   nimetatakse ühe mooli aine soojusmahtust, st –  moolsoojus  on võrdne 
soojushulgaga, mis kulub ühe mooli aine temperatuuri tõstmiseks 1 kraadi võrra.
C
J
C= keha 
 .
(2.20)
z
mol⋅K
Aine erisoojuseks nimetatakse soojushulka, mis on vajalik aine massiühiku temperatuuri tõstmiseks 
1 kraadi võrra. 
C
C
J
c=
= keha 
.
(2.21)
M
m
K⋅kg
Gaasi soojusmahtuvus sõltub sellest, millise protsessi käigus gaasi soojendatakse. Edaspidi, antud 
peatükis vaatleme ideaalse gaasi soojusmahtuvusi ning moolsoojusi. Uurime lähemalt moolsoojust 
jääva  ruumala ning jääva rõhu korral.
A Moolsoojus jääva ruumala korral
Olgu   meil   tegemist   ideaalse   gaasiga   ning   aine   hulk  z   =   1   mool .   Leiame   siis   ideaalse   gaasi 
moolsoojuse jääva ruumala korral CV. Lähtume termodünaamika I seadusest: 
dQ≡ Q=dU dA.
(2.22)
Kuivõrd gaasi töö (väga väike töö) lõpmata  väikesel  paisumisel   d A= p⋅dV ning et V=const, siis 
dV = 0. Seega on gaasi töö null ning gaasile antud ( elementaar )soojushulk on  dQ = dU. Teisalt, 
i
vastavalt seosele (2.16) on  U = RT . Järelikult  
2
i
dT
i
C =
= R
= R.
V
dQ dU 
(2.23)
dT V
dT V 2 dT 2
Arvestades    seoseid    (2.19)   ja   (2.21),   avaldub  z  mooli  gaasi   soojusmahtuvus   jääval   ruumalal 
järgmiselt:
i
C
= z R
keha V
 
(2.24)
2
ning  erisoojus  jääval ruumalal:
i R
c =
V
(2.25)
2 M
Ühe mooli ideaalse gaasi siseenergia võime seega kirjutada 
U =C T
m
V
(2.26)
18
B Moolsoojus jääva rõhu korral
Eeldame taas, et tegemist on 1 mooli ideaalse gaasiga ning lähtume termodünaamika I seadusest, 
mille kirjutame kujul 
dQ=dU dA=dU  p dV .
(2.27)
Arvestame seost (2.26), siis saame
dU
d
d
dV
dV
C =

 pV =
C T  p
=C  p
p
dQ
(2.28)
dT
V
V
p
dT
dT
dT
dT
dT
dV
Viimase võrduse paremal poolel oleva tuletise 
leiame Mendelejev-Clapeyroni võrrandist:
dT
V
R
dV
R
T , siit saame 
ning kokkuvõttes
p
dT
p
i
C
2
=C R=
R
p
V
(2.29)
2
Ideaalse gaasi protsesside  uurimisel  on oluline gaasi moolsoojuste suhe, mida tähistatakse
C
i2
=
p =
(2.30)
CV
i
2.4. Adiabaatiline ja polütroopne protsess 
A Ideaalse gaasi  adiabaadi  võrrand
Adiabaatiliseks   protsessiks  nimetatakse   protsessi,   mille   korral   vaadeldava   süsteemi   ja 
väliskeskkonna vaheline  soojusvahetus  puudub, st dQ = 0. 
Leiame adiabaatilist protsessi kirjeldava võrrandi (analoogiliselt teiste isoprotsesside võrranditega 
(1.24), (1.25) ja (1.28)). Lähtume termodünaamika I seadusest ning arvestame, et   dQ =  0. Siis 
võime kirjutada
dQ=0=dU dA=z C dT  p dV.
V
(2.31)
T
Ideaalse gaasi olekuvõrrandist avaldame rõhu  p=z R
 ning asendame selle võrdusesse (2.31):
V
dV
z C dT z RT
=0.
V
(2.32)
V
Jagame saadud võrrandi mõlemaid poole zT-ga ning integreerime:
C
R
=C lnT R ln V =A
V ∫ dT
∫ dV
(2.33)
T
V
V
R
C −C
kus A on integreerimiskonstant. Arvestame, et 
= P
V =−1 , siis saame võrdusest (2.33)
C V
CV
adiabaatilise protsessi võrrandi:
T V −1=const .
(2.34)
Kasutades ideaalse gaasi olekuvõrrandit, võib antud seose anda ka teisel kujul:
p V =const.
(2.35)
Võrdust (2.35) nimetatakse Poissoni võrrandiks. Joonisel 9 on toodud ideaalse gaasi adiabaat ehk 
19
adiabaatilist protsessi kirjeldav graafik võrdluses tema isotermiga.
Joonis 9. a – gaasi isotermilist protsessi kujutav graafik e isoterm; b – gaasi adiabaatilist protsessi 
kujutav graafik e adiabaat, 
B Polütroopsed protsessid.
Polütroopse   protsessi   võrrandi   saame   adiabaatilise   protsessi   võrrandist   üldjuhul,   asendades 
=n , kus n võib võtta suvalisi väärtusi. Reaalselt toimuvad protsessid ongi pigem polütroopsed 
protsessid – ei ole võimalik saavutada ideaaljuhtumit, mil gaasi soojusvahetus  väliskeskkonnaga  
puudub, ka teised isoprotsessid on ikkagi erijuhtumid. Seega võime polütroopse protsessi võrrandi 
kirjutada kujul
p V n=const .
(2.36)
Näitame,   et   teatavate  n  väärtuste   korral   tulenevad   polütroopse   protsessi   võrrandist   ka   kõigi 
isoprotsesside  võrrandid .
1) n = γ. Adiabaatiline protsess.
2) n = 1. Isotermiline protsess. 
3) n = 0. Võrrandist (2.36) tuleneb, et   p
0
0
, st   p = p =const , st tegemist on 
1 V 1= p2 V 2
1
2
isobaarilise protsessiga.
1
1
4) n  =  ∞. Võtame võrrandist (2.36)  n-nda juure:   pn V = pn V . Et   1
1
1
2
2
∞  0 , siis sellest 
tuleneb, et V =V =const
1
2
, seega on tegemist isohoorilise protsessiga.
2.5. Ideaalse gaasi töö erinevates protsessides.
Ideaalse gaasi töö valemi tuletamisel lähtume nn elementaartöö valemist :  dA= p dV , st
 2
  A=∫ pdV , 
(2.37)
 1
kus (1) ja (2)  tähistavad  vastavalt alg- ja lõppolekuid (täpsemalt – nendele olekutele vastavaid 
parameetrite väärtusi) .
1. Isohooriline protsess
Isohoorilise protsessi korral V = const, st dV = 0, seega ka A = 0.
2. Isobaariline  protsess.
p = const, seega
20
 2
V
A=∫ p dV = p∫ 2 dV = p V∣V2= p V −V = pV.
(2.38)
 1
V
V
2
1
1
1
3. Isotermiline protsess. 
T = const, st  p = p(V)  ning me ei saa  p  enam integraalimärgi alt välja tuua nagu valemi (2.38) 
tuletamisel. Avaldame rõhu ideaalse gaasi olekuvõrrandist ning arvestame, et nii temperatuur kui ka 
moolide arv on konstantsed. Siis saame
 2
V
dV
V
A
2
V
=∫ pV  dV =∫ z R T
=z R T ln V∣ 2=z R T ln
2 .
(2.39)
 1
V
V 1
1
V
V 1
4. Adiabaatiline protsess. 
Analoogiliselt ülaltoodud juhuga ei ole võimalik rõhku p integraalimärgi alt välja tuua. Kasutame 
Poissoni võrrandit, millest avaldame p:  p V = p

1 V 1
, kus p1 ja V1 on algolekule vastavad gaasi 
rõhk   ja   ruumala,   mis   on   konstantsed,   sest   vastavad   kindlale   olekule.  Avaldame   siit   rõhu   ning 
asendame seosesse (2.37), saame
V
p V
V
p V
1
A
2
=∫ p V  dV = 1 1 V 1−∣ 2= 1 1  1 −
V
1
1
V 1
−1
−1  .
1
V 
1−
1− V
V
2
1
Lihtsate  algebraliste teisendustega saame siit töö avaldise jaoks järgmise kuju:
p V
A= 1 1 [1−V1−1].
(2.40)
−1
V 2
Kasutades ideaalse gaasi olekuvõrrandit võime anda töö adiabaatilises protsessis ka järgneva valemi 
abil:
z R T
A=
1 [1−V1−1].
(2.41)
−1
V 2
Seostest (2.40) ja (2.41) saab leida ka ideaalse gaasi töö polütroopses protsessis võttes  =n .
2.6. Gaasimolekulide jaotus kiiruste järgi.
Gaasimolekulid   liiguvad   väga   erinevate   kiirustega.   Põrkudes   omavahel   ning   anuma   seintega, 
muutuvad nii kiiruse väärtus kui ka liikumise suund pidevalt. Igas sekundis toimub ühe molekuliga 
umbes 109 põrget. Seda, kui palju gaasi molekule liigub mingis kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ näitab 
tihedusfunktsioon ehk tõenäosusfunktsioon
 N
v =
v
(2.42)
 v
kus   N v on kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ liikuvate molekulide arv. Tihedusfunktsiooni väärtus 
sõltub   peale   kiirustevahemiku   ka   molekulide   koguarvust  N.   Molekulide   koguarvust   sõltumatut 
suurust nimetatakse jaotusfunktsiooniks:
1
1  N
f v =
v =
v .
(2.43)
N
N  v
Jaotusfunktsioon  näitab, milline on tõenäosus, et antud molekul liiguks kiirustevahemikus ]v, v + 
Δv[, või - jaotusfunktsioon näitab, milline osa molekulidest liigub antud kiirustevahemikus. 
James Clark Maxwell näitas, et gaasi molekulide kiiruste jaoks on jaotusfunktsioon järgmine:
21
−m0 v 2
−m0 v2
f v = A⋅e 2kT v2=4  m0 3e 2kT v2 ,
(2.44)
2 k T
kus  A  on konstant,  m0  on molekuli mass ning  T on gaasi temperatuur. Nagu seosest (2.44) näha, 
sõltub   jaotusfunktsioon   (ja   seega   ka   mingis   fikseeritud   kiirustevahemikus   liikuvate   molekulide 
osakaal) ka gaasi temperatuurist. Antud jaotusfunktsiooni võib esitada ka pisut teistsugusel kujul, 
kui arvestame, et universaalne  gaasikonstant    R=k⋅N A   ning gaasi molaarmass   M =N A⋅m0 , 
m
M
siis saame 
0 =
ning seega on jaotusfunktsioon esitatav ka järgmiselt:
k
R
−M v2
f v =4  M 3e 2RT v2 .
(2.45)
2 RT
Jaotusfunktsiooni kuju erinevate temperatuuride korral on toodud joonisel 10. Kõige tõenäolisema 
kiiruse korral on jaotusfunktsiooni graafikul maksimum. Seega saab ekstreemumtingimusest leida 
kõige tõenäolisema kiiruse avaldise:
v =
t
2kT
(2.46)
m
2RT
M
0
Joonis 10. Molekulide kiiruste jaotus  temperatuuridel  T1=300K ja T2=1000 K a) hapniku  korral; b) 
vesiniku korral.
2.7. Baromeetriline valem. Boltzmanni jaotus
22
III pt. Reaalsed gaasid. Vedelikud ja kristalsed kehad
3.1. Ülekandenähtused
Antud osas käsitleme gaasi (kuid ka vedelikke ja osalt ka tahkeid kehasid) juhul, kui kõrvalekalded 
tasakaalulisest olekust on väikesed. Käsitleme järgmisi ülekandenähtuseid:
1) (gaaside ja vedelike) viskoossus ehk sisehõõrdumine. Üle kantakse  impulssi  ehk liikumishulka.
2)  soojusjuhtivus. Üle kantakse soojushulka.
3) difusioon. Üle kantakse ainet ehk aine hulka.
3.1.1. Viskoossus
Vaatleme   gaasi   voolamist,   olgu   see   laminaarne    voolamine ,   'kihiline'   -   kiirus   erinevates   gaasi 
kihtides on erinev. Empiiriliselt (ehk katseliselt) on kindlaks tehtud, et kahe naaberkihi vahel mõjub 
sisehõõrdejõud:
f
du
=
S ,
(3.1)
dz
du
kus S - kahe naaberkihi kokkupuutepinna pindala, 
- kiiruse muutumise  gradient  (näitab kui 
dz
palju muutub kiirus liikumissuunaga ristipidises sihis,   - sisehõõrdetegur .
Järgnevalt analüüsime, millest sisehõõrdetegur sõltub.
Vaatleme kaht kõrvutiasetsevat gaasikihti, mõlema paksusega on   z . Tähistame ühe kihi kiiruse 
u1, teisel  u2,  Seejuures  u1u2 .  Iga molekul võtab osa kaootilisest soojusliikumisest, keskmise 
kiirusega  v ning korrapärasest  liikumisest  kiirusega u. Olgu kihtide  impulsid  vastavalt p1 ja p2. 
Kuivõrd molekulid liiguvad ühest  kihist  teise, siis kihi  impulss  muutub pidevalt. Aja  t jooksul 
1
muudab    asukohta    ehk    hüppab    naaberkihti    N = nv S t molekuli.   (n  -   molekulide 
6
kontsentratsioon,   kordaja   1/6   tuleneb   sellest,   et   ruumisuundasid   on   6).   Üle   kantakse   impulss 
 p '= N m u1 ,   kus  m  on   ühe   molekuli   mass.   Tänu   teisest   kihist   esimesse   tulevatele 
molekulidele tuuakse juurde impulss   p ' ' = N m u2 . Impulsi muut on seega
1
 p= n v mu −u  S t .
(3.2)
6
2
1
dp
 p
 Kahe naaberkihi vahel mõjuv jõud  f =
≈
. Seega 
dt
t
f
1
1
= n v m u S= nv mu −u  S .
(3.3)
6
6
2
1
Tegelikult saavad otse ühest kihist teise hüpata vaid molekulid, mis asuvad kihist maksimaalselt 
molekulide   keskmise   vaba   tee    kaugusel.   Kasutades  Taylori   rittaarendust.   võime   leida   kihi 
kiiruse  u z  :
du
u  z=u  z 
 ,
(3.4)
dz
du
du
millest saame   u =u z =u  z 
=u  z −=u  z −
2
 ning  u
. Asendades saadud 
dz
1
dz
avaldised võrdusesse (3.3), saame 
23
1
du
f = n m
S ,
(3.5)
3
v  dz
1
millest   saame   avaldise   sisehõõrdeteguri   jaoks:   = n m
3
v  .   Kuivõrd   molekulide   vaba   tee 
1
keskmine pikkus  ~
, kus   - molekulid ristlõikepindala, ning soojusliikumise keskmine 
n 
kiirus 
m T

v =3kT , siis järelikult  ~
, st sisehõõrdetegur sõltub molekulide mõõtmetest 
m

ja massist ning gaasi temperatuurist, kuid mitte gaasi rõhust ja kontsentratsioonist. 
3.1.2. Soojusjuhtivus
Läbi   pinna   pindalaga  S  minev   soojusvoog   ehk   soojushulk   ajaühiku   jooksul   on   vastavalt 
empiirilisele seosele järgmine:
dQ
dT
q=
=−
S ,
(3.6)
dt
dz
dT
kus   on keskkonna  soojusjuhtivustegur  ning  
on temperatuuri gradient (näitab kui palju 
dz
muutub temperatuur ühe pikkusühiku kohta). Analoogiliselt alapunktis 3.1.1 toodud tuletuskäiguga 
on võimalik näidata, millest sõltub soojusjuhtivustegur gaaside korral. On võimalik näidata (vt 
1
tuletuskäiku lähemalt näiteks Saveljevi 'Üldfüüsika I'), et gaaside korral  = n m
3
v  cV , kus cV 
C
i R
i
i T
on   gaasi   erisoojus   jääval   ruumalal.   Kuivõrd   c = V =
V
  ,   siis   ~
,   st 
M
2 m N A m
 m
suurema molekuli massiga (ning ka suurema molaarmassiga) gaasi soojusjuhtivustegur on väiksem. 
Kuid temperatuurist ja molekulide ristlõikepindalast sõltuvad nii gaasi soojusjuhtivustegur kui ka 
gaasi sisehõõrdetegur  ühtemoodi . 
Seose (3.6) abil võib kirjeldada ka soojusjuhtivust  vedelikes  ja gaasides, kuid soojusjuhtivusteguri 
iseloomustamine    –   millest   see   sõltub,   ei   ole   nii   lihtne.   Kui   tegemist   on   mitmest   erineva 
soojusjuhtivusteguriga   kihist   koosnevast    seinaga    kogupaksusega    z ,  siis   sellise   liitmaterjali 
korral on pindala S läbiv soojusvoog
S
q
 T
,
 z
 z
 z
1
  
(3.7)

2 
3 ...



1
2
3
kus   z  z  z ..
  ...
1,
2,
3,.
on erinevate kihtide paksused ning  1, 2, 3,
on vastavalt nende kihtide 
soojusjuhtivustegurid. 
3.1.3. Difusioon gaasides
3.1.4. Molekulide keskmine vaba tee pikkus gaasides
3.2. Gaaside kõrvalekaldumine ideaalsusest. Van der Waalsi võrrand
A. Gaaside kõrvalekaldumine ideaalsusest.
m
Ideaalse gaasi olekuvõrrand (1.30)  p V =
R T  sobib ka reaalsete gaaside kirjeldamiseks, kuid 
M
24
mitte   väga   suurtel   rõhkudel   ja   temperatuuridel.   Reaalse   gaasi   olekuvõrrandi   koostamisel   tuleb 
arvestada molekulide lõplikke mõõtmeid ning molekulide vahel mõjuvaid tõmbe- ja tõukejõudusid. 
Molekuli  diameeter  on suurusjärgus 10-10  m. Võttes molekuli kujuks 'kerakujulisuse', leiame, et 
molekuli ruumala on suurusjärgus  4⋅10−24 m. Normaaltingimustel on 1 cm3-s gaasis  2,7⋅1019
molekuli, nende poolt hõivatud ruumi koguruumala seega ligikaudu 10-4 cm3. Kui aga seesama gaas 
on 5000 korda normaalrõhust suurem, on samas ruumalas 5000 korda rohkem molekule ning nende 
poolt hõivatud ruumi koguruumala umbes 0,5 cm3. On selge, et antud juhul peame arvestama, et 
vaba ruumala on 1 cm3-st oluliselt väiksem. 
Analoogiliselt   tuleb   arvestada   ka   molekulide   omavahelist   interaktsiooni,   mis   avaldub   rõhule 
lisanduvatest parandusliikmetest. 
Kahe molekuli vahelist interaktsiooni kirjeldab potentsiaalne energia U, mille sõltuvus molekulide 
dU
vahelisest   kaugusest  r  on   toodud   joonisel   3.1.   Molekulide   vaheline   mõjub   jõud   F =−
. 
dr
dU
Seega, kui   r r0 , siis on puutuja graafiku  U(r)  puutuja  tõus  
0 ning molekulide vahel 
dr
mõjuv jõud  F 0 , st molekulide vahel mõjuv jõud on suunatud r kasvule vastupidises suunas - 
jõud üritab molekule tasakaaluasendisse tagasi tõmmata. Seejuures, mida suurem on molekulide 
vaheline kaugus  r, seda väiksem on graafiku tõus ning seda väiksem absoluutväärtuse poolest ka 
dU
molekulide   vaheline   jõud.   Teisalt,   analoogiliselt,   kui   rr0 ,   siis  
0 ning   F 0   - 
dr
molekulide vaheline jõud on  tõukejõud . Kui molekulide vahelised keskmised kaugused on suured, 
siis võib molekulide vahelised tõmbejõud jätta arvestamata, molekulide kontsentratsiooni kasvades 
aga seda ignoreerida ei tohi.
B. Van der Waalsi võrrand 
Vaatleme gaasikogust, mille hulk on z=1 mool. Siis  kirjutatakse  van der Waalsi võrrand järgmiselt:
 a
p
V−b=RT ,
(3.8)
V 2
kus b on ühe mooli gaasi poolt hõivatud ruumala ( neljakordne  molekulide ruumala), a iseloomustab 
tänu molekulide omavahelisele külgetõmbejõule ilmnevat lisarõhku. Konstandid a ja b määratakse 
eksperimentaalselt. Selgitame konstantide  b  ja  a  tähendust. Olgu molekuli raadius  d. Siis saaksid 
oleks   kahe   teineteisele   võimalikult   lähedale   jõudnud   molekulide   tsentrite   vaheline   kaugus   2d. 
Kummagi   molekuli   tsentri   jaoks   jääks   seega   kättesaamatuks   ruum   raadiusega   2d,  st   kaheksa 
molekuli ruumalaga võrdne ruumala. Ühe molekuli tsentri kohta jääks seega kättesaamatuks 4-
kordne molekuli ruumala. Parandusliige  a/V2  näitab 1 mooli molekulide poolt tekitatud lisarõhku 
tänu   nendevahelisele   külgetõmbele.   Kuivõrd   molekulide   vahelise   kauguse   suurenemisele 
vähenevad molekulide vahelised külgetõmbejõud, siis on lisarõhk seotud ka gaasi ruumalaga  V. 
Suvalise gaasikoguse z mooli korral on van der Waalsi võrrand järgmisel kujul:
 a'
p
V−b'=zRT ,
(3.9)
V 2
kus  a ' =z2a ning  b' =z b . Sõltuvalt temperatuurist võib konkreetse gaasi korral olla võrrandi 
(3.9)   järgi   esitatud   gaasi   isotermidel   erinev   kuju   (vt   joonis   3.2).   Kriitilisest   temperatuurist  Tkr 
kõrgemal   temperatuuril   T T
1
kr
  on   graafik   monotoonselt   kahanev   –   ruumala   kasvamisel 
kahaneb rõhk monotonnselt. Kriitilisest temperatuurist madalamal temperatuuril  T T
2
kr
 esineb 
graafikul ka kasvav osa - kuigi ruumala suureneb, hakkab rõhk kasvama.  Reaalsuses  pole selline 
gaasi sellist käitumist täheldatud. 
Siiski   on   van   der   Waalsi   võrrandi   kasutamine   reaalsete   gaaside   puhul   võimalik.  Analüüsime 
25
võrrandit (3.9) lähemalt. Korrutame  võrrandit (3.9)  V2-ga ning viime  kõik liikmed ühele poole 
võrdusmärki. Saame
pV 3−b'  z RT V 2a ' V −a ' b '=0.
(3.10)
Joonis   3.2.   Van   der   Waalsi    isotermid    –   gaasi   rõhu  p  sõltuvus   gaasi   ruumalast  V  etteantud 
gaasikoguse z korral. 
Antud võrrand on iga fikseeritud z, T ja p väärtuse korral V jaoks  kuupvõrrand , millel on üldjuhul 3 
lahendit. Näiteks joonisel 3.2 on gaasi temperatuuril T2 rõhu väärtusel p2 gaasil võimalik 3 erinevat 
ruumala   väärtust.   Rõhu  p1  korral  on   gaasil   üks   võimalik   ruumala   väärtus.     Temperatuuril 
T T
1
kr
  korral saab võrrandil (3.10) iga fikseeritud rõhu väärtuse jaoks olla vaid 1 reaalne 
lahendit, st ruumala suurenemisel väheneb gaasi rõhk monotoonselt. 
dp
Kriitilise  temperatuuri  T kr korral esineb isotermil nn kriitline punkt, milles nii 
=0  kui ka.
dV
d 2 p =0 . Avaldades võrrandist (3.9) rõhu  p  ning võttes tuletised, siis saame kolm võrrandit 
dt2
kolme parameetri (kriitiline temperatuur   T kr , kriitiline rõhk   pkr ja kriitiline ruumala   V kr
ühe mooli aine korral) jaoks, millest saame 
a '
8 a '
 
V =3 b' , p =
T =
kr
kr
27 b '2 kr 27 b ' R .
(3.11)
Teisalt, määrates eksperimendist ülaltoodud  kriitilised  väärtused, saab leida konstandid  a'  ja  b'. 
Kriitilises  punktis kehtib ühe mooli gaasi korral seos
3
p V = R T
kr
kr
8
kr
C Reaalse gaasi isotermid 
Reaalse   gaasi   isoterm   on   toodud   joonisel   3.3a.   Olgu   meil   gaas   fikseeritud   temperatuuril   ning 
väikese rõhu korral. Gaasi ruumala vähendamisel ruumalani  VA  hakkab alguses rõhk tõusma kuni 
punktini  A,  seejärel   hakkab   gaas   kondenseeruma   vedelikuks   –   aine   kihistub   kaheks   faasiks   – 
vedelaks   ja   gaasiliseks.   Ruumala   edasisel   vähendamisel  VB-ni   on   kogu   gaas   kondenseerunud 
vedelikuks   ning   aine   ruumala   edasisel   vähendamisel   kasvab   rõhk   väga   kiiresti.    Isotermi  
horisontaalsele osale  A-B  vastaval osal on gaas ja vedelik tasakaalus – gaas on küllastunud auru 
olekus. 
26
Oma vedelikuga tasakaalus olevat auru nimetatakse küllastunud auruks.
Graafikul toodud horisontaalne osa vastab küllastunud auru rõhule  pk,,a, antud gaasi hulga korral 
vastava gaasi ruumala on Vg = VA  ning vedeliku ruumala on VV = VB. 
 
a
b
Joonis 3.3. a) Reaalse gaasi isoterm, kui   T T kr ; b)  faasidiagramm   pV-teljestikus. Kriitilisest 
temperatuurist kõrgematel temperatuuridel võib aine olla vaid gaasilises faasis.
Kui aine temperatuur on kõrgem kui kriitiline temperatuur, siis kondenseerumist ei toimu – pole 
võimalik vahet teha gaasilisel ja vedelal olekul. Kriitilisest temperatuurist kõrgemal temperatuuril 
pole gaaside veeldamine kokkusurumise teel enam võimalik. Joonisel 3.3b toodud faasidiagrammil 
on näidatud piirkond, millel on aine gaasi ja vedeliku seguna – gaas on sel juhul küllastunud auruna . 
3.3. Gaaside veeldamine. Joule'i-Thomsoni efekt
3.4. Faasiüleminekud
Näiteks – kristallilises olekus olevale ainele rõhu kasvamisel võivad molekulid teatava kriitilise 
rõhu   väärtuse   korral   võtta   uue   asendi.   Faasiüleminekuteks   on   ka   näiteks   raua   üleminek 
magneetuvast   olekust   mittemagneetuvaks   kui   temperatuur   tõuseb   kõrgmela   nn   Curie   punktist; 
üleminek ülijuhtivasse faasi, kus ainel puudub elektriline takistus elektronide (rühma kui terviku) 
omaduste modifitseerumise tõttu; heeliumi üleminek ülivoolavuse faasi jne. 
1) faasiüleminekud, mille toimumise ajal konstantsete makroparameetrite korral (konstantse rõhu, 
temperatuuri   korral)   eraldub   või   neeldub   soojust   ning   olekuparameetrid   muutuvad   hüppeliselt. 
Näiteks sulamise korral eraldub soojust ning tihedus muutub hüppeliselt.
2)   faasiüleminekud   ilma   soojuse   neeldumise   ning   eraldumiseta,   olekuparameetrid   muutuvad 
seejuures   pidevalt.   Teisalt   võivad   muutuda   (muutuvad)   hüppeliselt   nende   olekuparameetrite 
tuletised rõhu, temperatuuri järgi.
Kogemustest on teada, et aine kui terviku üleminek uude faasi algab mikroskoopilises skaalas – 
näiteks   aurus   tekivad   mikroskoopilised,   alla   mikronilise   läbimõõduga   vedeliku   kerad   enne 
terviklikku   vedelasse   faasi   üleminekut.   Sulametallis   tekivad   ülalpool   sulamistemperatuuri 
temperatuuri vähenedes mikrokristalllid, millest saavad tahke kristallilise faasi tahkestumise  tsentrid  
või    tuumad .   Polükristallide,   näiteks    keraamika ,   omadused   sõltuvad   oluliselt   mikrokristallide 
suurusest . Näiteks vee anomaalne käitumine  4oC  juures ning jää väiksem tihedus vee tihedusega 
27
võrreldes on põhjustatud vesiniksidemetest. 
Nagu teame võib vedelikku alajahutada – vedelas olekus olevad aine temperatuuri saab langetada 
alla   sulamis/tahkestumistemperatuuri   ilma   et   aine   olek   muutuks.   Sellist   vedelikku   nimetatakse 
alajahutatud   vedelikuks.   Kui   tegemist   on   silikaadiga   (räniühendiga),   siis   jälgitakse   vedeliku 
üleminekut   tahkesse   klaasilisse   olekusse   ehk   nn   klaasi-üleminekut.   Mitteorganiseeritud, 
mittekristalliline tahke olek on saavutatud eriliste termodünaamiliste, mehaaniliste ning optiliste 
omadustega,  kusjuures  antud olek ei ole termodünaamilise tasakaalu olekus. Selline üleminek on 
toimunud ilma soojuse eraldumiseta ning ilma tiheduse hüppelise muutuseta. 
...  termodünaamilised  potentsiaalid ning faasiüleminekute  selgitus  potentsiaalide omaduste kaudu – 
Ehrenfesti teooria. 
1937. märkis L. Landau, et faasiüleminekud, mille käigus energiate ei eraldu ega neeldu, kaasnevad 
sümmeetria muutusega (välja arvatud vedeliku-gaasi üleminek kriitilise punkti juures). Näiteks raua 
magneetuvuse   muutumine   Curie   punkti   juures   on   tingitud   molekulide   pöörlemissuundade 
muutustest – sisemine sümmeetria on muutunud. 
Struktuuriliste (strukturaalsete) muutustega  seotud faasiüleminekud
Mitmete   ainete   korral,   mil   tahkes   olekus   aine   teostab   faasiülemineku,   on   see   seotud   kristallis 
aatomite   asukoha   muutustega,   seetõttu   muutub   ka   kristalli   sümmeetria.   Selliseid   üleminekuid 
nimetatakse struktuurilisteks üleminekuteks. Sümmeetria muutus on seotud kõrgema sümmeetriaga 
oleku (rohkem sümmeetriatelgi ja -parameetreid) üleminekust väiksema sümmeetriaga olekussse. 
Vedelikus   on   gravitatsioonitsentrid,   mis   on   üle   kogu   vedeliku   juhuslikult   jaotunud   ning 
anisotroopsete molekulide teljed on suunatud juhuslikes suundades. Korrastatumas faasis on kõigi 
molekulide   sümmeetriateljed   suunatud   ühes   suunas:   Selliseid   vedelaid    faase    nimetatakse 
vedelkristallideks (ka mesomorfseteks  faasideks ). 
Mehaaniliste   omaduste   seisukohalt   on   vedelkristalli   korral   tegemist   vedelikuga.   Kuid 
sümmeetriaomadused   on   analoogilised   kristallide   omadustega.   Need   sümmeetriad   muutuvad 
vedeliku-vedelkristalli   faasiülemineku   korral.    Erandiks    selliste   üleminekute   korral   on   klaasi-
üleminekud. Klaasides puudub kaugkord, mis on omane kristallidele.  Klaasid  on mittekorrastatud 
materjalid allpool tasakaalupunkti. Struktuurilised üleminekud on tihti seotud füüsikaliste suuruste 
muutustega   –   tiheduse,   soojusjuhtivusteguri,    elastsuskoefitsendi    jne,   või   uute   omaduste 
ilmnemisega   –   ferromagneetilisus   näiteks.   Struktuurilised   üleminekud   võib   omakorda   kaheks 
jagada:
–
korra/korratusega seotud üleminekud;
–
nihetega seotud üleminekud.
Korra/korratusega   seotyd   üleminekud   on   iseloomulikud   näiteks   binaarsetele   metallisulamitele 
(nöiteks   vask-tsink    sulam    e  β-messing).    Messingi    jaoks   on   kristallistruktuur   madalatel 
temperatuuridel  kuubiline , kõrgematel temperatuuridel  tahk -tsentreeritud kuubiline. Korrastumist 
iseloomustab tõenäosus, et tahu keskel olev punkt hõivataks evase või tsingi aatomiga. Kõrgematel 
temperatuuridel on tõenäosused 50-50. Korra/korratusega seotud üleminekud on seotud mõnedes 
kristallides  ferroelektriliste-paraelektriliste üleminekutega.
Nihetega   seotud   üleminekud   on   tingitud   kas   aatomi   nihkest   kristallvõres   või   aatomite   grupi 
pöördest kristallvõres teiste aatomite suhtes. Kuigi need liikumised on  lokaalsed , on need siiski 
suuremal või vähemal määral kollektiivsed – need toimuvad kõikjal kogu  materjalis . Teisalt, sellise 
ülemineku puhul ei muutu aine keemiline koostis, vaid ainult struktuur. Samuti ei ilmne aatomite 
difusiooni. 
28
Mittestruktuurilised üleminekud (üleminekud ilma struktuuriliste muutusteta)
Teistsugused üleminekud kristallides on nö mittestruktuurilised üleminekud, mille korral kristallide 
struktuur jääb muutumatuks. Paljud  sellistest  üleminekutest on seotud tahkistes olevate elektronide 
omadustega. Need on näiteks ferromagnetilised, ülijuhtivuse ja metalli/isolaatori üleminekud. 
Ferromagnetism    tuleneb    tahkises    olevate   elektronide   magnetilisest   sidustamisest.   Ülijuhtivasse 
olekusse   üleminek   viib   elektrilise   takistuse   kadumiseni   kristallides   ning   on   seotud   elektronide 
kollektiivse käitumisega. See on teist liiki üleminek. 
Metalli/isolaatori üleminek ilmneb mõningates tahkistes rõhu tõstmisel üle teatava kriitilise rõhu – 
rõhu   tõusmisel   muutub    kristall    elektrit   juhtivaks,   see   ilmneb   näiteks   räni   ja   germaaniumi 
rikastamisel arseeni ja galliumiga.
Mittetasakaalulised üleminekud
Mitmed vedelikud teostavad faasiülemineku, mille käigus muutuvad nende mehaanilised omadused. 
Need üleminekud on seotud kas difusiooniga seotud aatomite või molekulide vabadusastmete arvu 
vähenemisega või seotud segudes  lisandite  erineva käitumisega. Uus faas vastab mittekorrastatud 
faasile – molekulide või aatomite vahelist kaugkorda ei ole. Need üleminekud toimuvad kindlal 
temperatuuril,   mis   antud   materjali   jaoks   ei   ole   fikseeritud,   sest   sõltub   sellest,   kuidas   materjali 
soojuslikult töödeldakse. Uus faas ei ole tasakaaluline. Klaasi-faasiüleminekul toimub uue faasi 
moodustumine vedelikust. See ilmneb vedelike korral, mille viskoossus kasvab jahutamisel väga 
suureks (107-1010P). Allpool  sulamispunkti  läbivad need materjalid esmalt alajahutatud vedeliku 
oleku, seejärel tahkestuvad klaasiliseks. Sellisteks  aineteks  on mitmed  oksiidid , näiteks SiO2, B2O3, 
mitmed  binaarsed  süsteemid, näiteks As-S, As-Sc, Fe-B, Pd-Si, orgaanilised  lahused jne.
Geelistumine on lahuse-geeli üleminek. Seda on täheldatud mitmete lahuste korral, kus lahusti võib 
olla   nii   orgaaniline   kui   ka   mitteorgaaniline.   Geelistumine   toimub   kindlate   parameetrite 
(temperatuur,   kontsentratsioon,   pH-tase)   korral.   Moodustub    kolmemõõtmeline    mitteperioodiline 
striuktuur, kuid tahkise  viskoelastsete omadustega. 
Mittetasakaalulise üleminekuna võib mainida ka ülemineku kolloidaalsesse faasi, mis on tegelikult 
kahefaasiline segu, kus ühes faasis olev on peenelt  pihustunud teise faasi sisse.
3.5. Kristallid. Kristallilise oleku omadused
Mitte kõik  tahked  kehad ehk  tahkised  ei ole  kristallilised  olekus. Kristallilisi kehasid iseloomustab 
anisotroopsus – füüsikaliste omaduste sõltuvus valitud sihist. Näiteks keha mehaanilised omadused 
(elastsuskoefitsent, purunemispinge vms), optilised omadused ( murdumisnäitaja  vms), soojuslikud 
omadused   (soojusjuhtivus)   või    elektrilised    omadused   on   erinevates   sihtides   erinevad.   Keha 
omaduste  anisotroopsus  on   tingitud   aatomite   korrapärasest   asendist.   Erinevatelt   vedelikest 
paiknevad aatomid kristallides korrapäraselt, kuid aatomitevahelised kaugused erinevates sihtides 
paiknevate kaasaatomite vahel on erinevad. 
Struktuuriliselt   on   vähimaks   elemendiks   nn   elementaarrakk   –   see   on   selline   vähim 
ruumikontsentratsioon, milles on kajastatud aatomite struktuur. Joonistel xx-xx on toodud mõned 
kristallide näited. Lihtsaimaks struktuuriks on kuubiline struktuur (näited... )Näiteks keedusoola 
NaCl   kristallis   on   tegelikult   kaks   kuubilist   struktuuri   –   nii   Na   kui   ka   Cl   aatomid   paiknevad 
kuubilises strukuuris vastavalt Na ja Cl aatomite suhtes. Need kaks kuubilist struktuuri on omavahel 
nihutatud poole võrekonstandi (võrekonstant on elementaarraku pikkus) võrra. 
29
Aatomid saavad võnkuda oma tasakaaluasendi ümber. Mida kõrgem on keha temperatuur, seda 
suurem   on   võnkumiste   keskmine    amplituud .   Tänu   aatomite   vahel   mõjuvatele   van   der   Waalsi 
jõududele (vt 1.6.) suureneb temperatuuri  kasvul  ka aatomite vaheline keskmine kaugus, mis viib 
keha paisumiseni. 
Kristallide soojusmahtuvus.
1
Kristallis on aatomil kolm vabadusastet. Iga vabadusastme kohta tuleb kineetilist energiat 
kT
2
1
(nii nagu ka gaaside korral), ka potentsiaalset energiat on iga vabadusastme kohta 
kT . Seega 
2
on keha siseenergia (keha moodustavate aatomite kineetiliste ja potentsiaalsete energiate summa) 
võrdne 
1
U =3 N 1 kT  kT=3 N kT.   
2
2
Kui tegemist  on ühe mooli ainega, siis   N = N
k =R
A
  ning  et   N A
, siis saame  ühe mooli 
kristalli  siseenergiaks   U =3 R T . 
Kui jätame arvestamata kehale soojushulga andmisel toimuva keha paisumise (see on väga väike), 
st keha paisumistöö on väike võrreldes siseenergia kasvuga, siis  Q=U ning seega on keha 
moolsoojus võrdne moolsoojusega jääval ruumalal:
J
C=C =∂Q =∂U =∂3RT =3 R≈25,12
V
∂T V
∂T
∂T
mol⋅K
Seda   seost   nimetatakse   ka   Dulong- Petit '   seaduseks   –   tegemist   on   katselise   seadusega.   Nagu 
täpsemad katsed näitavad, ei ole kristalli moolsoojus päris konstantne, vaid sõltub temperatuurist 
(eriti madalamatel temperatuuridel), seda sõltuvust kirjeldab joonisel .. toodud graafik. 
3.6. Vedelikud.  Pindpinevusjõud . Kapilaarsus
Röntgeniuuringud kinnitavad, et vedelikes eksisteerib nn lähiskord –  lähimad  molekulid paiknevad 
üksteise suhtes enam-vähem korrapäraselt, kui kaugemate molekulide suhtes korrapära puudub, 
erinevalt kristallidest, milles aatomid erinevates rakkudes paiknevad üksteise suhtes võrekonstandi 
kordse sammu kaugusel. 
Arvestades aine struktuuri, võib öelda, et paljud tahked kehad, näiteks klaas, on tegelikult vedelikud 
oma füüsikaliste omaduste poolest (need on isotroopsed) – kuigi, väga suure viskoossusega vedelik 
(voolab   väga   aeglaselt).   Selline   vedelik   on   tegelikult   nn   metastabiilses   olekus   –   alajahutatud 
vedelik.   Kui   selline   tahke   aine   sulab   (muutub   vedelaks,   voolavaks),   siis   ei   soojust   ei   eraldu, 
üleminek tahkest olekust vedelasse on pidev, mitte hüppeline.
Vastavalt   Frenkeli   teooriale   toimub   vedelikus   molekulide   soojusliikumine   järgmiselt:   molekul 
võngub oma tasakaaluasendi juures; kui energia läheb suuremaks (naabermolekulid annavad pisut 
energiat   juurde)   või   naabermolekulid   nihkuvad   pisut,   hüppab   molekul   järgmisse   kohta,   uude 
tasakaaluasendisse.   Tänu   molekulide   suuremale   liikuvusele   vedelikus   võrreldes   kristallidega, 
toimub ka difusioon vedelikes märgatavalt kiiremini kui kristallides, st difusiooni  mehanism  on 
sarnane difusiooniga gaasides. 
Vedelikke   iseloomustab   nn   pindpinevusjõud.   Tänu   sellele,   et   vedelikes   on   osakestevahelised 
kaugused väiksemad kui gaasis, siis  üritavad  kõik vedelik võtta kuju, mille korral maksimaalne 
hulk molekule oleks ümbritsetud teiste molekulidega. St, keha üritab võtta kuju, mille korral antud 
ruumala puhul oleks minimaalne pindala.  
30
IV Termodünaamika alused
4.1. Soojusmasin. Soojusmasina kasutegur
Vaatle siinkohal olid soojusülekandega seonduvad protsesse ja seaduspärasusi. Termodünaamika 
uuris alguses, kuidas muuta soojust tööks, st. kuidas muuta siseenergia (auru energia) mehaaniliseks 
tööks.   Sellest   on   tuletatud   üldised   termodünaamika   seaduspärasused,   mida   rakendatakse   nii 
füüsikas,   keemias,   bioloogias   ning   tehnikas.   Termodünaamika   uurimisvaldkonna   alla   ei   kuulu 
kehade  molekulaarne  struktuur ja  siseehitus .
Klassikalise termodünaamika aluseks on 2 printsiipi  (vahel tuuakse neid siiski 3).
Termodünaamika I printsiip: 
Süsteemile antud soojushulk   Q   läheb süsteemi siseenergia muuduks   U   ning töö   A
tegemiseks välisjõudude vastu:
Q=U  A .
(4.1)
Pööratav protsess - protsess, mida saab teostada algsele suunale vastupidises suunas nii, et süsteem 
läbib kõik samad olekud , mis pärisuunas, kuid vastupidises järjekorras.
Kuivõrd süsteemi oleku fikseerimiseks peab süsteem kui tervik olema tasakaalulises olekus, siis on 
läbib süsteem nii päri- kui ka vastusuunas tasakaaluliste olekute jada, st protsess on tasakaaluline. 
Seega, pööratav protsess on tasakaaluline protsess. Pöörataval protsessil on järgmine omadus: kui 
süsteemi üleminekul olekust (1) olekusse (2) saab süsteem soojushulga  Q ning teeb tööd A, siis 
vastupidises   suunas   minnes   (2)  →  (1)   annab   süsteem   ära   soojushulga   Q ' =−Q ning 
välisjüud teevad tööd A' = - A. Seega, pööratava protsessi (1) → (2) → (1) järel jäävad süsteemi 
ümbritsevad kehad 'muutumatuks'. 
Ringprotsessiks   ehk   tsükliks   (ehk   tsükliliseks   protsessiks)  nimetatakse   protsessi,   mille   korral 
pöördub protsess algolekusse tagasi (üldjuhul pöördub algolekusse tagasi teist teed pidi). pV-, pT- ja 
TV-graafikutel kujutab tsüklit  kinnine  kõver. Tsüklilise protsessi näide on toodud joonisel 4.1. 
Joonis 4.1. Tsükliline protsess olekust (1) parameetritega  T , p ,V
1
1
1
olekusse (2) parameetritega 
T , p ,V
2
2
2
mööda  ülemist  kaart, ning olekust (2) olekusse (1) mööda alumist teed.
 2
Üleminekul olekust (1) olekusse (2) teeb gaas tööd   A
p
12=∫
V  dV . Geomeetriliselt on see 
1
töö võrdne V-telje ning (ülemise) kõvera (1)-(2) vahele jääva kõvertrapetsi pindalaga. Üleminekul 
1
olekust (2) olekusse (1) teeb gaas tööd  A
p
21=∫
V dV . Kuivõrd gaasi ruumala väheneb, siis 
 2
on   töö   negatiivne.   Geomeetriliselt   on   tehtud   töö   A21   absoluutväärtuselt   võrdne  V-telje   ning 
(alumise) kõvera (2)-(1) vahele jääva kõvertrapetsi pindalaga. Kogu tsükli vältel  tehtav  töö on 
A= A12 A21=∣A12∣−∣A21∣ ,   joonisel   4.1.   on   tsükli   vältel   tehtav   töö   geomeetriliselt   võrdne 
31
ruudulise ala pindalaga. 
Kui soojusmasin töötab tsükliliselt, siis teeb soojusmasin ümbritsevate kehadega pidevalt tööd (või 
tehakse temaga tööd). Tsükli lõpuks on jäävaks suuruseks olekufunktsioon - siseenergia.
Kõik   soojusmasinad   -    aurumasinad ,   bensiini-   ja   diiselmootorid   vms   -   töötavad   mingi   tsükli   e 
ringprotsessi alusel. Kõige lihtsam tsükkel on näiteks selline - tööd tegev gaas paisub ruumalast V1 
ruumalani  V2,  seejärel surutakse taas kokku tagasi. Et gaasi poolt tsükli jooksul tehtav töö oleks 
positiivne, peab rõhk paisumisel olema suurem kui kokkusurumisel. St, et paisumisel tuleb töötavat 
gaasi soojendada - tänu gaasi siseenergia suurenemisele on rõhk suurem, kokkusurumisel tuleb 
gaasi jahutada. 
Rakendame  termodünaamika I seadust tsüklilise protsessi korral:
- tsükli esimeses osas saab süsteem soojushulga:  Q =U −U A
12
2
1
12
-   tsükli   teises   osas   annab   süsteem   soojushulga   ära,   st   saab   negatiivse   soojushulga: 
−Q =U −U  A
21
1
2
21
. 
Liites need võrdused kokku saame süsteemi poolt tsükli vältel tehtud kogutöö
A= A12 A21=Q12−Q21 .
(4.2)
Soojus (jõu) masinaks  nimetatakse perioodiliselt töötavat masinat, mis teeb tööd väljastpoolt saadava 
soojuse arvelt. 
Termodünaamika I seaduse üks formuleeringutest: pole võimalik ehitada soojusmasinat, mis  teeks  
rohkem tööd, kui talle väljastpoolt energiat juurde antakse. 
Kogu juurdeantav energia eilähe tööks. Soojusmasina kasutegur on masina poolt tehtud (kasuliku) 
töö A ja juurdeantava soojushulga Q12 suhe:
A
Q
=
= 12−Q21 ≤1 .
(4.3)
Q
Q
12
12
Sageli tähistatakse   Qs=Q1≡Q12 - soojendaja poolt kehale antav soojushulk;   Qk=Q2≡Q21 - 
kehalt jahutajale antav soojushulk.
4.2. Termodünaamika II printsiip, ideaalne soojusmasin. Külmkapp ja  
soojapump
A Termodünaamika II printsiibi mõned formuleeringud:
1) Ei ole võimalik selline protsess, mille  ainus  lõpptulemus oleks soojuse üleminek külmemalt 
kehalt soojemale.
Soojuse ülekandmine külmemalt kehalt soojemalt on võimalik, kuid sel juhul peab mingi masin 
tegema tööd soojuse ära võtmiseks külmemalt kehalt, st ümbritsevates  kehades  toimub muutus - 
lõpptulemuseks on soojuse ülekandmine külmemalt kehalt soojemale ja masina poolt ümbritsevas 
keskkonnas teostatud muutus. Selliselt  toimivad  näiteks külmkapp ja soojapump.
2) On võimatu selline protsess, mille ainus lõpptulemus oleks soojuse võtmine mingilt kehalt ja 
selle täielik muundamine tööks.
Ideaalne gaas paisub soojendamisel ning teeb seejuures tööd - kogu juurdeantav soojushulk võib 
minna paisumisel tehtud tööks, kuid - gaasi ruumala on suurenenud, st juurdeantava soojushulga 
muutmine tööks ei ole ainus lõpptulemus. Teisalt, kui soojusmasin töötab tsükli alusel, siis toimub 
vahepeal  soojushulga Q2 andmine külmemale kehale, st kogu juurdeantav soojushulk ei lähe tööks. 
B  Carnot ' tsükkel.
32
Olgu meil  kaks soojusreservuaari temperatuuridega  T1  ja  T2,  kusjuures   T 1T 2 . Eeldame, et 
mõlema reservuaari soojusmahtuvused on lõpmata suured, st soojuse juurdeandmisel reservuaarile 
või   reservuaarist   võtmisel   nende   temperatuur   ei   muutu.   Vaatame,   kuidas   sel   juhul   pööratavat 
protsessi käsitleda. 
Tsükli   erinevates   osades   on   töötava   keha   temperatuur   erinev   -   soojuse   saamisel   soojendajalt 
(reservuaarilt temperatuuriga  T1) on keha temperatuur  T1 ning soojuse andmisel jahutajale on keha 
temperatuur    T2  -   vastasel   juhul   ei   saa   protsess   olla   pööratav   (et    soojus    üle   kanduks   peab 
temperatuuride erinevus muidugi olema, olgu see väga väike erinevus). Seega võime eeldada, et 
soojusvahetuse protsess on isotermiline.
Protsessi osadel, mil keha jahtub või soojeneb, soojusvahetust toimuda ei tohi, st need protsessi 
osad   on   adiabaatilised.   Sellise   tsükli   -   isotermiline-adiabaatiline-isotermiline-adiabaatiline   - 
graafik on toodud joonisel 4.2. Sellist tsüklit nimetatakse Carnot' tsükliks. 
a
b
Joonis 4.2. a) Soojusmasina üldine skeem - töötav keha koos soojusreservuaaridega. Soojendaja 
annab soojushulga Q1 töötavale kehale, mis annab soojushulga Q2 jahutajale tehes seejuures tööd A. 
b)   Carnot'   tsükkel   (1)-(2)   -   isotermiline   paisumine;   (2)-(3)   -   adiabaatiline   paisumine;   (3)-(4)   - 
isotermiline kokkutõmbumine; (4)-(1) - adiabaatiline kokkutõmbumine. Lähemaid selgitusi vaata 
tekstist.
Joonisel   4.2b   on   toodud   Carnot'   tsükkel  pV-teljestikus.   (1)-(2)   -   töötav   keha   (gaas)   paisub 
isotermiliselt   temperatuuril  T1  saades   juurde   soojushulga  Q1.   (2)-(3)   -   töötav   keha   paisub 
adiabaatiliselt, st soojusvahetust ei toimu. Keha temperatuur langeb T2-ni. (3)-(4) - gaas surutakse 
kokku iotermiliselt temperatuuril T2, kusjuures keha annab jahutajale soojushulga Q2. (4)-(1) - gaas 
surutakse kokku adiabaatiliselt - soojusvahetus puudub - temperatuur tõuseb T1-ni.
Saab näidata, et kõigi Carnot' tsükli alusel toimivate  soojusmasinate  kasutegurid on võrdsed, 
T
= 1−T 2 .
(4.4)
T 1
Saab ka näidata, et soojusmasina kasutegur on maksimaalne, kui see töötab pööratava protsessi 
alusel. St, Carnot' tsükli alusel töötava soojusmasina kasutegur on maksimaalne. Selline protsess on 
A
T
idealiseeitud. Reaalsete soojusmasinate kasutegur   =
 1−T 2
real
Q
T
1
1
C Külmkapp ja soojapump
33
Külmkapi ja soojapumba põhimõtteskeem on toodud joonisel 4.3. Külmkapi korral on jahutajaks 
külmkapis olev õhk, esemed kapis; ning soojendajaks väliskeskkond. Töötavaks kehaks on mootor 
koos   gaasisüsteemiga.   Gaasiga   tehakse   tööd   (näiteks   Joule'i-Thomsoni   efekti   kasutades),   mille 
tulemusena   võetakse   tsükliliselt   külmkapi   sisemusest   energiat  Q2  ning   soojendajale   antakse 
soojushulk  Q1=AQ2 . Samamoodi - soojapumba korral võetakse sooja kas välisõhust või Maa 
sisemusest, temperatuuriga T2, ning antakse edasi toaõhule, temperatuuriga T1, kusjuures  T 1T 2 . 
Külmkapi   korral   arvestatakse   külkapi    efektiivsust    -   mitu   korda   ületab   külmkapilt   ära   võetav 
soojushulk äravõtmiseks vajaliku töö
Q
Q
= 2 =
2
(4.5)
A
Q1−Q2
Sarnaselt ideaalsele soojusmasinale võib ka antud juhul välja tuua ideaalse külmkapi efektiivsuse:
T
 =
2
id
(4.6)
T 1−T 2
Joonis 4.3. Külmkapi ja soojapumba põhimõtteskeem. Soojust võetakse tänu töötava keha poolt 
läbiviidud tööle külmemalt kehalt ning antakse edasi soojemale kehale.
Soojapumba korral on kasulikuks energiahulgaks soojendajale ehk toaõhule antav soojushulk ning 
seetõttu arvutatakse soojapumba efektiivsust järgmiselt:
Q
Q
= 1 =
1
(4.7)
A
Q1−Q2
ning ideaalse soojapumba efektiivsus on
T
 =
1
id
T 1−T 2
4.3. Entroopia
4.3.1. Clausiuse võrratus. Entroopia muut ja termodünaamika II printsiip
Alapunktist 4.2B selgus, et soojusmasina kasutegur 
Q
T
= 1−Q2 ≤ 1−T 2 =
Q
T
id
(4.8)
1
2
kusjuures võrdusvärk kehtib üksnes ideaalse soojusmasina korral. Võrratusest (4.8) saame
34
Q
T
Q
Q
2 ≥ 2 , st 
2 ≥ 1 .
(4.9)
Q
T
T
T
1
1
2
1
Arvestame,   et   kui   süsteem   annab   ära   soojushulga  Q2,  siis   võime   öelda,   et   ta   saab   negatiivse 
soojushulga  Q '
2 =−Q 2
. Seega võime võrratuse (4.9) kirjutada ümber järgmiselt:
Q
Q '
1  2 ≤0.   
(4.10)
T
T
1
2
Q
Võrratust (4.10) nimetatakse Clausiuse võrratuseks (Clausiuse võrratuse erijuhtum). Suurust  T
nimetatakse   taandatud   soojushulgaks.   Antud   võrratuses   kehtib    võrdusmärk    vaid   pööratavate 
protsesside korral, mittepööratavate protsesside korral on taandatud soojushulkade summa väiksem 
nullist. Võime vaadelda vaadelda pööratavate protsesside tsüklit ka üldisemal juhul - eeldame, et 
tsükli jooksul on iga väike lõik, mille korral süsteemi temperatuur on peaaegu konstantne, pööratav 
(võime eeldada, et tsükli jooksul on süsteem vastastikmõjus terve hulga reservuaaridega), siis võime 
kirjutada 
∑ Qi≤0,
i
T i
kus Ti  on süsteemi temperatuur väikesel lõigul ning  Qi on süsteemi poolt saadud soojushulk sel 
lõigul ning summa on võetud üle kogu tsükli. Siin tuleb silmas pidada, et kui süsteem annab soojust 
ära,   siis   süsteemi   poolt   saadud   soojushulk   on   tegelikult   negatiivne.   Kui   vaatleme   tsüklit   kui 
järjestikuste tasakaaluliste olekute jada (kvaasitasakaaluline protsess), siis võime  tükeldada  tsükli 
järjest väiksemateks ja väiksemateks osadeks, st summa asemele tuleb integraal  üle tsükli:
∮ Q ≤0.  
(4.11)
T
Toodud võrratust nimetatakse Clausiuse võrratuseks üldjuhul. Temperatuuri T all tuleb siin mõista 
süsteemi temperatuuri (mis erinevatel tsükli osadel võib võrduda erinevate väliskeskkonna osade 
temperatuuriga).
4.3.2. Entroopia
Oletame, et tsükli jooksul süsteemi poolt läbiviidav protsess on pöörduv. Sel juhul on võib protsess 
(antud juhul täistsükkel) toimuda nii pärisuunas kui ka  vastassuunas . (vt joonis 4.4). Mõlemal juhul 
peab kehtima Clausiuse võrratus (4.11). Soojushulk  Q on süsteemi poolt tsükli väikeses lõigus 
saadav soojushulk. Tsükli läbimisel vastassuunas annab süsteem samas lõigus energiat ära, st 
vastupidises suunas saadud soojushulk  Q '=− Q .
Joonis   4.4.   Pöörduvate   protsesside   korral   võib   süsteem   läbida   tsükli   nii   pärisuunas   (1)-(2)-(1) 
joonisel   toodud   jooni   pidi,   kuid   ka   vastassuunas.   Mittepöörduvate   protsesside   korral   pole 
vastassuunas tsükli läbimine võimalik.
35
Kuivõrd peavad samaaegselt kehtima nii  ∮ Q ≤0 kui ka ∮ Q ' ≤0 , st  −∮ Q ≤0 , siis 
T
T
T
on see võimalik vaid juhul, kui 
∮ Q =0
(4.12)
T
Seega kehtib pöörduvate protsesside korral võrdus (4.12): integraal taandatud soojushulgast üle 
kogu tsükli on võrdne nulliga.
Vaatleme nüüd taas protsessi (1)-(2) (mitte enam tsüklit). Süsteem saab olekust (1) olekusse (2) 
minna   üle   paljusid   erinevaid   teid   pidi,   vaatleme   neist   vaid   kahte   võimalust   I:   (1)-(2)   ülemist 
trajektoori  pidi   (joonis  4.4  ülemine   kaar)  ning  II:   alumist  teed   pidi   (joonis  4.4  alumine  kaar). 
Pöörduva protsessi korral kehtib võrdus (4.12). Kasutades integraali omadusi, võime kirjutada
∮ Q
2 I  Q
1 II  Q
2 I  Q
2 II  Q
=∫
∫
=∫
−∫
=0 .
(4.13)
T
1 I
T
2 II
T
1 I
T
1 II
T
Viimasest võrdusest saame 
∫2I Q
2 II  Q
=∫
. 
(4.15)
1 I
T
1 II
T
Kuivõrd   me   oleme   valinud   protsessid,   mille   käigus   süsteem   läheb   olekust   (1)   olekusse   (2) 
suvaliselt, võib öelda, et pöörduvate protsesside puhul ei sõltu integraal taandatud soojushulgast 
üleminekul süsteemi olekust (1) olekusse (2) valitud protsessist (ülemineku teest), st antud suurus 
on olekufunktsioon, mida nimetatakse süsteemi entroopiate vaheks ehk entroopia muuduks.  
 2  Q
 s=s
(4.16)
2− s1=∫1 T
Seosega (4.16) on defineeritud entroopia muut pöörduvate protsesside korral. 
Entroopia omadused:
1. Süsteemi entroopia on määratud vaid aditiivse (ehk otsaliidetava) konstandi täpsusega. 
2. Entroopia on  aditiivne  suurus. Olgu süsteem moodustatud alamsüsteemidest, mille temperatuurid 
on   omavehel   võrdsed.   Siis   süsteemi   koguentroopia   on   võrdne   alamsüsteemide   entroopiate 
summaga.
3.   Soojusvahetuse   puudumisel   on   entroopia   muutus   tasakaalulises   (ehk   pöörduvas)   protsessis 
võrdne nulliga.
 Q
0
Kuivõrd  ds=
= =0 , siis ka  ds=0 ning   s=∫ds=0 .
T
T
4. Jääval ruumalal on entroopia muut monotoonselt kasvav funktsioon süsteemi siseenergiast.
Lähtume termodünaamika I seadusest:   Q=d U  A , kuivõrd   V =const , siis    A=0
dU
ning   dU = Q=T ds0 .   Seega   ds=
.   Kuivõrd   temperatuur   on   alati   positiivne,   siis 
T
siseenergia kasvamisel ( dU 0 ) kasvab ka entroopia ning siseenergia kahanemisel kahaneb ka 
entroopia.
5. Kui on teada süsteemi siseenergia sõltuvus süsteemi entroopiast ja ruumalast   U =U s ,V  , 
siis on teada homogeense keha kõik termodünaamilised omadused.
Ideaalse gaasi entroopia 
36
Leiame ideaalse gaasi entroopia (ja entroopia muudu) lähtudes entroopia definitsioonvalemist
 Q
ds=
(4.17)
T
ning termodünaamika I seadusest 
d U =Q− A=Q− p dV .
Teisalt, arvestame, et ideaalse gaasi siseenergia ... 
Siis saab näidata, et ideaalgse gaasi siseenergia on

−1
s= N [Ck lnT ]  ,
(4.18)
p
i2
kus p on ideaalse gaasi rõhk, k on Boltzmanni konstant, N on gaasi osakeste arv ning  =
, 
i
kus i on molekuli vabadusastmete arv. C on konstant. Kuivõrd i on määratud molekuli struktuuriga, 
võime väita, et ideaalse gaasi korral annab entroopia infot ka aine mikroskoopilise ehituse kohta.
Termodünaamika II seadus
Isoleeritud termodünaamlise süsteemi entroopia muut mistahes protsessi korral on suurem nullist:
 s≥0 .
Entroopia muut protsessi käigus on võrdne nulliga vaid pööratavate protsesside korral. Iga süsteem, 
mis läheb mittetasakaalulisest olekust üle tasakaalulisse olekusse suurendab entroopiat. Näiteks - 
kui panna soojuslikult isoleeritud anumasse kokku erinevatel temperatuuridel kehad, siis ajapikku 
nende   temperatuurid   võrdsustuvad   -   süsteem   läheb   üle   tasakaaluolekusse.   Entroopia   on   selle 
protsessi käigus suurenenud.
Entroopia on protsesside pööratavuse mõõt, näitab protsesside toimumise iseeneslikku suunda.
4.3.3. Entroopia statistiline interpretatsioon
Boltzmann  näitas entroopia tähendust ka mikroskoopiliselt tasandilt lähtudes. Süsteemi üks ja sama 
olek võib realiseeruda erinevate mikroolekute kaudu. Näiteks süsteemi siseenergia võib olla sama 
erinevate   mikroolekute   korral   –   alamsüsteemide   siseenergiad   võivad   olla   erinevad,   kuid   nende 
summa   on   sama.   Erinevad   olekud   realiseeruvad   erineva   tõenäousega.   TD   II   seadus   evõib 
formuleerida ka järgmiselt: 
Iseenda   hoolde   jäetud   süsteem   läheb   vähema   tõenäosusega   olekust   üle   suurema   tõenäosusega 
olekusse.   Termodünaamlise   oleku   statistilise   kaalu    W  abil   on   süsteemi   entroopia   avaldatav 
järgmiselt: 
s=k ln W ,
(4.19)
kus k on Boltzmanni konstant. 
Selgitame entroopia statistilist tähendust ning statistilise kaalu mõistet järgmise näite abil. 
Olgu   meil   süsteem,   millel   on   5   alamsüsteemi,   mis   kõik   võivad   olla   viies   erinevas   olekus 
siseenergiatega   E =E
=2 E
=3 E
=4 E
=5 E
1
0
 ,  E2
0
,  E3
0
,  E4
0
,  E5
0
. Olgu süsteemi 
kui terviku siseenergia  15 E0 ning eeldame, et süsteemide vahel ei ole mingeid vastastikmõjusid 
(puudub   alamsüsteemide   vahel   mõjuv   jõud   ning   sellest   tingitud   potentsiaalne   energia).   Sellise 
koguenergiaga    olekuid    on   võimalik   realiseerida   mitmel    erineval    viisil.   Üks   võimalus   –   kõigil 
37
alamsüsteemidel   on   energia   võrdne   E i=3 E0 ,   siis   koguseüsteemi   energia   on 
E=E 1E 2E 3E  4 E 5=15 E0 . Antud oleku statistiline kaal on 
N !
W = N ! N !... N ! ,
(4.20)
1
2
n
kus  N  on alamsüsteemide arv,  N1  on esimeses olekus olevate alamsüsteemide arv,  N2  on teises 
olekus olevate alamsüsteemide arv jne. Meil on võimalikud  5  olekut, seega  n=5. Kuivõrd kõik 
alamsüsteemid  on olekus 3, siis  N =N =N =N =0
=5
1
2
4
5
ning  N 3
. Seega saame antud oleku 
statistiliseks kaaluks 
5!
W =
=1 .
0 ! 0 ! 5! 0 !0 !
Antud olekule vastava entroopia võime leida valemi (4.19) abil. 
Teine  realisatsioon :  N =N =0
= N =1
=3
1
5
,  N 2
4
,  N 3
. Siis 
5 !
120
W =
=20 .
0 !1 !3 !1 ! 0!
6
Kolmas   realisatsioon:   N =N =0
= N =2
=1
1
5
,   N 2
4
,   N 3
.   On   lihtne   leida,   et   sel   juhul 
W =30 .   Neljas   realisatsioon:   N =N =N =N =N =1
1
2
3
4
5
.   Sel   juhul   W =120 .   Kuivõrd 
antud oleku statistiline kaal on suurim vaadeldud võimalustest, siis ka selle süsteemi entroopia on 
suurim. Seega, vastavalt termodünaamika II seadusele läheb süsteem üle antud olekusse. 
 
38

Document Outline

• Sissejuhatus. Soojusõpetuse kaks erinevat käsitlusviisi.
• I Molekulaarfüüsika ja termodünaamika
  • 1.1.Molekulide mass ja mõõtmed
  • 1.2. Süsteemi olek. Protsess. Tasakaaluline protsess.
  • 1.3. Termodünaamika I printsiip.
  • 1.4. Temperatuur ja temperatuuri mõõtmine
  • 1.5. Rõhk ja rõhu mõõtmine
  • 1.6. Soojuspaisumine. Vee anomaalne käitumine. Soojuspaisumine ja mehaanilised pinged
  • 1.7. Ideaalse gaasi olekuvõrrand
• II Gaaside kineetiline teooria
  • 2.1. Gaaside kineetilise teooria põhialused
  • 2.2. Temperatuur ja siseenergia
  • 2.3. Siseenergia ja soojusmahtuvus
  • 2.4. Adiabaatiline ja polütroopne protsess 
  • 2.5. Ideaalse gaasi töö erinevates protsessides.
  • 2.6. Gaasimolekulide jaotus kiiruste järgi.
  • 2.7. Baromeetriline valem. Boltzmanni jaotus
• III pt. Reaalsed gaasid. Vedelikud ja kristalsed kehad
  • 3.1. Ülekandenähtused
    • 3.1.1. Viskoossus
    • 3.1.2. Soojusjuhtivus
    • 3.1.3. Difusioon gaasides
    • 3.1.4. Molekulide keskmine vaba tee pikkus gaasides
  • 3.2. Gaaside kõrvalekaldumine ideaalsusest. Van der Waalsi võrrand
  • 3.3. Gaaside veeldamine. Joule'i-Thomsoni efekt
  • 3.4. Faasiüleminekud
  • 3.5. Kristallid. Kristallilise oleku omadused
  • 3.6. Vedelikud. Pindpinevusjõud. Kapilaarsus
• IV Termodünaamika alused
  • 4.1. Soojusmasin. Soojusmasina kasutegur
  • 4.2. Termodünaamika II printsiip, ideaalne soojusmasin. Külmkapp ja soojapump
  • 4.3. Entroopia
    • 4.3.1. Clausiuse võrratus. Entroopia muut ja termodünaamika II printsiip
    • 4.3.2. Entroopia
    • 4.3.3. Entroopia statistiline interpretatsioon