1. Riigi majanduslikud funktsioonid: mis on allokatsioonifunktsioon, jaotusfunktsioon ja majanduse stabiliseerimise funktsioon? Rahandus täidab kolme funktsiooni: Allokatsioonifunktsioon, mille toimel jaotuvad tootmistegurid (võime nimetada ka ühiskonna käsutuses olevad ressursid) erakaupade ja avalike hüviste tootmiseks. Nende osade omavahelise suhte otsustab riigi fiskaalpoliitika ning sellele tugineb ka avaliku sektori struktuur, tegevuse ulatus ning maht. Allokatsioonifunktsioon seab raamid valitsuse pakutavatele avalikele hüvistele, mis omakorda
Arvutused 1. Sademe massi leidmine P = P '-P0 = 43 - 38 = 5mg 2. Konstandi k leidmine 9 9 0,001 k= = = 0,0005687 2( - 0 ) g 2 ( 2420 - 1000) 9,8 3. Vaadeldavaks ajahetkeks täielikult settinud osakese raadiuse leidmine (näitena settimiskõvera punktis A) H 0,125 r =k v =k = 0,0005687 = 2,2478 10 -5 m tA 80 4. Fraktsiooni suhtelise sisalduse leidmine settimiskõvera ordinaattelje lõikude pikkuste suhete järgi (lõikude pikkused toodud tabelis 3) OO1 2,3 Q= 100% = 100% = 11,9% OP 19,4 5. Jaotusfunktsiooni väärtuste leidmine a) r = r1 - r2 = 2,0105 10 -5 - 1,8353 10 -5 = 1,7517 10 -6 b) Q = Q2 - Q1 = 19,1% - 11,9% = 7,2% Q 7,2 c) F = = = 375...
........................................................................................................ 3 2. Tunnuste liigid...............................................................................................................3 3.Risttabel, filtreerimine....................................................................................................4 4. Rühmitamine................................................................................................................. 4 5. Jaotusfunktsioon............................................................................................................4 6. Graafikud.......................................................................................................................5 7. Valemid......................................................................................................................... 6 9. Jaotuse kuju............................................................................................................
120 0,6 72 8640 150 0,2 30 4500 Keskväärtus: 120 14760 Juhusliku suur Dispersioon: 360 1,0 jaotusfunktsioon F(x) 0,8 x F(x) 0,6 0 0 0,4 89,999 0 0,2
3) P(x1 X < x2) = F(x2) - F(x1)
Omadusest 1: F(x2) = P(X
......................................................................5 2. Tunnuste liigid.................................................................................................................... 5 3. Risttabel, filtreerimine........................................................................................................ 5 4. Rühmitamine.......................................................................................................................6 5. Jaotushistogramm, jaotusfunktsioon...................................................................................7 6. Kvantiil, täiendkvantiil .......................................................................................................8 7. Karakteristikud....................................................................................................................9 8. Lähendamine normaaljaotusega........................................................................................10 9
indeksanalüüs muutuva struktuuri indeks, püsiva struktuuri indeks muutuva struktuuri indeks, struktuurinihete, püsiva struktuuri tinglik hind, struktuurinihete indeks tööviljakus fisheri indeks, laspeyres indeks, paasche indeks test 5 vastandsündmuse tõenäosus sõltumatud statistiline tõenäosus, klassikaline tõenäosus, täielik süsteem teoreetiline tõenäosus, tinglik tõenäosus välistavad juhuslik suurus, jaotusfunktsioon pidev juhuslik suurus, jaotusseadus, jaotusfunktsioon keskväärtus diskreetne juhuslik suurus, dispersioon, integraal, mediaan, ülemine rada 19. 15, binoomjaotus, parameetrid, parameeter Test 6 pidev, diskreetne, poissoni jaotus, jaotusseadus jaotusseadus, eksponentjaotus normaaljaotus, normaaljaotus normaaljaotus negatiivne väärtus poissoni jaotus Test 7 kogum, klastervalik, kihtvalik, lihtne juhuvalik, süstemaatiline valik
Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemiga P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Kui A ja B on teineteist välistavad: P(A U B) = P(A) + P(B) A + A vastandsündmus = 1 2. Juhusliku suuruse jaotus Juhusliku sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmuse A toimumise suhtelist sagedust peale lõpmatult paljude katsete sooritamist Kumulatiivne jaotusfunktsioon- annab iga juhusliku tunnuse väärtuse kohta tõenäosuse, et juhuslik suurus omandab mingi väärtuse x või x-st väiksem väärtuse P(Xx) Bernoulli jaotus: juhuslikul suurusel on 2 võimalikku väärtust X ~ B(1; p) (p-tõenäosus, et suurus tuleb 1) Keskväärtus- lõpmatult paljude katsete keskmine Dispersioon D(X) = E[(X-EX)2] Juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon: P(X=x)= 0,1x0,9x-1
n Lõplike diskreetsete juhuslike suuruste korral i 1 pi = 1, Loenduva arvu suuruste korral pi = 1. Praktikas asendatakse pi i 1 suhtelise sagedusega fi ning pidevaid juhuslikke suurusi vaadeldakse sageli diskreetsetena. 2.3 Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon Jaotusrida ei ole võimalik välja kirjutada pideva juhusliku suuruse jaoks ning seetõttu on üldisemaks võimaluseks jaotusseaduse esitamine jaotusfunktsioonina. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), mis määrab iga reaalarvu x korral tõenäosuse, et juhuslik suurus X omandab väärtuse, mis on väiksem reaalarvust x. F(x) = P(X < x), kus x , . Pidevaks nimetatakse juhuslikku suurust, mille jaotusfunktsioon on pidev.
Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...., n tõenäosusega P(n, m) valemiga
2 0 0 0-14 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 90-104 empiirilise jaotuse histogramm normaaljaotuse histogramm normaaljaotuse tihedusfunktsioon 7. Konstrueerime samas teljestikus järgmised graafikud: Empiiriline jaotusfunktsioon 1.2 1 1 0.88 0.8 0.8 0.7 0.6 0.48 0.4 0.27 0.2 0.15 0 0-14 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 90-104 Empiiriline jaotusfunktsioon
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon)
Seda võib anda tabeline, funktsioonina, diagrammina või muul sarnasel viisil, mis määrab ära vastavuse juhusliku suuruse väärtuse ja selle omandamise tõenäosuse. 24. Kuidas on diskreetse juhusliku suuruse jaotus seotud sündmuse tõenäosusega? Diskreetse juhusliku suuruse jaotus määrab ära juhusliku suuruse ja selle omandamise tõenäosuse ning seega ka teatud sündmuste tõenäosuse saab jaotusest lihtsalt leida. 25. Mis on jaotusfunktsioon? Sõnasta korrektne definitsioon. Jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), mis näitab tõenäosust, kus juhuslik F ( x i )=P ( X ≤ xi ) = ∑ p( x j) suurus on väiksem või võrdne x-i väärtusest. x ≤x j i 26. Kuidas leitakse diskreetsete juhuslike suuruste summa X+Y ja tema jaotus. Kahe määratud(on antud jaotus) juhusliku suuruse summaks X+Y loeme juhuslikku
Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus.
xi x1 x2 ... xm pi *=ni /n n1 /n n2 /n ... nm /n Variatsioonrea lühendamiseks rühmitatakse elemendid sageli klassidesse: [a0 ; a1) [a1 ; a2) ... [am-1 ; am] pi *=ni /n n1 /n n2 /n ... nm /n Võimaluse korral valitakse kõik klassid ühesuguse ulatusega. Soovitatavaks klasside arvuks on m = 1 + log 2 n Empiiriline jaotusfunktsioon Kui oleme fikseerinud valimi ning moodustanud mingit tunnust mõõtes variatsioonrea, saame moodustada üldkogumi empiirilise jaotusfunktsiooni: F * ( x) = P( X * < x) = ni / n, xi < x kus X* on diskreetne juhuslik suurus, mille jaotustabel on moodustatud variatsioonrea abil. Teoreem Valimi mahu n tõkestamatu kasvamise korral koondub empiiriline jaotusfunktsioon F*(x) tõenäosuse järgi üldkogumi jaotusfunktsiooniks F(x).
Diskreetne arvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
Tõenäousese määramisviisid: klassikalised(kombinatoorne, geomeetriline, statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine
Pnm C nm p m (1 q n m ) p m (1 q ) n m m!(n m)! Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduse lihtsaimaks esitamisvormiks on tabel, kus on esitatud juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja neile vastavad tõenäosused (vt. Tabel. 4.1). Seda nimetatakse jaotusreaks või jaotustabeliks. Jaotusrida esitatakse sageli graafikuna. Saadud kujundit nimetatakse jaotuspolügooniks Jaotusfunktsioon Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis näitab, millise tõenäosusega juhuslik suurus võtab väiksema väärtuse kui x: F ( x) P( X x) , (4.12) kus X on juhusliku suuruse sümbol ja x on juhusliku suuruse konkreetne võimalik väärtus. Jaotustihedus Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Jaotusfunktsioon annab ammendava info juhusliku suuruse kohta, kuid ta ei näita otseselt juhusliku suuruse jaotumise tihedust
leida diameeter, millest 15% puudest on jämedamad, x0,85= 40,5
leida diameeter, millest neljandik puudest on peenemad. x0,25= 31,8
8. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida, kui suur osa diameetritest
jääb vahemikku 32 kuni 36 cm P(32
Mobiil Minuteid Korda Elisa 2500 5 Elisa 1200 5 Elisa 700 5 EMT 2000 5 Elisa 2900 5 Tele2 1200 5 EMT 600 5 Tele2 2400 5 Tele2 1600 5 EMT 1500 5 Elisa 3000 5 Elisa 1800 5 EMT 2900 5 EMT 2800 5 Tele2 3000 5 INIMESTE KEHAKAALUD - JAOTUSFUNKTSIOON Teil on andmed 500 inimese kehakaalude kohta. Uurige nende jaotusfunktsioon Tehke kindlaks suurim kaal. Sammude arvuks teie tabelis olgu 20. Tehke kindlak viimatinimetatud neljale lahtrile nimed!!! Jaotustabeli esimeses veerus arvut Leidke jaotustabeli teises veerus jaotusfunktsiooni väärused kasutades funktsio valmis põhjendama, miks on Frequency funktsioonil üks väärtus rohkem k Kujutage jaotusfunktsioon graafiliselt - millise graafikutüübi valite ja miks?
0.01 Normaaljaotuse Jaotustihedus histogramm Normaaljaotuse jaotustihedus 0.01 0.01 0 Ühtlase jaotuse jaotustihedus 0 0 Valimi vahemikud 7 6. 6.1 Empiiriline jaotusfunktsioon xmin=1 xmax=98 { 0, x < x min F N ( x )= i , x i x < x i+1 N 1, x x max 6.2 Ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon a=0 b=100 { 0, x b 8 Joonis 3. Jaotusfunktsioonid 1
Diskreetset P(A)=P(Hi)P(A|Hi) Ei)=1/3:1/2=1/6 : P(E1E2 E3)= Näide25. Tsehhis töötab kolm juhuslikku suurust kirjeldatakse tema P(E1E2) P(E3|E1 E2)=1/6 P(E3|E1 E2): automaattööpinki H1, H2, H3, millede panus tõenäosusjaotuse kaudu. P(E3|E1 E2)=1 ja P(E1E2 tsehhi kogutoodangusse jaguneb suhtes Jaotusfunktsioon. Juhusliku suuruse E3)=1/6 P(E1E2 E3)= P(E1)+P(E2 ) 25:35:40. Praagiprotsent on erinevatel X jaotusfunktsiooniks +P(E3)- P(E1E2 )- P(E1E2 )- P(E2E3)+ tööpinkidel erinev, see on 5%, 4% ja 2%. Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, Valminud detailid satuvad segamini tellijale kui iga x R korral eksisteerib tõenäosus P(X < P(E1E2 E3)=1-1/2+1/6=2/3. Näide19
.
Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus
mingist võimalikust väärtuste hulgast.
Juhusliku suuruse põhiliigid:
diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nt variantide nr'id)
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
üksteist välistava sündmuse A1, A2, A3...An korral
toimumise tõenäosust täpselt k korda kui sündmuse
P(A1+A2+...+An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An).
tõenäosus igal katsel on p=P(A).
12. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon, selle
5. Tingliku tõenäosuse mõiste. Sündmuste korrutise omadused (tõestustega). Kogu reaalarvude hulgal R
tõenäosuse leidmine (tõenäosuste korrutamise lause). määratud funktsiooni F(x) = P(X
D1 x x D2 x x H x x HV x x HKO x x Rikke kood x x Kahjustusast x x e 2 3. Rühmitamine A) Vaatluste arv N: 175. B) miinimum: 4 cm. C) maksimum: 19,7 cm. D) haare: 15,7 cm. E) klasside arv: 8. F) rühma samm: 2. G) Pool sammu 1. 4. Jaotushistogramm, jaotusfunktsioon X-teljel klassi keskmised x-teljel klassi ülemised väärtused 5. Kvantiilid Leian diameetri kvantiilid tõenäosuste 0,1; 0,9; 0,75; 0,25 ja 0,5 jaoks. 3 Rühmitamata andmed: 0,1-kvantiil: 6,27 cm; 0,9-kvantiil: 14.48 cm; 0,75-kvantiil: 12.40 cm; 0,25-kvantiil: 7,63 cm; 0,5-kvantiil: 9,85 cm. Rühmitatud andmed: 0,1-kvantiil: 6,3; 0,9-kvantiil: 15 cm; 0,75-kvantiil: 12,5 cm; 0,25-kvantiil: 7,8; 0,5-kvantiil: 10cm. 6. Täiendkvantiil
rühmade arv k 6 rühma orienteeruv kl. Intervall (samm) 4,041666667 cm esimese klassi ülemine piir 22,1 cm tegelik samm 4,1 cm viimase klassi ülemine piir 42,6 cm pool sammu 2,05 cm Joonis 1. Diameetri jaotushistogramm. 5 Joonis 2. Diameetri empiiriline jaotusfunktsioon. 5. Kvantiil, täiendkvantiil Leian diameetri kvantiilid tõenäosuste 0,1; 0,9; 0,75; 0,25 ja 0,5 jaoks. Rühmitamata andmed: 0,1-kvantiil: cm; 0,9-kvantiil: 35,59 cm; 0,75-kvantiil: 30,9 cm; 0,25-kvantiil: 23,8 cm. Rühmitatud andmed: 0,1-kvantiil: 11,5 cm; 0,9-kvantiil: 21,5 cm; 0,75-kvantiil: 21,5 cm; 0,25-kvantiil: 15,5 cm. Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust
Juhusliku sündmuse A võimalikkust iseloomustab arv, tähistatakse seda P(A) kuulub hulka[0,1]. Kui katsel on N võrdvõimalikku tulemust, siis sündmuse A klassikaline tõenäosus on P(A)=K/N, kus K on nende tulemuste arv, mille korral sündmus A toimus. Statistiline tõenäosus iseloomustab sündmuse A suhtelist sagedust ja võrdub suhtega h(A)/N, kus h(A) on sündmuse A toimumise arv N katsest. 20. Juhusliku suuruse jaotusseadus, Selle esitusviisid; tõenäosusfunktsioon, jaotusfunktsioon(integraalne jaotusseadus) tihedusfunktsioon(diferentsiaalne jaotusseadus) PILT! Juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikult vaatekohalt. Jaotusseadus võimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga sündmuse tõenäosust. Jaotusseaduse põhikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral.
116667 0.213077463 3.470116 14-28 6 0.1 0.3383731463 5.510644 28-42 8 0.133333 0.3940531723 6.417433 42-56 12 0.2 0.3648274729 5.941472 56-70 11 0.183333 0.2651878962 4.318771 70-84 7 0.116667 0.1181846795 1.92472 84-99 9 0.15 Hüpoteetiline jaotusfunktsioon Empiiriline jaotusfunktsioon Hü F(x)emp ni' ni(tihedus) 0.116667 0.818775 0.0037174676 0.216667 2.307237 0.0082621812 0.35 4.576167 0.0131205816 0.55 6.388425 0.0152796014 0.733333 6.277228 0.0141463608 0.85 4.341344 0.0102827883 1 2.113307 0.0045826678
( esitatud
valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X).
kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle
tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima
väärtuse vahel
dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2=
standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist
7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
x vastavusse tõenäosuse, et Xx. Tähistame F-ga
F(x )=P(Xx ) tõenäosus, et JS kuulub paljude väärtuste korral
0 0
teatavasse piirkonda P(a
Teoreet. klassi Teoreet. jaotus- kuulumise sagedus funktsioon tõenäosus norm. F(xüi) pi ni mm Diameetri jaotufunktsioon 1,20 1,00 0,80 0,60 Jaotusfunktsioon 0,40 0,20 0,00 6 17,4 20,2 23 25,8 5 10 15 20 25 30 Diameeter cm loomustab tihedusfunktsiooni sümeetrilisust. Kui A on 0, siis tihedusfunktsioon täiesti sümeetriline
5,84 hem kui 2x õenäosuste jaotuspolügoon e jaotus polügoon p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M(Sündmuste arv) uslikult 3 münti , saadud raha summa on juhuslik suurus x. Juhusliku suuruse X jaotusfu 1,5 Jaotusfunktsioon 1 0,5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 X(rahasumma) malt 70 senti e kuuli saamiseni. Võtmiste arv on juhuslik suurus X . Leida juhusliku suuruse X :
4. j. tsentraalmoment 1688,31
Asümeetriakordaja -0,4625
Ekstsess -0,825
6
6. Graafikud.
Valmistasin proovitüki 819 diameetri jaotushistogrammi ja diameetri jaotusfunktsiooni.
Joonis 1. Proovitüki 819 esimese rinde kuuse diameetri jaotushistogramm
Joonis 2. Proovitüki 819 esimese rinde kuuse diameetri jaotusfunktsioon
7
7. Kvantiil ja täiendkvantiil.
Juhusliku suuruse p-kvantiiliks (0
FEMP= s2FACT/ s2RES
FCRIT(; k1; k2)
Kodutöös on faktoriks konkreetne mõõtepunkt 1,2,3,4... detailil, (p=10) ja kordusi
ühes mõõtepunktis 10, (q=10)
Dispersioonianalüüsi arvutustabel
SGEN= SFACT= SRES= s2RES= s2FACT=
FEMP=
k1= k2=
FCRIT(; k1; k2)=
Järeldus: FEMP
suhete korraldamisega. Riigirahanduse eesmärk on riigi demokraatliku juhtimise kaudu ühiskonna kõigi (valikuline) liikmete heaolu suurendamine (maksimeerimine) ning majanduse jätkusuutlik arendamine konkurentsis teiste riikidega. 5. Riigirahanduse kolm funktsiooni? a) allokatsioonifunktsioon – selle kaudu tagab riik olemasolevate ressursside (tööjõud, maa, kapital jne) võimalikult efektiivse kasutamise. b) jaotusfunktsioon – riigi sissetulekud ja vara tuleb jaotada nii, et see vastaks kodanike enamuse arusaamale õiglasest jaotusest. Ümberjagamine toimub maksude ja mitmesuguste pensionide, toetuste ning abirahade kaudu, mida nimetatakse ülekandemakseteks ehk tulusiireteks. c) stabiliseerimisfunktsioon – eesmärgiks saavutada majanduse optimaalne areng ja pidurdada ebasoovitud protsesse. St.et riik tegutseb eesmärgiga saavutada kiire majanduskasv, madal inflatsioon ja kõrge tööhõive. 6
6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud: 6.1 Empiirilise jaotuse histogramm punktis 4 leitud grupeeritud valimile 6.2 Hüpoteetilise normaaljaotuse histogramm kooskõlas punktiga 5 6.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 6.4 Parameetritega a=0 ja b=100 hüpoteetilise ristkülikjaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 6.5 Kahe ristkülikjaotuse parameetritega a = 0 ja b = 100 summeeritud tihedusfunktsiooni f(x) graafik Hüpoteetiline jaotusfunktsioon Empiiriline jaotusfunktsioon Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon 14 0.018 0.016 12 0.014
Avaliku sektori ökonoomika kordamisküsimused eksamiks 1. Riigirahanduse funktsioonid: 1. Allokatsioonifunktsioon · Allokatsiooni funktsiooni raames peab fiskaalpoliitika tagama avalike kaupade tootmise, millega turg (eraettevõtlus) toime ei tule. · Selle protsessi käigus jaguneb ühiskonna ressursside kasutus era-ja avalike kaupade vahel. · Kujuneb avaliku sektori institutsiooniline struktuur ja tegevuse maht. 2. Jaotusfunktsioon · Jaotusfunktsiooni raames peab fiskaalpoliitika võimaldama niisuguste sissetulekute ja vara jaotuse tekkimist, mis vastaks selle riigi kodanike enamuse arusaamadele õigest ja õiglasest rikkuse ümberjaotamisest ühiskonnas. 3. Majanduse stabiliseerimisfunktsioon · Stabiliseerimisfunktsiooni raames peab fiskaalpoliitika kaasa aitama tööhõive suurenemisele, hinnastabiilsusele ning toimetuleku suurenemisele.
Määramisviisid: A)klassikalised (kombinatoorne, geomeetriline, statistiline) B) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunkts väärtus..) Juh. Su suurus, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus) Jaotusfunkts- def tõenäosusena, et juh. Su. Väärtus ei ületa funkts argumenti x. Tingimused: monotoonsus, normeeritud. Jaotustih- jaotusfunkts tuletis Arvkarakteristikud- jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaalid, millega opereerimine lihtsam (infokadu) Keskväärtus enimkasut, iseloom.juh.su. jaotuse keskkoha/tsentri asukohta Dispersioon ja standardhälve enimkasut hajuvuse iseloomust, seotud, standardhdispersiooni ruutjuur Kvantiilid- juh.su
2kr = 20,90(4) = 7,779 Kuna 2 < 2kr, siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 5. Graafikud tõin välja punktis 4. 6. Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) ja üthlase jaotusfunktsiooni graafikud 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Arvutame DN järgmise valemi abil: F0 ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon x(i) punktis 1 moodustatud variatsioonirida DN = 0,2 Kuna DN < Dkr, siis võtame nullhüpoteesi vastu 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga neli arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-4.arvu, 11.-14.arvu ja 21.-24.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H0: 1 = 2 = 3 (kasutades dispersioonanaluusi metoodikat ja vottes olulisuse nivooks = 0,05).
35. Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti münte kuni 50-sendise mündi saamiseni. Võtmiste arv on juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. 36. Normaalse juhusliku suuruse keskvaärtus E(X) = 100 ja dispersioon D(X) = 100. Leida tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtused kuuluvad vahemikku 90 kuni 105. 37. Binomiaalse juhusliku suuruse parameetrid on n = 5 ja p = 0,2. Leida juhusliku suuruse jaotusfunktsioon kohal x = 1.5. 38. Ühtlase juhusliku suuruse parameetrid on a = -1 ja b = 4. Leida tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtused kuuluvad vahemikku -3 kuni 3. 39. 60% kõigist toodetest, mida keraamik paneb ahju on standardsed. Milline on tõenäosus, et 800 toote hulgas on: 1. 500 standardset toodet; 2. 460 standardset toodet; 3. 400 kuni 500 standardset toodet; 4. vähem kui 460 standardset toodet; 5. rohkem kui 500 standardset toodet?
Moolsoojuste suhe k = Cp / CV on määratud gaasi molekuli vabadusastmete arvuga i kujul : k = (i + 2) / i . Soojusmahtuvus = soojushulk dzaulides, mis tõstab keha temperatuuri ühe kelvini võrra Erisoojus = soojushulk, mis tõstab antud aine massiühiku (kilogrammi) temperatuuri 1 K võrra Moolsoojus = soojushulk, mis tõstab antud aine ühe mooli ... Diferentsiaalne ja integraalne (kumulatiivne) jaotusfunktioon- Maxwelli jaotus seevastu on diferentsiaalne jaotusfunktsioon, mis väljendab mingi kiirusega osakeste suhtelist hulka. Et täpselt antud kiirusega liikuvate molekulide suhteline hulk on lõpmata väike Integraalne jaotusfunktsioon saadakse diferentsiaalse jaotusfunktsiooni integreerimisel v-st lõpmatuseni; aga võib ka integreerida suvalises vahemikus, saades teatud kiiruste vahemikku kuuluvate molekulide suhtelise hulga. Soojusmasin- Soojusmasin ka termodünaamiline mootor on masin, mis muudab soojusenergia mehaaniliseks tööks
m) loomad. Enamik elab vees, kuid esineb ka maismaal elavaid liike. Nende keha katavad arvukad lühikesed liikumist tagavad ripsmed, millest ka klassi nimetus. Eesti vetes elavad ripsussid on mõne millimeetri kuni sentimeetri pikkused valkjad või mustad. Kehal on väga palju limanäärmeid. Lima kasutatakse enesekaitseks, liikumiseks ja ka saagi püüdmiseks. Lima tekitamiseks kulub neil ligi 50% toidust saadavast energiast. Esinevad silmad. Sooltorul on ka toidu jaotusfunktsioon, mistõttu on sellel kehas arvukalt jätkeid. Sigivad suguliselt ja vegetatiivselt. Neil on suur regeneratsioonivõime. Eestis tuntud valkjas, hapupiimatükikest meenutav piimjas lamelane, kes elab väikestes aeglase vooluga ojades, jõgedes aga ka seisuveekogudes. Klass: Imiussid. Paljud neist siseparasiidid. Esindajaks on maksakakssuulane ehk "maksakaan", kes elab imetajate, eriti mäletsejaliste maksas. Sellel, pajulehte meenutaval ussil on sapijuhades kinnitumiseks keha
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 6 Arvutusgraafiline töö | Mihkel Heinmaa | 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 1 0,95 0,9 Empiiriline ja ühtlane jaotusfunktsioon 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 Emp 0,45 Ühtl 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 7
kelvini (K) võrra. erisoojus c, soojushulk (J), mis tõstab antud aine massiühiku (kg) temperatuuri 1 K võrra. moolsoojus = soojushulk (J), mis tõstab antud aine ühe mooli temperatuurir 1 K võrra. Cv- isohooriline moolsoojus - kui soojendamine toimub konstantse ruumala juures; Cp- isobaariline moolsoojus - kui soojendamine toimub konstantsel rõhul. · Diferentsiaalne ja integraalne (kumulatiivne) jaotusfunktsioon. Diferentsiaalne jaotusfunktsioon näitab, kui suur on mingisse kiiruste (kõrguste) vahemikku kuuluvate molekulide osakaal. Integraalne (kumulatiivne) jaotusfunktsioon näitab, kui palju on antud energiast suurema energiaga molekule. Integraalne jaotusfunktsioon saadakse diferentsiaalse jaotusfunktsiooni integreerimisel v-st lõpmatuseni; aga võib ka integreerida suvalises vahemikus,
histogrammi graafik 6. Koostada samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN , kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238) F0 ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon x(i) punktis 1 moodustatud variatsioonirida Kuna DN < Dkr, siis võtame nullhüpotees vastu 8. Kontrollida moodustatud rühmade homogeensushüpoteesi: H0: 1=2=3=4=5, kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat ja võttes olulisuse nivooks = 0,05 ir 1 2 3 4 5 1.-5. 77 2 39 37 14 33,8 661,36 476,99 6.-10
Gaasi mille parameetrid rahuldavad alati võrrandit pV = (m M ) RT (ehk ka kujul p = nkT ) nimetatakse ideaalseks gaasiks. Molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand p = (2 3)n , kus = m 0v 2 2 on molekuli keskmine kineetiline energia. Molekulide suhteline arv kiirustevahemikus v 1 kuni v 2 3 v2 leitakse valemiga N N = f (v )dv , kus f (v ) on Maxwelli jaotusfunktsioon., selle v1 m 0gh - jaotuse tõenäoseim kiirus on vt = 2kT m 0 .Baromeetriline valem p = p 0e kT , kus p 0 on rõhk nullnivool ja p rõhk kõrgusel h . Ideaalse gaasi siseenergia U = iRT / 2
1. Riigi majanduslikud funktsioonid: mis on allokatsioonifunktsioon, jaotusfunktsioon ja majanduse stabiliseerimise funktsioon? a. Allokatsioonifunktsiooni kaudu tagab riik, et olemasolevaid ressursse (tööjõud, maad ning kapitali) kasutatakse võimalikult efektiivselt. b. Jaotusfunktisooni raames peab valitsus kujundama riigis sellise sissetulekute ja vara jagunemise, mis vastaks antud riigi kodanike enamuse arusaamisele õiglasest jaotusest. Ümberjagamine toimub
0111 0.01 5 3.7 5.9 5 0.0071 0.01 1 2.4 4.6 5 0.0031 0.01 7 1.6 2.5 5 25 21.4 23.815 25 exp)= λ e- λx ühtlane)= 1/(b-a) b=100 norm) = infomaterjal 1 lk 15 Empiiriline ja ühtlane jaotusfunktsioon 0 1 1 8 Empiiriline jaotus 6 Ühtlane jaotus 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
P (| X - m | < )=
s s
n
Suurus T = ( X - m ) on Studenti jaotusega ning
s
n n n n
P ( -
Tihedusfunktsiooni tähistatakse tähega f(x).
Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest:
Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega.
Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus
on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale.
17. Juhusliku vektori mõiste, tema jaotusfunktsioon ja vektori komponentide marginaaljaotused.
Juhuslikuks vektoriks nimetatakse vektorit (X, Y), mille koordinaadid ehk komponendid on juhuslikud
suurused. Juhusliku vektori jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x,y), mis on määratud
eeskirjaga F(x,y) = P(X
annaabi.ee 
