Termodünaamika õppematerjal (1)

TERMODÜNAAMIKA
Molekulaarkineetiline teooria
Molekulaarfüüsika uurib aine ehitust ja omadusi, lähtudes eeldusest, et kõik kehad koosnevad suurest arvust molekulidest. Need molekulid on pidevas võnkumises (tahked kehad) või kaootilises liikumises (vedelikud, gaasid). Kehade omadusi seletatakse molekulide summaarse mõju kaudu.
Molekulide suur hulk toob endaga kaasa statistilise meetodi kasutamise. Antud juhul tähendab see järgmiste eelduste täitmist:
(1) Molekulide hulgal (kollektiivil) on sellised omadused, mis üksikmolekulil puuduvad.
(2) Eksisteerib kindel kvantitatiivne seos molekulide kollek-tiivi omaduste ja üksikmolekuli iseloomustava füüsikalise parameetri keskväärtuse vahel.
(3) Aine makroskoopiliste ning mikroskoopiliste omaduste vaheliste seoste leidmiseks on vaja teada vaid üksikmolekule iseloomustavate suuruste teatud tõenäoseid väärtusi.
Molekulaarkineetilises teoorias kasutatakse ideaalse gaasi
mudelit. Sisuliselt on ideaalne gaas antud definitsiooniga:
(i) Ideaalse gaasi molekulid on punktmassid, mille kogu-ruumala võrreldes gaasi sisaldava anuma ruumalaga on kaduvväike, s.t. seda ei arvestata.
(ii) Ideaalse gaasi molekulide vahel puuduvad tõmbe- ja tõukejõud (molekulaarjõud), väljaarvatud molekulide põrgete korral ilmnevad lühiajalised tõukejõud. Põrked on absoluut -selt elastsed.
Paljud kergemad gaasid alluvad normaaltingimustel küllalt hästi ideaalse gaasi mudelile. Alljärgnevalt esitatav käib val-davalt ideaalse gaasi kohta.
Kõige üldisemalt määratakse gaasi olek kolme olekupara- meetriga : absoluutne temperatuur T, rõhk p ja ruumala V
(mõnikord kasutatakse eriruumala Vo - massiühiku ruumala).
Ideaalse gaasi seadused
Neid seadusi on kolm ja kõik nad on saadud empiiriliselt.
(1) Boyle - Mariotte 'i seadus.
Jääval temperatuuril on antud gaasimassi rõhu ja ruum- ala korrutis konstantne :
pV = const . (1)
(tingimusel, et T = const.).
(2) Charles'i seadus.
Antud gaasikoguse temperatuuri tõstmisel ühe kraadi (1oC) võrra konstantsel ruumalal kasvab tema rõhk po (0oC juures) α = 1/273 võrra:
p = po ( 1 + αt ). (2)
(3) Gay- Lussac 'i seadus.
Konstantsel rõhul temperatuuri tõstmisel ühe kraadi võrra paisuvad kõik gaasid α = 1/273 võrra sellest ruumalast Vo , mis oli gaasil 0 0C juures.
Charles'i seadusest saab määrata temperatuuri, mille puhul ideaalse gaasi rõhk muutub nulliks:
(3)
Täpsemad määrangud annavad väärtuseks -273.16o C. See on teoreetiliselt madalaim võimalik temperatuur, mida nime-tatakse absoluutseks nullpunktiks . Sellest punktist algavat temperatuuriskaalat nimetatakse absoluutseks ning mõõt- ühikuks on kelvin (K).
Olekuvõrrand
Me vaatleme gaasi üksikutest molekulidest koosneva süstee-mina. See süsteem on tasakaalus, kui süsteemi parameetrid jäävad muutumatuks. Tasakaalustatud olekus on gaasi kõiki- de osade rõhud ja temperatuurid võrdsed. Gaasi kolme oleku-parameetrit ning gaasi kogust omavahel siduvat võrrandit nimetatakse gaasi olekuvõrrandiks, mis oma üldkujul kan- nab Clapeyron - Mendelejevi võrrandi nime:
(4)
kus m - gaasi mass;
μ - molaarmass (ühe mooli aine mass);
v = m/μ - moolide arv;
R = 8.31441 ± 0.00026 J/(mol K) - gaasi universaalne konstant. Edaspidises kasutame väärtust
R = 8.31 J/(mol K).
NB! Mool on aine kogus, mille mass kilogrammides on arvuliselt võrdne aine molekulmassiga. Näiteks ühe mooli vee (H2O) mass on (12+16)10-3 = 0.018 (kg). Iga gaasi moo- lis on Avogadro arv ( 6.021023 ) molekuli. Kõikide gaaside ühe mooli ruumala normaaltingimustes on 22.4 liitrit.
Molekulaar -kineetilise teooria põhivõrrand
See võrrand seob gaasi molekulide kineetilise energia gaasi rõhu ja ruumalaga.
Ideaalse gaasi rõhu ja ruumala korrutis on võrdne kahe kolmandikuga kõikide molekulide kineetilisest energiast:
(5)
kus n - molekulide arv;
ε - ühe molekuli keskmine kineetiline energia;
Wk - kõikide molekulide kulgliikumise kineetiline
energia.
Arvestades olekuvõrrandit (4), võime teha teisenduse
(6)
kus N - Avogadro arv;
k = R / N = 1.3810 -23 J/K - Boltzmanni konstant.
Ülekandenähtused
Ülekandenähtusteks nimetatakse tasakaalustamata süsteemis toimuvaid protsesse. Tasakaalustamata on aga selline süsteem, kus temperatuur, rõhk, molekulide tihedus jne. punktist punkti muutuvad.
(1) Difusioon .
Difusiooni korral toimub massi ülekandumine ühest ruumi-osast teise. Difundeerunud aine mass dM avaldub Fick'i valemiga
(10)
kus D - difusioonitegur,
dρ/dx - tiheduse gradient ,
dS - pinna suurus, läbi mille aine kandub.
Miinuamärk tähistab seda, et aine kandub tiheduse kasvule vastupidises suunas, st. suurema tihedusega osast väiksema tihedusega piirkonda.
Difusioonitegur avaldub
(11)
kus d on molekulide efektiivne diameeter . Selle all mõis-tetakse kokkuleppeliselt kaugust, milleni põrke korral lähe-nevad teineteisele kaks sarnast molekuli. See kaugus sõltub molekulide kiirusest, seega temperatuurist.
Oluline on siin meeles pidada, et difusioonitegur oleneb tem-peratuurist võrdeliselt T 3/2-ga ning pöördvõrdeliselt rõhust. Difusioon toimub ka vedelikes ja tahketes kehades .
(2) Soojusjuhtivus .
Siin on ülekanduvaks substantsiks kaootiliselt liikuvate molekulide kineetiline energia, ikka kõrgema temperatuuriga osast madalama temperatuuriga piirkonda. Pinda dS aja dt jooksul läbiva soojushulga dQ annab Fourier ' valem:
(12)
kus κ - soojusjuhtivustegur ,
dT/dx - temperatuurigradient.
Soojusjuhtivustegur avaldub
(13)
kus i - molekulide vabadusastmete arv.
Oluline meeles pidada - soojusjuhtivustegur on võrdeline ruutjuurega temperatuurist ega olene rõhust.
Fourier' valem kehtib ka vedelike ja tahkete kehade puhul.
(3) Sisehõõrdumine e. viskoossus.
Ülekanduvaks substantsiks on impulss .
Gaasi laminaarsel voolamisel tekib gaasikihtide vahel sise-hõõrdejõud, mis avaldub Newtoni valemiga
(14)
kus η - sisehõõrdetegur e. dünaamiline viskoossus,
du/dx - kiiruse gradient.
Sisehõõrdetegur avaldub
(15)
Oluline järeldus - sisehõõrdetegur on võrdeline ruutjuurega temperatuurist.
Kõik ülekandenähtused on arvutatavad ühise skeemi alusel. Vastavate tegurite vahel kehtib seos
(16)
kus ρ - gaasi tihedus,
cV - erisoojus konstantsel ruumalal (selle mõiste selgitus
tuleb allpool).
Termodünaamilise süsteemi siseenergia
Termodünaamika kõige laiemas mõttes uurib energia muun-dumist ühest liigist teise ning neid muundumisi iseloomus -tavaid kvantitatiivseid seoseid . Kui molekulaarkineetiline teooria võimaldab saada küllalt üksikasjaliku informatsiooni aine ehitusest ja omadustest, siis termodünaamiline meetod, mis ei ütle midagi aine mikroskoopilisest ehitusest, annab seosed aine makroskoopiliste omaduste vahel. Termodünaa-milise meetodi kasutusalad on palju laiemad.
Mehaanikas rääkisime kehade potentsiaalsest ja kineetilisest energiast. Termodünaamikas lisandub uue mõistena sise-energia, mille all mõistetakse süsteemi kuuluvate molekulide ja aatomite kulg- ja pöördliikumise ning võnkliikumise kineetilist energiat, vastasmõju potentsiaalset energiat, elektronide energiat aatomis jne.
Termodünaamilise süsteemi koguenergia avaldub
W = W k + Wp + U , (17)
kus U tähistab süsteemi siseenergiat, mille all edaspidi mõistame lihtsuse mõttes aineosakeste soojusliikumise (ki-neetilist) energiat ning vastasmõju potentsiaalset energiat.
Süsteemi siseenergia on üheselt määratud süsteemi olekuga . Edaspidi esitatus omab esmatähtsust mitte see, kui suur antud olekus on süsteemi siseenergia, vaid see, kuivõrd ühes või teises protsessis siseenergia muutub. Niisiis , põhiküsimuseks saab energiamuudu ΔU määramine.
Eespool toodud valem (7a) annab molekuli keskmise kinee-tilise energia. Et vastavalt definitsioonile ideaalse gaasi mole-kulidel vastasmõju potentsiaalne energia on null, siis ühe kilomooli gaasi siseenergia võib kirja panna kui
(18)
Gaasihulgale massiga m vastab siseenergia
(19)
Töö ja soojus
Üks keha võib teisele energiat üle anda kahel viisil - kas töö või soojuse kaudu.
Töö on ühelt kehalt (süsteemilt) teisele makroskoopiliselt kanduv energia. Töö tegemine kujutab endast korrapärase liikumise energia ülekannet ning selle tulemusena võivad vahetult muutuda kõik meile seni tuntud energialiigid (po-tentsiaalne, kineetiline ja siseenergia).
Soojus on ühelt süsteemilt teisele energia ülekandumise mikroskoopiline moodus. Siin kandub üle ainult siseenergia ning see jääb ka uues süsteemis mikroosakeste korrapäratu liikumise energiaks.
Töö ja soojuse ühiseks omaduseks on see, et nad esinevad ainult energia ülekandumise protsessis. Erinevuseks on aga see, et nad pole kvalitatiivselt energia ülekandumise võrd-väärseteks vormideks.
Töö ja soojus võivad vastastikku muunduda. See muundu-mine toimub alati rangetes vahekordades olenemata muun-dumise moodusest:
4.18 J / cal - soojuse mehaaniline ekvivalent ;
0.239 cal / J - töö termiline ekvivalent.
Et soojushulk ja töö on ekvivalentsed, siis võib neid mõõta samades ühikutes (J). Tuleb aga rangelt meeles pidada: see ekvivalentsus on ainult kvantitatiivne; kvalitatiivselt on tege-mist erinevate energiaülekannetega. Soojuse ülekande tule-musena võib muutuda ainult kaootiliselt liikuvate osakeste kineetiline energia, st. siseenergia.
Termodünaamika esimene printsiip
Termini printsiip asemel kasutatakse veel termineid seadus ja alus. Esimene printsiip kujutab endast termodünaamilise süsteemi kohta käivat üldistatud energia jäävuse ja muundu- mise seadust.
Süsteemile antud soojushulk kulutatakse süsteemi sise-energia suurendamiseks ning välisjõudude vastu tehta - vaks tööks:
dQ = dU + dA . (20)
Märkus. Esitatud kujul pole antud valem päris korrektne järgmisel põhjusel. Süsteemi siseenergia on üheselt määra- tud süsteemi olekuga ning tema lõpmata väike muut on täis- diferentsiaal (dU). Töö ja soojus pole aga olekufunktsioo- nid, nende väärtused olenevad üleminekuteest ühest olekust teise ning seepärast on nad osadiferentsiaalid (δA ja δQ). Käesoleva kursuse raames võime antud ebatäpsuse endale lubada.
Termodünaamika esimene printsiip välistab (esimest liiki) igiliikuri loomise võimalise. Igiliikur (perpetuum mobile) on kujuteldav masin, mis kuitahes palju kordi sama protsessi korrates teeb kasulikku tööd, seejuures väljastpoolt energiat juurde saamata. Valemist (20) järeldub, et dQ = 0 korral saame tööd dA = - dU vaid siseenergia vähenemise arvel.
Gaaside soojusmahtuvused
Soojusmahtuvuseks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on arvuliselt võrdne antud keha temperatuuri ühe kraadi võrra tõstva soojushulgaga. Järgnevas huvitavad meid soojusmah-tuvuse kaks erijuhtu .
Erisoojuseks nimetatakse soojushulka, mis tõstab antud aine ühe massiühiku temperatuuri ühe kraadi võrra:
(21)
Moolsoojuseks nimetatakse soojushulka, mis tõstab antud aine ühe kilomooli temparatuuri ühe kraadi võrra:
(22)
Et gaasi mass avaldub m = v μ, siis valitseb erisoojuse ja moolsoojuse vahel seos
C = c μ . (23)
Gaasi paisumisel tehtava töö saame järgneva arutelu põhjal. Olgu antud silindriline anum ristlõikepindalaga S ning rõhu-ga anumas p. Selle rõhu mõjul nihkub silindris olev kolb dl võrra. Mehaanikast tuntud töö valemi teisendamise tulemusel
saame gaasi tööks
dA = p dV. (24)
Valemite (20), (22) ja (24) alusel võime moolsoojuse aval-dada arendusena
Kui soojushulk anda gaasile nii, et ruumala jääb konstant- seks (dV = 0), siis saame moolsoojuse jääval ruumalal:
(25)
Moolsoojus jääval rõhul avaldub
(26)
Võttes gaasi olekuvõrrandist (4) täistuletise temperatuuri T järgi ning arvestades, et antud juhul dp = 0, saame mool-soojuste vaheliseks seoseks
C p = C V + R . (27)
Moolsoojus jääval rõhul on võrdne moolsoojusega jääval ruumalal pluss gaasi universaalne konstant.
Arvestades valemit (19) saame moolsoojused avaldada kujul
(28)
(29)
Termodünaamiliste protsesside puhul on üheks oluliseks pa-rameetriks moolsoojuste suhe e. adiabaadi astendaja
(30)
Gaas i CV C p γ
1aatomiline 3 1.5 R 2.5 R 1.67
2aatomiline 5 2.5 R 3.5 R 1.40
3aatomiline 6 3.0 R 4.0 R 1.35
Termodünaamilised isoprotsessid
Termodünaamiliseks protsessiks nimetatakse sellist süsteemis toimuvat protsessi, mille käigus vähemalt üks olekuparameeter muutub. Alljärgnevalt vaatleme isoprotsesse, kus üks
olekuparameeter jääb konstantseks.
(1) Isotermiline protsess.
Selle protsessi korral T = const., mis annab meile olekuvõr-randist (4) Boyle-Mariotte'i seaduse (1). Graafiliselt kujuta-vad seda protsessi pV-teljestikus isotermid. Et siin dT = 0 (st. gaasi siseenergia ei muutu), siis kogu juurdeantud soojus muudetakse kasulikuks tööks (dQ = dA). Süsteemi üle-minekul olekust 1 olekusse 2 tehtud töö avaldub
(31)
NB! Isotermiline protsess nõuab väliskeskkonnaga ideaalset soojusvahetust.
(2) Isobaariline protsess
Siin jääb konstantseks rõhk p, muutuvad aga temperatuur T
ning ruumala V. Olekuvõrrandist (4) saame kahe viimase parameetri vahelise seose
(32)
millest järeldub, et gaasi ruumala on võrdeline tema tempe-ratuuriga. Sellise tõsiasja kohta kehtib Gay-Lussac'i seadus. Protsessi kujutavad pV-teljestikus V- teljega paralleelsed sir-ged - isobaarid . Gaasi paisumisel tehtav töö
A = p (V2 - V1 ) . (33)
Moolsoojuse kaudu saab elementaartöö esitada kujul
(34)
(3) Isohooriline protsess
Siin jääb muutumatuks gaasi ruumala - V = const. Võttes taas aluseks olekuvõrrandi (4), saame seose muutuvate para-meetrite p ja T vahel:
(35)
mis tähendab, et gaasi rõhk on võrdeline temperatuuriga. Sellist protsessi kirjeldab Charles'i seadus. pV-teljestikus on isohoorilist protsessi isoloomustavateks joonteks p-teljega paralleelsed sirged - isohoorid.
Kuna siin dV = 0, siis gaasi poolt tehtud elementaartöö
dA = p dV = 0. (36)
Termodünaamika esimesest printsiibist järeldub, et dQ = dU
ehk sõnades: isohoorilisel protsessil läheb kogu gaasile an-tud soojushulk gaasi siseenergia suurendamiseks.
(4) Adiabaatiline protsess
Miks see protsess on isoprotsess, selgub veidi hiljem.
Adiabaatilise protsessi korral puudub süsteemi ja väliskesk-konna vahel soojusvahetus . Esimeses lähenduses võib kõiki kiirestikulgevaid protsesse vaadelda adiabaatilistena (näiteks sisepõlemismootori töötsüklid). Adiabaatilisel protsessil muutuvad kõik kolm olekuparameetrit. Valemist (20) saame dQ = 0 korral
dA = - dU , (37)
mis tähendab, et adiabaatilise protsessi korral gaas teeb tööd oma siseenergia arvel.
NB! Isohooriline protsess eeldab ideaalset soojusisolaatorit.
Arvestades siseenergia valemit (19) saame kogutöö
(38)
Teades seoseid olekuparameetrite vahel (neid seoseid nime-tatakse adiabaadi võrranditeks), saab tööd avaldada veel mitmel erikujul. Mõned neist:
(39)
(40)
Nüüd peaks olema ka arusaadav, miks suurus γ kannab adiabaadi astendaja nime.
Carnot ' ringprotsess
Prantsuse füüsik ja insener Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796- 1832 ) esitas 1824. a. tööpõhimõtted idealiseeritud soojusjõumasinale, mis töötab perioodilisel ringprotsessil.
Ringprotsessiks nimetatakse protsessi, mille lõppedes süs-teem saavutab taas algoleku (st. taastuvad olekuparameet-rite algväärtused). Ringprotsess koosneb kahest osast - gaasi paisumisest ja kokkusurumisest. Eristatakse otsest ja pöörd-ringprotsessi. Esimesel juhul on gaasi töö paisumisel suurem kui kokkusurumisel, teisel juhul aga vastupidi.
Vastavalt termodünaamika esimesele printsiibile on ring-protsessi ühe tsükli jooksul tehtud töö võrdne süsteemile antud soojushulgaga: dA = dQ .
Carnot' ringprotsess toimub ideaalse gaasiga ideaalses soo-jusmasinas (puuduvad kiirguskaod ja hõõrdejõud). Ring-protsess koosneb neljast etapist, kusjuures eeldame, et kõik etapid on pööratavad.
Pöörataval protsessil on omadus toimuda ka esialgsele vas-tupidises suunas, nii et süsteem läbib kõik esialgse protsessi vaheolekud vastupidises järjekorras. Täielikult pööratavad on ideaalsed lõpmata aeglased (kvaasistaatilised) protsessid.
Kõik reaalsed protsessid on põhimõtteliselt pööramatud, kuid teatud juhtudel võib küllalt aeglasi protsesse siiski vaa-delda pööratavatena.
Nüüd aga Carnot' ringprotsessi juurde.
(1) Isotermiline paisumine . Gaas saab soojendilt soojushulga Q1 , mille tagajärjel toimub paisumine olekust 1 olekusse 2. Seejuures teeb gaas tööd
(2) Adiabaatiline paisumine. Gaas paisub olekust 2 olekus-se 3. Soojusvahetus puudub, gaas teeb tööd oma siseenergia arvel:
(3) Isotermiline kokkusurumine . Gaas läheb olekust 3 ole-kusse 4, kusjuures eralduv soojushulk Q2 antakse jahutisse.
Tehtav töö
(4) Adiabaatiline kokkusurumine. Gaas surutakse olekust 4 olekusse 1 kokku, ilma et toimuks soojusvahetust väliskesk-konnaga. Tehtav töö
Ringprotsessis tehtav kogutöö
A = A1 + A2 + A3 + A4 = Q1 + A2 - Q2 - A2 = Q1 - Q2 . (41)
Protsessi kasutegur
(42)
Carnot' ringprotsessi kasutegur sõltub ainult soojendi ning jahuti temperatuuridest. Mida suurem on see temperatuuride vahe, seda suurem on kasutegur. Viimasest avaldisest järel-dub, et isegi ideaalse soojusmasina kasutegur on ühest väik-sem. Vaid juhul, kui T2  0, siis η  1, kuid see on teadu-pärast võimatu. Kui T1
= T2 , siis η = 0.
Carnot' ringprotsessil on teiste analoogiliste protsessidega võrreldes suurim võimalik kasutegur (arusaadavalt, samade parameetrite intervallide puhul). Selle väite kohta käib
Carnot' teoreem :
kõik pööratavad soojusjõumasinad, mis töötavad kahe ühesuguse temperatuuriväärtuse (T1 ja T2 ) vahel, omavad ühte ja sama kasutegurit; ükski pööramatu soojus-jõumasin, töötades samade temperatuuride vahel, ei saa omada kõrgemat kasutegurit.
Seega annab valem (42) maksimaalse võimaliku kasuteguri .
Soojusjõumasina (soojusmootori) all mõistetakse suvalist seadet , mis muundab soojusenergia mehaaniliseks tööks.
Termodünaamika teine printsiip
Eelmises punktis oli juttu pööratavast ja pööramatust prot-sessist. Olgu lisatud, et neid protsesse vaatleme isoleeritud süsteemis toimuvaina. Pööratava protsessi illustratsiooniks sobib hästi matemaatilise pendli harmooniline võnkumine. Selle puhul liigub pendlikeha ühest äärmisest seisust teise ja sealt tagasi, mille tulemusena taastub süsteemi algolek . Võn-kumine toimub sisejõudude toimel. Pööratavana võib vaadel-da ka absoluutselt elastse kuuli põrkumist absoluutselt elast-selt pinnalt jne.
Pööramatu protsessi puhul ei saavuta süsteem pöördprotses-siga algolekut. Reaalne kuul ei saavuta laualt põrkudes esi-algset kõrgust, sest osa energiat muundub põrkeprotsessis soojusenergiaks. Kui meil on kaks erineva temperatuuriga keha viidud termilisse kontakti, siis kandub soojus iseenesest kõrgema temperatuuriga kehalt madalama temperatuuriga kehale:
dQ
T1    T2
( T1 > T2 )
Vastupidine protsess iseeneslikult ei toimu; algoleku taastu-mine on võimalik vaid välisjõudude töö arvel.
Looduslike iseeneslike protsesside suund väljendub termo-dünaamika teises printsiibis. Sellele on antud mitmeid sõ-nastusi. Neist esimese (klassikalise) definitsiooni andis saksa füüsik Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888) 1850. aastal:
Looduslikes tingimustes kandub soojus soojemalt kehalt külmemale, kuna külmemalt kehalt soojemale see iseenes-likult toimuda ei saa.
Hiljem esitas Clausius, seoses ideaalse soojusmasina ja selle pöördsüsteemi - ideaalse külmutusmasina - loomise võima-luste tulutu uurimisega, printsiibi põhjalikuma sõnastuse:
Pole võimalik sooritada perioodilist protsessi, kus ühelt süsteemilt antud temperatuuril võetakse (kindel) soojus- hulk ning antakse samas koguses madalama temperatuu-riga süsteemile.
Ja veel üks termodünaamika teise printsiibi sõnastus (nn. Kelvin- Planck 'i formuleering):
Pole võimalik selline perioodiline protsess, mille ainsaks tulemuseks on soojusallikalt saadud soojushulga täielik muundamine tööks konstantsel temperatuuril.
Viimasest sõnastusest järeldub teist liiki igiliikuri (see oleks taoline soojusmootor , mis muundaks kogu temale antava soojushulga otseselt mehaaniliseks tööks) loomise võima- tus. Selline soojusmasin töötaks jahutita, millest tuleneb si-suliselt soojendi ja jahuti temperatuuride võrdsus, mis tähen-dab, et η = 0. Pole nagu mõtet niisugust masinat luua!
Entroopia
Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist ning kvaasistaatilise adiabaatilise protsessi võrrandist
(43)
saab näidata, et Carnot' tsükli puhul kehtib seos
(44)
Kui lugeda süsteemi sisenev soojushulk (Q1 ) positiivseks ja süsteemist väljaminev (Q2 ) negatiivseks, saame Carnot' tsüklile
(44a)
Vaadeldes vabalt valitud pööratavat tsüklit, mis kulgeb möö-da suletud siletat ovaali a  b  a, võib selle protsessi jao-tada suureks arvuks lõpmata kitsaks Carnot' tsükliks, nii et esimeses lähenduses võime lugeda T1  T2 = T. Võrduse (44a) vasak pool kujutab endast sel juhul kuitahes pikka summeeritavat rida, mille võib piirile minnes asendada ring- integraaliga
(45)
kus dQ tähistab lõpmata väikest (saadavat või antavat) soo-jushulka. Ringintegraali võtmist võib alustada suletud kon- tuuri mistahes punktist ning liikuda vabalt valitud suunas. Osade a  b ja b a pööratavusest tuleneb, et kui neist esimesele vastab soojushulk + dQ (lõik I), siis teisele vastab
- dQ (lõik II), ehk valemina antult
(46)
I II II
Järeldus: integraal suurusest dQ / T ei olene fikseeritud punktide a ja b vahelisest üleminekuteest. Sellest tõsiasjast lähtudes toodi sisse uus füüsikaline suurus entroopia S, mil-line on määratud seosega
(47)
Entroopia on olekuparameeter, mis ei sõltu üleminekuteest
süsteemi kahe tasakaalulise oleku vahel, vaid ainult süsteemi olekust. Valemist (47) tuleneb
(48)
Praktilist huvi pakub mitte niivõrd see, kui suur on süsteemi entroopia antud olekus (st. entroopia absoluutväärtus), kui see, milline on tema muutus konkreetse protsessi käigus:
(49)
Olgu veelkord rõhutatud, et viimane seos kehtib vaid pööra-tava protsessi korral. Kui mistahes süsteemi (või tema ümb-ruskonna) entroopia muutub suuruse ΔQ / T võrra, siis sa-mal ajal ümbruskonna (süsteemi) entroopia muut on -ΔQ/T.
Mis tähendab, et entroopia kogumuut ΔS = 0.
Kõikides reaalsetes (pööramatutes) protsessides entroopia kasvab. Sellest reeglist pole seni kõrvalekaldeid leitud. Esita-tu põhjal võib anda termodünaamika teise printsiibi üldise sõnastuse:
mistahes looduslikus protsessis suvalise süsteemi ja tema ümbruskonna koguentroopia suureneb: ΔS > 0.
Entroopia kui süsteemi seisundit kirjeldava parameetri lahti-seletamiseks võib anda veel ühe lähenemisnurga.
Molekulide soojusliikumise oluliseks erinevuseks teistest lii-kumisvormidest on kaootilisus, korrapäratus. Gaasi antud makroskoopiline seisund teatud keskmiste parameetrite väär-tustega on tegelikult lähedaste mikroseisundite pidev vahel-dumine, kus mikroseisundid erinevad üksteisest molekulide tiheduse jaotuse ning molekulide energia jaotuse poolest. Mikroolekute arvu, millele vastab üks kindel makroolek, nimetatakse termodünaamiliseks tõenäosuseks _. Soojus-liikumise korrapäratuse mõõduks saab siis kasutada entroo-piat S, mis avaldub seosega (Max Planck, 1906)
S = k ln ω, (50)
kus võrdetegur k on meile hästi tuntud Boltzmanni konstant.
Kui süsteemi liikumine on absoluutselt korrapärane, siis
ω = 1  ln ω = 0  S = 0
ehk sõnastatult: absoluutselt korrapärastatud liikumise entroopia on null. Ausalt öeldes, sellist reaalset ülikorrasta-tud süsteemi on raske ette kujutada. Tegelikkuses kipub ikka
domineerima korralagedus.
Eelesitatu võimaldab anda termodünaamika teise printsiibi tähenduse: igasugune korrastatud liikumine püüab spon-taanselt muutuda korrastamata liikumiseks.
Entroopia mõiste kaudu võime termodünaamika esimese printsiibi esitada kujul
T dS = dU + dA . (20a)
Võrranditest (4) ja (20a) lähtudes saab etroopia muudu avaldada kujul
(51)
Kuidas muutub entroopia eelpool vaadeldud termodünaami-listes isoprotsessides?
(1) Isotermilises protsessis T2 = T1 ning
(52)
(2) Isobaarilises protsessis T2
/ T1
= V2 / V1 ning
(53)
(3) Isohoorilises protsessis V2 = V1 ning
(54)
(4) Adiabaatilises protsessis dQ = 0 ning
Δ S = 0 , (55)
mis tähendab, et adiabaatiline protsess on isoentroopiline protsess - selle käigus jääb süsteemi entroopia konstantseks.
Konstrueerides reaalse gaasi isoterme järjest kõrgemate tem-peratuuride jaoks kõdub lõik 2  3 lõpuks nn. kriitiliseks punktiks C, kus aine olekut nimetatakse kriitiliseks olekuks. Vastavat temperatuuri kutsutakse kriitiliseks temperatuu- riks . Siin puudub eralduspind gaasilise ja vedela faasi vahel, mis tähendab, et vedeliku ja gaasi omadused ühtivad.
Ühendades erinevatele isotermidele vastavad punktid 2 ja 3 pideva kõveraga, saame olekupiirkonnad, kus esineb gaas, gaas + vedelik, vedelik.
Kriitilisel olekul on väga suur tähtsus gaaside veeldamise seisukohast : veeldada saab ainult seda gaasi, mille tempe-ratuur on madalam kriitilisest.
Aine veeldumine toimub kindlal temperatuuril ning rõhul, kus küllastunud aur ja vedelik on omavahel dünaamilises tasa-kaalus. Et see tasakaal võib antud ruumala korral saabuda mitmesuguste rõhu ja temperatuuri väärtuspaaride juures, moodustavad tasakaaluoleku punktid pT- diagrammil kõvera
(aurumiskõvera). Samasugune dünaamiline tasakaal (ja seda kirjeldav kõver) leiab aset tahke ja vedela (sulamiskõver) ning tahke ja gaasilise (sublimatsioonikõver) oleku vahel. Kõik kolm faasiüleminekut iseloomustavat kõverat lõikuvad ühes punktis - kolmikpunktis. Siin on tasakaalus kolm faasi (tahke, vedel ja gaasiline). Saadud koonddiagrammi nimetatakse olekudiagrammiks.
Lisaks klassikalisele termodünaamikale vaatlesime loengus ka olulisemaid energia ülekandeid looduses: maakeral on neist tähtsaim kasvuhooneefekt , millel on 2 poolt: 1) valdavalt lühilaineline päikesekiirgus läbib suures osas atmosfääri ja soojendab maapinda, 2) Maalt lähtuv pikalaineline soojuskiirgus aga peetakse atmosfääris kinni. Tagamaks tasakaalu pealelangeva päikesekiirguse vooga (1,367 kW/m2) tõuseb Maakera temperatuur - praegu teadaolevalt 33 kraadi Celsisust. Sellest efektist on 20,6 kraadi põhjustatud veeaurust, 7,2 kraadi süsihappegaasist, 2,4 kraadi troposfääri osoonist, 0,8 kraadi nii metaani kui dilämmastikoksiidi ja 0,6 kraadi freoonide poolt. Anropogeense mõjuna suurendatakse kõigi viimaste kasvuhoonegaaside kontsentratsioone ja seega annavad erinevad ennustused (ja inimkonna käitumine) järgneva sajandi jooksul temperatuuri kasvuks kraadist kuni 6 kraadini. Saame näha...
Kasvuhooneefekti kirjeldamisel puutusime kokku ka mitme soojuse ülekande viisiga, mistõttu vaatlesime loengus neid ka täpsemalt.
Soojuse ülekandeviise on 3: soojusjuhtivus, konvektsioon ja soojuskiirgus.
Soojusjuhtivust kirjeldavad seosed 12 ja 13.
Konvektsiooni toimumiseks on vaja voolavat keskkonda- kas vedelikku või gaasi Konvektsioonitegurit tähistatakse tähega h, mis omandab väärtusi gaasides mõnest kuni mõnesaja ja vedelikes mõnekümnest mõnetuhandeni (ühikuks W m-2 K-1).
Soojuskiirgust kirjeldab Kirchhofi seadus
(56)
kus  väärtuseks on
Kuna ka keha ümbritsev keskkond kiirgab tagasi, siis soojusvoo arvutamiseks on vaja kasutada valemis nii keha enda kui ümbritseva keskkonna temperatuuride neljandaid astmeid.
Kuna kehade kokkupuutel avaldab nende soojusmahtuvuse kõrval toimet ka nende soojusjuhtivuse kiirus, siis kasutatakse nende parameetrite koos arvestamiseks kontakttemperatuuri Tc mõistet.
(57)
kus b kontaktkoefitsient, indeksid tähistavad vastavalt esimest ja teist keha.
(Paljale inimjalale on mugavaks kontakttemperatuuriks 25,4 Celsiust ja paljale käele maksimum 45 Celsiust).
Mõnede materjalide soojusülekande omadused 300K ja normaaltingimuste juures.
Materjal
Tihedus (kg m-3)
Soojusjuhtivutegur k (W m-1 K-1)
Kontaktkoefitsient b (J m-2 K-1s-1/2)
õhk
1,161
0,026
Klaasfiiber
16
0,043
24
Kork
120
0,039
92
Paber
930
0,180
470
Klaas
2500
1,4
1620
Tsement
1860
0,72
1020
Pehme puit
510
0,12
290
Tammepuit
545
0,19
499
Betoon
2300
1,4
1680
Alumiinium
2700
237
24000
Vask
8933
401
37000
Liiv
1515
0,27
572
Muld
2050
0,52
1400
Inimese nahk
0,37
1120
Energia ülekande arvutamiseks kasutasime näidisülesandeid, milledega leidsime, et mehaaniline energia on oluliselt väiksem siseenergiast ( 1)jõetammi kõrgus peab olema 420 meetrit, et tõsta jõevee temperatuuri vaid 1 kraadi võrra (eeldades, et kogu potentsiaalne energia muundub soojuseks) ning 2) balloon lämmastikuga, mis pidurdus kiiruselt 100 m/s tõstis gaasi temperatuuri vaid 6 kraadi võrra.)
3. Tahke keha mehhaanika .
3.1. Mehhaanika aine. Taustsüsteem. Punktmass .
Klassikaline e. Newtoni mehhaanika tegeleb makroskoopiliste (molekulide mõõtmetest palju suuremata mõõtmetega) kehade liikumise (ruumis asukoha muutumise) uurimisega. “Keha” mõiste hõlmab siin nii tahkeid kehi kui ka vedeliku või gaasi mõtteliselt eraldatavaid hulki. Tühjas ruumis asuva üksiku keha liikumisest ei saa rääkida, kehad saavad liikuda vaid üksteise suhtes. Üks keha valitakse taustkehaks, teiste kehade liikumist vaadeldakse selle taustkeha suhtes. Põhimõtteliselt on kõik kehad kõlbulikud taustkehana, valik tehakse mõistlikkuse ja otstarbekuse kriteeriumist lähtudes. Näiteks vaadeldakse tavaliselt lendava linnu liikumist Maa suhtes, mitte vastupidi, kuigi põhimõtteliselt ei ole viimane võimalus keelatud.
Kehade asukoha määramiseks taustkeha suhtes seotakse viimasega koordinaatide süsteem, tavaliselt ristkoordinaadistik. Ajavahemike mõõtmiseks peab taustkeha juures olema kell. Taustkeha koos koordinaatide süsteemi ja kellaga nimetatakse taustsüsteemiks.
Üldjuhul võib kehade liikumine olla küllalt keeruline. Kaks lihtsaimat liikumisviisi on kulgliikumine ja pöörlemine ümber fikseeritud telje; kõik keerulisemad liikumised on vaadeldavad kui nende lihtsaimate liikumiste kombinatsioonid. Kulgliikumisel liiguvad keha kõik punktid täpselt ühesuguseid teid (trajektoore) mööda, läbides igas suvalises ajavahemikus võrdsed teepikkused . Pöörleva keha kõik punktid liiguvad ringjooni mööda, mille keskpunktid asuvad ühel sirgel, mida nimetatakse pöörlemisteljeks.
Reaalsete kehade kõiki omadusi on väga raske, kui mitte võimatu kirjeldada, sest neid omadusi on väga palju. Seepärast tegeldakse füüsikas, nagu teisteski loodusteadustes, kehade lihtsustatud kujutistega, millel on säilitatud vaid antud probleemi käsitlemisel vajalikud omadused. Neid kujutisi nimetatakse mudeliteks. Kulgliikumise kirjeldamisel kasutatakse mehhaanikas tavaliselt punktmassi mudelit, milles on säilitatud vaid üks keha omadus – selle inertsust kirjeldav mass, isegi geomeetrilistest mõõtmeest on loobutud , kogu mass loetakse koondunuks ühte punkti. Punktmassi asukohta saab kirjeldada kolme arvuga – koordinaatidega, punktmassi trajektoor on täpses matemaatilises mõttes joon. Pöörlevat keha võib vaadelda punktmassina vaid suurelt kauguselt , kui keha üksikute punktide liikumine pole jälgitav.
Mehhaanika ainevald jaotatakse kolme ossa : kinemaatika , dünaamika ja staatika. Kinemaatikas kirjeldatakse kehade liikumist, süvenemata selle põhjuste selgitamisele (otsitakse vastust küsimusele “kuidas?”). Dünaamikas uuritakse just liikumise põhjusi (otsitakse vastust küsimusele “miks?”). Staatika vaatleb kehade suhtelise paigalseisu tingimusi.
3.2. Punktmassi kinemaatika. Kiirus, kiirendus.
Kui punktmass läbib mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused, siis nimetatakse liikumist ühtlaseks. Ühtlase liikumise kiiruseks nimetatakse füüsikalist suurust, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Kui keha ajavahemiku Δt jooksul läbib vahemaa Δs, siis kiirus avaldub:
. (2.1)
A
B
C
E
Joon. 2.1. Hetkkiirus kõver-
joonelisel liikumisel
D
Liikumist iseloomustab peale kiiruse arvväärtuse ka siht ja suund ruumis. Sirgjoonelisel liikumisel määrab punktmassi trajektoor ise liikumise sihi (sirge, mida mööda punkt liigub), liikuv punkt ise näitab kätte suuna sellel sirgel. Seepärast ei ole sirge trajektoori korral tingimata vaja käsitleda kiirust vektorina . Kõvera trajektoori korral aga ilmneb kiiruse vektoriline iseloom selgesti. Liikugu punktmass oma trajektooril noolega näidatud suunas, ajavahemikus Δt läbigu ta kaarepikkuse . Asendi muutust võib kirjeldada ka nihkevektoriga . Keskmise kiiruse trajektoori lõigul AB võib määrata skalaarina:
(2.2)
või vektorina
. (2.3)
Viimase vektori pikkus erineb valemiga (2.2) määratud keskmisest kiirusest. Kui vaadelda järjest väiksemaid ajavahemikke ja vastavalt lühemaid kaarepikkusi (AC, AD,…) ja nihkevektoreid (, ,…) siis see erinevus järjest väheneb, keskmise kiiruse vektor pöördub ja piiril , kui , langeb selle siht kokku trajektoori puutuja AE sihiga. Niisuguse piirväärtusena saadud vektorit nimetatakse hetkkiiruseks trajektoori vaadeldavas punktis:
. (2.4)
Hetkkiiruse vektori moodul on võrdne skalaarse hetkkiirusega, mille me saame samasuguse piirväärtusena valemist (2.2), s.t. liikumise algpunktist alates läbitud teepikkuse tuletisega aja järgi. Hetkkiiruse vektor aga võrdub lõpmata väikese ajavahemiku jooksul sooritatud nihke(vektori) ja selle ajavahemiku suhtega.
Kiiruse muutumise kiirust iseloomustab kiirendus. Ühtlaselt kiireneva (või aeglustuva) sirgjoonelise liikumise korral nimetatakse punktmassi kiirenduseks füüsikalist suurust, mida mõõdetakse ajaühikus toimunud kiiruse muutusega:
. (2.5)
B
D
C
Kiirendus peab aga kirjeldama kiiruse vektori muutumist, seega peab ta ka ise olema vektor. Kiirenduse vektoriline iseloom avaldub jällegi kõverjoonelise trajektoori korral (joon.2).
Joon. 2.2. Kiirendus kõver-joonelisel liikumisel
A
E
Hetkel t asub punktmass oma trajektooril punktis A, hetkel t+Δt punktis B, hetkkiirused vastavalt . Nihutame vektorit
paralleellükkega nii, et selle alguspunkt ühtib
alguspunktiga (punkt A). Kiiruse muudu
jagame kaheks komponendiks
nii, et lõik AE = AD = . Vektor
kujutab kiiruse suuna muutumist,
aga mooduli muutumist. Analoogiliselt hetk­kiirusega (valem (2.4)) defineerime hetkkiirenduse:
. (2.6)
Kui me vaatame järjest väiksemaid ajavahemikke, siis punkt B läheneb A-le, võrdhaarse kolmnurga DAE tipunurk α läheneb nullile , kolmnurga alus DE on peaaegu risti mõlema haaraga. Seega valemis (2.6) pärast viimast võrdusmärki esimene piirväärtus defineerib kiirenduse kiirusega ristuva komponendi – normaalkiirenduse , teine liige aga kiirusesihilise komponendi – tangentsiaalkiirenduse :
. (2.7)
Vastavalt kiiruse muudu komponentide kohta öeldule kirjeldab
kiiruse mooduli muutumist, selle projektsioon kiiruse vektori suunale arvutatakse kui kiirusevektori mooduli tuletis aja järgi:
. (2.8)
Kiireneva liikumise korral on
positiivne, aeglustuva liikumise korral aga negatiivne. Normaalkiirendus
kirjeldab kiiruse suuna muutumist, selle mooduli arvutamiseks toome siinkohal valemi vaid ringjoonekujulise trajektoori jaoks (ringjoone raadius on R):
. (2.9)
Normaalkiirendust nimetatakse ka kesktõmbekiirenduseks, see on alati positiivne.
Kui , on tegemist ühtlase liikumisega (), kui , on tegemist sirgjoonelise liikumisega.
Toome lõpuks veel kiiruse ja kiirenduse ühikud rahvusvahelises ühikute süsteemis SI: m/s ja m/s2.
3.3. Newtoni seadused.
Selles punktis vaatleme punktmassi (keha kulgliikumise) dünaamika aluseks olevaid kolme Newtoni seadust. Meenutame, et dünaamika uurib keha liikumuse oleku, s.t. keha kiiruse muutumise põhjusi ja muutumatuks jäämise tingimusi.
Tegelikult juba Galilei (1564 –1642) poolt avastatud, kuid Newtoni ( 1643 –1727) poolt klassikalise mehhaanika ühe alusena rangelt formuleeritud dünaamika esimene põhiseadus väidab, et (teiste kehade mõjutustest) vaba keha säilitab oma kiiruse, s. t. seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Kehade omadust säilitada oma kiirust nimetatakse inertsiks , inertsi mõõduks on massiks nimetatav füüsikaline suurus. Mass on ühikute süsteemi SI põhisuurus, selle ühik 1 kg on defineeritud rahvusvahelise etaloni kaudu.
Seega kiirendus saab kehal ilmneda vaid teiste kehade mõjul. Ometigi tunneme kurvi võtvas bussis seistes, kuidas “miski” nagu tõukaks meid, ja kui me kusagilt kinni ei hoia, hakkame kiirendusega liikuma. Tähendab, Newtoni esimene (nagu ka teine ja kolmas) seadus ei pea paika mitte kõikide taustsüsteemide suhtes. Taustsüsteeme, milles kehad liiguvad Newtoni seaduste järgi, nimetatakse inertsiaalseteks taustsüsteemideks. Kõik kehad, millega seotud taustsüsteemid on inertsiaalsed, liiguvad üksteise suhtes kiirenduseta. Rangelt inertsiaalseid taustsüsteeme ei ole olemas, kiirenduse puudumist saab kindlaks teha vaid mõõtmistäpsuse piirides. Enamiku igapäevaelus toimuvate liikumiste korral saab maapinnaga seotud taustsüsteemi lugeda inertsiaalseks. Hiljem näeme, et õhu ja vee suuremastaabiliste liikumiste korral avaldub Maa mitteinertsiaalsus selgesti.
Füüsikalist suurust, mille väärtus mõõdab kehade poolt üksteisele avaldatavat mõju, nimetatakse jõuks. Jõud võib põhjustada keha kiirendust, kui kolmandate kehade poolt mõjuvad jõud seda ei takista. Sama jõud põhjustab erinevatel kehadel erinevaid kiirendusi, sõltuvalt nende kehade massist. Dünaamika teine põhiseadus e. Newtoni teine seadus väidab et jõu poolt tekitatud kiirendus on võrdeline selle jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga: . Tavaliselt kirjutatakse see seadus kujul:
. (2.10)
Sellest seosest määratakse ka jõu ühik. Ühikute süsteemis SI on see kgm/s2 = N ( njuuton ).
Mass on klassikalises mehhaanikas konstantne suurus. Teades et , võime kirjutada:
, (2.11)
(m kui konstandi võib viia tuletise märgi alla). Siit näeme, et jõud määrab korrutise
muutumise kiiruse. Tõepoolest, katse näitab, et sama jõud sama aja jooksul mõjudes annab erinevatele kehadele erinevad kiirendused, mis sõltuvad keha massist, aga korrutise
muutused on samad. Seda korrutist nimetatakse liikumishulgaks e. impulsiks:
. (2.12)
Vektor
on alati kiirusega samasuunaline. Selle ühik süsteemis SI on kgm/s.
Joon. 2.3. Kahe keha vastasmõju.
Kehade mõju on alati vastastikune. Dünaamika kolmas põhiseadus e. Newtoni kolmas seadus väidab, et kui kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, siis need jõud on mooduli poolest võrdsed, kuid vastassuunalised, ja mõjuvad samal sirgel. Joonisel 2.3 on kujutatud kaks väikest samanimelise elektrilaenguga laetud keha (punktmassi). Newtoni kolmanda seaduse võib siin üles kirjutada kujul:
. (2.13)
Siin neid kaht keha vaatleme mehhaanilise süsteemina; süsteemi kuuluvate kehade vahelisi jõude nimetatakse süsteemi sisejõududeks ja tähistatakse tavaliselt väikese f -ga, esimeseks indeksiks kirjutatakse selle keha number, mis mõjutab vaadeldavat keha, teiseks indeksiks aga mõjutatava keha number.
Newtoni seadused on katsetulemuste üldistus, neid ei saa teoreetiliselt tõestada.
3.4. Impulsi jäävuse seadus.
Kui eelmise punkti lõpus vaadeldud mehhaanilises süsteemis kehadele mingeid jõude süsteemi­väliste kehade poolt ei mõju, siis nimetatakse süsteemi suletuks e. isoleerituks. Arvestades valemeid (2.11) ja (2.12), võime Newtoni kolmanda seaduse (valem (2.13)) kirjutada kujul:
. (2.14)
Korrutanud võrduse mõlemaid pooli ajavahemikuga dt, saame, et meie süsteemi kehade impulsi muudud sama aja jooksul on võrdsed ja vastassuunalised, nende summa on null. Seega on meie suletud süsteemi kehade impulsside summa – süsteemi impulss – aja jooksul jääv suurus. See tulemus on üldine kuitahes suurest arvust kehadest koosnevate suletud süsteemide kohta ja kannab impulsi e. liikumishulga jäävuse seaduse nimetust: suletud mehhaanilise süsteemi impulss
on ajas jääv suurus. Seega sisejõud ei saa muuta süsteemi impulssi , kuigi nad muudavad üksikute süsteemi kuuluvate kehade impulssi.
Süsteemi suletus ei tähenda seda, et välised kehad ei tohi üldse mõjutada süsteemi kehi, vaid välisjõudude vektorsumma peab olema null. Näiteks on kalda ääres seisva paadi ja selles seisva inimese raskusjõudude summa tasakaalustatud paadile vee poolt mõjuva üleslükkejõuga; kui inimene hüppab paadist kaldale, hakkab paat liikuma kaldast eemale, summaarne impulss on null, nagu see oli enne hüpet.
Kui välisjõudude vektorsumma projektsioon mingile sihile on null, siis süsteemi impulsi vektori projektsioon sellele sihile on jääv, kuigi impulss tervikuna võib muutuda. Näiteks paraboolset trajektoori mööda lendava mürsu impulsi projektsioon horisontaaltasandile on jääv suurus, kuigi vertikaalprojektsioon muutub raskusjõu mõjul pidevalt. Kui mürsk lõhkeb õhus, jääb kildude süsteemi impulsi horisontaalprojektsioon võrdseks mürsu impulsi horisontaalprojektsiooniga enne lõhkemist.
3.5. Töö ja energia. Mehhaanilise energia jäävuse seadus.
Töö mõiste mehhaanikas pärineb igapäevasest elust. Inimene või hobune väsib seda enam, mida suuremat raskust ta veab ja mida pikemal teel tuleb seda vedada. Suurema raskuse vedamiseks tuleb vankrile rakendada suuremat jõudu. Siit: töö on võrdeline mõjuva jõu ja jõu rakenduspunkti nihkega. Kui jõud ei mõju nihke sihis, vaid moodustab sellega mingi nurga (vankri aisad ei ole horisontaalsed), siis teeb tööd vaid jõu liikumisesihiline komponent . Tõepoolest, kui jõu liikumise sihiga ristuv komponent
on keha raskusjõust väiksem, siis ta ei saa keha liigutada ja ei tee ka tööd. Töö arvutatakse valemist:
. (2.15)
See valem on õige sirgjoonelisel liikumisel, mil töö on defineeritud kui füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja nihkevektori skalaarkorrutisega. Kui trajektoor ei ole sirge, siis tuleb töö arvutada eraldi väikestel trajektoori lõikudel ja saadud skalaarkorrutised liita. See tähendab integraali arvutamist, mida siinkohal lähemalt vaatlema ei hakka.
Nurk α võib olla nii terav - kui nürinurk, seega töö väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne. Esimesel juhul on tegemist veojõu või kiirendava jõuga, teisel juhul aga pidurdava jõuga.
Masinate töötegemise võimet iseloomustatakse võimsuse mõistega: võimsus on ajaühiku kohta tehtud töö:
. (2.16)
Kui võimsus muutub aja jooksul, siis annab valem (2.16) keskmise võimsuse Δt jooksul. Vähendades järjest ajavahemikku, jõuame hetkvõimsuse mõisteni.
Töö ühik SI-s on džaul, lühend J; võimsuse ühik on watt , lühend W. Tarvitusel on mittesüsteemne võimsuse ühik hobujõud: 1 hj = 735,5 W.
Kehad võivad teatud tingimustel teha tööd teiste kehade kiirendamisel või deformeerimisel, samuti pidurdavate jõudude mõju vastu. Keha võimet teha tööd nimetatakse selle keha energiaks Ek. Tõukame kelgu jääl liikuma mingi algkiirusega ; hõõrdejõu
mõjul liigub see ühtlaselt aeglustuvalt, kuni jääb seisma. Arvutame hõõrdejõu ületamisel tehtud töö, see ongi kelgu kineetiline energia
libisemise algul. Keha mõjutab jääd jõuga , sooritab sirgjooneliselt liikudes nihke , nihke lõpus on kiirus . Kasutades töö valemit (2.15), Newtoni 2. seadust ja ühtlaselt aeglustuva liikumise kinemaatika valemeid, saame:
, (2.17)
. (2.18)
Saadud valem kehtib üldiselt iga liikuva keha jaoks suvalisel hetkel, v0 asemele tuleb kirjutada kiirus v antud hetkel. Et keha kiirus sõltub taustsüsteemist, mille suhtes seda mõõdetakse, siis on ka Ek väärtus sõltuv taustsüsteemist. Liikuvale kehale mõjuv jõud (jõudude summa) teeb tööd
muutmiseks:
. (2.19)
Viimane valem väljendab kineetilise energia teoreemi sisu. Vaadeldud kelgu näites tegi hõõrde­jõud tööd .
Mehhaanilise süsteemi kineetiline energia on süsteemi kehade kineetiliste energiate summa.
Kehadel võib olla võime teha tööd, sõltumata sellest, kas nad liiguvad või mitte, kui nad asuvad teatud tüüpi jõuväljas. Mingi füüsikalise suuruse väli on ruumiosa , kus sellel suurusel on igas punktis üheselt määratud väärtus. Gravitatsioonijõu välja Maa pinna lähedal nimetatakse raskusjõu väljaks, selle välja igas punktis mõjub kehale (punktmassile) ühesugune vertikaalselt alla suunatud raskusjõud . Kui lasta rammimise nui ilma algkiiruseta langeda vabalt kõrguselt h, siis teeb raskusjõud tööd . Vastavalt kineetilise energia teoreemile omandab nui maapinnani jõudes just sellise hulga kineetilist energiat ja võib selle arvel teha omakorda samapalju tööd, lüües vaia maasse. Tähendab, kõrgusel h maapinnast on kehal oma asendi tõttu raskusjõu väljas võime teha tööd mgh. Seda nimetatakse potentsiaalseks energiaks
raskusjõu väljas:
. (2.20)
Raskusjõu poolt tehtav töö ei sõltu sellest, kas keha kukub vabalt vertikaaljoont mööda või, olles saanud kõrgusel h mingi horisontaalse algkiiruse, liigub maapinnani kõverjoonelist (paraboolset) trajektoori pidi. Selliseid välju, milles väljajõudude töö keha nihutamisel ei sõltu trajektoori kujust , vaid ainult alg- ja lõpp-punkti asukohast (koordinaatidest), nimetatakse konservatiivseteks e. potentsiaalseteks. Konservatiivsetest jõuväljadest kõige sagedamini esinevad gravitatsiooniväli ja elektriväli. Potentsiaalne energia on kehadel olemas ainult konservatiivsetes jõuväljades. Kokku­surutud või väljavenitatud vedru Ep on selle molekulide elektromagnetilise vastasmõju Ep.
Loodus ei anna ette, kus on keha potentsiaalne energia null, see tuleb lihtsalt otstarbekalt valida. Raskusjõu väljas valitakse tavaliselt Ep nullnivooks maapind . See aga ei tähenda, et maapinnal asuval kehal pole võimet teha tööd. Veeretame keha augu äärele ja laseme kukkuda , augu põhjas on keha jälle võimeline vaia rammima.
Kui mehhaanilise süsteemi kehad mõjutavad üksteist konservatiivsete jõududega, siis võib ükskõik missuguse neist lugeda jõuvälja tekitajaks , teised omavad siis selles väljas potentsiaalset energiat. Et välja tekitaja valik on vaba, siis ei saa seda energiat omistada eraldi üksikutele kehadele, see on süsteemi kui terviku omadus: mgh on süsteemi ramminui-Maa ühine Ep.
Kui keha langeb kõrguselt h1 kõrgusele h2 maapinnast, teeb raskusjõud tööd . Sama töö võib arvutada kineetilise energia teoreemi kasutades: .Mõlema võrduse parema poole võrdsusest tuleneb:
. (2.21)
Siin on kineetilise ja potentsiaalse energia summa tähistatud E-ga, seda nimetatakse keha mehhaaniliseks energiaks. Valem (2.21) väljendab mehhaanilise energia jäävuse seadust: kui kehale mõjuvad ainult konservatiivsed jõud, on keha mehhaaniline energia jääv. Sama kehtib mehhaanilise süsteemi korral, mille kehade vahel mõjuvad vaid konservatiivsed sisejõud ja millele mõjuvad ainult konservatiivsed välisjõud. Süsteemi suletus ei ole nõutav.
Peale konservatiivsete jõudude on olemas mittekonservatiivsed jõud, mille olulisemaid esindajaid on hõõrdejõud. Hõõrdejõud takistavad alati liikumist, mõjudes liikuvale kehale selle kiirusega vastassuunas; nende jõudude töö muundab mehhaanilist energiat kehade siseenergiaks (soojus­energiaks), st. molekulide kaootilise liikumise energiaks. Hõõrdejõud mõjuvad üksteise suhtes liikuvate tahkete kehade kokkupuutuvatele pindadele (kuiv hõõre), üksteise suhtes liikuvate vedeliku või gaasi kihtidele (sisehõõre e. viskoosne hõõre), samuti ka vedelikus või gaasis liikuvate tahkete kehade pindadele (see on ka sisehõõre pinnale kleepunud vedelikukihi ja ülejäänud vedeliku vahel). Molekulidest oluliselt suuremate kehade (makrokehade) liikumisel pole võimalik hõõrdejõude vältida, seepärast kehtib mehhaanilise energia jäävuse seadus siin vaid ligikaudselt. Molekulide, aatomite ja elementaarosakeste liikumisel hõõrdejõude ei ole, seepärast kehtib seal energia jäävuse seadus täpselt. Kui makrokehade liikumisel arvestada ka siseenergiaks üle läinud mehhaanilist energiat, siis kehtib üldine energia jäävuse seadus ka siin täpselt.
3.6. Gravitatsioonijõud.
Vaatleme lähemalt üht põhilist konservatiivset jõudu. Kaks punktmassi massidega , mis asuvad teineteisest kaugusel r, mõjutavad teineteist tõmbejõududega, mille moodul arvutatakse valemist:
, (2.22)
kus
on gravitatsioonikonstant . Valem (2.22) väljendab Newtoni poolt astronoomiliste vaatluste tulemuste põhjal formuleeritud ülemaailmset gravitatsiooniseadust. Valem kehtib täpselt ka kerakujuliste homogeensete ( samast ainest koosnevate) kehade korral, kui kaugust r mõõta kerade keskpunktide vahel. Gravitatsioonijõud määrab kõigi taevakehade liikumise seaduspärasused. Suure kera gravitatsiooniväljas asuvale väikesele kehale mõjuvat jõudu võib arvutada valemi (2.22) järgi, sõltumata keha kujust, kui kaugust r kera keskpunktist mõõta selle väikese keha massikeskmeni. (Massikese on punkt kehas, kuhu rakendatud ühe jõuga on võimalik tasakaalustada kehale mõjuva gravitatsioonijõu, nii et keha ei hakka liikuma kulgevalt ega ka pöörlema.)
Inimkonna kogu elutegevus toimub meie Maa pinna lähedases, Maa raadiusega võrreldes väga õhukeses kihis (kui mitte arvestada viimaste aastakümnete kosmoselende). Kaugus r on kõigi selles kihis asuvate kehade jaoks praktiliselt sama – võrdne Maa keskmise raadiusega 6370 km, Maa mass on 5,961024 kg. Gravitatsiooniseaduse valemis võib siis konstantidest koosneva osa välja arvutada: m/s2. See ongi tuntud raskuskiirenduse väärtus. Et Maa on pooluste poolt veidi kokku surutud ja pinnavormid on mitmesuguse kõrgusega, siis kõigub raskuskiirenduse g väärtus piirides 9,78 kuni 9,83 m/s2. Eestis on see väärtus 9,818 m/s2.
Maa gravitatsioonijõud on kujundanud ja kujundab praegugi meie elukeskkonda. See on parasjagu nii tugev, et hoiab kinni õhu ja selles alati leiduva veeauru molekulid, nii et kiireimad nende hulgast ei saa pageda kosmilisse ruumi. Sellepärast on meie planeedil säilinud eluks paratamatult vajalikud vesi ja hapnik. Maa gravitatsioonijõud paneb liikuma vee jõgedes, kuid ka lume mäenõlvadel laviinide ajal jne. Kuu ja Päikese gravitatsioonijõud tekitavad loodeid (tõus ja mõõn).
3.7. Tasakaalutingimused mehhaanikas.
Tasakaal mehhaanikas tähendab paigalseisu. Mehhaanilise süsteemi tasakaalutingimused on staatika uurimisvaldkond.
Süsteemi tasakaalu esimene tingimus on kõigi mõjuvate jõudude summa võrdumine nulliga. Näiteks on kaldpinnal asuv klots paigal, kui raskusjõu, toereaktsioonijõu ja seisuhõõrdejõu vektorsumma on null. See on tarvilik tingimus tasakaaluks, kuid mitte piisav. Kui see tingimus on täidetud, võib süsteem (keha) ikkagi liikuda ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Eelmises näites võib klots libiseda ühtlaselt kaldpinda mööda alla, kuigi raskusjõu, toereaktsioonijõu ja liugehõõrdejõu summa on null.
Süsteemi tasakaalu teine tingimus peab kindlustama pöörlemise puudumise. Kui süsteemil on olemas fikseeritud pöörlemistelgi, siis peab välisjõudude momentide summa nende telgede suhtes null olema. Näiteks jääb auto vedav ratas paigale, kui mootor pöörav moment on võrdne teekatte ja piduriklotside poolt mõjuvate seisuhõõrdejõudude momentide summaga .
Konservatiivses jõuväljas asuva keha (süsteemi) jaoks on võimalik tasakaalutingimused formuleerida ka potentsiaalse energia kaudu. Kelk võib olla tasakaalus nii jäämäe tipus kui kausikujulise jäätunud oru põhjas. Esimesel juhul on kelgu potentsiaalne energia maksimaalne naaberpunktidega võrreldes; siin vähimgi välistõuge rikub tasakaalu, kelk ei tule iseenesest kunagi mäe otsa tagasi. Oru põhjas on kelgu potentsiaalne energia naaberpunktidega võrreldes minimaalne. Kui lühiajaline välismõju (tõuge) viib kelgu tasakaalust välja, hakkab see võnkuma tasakaaluasendi ümber, kuni hõõrdejõud kulutad ära tõukel saadud Ek varu, siis jääb kelk jääle madalaimas asendis seisma. Esimest tasakaalu nimetatakse ebapüsivaks (labiilseks), teist püsivaks (stabiilseks). Horisontaalsel jääväljal on kelgu Ep sama kõigis punktides, siis on ka tasakaal võimalik kõigis punktides. See on ükskõikne e. indiferentne tasakaal.
Enamus looduslikke protsesse kulgevad stabiilse tasakaalu, st. potentsiaalse energia miinimumi suunas. Tuule- ja vee- erosioon murendab mägesid ja kõrgustikke ning kannab pinnast alla orgudesse; nii tasanduvad teravad pinnavormid Maal. Kuul, kus puudub atmosfäär ja vesi, on meteoriidikraatrite teravad ääred säilinud.
Pöörlevate kehadega seotud taustsüsteemides esineb veel mitu inertsijõudu, millest siin vaatleme tsentrifugaalset inertsijõudu ja Coriolise jõudu. Sile platvorm pöörleb nurkkiirusega
ümber vertikaalse sümmeetriatelje. Telje külge keevitatud vardale on aetud spiraalvedru ja vedru otsa kinnitatud kera, millest on auk läbi puuritud. Vedru teine ots on kinnitatud telje külge. Maapinnal seisva vaatleja jaoks on kõik selge: väljaveninud vedru mõjutab kera kesktõmbejõuga , mis annab kerale telje poole suunatud normaalkiirenduse , nii et kera liigub ringjoonel. Platvormi suhtes seisab kera aga paigal, kuigi talle mõjub vedru jõud. Jõudude tasakaalu taastamiseks tuleb jälle sisse tuua inertsijõud, mida nimetatakse tsentrifugaalseks inertsijõuks (erinevalt vedrule kera poolt mõjuvast vastasmõjujõust, mis kannab ka tsentrifugaal­jõu nime). See avaldub ka kera massi ja pöörleva taustsüsteemi selle punkti, kus asub meie kera, maapinna suhtes mõõdetud kiirenduse korrutisega, kuid on suunatud radiaalselt teljest eemale. Selle inertsijõu moodul avaldub:
. (2.40)
Vaatame jälle platvormi joonisel 2.10. Lükkame seisval platvormil väikese keha telje juurest raadiust mööda libisema kiirusega
platvormi suhtes (seisva platvormi korral on see ühtlasi kiirus maapinna suhtes). Keha liigub ühtlaselt sirget trajektoori mööda nii platvormi kui maapinna suhtes. Kui sama katset korrata pöörleval platvormil, siis maapinna suhtes liigub keha samuti kui enne (hõõrdejõudu siledal platvormil ignoreerime!), kuid et platvorm “pöördub keha alt ära”, siis selle suhtes trajektoor kõverdub, nagu mõjuks mingi jõud risti kiiruse vektoriga platvormi tasandis . See ongi Coriolise jõud –inertsijõud, mis mõjub ainult pöörleva taustsüsteemi suhtes liikuvatele kehadele. Nagu jooniselt näha, on
risti nii keha kiirusevektoriga platvormi suhtes kui ka platvormi nurkkiiruse vektoriga, seega võiks ta avalduda nende vektorite vektorkorrutise kaudu. Täpsem tuletuskäik näitabki seda:
. (2.41)
Et Coriolise jõud on risti kiirusega, siis see tööd ei tee. Maa kui pöörleva taustsüsteemi pinnal ja pinna kohal liikuvate vee ja õhu masside käitumisele avaldab Coriolise jõud väga olulist mõju, seepärast on vajalik lähemalt uurida seda jõudu ja sellest põhjustatud kiirendust Maa suvalises punktis. Vaatame meridiaani sihis voolavas jões põhjapoolkeral punktis A laiuskraadil  mingit liikuvat veemassi (joon. 2.11). Liikugu see veemass põhja suunas kiirusega . Nihutame Maa pöörlemise nurkkiiruse vektori
paralleel­lükkega nii, et alguspunkt satub punkti A. Määranud valemi 2.41 järgi
suuna, veendume, et jõevesi ründab paremat kallast. Kui aga jõgi voolaks lõunasse kiirusega , siis tuleb
suund eelmise juhuga vastupidine, kuid jõgi uhub ikkagi paremat kallast. Veenduda, et lõunapoolkeral uhuvad jõed vasakut kallast! Öeldu käib mitte ainult jõevee, vaid suvalise meridiaani sihis liikuva keha kohta, näiteks õhumasside ja ka raudteevagunite kohta. See­pärast kuluvad kahe rööpapaariga raudteedel parempoolsed rööpad rohkem.
Meridiaani sihis liikuvat keha paremale kallutava Coriolise jõu moodul tuleb valemi (2.41) alusel:
. (2.42)
Efekt on seda tugevam, mida suurem laiuskraad, ekvaatoril puudub aga üldse.
Käsitletud ülesanded

Kui kõrge peaks olema hüdroelektrijaama tamm, et toodetava energiaga keema ajada 1% läbivoolavast veest, kui selle algtemperatuur on 10 C? Energiakadudega keskkonda mitte arvestada.

Vesikeskkütte radiaatoriga ühendatud toru ristlõikepindala on 600 ruutmillimeetrit ja selles liigub kiirusega 1,5 cm/s vesi, mille temperatuur on 80 C. Radiaatorist väljumisel on vee temperatuur 25 C. Kui suure soojushulga saab ruum ühe tunni jooksul?

Auto hakkab sõitma ning läbib esimese 100 m jääva kiirendusega a1, järgmise 100 m aga kiirendusega a2. Seejuures esimese 100 m teelõigu lõpul on kiirus 10 m/s ning teise lõpul 15 m/s. Kummal teeosal on kiirendus suurem.

Viit kilogrammi õhku sisaldav anum liigub kiirusega 100 m/s. Kui palju tõuseb õhu temperatuur anumas, kui see äkki seisma jääb? Soojuse kadu seinte kaudu lugeda võrdseks nulliga. Õhu erisoojus 1000 J/kg K.

Millise temperatuuriga puutükki saame veel sõrmedega katsuda, kui sõrme temperatuur on 32 C, maksimum kontakttemperatuur 45 C ning puu kontaktkoefitsient on 290 J/ K m2 ning inimnahal 1120 J/ K m2 ?

Kui kõrgele maapinnast võiksime tõsta koormuse, mille mass on 100 kg, energia arvel, mis vabaneb 100 g veeauru kondenseerumisel, kui veeauru temperatuur on 100 C? (L = 2,3 MJ/kg )

Turist sõitis jalgrattaga ühest linnast teise. Pool teed läbis ta kiirusega 14 km/h. Pool ülejäänud ajast sõitis ta kiirusega 6 km/h ja seejärel läbis ülejäänud vahemaa jalgsi kiirusega 5 km/h. Leida keskmine kiirus.

Gaasijuhet mööda voolab süsihappegaas 4-at rõhu all temperatuuril 7 kraadi Celsiust. Milline on gaasi voolamise kiirus torus, kui 10 min jooksul läbib 5 cm2 toru ristlõiget 2 kg gaasi.

Kiirusega 1000 m/s liikuv vaskkuul tabab metallseina. Kui palju kerkib kuuli temperatuur kui kogu kineetiline energia läheb vase soojendamiseks? Vase erisoojus on 390 J/kg·K ning kuuli mass 5 g.

Kivi visati 50 m kõrguselt horisontaalse algkiirusega 20 m/s. Leida kivi kineetiline ja potentsiaalne energia 2 sekundit peale liikumise algust.

Pall visati vertikaalselt üles ja ta kukkus maapinnale tagasi 8 s pärast. Leida algkiirus, millega pall üles visati ja suurima tõusu kõrgus.

Auto pidurdamisel kahaneb tema kiirus 5 sekundiga väärtuselt 100 km/h väärtuseni 10 km/h. Leida pidurdusjõu suurus ning kineetilise energia muutus kui auto mass on 500 kg.