1) y= 3x³-9x 1. X=R 2. Y=R 3. Xₒ ; y=0 3x³-9x=0 |: 3 x³-3x=0 x(x²-3)=0 x=0 või x²-3=0 x²=3 x=±√3 Xₒ={-√3; 0; √3} 4. X+ y>0 3x³-9x>0 X+=(-√3;0) U (√3;∞) 5. X‾ y<0 3x³-9x<0 X‾=(-∞;-√3) U (0;√3) 6. X℮ y´=0 y´=(3x³-9x)´= 9x²-9 9x²-9=0 |: 9 x²-1=0 x²=1 x= ±√1 X℮={-√1;√1} 7. X↑ y>0 9x²-9=0 X↑(-∞;-√1) X↑(-√1;∞) 8. X↓ y<0 X↓(-√1;√1) 9. Pmax, Pmin x= -√1 (max, sest + läheb üle - ) x= √1 (min, sest – läheb üle +) Ymax= 3 ˟ (-√1)³ -9 ˟ (-√1)= 6 Pmax(-√1; 6) Ymin= 3 ˟ (√1)³ -9 ˟ √1= -6 Pmin(√1;-6) 2) 8x³+4x² 1. X=R 2. Y=R 3....
Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) kuupfunktsioon hüperbool. 14. Funktsiooni graafiku teisendused 15. Pöördfunktsioon olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni muutumispiirkonna Y igale elemendile vastab üks ja ainult üks element x hulgast X nii, et y = f (x), siis on hulgal Y määratud funktsioon, mida nimetatakse esialge funktsiooni pöördfunktsiooniks. 16. Juurfunktsioon funktsioon, kus x asub juure all (?). 17. Liitfunktsioon funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel.
vääratusreguleerimise põhimõttel. Kombineeritud reguleerimisviis on kasutusel peamiselt suure võimsusega (üle 1 MW) agregaatide juures. Tuuleagregaatide kasutegur sõltub nii tiiviku aerodünaamilistest kui ka generaatori elektrilistest omadustest. Tavaliselt on suuremate agregaatide kasutegur suurem. Agregaadi võimsus on võrdeline tiiviku läbimõõdu ruuduga. Tiiviku valmistamiseks kuluvate materjalide hulk ning järelikult ka hind on aga lineaarmõõtmete kuupfunktsioon. Nende seaduspärasuste järgi saab leida tuuleagregaatide optimaalsed mõõtmed ja optimaalse võimsus. Tänapäevaste ettekujutuste kohaselt on majanduslikult kõige tõhusamad 750...1500 kW võimsusega tuuleagregaadid, kuigi on ehitatud ka eksperimentaalseid tuuleagregaate 2...3 MW. Tuuleagregaadi tunnusjoon näitab agaregaadi poolt genereeritavat võimsust sõltuvalt tuule kiirusest. Taani tuuleelektrijaama Vestas V27-225 (225 kW) võimsuse katseline
Seega funktsiooni y x3 5x 2 3 x 7 kasvamisvahemikud on ( ; ) ja (3; ) ; 3 1 kahanemisvahemik on ( ; 3) . 3 2) Lõigul 2; 4) omandab kuupfunktsioon vähima väärtuse kas lõigu 2; 4) otspunktides või miinimumpunktis. a) Leiame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 graafiku miinimumpunkti ordinaadi. Kuupfunktsioonil saab olla vaid üks lokaalne minimum. Eelnevast on näha, et kohal x 3 funktsiooni kahanemine läheb üle kasvamiseks, järelikult antud funktsioonil on lokaalne minimum kohal x 3 . Arvutame miinimumpunkti ordinaadi: y(3) = 33 5 3 2 3 3 7 2.
kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Nüüd eeldame, et ka argument x funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Nt: kuupfunktsioon y = x 3 on ¨üksühene. Iga y korral leidub ainult ¨uks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult ¨ühe arvu (so 2) kuup, arv −27 on ainult ¨ühe arvu (so −3) kuup jne. Lahendades võrrandi y = x 3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = √3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x 2 ei ole üksühene. Funktsiooni üks ühesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline xteljega paralleelne
=cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid: Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Näiteks kuupfunktsioon y = x3 on üksühene. Iga y korral leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult ühe arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult ühe arvu (so -3) kuup jne. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad
y = x 2 , graafikuks on põhiparabool (joon. 6), paarisfunktsioon. X = . 24 y = ax 2 + bx + c (ka ruutpolünoom), graafikuks on parabool (joon. 3). X = . b x0 = - Haripunkti H koordinaadid: 2a y0 = f ( x0 ) Joon. 3 6. Kuupfunktsioon: y = x 3 , graafikuks on kuupparabool (joon. 7), paaritu funktsioon. X = . Kuuppolünoom y = ax 3 + bx 2 + cx + d (joon. 4, a > 0 ; joon. 5, a < 0 ). X = . Joon. 4 Joon. 5 7. Astmefunktsioon: y = x n (joon. 6, n on paarisarv; joon. 7, n on paaritu arv). X = . 25 Joon. 6 Joon. 7 8
6), paarisfunktsioon. X ¡ . 24 y ax 2 bx c (ka ruutpolünoom), graafikuks on parabool (joon. 3). X ¡ . b x0 Haripunkti H koordinaadid: 2a y0 f x0 Joon. 3 6. Kuupfunktsioon: y x 3 , graafikuks on kuupparabool (joon. 7), paaritu funktsioon. X ¡ . Kuuppolünoom y ax 3 bx 2 cx d (joon. 4, a 0 ; joon. 5, a 0 ). X ¡ . Joon. 4 Joon. 5 7. Astmefunktsioon: y x n (joon. 6, n on paarisarv; joon. 7, n on paaritu arv). X ¡ . 25 Joon
miinimum. Geomeetriliselt tähendab lause 6.1 väide seda, et kui kohal a diferentseeruval funktsioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud puutuja on paralleelne x-teljega Defineerida funktsiooni statsionaarse punkti mõiste: Punkti a ∈ D nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f : D → R statsionaarseks punktiks, kui f′ (a) = 0 Tuua näide funktsioonist, mille statsionaarses punktis ei ole lokaalset ekstreemumit: Kuupfunktsioon f : R → R, f (x) := x3 on igas punktis x ∈ R diferentseeruv ning f′ (x) = 3x2. Seega on 0 funktsiooni ainuke statsionaarne punkt, kuid f (0) = 0 ei ole funktsiooni f lokaalne ekstreemum. Nimelt on tal punkti 0 igas ümbruses Uδ (0) = (−δ, δ), kus δ on suvaline positiivne arv, nii negatiivseid kui ka positiivseid väärtusi: f (x) = x3 < 0, kui x < 0 ja f (x) = x3 > 0, kui 0 < x. Niisiis ei ole kuupfunktsioonil ühtegi lokaalset ekstreemumit. 26. Rolle’I teoreem (*)
lugejat trigonomeetriliste teisendustega ning viimaks lõpetame lisapeatükiga, mis räägib, kuidas kõike maailmas vaadata võnkumise nurga alt. Järgmises osas naaseme pisut lihtsamate, aga sugugi mitte vähem oluliste funkt- sioonide juurde. Osa 6 räägib alustuseks polünoomidest ehk funktsioonidest nagu 10 ruutfunktsioon ja kuupfunktsioon. Polünoomid on nii paindlikud, et tegelikult saaks nendega pea kogu matemaatika tehtud. Ometi on lihtsam kasutusele võtta ka eksponentsiaalfunktsioon ning logaritmfunktsioon. Esimene neist aitab kirjel- dada bakterite pooldumist, teine aitas astronoomidel juba sadade aastate eest Sissejuhatus kosmosearvutusi läbi teha.
Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨ artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x2 ei ole u ¨ ks¨ uhene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on m~olema x-i ruut
Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x2 ei ole u ¨ks¨uhene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on m~olema x-i ruut. Arv 4 nii -2 kui 2 ruut
annaabi.ee 
