Rakvere Ametikool Gänguru Puu AL 11 DIFERENTSIAALID Referaat Juhendaja : ÕPETAJA Rakvere 2012 Diferentsiaalide liigid. Diferentsiaalide töö põhimõte : Differentsiaali on vaja, et kurvis sõitva auto sisemine ratas saaks pöörelda aeglasemalt, kui väliskurvis olev ratas ning samaaegselt suudaks mootor kanda neile pöördemoment. Ilma
Autode käigukastid. Käigukasti vajab auto mootori omapära tõttu: aeglaselt töötaval sisepõlemismootoril pole jõudu. Seepärast tekib raskusi auto paigaltvõtu ja kiirendamisega. Rataste veo tugevdamiseks suurendatakse vajadust mööda väntvõlli pöördemomenti käigkasti abil. Kui väiksem hammasratas pöörab suuremat, siis moment suureneb kiiruse vähendamise arvel. Käikude vahetamine toimub hammasrataste või hammasratasploki nihutamisega. Sõltuvalt edasikäikude arvust, jagunevad köigukastid kolme-, nelja-, viiekäiguliseks. Igal käigukastil on ka tagasikäik, mis saadakse nihutatava lisahammasrattaga. Sünkronisaatori ehitus. Käigukastis käikude müratuks lülitamiseks kasutatakse eriseadiseid- sünkronisatoreid. Sünkronisaator on ehitatud nii, et liuguri küljes oleva hargiga nihutatav lülitusmuhv tõukab esmalt blokeerrõngast, mis hakkab hammasratast kaasa vedama. Muhv läheb hambumisse alles pärast seda, kui libisev rõngas on hõõrdejõu toimel kiiru...
Maatriksi astakuks nim arvu r, kui maatriksi ridade ja ridade ja veergude kustutamise teel maatriksi elementidest moodustatud r-järku determinantiide hulgas on vähemalt üks nullist erinev, kõik sel viisil moodustatud (r+)-järku determinandid aga on nullid (või neid ei saagi moodustada). Kui vähemalt üks maatriksi r-järku determinantidest erineb nullist, kõik kõrgemat järku det-d aga võrduvad 0ga, siis öeldakse, et selle maatriksi astak on r. Tähis r(A). 14. Diferentsiaalid, täisdiferentsiaalid, täistuletised, ilmutamata funktsioonide tuletised. Diferentsiaalid: Varem (dy/dx) (sisult 1 sümbol - tuletis), nüüd (dy)/(dx), dy=(dy/dx)dx e. dy='(x)dx:dx (dy)/(dx)=(dy/dx), Suurusi dy ja dx võib vaadata vastvalt y-i ja muutuja x-i differentsiaalidena. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) U U U
1 AS Õppegrupi nr. AS13 Kuupäev: 05.03.14 1. Mida tähendab rattavalem 6 x 4*? Kuus ratast ja neist neli on vedavad. 2. Kuidas liigitatakse jõuülekandeid? Manuaal käigukastid ja Automaatkastid. 3. Millised seadmed/sõlmed kuuluvad nelikveoga kaheteljelisel sõidukil jõuülekandesse? Hooratas ,sidur ,väntvõll ,kardaani ülekanded, diferentsiaalid, jaotuskast, vedevad sillad(rattad) 4. Millistele nõuetele peavad vastama sidurid? Sidur peab lahutama kiiresti ja täielikult, käigukasti hoorattalt saadavast mehhaanilisest energiast. Sidur peab uuesti liitma käigukasti ja hooratta sujuvalt, et vältida järske kohalt minekut mis võib kahjustada kõiki jõuülekande mehhanisme. Siduriketas ei tohi libisema hakata. 5. Kuidas jaotatakse ehituse järgi mehaanilised sidurid ? Siduri ehitus 1. Siduri korv 2.Suruketas (surveketas) 3
Diferentsiaaliks nimetatakse jõuülekandemehhanismi, mis jaotab temale kantud momendi väljundvõllide vahel ja võimaldab neil pöörelda erineva kiirusega. Diferentsiaalid liigituvad ehituslikult hammasratas-, nukk- ja tigudiferentsiaalideks. On ka vabakäigumehhanismiga diferentsiaale kus pöördemomenti kantakse edasi ainult ühes suunas peaülekandelt rattavõllidele. Hammasratasdiferentsiaalid tehakse kooniliste hammasratastega. Autole paigutamise koha järgi jagunevad diferentsiaalid ratastevahelisteks ja telgedevahelisteks diferentsiaalideks. R a t a s t e v a h e l i n e diferentsiaal asub auto ühe telje vasak- ja parempoolse veoratta vahel. T e l g e d e v a h e l i n e diferentsiaal on paigutatud auto veosildade vahele. Diferentsiaalikarbi külge on liikumatult kinnitatud peaülekande veetav hammasratas, mis hambub vedava hammasrattaga. Karpi on mahutatud ristmik, millel saavad takistamatult pöörelda kaks või neli satelliiti . Satelliidid on alalises
tuletist (n-1) järku tuletisest. Näited: leian nt (3) tuletise . Leian leides algul (3) ja siis tõesta mat. Induktsiooniga. Parameetriline leida 2. Tuletis. Tulemus: Kõrgemat järku tuletised: Lause 1.(Leibnizi valem). Funktsioonide korrutise f(x)g(x) n-järku tuletis on leitav selle valemi abil: Tõestus. Leian n-nda tuletise korrutise tuletisest. Algul leian 2 tuletist: Tõestada ka mat. Induktsiooniga: 1)n=n 2)n=n+1 N. 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist. dny=d(dn-1 y) N. Leian f-ni y=f(x) muudu , mis vastab argumendi muudule kohal x: Funktsiooni diferentsiaalid: Lause 1. Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga
1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´. +LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS ! 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist. dny=d(dn-1 y) 1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum. DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise
Autode peaülekanded jagunevad ühekordseteks ja kahekordseteks. Ühekordseid peaülekandeid kasutatakse sõiduautodel ja väikeveoautodel. Kahekordsesse peaülekandesse kuulub kaks paari hammasrattaid:1, 2 ja 3, 4. Kahekordseid peaülekandeid kasutatakse kesk- ja suurveoautodel, et suurendada rataste pöördemomenti. 4 Diferentsiaal Diferentsiaal on jõuülekandemehhanism, mis jaotab temale kantud momendi väljundvõllide vahel ja võimaldab neil pöörelda erineva kiirusega. Diferentsiaalid liigituvad ehituslikult hammasratas-, nukk- ja tigudiferentsiaalideks. Suurim pöördemoment, mida diferentsiaal võib väljundvõllidele kanda, sõltub sellest veorattast, mis tee või pinnasega halvemini haardub. 5 Veovõllid Veovõllid on ettenähtud pöördemomendi edasikandmiseks diferentsiaalilt veoratastele. 6 Veosildade tehnohooldus Veosilla tehnohooldusel tavaliselt tehakse väliseid kontrollimistöid, lisatakse või vahetatakse vastav õli.
tühjalt. Et differ on lukustatud, ei käi üks ratas enam ringi ning haarduv ratas paneb sõiduki liikuma. Lukustades lisaks veel esidifri, on kõiki nelja ratast vedavad teljed omavahel jäigalt ühendatud, seega pöörlevad kõik rattad sama kiirusega sõltumatult haardumisest. Hoiatus! Diferentsiaalide lukustamisega tasub siiski olla ettevaatlik. Loo alguses kirjeldatud põhjustel on difrid vajalikud pööramiseks. Mida enam neist on blokeeritud, seda raskem on pöörata. Lukustades kõik diferentsiaalid muutub roolikeeramine tuntavalt raskemaks, ning autot on peaaegu võimatu pöörata.
2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis
kompenseerib kiiruse erinevusi esi-ja tagateljel. See hoiab ära pinged jõuülekandes ja kannab sõites ühtlaselt veojõu ratastele. Joonis 6:Maastur neljaratta vedu Lülitatav nelivedu Tänu vahekastile mis saab ülekande käigukastist. Ülekandest sõltuvalt toimub pöördemomendi ülekandmine esi- ja tagaveovillale. Üldiselt kantakse veojõud üle tagasillale. Esisild on aktiveeritud ainult siis, kui vaja. Diferentsiaalid võivad olla varustatud lukkudega. Keskdiferentsiaali puudumisel ei ole võimalik esivedu kuiva teega sisse lülitada. Esisilla vabajooksuga rattarumm vabastab rattad veovõllidest sõltuvalt rattapöördenurgast. Joonis 7:Vabajooksuga rattarumm Hübriidülekanne Ühendada hübriid ülekandega sõidukis kahe eri mootorite võimsus nagu sisepõlemis- mootor asula välisel teekonnal ja saastevaba elektrimootor linnas sõites (joonis 8).
Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi ∆𝑥 → 0. 𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑔 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑑𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑑𝑔 𝑓 𝑑𝑓∙𝑔−𝑓∙𝑑𝑔 𝑑 (𝑔) = 𝑔2 Kõrgemat järku diferentsiaalid Funktsiooni𝑦 = 𝑓(𝑥) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni 𝑛 − 1-järku diferentsiaalist 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑑(𝑑𝑛−1 𝑦) Saab näidata, et 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑓 (𝑛) (𝑥)(𝑑𝑥)𝑛 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 𝑋 = 𝜑(𝑡)
leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18
kald- või noolhambad. Kui kahekordse peaülekande mõlemad hammasrattapaarid asuvad samas karteris, nimetatakse teda keskülekandeks. Kui aga kahekordse peaülekande teine hammasrattapaar on kummagi veoratta juures, siis on tegemist jaotatud peaülekandega. Mõnedel autodel kasutatakse dünaamiliste omaduste parandamiseks kahekäigulisi peaülekandeid. Sellistel peaülekannetel on kaks lülitatavat käiku. Kahekordseid peaülekandeid kasutatakse kesk- ja suurveoautodel. 34. Diferentsiaalid: diferentsiaali otstarve, lihtdiferentsiaali põhiomadused. (1) lk. 298. Diferentsiaaliks nim jõuülekandemehhanismi, mis jaotab temale kantud momendi väljundvõllide vahel ja võimaldab neil pöörelda erineva kiirusega. Diferentsiaalid liigituvad ehituslikult hammasratas-, nukk- ja tigudiferentsiaalideks. On ka vabakäigumehhanismiga diferentsiaale. Hammasratasdiferentsiaalid tehakse kooniliste, kuid vahel ka silindriliste hammasratastega
ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? · Funktsiooni Taylori polünoom Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polynoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui siis kehtib ligikaudne valem Kui nimetame Taylori polünoomi McLaurinin polünoomiks. 6
selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx d2y(x) = f'' (x)dx2 d3y(x)=f''' (x)dx3 Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse dny . Kehtib valem dn y(x)=f(n)(x) dxn 24.Funktsiooni Taylori polunoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polunoomi McLaurini polunoomiks?
tähistatakse või , Võttes , saame argumendi diferentsiaal Diferentsiaali omadusi · Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. · Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi · · · · Kõrgemat järku diferentsiaalid: Definitsioon Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni -järku diferentsiaalist Saab näidata, et 7. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb). Definitsioon Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x - ; x) ja x2 (x; x + ) korral f (x1) < f (x) < f (x2).
Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): d(fg)=df*g+ f*dg ;d(f/g)=(df*g-f*dg)/g2 Kõrgemat järku diferentsiaalid Definitsioon Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku
Niisiis võrdub osatuletis arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna x=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Analoogiliselt võrdub arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna y=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangesinga. 8. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Definitsioon ja põhjalik selgitus, kuidas täismuudust saame võrduseni Sõltumatute muutujate diferentsiaalid. Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali definitsioon. Oletame, et kahe muutuja funktsioon f(x,y) on pidev ja omab pidevaid osatuletisi ning punktis M(x;y) ja selle mingis ümbruses. Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: Võrduse esimeses kahes liikmes on y muutumatu suurus, võrde y+y. Kolmandas ja neljandas liikmes on x konstantne. Punktis M ja selle ümbruses on täidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. Järelikult leidub selline x (x;x+x), et
3. Integraalid 12. Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kõrgemat järku diferentsiaalid. 2. 13. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). 14
poolt tekitatud pöördemoment 71. Diferentsiaali eesmärk ja tüübid Diferentsiaaliks nim jõuülekandemehhanismi, mis jaotab temale kantud momendi väljundvõllide vahel ja võimaldab neil pöörelda erineva kiirusega. See on vajalikauto liikumisel kurvis, kus kurvi sisemine ratas peab sama aja jooksul läbima tunduvalt lühema maa, kui välimine ratas. Suurhõõrde- ja nukkdiferentsiaal slaididel. Diferentsiaalid liigituvad ehituslikult hammasratas-, nukk- ja tigudiferentsiaalideks. On ka vabakäigumehhanismiga diferentsiaale. Hammasratasdiferentsiaalid tehakse kooniliste, kuid vahel ka silindriliste hammasratastega. Autole paigutamise koha järgi jagunevad diferentsiaalid ratastevahelisteks, telgedevahelisteks ja külgedevahelisteks diferentsiaalideks. Ratastevaheline diferentsiaal asub auto või traktori ühe telje vasak- ja parempoolse veoratta vahel.
Tõestus: Kuna y = f(x) ja y = g(x) on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis Cauchy teoreemi järgi c (a, b) et = => = => f(b) f(a) = f'(c)(b a) 13. l'Hospitali reegel (tõestusega). Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 . Kui eksisteerib piirväärtus , siis eksisteerib ka piirväärtus ja kehtib valem = Tõestus: 14. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f (n). Lõpliku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Funktsiooni y = f(x) n-järku ehk n-daks diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1) - järku diferentsiaalist ja tähistatakse d(n)y= f(n)(x)dxn 15. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Teoreemi 4.1 tõestus Teoreem. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv vahemikus (a, b)
(Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul)) 𝑑 (𝑔 ) = 𝑔2 Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a δ-ümbruses (a-δ,a+δ), siis iga *Kõrgemat järku diferentsiaalid : Funktsiooni𝑦 = 𝑓(𝑥) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿)korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures diferentsiaali selle funktsiooni 𝑛 − 1-järku diferentsiaalist: jääkliige 𝑅𝑛 (𝑥) on esitatav Lagrange kujul
Kuna eelduse kohaselt siis järeldub võrdus Kui siis , sest c paikneb x ja a vahel. Järelikult: Asendades c x-iga saame järgmise valemi: ja järelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirväärtus 27. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on ,kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. Järelikult Tuletame valemi teist järku diferentsiaali leidmiseks Võtame teist järku diferentsiaalist kolmandat järku diferentsiaali Seda protseduuri võib sama põhimõttega jätkata 28. Funktsiooni Taylori polünoom Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polynoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses
selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx Selles tähistuses on diferentsiaal argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on piisavalt heade omadustega, võib temast uuesti diferentsiaali arvutada. Niiviisi saame me funktsiooni f teist järku diferentsiaali. Seda tähistatakse d^2 y. Tuletame valemi teist järku diferentsiaali jaoks: Seega d^2 y(x)=f^'' (x)dx^2. Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali d^3 y. Järelikult d^3 y(x)=f^''' (x)?dx?^3.
. ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx avaldame kõigepealt võrdusest suhte Selles tähistuses on diferentsiaal argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on piisavalt heade omadustega, võib
Defintsioon 9. Punktis x diferentseeruvava funktsiooni f muudu peaosa f(x)x nimetatakse selle funktsiooni diferentsiaaliks punktis x. Tähistame: dy, df, seega dy = f (x) x. Olgu y = f( x ) = x, siis saame : dy = dx = (x)x = x. (argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga). Seega võime kirjutada dy = f (x)dx. 6. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid Olgu funktsioonil f lõplikud tuletised hulga X igas punktis. Siis vastavus x f (x) määrab hulgal X funktsiooni f tuletisfunktsiooni f . Kui eksisteerib ( f )( x), siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks) tuletiseks punktis x, ja tähistatakse f (x), seega f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim . x 0 x
Valemist dy = f ( x ) dx järeldub, et f ( x ) = , dx s.t., et igas punktis on funktsiooni tuletis võrdne funktsiooni ja tema argumendi diferentsiaalide suhtega. See annab sisulise 0 x-x x x+x x tähenduse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda vaadata kui harilikku murdu. 14. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid. Olgu funktsioon y = f ( x ) , x X diferentseeruv punktis x . Seega on tal olemas selles punktis x lõplik tuletis y = f ( x ) . Definitsioon: Funktsiooni teist järku ehk teiseks tuletiseks punktis x nimetatakse tuletist tema tuletisest punktis x ja märgitakse sümboliga: d 2 y d 2 f ( x) y = f ( x ) = = = y xx = f
· Külgedevaheline 1. Ehituslikult · Hammasratasdiferentisaal · Nukkdiferentsiaal · Tigudiferentsiaal · Vabakäigumehhanismiga diferentsiaal 1. Lisaseadmete olemasolu järgi · Mitteblokeeritavad · Blokeeritavad · Blokeeruvad Blokeeritavatel jagunevad ajamid vastavalt blokeermehhanismile · Mehhaaniliseks · Hüdrauliliseks · Pneumaatiliseks Blokeeruvad diferentsiaalid jagunevad · Suurhõõrdediferentsiaaliks · Vabaköigusiduritega diferentsiaaliks Joonised. Kardaanid ja vaheülekanded. Vaheühendused. Kasutatakse peamiselt traktoritel pöördemomendi ülekandmiseks võllidele, mille teljed ei ühti või nihkuvad teineteise suhtes. Jagunevad: 1. Liigendite arvu järgi · Ühekordsed · Kahekordsed 1. Liigendite ehituse järgi · Jäikadeks · Elastseteks
Kordamisküsimuste vastused aines EHITUSMASINAD 1-Mis iseloomustab ehitusmasinate ajaloolise arengu I etappi? raskemaid ehituslikke töid kergendavad mehhanismid masinate prototüübid, mida käitatakse inim- või koduloomade jõuga. 2-Milline sündmus inimkonna ajaloos lõpetab EM ajaloolise arengu I etapi? Esimese etapi lõpp määratletakse aurumasina leiutamise ja kasutuselevõtmisega XIX sajandil, mis kutsus ellu mitmed aurujõul töötavad ehitusmasinad 3-Mis iseloomustab ehitusmasinate ajaloolise arengu II etappi? aurumasinaga varustatud ehitusmasinate ilmumine, raudteetranspordi tormiline areng, ratas- ja rööbaskäiguosa kõrvale ilmub roomikkäiguosa jne. 4-Missugune kaasaegne firma võttis esimesena kasutusele roomikkäiguosa? 1893. a - samad mehed varustavad oma aurutraktorid roomikkäiguosaga; esimene roomikkäiguosal veduk-masin aga loodi juba 1869. a Iowas ja kandis nime "Minnies Stream Crawler". 5-Milline sündmus inimkonna ajaloos lõpetab EM ...
pra a cos vahelise nurga koosinuse korrutisega, . Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja AB AB a a tähistatakse , .Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. 5. NIHE, KIIRUS JA KIIRENDUS KUI VEKTORID. DIFERENTSIAALID, TULETISED JA INTEGRAALID Nihe – suunatud sirglõik (vektor), mis ühendab keha alg- ja lõppasukohta. Tähis s, ühik 1m. Kui tegemist on ühesuunalise sirgliikumisega, on nihe võrdne teepikkusega. Liikumissuunda kirjeldatakse märkidega + või -. Kiirus – näitab, kui pika teepikkuse läbib keha ajaühikus. Tähis v, ühik 1 m/s. Hetkkiirus on vektoriaalne suurus. Tähis v=∆s/∆t. Hetkkiiruse arvväärtust näitab näiteks auto spidomeeter.
funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 3 / 25 Diferentsiaalarvutus II Keskva¨ artusteoreemid. ¨ L'Hospitali reegel. Taylori valem polunoomi ¨ korral. Taylori valem. Taylori valemi ja¨ akliige. ¨ Joone puutuja ja normaal
y = y ' ( x) x + (x) x Järelikult diferentsiaal eksisteerib ja on (11.2) dy = y ' ( x) x m.o.t.t. Vaatleme funktsiooni y = x Sel juhul y ' = 1 dy = dx = x Argumendi muut on võrdne tema diferentsiaaliga Me saame valemi (11.3) dy = y ' ( x) dx © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 18 Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kõrgemat järku diferentsiaalid. Ilmutatud funktsioonil saab vahetult leida Et y ' ' = ( y ' )' , suvalist järku tuletise siis peame valemis (12.4) y asendama y ' -ga. (12.1) y ( n ) ( x) = ( y ( n -1) ( x))' o ( y ') (12.5) y ' ' = o
xa 27. Kõrgemat jarku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku tuletise tuletist ja t.ahistatakse f(n). Funktsiooni y = f(x) n-jarku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j.arku diferentsiaali diferentsiaali ja t.ahistatakse. dny. Kehtib valem dny(x) = f(n)(x)dxn . Tuletada korgemat jarku diferentsiaalide valemid. ( ! . 85 80-81 ) Kõrgemat järku diferentsiaalid. §3.6 tuletasime valemi dy = f(a)dx funktsiooni y = f(x) diferentsiaali dy jaoks (valem (3.3)). Suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse, ja argumendi muudust dx. Olgu dx konstantne suurus. Siis on dy arvu a funktsioon, st dy(a) = f(a)dx. Tähistame selles valemis suuruse a .umber x-ga. Saame dy(x) = f(x)dx . (3.32) Selles tähistuses on diferentsiaal argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on piisavalt heade omadustega, võib temast uuesti diferentsiaali arvutada
y = y ' ( x) x + (x) x Järelikult diferentsiaal eksisteerib ja on (11.2) dy = y ' ( x) x m.o.t.t. Vaatleme funktsiooni y = x Sel juhul y ' = 1 dy = dx = x Argumendi muut on võrdne tema diferentsiaaliga Me saame valemi (11.3) dy = y ' ( x) dx © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 18 Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kõrgemat järku diferentsiaalid. Ilmutatud funktsioonil saab vahetult leida Et y ' ' = ( y ' )' , suvalist järku tuletise siis peame valemis (12.4) y asendama y ' -ga. (12.1) y ( n ) ( x) = ( y ( n -1) ( x))' o ( y ') (12.5) y ' ' = o
3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92
3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92
Teoreem: Funktsioon f on diferentseeruv punktis x siis ja ainult siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f ( x ) selles punktis x. Lause ,,funktsioon on diferentseeruv lõigus [a, b] " tähendab, et ta on diferentseeruv vahemikus (a, b ) ja et punktis a on tal lõplik parempoolne tuletis ja punktis b lõplik vaskapoolne tuletis. Teoreem: Mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. Teoreem: Lõigus diferentseeruv funktsioon on pidev selles lõigus. Kõrgemat järku diferentsiaalid Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ning olgu tal olemas lõplik tuletis punktis x. Seega on tal olemas punktis x diferentsiaal dy = f (x )dx . Fikseerime argumendi muudu dx = x , siis diferentsiaal dy = f ( x )dx on argumendi x funktsioon ja me võime leida tema diferentsiaali. Definitsioon: Funktsiooni y = f ( x ) , x X teist järku ehk teiseks diferentsiaaliks d 2 y punktis x nimetatakse diferentsiaali tema esimesest diferentsiaalist punktis x, s.o. d 2 y = d (dy ) .
) pöördub ümber telje, st. liigub risti nii telje kui ka teda teljega ühendava sirglõiguga. Seetõttu ei mõjuta pöörlemist mitte kogu jõud , vaid tema see komponent, mis on nii telje kui -ga risti. 27 Pöörlev keha: iga tükike dm liigub piki ringjoonelist trajektoori Katsume nüüd kirja panna dünaamika põhivõrrandi - Newtoni II seaduse - selle tükikese kohta. Et kõik need diferentsiaalid meid segadusse ei ajaks, kujutame, et tegu on "normaalse" punktmassiga ja "normaalse" jõuga . Veel oletame, et jõud mõjub risti pöörlemisteljega. Selle jõu mõjul saab tükike kiirenduse kus ja on nurk jõuvektori ning tükikest pöörlemisteljega ühendava raadiuse suuna vahel. Nagu jooniselt näeme, on aga , kus l on jõu õlg. Saame: kus on jõu moment ette antud telje suhtes.
11) x y z kus x + y + z on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui = x2 + y 2 + z 2 . Funktsiooni w t¨aisdiferentsiaaliks nimetatakse avaldist w w w dw = dx + dy + dz. (6.12) x y z 15 Viimases langevad s~oltumatute muutujate muudud ja diferentsiaalid kokku, st dx = x, dy = y ja dz = z. z N¨aide 4. Leiame kolme muutuja funktsiooni w = xy t¨aisdiferentsiaali avaldise. Toetudes punkti 6.5 n¨aite 3 tulemustele, kirjutame z -1 z z dw = y z xy dx + xy ln x · zy z-1 dy + xy ln x · y z ln y = z dx z ln xdy = y z xy + + ln x ln y .
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
