28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). 32. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja).
SISUKORD SISSEJUHATUS Käesoleva referaadi eesmärk on tutvustada lähemalt ühte 18.sajandi suurimat Saksa filosoofi ja matemaatikut Gottfried Wilhelm Leibnitzit (1646-1716). Ta oli Isaac Newtoni kaasaegne, kuid temast sõltumatult, mõtles välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Samuti oli osaline energia jäävuse seaduse formuleerimisel. Leibnitz tegi palju teisigi olulisi teaduslikke ja matemaatilisi kaastöid. Leibnitzi võib nimetada matemaatilise loogika rajajaks. 1671-1674 konstrueeris nelja põhitehet sooritava arvuti. Kuigi Leibnitzi doktriin oli heterodoksne, uskus ta siiralt Jumalasse ja kirjutas kaitsekõne Kolmainsuse õpetusele. Ta astus ägedalt vastu Descartes´i ja Spinoza vaadetele. Ta püüdis edutult leida ühist alust katoliiklikule ja protestantlikule ning hiljem luterlikule ja reformeeritud kirikule nende liitmiseks. Leibnitz uskus jumalikku ettemääratusse.
loonud, kuid ei sekku selle toimimisse. Mida taotlesid entsoklüpedistid? Tuntuim entsoklüpedist? Üritati muuta inimeste mõtteviisi. Teadust, kunsti ja käsitööd. teaduse ja ühiskonna mõisteid käsitleti süstemaatiliselt, uue ideoloogia seisukohal. Denis Diderot üks peamistest encyclopedie koostajatest. Milline oli saksa valgustuse omapära? Saksa mõtlejatele ei olnud omane selline vaenulikkus kiriku vastu ja usu eitamine nagu prantslastele. Leibnitzi filosoofia? Eesmärgiks oli küllus, sest selle tingimustes tahavad kõik inimesed töötada. Arvas, et teadus peab tooma praktilist kasu. Herderi filosoofia? Pooldas progressi idded, mille järgi kõrgeim seisund on humaansus. Inimkonna vabastamine eeldab riigi hävitamist. Riiki nim masinavärgiks. Tuli kasvatada patriotismi ja sisendada õiglustunnet teiste rahvaste vastu Kanti filosoofia? Mõistuse tunnetusvõimel on piirid. Inimene ei tea,
Seega Jagades suurusega saame Näeme, et arv paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub üks punkt nii, et Korrutades seda võrdust arvuga ja arvestades, et saame valemi 40. Teoreem muutuva suuruse ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi tõestus. a. Teoreem muutuva suuruse ülemise rajaga integraalist koos tõestusega Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b]. Olgu x suvaline punkt lõigult [a,b]. Tähistame sümboliga argumendi x muutu. Kasutades määratud integraali omadust 3 arvutame: Seega saame funktsiooni muudu jaoks seose
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui es...
kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
Tähistame xi = xi - xi-1 . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 35. Määratud integraali omadused 36. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist ilma tõestuseta. NEWTON- LEIBNITZI VALEM Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist x Teoreem: Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga (x) = a f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Newton-Leibnitzi valem. Teoreem: Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem ba f(x)dx = F(b) - F(a) =: F(x)|ba 37
summasid Määratud integraal: Kui lõigu (a;b) mistahes jaotuse korral. Kus max ja punktide p mistahes valiku korral integraalsumma läheneb ühele ja samale piirväärtusele s= Siis piirväärtust s nimetatakse f-ni määratud integraaliks lõigul (a;b). 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 32. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Valitakse uus x-ist sõltuv muutuja u, mis on üksühene ja diferentseeuv. Leitakse u pöördfunktsioon ning kirjutatakse see diferentsiaalide jagatisena, seejärel korrutatakse läbi du-ga. Integraali all tehakse asendused.leitakse uus integreerimislõik koos rajadega, mis sõltuvad u väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esmase integreermislõigu.
Iga korral kehtib võrratus ja määratud integraali 6. omaduse põhjal: Kuna m ja M on konstandid siis võib nad tuua integraalimärgi ette Jagades suurusega saame Näeme, et arv asub vähima ja suurima väärtuse vahel. Lõigul pidevate punktsioonide teise omaduse järgi leidub vähemalt üks punkt nii, et Korrutame selle arvuga ja arvestades, et 18. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi tõestus. a. Muutuva ülemise rajaga integraali teoreem - Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon, mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] b. Tõestus: b.i. Olgu x suvaline punkt lõigul [a,b]. Tähistame argumendi x muudu sümboliga . b.ii. b.iii. Saame järgmise seose b.iv
Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). Kõvertrapetsi pindala leidmise valem. Newton-Leibnitzi valem. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon l~oigul [a, b], siis kehtib valem:
4. Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima osalõigu läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraali summa määratud integraalile , seega piirprotsessis saame ligikaudest valemist täpse valemi 16. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta) Määratud integraali omadused 1. 2. 3. 4. Kui siis 5. 6. Kui iga korral, siis 17. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem 18. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). Asendusvõte määratud integraali arvutamisel Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil eeldusel, et on üksühene ja diferentseeruv
- Üks esiisadest oli väljarännanud Sotimaalt mõned sajandid enne Immanueli sündi. - Tänu oma vanematekodule, eriti emale puutus ta lapsepõlves kokku pietismiga. Siin nõuti mõistuse usu asemel tundelist ja ranget vagadust. - Järgnevad seitse aastat õpinguid Königsbergi Fridericanumis. Pärast seda alustab ta õpinguid Königsbergi ülikoolis. - Alul õpib ta teoloogiat, hiljem valib filosoofia ja loodusteadused. - Uurib põhjalikult Leibnitzi ja Wolffi teoseid. - Pärast seda teenib ta üheksa aastat leiba koduõpetajana ümbruskonna mõisades. - Nende pedagoogilist kogemuste alusel annab ta välja oma käsiraamatu. - Tähtsaim põhimõte: Lollpeasid ei saa niikuinii aidata ja geeniused aitavad ennast ise. Järelikult tuleb tegelda keskpärastega." - 1755 aastal ta promoveerub ja asub ülikooli juures tööle eradotsendina. - Alles 15 aastat hiljem saab loogika ja metafüüsika professuuri, mida peab elu lõpuni.
Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis i =1 i 32. Arvridade koonduvustunnused (majorant- d'Alamberti, integraal- ja Leibnitzi tunnused) Olgu antud positiivsete liidetavatega read a i=1 i ja b i=
Nagu tavaliselt, tähistame sümboliga ∆x argumendi x muutu. Kasutades määratud integraali omadust 3 §5.7 arvutame: Φ(x + ∆x) = ʃ x+∆x a f(t)dt = ʃ x a f(t)dt + ʃ x+∆x x f(t)dt = Φ(x) + ʃ x+∆x x f(t)dt . Seega saame funktsiooni Φ muudu jaoks seose ∆Φ = Φ(x + ∆x) − Φ(x) = ʃ x+∆x x f(t)dt . (5.22) Integraali keskväärtusteoreemi põhjal leidub punktide x ja x + ∆x vahel punkt c nii, et kehtib võrdus ʃ x+∆x x f(t)dt = f(c)(x + ∆x − x) = f(c)∆x . Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. Konkreetselt olgu F funktsiooni f algfunktsioon, st F on ¨uks konkreetne funktsioon määramata integraaliga ʃ f(x)dx antud funktsioonide perest. Esitame küsimuse: kuidas oleks võimalik sellisel juhul arvutada määratud integraal ʃ b a f(x)dx? Teoreem 5.4 (Newton-Leibnitzi valem). Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem ʃ b a f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x) | ba . Tõestus
2. 5( 4 = 4 5( , 4 konstant ( 3. 5( =0 d ( 4. Kui > , siis 5( = - 5d E d E 5. 5( = 5( + 5d d d 6. Kui , siis iga 0 , 1 korral, siis 5( 5( 32) Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. Kui 2 on pideva funktsiooni algfunktsioon lõigul 0 , 1, siis kehtib valem d a =2 -2 =2 f ( 33) Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). d
Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c [a, b] nii, et f(c) = ba f(x)dx ba dx Korrutades seda võrdust arvuga ba dx ja arvestades, et ba dx = b - a, saame valemi. Teoreem on tõestatud. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem. Valemi tõestus. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Teoreem 5.3. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga (x) = xa f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Tõestus. Teoreemi väite tõestamiseks peame näitama, et (x) = f(x) iga x [a, b] korral. Olgu x suvaline punkt lõigult [a, b]. Nagu tavaliselt, tähistame sümboliga x argumendi x muutu. Kasutades määratud integraali omadust 3 §5.7 arvutame:
Saadud valemid (5.4) ja (5.5) on antud vektorkujul ja neid ei saa seetõttu ülesannete lahendamisel kasutada. Seega tuleb nad avaldada ka komponentkujul. Konstantse resultantjõu korral valem (5.4) esitub komponentides p x = p 0 x + Fres , x t . (5.6) Valemi (5.5) komponentkujule viimiseks kasutame asjaolu, et resultantjõu vektor avaldub Fres = i Fres , x + j Fres , y + k Fres , z . Vastavalt Newton-Leibnitzi valemile summa integraal võrdub integraalide summaga, järelikult võime integreerida kõiki liidetavaid eraldi. Algimpulssi p 0 lõppimpulssi p samuti komponentideks lahutades saame näiteks impulsi x-komponendi jaoks t p x = p 0 x + Fres , x dt . 0 (5.7)
maapinnast ühe meetri kõrgusele). Juhul, kui kehale mõjuv jõud ei ole konstantne, vaid sõltub keha asukohast, s.t. F = F ( x, y , z ) arvutatakse tehtud töö integraalina A = F ( x, y, z ) ds = Fx ( x, y, z )dx + Fy ( x, y, z )dy + Fz ( x, y , z )dz. (5.18a) Siin olema kasutanud skalaarkorrutise definitsiooni ja Newton-Leibnitzi valemit. Seadme võimsuseks nimetatakse tema töötegemise kiirust. dA N= dt . (5.19) Võimsuse ühik on 1 vatt (Watti järgi): [ N ] = 1 J = 1 kg 3m = 1W 2 s s . Üks vatt on niisuguse seadme võimsus, mis ühe sekundi jooksul teeb ühe dzauli tööd. (Ligikaudu ühevatilist võimsust tuleb arendada selleks, et tõsta sajagrammise
nõustnud, et keegi on temast ees. See tekitas palju probleeme, sest ta ei avalikustanud oma töid, kuid oli siiski tõdemusel, et eelisõigus on sellel, kellel esimesena oli idee, isegi kui too sellest mitte kellelegi ei rääkinud. Ta üritas selgeks teha, et tema on loonud 8 infinitesimaalarvutuse, mitte Leibnitz, kuigi selle idee peale tulid mõlemad üksteisest sõltumatult, kuid ajastus oli peaaegu sama. Newton oli pahatahtlik, ta kirjutas Leibnitzi vastu pamflette ehk naeruvääristavaid päevakajalisi kirjutisi ning lasi Kuninglikul Seltsil nimetada tüli lahendamiseks komitee, kuid lubas sellesse vaid oma pooldajaid. Ta kirjutas laimukirju ning paljud arvasid, et Newton on oma mõistuse kaotanud. 1705. aastal sai temast sir Newton esimene teadlane, kellele langes osaks niisugune au. Teda valiti Kuningliku Seltsi presidendiks, milleks ta jäi elu lõpuni. Ta suri 20. märtsil 1727
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx a a a b Kui a ≤ b ja f1(x) ≤ f2(x) iga x ∈ [a, b] korral, siis ∫ f 1 ( x ) dx ≤ a b ∫ f 2 ( x ) dx a 32. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem b ∫ f ( x ) dx a = F(b) – F(a) = F(x) | b a 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). b
Eetika järgi on ta süüdi juba, kui ta mõtleb sellest." · ,,Ideaal kui tõelisus on kättesaamatu, kuid temani püüelda on kohustuslik!" · ,,Ilus meeldib kõigile ja kõikjal, vaatamata kindla konseptsiooni puudumisele." Kant arvas ka, et meeste riiete värv peaks kooskõlas olema valitseva aastaaja värvidega. 6. KOKKUVÕTE Filosoofiline süsteem, mille Kant oma õpingute ajal Saksamaal valitsevana eest leidis oli Leibnitzi ja Wolffi oma. See oli ratsionalism, selle metoodiliselt dogmaatilisel kujul. See tähendab, et see oli mõistusefilosoofia. Mõistuse põhimõtteist lähtudes on võimalik kujundada õige maailmapildi ja nimelt ilma, et me kogemust appi võtaksime. Kuna ratsionalismi jaoks kogemus ei ole aluseks ega piiriks, siis ei olnud selle poolehoidjail ka mingit põhjust kahelda metafüüsika (igasugust kogemust ületava teaduse) tõelisuses.
x+ x f ( t ) dt=f ( c ) ( x+ x-x )=f (c ) x Võttes kaks eelnevat valemit kokku saame seose x =f (c) x , millest järeldub =f (c ) Selle jõrduse vasakul pool olev jagatis koondub funktsiooni tuletiseks punktis x x piirprotsessis x 0 . Peale selle, kuna c paikneb x ja x+ x vahel, siis c 0 , kui x 0 . Kokkuvõttes saame võrduse ' ( x ) = lim =lim f ( c )=f (x ) x 0 x c 0 Newton-Leibnitzi valem b f ( x ) dx=F ( b )-F ( a )=: F ( x) KIRJUTA JUURDE a Valemi tõestus Funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b]. Peale selle on ka funktsioon x ( x )= f ( t ) dt funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b]. Kuna ühe ja sama funktsiooni kaks a algfunktsiooni võivad teineteisest erineda vaid liidetava konstandi võrra, siis kehtib seos x f ( t ) dt=F ( x )+ C Järgnevalt leiame konstandi C väärtuse
· Samas rõhutab ta erineva ja induviduaalse eksistentsi ajas. tähtsust. Selles mõttes on ta tüüpiline õhtumaine mõtleja. · Jumaliku ettenägelikkuse asemel oli ta õpetanud · Tema mõtete järelmõju on tunda G.Bruno ja pimedat saatust ajaloos. Leibnitzi juures. · Surematuse asemel hinge surelikkust. · 1263 a. oli paavst Urban IV keelanud Aristotelese tõlkimise ja õppimise. · 1255 a. oli Pariisi Vabade Kunstide Kool · Roger Bacon kuulutanud Aristotelese õppeaineks.
Muutuva ülemise rajaga integraal Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] Tõestus Olgu x suvaline punkt lõigul [a,b]. Tähistame argumendi x muudu sümboliga . Saame järgmise seose Integraali keskväärtusteoreemi põhjal leidub punktide x ja vahel punkt c nii, et kehtib võrdus Järelikult See jagatis koondub funktsiooni tuletiseks punktis x piirprotsessis , kuna c paikneb x ja vahel siis , kui . Newton-Leibnitzi valem Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem Tõestus Teoreemi kohaselt on F funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b]. Kuna ühe ja sama funktsiooni algfunktsioonid võivad üksteisest erineda liidetava konstandi võrra siis kehtib seos Nüüd leiame konstandi väärtuse, mille tarvis paneme x võrduma a-ga. Kuna vasak pool võrdub määratud integraali esimese omaduse põhjal nulliga saame kirjutada valemi niimoodi
Kokkuvõttes saame võrduse (x) = lim x0 /x= lim cx f(c) = f(x) . ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u Olemegi tõestanud, et (x) = f(x) iga x [a, b] korral ja sellega ka teoreemi väite. järgi. Newton-Leibnitzi valem. Valemi tõestus. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni Teoreem 5.4 Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem -ga. Seega x = (u) (5.3) ba f(x)dx = F(b) - F(a) =: F(x)|ba
cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. 4. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D'Alemberti tunnus. 5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida. Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
· hajub kui D = 1 Kui eksisteerib piirväärtus = D Positiivne rida · koondub kui D < 1 · hajub kui D > 1 · D= 1 korral jääb küsimus lahtiseks 5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral. Koondub kui on täidetud tingimused: 1) = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi TEOORIAKÜSIMUSED nr 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+..
4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.11 M¨a¨aratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 iv Peat¨ ukk 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨
5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.11 M¨a¨aratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 iv Peat¨ ukk 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨
i =1 Fdx +Gdy = - Fdx +Gdy Kaks viimast võrdust kokku liites saame Funktsioonide F ja G joonintegraal kahe punkti M ja N vahel ei sõltu Leibnitzi tunnus b neid punkte ühendavast integreerimisteest, vaid ainult nende punktide Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = [ F ((t ),F( P(t)))= ) G ((t ),(t )) ' (t )]dt
nii et ta hoidis kirikust eemale, vanaduses aga süvenes igatsus säilitada vähemalt põhilised usulised tõekspidamised. Pärast seitset aastat õpinguid Königsbergi Fridericanumis, mille kohta ta ütleb, et sealt ei saanud ta oma hilisemateks huvideks loodusteaduste ja filosoofia suhtes midagi kaasa, alustab ta õpinguid Königsbergi Ülikoolis, alul teoloogiat, valides hiljem siiski filosoofia ja loodusteaduste kasuks. Ta uurib põhjalikult Leibnitzi ja tolle õpilase Wolffi teoseid. Üheksa aasta jooksul teenib ta leiba pärast seda Königsbergi lähedastes mõisades koduõpetajana. Pärast aastatepikkust tööd pedagoogina on ta oma põhimõtted ka käsiraamatuna välja andnud. Ta ise ütleb, et see sisaldab suurejoonelisi eeskirju, mida ta kahjuks pole kunagi rakendanud. Sellel perioodil omandab ta põhjalikud teadmised filosoofias. 1755 aastal ta promoveerub ja asub töötama ülikooli juures eradotsendina
ülemine raja (b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: abf(x)dx = (b) (a) f[(u)]'(u)du. 47. Ositi integreerimine määratud integraalis: Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv : Integreerime seda avaldist rajades a-st b-ni. Saame: abd(uv) = ab vdu+abudv (5.19). Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna d(uv)=uv+C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Newton-Leibnitzi valemi tõttu abd(uv)=uv ab Asendame selle v~orduse seose (5.19) vasakusse poolde. Saame: uv ab = abvdu+abudv. Viies abvdu võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks: abudv= uv ab - abvdu. 48. Paaris- ja paaritufunktsioonide integreerimine sümmeetrilisel lõigul: Kui paarisf-n f(x) on integreeruv lõigul [-a,a], siis -aa f(x)dx = 20a f(x)dx. Kui paarituf-n f(x) on integreeruv lõigul [a,-a], siis aa f(x)dx =0. 49
36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest
22. Integraali keskväärtusteoreem (tõestusega). Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Omaduse 10 järgi teame, et pidev funktsioon saavutab lõigul [a, b] oma vähima m ja suurima M väärtuse. m M Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et 23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus. 24. Newton-Leibnitzi valem. Tõestusega Teoreem. Kui F(x) on pideva funktsiooni y = f(x) algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem 25. Päratud integraalid. Mõisted ja geomeetriline tõlgendus. Teoreem. Kui pidev funktsioon y = f(x) on integreeruv igal lõigul [a, b] ( > a) ja eksisteerib lõplik piirväärtus Siis seda piirväärtust y = f(x) I liiki päratuks integraaliks rajades a-st +-ni ja kirjutatakse Geomeetriline tõlgendus: Geomeetrilises mõttes f(x) > 0 korral I liiki päratu integraal
Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], saavutab ta sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse (lõigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). Olgu M suurim v.a.artus ja m vähim v.a.artus. Siis kehtivad iga x [a, b] korral võrratused m f(x) M. Määratud integraali omaduse 6 põhjal 40. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist koos toestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi toestus. Teoreem 5.4 (Newton-Leibnitzi valem). Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem 41. Kirjeldada asendusvotet maaratud integraali arvutamisel. Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = (x). Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x = (u)
siis võrdusest limnun+1/un=L (kus L>e) järeldub see, et alates
teatud järjenumbrist N, (n>=N) korral kehtib võrratus un+1/un>1 ehk un+1/un, iga n>=N.
See tähendab, et alates järjenumbrist N+1 rea liikmed kasvavad ja seetõttu rea üldliige
ei lähene nullile. Rida hajub
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
nende omavahelist sobivust reguleerib hulk reegleid. Paradoksidest Ratsionalist Leibnitz (Descartes'I õpilane) leidis, et keele viga seisneb selles, et see võimaldab valetada - lahendusena leidis, et tuleb luua keel, mille grammatikareeglid ei lase valetada. J See on utoopiline, sest naturaalarvude jadast keerulisem süsteem sisaldab paratamatult vastuolusid (Kurt Göedel tõestas 1948). Põhimõtteliselt, kui matemaatikat mõista kui keelt, siis selles on Leibnitzi ideaal tagatud. Paradoksi lõksude eest see aga kaitstud ei ole. Mõistuse ajalugu on ennekõike mõistuse enesehävitamise ajalugu. 20. saj kerkisid paradoksid esile seoses hulgateooria arenguga. Russelli hulk on kõikide hulkade hulk, mis ei sisalda iseennast. Tõestamisel selgub, et see sisaldab iseennast kui ta ei sisalda iseennast ning ei sisalda iseennast kui ta sisaldab iseennast.
nende omavahelist sobivust reguleerib hulk reegleid. Paradoksidest Ratsionalist Leibnitz (Descartes'I õpilane) leidis, et keele viga seisneb selles, et see võimaldab valetada - lahendusena leidis, et tuleb luua keel, mille grammatikareeglid ei lase valetada. J See on utoopiline, sest naturaalarvude jadast keerulisem süsteem sisaldab paratamatult vastuolusid (Kurt Göedel tõestas 1948). Põhimõtteliselt, kui matemaatikat mõista kui keelt, siis selles on Leibnitzi ideaal tagatud. Paradoksi lõksude eest see aga kaitstud ei ole. Mõistuse ajalugu on ennekõike mõistuse enesehävitamise ajalugu. 20. saj kerkisid paradoksid esile seoses hulgateooria arenguga. Russelli hulk on kõikide hulkade hulk, mis ei sisalda iseennast. Tõestamisel selgub, et see sisaldab iseennast kui ta ei sisalda iseennast ning ei sisalda iseennast kui ta sisaldab iseennast.
4) ja (5.5) on antud vektorkujul ja neid ei saa seetõttu ülesannete lahendamisel kasutada. Seega tuleb nad avaldada ka komponentkujul. Konstantse resultantjõu korral valem (5.4) esitub komponentides p x = p0 x + Fres , x ∆t . (5.6) Valemi (5.5) komponentkujule viimiseks kasutame asjaolu, et resultantjõu vektor avaldub r r r r Fres = i Fres , x + j Fres , y + k Fres , z . Vastavalt Newton-Leibnitzi valemile summa integraal võrdub integraalide summaga, r r järelikult võime integreerida kõiki liidetavaid eraldi. Algimpulssi p 0 lõppimpulssi p samuti komponentideks lahutades saame näiteks impulsi x-komponendi jaoks ∆t p x = p 0 x + ∫ Fres , x dt . (5.7) 0 Valemist (5
annaabi.ee 
