Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsio...
SISUKORD SISSEJUHATUS Käesoleva referaadi eesmärk on tutvustada lähemalt ühte 18.sajandi suurimat Saksa filosoofi ja matemaatikut Gottfried Wilhelm Leibnitzit (1646-1716). Ta oli Isaac Newtoni kaasaegne, kuid temast sõltumatult, mõtles välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Samuti oli osaline energia jäävuse seaduse formuleerimisel. Leibnitz tegi palju teisigi olulisi teaduslikke ja matemaatilisi kaastöid. Leibnitzi võib nimetada matemaatilise loogika rajajaks. 1671-1674 konstrueeris nelja põhitehet sooritava arvuti. Kuigi Leibnitzi doktriin oli heterodoksne, uskus ta siiralt Jumalasse ja kirjutas kaitsekõne Kolmainsuse õpetusele. Ta astus ägedalt vastu Descartes´i ja Spinoza vaadetele. Ta püüdis edutult leida ühist alust katoliiklikule ja protestantlikule ning hiljem luterlikule ja reformeeritud kirikule nende liitmiseks. Leibnitz uskus jumalikku ettemääratusse.
Nimeta kolm tuntud valgustajat. Joseph II; Friedrich II; Descartes, Voltaire, Montesquieu, Rousseau. Valgustuse tekkimise eeldused (3). Maailmapildi avardumine(maadeavastused); Tehnika areng, mis võimaldas hankida teadmisi loodusest, saadi aru, et looduses pole midagi juhuslikku; Uute mõtteviiside tekkimine hakati rohkem väärtustama inimmõistust ja juurdlemisvõimet, katsetega saadud tulemused panid inimesi kahtlema vanadest tõdedes. Valgustuse iseloomulikud jooned? peamine kriteerium oli inimmõistus, ideaaliks sai ratsionalistlik maailmakäsitlus, eeskuju oli loodus, omane oli uus humanism. Millised olid valgustuse tagajärjed? Riik, kus valgustus tekkis? Inglismaa. T. Hobbesi filosoofia? kõik inimesed on võrdsed, Õige kuningavõim on absolutism,Talle ei meeldinud parlamentarism ja demokraatia, sest ta oli sunnitud olema paguluses J. Locke filosoofia? täieliku parlamentaris...
Matemaatiline analüüs II kontrolltöö Punktid 23-45 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui ...
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui es...
kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKST...
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähis...
Tähistame argumendi x muudu sümboliga . b.ii. b.iii. Saame järgmise seose b.iv. Integraali keskväärtusteoreemi põhjal leidub punktide x ja vahel punkt c nii, et kehtib võrdus b.v. Järelikult b.vi. See jagatis koondub funktsiooni tuletiseks punktis x piirprotsessis , kuna c paikneb x ja vahel siis , kui . c. Newton Leibnitzi valem: c.i. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem c.ii. d. Tõestus: d.i. Teoreemi kohaselt on F funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b]. Kuna ühe ja sama funktsiooni algfunktsioonid võivad üksteisest erineda liidetava konstandi võrra siis kehtib seos d.ii. Nüüd leiame konstandi väärtuse, mille tarvis paneme x võrduma a-ga. d.iii
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne g...
Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( ...
- Üks esiisadest oli väljarännanud Sotimaalt mõned sajandid enne Immanueli sündi. - Tänu oma vanematekodule, eriti emale puutus ta lapsepõlves kokku pietismiga. Siin nõuti mõistuse usu asemel tundelist ja ranget vagadust. - Järgnevad seitse aastat õpinguid Königsbergi Fridericanumis. Pärast seda alustab ta õpinguid Königsbergi ülikoolis. - Alul õpib ta teoloogiat, hiljem valib filosoofia ja loodusteadused. - Uurib põhjalikult Leibnitzi ja Wolffi teoseid. - Pärast seda teenib ta üheksa aastat leiba koduõpetajana ümbruskonna mõisades. - Nende pedagoogilist kogemuste alusel annab ta välja oma käsiraamatu. - Tähtsaim põhimõte: Lollpeasid ei saa niikuinii aidata ja geeniused aitavad ennast ise. Järelikult tuleb tegelda keskpärastega." - 1755 aastal ta promoveerub ja asub ülikooli juures tööle eradotsendina. - Alles 15 aastat hiljem saab loogika ja metafüüsika professuuri, mida peab elu lõpuni.
Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis i =1 i 32. Arvridade koonduvustunnused (majorant- d'Alamberti, integraal- ja Leibnitzi tunnused) Olgu antud positiivsete liidetavatega read a i=1 i ja b i=
Nagu tavaliselt, tähistame sümboliga ∆x argumendi x muutu. Kasutades määratud integraali omadust 3 §5.7 arvutame: Φ(x + ∆x) = ʃ x+∆x a f(t)dt = ʃ x a f(t)dt + ʃ x+∆x x f(t)dt = Φ(x) + ʃ x+∆x x f(t)dt . Seega saame funktsiooni Φ muudu jaoks seose ∆Φ = Φ(x + ∆x) − Φ(x) = ʃ x+∆x x f(t)dt . (5.22) Integraali keskväärtusteoreemi põhjal leidub punktide x ja x + ∆x vahel punkt c nii, et kehtib võrdus ʃ x+∆x x f(t)dt = f(c)(x + ∆x − x) = f(c)∆x . Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. Konkreetselt olgu F funktsiooni f algfunktsioon, st F on ¨uks konkreetne funktsioon määramata integraaliga ʃ f(x)dx antud funktsioonide perest. Esitame küsimuse: kuidas oleks võimalik sellisel juhul arvutada määratud integraal ʃ b a f(x)dx? Teoreem 5.4 (Newton-Leibnitzi valem). Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem ʃ b a f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x) | ba . Tõestus
LIISI KINK 10 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Teooria töö 2 18) Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaal...
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem :...
JÄÄVUSSEADUSED 5.1 Impulss Keha impulsiks ehk liikumishulgaks nimetatakse tema massi ja kiiruse korrutist. p = mv . (5.1) Olgu mingil kehal algselt impulss p 0 . Mõjugu sellele kehale nüüd ajavahemiku t vältel resultantjõud F . Oletame alguses, et see jõud ajas ei muutu. Vastavalt Newtoni teisele seadusele saab keha selle jõu mõjul kiirenduse Fres a= . m (5.2) Siis omandab keha liikumiskiirus väärtuse Fres v = v 0 + at = v 0 + t . m (5.3) Korrutame saadud valemit keha massiga. Impulsi definitsiooni (5.1) arvestades saame p = p 0 + Fres t . (5.4) Seega keha impulss muutub temale mõjuvate jõudude toimel. Impulsi muut on seda suurem, mida suurem resultantjõud mõjub kehale ja mida kauem aega see m...
Aravete Keskkool JÄÄVUSSEADUSED Füüsika referaat Koostaja: Kaari Tamtik Klass:12 Juhendaja: Gustav Uuland Aravete 2010 SISUKORD JÄÄVUSE SEADUSED Pikaajalise looduse vaatluse tulemusena on inimkond avastanud terve rea fundamentaalseid füüsika seadusi, mille kehtivust on kontrollitud sajandite jooksul ja mis ikka ja alati on osutunud kehtivateks. Ühe suure klassi nendest moodustavad jäävuse seadused, kus mingi füüsikaline suurus jääb protsesside käigus konstantseks. Jäävuse seaduste rakendamisel on oluline vaadeldavatest füüsikalistest kehadest koosneva süsteemi isoleeritus. See tähendab, et vaadeldav süsteem on nagu suletud nähtamatute seintega ruumi nii, et välisilmaga pole mingit kontakti. Arusaadav, et süsteemi isoleeritus on tinglik mõiste. Pole näiteks v...
nõustnud, et keegi on temast ees. See tekitas palju probleeme, sest ta ei avalikustanud oma töid, kuid oli siiski tõdemusel, et eelisõigus on sellel, kellel esimesena oli idee, isegi kui too sellest mitte kellelegi ei rääkinud. Ta üritas selgeks teha, et tema on loonud 8 infinitesimaalarvutuse, mitte Leibnitz, kuigi selle idee peale tulid mõlemad üksteisest sõltumatult, kuid ajastus oli peaaegu sama. Newton oli pahatahtlik, ta kirjutas Leibnitzi vastu pamflette ehk naeruvääristavaid päevakajalisi kirjutisi ning lasi Kuninglikul Seltsil nimetada tüli lahendamiseks komitee, kuid lubas sellesse vaid oma pooldajaid. Ta kirjutas laimukirju ning paljud arvasid, et Newton on oma mõistuse kaotanud. 1705. aastal sai temast sir Newton esimene teadlane, kellele langes osaks niisugune au. Teda valiti Kuningliku Seltsi presidendiks, milleks ta jäi elu lõpuni. Ta suri 20. märtsil 1727
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on pun...
TALLINNA MAJANDUSKOOL Ametnikutöö osakond IMMANUEL KANT Referaat Juhendaja: Tallinn 2013 1. ELULUGU Immanuel Kant sündis Ida Preisimaal 22.04.1724 a. Köningsbergis (tänapäeval tuntud kui Kaliningrad) sadulmeistri pojana. Tema esivanemad olid arvatavasti pärit Sotimaalt. Ristimisel anti tulevasele filosoofile nimeks Emanuel. Immanueliks muutis ta selle hiljem ise, olles õppinud heebrea keelt. Kanti ema oli vaga kristlane, kes nõudis usulises elus ja ka kõiges muus täpsust ja rangust. Selle puritaanlikkuse ja ranguse ...
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused ...
· Samas rõhutab ta erineva ja induviduaalse eksistentsi ajas. tähtsust. Selles mõttes on ta tüüpiline õhtumaine mõtleja. · Jumaliku ettenägelikkuse asemel oli ta õpetanud · Tema mõtete järelmõju on tunda G.Bruno ja pimedat saatust ajaloos. Leibnitzi juures. · Surematuse asemel hinge surelikkust. · 1263 a. oli paavst Urban IV keelanud Aristotelese tõlkimise ja õppimise. · 1255 a. oli Pariisi Vabade Kunstide Kool · Roger Bacon kuulutanud Aristotelese õppeaineks.
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks kutsume sirget, millel on positiivne suund, määratud nullpunkt ja pikkusühik. Arvteljega on võimalik seada vastavusse kõik reaalarvud, kus ühele reaalarvule vastab ainult üks arvtelje punkt. · Reaalarvu absoluutväärtus · Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0 · Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetame hulka (-,-M), kus M>0 · Hulka A nimetame tõkestatud hulgaks, kui A on määratud lõplikus vahemikus (a,b) 2. · Jääv suurus on suurus mille väärtus ei muutu · Muutuv suurus on suurus, millele võib omastada erinevaid väärtuseid ...
23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et ...
cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. 4. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D'Alemberti tunnus. 5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida. Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
· hajub kui D = 1 Kui eksisteerib piirväärtus = D Positiivne rida · koondub kui D < 1 · hajub kui D > 1 · D= 1 korral jääb küsimus lahtiseks 5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral. Koondub kui on täidetud tingimused: 1) = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi TEOORIAKÜSIMUSED nr 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+..
f (c) = b . a dx b b Korrutades seda v~ordust arvuga a dx ja arvestades, et a dx = b - a, saame valemi (5.21). Teoreem on t~oestatud. 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton- Leibnitzi valem. Muutuva u¨ lemise rajaga integraal. Oleme vaadelnud kahte liiki integraale: 1. m¨a¨ aramata integraal f (x)dx , mis on defineeritud kui funktsiooni f alg- funktsioonide u ¨ldavaldis; 124 b 2. m¨a¨ aratud integraal a f (x)dx, mis on defineeritud kui funktsiooni f integ- raalsumma piirv¨a¨artus. J¨argnevalt vaatame u
b b Korrutades seda v~ordust arvuga a dx ja arvestades, et a dx = b - a, saame valemi (5.21). Teoreem on t~oestatud. 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton- Leibnitzi valem. Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Oleme vaadelnud kahte liiki integraale: 1. m¨a¨aramata integraal f (x)dx , mis on defineeritud kui funktsiooni f alg- funktsioonide u¨ldavaldis; 124 b 2. m¨a¨aratud integraal a f (x)dx, mis on defineeritud kui funktsiooni f integ- raalsumma piirv¨a¨artus. J¨argnevalt vaatame u
i =1 Fdx +Gdy = - Fdx +Gdy Kaks viimast võrdust kokku liites saame Funktsioonide F ja G joonintegraal kahe punkti M ja N vahel ei sõltu Leibnitzi tunnus b neid punkte ühendavast integreerimisteest, vaid ainult nende punktide Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = [ F ((t ),F( P(t)))= ) G ((t ),(t )) ' (t )]dt
nii et ta hoidis kirikust eemale, vanaduses aga süvenes igatsus säilitada vähemalt põhilised usulised tõekspidamised. Pärast seitset aastat õpinguid Königsbergi Fridericanumis, mille kohta ta ütleb, et sealt ei saanud ta oma hilisemateks huvideks loodusteaduste ja filosoofia suhtes midagi kaasa, alustab ta õpinguid Königsbergi Ülikoolis, alul teoloogiat, valides hiljem siiski filosoofia ja loodusteaduste kasuks. Ta uurib põhjalikult Leibnitzi ja tolle õpilase Wolffi teoseid. Üheksa aasta jooksul teenib ta leiba pärast seda Königsbergi lähedastes mõisades koduõpetajana. Pärast aastatepikkust tööd pedagoogina on ta oma põhimõtted ka käsiraamatuna välja andnud. Ta ise ütleb, et see sisaldab suurejoonelisi eeskirju, mida ta kahjuks pole kunagi rakendanud. Sellel perioodil omandab ta põhjalikud teadmised filosoofias. 1755 aastal ta promoveerub ja asub töötama ülikooli juures eradotsendina
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0...
36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei...
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks...
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises...
nende omavahelist sobivust reguleerib hulk reegleid. Paradoksidest Ratsionalist Leibnitz (Descartes'I õpilane) leidis, et keele viga seisneb selles, et see võimaldab valetada - lahendusena leidis, et tuleb luua keel, mille grammatikareeglid ei lase valetada. J See on utoopiline, sest naturaalarvude jadast keerulisem süsteem sisaldab paratamatult vastuolusid (Kurt Göedel tõestas 1948). Põhimõtteliselt, kui matemaatikat mõista kui keelt, siis selles on Leibnitzi ideaal tagatud. Paradoksi lõksude eest see aga kaitstud ei ole. Mõistuse ajalugu on ennekõike mõistuse enesehävitamise ajalugu. 20. saj kerkisid paradoksid esile seoses hulgateooria arenguga. Russelli hulk on kõikide hulkade hulk, mis ei sisalda iseennast. Tõestamisel selgub, et see sisaldab iseennast kui ta ei sisalda iseennast ning ei sisalda iseennast kui ta sisaldab iseennast. Või veel näiteks - 'ühes külas elab habemeajaja, kes ajab habemeid kõikidel, kes ei aja neid endal ise
nende omavahelist sobivust reguleerib hulk reegleid. Paradoksidest Ratsionalist Leibnitz (Descartes'I õpilane) leidis, et keele viga seisneb selles, et see võimaldab valetada - lahendusena leidis, et tuleb luua keel, mille grammatikareeglid ei lase valetada. J See on utoopiline, sest naturaalarvude jadast keerulisem süsteem sisaldab paratamatult vastuolusid (Kurt Göedel tõestas 1948). Põhimõtteliselt, kui matemaatikat mõista kui keelt, siis selles on Leibnitzi ideaal tagatud. Paradoksi lõksude eest see aga kaitstud ei ole. Mõistuse ajalugu on ennekõike mõistuse enesehävitamise ajalugu. 20. saj kerkisid paradoksid esile seoses hulgateooria arenguga. Russelli hulk on kõikide hulkade hulk, mis ei sisalda iseennast. Tõestamisel selgub, et see sisaldab iseennast kui ta ei sisalda iseennast ning ei sisalda iseennast kui ta sisaldab iseennast. Või veel näiteks - 'ühes külas elab habemeajaja, kes ajab habemeid kõikidel, kes ei aja neid endal ise
1. Punktmassi kinemaatika. 1.1 Kulgliikumine 1.2 Vaba langemine 1.3 Kõverjooneline liikumine 1.4a Horisontaalselt visatud keha liikumine 1.4b Kaldu horisondiga visatud keha liikumine. 2. Pöördliikumine 2.1 Ühtlase pöördliikumisega seotud mõisted 2.2 Kiirendus ühtlasel pöördliikumisel 2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. Nurkkiirendus 2.4 Pöördenurga, nurkkiiruse ja nurkkiirenduse vektorid. 3. Punktmassi dünaamika 3.1. Inerts. Newtoni I seadus. Mass. Tihedus. 3.2 Jõu mõiste. Newtoni II ja III seadus 3.3 Inertsijõud 4. Jõudude liigid 4.1 Gravitatsioonijõud 4.1a Esimene kosmiline kiirus. 4.2 Hõõrdejõud 4.2a Keha kaldpinnal püsimise tingimus. 4.2b Liikumine kurvidel 4.3 Elastsusjõud 4.3a Keha kaal 5 JÄÄVUSSEADUSED 5.1 Impulss 5.1a Impulsi jäävuse seadus. 5.1b Masskeskme liikumise teoreem 5.1c Reaktiivliikumine (iseseisvalt) 5.2 Töö, võimsus, kasutegur 5.3 Energia, selle liig...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
