y 3x 4 y 3x 4 Liitfunktsioon Funktsioone, kus argumendi ja funktsiooni väärtuse vaheline seos teostub kahe või rohkemalülilise sõltuvuse ahela kaudu, nimetatakse liitfunktsiooniks. y f (u ) u ( x) y f (x) välimine sisemine funktsioon funktsioon Moodusta antud funktsioonidest liitfunktsioonid. f ( x) x 3 y f g x g ( x) x y g f x x2 3 x x3 y f g ( x) x2 x 2 3 x3 y g f ( x) 3 x 2 Kahest funktsioonist liitfunktsiooni moodustamisel
(piirväärtus eksisteerib, siis peab see olema sama igast suunast lähenedes) 5. Mitme muutuja funktsiooni pidevus( definitsioon, näiteid pidevatest funktsioonidest) Mitme muutuja funktsioon on pidev punktis (a1,...an), kui lim f(x1;...xn)= f(a1,...an), kus (x1;...xn) → (a ,...a ) 1 n Näide: Pidevate funktsioonide summa, vahe, korrutis, jagatis, polünoomid ja liitfunktsioonid on ka pidevad. f(x,y)=arctan x/y- Pidev välja arvatud kui y=0 6. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus:
· (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · · · 18. . Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y- it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). või Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine. Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine. Olgu funktsioon y=f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega:
ehk 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine: Olgu vaatluse all funktsioon , mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada see võrrand muutuja y suhtes, kuid sageli on see raske. Seda saab ka ilmutamata kujul diferentseerida. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y) = 0. Tuleb arvestada, et kõik y sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Arvutame välja ja avaldame f'(x). Teine võimalus: ei asenda y-it f(x)-ga, vaid peame diferentseerimisel meeles, et y-it sisaldavad funktsioonid on liitfunktsioonid, arvutame välja ja avaldame y'. Tulemus on sama. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem) Teoreem: Olgu üksühese pöördfunktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem: g'[f(x)] = .
Saame {g[f(x)]} = (dz)/(dx) . Kasutades neid valemeid arvutame: 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Kirjeldame näiteks võrrandiga sin y - x + cos x - y = 0 (3.5) määratud funktsiooni y = f(x) diferentseerimise protseduuri. Arvutame y kaudselt (otseselt on liiga keeruline). Selleks on kaks võimalust. Esimese lähenemisviisi korral asendame kõigepealt võrrandis (3.5) suuruse y suurusega f(x). Saame sin[f(x)] - x + cos x - f(x) = 0 . Arvutame tuletise cos[f(x)] · f(x) - 1 - sin x - f(x) = 0
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise...
Kasutades neid valemeid arvutame: 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Kirjeldame näiteks võrrandiga sin y − x + cos x − y = 0 (3.5) määratud funktsiooni y = f(x) diferentseerimise protseduuri. Arvutame y′ kaudselt (otseselt on liiga keeruline). Selleks on kaks võimalust. Esimese lähenemisviisi korral asendame kõigepealt võrrandis (3.5) suuruse y suurusega f(x). Saame sin[f(x)] − x + cos x − f(x) = 0 . Arvutame tuletise cos[f(x)] · f′(x) − 1 − sin x − f′(x) = 0
Olgu vaatluse all funktsioon y=f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x,y)=0 muutuja y suhtes. Ilmutamata kujul antud funktsiooni saab diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). 22. Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu
Olgu vaatluse all funktsioon y=f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x,y)=0 muutuja y suhtes. Ilmutamata kujul antud funktsiooni saab diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). 22. Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu
Kasutades neid valemeid arvutame: {g[f(x)]} = = = = g(y)f(x) = g[f(x)] f(x) . 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Tuletise võib arvutada otseselt, lahtudes funktsiooni mAAravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, millesisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Teoreem 3.2. Olgu uksuhese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g[f(x)] = Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g(y) = Kasutades neid valemeid arvutame: g[f(x)] = g(y) = = = Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem f(x) = Tõestus
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...
Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F(x,y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F(x,y) = 0 muutuja y suhtes. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F(x,y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x) Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy.
Saame . Kasutades neid valemeid arvutame: 27) Seega oleme tõestanud järgmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks: 28) 29) · Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Ilmutamata kujul saab antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Tuleb meeles pidada, et kõik yit sisaldavad liikmed on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). · Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnasta ja tõesta teoreem) Teoreem: Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x=g(y). Siis kehtib valem 30) Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Pöördfunktsiooni x=g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Kasutades neid valemeid arvutame: . · arameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine
Saame . Kasutades neid valemeid arvutame: 27) Seega oleme tõestanud järgmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks: 28) 29) · Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Ilmutamata kujul saab antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Tuleb meeles pidada, et kõik yit sisaldavad liikmed on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). · Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnasta ja tõesta teoreem) Teoreem: Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x=g(y). Siis kehtib valem 30) Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Pöördfunktsiooni x=g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Kasutades neid valemeid arvutame: . · arameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine
antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Õnneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Kirjeldame näiteks võrrandiga sin y - x + cos x - y = 0 Arvutame y kaudselt: 2 võimalus lk 63 Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem): Teoreem Olgu üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem: Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = ? Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g(y) =
a. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine y=f(x), antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0 Funktsiooni tuletamiseks tuleb lahendada võrrand F(x,y)=0 muutuja y suhtes. Antud funktsiooni saab diferentseerida ka nii, et teda pole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib võtta otseselt, lähtuded F(x,y)=0. Tuleb arvestata. Et kõik y-it sisaldavad liikmed võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x) b. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem) Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x=g(y) Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x)=. Pöördfunktsiooni x=g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g'(y)= . Kasutades neid valemeid saame: c
Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Mistõttu on liitfunktsiooni tuletis selline 21. · Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Olgu vaatulse all funktsioon , mis on antud ilmutamata kujul . Funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand y suhtes. Tuletise või aga arvutada ka otseselt, kuid tuleb meeles pidada, et kõik y-it sisaldavad liikmed on liitfunktsioonid, mille sisendiks on Teoreem Üksühese funktsiooni pöörfunktsiooni diferentseerimine Olgu üksühese funktsiooni pöördfunktsioon siis kehti valem Tõestus Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y järelikult Pöördfunktsiooni g argument on y ja sõltuv muutuja x järelikult . Kasutades valemeid arvutame Teoreem Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine Olgu funktsioon antud parameetrilisel kujul võrrandiga Siis kehtib valem Tõestus
teoreem). Ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see väga raske ülesanne. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu,et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Üks ühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine. Teoreem 3.2. Olgu üks ühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g[f(x)] =1/f (x) Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = dy/dx . Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g(y) = dx/dy . Kasutades neid valemeid arvutame: g[f(x)] = g(y) =dx/dy=1/dy/dx =1/f (x). Olemegi tõestanud valemi .
62 Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F (x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see v¨aga raske u ¨lesanne. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨ aravast v~orrandist F (x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f (x). Kirjeldame n¨aiteks v~orrandiga sin y - x + cos x - y = 0 (3.5) m¨a¨aratud funktsiooni y = f (x) diferentseerimise protseduuri. V~orrand (3.5) on liiga keeruline selleks, et teda lahendada y suhtes ja seej¨arel arvutada y otseselt funktsiooni f avaldisest. Arvutame y kaudselt. Selleks on kaks sisuliselt samav¨ a¨ arset, kuid formaalselt pisut erinevat v~oimalust
62 Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F (x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see v¨aga raske u ¨lesanne. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F (x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f (x). Kirjeldame n¨aiteks v~orrandiga sin y - x + cos x - y = 0 (3.5) m¨a¨aratud funktsiooni y = f (x) diferentseerimise protseduuri. V~orrand (3.5) on liiga keeruline selleks, et teda lahendada y suhtes ja seej¨arel arvutada y otseselt funktsiooni f avaldisest. Arvutame y kaudselt. Selleks on kaks sisuliselt samav¨a¨arset, kuid formaalselt pisut erinevat v~oimalust
kasu. Erineva tasandi või organisatsiooni juhtide poolt lahendatavad konkreetsed ülesanded võivad omavahel oluliselt erineda. Samal ajal on nende tegevuses, sõltumata ametikohast ja tegevusalast palju sarnast ja ühist: neil kõigil tuleb oma tööd planeerida, seda organiseerida ja kontrollida asjade käiku. Tegelda tuleb ka alluvate juhendamise (nende töö koordineerimisega) ja töötajate mõjutamisega. Need juhtimise liitfunktsioonid võimaldavad üheskoos hõlmata kõike seda, mida nimetatakse juhtimisprotsessiks. Erinevad juhtimisteadlased on juhtimisfunktsioone liigitanud erinevalt. Lähemalt vaatleme juhtimisfunktsioonide liigitusi ja funktsioonide sisu punktis 4.1. 1.1.4. Juhid ja juhtkond Juhid ja juhtkond esindavad juhtimisteaduses juhtimise personaalset või institutsionaalset mõõdet (vaata ka p. 1.2). Ettevõtet juhib kas juht kui üksikisik või juhtkond kui ,,ettevõtte igapäevase juhtimisega tegelev
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
