parem pool, sest paremal pool ei teki selliseid kombinatsioone, kus üks element pärineb esimesest ja teine teisest hulgast. Seega on võrduse parem pool vasaku poole alamhulgaks ning mõnedel juhtudel(kui üks hulk on teise alamhulgaks või kui tegemist on võrdsete hulkadega) on mõlemad pooled võrdsed. - Väide $ $ $ on TÕENE Põhjendus: Kui hulkadel A ja B puudub ühisosa, siis ei leidu neil ka samasuguseid paare( $ ja $ ühisosa puudub), st . Kui hulkadel A ja B leidub vähemalt 2-elemendiline ühisosa, siis saab hulkade ühisosast moodustada täpselt samasuguseid paare, mis jäävad ka tehte $ $ tulemusena. Näiteks: A = {0,1,5,7} ja B = {1,5,7,8} {#,', { {1,5};{1,7};{5,7} $ $ {",#,', { {#,', , {
funktsioonihulki jms. Peathelepanu ei osutata seejuures hulkade sisulisele thendusele, vaid nende elementide seostele ja omadustele. Palju matemaatika misteid, niteks arv, geomeetriline kujund ja funktsioon, on tekkinud tegelike hulkade, esemete vi seoste krvutamisel ja vrdlemisel, kusjuures on jetud krvale kik need omadused, mis matemaatika seisukohast pole olulised. Niteks arv 5 pole seoses hegi tegeliku hulgaga, kuid teda saab seada vastavusse he ke srmedega, 5 unaga jne. Kigil sellistel hulkadel on elementide sisulisest thendusest olenemata ks hine omadus - nende elemente saab seada kshesesse vastavusse. Matemaatika eripra teiste teadustega vrreldes on, et matemaatikas ei saa pidada htki videt (peale aksioomide ja definitsioonide) teseks, kui seda pole loogiliselt jreldatud varem teada olnud viteist. Loogiline jreldamine on uute matemaatiliste tdede saamise vahend. Matemaatika on tekkinud eluliste vajaduste, niteks aja- ja maamtmise, ehituse jms. nudel
Raamat kujutas endast põhjalikku analüüsi rahvamasside psühholoogiast, indiviidi käitumise motiive ja ajalooliste sündmuste põhjuseid. Raamat leidis laialdast vastu kaja ja seoses sellega kirjutas Le Bon sarnasel teemal veel palju teoseid: ,,Hulkade psühholoogia", ,,Sotsialismi Psühholoogia", ,,Mateeria evolutsioon". (Tselpanova 2012) Le Boni raamat ,,Hulkade psühholoogia" tundub minu arvates kehtivat suures osas ka tänapäeval. Tema idee, et valijate hulkadel on nõrk arutlusvõime, kriitilise meele puudumine, nad on kergesti ärrituvad, kergeusklikud ja labaselt ühekülgsed (Le Bon 1895) kehtib minu meelest ka tänapäeval. Samuti on huvitavad selles raamatus tema väljapakutud omadused kandidaadile. Kandidaat peab olema mõjukas- nii isiklikult kui ka rahaliselt, tuleb anda meeldivaid lubadusi, valijate himude ja edevuse kõditamine ning laimata ja sõimata tööliste ees nende peremehi (Le Bon 1895)
hulkade sisulisele tähendusele, vaid nende elementide seostele ja omadustele. Palju matemaatika mõisteid, näiteks arv, geomeetriline kujund ja funktsioon, on tekkinud tegelike hulkade, esemete või seoste kõrvutamisel ja võrdlemisel, kusjuures on jäetud kõrvale kõik need omadused, mis matemaatika seisukohast pole olulised. Näiteks arv 5 pole seoses ühegi tegeliku hulgaga, kuid teda saab seada vastavusse ühe käe sõrmedega, 5 õunaga jne. Kõigil sellistel hulkadel on elementide sisulisest tähendusest olenemata üks ühine omadus - nende elemente saab seada üksühesesse vastavusse. Matemaatika eripära teiste teadustega võrreldes on, et matemaatikas ei saa pidada ühtki väidet (peale aksioomide ja definitsioonide) tõeseks, kui seda pole loogiliselt järeldatud varem teada olnud väiteist. Loogiline järeldamine on uute matemaatiliste tõdede saamise vahend. Matemaatika on tekkinud eluliste vajaduste, näiteks aja- ja maamõõtmise, ehituse jms
üsnagi keeruline ja nõuab kogenud kätt. Praktiliselt kõiki LCD monitore on võimalik automaatsete seadistustega (auto-adjustment) ideaalilähedaselt paika sobitada. Kineskoopmonitorid kadusid peagi müügilt, kui LCD tehnoloogiaga monitorid muutusid kättesaadavaks tavatarbijale. Alguses oli LCD tehnoloogia kordades kallim, kuid kvaliteedi ja hinna paranedes tõrjuti CRT monitorid turult. Kuid kineskoopmonitorid ei ole veel kuskile kadunud. Inimestel on neid suurtel hulkadel kodus. Neid ei tohiks kindlasti lihtsalt prügimäele visata, vaid viia jäätmekäitlusesse. Kineskooptelerid ja -kuvarid on ohtlikud kahel põhjusel. Üks põhjus on niinimetatud tinaklaas, millest on tehtud kineskoobi tagaosa ning teine luminofoor, mis on kineskoobi sees. OHUTUS Monitori kvaliteet on arvutikasutajale väga tähtis. Monitori kvaliteet määrab suures osas arvutikomplekti mõju tervisele. Kehv klaviatuur või hiir muudavad töö ebamugavaks,
keeruline ja nõuab kogenud kätt. Praktiliselt kõiki LCD monitore on võimalik automaatsete seadistustega (auto-adjustment) ideaalilähedaselt paika sobitada. Kineskoopmonitorid kadusid peagi müügilt, kui LCD tehnoloogiaga monitorid muutusid kättesaadavaks tavatarbijale. Alguses oli LCD tehnoloogia kordades kallim, kuid kvaliteedi ja hinna paranedes tõrjuti CRT monitorid turult. Kuid kineskoopmonitorid ei ole veel kuskile kadunud. Inimestel on neid suurtel hulkadel kodus. Neid ei tohiks kindlasti lihtsalt prügimäele visata, vaid viia jäätmekäitlusesse. Kineskooptelerid ja -kuvarid on ohtlikud kahel põhjusel. Üks põhjus on niinimetatud tinaklaas, millest on tehtud kineskoobi tagaosa ning teine luminofoor, mis on kineskoobi sees. 13 8 Videoliidesed Joonis 5. VGA kaabli pistik Joonis 6
Christopheriga. Moraalinormide järgi varjas Turing enda homoseksuaalsust, sest see oleks ta saatnud vanglasse ning ta poleks saanud tegeleda oma tööga. Ta eesmärgiks oli lahendada Enigma probleem. Selle jaoks ta isegi võttis naise, nii nagu normide järgi kõik teised tegid. Siiski teadis ta, et see ei ole tõeline tema vaid ta käitus ühiskonnanormide järgi. Kuna sakslased hävitasid iganädalaselt Inglismaale saadetavat toitu suurtel hulkadel, pidid inimesed harjuma toitu kokku hoidma. Samuti tuli harjuda, et Inglismaa oli taas sõjas. Akommodatsiooni esineski siiski vähe ning filmis seda ei näidatud, kuid sõja olukorrast saab järeldada, et rahvas pidi siiski harjuma sellega. Filmis esineb konflikt kõrgemal võimutasandil oleval Dennistonil Alaniga. Algul ei soovinud Denniston üldse Turingut tööle võtta. Samuti ei meeldinud talle Alani suhtumine sellesse, et peab koos teistega töötama
suhtes. 3) Võimetus jälgida või reguleerida oma käitumist. 4) Vähene hoolimine toimingute sotsiaalsest heakskiidust. 5) Mõistliku planeerimise võime vähenemine. Kontrollimatu vägivalla pursked on tõenäolisemad, kui rahvahulga isereguleeruvat käitumist takistab võimude ülemäärane kontroll (Marsh, Rosser, Harre). Enne vägivalla tõenäoliseks saamist on vaja pikaajalist korduva ülekohtu tajumist (Smelser). Soovitused edukaks kontrolliks hulkade üle (Waddington): 1) Hulkadel tuleb lasta enda üle korda pidada nii palju kui vähegi võimalik. 2) Politsei ja korraldajate vahel peab olema tõhus side. 3) Kui osaleb politsei, peab ta kasutama vähima jõu rakendamise taktikat, et rahvahulga liikmed ei näeks politseinikes hädade esilekutsujaid. 4) Hulkade juhtijaile tuleb õpetada tõhusat suhtlemist. 5) Rahvas peaks tajuma politseid ja teisi jõustruktuure ühiskonna ees vastatavatena, mitte valmitena tegema kõike, mis pähe tuleb.
Ühend – liitmine Ühisosa – korrutamine Vahe - lahutamine 26. Millist tehet nimetatakse hulgaaritmeetiliseks korrutamiseks? Hulkade ühisosa. 27. Millist tehet nimetatakse hulgaaritmeetiliseks liitmiseks? Hulkade ühend. 28. Selgita, millised elemendid kuuluvad kahe hulga ühendisse? Mõlema hulga elemendid. 29. Selgita, millised elemendid kuuluvad kahe hulga ühisosasse? Mõlema hulga ühised elemendid. 30. Millised hulgad on mittelõikuvad? Mittelõikuvatel hulkadel puudub ühisosa. 31. Mis on lõpliku hulga võimsus? Lõpliku hulga võimsus on tema elementide arv. 32. Mida väljendavad Grassmanni valemid? Hulkade ühendi või ühisosa elementide arvu. 33. Milliseid tehteid asendavad hulgaaritmeetilised asendusseosed? Hulkade vahe ja sümmeetriline vahe. 34. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub? Täiend, ühisosa, ühend, vahe, sümmeetriline vahe. Oluline kui avaldises puuduvad sulud. 35
on i Nn . Selle hulga iga permutatsioon on kujuga i2 3 . . . n , 21 kus (n - 1)-elemendiline permutatsioon 2 3 . . . n on permutatsioon hulga {1, 2, . . . , i - 1, i + 1, . . . , n} elementidest. Matemaatilise induktsiooni eel- duse kohaselt on selles hulgas (n - 1)! permutatsiooni. Mistahes i, j Nn , (i) (j) kus i = j, korral ei ole hulkadel Pn ja Pn u ¨hiseid permutatsioone, sest erinevus on juba esimeses arvus. Seega hulga Pn permutatsioonide arv (1) (2) (n) v~ordne hulkade Pn , Pn , . . . , Pn permutatsioonide arvu summaga, s.o. (n - 1)!n = n! Definitsioon 2.1. Oeldakse, ¨ et permutatsioonis 1 2 . . . i . . . j . . . n elemendipaar (i , j ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv
on i ∈ Nn . Selle hulga iga permutatsioon on kujuga iα2 α3 . . . αn , 21 kus (n − 1)-elemendiline permutatsioon α2 α3 . . . αn on permutatsioon hulga {1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} elementidest. Matemaatilise induktsiooni eel- duse kohaselt on selles hulgas (n − 1)! permutatsiooni. Mistahes i, j ∈ Nn , (i) (j) kus i = j, korral ei ole hulkadel Pn ja Pn u ¨hiseid permutatsioone, sest erinevus on juba esimeses arvus. Seega hulga Pn permutatsioonide arv (1) (2) (n) v˜ordne hulkade Pn , Pn , . . . , Pn permutatsioonide arvu summaga, s.o. (n − 1)!n = n! ♠ Definitsioon 2.1. Oeldakse, ¨ et permutatsioonis α1 α2 . . . αi . . . αj . . . αn elemendipaar (αi , αj ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv
veerand elanikkonnast. Rootsi ametnikud, kes olukorda pärast nälja lõppu hindasid, leidsid, et Eestis kulub näljast taastumiseks umbes 2030 aastat, kuid seda aega ei olnud, sest juba kolme aasta pärast puhkes Põhjasõda. Sel ajajärgul võisid Eesti alale asuda ka kolmas ajalooline vähemusrahvus, vanausulistest peipsivenelased, kuid nende saabumisajaga on mitmeid probleeme ja viimasel ajal peetakse tõenäolisemaks, et nad tulid suurematel hulkadel siia alles pärast Põhjasõda. · Põhjasõda 1700. aasta sügisel ründasid Peeter I juhitud Vene väed Narvat ja asusid seda piirama. Rootsi kuningas Karl XII kiirustas aga oma peavägedega Eestisse ning lõi venelasi Narva lahingus. Kuigi Rootsi vägede üheks lahinguplaaniks oli ka sõja jätkamine Venemaa vastu, otsustas Karl siiski liikuda lõunasse, August Tugeva vägede vastu ning lahkus Eestist 1701. aasta alguses
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB! MÕTLEMINE on alati verbaalne ehk toimub mingi lingvistilise keele Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. abil. ...
Siiski ka kommunistlikud ideed lähedased kristlusele. Kõigi võrdsus. Heine saksa hiline romantik. ,,Religiooni ja filosoofia ajaloost Saksamaal". 1830tel kirjutas prantslastele, et selgitada rel ja filos ajaloo algusi. Luther spiritualism ja müstitismi kandja - tegi augu pehkinud kirikuhoonesse, aga selle kaudu pääsesid kirkusse ka kõik pahed ateismi ja materialismiga eesotsas. Teadmist, mis on vähestel, ei ole suurtel hulkadel ja usk hakkab ära kaduma. Usk ei ole mõistuse asi. Uks on uskumise asi, see ei ole teadmine. Mida rohkem teadmist ja teadust, seda rohkem hakkab siiras usk kaduma. Prantsusmaa lõhenes kodusõjas 16. saj keskel. Jean Calvin oli veelgi radikaalsem kui Luther. Nõudis äärmist askeetlikku usulist rangust vastandina kat kiriku pahedele ja korruptsioonile. Kalvinistlikke kirikuid leiab prantsusmaal ja Sveitsis. Ettemääratuse idee, katoliikluses selle vastu vaba tahe. Kat kuigi in on
. . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . .
11 Põhiliste elementaarfunktsioonide all mõistetakse järgmisi funkt- sioone: 1. konstantne funktsioon y = c; 2. astmefunktsioon y = xa ; 3. eksponentfunktsioon y = ax , (a > 0, a = 1); 4. logaritmfunktsioon y = loga x, (a > 0, a = 1); 5. trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 6. arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. · Konstantne funktsioon y = c tegutseb hulkadel f : R {c}. On paarisfunktsioon, pealekujutus, ei ole üksühene määramispiirkon- nas R. · Astmefunktsioon y = xa , a R. 30 3.5. Põhilised elementaarfunktsioonid x, x3 , x5 ja x2 , x4 , x6 x1/3 , x1/5 , x1/7 ja x-1/3 , x-1/5 , x-1/7 x1/2 , x1/4 , x1/6 ja
Sugereeritute juures tuleb nähtavale kalduvus muuta mõte, mis neid äärmiselt valdab, teoks. Hulk võib olla äärmiselt kergeusklik. Legendide tekkimine ja levik on hulkade keskel väga kerge. Hulk mõtleb piltlikult, kuid esilemanatud pilt äratab omakorda rea teisi, milliseil pole mingit loogilist sidet esimesega. Tõelised faktid asenduvad hallutsinatsioonidega. Esialgne illusioon nakatab, teised tagantjärele kinnitavad seda, võtavad omaks; 3) tunnete liialdus ja labane ühekülgsus hulkadel hulgad ei tunne ei kahtlust ega kindlusetust ja lähevad alati äärmusteni. Nende tunded on alati liialdatud. Tunnetel, mida hulgad ilmutavad, on see kaksiktunnus, et nad on väga lihtsad ja väga liialdatud. Hulga tunnete lihtsus ja liialdus hoiavad teda kahtluse ja kindlusetuse eest; 4) hulkade sallimatus, sõnakuulmise nõudmine ja nende konservatiivsus. Nende tunnete põhjus hulkade orjalikkus tugeva autoriteedi ees
Märkus. Funktsionaalvõrranditega defineerimise asemel võib piirduda astmeridadega, nagu tegime alapeatüki alguses. Siiski on tingimuste (6.28) ja (6.29) abil defineerimine mõnevõrra elegantsem, kuna sel juhul nõutakse funktsioonidelt ainult pidevust; kuitahes palju kordi diferentseeruvus saadakse juba järeldusena. Lisaks sellele annavad funktsionaalvõrrandid (6.28), (6.31) jmt. võimaluse defineerida siinuse ja koosinuse analoogid ka hulkadel, kus pidevuse aksioom ei tule kõne alla ja funktsionaalridade teooria väljaarendamine pole võimalik. 170 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.7.3 Arv π Definitsioonid (6.26) ja (6.27) on matemaatiliselt vettpidavad, kuna nad tuginevad ainult reaalarvude aksiomaatikale ning ei sisalda piltlikke kaalutlusi, nagu nurgale vastava täis- nurkse kolmnurga kaatetite suhte leidmist jms. Ometi on sellisel kujul siinuse ja koosinuse
kehastatud manduva mõsnikeseisuse kogu nüimeelne upsakus ja kelkiv tüisus. Baltisaksa ajaloo võtsijad ja nende kannul eesti kodanlikud natsionalistid üistasid ning idealiseerisid igati Ivo Schenkenbergi ja tema bandet, nimetades teda Liivimaa resp. Eestimaa «Hannibaliks» ja omistades talle igasuguseid väitegusid. Schenkenbergi kõilõkajate hulgas oli kül talupoegliku päitoluga elemente, nagu seda nätab ka Bornhöe, kuid eesti talurahva laiadel hulkadel polnud nendega midagi üist. Vastupidi, rahvas kannatas nende hirmutegude all ja võtles nende vastu. Kodanlikul ajal pü uti aga seda salka kujutada mingi eesti rahvusliku väüsu- 451 sena ning Schenkenbergist tehti igasuguse asjade loogika vastu peaaegu eesti rahvuskangelane. (Ka tolleaegses eesti kirjanduses pakuti lugejatele «ajalooliste romaanidena» Schenkenbergile püendatud täu- ja kuulsuseraamatuid, nagu «Hannibali rahvas» jt
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
