Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria (11)

Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks . m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨
Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0).
Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk - tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|.
Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t) (6.2) ... xm = m (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (6.2) m¨a¨ arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla ruumi Rm punkti P = ¨ (x1 , x2 , . . . , xm ). Uldiselt vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨ artustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks . V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor . Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis . Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid x1 = a1 + (b1 - a1 )t x2 = a2 + (b2 - a2 )t ... xm = am + (bm - am )t , t [0, 1] . Antud hulgas vastab parameetri v¨a¨artusele t = 0 punkt A ja parameetri v¨a¨ artusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirgl~oiku vektoriks ruumis Rm ja t¨ahistame -- -- -- AB. Vektori AB pikkust t¨ahistame s¨ umboliga |AB| ja defineerime selle kui -- -- punktide A ja B vahelise kauguse, st |AB| = |AB|. Vektoriga AB samav¨ a¨ arseks loeme suunatud sirgl~oiku parameetriliste v~orranditega x1 = c1 + (b1 - a1 )t x2 = c2 + (b2 - a2 )t (6.4) ... xm = cm + (bm - am )t , t [0, 1] ,
kus C = (c1 , c2 , . . . , cm ) on suvaline ruumi Rm punkt. V~orranditega (6.4) antud -- vektor l¨ahtub punktist C. Seega on vektoriga AB samav¨ a¨ arne, koordinaatide alguspunktist l¨ahtuv vektor antud j¨argmiste v~orranditega: x1 = (b1 - a1 )t x2 = (b2 - a2 )t (6.5) ... xm = (bm - am )t , t [0, 1] . -- Tegemist on vektoriga OM , mille l~opp-punkt on M = (b1 - a1 , b2 - a2 , . . . , bm - am ), kuna s¨ usteemist (6.5) saame t = 1 korral xi = bi - ai . Koordinaatide -- alguspunktist l¨ahtuv vektor OM on u ¨heselt m¨a¨ aratud oma l~opp-punkti M ko- ordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks.
. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) l¨abivaks vektori u = (u1 , u2 , . . . , um ) suunaliseks sirgeks loetakse sirget, mis saadakse vektoriga u samav¨ a¨arse punk- tist A l¨ahtuva vektori pikendamisel m~olemast otsast l~opmatuseni. Taolise sirge parameetrilised v~orrandid on x1 = a1 + u1 t x2 = a2 + u2 t ... xm = am + um t , t R .
Vektorite u = (u1 , u2 , . . . , um ) ja v = (v1 , v2 , . . . , vm ) skalaarkorrutiseks nimetatakse summat
u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + um vm . (6.6)
Afiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis, nimetatakse eu- kleidiliseks ruumiks. Seega on Rm eukleidiline ruum. Vektorite skalaarkorrutis rahuldab j¨argmist seost, mida nimetatakse Cauchy- Schwartzi (ehk Cauchy-Bunjakovski) v~orratuseks:
|u · v| |u| |v| . (6.7)
Antud v~orratus muutub v~orduseks, kui u ja v on samasuunalised. T~oepoolest, kui v = u ja > 0, siis l¨ahtudes skalaarkorrutise definitsioonist
u · v = u · (u) = u1 u1 + u2 u2 + . . . + um um = (u21 + u22 + . . . + u2m ) = |u|2 = |u| |u| = (6.8) = |u| |u| = |u| |v|.
Vektori ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) suunalist nullpunkti l¨abivat sirget nimetatakse k-1 ×
xk - teljeks ruumis Rm ja vektorit ek xk - telje suunaliseks u ¨hikvektoriks. 3) Lahtised ja kinnised kerad . Hulga sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste.
Mitmem~ o~otmelised kerad. Lahtiseks m-m~ o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raadiusega r > 0 nimetatakse hulka
U (A, r) .
¨ Uhem~ o~otmeline lahtine kera keskpunktiga a ja raadiusega r on vahemik (a - r, a + r). Vastav kinnine kera on l~oik [a - r, a + r]. Kahem~o~ otmeline lahtine kera on ring ilma ringjooneta ja kinnine kera on ring koos ringjoonega. Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨ mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨ hisosa . Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste . Hulka G nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kahte punkti saab u ¨hendada pideva murdjoonega, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. T~okestatud hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse t~okestatuks, kui leidub (kin- nine v~oi lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. Mitmem~ o~ otmelised muutuvad suurused. Olgu x1 , x2 , . . . , xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1 , x2 , . . . , xm moodustatud j¨arjestatud s¨ usteemi P = (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse m-m~ o~otmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m- m~o~ otmeliseks muutujaks. m-m~ o~otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) reaalarvulisi kompo- nente x1 , x2 , . . . , xm nimetatakse suuruse P koordinaatideks. Kuna muutujate x1 , x2 , . . . , xm v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on reaalarvud, siis m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus - tatud ruumi Rm alamhulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Mitmemuutuja funktsiooni m~ oiste. Olgu antud m-m~o~ otmeline muutuv suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse. Muutujat P nimetatakse seejuures s~ oltumatuks muutujaks ehk argu - mendiks, muutujat z s~ oltuvaks muutujaks ja hulka D m¨ a¨ aramispiirkonnaks. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik . Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Olgu z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) m-muutuja funktsioon m¨a¨aramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nimetatakse argmist ruumi Rm+1 alamhulka: j¨< .
Teiste s~onadega, graafik koosneb k~oigist sellistest ruumi Rm+1 punktidest, mille m esimest koordinaati on x1 , x2 , . . . , xm ja viimane, m + 1-ne koordinaat on f (x1 , x2 , . . . , xm ), kusjuures m esimese koordinaadiga m¨a¨ aratud punkt P = (x1 , x2 , . . . , xm ) jookseb l¨abi funktsiooni f m¨ a¨aramispiirkonna D. Loetleme siinkohal m~oned kahemuutuja funktsiooni z = f (x, y) graafiku omadused. Tegemist on teatud pinnaga kolmem~ o~ otmelises ruumis (joonis 6.1). See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z), mille koordinaa- did x, y ja z rahuldavad v~orrandit z = f (x, y). Pinna z = f (x, y) projektsioon xy- tasandile langeb kokku funktsiooni f m¨ a¨ aramispiirkonnaga D. Suvaline z- teljega paralleelne sirge saab pinda z = f (x, y) l~oigata maksimaalselt u ¨hes punk- tis (vt sirge s ja punkt M joonisel 6.1). Joonis 6.1 O s z
z = f (x, y)
·M
O· / y D x
6) Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon .
Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Olgu antud kaks m-muutuja funktsiooni z = f (P ) ja z = g(P ) u ¨ hise m¨a¨aramispiirkonnaga D. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale P D vastavusse muutuja z v¨a¨artuse valemiga z = f (P ) + g(P ). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos z = (f +g)(P ) = f (P )+g(P ). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe z = (f -g)(P ) = f (P )-g(P ), korrutis z = (f g)(P ) = f (P )g(P ) ja jagatis z = (f /g)(P ) = f (P )/g(P ). Summa, vahe ja korrutise m¨a¨ aramispiirkonnaks on D. Jagatise m¨a¨aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest P D, mille korral g(P ) = 0. Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud n-muutuja funktsioon z = F (u1 , u2 , . . . , un ). Oletame et funktsiooni F argumendid u1 , u2 , . . . , un s~oltuvad mingist m-m~o~ otmelisest muutujast P = (x1 , x2 , . . . , xm ). See t¨ahendab, et
u1 = 1 (P ), u2 = 2 (P ), . . . , un = n (P ), kus 1 , 2 , . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul m¨a¨ aravad funkt- = sioonid F ja 1 , 2 , . . . , n liitfunktsiooni z f (P ) valemiga f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned . Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme f m¨ a¨aramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral f (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral f (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nimetatakse funktsiooni f nivoojooneks. Nivoojoon s~oltub samuti konstandist C. Funktsiooni z = f (x, y) nivoojoon f (x, y) = C on kujutatud joonisel 6.2. Ta langeb kokku pinna z = f (x, y) ja tasandi z = C l~ oikejoone L projektsiooniga xy-tasandile. O z z = f (x, y)
z=C
L Joonis 6.2
O· / y f (x, y) = C x 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) nimetatakse muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) piirv ¨a¨ artuseks kui iga etteantud kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse P v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suu- ruse v¨a¨artused kuuluvad punkti A u ¨mbrusesse U (A, ). 9) Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus? Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused? 1. Suurus P l¨aheneb punktile A siis ja ainult siis kui suuruse P ja punkti A vaheline kaugus l¨aheneb nullile, st P A |P A| 0 . 2. Suurus P l¨aheneb punktile A siis ja ainult siis, kui suuruse P k~ oik koordi- naadid l¨ ahenevad punkti A koordinaatidele, st P A xi ai iga i = 1, 2, . . . , m korral . 10) Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. m-muutuja funktsioonil f on piirv¨ a¨ artus b punktis A kui suvalises piirprot- sessis P A, mis rahuldab tingimust P = A, funktsiooni v¨a¨ artus f (P ) l¨aheneb arvule b. Sellisel juhul kirjutatakse lim f (x) = b P A v~oi f (P ) b kui P A . 11) Mitmemuutuja funktsiooni pidevus etteantud punktis. Pidevus piirkonnas. Millise omadusega on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik? Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z = f (P ) m¨a¨ aramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui 1. f on m¨a¨aratud punktis A, st A D 2. eksisteerib piirv¨a¨artus lim f (P ) P A 3. lim f (P ) = f (A). P A Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G, kui ta on pidev selle pi- irkonna k~oigis punktides. graafiku kohta. N¨aiteks on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik pidev pind (st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni). 12) Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Liitfunktsiooni pidevus. Summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Kui mitmemuutuja funkt- sioonid f ja g on pidevad punktis A siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ning eeldusel g(A) = 0 ka jagatis fg .
Liitfunktsiooni pidevus. Olgu
u1 = 1 (P ), u2 = 2 (P ), . . . , un = n (P )
argumendist P = (x1 , x2 , . . . , xm ) s~oltuvad m-muutuja funktsioonid. Peale selle olgu z = F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funk - tsioon. Vaatleme liitfunktsiooni
z = f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . Kehtib j¨argmine v¨ aide . Kui funktsioonid 1 , 2 , . . . , n on pidevad punktis A ja funktsioon F on pidev punktis B = (1 (A), 2 (A), . . . , n (A)), siis on liitfunktsioon f pidev punktis A. 13) Funktsiooni suurim ja vähim väärtus piirkonnas. Kinnises tõkestatud piirkonnas pidevate funktsioonide omadusi. Funktsiooni suurim ja v¨ ahim v¨ a¨artus piirkonnas D. Kui leidub punkt P1 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib v~orratus f (P1 ) f (P ), siis nimetatakse arvu f (P1 ) funktsiooni f suurimaks v¨a¨ artuseks piirkonnas D. Kui leidub punkt P2 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib v~orratus f (P2 ) f (P ), siis nimetatakse arvu f (P2 ) funkt- siooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks piirkonnas D. Omadus 1. Kinnises t~ okestatud piirkonnas pidev funktsioon saavutab oma su- urima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse selles piirkonnas. Omadus 2. Kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas pidev funktsioon saavutab selles piirkonnas iga v¨ a¨artuse oma suurima ja v¨ ahima v¨a¨ artuse vahel. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid v¨ a¨artusi, siis leidub selles piirkonnas v¨ ahemalt u ¨ks punkt A nii et f (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise m~ oiste. Olgu antud m-muutuja funktsioon z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja olgu A = (a1 , a2 , . . . , am ) punkt funktsiooni f m¨a¨ aramispiirkonnas. Piirv¨a¨ artust
f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ) - f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , ai , ai+1 , . . . , am ) lim xi ai xi - ai (6.10) nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks argumendi xi j¨ argi punktis A ja t¨ahistatakse f fxi (A) v~oi (A) v~oi f (A) . xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil f l~oplik osatuletis muu- tuja xi j¨argi mingi piirkonna D k~oigis punktides. See t¨ahendab et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada u ¨he kindla reaalarvu fxi (P ). Siis on osatuletis fxi piirkonnas D m¨a¨aratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. Liitfunktsiooni osatuletiste valemid. Olgu u1 = 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), u2 = 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , un = n (x1 , x2 , . . . , xm ) argumendist P = (x1 , x2 , . . . , xm ) s~oltuvad m-muutuja funktsioonid ja z = F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funktsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) = F 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , n (x1 , x2 , . . . , xm ) .
Eeldame et liitfunktsiooni f komponentidel 1 , . . . , n ja F eksisteerivad osat- uletised k~oigi argumentide suhtes mingis vaadeldavas punktis. Fikseerime funktsiooni f argumendi xi ja vaatleme f osatuletist selle argu- f mendi suhtes, st x i . Selle osatuletise jaoks kehtib j¨argmine valem komponen- tide 1 , . . . , n ja F osatuletiste kaudu: n f F 1 F 2 F n F j = + + ... + = . (6.11) xi u1 xi u2 xi un xi j=1 uj xi
Anname sellele valemile pisut teistsuguse kuju, mida on lihtsam meelde j¨atta, sest selles esineb v¨ahem erinevaid t¨ahiseid. Kuna funktsiooni j s~ oltuv argu- u ment on uj , siis v~oib osatuletise xij kirjutada kujul xji . Peale selle, kuna F f funktsioonide F ja f s~oltuv muutuja on z, v~oib osatuletisi u j ja x i t¨ahistada z z vastavalt s¨ umbolitega uj ja xi . J¨ arelikult saab valemi (6.11) kirja panna ka j¨argmiselt: n z z u1 z u2 z un z uj = + + ... + = . (6.12) xi u1 xi u2 xi un xi j=1 uj xi T¨aistuletise m~oiste. Vaatleme juhtu kui u1 = 1 (x), u2 = 2 (x), . . . , un = n (x) on u ¨he muutuja x funktsioonid ja F s~ oltub lisaks argumentidele u1 , u2 , . . . , un ka muutujast x, st z = F (x, u1 , u2 , . . . , un ). Siis on liitfunktsioon z = f (x) = F x, 1 (x), 2 (x), . . . , n (x) u ¨he muutuja x funktsioon. Teatavasti u ¨htib u ¨hemuutuja funktsiooni osatuletis tema tuletisega. J¨arelikult f df x = dx = f (x). Analoogiliselt 1 d1 2 d2 n dn x = dx = 1 (x), x = dx = 2 (x), . . . , x = dx = n (x). Valemeid (6.11) ja (6.12) rakendades saame funktsiooni f tuletise jaoks j¨argmised seosed: df F dx F d1 F d2 F dn = + + + ... + dx x dx u1 dx u2 dx un dx F F d1 F d2 F dn = + + + ... + , x u1 dx u2 dx un dx ehk ekvivalentselt dz z z du1 z du2 z dun = + + + ... + (6.13) dx x u1 dx u2 dx un dx v~ oi dz z z z z = + u1 + u2 + . . . + u . (6.14) dx x u1 u2 un n 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise . T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem:
dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨ argmiseks kasutame asjaolu et v~orrand F (x, y) = 0 m¨a¨arab ilmutamata kujul funktsiooni y = f (x). Sellest tulenevalt kehtib samasus
F (x, f (x)) 0 . (6.16)
Kuna nullfunktsiooni tuletis v~ordub samuti nulliga, siis valemist (6.16) j¨areldub et dF dx (x, f (x)) 0. Seega v~ ordub avaldise (6.15) vasak pool nulliga. Saame Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) = 0. Eeldades et Fy (x, f (x)) = 0 tuletame vi- imasest v~ordusest j¨argmise valemi ilmutamata funktsiooni f tuletise jaoks:
Fx (x, f (x)) f (x) = - . (6.17) Fy (x, f (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Funktsiooni z = f (x1 , . . . , xm ) osatuletis vektori s suunas n¨aitab selle funk- tsiooni "kasvu kiirust", kui argumendiga P = (x1 , . . . , xm ) liikuda vektori s suunas. Vaatleme piirprotsessi P A, mille k¨aigus punkt P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda vektori s suunalist sirget l. Selles protsessis defineeritud piirv¨a¨ artus nim.
f (P ) - f (A) lim (6.18) P A |P A| f tuletiseks vektori s suunas punktis
Suunatuletise valem. Tuletame valemi fs (A) jaoks. Selleks avaldame k~oigepealt
punkti P koordinaadid punktide A ja P vahelise kauguse kaudu. T¨ahistame punktide A ja P vahelise kauguse t-ga, st t = |AP |. Kuna vektori s suunaline u ¨hikvektor on s s1 sm = ,..., |s| |s| |s| - - ja vektorite AP ja s suunad u ¨ htivad (joonis 6.6), saame AP esitada kujul - - |AP | AP = s, |s| - - - kus |AP | on vektori AP pikkus. M¨arkides et |AP | = |AP | = t saame siit v~orduse
- t AP = s. (6.19) |s| - Kuna A = (a1 , . . . , am ), siis OA = (a1 , . . . , am ) ja (6.19) p~ohjal
-- - - t t OP = OA + AP = a1 + s1 , . . . , a m + sm . |s| |s|
Seega avalduvad punkti P = (x1 , . . . , xm ) koordinaadid punktide A ja P vahelise kauguse t lineaarsete funktsioonidena j¨argmiste valemitega: s1 sm x1 (t) = a1 + t , . . . , xm (t) = am + t. (6.20) |s| |s|
Defineerime n¨ uu¨d j¨argmise muutuja t funktsiooni
s1 sm g(t) = f (P ) = f (x1 (t), . . . , xm (t)) = f a1 + t , . . . , am + t . (6.21) |s| |s|
Paneme t¨ahele, et g(0) = f (a1 , . . . , am ) = f (A). Peale selle, kuna t on vektori - AP pikkus, siis piirprotsessis P A l¨aheneb muutuja t nullile. J¨arelikult
f (P ) - f (A) g(t) - g(0) fs (A) = lim = lim = g (0) . (6.22) P A |P A| t0 t
Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise eeskirja p~ohjal saame v~ordusest (6.21)
g (t) = fx1 (P )x1 (t) + fx2 (P )x2 (t) + . . . + fxm (P )xm (t) , s1 sm kusjuures valemitest (6.20) x1 (t) = |s| , . . . , xm (t) = |s| . Seega
s1 s2 sm g (t) = fx1 (P ) + fx2 (P ) + . . . + fxm (P ) . |s| |s| |s|
Kui t = 0, siis P = A ja s1 s2 sm g (0) = fx1 (A) + fx2 (A) + . . . + fxm (A) . |s| |s| |s| J¨arelikult saame (6.22) p~ohjal suunatuletise fs (A) jaoks j¨argmise valemi
1 fs (A) = f (A)s1 + fx2 (A)s2 + . . . + fxm (A)sm . (6.23) |s| x1 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. Funktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse diferentseeruvaks punktis A kui selle funktsiooni t¨aismuudu z saab esitada j¨argmise summana:
z = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm + , (6.24)
kus C1 , C2 , . . . , Cm on konstandid, mis u ¨ ldiselt s~oltuvad punktist A ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus punktide P ja A vahelise kauguse |P A| suhtes piirprotsessis |P A| 0. Argumendi muutude xi suhtes lineaarset liiget C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm valemis (6.24) nimetatakse funktsiooni f t¨ aisdiferentsiaaliks kohal A ja t¨ahistatakse dz v~oi df . Kui f on diferentseeruv punktis ja m~oni Ci -dest on nullist erinev, siis v¨aikese |P A| korral hakkab liige dz funktsiooni muudu z avaldises liikme suhtes domineerima. Teiste s~onadega, z on ligikaudselt lineaarses s~oltuvuses argumendi muutudest x1 , x2 , . . . , xm , st
z dz = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm . Juhul kui funktsioon f on diferentseeruv punktis A ja osatuletised fx1 , fx2 , . . . , fxm eksisteerivad punktis A, siis Ci = fxi (A) , (6.25) millest j¨ areldub et dz = fx1 (A)x1 + fx2 (A)x2 + . . . + fxm (A)xm . (6.26) T~ oestame valemi (6.25). Olgu funktsioon f diferentseeruv punktis A. Siis on z avaldatav kujul (6.24), kus on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus |P A| suhtes kui |P A| 0. Fikseerime u¨he konkreetse i v¨ a¨artuse 1 - st kuni m-ni. Valime punkti P j¨argmiselt: P = (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ), kus xi = ai . Siis x1 = x2 = . . . = xi-1 = xi+1 = . . . = xm = 0 ja xi = xi - ai = 0. J¨arelikult |P A| = |xi |. Seega saame valemist (6.24) z = Ci xi + , (6.27)
kus on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus xi suhtes kui xi 0. Vaatleme n¨ uu¨d u ¨he muutuja xi funktsiooni g(xi ) = f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ). Kuna fxi eksisteerib punktis A, siis eksisteerib ka g punktis ai . Seega on g muut g = g(xi ) - g(ai ) esitatav kujul g = g (ai )xi + (xi )xi , (6.28) kus (xi )xi on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus xi suhtes kui xi 0 (vt §3.8). Kuna z = g siis valemitest (6.27) ja (6.28) saame v~orduse Ci xi + = g (ai )xi + (xi )xi . Viies selles v~orduses g (ai )xi vasakule poole ja paremale poole ning jagades xi -ga tuletame seose (xi )xi - Ci - g (ai ) = . (6.29) xi Kuna (xi )xi ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aikesed suurused xi suhtes protsessis xi 0 siis v~orduse (6.29) parem pool l¨aheneb nullile kui xi 0. Seega peab vasak pool (mis on konstantne ) v~orduma nulliga. Seega Ci - g (ai ) = 0 ehk Ci = g (ai ). L~opuks, kuna g (ai ) = fxi (A), saamegi valemi (6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud.
19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu - jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk- tis B nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. Puutujatasandi T v~orrand on (6.32). Viies selles v~orrandis muutuja z paremale poole ja avades sulud saame fx (a, b)x + fy (a, b)y - z + f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b = 0 . Siit n¨aeme, et puutujatasandi v~orrand on esitatav kujul C1 x+C2 y +C3 z +C4 = 0, kus C1 = fx (a, b) , C2 = fy (a, b) , C3 = -1 , C4 = f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b . J¨ arelikult on pinnal z = f (x, y) punktis B j¨ argmine normaalvektor: = (fx (a, b), fy (a, b), -1) . Normaalsirge n l¨abib punkti B, mille koordinaadid on x1 = a , y1 = b , z1 = f (a, b) . Seega on normaalsirge n kanoonilised v~orrandid j¨argmised: x-a y-b = = f (a, b) - z . fx (a, b) fy (a, b) 20) Sõnastada lause mitmemuutuja funktsiooni teist järku segatuletiste võrdsusest. Kui funktsioon f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja tema osatuletised fxi , fxj , fxi xj ja fxj xi on pidevad, siis fxi xj (x1 , x2 , . . . , xm ) = fxj xi (x1 , x2 , . . . , xm ) . (6.37) 21) Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused. Skalaarv¨ ali ja vektorv¨ ali. Mitmemuutuja funktsiooni s¨ unon¨ uu¨m on skalaarv¨ ali. Taoline m~oiste tuleneb sellest, et funktsiooniga z = f (P ) on igale funktsiooni f m¨ a¨ aramispiirkonna punktile P seatud vastavusse parajasti u ¨ks reaalarv ehk skalaar f (P ). Olgu D piirkond ruumis Rm . Kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse u ¨he kindla vektori ruumis Rm , nimetatakse piirkonnas D antud vektorv¨aljaks. Olgu u = f (x1 , x2 , . . . , xm ) m-muutuja funktsioon ehk skalaarv¨ ali piirkonnas D. Eeldame et funktsioonil f on olemas k~oik osatuletised piirkonnas D. Vektorit gradf (P ) = ( fx1 (P ), fx2 (P ), . . . , fxm (P ) ) nimetatakse skalaarv¨alja ehk funktsiooni f gradiendiks punktis P . Kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori gradf (P ), nimetatakse skalaarv¨ alja f gradientv¨ aljaks. Omadus 1. Olgu s vektor ruumis Rm . Siis kehtib valem gradf (P ) · s fs (P ) = . (6.38) |s| Erijuhul |s| = 1 taandub valem (6.38) kujule fs (P ) = gradf (P ) · s . (6.39) Omadus 2.Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendis- uunaline. Sellisel juhul fs (P ) = |gradf (P )|. Omadus 3. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutja funktsioon ja A punkt tema m¨ a¨ aramispiirkonnas. Vektor gradf (A) on funktsiooni f nivoopinna normaalvek- tor punktis A. Teiste s~ onadega: gradf (A) ristub punkti A l¨abiva nivoopinna f (x, y, z) = C puutujatasandiga punktis A. Tuletis funktsiooni u = f (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas v~ ordub nulliga.
22) Nabla. Vektorvälja divergents . Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor . Keerisevaba väli. Nabla. Eemaldades funktsiooni f (P ) gradiendist gradf (P ) = f (P ), f (P ), . . . , f (P ) x1 x2 xm funktsiooni f (P ), j¨a¨ab j¨argi j¨argmine s¨umboolne vektor, mis koosneb ainult osatuletistest: = , , ... , . (6.40) x1 x2 xm Seda vektorit nimetatakse Hamiltoni operaatoriks e nablaks. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist f (P ) v~ordub selle funktsiooni gradiendiga, st f (P ) = gradf (P ) . Olgu antud vektorv¨ali F (P ) = (F1 (P ), F2 (P ), . . . , Fm (P )). Moodustame nabla ja F (P ) skalaarkorrutise · F (P ) = F1 (P ) + F2 (P ) + . . . + Fm (P ) . (6.41) x1 x2 xm Tegemist on skalaarv¨aljaga. Seda v¨alja nimetatakse vektorv¨ alja F (P ) diver- gentsiks ja t¨ahistatakse div F (P ). Seega div F (P ) = · F (P ) . (6.42) Vektorv¨alja F (P ), mille puhul div F (P ) = 0, so v¨alja, milles allikad puudu- vad, nimetatakse solenoidaalseks v¨aljaks. Rootor. Keerisevaba v¨ ali. Olgu antud kolmem~o~otmeline vektorv¨ali F (P ) = (F1 (P ), F2 (P ), F3 (P )). Moodus- tame nabla ja F (P ) vektorkorrutise e1 e2 e3 × F (P ) = x1 x2 x3 . (6.47) F1 (P ) F2 (P ) F3 (P ) Saadud vektorv¨alja nimetatakse F (P ) rootoriks ja t¨ahistatakse rot F (P ). Seega rot F (P ) = × F (P ) . (6.48)
Vektorv¨ alja F (P ), mille puhul rot F (P ) = 0, nimetatakse keerisevabaks v¨ aljaks. 23) Potentsiaalne väli. Milliseid tingimusi peavad vektorvälja komponendid rahuldama selleks, et see väli oleks potentsiaalne? Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. Vektorv¨alja F (P ) nimetatakse potentsiaalseks, kui ta on mingi skalaarv¨ alja gra- dient. Fi Fj (P ) = (P ) , i, j = 1, . . . , m . (6.54) xj xi V~ordused (6.54) ongi need, mida peab rahuldama vektorv¨ ali F (P ) selleks, et ta oleks potentsiaalne. Olgu antud kolmem~o~otmeline potentsiaalne vektorv¨ ali F (P ) = (F1 (P ), F2 (P ), F3 (P )). Arvutame selle rootori. Vastavalt v~ordustele (6.54) kehtivad seosed
F1 F2 F2 F3 F1 F3 (P ) = (P ) , (P ) = (P ) , (P ) = (P ) . x2 x1 x3 x2 x3 x1
Nende seoste t~ottu saame valemist (6.49) v~orduse rot F (P ) = 0. Seega v~oib v¨ aita, et potentsiaalne v¨ ali on keerisevaba. 24) Tuletada kahemuutuja funktsiooni Taylori polünoomi valem n=3 korral. Esitada vastav valem suvalise n korral. Teeme selle protseduuri l¨abi nt n = 3 korral. Loeme muutuja y fikseerituks ja kirjutame v¨alja muutujast x s~oltuva funktsiooni f Taylori pol¨ unoomi punktis a: 1 2 2 1 3 f (a, y) + f (a, y)(x - a) + f (a, y)(x - a) + f (a, y)(x - a)3 . (6.59) x 2! x2 3! x3 2 3 Siin esineb 4 argumendi y funktsiooni: f (a, y), x f (a, y), x 2 f (a, y) ja x3 f (a, y).
Asendame need funktsioonid oma Taylori pol¨ unoomidega punktis b. Selleks, et x ja y summaarne aste ei u ¨letaks arvu 3, peame nende funktsioonide jaoks kasutama vastavalt 3, 2, 1 ja 0 astme Taylori pol¨ unoome. T¨apsemalt: 1 2 2 1 3 f (a, y) f (a, b) + f (a, b)(y - b) + f (a, b)(y - b) + f (a, b)(y - b)3 , y 2! y 2 3! y 3 2 1 3 f (a, y) f (a, b) + f (a, b)(y - b) + f (a, b)(y - b)2 , x x xy 2! xy 2 2 2 3 f (a, y) f (a, b) + f (a, b)(y - b) , x2 x2 x2 y 3 3 f (a, y) f (a, b) . x3 x3 Kasutades neid valemeid seoses (6.59) saame j¨argmise 3-astme pol¨ unoomi: 1 1 P3 (x, y) = f (a, b) + f (a, b)(y - b) + 2 f (a, b)(y - b)2 + f (a, b)(y - b)3 + y 2! y 3! y 3 2 1 2 3 3 + f (a, b) + f (a, b)(y - b) + 2 f (a, b)(y - b)2 (x - a) + x xy 2! xy 1 2 3 2 1 3 + f (a, b) + f (a, b)(y - b) (x - a) + f (a, b)(x - a)3 . 2! x2 x2 y 3! x3 Avame sulud ja koondame erinevate x - a ja y - b astmetega liikmed: P3 (x, y) = f (a, b) + f (a, b)(x - a) + f (a, b)(y - b) + x y 1 2 2 2 1 2 + f (a, b)(x - a) + f (a, b)(x - a)(y - b) + f (a, b)(y - b)2 + 2! x2 xy 2! y 2 1 3 3 1 3 + f (a, b)(x - a) + f (a, b)(x - a)2 (y - b) + 3! x3 2! x2 y 1 3 2 1 3 + f (a, b)(x - a)(y - b) + f (a, b)(y - b)3 . 2! xy 2 3! y 3 1 3 Kuna 2! = 3! , siis saame selle pol¨ unoomi kirjutada j¨argmiselt:
P3 (x, y) = f (a, b) + f (a, b)(x - a) + f (a, b)(y - b) + x y 1 2 2 2 + 2 f (a, b)(x - a)2 + 2 f (a, b)(x - a)(y - b) + 2 f (a, b)(y - b)2 + 2! x xy y 3 3 1 + f (a, b)(x - a)3 + 3 2 f (a, b)(x - a)2 (y - b)+ 3! x3 x y 3 3 +3 2 f (a, b)(x - a)(y - b)2 + 3 f (a, b)(y - b)3 . xy y n k 1 k k Pn (x, y) = f (a, b)(x - a)k-i (y - b)i . (6.61) k! i=0 i xk-i y i k=0
25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) f (P1 ). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Lokaalsed ekstreemumid on seotud funktsiooni statsionaarsete punktidega. Funktsiooni z = f (P ) statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti P , kus ke- htivad v~ordused fx1 (P ) = fx2 (P ) = . . . = fxm (P ) = 0 (ehk grad f (P ) = 0). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Olgu funktsioonil z = f (P ) punk- tis P1 lokaalne ekstreemum ja eksisteerigu osatuletised fx1 (P1 ), fx2 (P1 ), . . . , fxm (P1 ). Siis fx1 (P ) = fx2 (P ) = . . . = fxm (P ) = 0, st P1 on funktsiooni f statsionaarne punkt.
26) Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. Olgu P1 funktsiooni f (x, y) statsionaarne punkt, st fx (P1 ) = fy (P1 ) = 0. T¨ ahistame: fxx (P1 ) fxy (P1 ) 2 A = = fxx (P1 )fyy (P1 ) - fxy (P1 ) . fyx (P1 ) fyy (P1 )
Siis kehtivad j¨ argmised v¨ aited. 1. Kui A > 0 ja fxx (P1 ) 0 ja fxx (P1 ) > 0, siis on funktsioonil f punktis P1 lokaalne miinimum. 3. Kui A Lagrange 'i funktsioon. Tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. Kahemuutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. Vaatleme n¨ uu¨d u ¨lesannet kahemuutuja funktsiooni z = f (x, y) ekstreemumite ehk suurima ja v¨ahima v¨ a¨artuse leidmiseks lisatingimusel (x, y) = 0 , (6.62) kus on etteantud kahemuutuja funktsioon. M¨argime et v~orrand (6.62) m¨a¨ arab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemum¨ ulesande la- hendamisel leida funktsiooni z = f (x, y) graafiku madalaim ja k~orgeim punkt joone (x, y) = 0 kohal. Tingliku ekstreemum¨ ulesande lahendamisel saab kasutada selle u¨lesandega seotud nn Lagrange'i funktsiooni. Lagrange'i funktsioon konstrueeritakse sell- iselt, et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga korrutatud lisatingimust m¨ a¨ arav funktsioon . Seega on antud u ¨ lesande korral on Lagrange'i funktsioon j¨ argmine: F (x, y, ) = f (x, y) + (x, y) . (6.63) Leidub R nii, et funktsiooni f (x, y) ekstreemumid lisatingimusel (x, y) = 0 saavutatakse Lagrange'i funktsiooni F (x, y, ) statsionaarsetes punktides. J¨arelikult tuleb punkte (x, y), kus f saavutab tingliku ekstreemumi, otsida funktsiooni F statsionaarsete punktide hulgast. Funktsiooni F statsionaarsed punktid on teatavasti sellised kus Fx (x, y, ) = Fy (x, y, ) = 0. Asendades nen- desse seostesse funktsiooni F valemi (6.63) p~ohjal saame j¨argmised v~orrandid:
fx (x, y) + x (x, y) = 0 , fy (x, y) + y (x, y) = 0 . (6.64) Ilmselt on funktsiooni F statsionaarseid punkte (st (6.64) lahendeid ) rohkem kui funktsiooni f tinglikke ekstreemumeid. T~oepoolest, miski ei garanteeri, et s¨ usteemi (6.64) lahend (x, y) rahuldaks ekstreemum¨ ulesandes n~outud tingimust (x, y) = 0. Seega tuleb (6.64) lahendite hulgast v¨alja selekteerida eelk~ oige sel- lised mis rahuldavad tingimust (x, y) = 0. M¨argime et s¨ usteem (6.64) sisaldab 3 tundmatut x, y ja kuid ainult 2 v~orrandit. Lisatundmatu v~oimaldab meil t¨aiendada s¨ usteemi (6.64) kolmanda v~orrandiga (x, y) = 0 viies sellega tund- matute ja v~orrandite arvud omavahel v~ordseks. Saame j¨argmise s¨ usteemi: fx (x, y) + x (x, y) = 0 fy (x, y) + y (x, y) = 0 (6.65) (x, y) = 0 .
Tingimusliku ekstreemum¨ ulesande lahendi leidmiseks lahendataksegi 3×3 v~orrandis¨ usteem (6.65). Siiski v~oib ka (6.65) lahendite hulgas olla selliseid, mis ei ole esialgse ek- streemum¨ ~ ulesande lahendiks . Oigete lahendite v¨alja selekteerimiseks puuduvad u ¨ldised eeskirjad. Seda tuleb teha konkreetse u ¨lesande sisust l¨ahtuvalt.