TEOREETILINE MEHAANIKA (0)

59
J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast
JÜRI KIRS

TEOREETILINE MEHAANIKA

I

Loenguid ja harjutusi staatikast

Tallinn 2010-2011

Käesolev õppevahend on esimene osa neljaköitelisest interneti õpikust, mis on pühendatud teoreetilisele mehaanikale. Selle õpiku osad on:
I) Loenguid ja harjutusi staatikast,
II) Loenguid ja harjutusi kinemaatikast,
III) Loenguid ja harjutusi dünaamikast,
IV) Loenguid ja harjutusi analüütilisest mehaanikast.
Nendest II ja III osa on internetis juba ilmunud, II osa 2008. aastal, III osa 2004. aastal. I osa valmis 2011. aastal. Õpik on mõeldud eeskätt TTÜ üliõpilastele, aga seda võivad edukalt kasutada ka teiste kõrgkoolide ning kolledžite üliõpilased, kus õpitakse teoreetilist mehaanikat.
TTÜ-s õpetatakse praegu teoreetilist mehaanikat kahes osas: 1) Staatika ja Kinemaatika kursus ; 2) Dünaamika kursus. Analüütiline mehaanika bakalaureuse programmi ei kuulu, seda õpitakse lühidalt magistratuuri ja doktorantuuri erikursuses.
Lehekülje häälestus: paber A4, veerised: ülal 25 mm, all 22 mm, vasakul 24 mm, paremal 20 mm.
Autoriõigus J. Kirs 2010-2011

Sissejuhatus

Teoreetiline mehaanika on üks osa mehaanikast. Mehaanika jaotatakse uuritava objekti omaduste järgi järgmisteks osadeks :
1) masspunkti mehaanika,
2) masspunktide diskreetse süsteemi mehaanika,
3) jäiga keha mehaanika,
4) muutuva massiga keha mehaanika (raketimehaanika),
5) deformeeruva keha mehaanika ( elastsus - ja plastsusteooria),
6) masinamehaanika ,
7) vedelike mehaanika (hüdromehaanika),
8) gaaside mehaanika ( aeromehaanika ).
Teoreetiline mehaanika on mehaanika osa, milles uuritakse neist ainult kolme esimest: masspunkti mehaanikat, masspunktide diskreetse süsteemi mehaanikat ja jäiga keha mehaanikat. Kehadest uuritakse teoreetilises mehaanikas niisiis ainult absoluutselt jäikasid kehi.
Absoluutselt jäigaks kehaks nimetatakse sellist keha, mille kahe mistahes punkti vaheline kaugus on jääv suurus ja see ei sõltu kehale toimivatest jõududest. Seega: absoluutselt jäigas kehas ei toimu iialgi mitte mingisuguseid deformatsioone. On aga selge, et absoluutselt jäiga keha mõiste on abstraktsioon, sest kõik reaalsed kehad tegelikult ikkagi deformeeruvad välisjõudude mõjul. Igapäevases praktikas me aga näeme, et rakendatud jõudude toimel on need deformatsioonid üldiselt väga väikesed ja paljudes ülesannetes võib nad esimeses lähenduses jätta arvestamata. See asjaolu õigustabki jäiga keha konseptsiooni kasutamist teoreetilises mehaanikas.
Teoreetiliseks mehaanikaks nimetatakse teadust, mis uurib materiaalsete kehade paigalseisu ja liikumise üldisi seadusi seoses nende kehade vastastikuste mõjudega.
Ülesannete iseloomu järgi jaotatakse teoreetiline mehaanika üldiselt nelja ossa :
1) staatikaks ,
2) kinemaatikaks,
3) dünaamikaks ,
4) analüütiline mehaanika.
Staatikaks nimetatakse mehaanika osa, milles antakse üldine õpetus jõududest ja uuritakse jõudude mõju all olevate materiaalsete kehade tasakaalu tingimusi.
Kinemaatikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse kehade liikumise geomeetrilisi omadusi arvestamata nende kehade inertsust ega neile kehadele mõjuvaid jõudusid.
Dünaamikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumise seadusi neile kehadele rakendatud jõudude mõjul.
Analüütiliseks mehaanikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumist ja tasakaalu neile kehadele rakendatud jõudude mõjul kasutades variatsioonarvutust, aga ka diferentsiaal - ja integraalarvutust.
Teoreetiline mehaanika kuulub loodusteaduste hulka. Tema aluseks on katsetest saadud seadused, mis peegeldavad loodusnähtuste seda klassi, mis on seotud materiaalsete kehade liikumisega. Teoreetiline mehaanika on väga tähtsaks teaduslikuks baasiks paljudele tehnika harudele ja tehnilistele distsipliinidele, nagu näiteks tugevusõpetus, elastsus- ja plastsusteooria, masinate ja mehhanismide teooria, masinaõpetus, masinaelemendid , rakettide liikumise arvutus jms. Teoreetilise mehaanika seadused ja meetodid lubavad uurida ning selgitada tervet rida nähtusi meid ümbritsevas maailmas. Kõigele sellele toetudes võib öelda, et teoreetiline mehaanika kuulub baasteaduste hulka ja selle teadmine on hädavajalik paljude teiste teaduste õppimiseks.
Mehaanika, nii nagu geomeetriagi, on kõige vanem teadus ühiskonna ajaloos. Tema tekkimine ja areng on vahetult seotud praktilise elu vajadustega, ning tootlike jõudude arengu ja tehnika tasemega igal selle arengu etapil.
Kõige varem tekkis staatika. Vanaaja grandioossete ehitiste – püramiidide ja templite – püstitamisel kasutati mitmesuguseid lihtsamaid mehaanilisi seadmeid, nagu näiteks plokki , kangi, kaldpinda. Vajadus mehaanika järgi ilmes ka laevanduses ja sõjanduses . Esimesed teadmised mehaanikast olid puht empiirilised . Mehaanika kui teadus kujunes välja antiikses Kreekas. Mehaanika alusepanijaks loetakse loetakse Kreeka filosoofi Aristotelest (384-322 e.m.a.). Tema oli ka see, kes võttis kasutusele termini mehaanika. Aristotelese tööde hulgast võib leida ka traktaadi kangi ja mitmete teiste lihtmasinate tasakaaluõpetusest.
Kõige kuulsamaks teadlaseks aga, kes antiikses Kreekas mehaanikat uuris, oli kahtlemata Archimedes (287-212 e.m.a.). Ta andis täpse ja üldise lahenduse kangi ülesandele, andes kangi seadusele täiesti tänapäevase kuju. Peale selle tõi ta sisse raskuskeskme mõiste ja uuris selle leidmist . Ta andis ka geomeetrilise staatika alused ja uuris vedelike üleslüket. Peale selle võib tema töödest leida isegi jõu momendi algeid. Archimedese panus tolleaegse mehaanika arengusse on niivõrd suur, et paljud autorid peavad hoopis teda mehaanika aluspanijaks.
Mõni sõna ka veel teistest teadlastest. Kui piirduda siin staatika arenguga (kinemaatika ja dünaamika arengust on lühidalt juttu vastavalt teises ja kolmandas osas), siis tuleb nimetada veel kolme väga tähtsat teadlast.
Leonardo da Vinci (1452-1642) uuris kaldpinnal oleva keha tasakaalu probleemi ja lahendas selle ülesande. Tema uuris ka liugehõõret, tehes sellega seoses ilmatu palju katseid. Leonardo da Vinci tõi mehaanikasse jõu momendi mõiste.
Pierre Varignon (1654-1722) uuris tasakaalu kolme jõu mõjul ja lahendas selle probleemi. Tema võttis kasutusele jõuhulknurga võtte jõudude liitmisel. Varignon täpsustas ja viimistles jõu momendi mõistet, andes jõu momendile just sellise kuju, nagu me seda tänapäeval tunneme . Varignon defineeris ja tõestas kuulsa teoreemi resultantjõu momentidest, mis tänapäeval kannabki Varignoni nime.
Louis Poinsot ( 1777 -1859) defineeris oma kuulsas traktaadis ”Staatika elemendid” 1803 . aastal kõik staatika aksioomid ja esitas need just sellisel kujul, nagu me neid tänapäeval tunneme. Tema andis kahe või enama paralleeljõu liitmise võtte, tema tõi sisse jõupaari mõiste ja andis kogu jõupaaride teooria. Poinsot võttis kasutusele reaktsioonjõu mõiste, ilma milleta me tänapäeva mehaanikat ette ei kujutagi. Poinsot andis ka jõusüsteemi taandamise teooria ja esitas vaba jäiga keha tasakaalutingimused. Seega paistab, et Poinsot panus staatika arengus on vist kõige suurem ja võib öelda, et pärast Poinsot’d on staatika lõplikult välja arenenud.
Kinemaatika rajajaks loetakse G. Galileid (1564-1642), aga väga palju andis kinemaatika arengusse ka L. Euler. Sellest võib lugeda õpiku teise osa sissejuhatuses .
Dünaamika rajajatena nimetatakse võrdselt kahte teadlast: G. Galileid ja Isaac Newton’it ( 1643 -1727). Dünaamika arengust võib lugeda kolmanda osa sissejuhatuses.
Veel tuleb tunnistada, et teoreetiline mehaanika on tegelikult üks osa kõrgemast matemaatikast, kujutades endast kõrgema matemaatika rakenduslikku peatükki. Seega on teoreetiline mehaanika ühtlasi täppisteadus.
I osa. STAATIKA
§1. Staatika aine. Jõud ja jõusüsteemid
Staatikaks nimetatakse mehaanika osa, milles antakse üldine õpetus jõududest ja uuritakse jõudude mõju all olevate materiaalsete kehade tasakaalu tingimusi.
Staatika põhiprobleemideks on:
1) jõudude liitmine ja lahutamine, ning jäigale kehale mõjuva jõusüsteemi
taandamine lihtsamale kujule,
2) jäikadele kehadele mõjuvate jõusüsteemide tasakaalutingimuste määramine.
Staatika üheks tähtsamaks kategooriaks on jõud. See, mida jõud endast kujutab, selle kohta on meil maast madalast aprioorselt mingi ettekujutus juba olemas. Kuna aga teoreetiline mehaanika on täppisteadus, siis püütakse siin kõik mõisted defineerida. Seetõttu antakse ka jõu definitsioon. Kõige levinum ja ka täpsem jõu definitsioon on järgmine:
Jõuks nimetatakse vektoriaalset suurust, mis väljendab ühe materiaalse keha mehaanikalist toimet teisele kehale ja mille tulemuseks on kehade liikumise muutus või keha osakeste vastastikuse asendi muutus (deformatsioon).
See mehaanikaline toime võib esineda kas kehade vahetu kokkupuute tulemusena või teatud vahemaa tagant, s.t. välja kaudu (näiteks gravitatasiooonijõud).
Nagu jõu definitsioonis öeldud , jõud on vektoriaalne suurus ja seetõttu läheb tema iseloomustamiseks vaja kolme suurust:
1) rakenduspunkti ,
2) suunda,
3) arvväärtust (moodulit).
Jõu dimensioon SI-süsteemis on njuuton , lühendatult N. 1 njuuton on selline jõud, mis annab osakesele massiga 1 kg kiirenduse 1 m/s2. Graafiliselt kujutatakse jõudu noolena, mille pikkus vastab jõu mooduli suurusele, mille suund vastab jõu mõjumise suunale ja mille võib joonistada kahte moodi: kas saabuvana vastavasse rakenduspunkti või lähtuvana sellest.
Joonis 1.1
Joonisel 1.1 kujutatud talale AB on muude jõudude kõrval ( raskusjõud ja reaktsioonijõud , mis on joonisel näitamata) rakendatud punkti C jõud
ja punkti D jõud . Jõud
on kujutatud saabuvana punkti C, jõud
lähtuvana punktist D.
Jõudude ja nende mõju iseloomustamiseks võetakse kasutusele veel üks äärmiselt tähtis mõiste, selleks on jõu mõjusirge. Jõu mõjusirgeks nimetatakse sirget, mille peal jõuvektor asetseb. Selle määramiseks lihtsalt pikendame jõuvektorit kui sirget mõlemale poole ja mõjusirge ongi käes. Näiteks sirge KL joonisel 1.1 on jõu
mõjusirge.
Esitame siinkohal veel terve rida määratlusi ja lauseid, mis puudutavad jäigale kehale rakendatud jõudusid ja nende kogumeid.
Lause 1. Jäigale kehale mõjuvate jõudude kogumit nimetatakse jõusüsteemiks.
Järgmises lauses defineeritakse ekvivalentsete jõusüsteemide mõiste. Millal on kaks jõusüsteemi ekvivalentsed?
Lause 2. Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teise jõusüsteemiga nii, et keha paigalseisus või liikumises midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nimetatakse ekvivalentseteks jõusüsteemideks.
Selle võib kirja panna näiteks nii: .
Järgmises lauses defineeritakse tasakaalus oleva jõusüsteemi mõiste. Millist jõusüsteemi nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks?
Lause 3. Jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale jäigale kehale ei kutsu esile selle liikumist, nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks.
Laused 2 ja 3 on väga tähtsad laused ja nendega me puutume edaspidi lausa igal sammul kokku.
Laused 2 ja 3 võimaldavad nüüd ühtlasi kommenteerida staatika põhiprobleeme. Nende põhiprobleemide alusel võib öelda, et staatikas on kaks põhiülesannet:
1. põhiülesanne: jäigale kehale mõjuva jõusüsteemi taandamine lihtsamale kujule,
2. põhiülesanne: jäigale kehale mõjuva jõusüsteemi tasakaalutingimuste määramine.
Milleks on vaja jõusüsteeme taandada? Asi on selles, et jäigale kehale võib olla rakendatud kümneid, või isegi sadu jõudusid. Sellist jõusüsteemi on väga tülikas uurida ja lahendada. Seepärast võetaksegi kätte ja taandatakse jõusüsteem (kasutades selleks mingit valitud tsentrit) nii, et asendatakse esialgne keeruline jõusüsteem ekvivalentselt palju, palju lihtsamaga, seda on juba väga lihtne uurida. Ekvivalentne asendus tähendab seda, et uuel, palju lihtsamal jõusüsteemil on jäigale kehale täpselt sama mõju, mis esialgsel keerulisel süsteemil . Seega on jõusüsteemi taandamine lihtsamale kujule väga vajalik ja sageli esilekerkiv ülesanne.
Järgmises lauses defineeritakse jõusüsteemi resultandi mõiste. Tuleb välja (nagu hiljem näeme), et mitte igasugust jõudude geomeetrilist summat ei saa nimetada resultandiks.
Lause 4. Kui antud jõusüsteem on ekvivalentne üheainsa jõuga, siis seda jõudu nimetatakse antud jõusüsteemi resultandiks.
Jõusüsteemi resultant ei ole olemas sugugi alati. Jõusüsteemi geomeetriline summa on olemas alati, sest jõudusid võib ju alati geomeetriliselt liita. Resultanti alati olemas ei ole. Küsimus ongi selles, millal võib jõudude geomeetrilist summat nimetada resultandiks ja millal mitte? Sellele küsimusele annabki lause 4 vastuse.
Lisame selgituseks veel ( teoorias ette rutates): oletame, et mingile jäigale kehale on rakendatud terve rida jõudusid. Teostame selle jõusüsteemi taandamise mingisse valitud tsentrisse, mille tulemusena antud jõusüsteem asendub ekvivalentselt palju lihtsama jõusüsteemiga. Suvalise jõusüsteemi taandamisel on üldjuhul tulemuseks aga see (seda näeme hilisemates paragrahvides), et saadakse üks jõuvektor (mis on rakendatud valitud taandamistsentrisse) ja lisaks sellele veel üks jõupaar . Sellisel juhul aga see jõuvektor ei ole resultant, sest ta ei asenda esialgset jõusüsteemi ekvivalentselt üksinda, vaid koos jõupaariga. Sellisel juhul on see jõud esialgse jõusüsteemi peavektor, aga mitte resultant. Ta on küll geomeetriline summa, aga mitte resultant. Kui aga esialgse jõusüsteemi taandamisel valitud tsentrisse selgub , et see üks summaarne jõupaar on võrdne nulliga, siis nimetatakse saadud ühte jõuvektorit tõesti resultandiks, sest ta asendab esialgset jõusüsteemi üksinda, ilma jõupaarita. Siis on jõudude geomeetriline summa ühtlasi resultandiks.
Nüüd veel mõned lihtsad, kuid vajalikud laused.
Lause 5. Välisjõududeks nimetatakse jõudusid, millega antud kehale mõjuvad teised kehad.
Lause 6. Sisejõududeks nimetatakse jõudusid, millega antud keha osad mõjuvad üksteisele.
Lause 7. Jõudu, mis on rakendatud keha mingis punktis, nimetatakse koondatud jõuks.
Lause 8. Jõude, mis mõjuvad antud ruumiosa või pinnaosa kõikidele punktidele, nimetatakse jaotatud jõududeks.
Joonisel 1.1 talale AB rakendatud jõud
ja
on koondatud jõud. Toome siin näiteid ka jaotatud jõu kohta. Jaotatud jõudu nimetatakse ka jaotatud koormuseks.
A) Ühtlaselt jaotatud jõud.
Joonis 1.2
Joonisel 1.2 toodud varda AB osale DB on rakendatud jaotatud jõud, mis mõjub vardaosa DB igale punktile. Antud juhul on tegemist ühtlaselt jaotatud jõuga, sest vektorite alguspunkte ühendav sirge on paralleelne vardaga AB. Jaotatud jõudu iseloomustatakse intensiivsusega, mille dimensioon on , s.t. Njuutonit meetri kohta. Jaotatud jõud tähistatakse väikese tähega , tavaliselt kas q või p, joonisel 1.2 on see q. On selge, et ühtlaselt jaotatud jõu korral on intensiivsus konstantne . Üldjuhul võib aga jaotatud jõu jaotusseadus olla suvaline muutuv suurus, suvaline funktsioon.
Absoluutselt jäikade kehade puhul jaotatud jõud asendatakse resultandiga, mis on koondatud jõud. See resultant rakendatakse jaotuskujundi raskuskeskmesse ja tema moodul on võrdne jaotuskujundi pindalaga. Siin näites on jaotuskujundiks ristkülik (joonis 1.2). Raskuskeset me veel õppinud ei ole (seda õpitakse staatikaosa lõpus), aga juba keskkoolist on meile teada, et rist -küliku raskuskese asub diagonaalide lõikepunktis. Tegelikult joonisel resultant
otse jaotus-kujundi raskuskeskmesse ei rakendata, vaid jõudu
nihutatakse sealt oma mõjusirge sihis nii, et tema rakenduspunkt asuks siiski varda peal. Seega on resultant rakendatud siin punkti K ja ühtlase jaotuse tõttu on tingimata
(joonis 1.3). Resultandi dimensioon on Njuuton (N).
Joonis 1.3
Jaotatud jõu resultant tähistatakse suure tähega, siin olgu see . Selle mooduli leidmiseks korrutame koormuse intensiivsuse koormuse jaotuslõigu pikkusega (siin ). Saame
(1.1)
Juhul, kui koormus on vardaga risti, siis on see ühtlasi võrdne koormuse jaotuskujundi pindalaga. Antud juhul on selleks ristküliku pindala. Kuna ristküliku kõrgus on q, siis moodulilt
, ehk tõepoolest .
B) Lineaarse seaduse järgi jaotatud jõud.
Joonis 1.4
Siin mõjub varda AB osale DB jaotatud jõud q, mille intensiivsus muutub lineaarse seaduse kohaselt, mida antud juhul võib nimetada ka kolmnurkseaduseks. Kuna meil on tegemist absoluutselt jäiga vardaga, siis võib ja tulebki ka siin selle jaotatud jõu asendada üksikjõuga . See tuleb rakendada jaotuskolmnurga raskuskeskmesse. Kolmnurga raskuskeskme leidmist õpime küll alles staatika lõpuparagrahvides, aga olgu siinkohal etterutates öeldud, et kolmurga raskuskese asub mediaanide lõikepunktis. Seda on täisnurkse kolmnurga puhul väga lihtne leida ja seda õppisime juba keskkoolis. Ka siin me resultanti
otseselt jaotuskolmnurga raskus-keskmesse ei rakenda, vaid nihutame jõudu
sealt oma mõjusirge sihis nii, et tema rakendus-punkt asuks siiski varda peal. Seetõttu ongi joonisel 1.4 jõud
rakendatud punkti K, kusjuures keskkooliteadmiste põhjal võib kohe öelda, et
ja . Joonisel 1.4 toodud tähistustes on siin
. Milline on siin resultandi
moodul? See on võrdne jaotuskujundi pindalaga, järelikult
(1.2)
Olgu veel siinkohal öeldud, et jaotusseaduseks võib üldjuhul olla kuitahes keeruline funktsioon , kus x on varda pikikoordinaat alguspunktiga varda vasemas otspunktis A.
§2. Staatika aksioomid
Kõik staatika teoreemid ja võrrandid on tuletatavad mõningatest lähtekohtadest, mida tunnustatakse ilma matemaatiliste tõestusteta ja mida nimetatakse staatika aksioomideks. Staatika aksioomid kujutavad endast hulgaliste katsete ja vaatluste üldistamise tulemust kehade tasakaalu ja liikumise alal, mida on praktika korduvalt kinnitanud. Seega on staatika üles ehitatud rangel aksiomaatilisel alusel. Selleks on vajalikud järgmised 6 aksioomi.
1. aksioom . Tasakaalu aksioom.
Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget.
See aksioom määrab ära lihtsaima tasakaalus oleva jõusüsteemi.
Joonis 2.1
Joonisel 2.1 ongi toodud näide tasakaalus oleva jõusüsteemi kohta, mis koosneb kahest jõust. Need jõud peavad ilmtingimata asuma ühe ja sama mõjusirge peal, selleks on siin sirge AB. Teiseks peavad need jõud olema moodulilt võrdsed ja suunalt täpselt vastupidised. Seetõttu vektorites peab olema
(2.1)
aga kuna nende jõudude moodulid on võrdsed, siis
, ehk
(2.2)
Muidugi, need jõud võivad olla suunatud ka teineteise rakenduspunkti poole, nagu on näidatud joonisel 2.2
Joonis 2.2
See aksioom annab sisuliselt meile informatsiooni selle kohta, milline näeb välja kõige lihtsam tasakaalus olev jõusüsteem. Seega: kõige lihtsam tasakaalus olev jõusüsteem koosneb kahest jõust ja sedagi juhul, kui on täidetud aksioomis olevad nõuded – need kaks jõudud peavad olema moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende mõjusirged peavad ilmtingimata ühtima.
Sellest järelduvalt: ainult ühest jõust (ja mitte rohkem) koosnev jõusüsteem ei ole kunagi tasakaalus.
Siia tuleb lisada veel ühe äärmiselt tähtsa märkuse: see aksioom kehtib ainult absoluutselt jäiga keha korral, sest deformeeruva keha puhul kutsuvad joonistel 2.1 ja 2.2 näidatud jõud esile rakenduspunktide A ja B nihkumise, s.t. liikumise. Seega ei ole sellised jõud deformeeruva keha korral tasakaalus.
2. aksioom. Superpositsiooni aksioom.
Tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist.
Kui mingi jõusüsteem on tasakaalus, siis ei ole oluline mitu jõudu sellesse süsteemi kuulub. Selles võib olla kasvõi mitusada jõudu, kuid kui see süsteem on tasakaalus, siis võib selle rahulikult jäigale kehale lisada või ära võtta. Muidugi, keha peab olema absoluutselt jäik.
Nendest kahest aksioomist võib teha väga tähtsa järelduse.
Järeldus 1.-st ja 2.-st aksioomist:
Jõu mõju absoluutselt jäigale kehale ei muutu, kui jõu rakenduspunkt viia mööda selle jõu mõjusirget keha mistahes punkti.
Tõestame selle järelduse. Oletame, et joonisel 2.3 kujutatud absoluutselt jäiga keha punkti A on rakendatud jõud . Tõmbame otsekohe ka jõu
mõjusirge, mis joonisel on tähistatud DE.
Joonis 2.3
Võtame nüüd jõu
mõjusirgel DE suvalise punkti, näiteks B. Teise aksioomi põhjal võib kehale lisada tasakaalus oleva jõusüsteemi. Rakendamegi punkti B jõusüsteemi . Kuna see peab olema tasakaalus, siis on 1. aksioomi alusel
Nende kahe jõu mooduli ning suuna valik on siiamaani vaba. Valimegi nende moodulid nii, et oleks täidetud tingimus
ja teiseks – tingimata peab jõudude
ja
mõjusirge ühtima jõu
mõjusirgega. Sel juhul saame joonisel 2.4 kujutatud pildi.
Joonis 2.4
Nüüd aga, konstruktsiooni põhjal moodustavad jõud
ja
tasakaalus oleva jõusüsteemi. Tõepoolest, on siin ju , ning konstruktsiooni põhjal . Seega jõud
ja
moodustavad 1. aksioomi põhjal tasakaalus oleva jõusüsteemi, ja 2. aksioomi põhjal võib jõusüsteemi
eemaldada. Mõju jäigale kehale sellega ei muutu. Pärast neid toimingut saamegi pildi, mis on kujutatud joonisel 2.5.
Joonis 2.5
Seega oleme rangelt aksioomidele toetudes saanud alg-pildist joonisel 2.3 lõpp-pildi joonisel 2.5. Kuna kõik toimingud teostati rangelt aksioomidele 1 ja 2 toetudes, siis järelikult on lõpp-pildil 2.5 kujutatud, punkti B rakendatud jõud
absoluutselt ekvivalentne algpildil 2.3 kujutatud punkti A rakendatud jõuga . Järelikult võib tõepoolest jäigale kehale rakendatud jõudu nihutada mööda selle jõu mõjusirget mistahes keha punkti. Seega lühidalt:
Jõud on libisev vektor , seda võib alati nihutada mööda oma mõjusirget teise punkti.
Rõhutame siin veelkord eriliselt kahte väga tähtsat asja.
1) Jõudu võib nihutada ainult mööda selle jõu mõjusirget. Jõudu ei tohi üle kanda paralleelselt iseendaga mingisse punkti väljaspool esialgset mõjusirget.
2) See järeldus kehtib ainult absoluutselt jäiga keha korral. Deformeeruva keha puhul see järeldus ei kehti. Deformeeruva keha puhul me ei tohi jõudu nihutada mööda oma mõjusirget! Et see nii on, seda võib selgitada ühe väga lihtsa näite varal. Olgu meil tegemist näiteks defor -meeruva vardaga AB. Vaatame seda varrast kolmes eri olukorras, mis on toodud joonistel 2.6.
a)
b)
c)
Joonis 2.6
Rakendame deformeeruva varda AB otstele moodulilt võrdsed jõud , nagu on näidatud joonisel 2.6a. Nagu näha, on need jõud moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende jõudude mõjusirged kattuvad. Teemegi nüüd sellise operatsiooni, et nihutame jõudu
mööda selle mõjusirget nii, et ta rakenduspunkt oleks varda keskpunktis C. Nüüd teeme sama operatsiooni jõuga , nihutame ka seda mööda tema mõjusirget uue rakenduspunktiga punktis C. Oleme saanud olukorra, mis on kujutatud joonisel 2.6b. Nüüd jätkame nende jõudude nihutamist veelgi edasi. Nihutame jõudu
mööda selle mõjusirget nii, et ta rakenduspunkt oleks hoopis varda vasakul otsas A. Ka jõudu
nihutame (mööda tema mõjusirget) nii, et selle rakenduspunkt oleks punktis B. Nüüd oleme saanud olukorra, mis on kujutatud joonisel 2.6c. Võrdleme neid olukordi .
Kui oleks tegemist absoluutselt jäiga vardaga, siis oleks esimese ja teise aksioomi põhjal siin tegemist täiesti ekvivalentsete juhtumitega. Teisiti on aga lugu siis, kui varras on deformeeruv. Sel juhul on vardad nendel kolmel juhul ju täiesti erinevas olukorras, mis ei ole ekvivalentsed! Tõepoolest, joonisel 2.6a kujutatud juhul on tegemist venitatud vardaga, joonisel 2.6c aga surutud vardaga. Joonisel 2.6b toodud olukorras on varras täiesti pingevaba. Need ei ole üldse ekvivalentsed, need on täiesti erinevad situatsioonid. Seega: jõudu võib nihutada mööda tema mõjusirget ainult absoluutselt jäiga keha puhul, deformeeruvate kehade puhul seda teha ei tohi.
3. aksioom. Jõurööpküliku aksioom.
Keha ühes punktis rakendatud kahel jõul on resultant, mis rakendub samas punktis ja mida kujutab antud jõududele ehitatud rööpküliku diagonaal.
Joonis 2.7
Siin kirjutame, et
(2.3)
ja ütleme, et jõud
on jõudude
ja
resultantjõud ehk resultant.
Mida nimetatakse resultandiks, see oli ära toodud juba paragrahvis 1. Meeldetuletuseks olgu siin see veelkord lühidalt kirja pandud: kui mingi jõusüsteem on ekvivalentne üheainsa jõuga (ja mitte mingit teist jõudu ega jõupaarigi), siis seda ühte jõudu nimetatakse antud jõusüsteemi resultandiks.
See aksioom on väga tähtis aksioom ja tal on palju sügavam sisu kui esimesel pilgul paistab. See, et jõudude geomeetrilist summat saab leida rööpküliku reegli abil, see on meile teada juba keskkoolist. Kuid asi on selles, et iga geomeetriline summa ei ole sugugi resultant!! See aksioom ütleb otse: juhul, kui jõud
ja
on rakendatud ühte ja samasse punkti, siis on nende jõudude geomeetriline summa ühtlasi resultant!
Kasutades järeldust esimesest ja teisest aksioomist võime kolmandat aksioomi absoluutselt jäiga keha puhul isegi veidi laiendada. Kuna absoluutselt jäiga keha puhul jõudu võib nihutada mööda tema mõjusirget, siis ei olegi vaja, et jõud
ja
oleks rakendatud ühte ja samasse punkti. Piisab sellest, et nende jõudude mõjusirged lõikuksid mingis punktis.
Olgu näiteks toodud jõud
ja
nii, nagu on näidatud joonisel 2.8.
Joonis 2.8
Jõud
on rakendatud absoluutselt jäiga keha punkti K, jõud
aga punkti L, kuid jõudude
ja
mõjusirged lõikuvad punktis A. Kasutame järeldust esimesest ja teisest aksioomist ning nihutame jõudusid
ja
mööda nende mõjusirgeid nii, et nende rakenduspunktid oleksid punktis A.
Joonis 2.9
Nüüd kasutame kolmandat aksioomi
Joonis 2.10
Ja saamegi kätte, et jõud on jõudude
ja resultant, mis on rakendatud punkti A ja mida kujutab rööpkülku diagonaal.
Märkus : eelöeldu põhjal on selge, et kui jõudude
ja
mõjusirged ei lõiku, vaid on kiivsirged , siis jõududel
ja
pole resultanti. Geomeetrilise summa võib alati leida, see on olemas küll, aga resultanti sel juhul ei ole.
4. aksioom. Mõju ja vastumõju aksioom.
Ühe keha mõjumisel teisele esineb alati võrdvastupidine vastumõju piki sama sirget.
Joonis 2.11
Kui keha A mõjutab keha B jõuga , siis ilmtingimata mõjutab keha B keha A vastumõjuga . See vastumõju on moodulilt võrdne jõuga , aga suunalt vastupidine ; kusjuures jõudude
ja
mõjusirged ilmtingimata kattuvad. Seega: mõjuga kaasneb alati vastumõju! Ei ole kunagi mõju ilma vastumõjuta. See on tegelikult universaalne mehaanika reegel, mis kehtib olenemata sellest, kas kehad liiguvad või on paigal. Masspunkti (või osakeste) dünaamikas tutvume sellesama reegliga Newtoni kolmanda seaduse, ehk veel dünaamika kolmanda aksioomi nime all.
Aga tähelepanu: jõud
ja
ei moodusta tasakaalus oleva jõusüsteemi, sest nad on rakendatud erinevatele kehadele. Kummalegi kehale (A ja B) mõjub ikkagi konkreetne nullist erinev jõud. Mõjust ja vastumõjust kui jõududest rääkides seega
, kuid
Järeldus 4.-st aksioomist:
Jäiga keha kõik sisejõud moodustavad tasakaalus oleva jõusüsteemi, mille võib keha tasakaalutingimuste uurimisel kõrvale jätta.
Tõepoolest, kõigepealt – jäiga keha võib jaotada väga paljudeks väikesteks osakesteks. Siis suvalist kaks naaberosakest mõjutavad neljanda aksioomi põhjal teineteist jõududega, mis on oma olemuselt keha sisejõud ja mis on: moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ning nende mõjusirged ühtivad. Kuna keha osakesi on üldiselt väga, väga palju, siis on kehas selliseid kahekaupa paarisjõudusid ka väga palju. Kuid kui me vaatame nüüd jäika keha kui tervikut , siis tekib hoopis teine olukord. Sel juhul moodustavad kõik kahekaupa olevad jõud
ja
esimese aksioomi põhjal tasakaalus olevad jõusüsteemid, mille võib teise aksioomi põhjal kõrvaldada. M.o.t.t.
Seega: jäiga keha tasakaalu uurimisel võib keha kõik sisejõud kõrvale jätta ja arvestame ainult kehale mõjuvate välisjõududega.
Sama järeldus laieneb ka jäikade kehade süsteemile. Kui me uurime seda süsteemi kui tervikut, siis kehade omavahelised mõjujõud on süsteemi kui terviku seisukohalt ju ka süsteemi sisejõud, mille võib süsteemi kui terviku uurimisel kõrvale jätta.
5. aksioom. Jäigastumise aksioom.
Deformeeruva keha tasakaal antud jõusüsteemi mõjul ei muutu, kui keha lugeda deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks.
Selles aksioomis öeldav väide on ilmne. Näiteks on selge, et keti tasakaal ei muutu, kui lugeda keti lülid üksteisega jäigalt ühendatuks. Kuna paigalseisvale kehale mõjub enne ja pärast jäigastumist üks ja sama jõusüsteem, siis võib V aksioomi väljendada veel teisiti:
Tasakaalu puhul rahuldavad mistahes deformeeruvale kehale mõjuvad jõud samu tingimusi mis absoluutselt jäiga keha puhul.
Ainult: absoluutselt jäiga keha puhul on need võrrandid nii tarvilikud kui piisavad keha uurimiseks, deformeeruva keha puhul aga ainult tarvilikud kuid mitte piisavad.
Jäigastumise printsiipi rakendatakse inseneriarvutustes tegelikult väga laialdaselt. See printsiip lubab tasakaaluvõrrandite koostamisel mistahes muutuvat keha või konstruktsiooni vaadelda kui absoluutselt jäika ning rakendada sellele jäiga keha staatika meetodeid . Kui seejärel osutub, et sel teel saadud võrranditest ei piisa ülesande lahendamiseks, siis koostatakse veel täiendavaid võrrandeid , mis arvestavad ka deformatsioone.
6. aksioom. Sidemete aksioom.
Iga seotud keha võib vaadata vaba kehana, kui jätta ära kõik sidemed ja asendada nende mõju ekvivalentselt sidemete reaktsioonijõududega.
Selle aksioomi põhjal võib mistahes seotud keha korral kasutada vaba keha tasakaalu-võrrandeid, ainult sidemed tuleb eelnevalt eemaldada ja nende mõju asendada ekvivalentselt reaktsioonijõududega. See aksioom on äärmiselt tihti kasutatav aksioom, seda kasutame ju tegelikult iga tasakaaluülesande lahendamisel.
Mis on side ja kuidas see asendatakse reaktsioonijõududega, seda näeme kohe järgmises paragrahvis.
§3. Jõudude geomeetriline liitmine
Kuna jõud on vektoriaalne suurus, siis jõud liidetakse alati vektoriaalselt, ehk geomeetriliselt.
I. Kahe jõu liitmine.
Ia. Jõudude rakenduspunktid on ühes ja samas punktis.
Oletame, et punkti A on rakendatud kaks jõudu:
ja
(vt. joonist 3.1). Liidame need jõud. Seda tehakse rööpküliku reegli abil.
Joonis 3.1
Konstrueerime rööpküliku nii, et selle külgedeks on parajasti liidetavad jõuvektorid
ja . Summavektor
on suunatud täpselt mööda selle rööpküliku diagonaali, ning tema rakenduspunktiks on seesama punkt A. Valemina märgime geomeetrilise summa nii
(3.1)
Selle summavektori mooduli saame koosinusteoreemi abil
(3.2)
Märkusena olgu siin öeldud, et selle geomeetrilise liitmise võib joonisel realiseerida ka veidi teisiti. Selleks, et leida jõudude
ja
summavektori, ei pea me ju välja joonistama kogu rööpküliku. Aitab sellest, et me joonistame välja ainult ühe kolmnurga. Diagonaal
jaotab rööpküliku kaheks kolmnurgaks, joonistame nendest ainult ühe välja, see annab meile ju ka summavektori . Loogilise mõtlemise põhjal on kohe selge, et ükskõik kumma kolmnurga me välja joonistame. Joonisel 3.2 on välja joonistatud alumine kolmnurk.
Selle meetodi realiseerimiseks tuleb muidugi kõigepealt jõud
paralleelselt iseendaga ümber paigutada nii, et tema alguspunkt langeks täpselt ühte jõu
lõpp-punktiga. Summavektor
on sel juhul esimese jõu alguspunktist teise jõu lõpp-punkti.
Joonis 3.2
Seda reeglit nimetatakse jõudude liitmise kolmnurga reegliks. Tulemus tuleb täpselt sama, mis rööpküliku reegli abil saadu.
Ib. Jõudude rakenduspunktid ei ole ühes ja samas punktis, kuid nende jõudude mõjusirged
lõikuvad (punktis A).
Joonis 3.3
Sel juhul nihutame neid jõudusid mööda oma mõjusirgeid nii, et nende rakenduspunktid oleksid mõlemal punktis A ja seejärel liidame need jõud geomeetriliselt rööpküliku reegli kohaselt, mis oli toodud just eelmises alapunktis Ia. Summavektor on ka siin: .
Joonis 3.4
Ic. Liidetavate jõudude mõjusirged on kiivsirged ruumis.
Igasuguseid vektoreid saab geomeetriliselt alati liita. Geomeetriline summa on alati olemas. Nii on ka siin, sellel juhtumil. Oletame, et jõudude
ja
mõjusirged on kiivsirged. Selleks, et leida nende jõudude geomeetrilist summat, tuleb üks nendest jõududest paralleelselt iseendaga ümber paigutada teise jõu alguspunkti. Pärast seda on nendel jõududel üks ja sama alguspunkt ning me võime need jõud rahulikult liita rööpküliku reegli põhjal, mis on toodud alapunktis Ia.
Ka siin saame, et summavektor
Tähelepanu! Summavektor ei ole üldiselt resultant. Juhul, kui on täpselt teda, et jõudude
ja
rakenduspunktid on ilmtingimata ühes ja samas punktis (juhtum Ia), siis on summavektor ka resultant. Teiseks – kui on täpselt teada, et liidetavate jõudude
ja
mõjusirged lõikuvad ilmtingimata ühes ja samas punktis (juhtum Ib), siis on nende summavektor ka resultandiks. Kui aga jõud
ja
asetsevad kiivsirgetel, siis nende summavektor ei ole mingil juhul resultandiks. Ja lõpuks – juhul, kui jõudude
ja
rakenduspunktide kohta ei ole mingit teadet, siis ka ei või nende summavektorit nimetada resultandiks; see on lihtsalt summavektor ehk geomeetriline summa.
Kokkuvõtteks: Summavektor leitakse rööpküliku reegli (või kolmnurga reegli) abil. Summavektor on alati olemas, resultant aga vahest harva. Siin paragrahvis uurimegi seda, kuidas leida summavektorit, mitte resultanti.
II. Kolme mitte ühes tasapinnas asetsevate jõudude liitmine.
Oletame, et jõud ,
ja
on suvalise suuruse ja suunaga, ning nende mõjusirged võivadki olla kiivsirged. Sel juhul on esimeseks operatsiooniks nende jõudude ümberpaigutamine paralleelselt iseendaga nii, et nende rakenduspunktid oleksid ühes ja samas punktis (millises, see ei ole tähtis). Pärast seda liidame need jõud kahekaupa rööpküliku reegli põhjal.
Joonis 3.5
Kõigepealt liidame rööpküliku reegli abil näiteks jõud
ja , saame tulemuseks jõu .
Seejärel liidame geomeetriliselt jõud
ja , kokkuvõttes saamegi kõigi kolme jõu vektor -summa
ehk
Nagu jooniselt 3.5 on näha, on summavektor
suunatud mööda röötahuka diagonaali. See on selline rööptahukas, mis on konstrueeritud just liidetavate jõuvektorite ,
ja
baasil. Seetõttu nimetatakse sellist geomeetrilise liitmise moodust rööptahuka reegliks.
III. Paljude jõudude geomeetriline liitmine. Jõuhulknurga meetod.
Oletame, et meil on vaja liita geomeetriliselt palju jõudusid. Sel juhul on kõige lihtsam hakata neid paarikaupa omavahel liitma, kasutades selleksiga kord kolmnurga reeglit. Esimene operatsioon on näiteks liita geomeetriliselt jõud
ja , saame
Nüüd liidame geomeetriliselt kokku saadud
ja , saame
Seejärel liidame
ja
j.n.e. analoogiliselt. Saame näiteks järgmise pildi, kui meil on sellised 5 jõudu:
Joonis 3.6
Võetud näites (joonis 3.6) on meil vaja liita geomeetriliselt 5 jõudu. Viimaseks tehteks on siin seega . Just selle liitmisega saimegi kätte lõpptulemuse. Kokkuvõttes on siin
Üldjuhul aga
(3.3)
Kujundit , mis tekib jõuvektorite , , .....,
koosmõjul, nimetatakse jõuhulknurgaks. Võetud näites on jõuhulknurk lahtine , tema alguspunkti on A ja lõpp-punkt B; ta koosneb viiest osast.
Summavektor alati algab esimese vektori alguspunktis (A) ja lõpeb viimase vektori lõpp-punktis (B).
Sellist meetodit jõudude geomeetriliseks liitmiseks nimetatakse jõuhulknurga meetodiks .
Sellist meetodit liitmiseks kasutades ei joonistata tavaliselt välja vahetulemusi , , ....... vaid lihtsalt paigutatakse kõik jõud ümber paralleelselt iseendaga nii, et iga järgmine jõud oleks rakendatud eelmise jõuvektori lõpp-punkti. Lõpuks tõmmatakse summavektor esimese jõuvektori alguspunktist viimase jõuvektori lõpp-punkti.
Märkus: summavektor ei kuulu jõuhulknurga koosseisu!
IV. Kahe jõu lahutamine.
Jõudude lahutamine on vastandtehe liitmisele. Seda tehakse väga lihtsalt.
Selleks, et lahutada
, tuleb tegelikult jõule
juurde liita jõu , s.t.

Oletame, et meil on tegemist järgmiste jõududega, mis on kujutatud joonisel 3.7a.
a) b)
Joonis 3.7
Meil on vaja leida . Selleks leiame kõigepealt jõu . See on selline jõud, mis on moodulilt võrdne jõuga , kuid sellega täpselt vastupidine. Sellise jõu joonistamine
baasil on väga lihtne, see on toodud joonisel 3.7b. Nüüd liidamegi kokku vektoriaalselt jõud
ja .
Joonis 3.8
Lõpuks paigutame tulemusvektori
veel paralleelselt iseendaga ümber esialgsetele jõududele joonisel 3.7a.
Joonis 3.9
Sellelt jooniselt ongi näha põhimõte, kuidas saab jõudude lahutamisel tulemusvektori otsekohe ära joonistada: tulemusvektor tuleb tõmmata vahe
tagumise liikme (siin) otspunktist esimese liikme (siin) otspunkti.
V. Jõu lahutamine komponentideks.
Eespool nägime kuidas saab kahte jõudu kokku liita üheks, summavektoriks. Mitmete probleemide lahendamisel on mõnikord aga vaja teha just vastupidi: lahutada üks jõud komponentideks.
Vaatame, kuidas näiteks saab jõudu lahutada kaheks komponendiks. Selleks võib kasutada kas rööpküliku või kolmnurga reeglit. Lihsam on siin rööpküliku reegel. Mis me siin sisuliselt teeme? Sisuliselt me tahame konstrueerida ristküliku nii, et etteantud jõud
oleks sellele diagonaaliks. Loogilise mõtlemise alusel on aga selge, et kui meil ei ole mitte midagi muud, kui ainult see jõud , mis on diagonaaliks, siis selle diagonaali alusel võib konstrueerida lõpmata palju rööpkülikuid. Midagi peab olema veel ette antud. Väga sageli on ette antud komponentid sihid. Võtame järgmise näite.
Joonis 3.10
Olgu meil antud selline jõud, nagu on kujutatud joonisel 3.10, ja just sellised 2 sihti. Jõu
tuleb lahutada kaheks komponendiks nii, et komponentjõud oleksid suunatud piki sihte 1 ja 2. Nende andmete korral on vastava rööpküliku konstrueerimine väga lihtne.
Joonis 3.11
Kui aga on antud hoopis nii
Joonis 3.12
Siis on lahendus järgmine
Joonis 3.13
Siinjuures üks tähtis märkus. Nendes ülesannetes on kõik 3 jõudu rakendatud ühte ja samasse punkti, mistõttu kehtib siin staatika 3. aksioom. Selle põhjal on jõud
siin resultandiks jõusüsteemile , ehk: jõud
on ekvivalentne just selle kahest jõust koosneva jõu-süsteemiga . Ükskõik kumba võib lahendamiseks kasutada (kas
või ), lõpptulemus sellest ei olene. Veel üks täpsustus: see jutt kehtib vaid siis, kui jõud ,
ja
jäävadki punkti A, kui neid ei kanta üle paralleelselt iseendaga.
Lahutada antud jõud mitmeks komponendiks tähendab leida selline mitme jõu süsteem, mille geomeetriliseks summaks on antud jõud. Ka selle ülesande lahendamiseks peab olema midagi ette antud, näiteks komponentide sihid. Muidu on sellel ülesandel lõpmata palju lahendeid.
§4. Sidemete reaktsioonid
Kehad jagunevad vabadeks ja seotuteks. Jäika keha nimetatakse vabaks, kui ta ei ole teiste kehade külge kinnitatud ja teda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse.
Kui aga seda teha ei saa, s.t. kui vaadeldava keha liikumist takistavad mingid teised kehad, siis nimetatakse vaadeldavat keha seotuks. Kõike seda, mis takistab antud keha liikumist ruumis, nimetatakse sidemeks . Näiteks laual lebavale raamatule on laud sidemeks, sest laud takistab raamatul allapoole liikuda . Teiseks – hingedele asetatud uksele on hinged sidemeks, sest nad takistavad uksel piidast eemalduda kaugemale. Kolmandaks – nööri otsa riputatud kuulikesele on nöör sidemeks j.n.e.
Keha, püüdes mõjuvate jõudude toimel sooritada liikumist, mida side takistab, mõjub sellele mingi jõuga. Seda jõudu nimetatakse surveks sidemele. Kuid staatika IV aksioomi põhjal mõjub sel juhul side kehale moodulilt võrdse, kuid suunalt vastupidise jõuga. Jõudu, millega side mõjub kehale, takistades selle üht või teist liikumist, nimetatakse sideme reaktsioonijõuks ehk lihtsalt sidemereaktsiooniks. Muide, lubatud on ka termin reaktsioonjõud.
Kui nüüd rääkida kõikidest olemasolevatest jõududest, siis need jaotatakse aktiivseteks jõududeks ja passiivseteks jõududeks. Aktiivse jõu iseärasus on see, et ta suund ja moodul ei sõltu vahetult teistest kehale mõjuvatest jõududest. Aktiivseks jõuks on näiteks: keha raskusjõud, teiseks – meie poolt keha mingisse punkti spetsiaalselt rakendatud jõud, kolmandaks – vedru elastsusjõud j.n.e.
Sidemereaktsioonid on passiivsed jõud. Tema arvväärtus oleneb küll kehale rakendatud aktiivsetest jõududest, ja tihti ka ülejäänud sidemetest . Nii, kui muudame mingit aktiivset jõudu, muutub otsekohe ka sidemereaktsioon . Sidemeraktsioomi moodul on ette teadmata. Kui side takistab aga keha liikumist mitmes suunas, siis on ette teadmata ka sidemereaktsiooni suund. Need tundmatud leitakse staatika ülesande lahendamise tulemusena. Sidemereaktsioonide õige määramine etendab staatika ülesannete lahendamisel väga tähtsat osa. Eriliselt tähtis on seejuures sidemereaktsiooni õige suuna märkimine joonisele. Kui kasvõi üksainus sidemereaktsioon on joonisele kantud valesti, siis on kogu see staatika ülesanne täiesti vale. Kõik sidemereaktsioonid peavad olema joonisele kantud absoluutselt õigesti. Nüüd tekib küsimus: kas on olemas üldreeglit selle kohta, kuhu on üldiselt suunatud mingi sidemereaktsioon? On küll, ja see üldreegel on järgmine:
Sidemereaktsiooni suund on vastupidine selle suunaga, kuhu side ei luba kehal liikuda.
Vaatamegi nüüd tähtsamaid sidemetüüpe ja seda, kuhu on igal vastaval juhul suunatud sidemereaktsioon.
1. Toetumine siledale pinnale.
Kõigepealt, mida nimetatakse siledaks pinnaks? Siledaks pinnaks nimetatakse sellist pinda, mille vastu hõõrdumist võib antud keha puhul mitte arvestada. Seega on sel juhul tegemist ideaalselt sileda ja ideaalselt libeda pinnaga. Vaatame juhumeid joonisel 4.1.
a) b) c)
Joonis 4.1
Siin on kõigil kolmel juhtumil tegemist keha toetumisega siledale pinnale. Sellised tugipinnad ei takista keha liikumist mööda pinda, vaid ainult liikumist tugipinna poole puutepunktist tõmmatud ühise normaali sihis. Tugipinna reaktsiooni suund on vastupidine sellele suunale. Joonistel 4.1a ja 4.1b on reaktsioonjõu suund risti aluspinnaga. Joonisel 4.1c on ta risti kehade puutepunktis tõmmatud ühise puutujatasapinnaga. Toereaktsioon on alati rakendatud vaadeldavale kehale (siin kehale A) ja siin kasutatakse sisuliselt sidemetest vabastamise aksioomi. Me peame endale ette kujutama, et sidet enam ei ole ja see on asendatud sellise reaktsioonjõuga.
Olgu siinkohal selgituseks toodud veel üks seik. Esimesel pilgul võib jääda mulje, et takistatud on ka selline liikumine, nagu on kujutatud joonisel 4.2a.
a) b)
Joonis 4.2
Kuhu on siis ikkagi suunatud reaktsioonjõud? Aga asi on selles, et sellise ”viltuse” liikumise, nagu on kujutatud joonisel 4.2a, võib ju lahutada kaheks komponendiks: liikumiseks mööda pinda ja liikumiseks risti pinnaga pinna sisse. Nii ongi näidatud joonisel 4.2b. Sealjuures on aga selge, et liikumine mööda pinda (joonisel 4.2b roheline vektor) ei ole ju takistatud. Takistatud on siiski ainult liikumine risti pinnaga pinna sisse. Sellest tulenebki aluspinna reaktsiooni põhireegel: Sileda toetuspinna reaktsioon on alati risti pinnaga kuhu keha toetub . Seega on pinna reaktsioonjõud suunatud mööda toetuspinna normaali. Sellest siis ka nimi: selliseid reaktsioonjõudusid nimetatakse normaalreaktsioonideks, ning tähistatakse sageli . Aga, veelkord tähelepanu: selline on pinnareaktsioon ainult sileda pinna puhul, kui hõõrdumist (ega ka veeretakistust ) ei arvestata.
Kui suvalise kujuga keha toetub suvalise kujuga pinnale, siis on toereaktsioon rakendatud vaadeldavale kehale, ning seejuures kokkupuutepunkti, ja see toereaktsioon on suunatud risti kehade ühise puutujatasapinnaga.
2. Juhtum, kui üks kokkupuutuvatest pindadest osutub punktiks.
Reaktsiooonjõu suuna reegel on sel juhul väga lihtne:
Kui üks kokkupuutuvatest pindadest osutub punktiks, siis reaktsioonjõu suund on risti teise pinnaga. Ehk veidi täpsemini: reaktsioonjõu suund on risti teise pinna puutujatasapinnaga, mis on tõmmatud teisele kehale puutepunktis. Reaktsioonjõud on seejuures rakendatud muidugi vaadeldavale kehale.
Vaatame juhtumit, mis on kujutatud joonisel 4.3.
Joonis 4.3
Siin on vaatluse all viltune varras AB, mis on kinnitatud ülemises otsas liigendiga seina külge ja punktis D toetub teravikule. Siinjuures pöörame tähelepanu alumisele toetusele punktis D, sest ülemist toetust liigendi A abil vaatame veidi hiljem.
Punktis D toetub vaadeldav varras AB teravikule (mis moodustabki sideme). Siin ongi kaks kokkupuutuvat pinda, millest alumine osutub punktiks. Seetõttu on sideme reaktsioonjõud risti ülemisega. Sideme reaktsioonjõud, mis siin on tähistatud , on rakendatud vaadeldavale vardale AB rakenduspunktiga puutepunktis D ja on risti vardaga AB.
Siinkohal olgu tehtud veel üks tähtis märkus: tuleb õigesti valida reaktsioonjõu suund tema mõjusirgel. Selgituseks antud juhul – üldreegel ütleb, et reaktsioonjõud
on risti vardaga AB, kuid selleks on ju kaks võimalust: jõud
võib olla risti vardaga AB suunaga ülespoole, või hoopis suunaga allapoole? Kumb ikkagi võtta? Vastuseks sellele küsimusele on sobilik meelde tuletada, et me ju sisuliselt kasutame sellistel juhtumitel sidemetest vabastamise printsiipi – me eemaldame sideme ja asendame selle mõju ekvivalentselt jõuga. See aga tähendab, et jõud
peab varrast AB üleval hoidma, mitte alla tõmbama. Seetõttu on selge, et reaktsioonjõud
peab siin olema risti vardaga AB suunaga üles, mitte alla – just nii, nagu on joonisel 4.3 kujutatud.
Võtame veel teisegi näite. Vaatame varrast AB, mis toetub nukile D, ja lisaks sellele veel alumise otsaga B nii seina vastu kui ka põrandale .
Joonis 4.4
Siin on vardal AB kokku 3 toetuspunkti: alumises otsas B kaks toetuspunkti ja veel toetus punktis D. Vaatame igatüht nendest eraldi.
Võtame kõigepealt toetuse punktis D. Siin on 2 kokkupuutuvat pinda, millest alumine osutub punktiks. Seetõttu on reaktsioonjõud
risti ülemisega, s.t. risti vardaga AB. Kuna jõud
peab varrast AB üleval hoidma, siis on
suunatud risti vardaga ülespoole, just nii nagu joonisel 4.5 on kujutatud.
Teiseks vaatame varda toetust alumise otsaga põrandale. Ka siin on 2 kokkupuutuvat pinda, millest ülemine (varras) osutub punktiks. Seetõttu on reaktsioonjõud
risti alumisega, s.t. risti põrandaga. Seejures on jõud
suunatud risti põrandaga ülespoole (kuna ta peab varrast üleval hoidma, mitte alla tõmbama).
Kolmandaks vaatame varda toetust alumise otsaga seina vastu. Siingi on 2 kokkupuutuvat pinda, millest vasakpoolne (varras) osutub punktiks. Seetõttu on reaktsioonjõud
risti parempoolsega, s.t. risti seinaga .
Kui lisada siia veel varda raskusjõu
ka, siis olemegi saanud joonisel 4.5 kujutatud jõudude skeemi antud juhtumi jaoks.
Joonis 4.5
3. Kinnitus painduva sidemega – nööriga, trossiga või painduva ahelaga.
Reaktsioonjõud painduva sideme korral on alati suunatud piki seda sidet, kusjuures painduv side alati tõmbab, ta kunagi ei lükka . Neid painduvaid sidemeid vaadatakse teoreetilises mehaanikas alati venimatutena. Kui painduvat sidet nimetada kergema meeldejätmise huvides üldiselt lihtsalt nööriks, siis jätamegi meelde järgmise tähtsa reegli:
Nööri reaktsioonjõud on alati suunatud piki nööri, kusjuures nöör alati tõmbab, ta kunagi ei lükka.
See reegel võimaldab reaktsioonjõud kergesti joonisele kanda järgmistel juhtudel.
a) b) c)
Joonis 4.6
Joonisel 4.6a on raske kera lae külge kinnitatud nööriga. Vaatame selle kera tasakaalu. Kerale on nöör sidemeks. Nööri reaktsioon on suunatud piki nööri, kusjuures nöör hoiab kera üleval, nööris on tõmme . Peale seda mõjub kerale muidugi ka raskusjõud . Ongi kogu jõudude pilt juhtumil 4.6a. Nööride tõmbed tähistatakse tavaliselt kas
(ingliskeelsest sõnast Tensile force ehk ka Tension), aga ka tähega , või ka .
Joonisel 4.6b on raske varras AB kinnitatud kahe nööriga. Kuna vaatluse all on raske varras, siis on sidemeteks need kaks nööri. Kummalgi juhul on sideme reaktsioonjõud suunatud piki nööri, kusjuures kummalgi juhul on tegemist tõmbejõududega, need hoiavad varrast üleval, nad ei lükka varrast.
Joonisel 4.6c on vaatluse all süsteem , mis koosneb raskest kastist 1, nöörist 2 ja kergest ümarplokist 3. Sellele süsteemile on ülemine nöör AB sidemeks, mis hoiabki vaadeldavat süsteemi antud asendis tasakaalus. Ploki 3 seisukohast vaadatuna on sellel nööril kaks haru. Kummaski harus on oma tõmme, kummalegi tuleb joonistada oma reaktsioonjõu piki vastavat nööriharu. Need on siin tähistatud
ja . Et pilt oleks täielik, lisame joonisele ka keha 1 raskusjõu , keha 3 oli eelduse kohaselt kerge, selle raskus on seetõttu null ja seda me ei joonista.
Siinjuures olgu tehtud veel üks tähtis märkus: staatikas, kui on tegemist tasakaalus oleva (liikumatu) süsteemiga, on ühe ja sama nööri kõikides harudes moodulilt ühe ja samasuurune jõud. Seetõttu on siin , ehk lihtsamalt . Seda tuleb ülesannete lahendamisel alati arvestada kui teadaolevat fakti. Tõepoolest, loogiline mõtlemine ütleb meile sedasama: kui üks jõud (kas
või ) oleks moodulilt suurem, siis hakkaks plokk 3 ju pöörlema oma telje ümber. Kuna seda ei toimu, siis peab . Kui jõud on
ja
erinevad, sest neil on erinevad suunad, kuid nendel jõududel on võrdsed moodulid.
Olgu selle juhtumi kohta toodud veel üks näide, mis käsitleb vaadeldava keha kinnitust painduva kuid raske keti abil.
Joonis 4.7
Siin on vaatluse all raske varras AB. See on vasemalt poolt kinnitatud nööriga AE, paremalt otsast raske painduva ketiga BD. Vasakul otsas nööri puhul on reaktsioonjõud
suunatud piki nööri, mis hoiab varrast üleval (sellest ka suund antud sihil). Kuidas aga on parema otsaga? Kuna selles otsas on kinnitus raske ketiga, siis raske kett võtab oma raskuse tõttu ju kõverjoone kuju. Reaktsioonjõu vardale punktis B joonistatakse piki puutujat, mis on tõmmatud ketikõverale punktis B. Joonisel 4.7 on see jõud tähistatud .
4. Kinnitus kerge jäiga vardaga.
Vaatame juhtumit, mis on kujutatud joonisel 4.8. Siinjuures huvitab meid praegu varda AB kinnitus paremas otsas B, kus ongi varda AB kinnitus kerge jäiga varda BD abil (vasakul otsas A on kinnitus liigendiga aluse küljes kinni, seda vaatame veidi hiljem). Kõigepealt selgituseks: milline varras on kerge jäik varras? See on selline varras, mis on küll absoluutselt jäik, aga mille kaal on null, mistõttu sellel endal mingit raskusjõudu ka ei ole.
Joonis 4.8
Kuna uurimise all on varras AB, siis on kerge jäik varras BD sellele muidugi sidemeks. Side BD mõjub vaadeldavale vardale AB mingi jõuga. Milline on see jõud, milline on selle sideme-reaktsiooni
moodul ja suund? Et sellele küsimusele vastata, selleks vaatame kõigepealt iseseisva objektina hoopis varrast BD. See on liikumatult tasakaalus, nii nagu kogu joonisel 4.8 kujutatud objektki. Seega on tegemist kaalutu jäiga varda BD tasakaaluga. Mitu jõudu sellele vardale BD seejuures mõjub? Ainult 2 jõudu. Üks nendest on jõud, millega varras AB mõjutab praegu vaadeldavat varrast BD, tähistame selle . Teine on aluse reaktsioonjõud . Rohkem ei olegi, sest varras BD on ju kaalutu. Seega on varras BD tasakaalus kahe jõu mõjul:
ja . Kuid sel juhul peab varras BD oma kahe jõuga tingimata alluma staatika esimesele aksioomile: Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget. Järelikult peab varda BD korral kehtima just selline jõudude pilt, nagu on kujutatud joonistel 4.9. Märkus: selguse huvides on varras BD siin kujutatud suurendatult.
a) b)
Joonis 4.9
Siin on tegelikult 2 võimalust, kuid mõlemad täidavad esimese aksioomi nõudeid: mõlemal juhul on 2 mõjuvat jõudu ( ja ) moodulilt võrdsed, suunalt vastupididsed ja nende mõjusirged kattuvad mõlemel juhul. Seejuures pöörame tähelepanu jõule, see on jõud, millega varras AB mõjutab kerget varrast BD. Tuleb välja, et see jõud on igal juhul kerge varda BD sihiline!
Pöördume nüüd tagasi põhivarda AB uurimisele. Küsimus jäi enne õhku rippuma: milline on jõud , millega side BD mõjutab varrast AB? Kuid nüüd on ju selge, et see on vastumõju jõule, millega varras AB mõjutab kerget varrast BD (ja mida me just äsja uurisime). Seega on jõud
ja
mõju ja vastumõju. Kuid sel juhul neljanda aksioomi põhjal on need jõud moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende mõjusirged kattuvad. Järelikult:
sidemereaktsioon
peab tingimata olema kerge jäiga varda BD sihiline.
Tähtis märkus: see kehtib ainult juhul, kui jäigale kinnitusvardale mõjub ainult 2 jõudu, s.t. kui ei arvestata ei selle raskusjõudu (kinnitusvarras peab olema kaalutu), ega mingit muud lisajõudu ei tohi samuti olla.
Seega on juhtumil joonisel 4.8 vaja joonistada reaktsioonjõu
kerge varda BD sihiliselt. Aga kummale poole seejuures sellel sihil suunata jõu ? Vastus: jõu
täpne suund nimetatud sihil oleneb kõikidest vardale AB mõjuvatest aktiivsetest jõududest. See suund võib olla nii ühele kui ka teisele poole, kõik oleneb mõjuvatest jõududest. Näiteks sellisel juhtumil:
Joonis 4.10
Siin mõjub vardale AB muidugi raskusjõud , aga veel kaks lisajõudu
ja , mis on suunatud üldiselt allapoole. On kohe selge, et siin peab jõud
olema suunatud ülespoole, et varrast AB üleval hoida.
Aga sellisel juhtumil:
Joonis 4.11
Siin mõjub vardale AB kaks lisajõudu
ja , mis mõjuvad üldjoontes altpoolt suunaga ülespoole. Olgu siin veel kohe teada, et varda raskus G on väga palju väiksem lisajõududest F1 ja F2. Sel juhul peab jõud
olema suunatud allapoole, et varrast AB tasakaalus hoida.
See, mis aga on mõlematel juhtumitel ühine, on see, et reaktsioonjõud
on igal juhul kerge varda BD sihiline.
Just nii peamegi arutlema , kui tahame määrata reaktsioonjõu
täpset suunda kerge varda sihil. Kahjuks alati me aga nii teha ei saa, sest tihti mõjub osa jõudusid altpoolt üles, teine osa aga ülespoolt allapoole. Kui sealjuures mingeid täpsemaid teateid nende jõudude moodulite kohta ei ole, siis ei oskagi me öelda, kuhupoole antud sihil suunata reaktsioonjõu. Sel juhul tuleb lihtsalt ühe võimaluse kahest välja valida, see nii joonisele kanda ja nii ülesanne lõpuni lahendada. Kui seejuures ülesande lahendamisel tuli selle reaktsioonjõu arvuline väärtus positiivne, siis see tähendab, et algul valitud reaktsioonjõu suund kerge kinnitusvarda sihil osutuski õigeks. Kui aga reaktsioonjõu arvuline väärtus tuli negatiivne, siis see tähendab, et reaktsioonjõu tegelik suund on esialgu võetud suunale täpselt vastupidine. Nii või teisiti, aga ülesande lahendamise lõpuks on reaktsioonjõu suurus ja täpne suund alati käes.
5. Kinnitus silindrilise liigendiga, liigend on aluse küljes kinni.
Seda kinnitust nimetatakse ka silindriliseks šarniiriks. Silindrilise liigendi ehk šarniiri puhul on aluse küljes liikumatu polt (joonisel 4.12 sinakas ümmargune polt). See polt on pandud läbi keha küljes oleva silindrilise ava. Poldi telgjoont nimetatakse liigendi (ehk šarniiri) teljeks. Joonisel 4.12 kujutatud silindrilise liigendi telg on joonisega risti ja läheb mööda z-telge.
a) b)
Joonis 4.12
Selline liigend võimaldab varrast (keha) vabalt pöörata ümber liigendi telje. Pööramine ümber liigendi telje takistatud ei ole. Olgu seejuures veel mainitud, et sellise liigendi puhul sisehõõrdumist ei arvestata. Oletatakse, et poldi pind, nagu ka keha küljes oleva silindrilise ava sisepindki on absoluutselt siledad.
Teiseks, siledate pindade puhul ei ole keha liigutamine piki liigendi telge (s.t. piki z-telge) samuti absoluutselt takistatud. Seega sellise liigendi reaktsioonjõul ei tohi olla liigendi teljesihilist komponenti. See tähendab, et silindrilise liigendi reaktsioonjõud on alati liigendi teljega risti.
Mis on siis takistatud? Takistatud on keha otsa A eemaldamine liigendi teljest eemale (xy-tasapinnal) kuitahes väikese suuruse võrra. Seda liigutamist takistabki silindrilise liigendi reaktsioonjõud, mis nagu nägime, on risti liigendi teljega. Täpsemalt öeldes me kasutame siin sidemetest vabastamise printsiipi, eemaldame sideme ja asendame selle mõju ekvivalentselt jõuga (sideme reaktsioonjõuga).
Kuna see reaktsioonjõud on risti liigendi teljega, siis on ta xy-koordinaattasapinnal. Kuhu ta seejuures on suunatud ja kui suur on ta moodul, see ei ole ülesande lahendamise algul üldsegi teada. Reaktsioonjõu
suurus ja suund oleneb kõikidest kehale rakendatud aktiivsetest jõududest. Nii, kui me kasvõi ühte nendest muudame, muutub üldiselt ka reaktsioonjõu suurus ja suund.
Üks võimalus ülesandeid lahendada selliste kinnituste puhul ongi selline, et me joonistame silindrilise liigendi reaktsioonjõu
punktist A suvalises suunas (tavaliselt esimesse veerandisse) suvalise pikkusega.
Joonis 4.13
Muidugi, nii võikski ülesannet lahendada, aga see on siiski väga ebamugav. Asi on selles, et siin sellise meetodi puhul tuleb mängu kaks tundamatut: jõu arvväärtus FA ja nurk γ. Need on väga erineva kvaliteediga suurused. Võrrandites on sees üheaegselt nii FA kui ka kas
või . Sellist süsteemi on väga ebamugav lahendada. Seetõttu minnakse teist teed. Selline reaktsioonjõud lahutatakse kaheks teineteisega ristiolevaks komponendiks, need on x- ja y-telje suunalised komponendid.
Joonis 4.14
Kui jõud
joonistada (nagu ikka) esimesse veerandisse, siis komponendid on suunatud x- ja y-telje positiivses suunas. Need tähistatakse vastavalt
ja , kus indeks näitab punkti, kus on liigend. Seega juhul, kui silindriline liigend on aluse küljes kinni, kõlab reegel järgmiselt:
Kui silindriline liigend on aluse küljes kinni, siis tuleb liigendi punktist joonistada kaks jõudu teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades.
Muidugi, et lahendus oleks korrektne , tuleb teljed enne määrata ja tingimata joonisele kanda.
Märkus: sama reegli alla käib ka see juhtum, kui silindriline liigend ühendab kahte keha, näiteks kahte varrast (vaata näidet 5, kus liigend A ühendab kehi 1 ja 2).
Kui kõik jõud on joonisele kantud, tasakaaluvõrandid välja kirjutatud ja see süsteem ära lahen-datud, siis tulemuseks saame
ja
arvulised väärtused pluss või miinus märgiga. Märk näitabki siin ära, kas vaadeldav komponentvektor on tegelikult vastava telje positiivses või negatiivses suunas. Kui nüüd pärast ülesande lahendamist kanda komponentvektorid
ja
joonisele õiges suunas õige pikkusega, siis kokku nad annavadki kogureaktsiooni
õiges suunas, nii nagu tegelikult on. Milline on selle kogureaktsiooni moodul? Kui komponentvektorid
ja
on määratud, siis Pythagorase järgi muidugi
(4.1)
Kogureaktsiooni
suuna võib määrata nurga γ abil. Joonise 4.14 põhjal saame, et
(4.2)
Seega: kui reaktsioonkomponendid
ja
on määratud, siis on täielikult määratud ka kogureaktsioon . Seetõttu ülesannete lahendamisel piirdutaksegi sageli komponentide leidmisega, sest nende põhjal kogureaktsiooni võib igaüks iseseisvalt väga kergesti leida.
Olgu meil antud näiteks selline varras AB, nagu on näidatud joonisel 4.15. See varras on vasakust otsast A kinnitatud liigendiga, mis on aluse küljes kinni. Parema otsa lähedal toetub varras teravikule. Olgu varda koguraskus G, ning olgu talle rakendatud kaks lisajõudu: punkti D jõud
ja punkti E jõud .
Joonis 4.15
Vardal AB on siin kaks sidet. Vasakul otsas A on varras silindrilise liigendiga aluse külje kinni. Paremas otsas B toetub varras otsa lähedal teravikule. Kanname kõik jõud joonisele. Kõigepealt raskusjõud . Selle kanname varda AB keskpunktist C suunaga otse alla (vt joonist 4.16).
Teiseks võtame toetumise teravikule punktis B. Siin on kaks kokkupuutuvat pinda, millest alumine osutub punktiks. Seega peab reaktsioonjõud
olema risti ülemisega, s.t. risti vardaga AB. Antud juhul on ka kohe selge, et jõud
peab siin olema suunatud ülespoole, et kogu seda varrast üleval, hoida, s.t. tasakaalus hoida.
Joonis 4.16
Kolmandaks võtame liigendi A, mis on aluse küljes kinni. Siin tuleb joonistada kaks jõudu teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades. Kuid tähelepanu, selleks tuleb enne x- ja y-teljed joonisele kanda. Võtame telgede alguspunkti punkti A ja suuname x-telje mööda horisontaali paremale, y-telje aga otse üles (nii ongi joonisele 4.16 kantud). Nüüd võimegi joonistada punktist A lähtuvalt reaktsioonkomponendi
x-telje positiivses suunas ja komponendi
y-telje positiivses suunas. Nüüd ongi kõik jõud joonisele kantud, ehk öeldakse veel, et me teostasime jõudude märkimise joonisele. Ülesanne ongi ette valmistatud selleks, et välja kirjutada tasakaaluvõrrandid . Kuidas seda teha, seda näeme hiljem, enne tuleb veel palju teooriat juurde õppida.
6. Kinnitus sfäärilise liigendiga, liigend on aluse küljes kinni.
Seda kinnitust nimetatakse ka sfääriliseks šarniiriks. Sellisel kinnituse puhul on keha küljes ümmargune kand või kuulike , mis saab vabalt pöörelda sfäärilises pesas.
Joonis 4.17
Siin on varda otsas kuulike, see asetseb sfäärilises pesas. Varras võib vabalt pöörelda nii, et ümmargune kuulike pöörleb samaaegselt sfäärilises pesas. Pöörlemine mitte kuidagi takistatud ei ole. Kuid see pöörlemine toimub nii, et kuulikese keskpunkt jääb kogu aeg ühte ja samasse punkti paigale. Kuulikese keskpunkt ei liigu mitte kunagi ja ei saa ruumis mitte üheski suunas mitte natukestki liikuda. Sellise sideme näiteks on kerakujuline kand, mille abil kinnitatakse fotoaparaat statiivi külge.
Sfäärilise šarniiri (liigendi) reaktsioonjõul võib olla mistahes suund. Ette pole teada ei reaktsioonjõu
moodul, ega ka ükski nurk, mille jõud
moodustab koordinaattelgedega (ei x- , ei y- ega z-teljega).
Seetõttu on üldiselt sfäärilise liigendi reaktsioonjõul
olemas nullist erinevad komponendid kõigi kolme koordinaattelje sihis. Arvutuste kergendamiseks lahutatakse ka siin kogureaktsioon
koordinaattelgede suunalisteks komponentvektoriteks. Ainult siin on nullist erinevad kõik kolm komponenti, mis tuleb joonistada vastava koordinaattelje positiivses suunas. Antud näites joonisel 4.17 on nendeks ,
ja
(ei ole sinna joonisele kantud).
Reegel reaktsioonjõu joonistamiseks sfäärilise liigendi korral on seega järgmine:
Sfäärilise liigendi puhul joonista liigendi keskpunktist kolm jõudu üksteisega risti koordinaattelgede positiivsetes suundades.
7. Silindriline liigend, mis toetub ratastele või rullidele.
See on n.n. liikuv tugi, kus rattad omakorda toetuvad mingile alusele. Vaatame näitena järgmist juhtumit.
Joonis 4.18
Raske varras AB, mille punkti D on rakendatud veel lisajõud , on kinnitatud kahe sidemega. Vasakul otsas A on varras kinnitatud liigendi külge, mis on aluse küljes kinni. Paremas otsas B on varras kinnitatud küll ka liigendi külge, aga see liigend on ratastel ja need rattakesed toetuvad kaldpinnale. Otsaga A on asi selge, seda juhtumit me juba käsitlesime sellesama paragrahvi punktis 5. Mis aga teha otsaga B, kus liigend toetub ratastele?
Toereaktsiooni üldreegel ütleb, et reaktsioonjõud on vastupidine selle suunaga, kuhu liikumine on takistatud. Teeme mõttelise eksperimendi. Võtame varda AB vasakpoolsest kinnitusest lahti ...
Joonis 4.19
…ja hoiame varrast ka kinni, et ta oleks ikka selles asendis. On selge, et nüüd me võime varda paremat otsa B rullikul mööda kaldpinda vabalt veeretada. Varda otsa B liikumine kaldpinna sihis ei ole kuidagi takistatud. Takistatud on ainult otsa B surumine risti kaldpinna sisse.
Märkus: igasuguse n.n. „viltuse“ liikumise kaldpinna sisse võime ka siin lahutada kaheks osaliikumiseks, analoogiliselt joonisel 4.2b näidatuga. Siin toimuks üks osaliikumine kaldpinna sihis, see ei ole üldse takistatud. Teine osaliikumine oleks risti kaldpinnaga kaldpinna sisse. Ainult see on takistatud, järelikult peab sellise kinnituse puhul reaktsioonjõud olema vastupidine just selle takistatud liikumisega. Sellest saamegi sellise kinnituse üldreegli:
Kui liigend toetub ratastele, siis on üksainus reaktsioonjõud, mis on risti pinnaga, kuhu rattad toetuvad.
Selle reegli abil võimegi täielikult lõpetada jõudude pildi joonisel 4.18 kujutatud juhtumi jaoks.
Joonis 4.20
8. Varras rullikute vahel.
Vaatame juhtumit, mis on kujutatud joonisel 4.21.
Joonis 4.21
Siin esinevad rullikud paarikaupa. Antud juhul on tegemist kahe paari rullikutega, kokku on siin neljad rullikud. Nende abil on varras AB asetatud mingisse kanalisse . Muidugi, ise asi on see, et ainult nendest rullikutest varda hoidmiseks tasakaalus sellises asendis ei piisa. Midagi peab olema veel, kas veel mingi side või mingi jõud. See on aga praegu kõrvaline küsimus. Antud juhul on kõige tähtsam küsimus see, kuhu on suunatud rullikute paaride K ja L reaktsioonjõud?
Üldreegel sellise kinnituse puhul on analoogiline 7.-ndas alapunktis toodud juhtumiga, kus liigend toetus ratastele. Seega:
Reaktsioonjõud on risti pinnaga, kuhu rullikud toetuvad.
Seega reaktsioonjõud on risti kanali seintega. Aga kummale poole risti? Vaat see on küsimus, millele tihti ei osatagi kohe paugupealt vastata. Kõik oleneb vardale rakendatud aktiivsetest jõududest. Kõik oleneb sellest, kumb pind n.ö. „tööle“ hakkab, siin on kaks võimalust.
A) Kui aktiivsed jõud suruvad varda rullikute K juures vastu alumist kanali seina, …
Joonis 4.22
… siis peab see alumine sein vastu hoidma ja toereaktsioon
on suunatud risti kanali seintega ülespoole.
B) Kui aga aktiivsed jõud suruvad varda rullikute K juures vastu ülemist kanali seina, …
Joonis 4.23
…siis peab ülemine sein vastu hoidma ja toereaktsioon on suunatud risti kanali seintega allapoole.
Kumb siis ikkagi igal konkreetsel juhtumil realiseerub, kumma juhtumi valida? Sama küsimus kerkib ka rullikute paari L puhul. Ka seal tuleb valida.
Siin soovitatakse mitte hakata arutlema, kumb sein töötab, vaid valida lihtsalt ühe suuna kahest välja, ja nii ülesanne lõpuni lahendada. Siin on kõige tähtsam see, et reaktsioonjõud oleks tingimata risti pinnaga, kuhu rullikud toetuvad. Aga kummale poole seejuures, see selgub vastuse märgist ju pärast üheselt niikuinii. Mugavuse ja ilu mõttes võiks valida mõlemal juhul ühe ja sama suuna. Seega antud juhul saaksime sellise pildi, nagu on kujutatud joonisel 4.24. Märkus: teisi jõudusid joonisele kantud ei ole.
Joonis 4.24
9. Kõver kerge jäik varras.
Vaatame juhtumit, mis on kujutatud joonisel 4.25.
Joonis 4.25
Siinjuures huvitab meid varda vasakpoolne kinnitus punktis A. Varras AB, millele võib olla rakendatud veel terve rida jõudusid (ei ole jooniel näidatud), on vasakus otspunktis kinnitatud kerge jäiga vardaga, kuid mis on kõver varras. S.t. see kinnitusvarras on absoluutselt jäik, kuid täiesti kaalutu. Seega — vaatluse all on varras AB, millele kõver kerge varras AD on sidemeks. Kuhu on suunatud sidemereaktsioon ?
Selleks, et seda leida, toimime analoogiliselt 4.-ndas alapunktis toodud juhtumiga, kus uurisime sidemena kerget jäika, kuid sirget varrast. Nimelt, uurime ka siin kõigepealt kerget varrast AD. Sellele mõjub ainult 2 jõudu. Ülemises otsas jõud , millega varrast AD mõjutab varras AB. Alumises otsas jõud , mis on põranda reaktsioonjõud AD suhtes. Rohkem ei ole, sest eelduse kohaselt on kinnitusvarras AD absoluutselt kaalutu. Kuna kinnitusvarras AD on tasakaalus nende kahe jõu toimel, siis peavad need jõud alluma staatika esimesele aksioomile: need jõud peavad olema moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende mõjusirged peavad ühtima. Seega näeb kinnitusvarda AD jaoks jõudude pilt välja nii, nagu on kas joonisel 4.26a või 4.26b.
a) b)
Joonis 4.26
Kumb juhtum realiseerub, see oleneb vardale AB mõjuvatest jõududest.
Kõige tähtsam asjaolu on siin aga see, et jõud
on igal juhul suunatud kõvera varda AD otspunkte ühendava sirge sihis.
Nüüd pöördume tagasi põhivarda AB uurimisele. Varda AB seisukohalt võetuna mõjutab kerge varras AD (kui side) rasket varrast AB jõuga , mis on vastumõju sellele jõule, millega varras AB mõjutas omakorda kerget varrast AD. Nii, et jõud
ja
on mõju ning vastumõju. Seetõttu peavad jõud
ja
olema moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende mõjusirged peavad kattuma. Seetõttu võib järeldada:
Kui sidemeks on kerge jäik, kuid kõver varras, siis reaktsioonjõud on kõvera varda otspunkte läbiva sirge sihiline.
Joonis 4.27
Kummas suunas aga seejuures, see oleneb kõikidest vardale (kehale) rakendatud jõududest. Kui võimalik, paneme pärast arutelu kohe õige suuna. Kui teksti järgi aga ei selgugi, kummale poole see reaktsioonjõud on suunatud, siis valime lihtsalt ühe suuna kahest võimalikust välja ja lahendame ülesande nii lõpuni. Vastuse märk näitab tegeliku suuna pärast niikuinii üheselt ära. Mis peab aga ilmtingimata olema täidetud, on see, et see reaktsioonjõud peab olema kõvera (kuid kerge) varda otspunkte läbiva sirge sihiline.
10. Kaks jäika kerget kinnitusvarrast ühe süsteemina .
Vaatame järgmist varrast.
Joonis 4.28
See on väga sarnane juhtumiga joonisel 4.18, erinevus on varda kinnituses aluse külge otsas A. Joonisel 3.18 oli tegemist liigendiga, mis on aluse küljes kinni. Siintoodud tingmärk aga tähendab, et ots A on aluse külge kinnitatud kahe jäiga kerge vardaga.
Seda ülesannet võiks ju lahendada käesoleva paragrahvi 4. alapunktis toodud toodud reegli abil: kui varras on kinnitatud jäiga kerge varda abil, siis on toereaktsioon kerge varda sihiline. Siin sellel juhtumil on meil tegemist koguni kahe jäiga kerge vardaga, seetõttu tuleks toereaktsioonid punktis A joonistada mõlema kerge varda sihis. Kummale poole vastava varda sihis? Nagu nägime, võib selle isegi vabalt valida. Seega saame siin näiteks järgmise pildi.
Joonis 4.29
Need reaktsioonjõud täidavad kindlalt alapunktis 4 toodud reeglit, nii võiks seega ülesannet lahendada küll (muidugi, jõudusid tuleb siin veel joonistada). Niimoodi lahendades tulevad tasakaaluvõrrandid aga äärmiselt ebamugavad ja seetõttu nii lahendama ei hakata. Teisendame jõudude süsteemi punktis A, kasutades staatika aksioome .
1. Keha ühte punkti A on rakendatud kaks jõudu. Liidame need rööpküliku reegli põhjal kokku.
Staatika kolmanda aksioomi põhjal aga võib öelda kohe, et sellisel juhul on see üks jõud
täiesti ekvivalentne süsteemiga kahest jõust
ja seetõttu nii võib teha küll. Selle tulemusena on punkti A rakendatud üksainus reaktsioonijõud , millel me esialgu ei tea ei suurust ega suunda.
Joonis 4.30
2. Nüüd astume järgmise sammu. Lahutame selle reaktsioonjõu
jälle kaheks komponent -jõuks, seekord võtame aga komponendid koordinaattelgede suundades. Telg Ox olgu, nagu ikka suunatud mööda horisontaali paremale, telg Oy aga otse üles. Saame joonisel 4.31 kujutatud pildi.
Joonis 4.31
Kolmanda aksioomi põhjal saame ka siin, et süsteem jõududest
on täiesti ekvivalentne jõuga . Järelikult nii teha võib küll. Järelikult, kasutades reaktsioonjõudusid
jõuame täpselt samadele tulemustele, nagu oleksime jõudnud jõudu
kasutades; ning ka täpselt samadele tulemustele kui jõudusid
kasutades.
Siit saamegi lihtsa reegli toereaktsioonide joonistamiseks ja ülesande lahendamiseks sel juhul:
kui varda üks ots on kinnitatud kahe kerge vardaga, mis toimivad ühtse süsteemina (joonis 4.28), siis joonistame kaks reaktsioonjõudu teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades.
Võtame ka siin reaktsioonjõud
ja
telgede positiivsetes suundades, pärast vastuse märk (+ või -) näitab täpselt, kuhu vastav jõud tegelikult on suunatud; ning ka seda, kuhu summaarne reaktsioonjõud
tegelikult suunatud on.
Kui nüüd võrrelda seda juhtumit nr 10 eelpool võetud juhtumiga nr 4 siis me näeme, et siin jõudsime lõpuks samale tulemusele jõudude joonistamise suhtes punktis A. Kui veidi mõelda, siis on see ju täiesti loogiline tulemus. Tõepoolest! On ju kinnitustel juhtumitel 4 ja 10 täiesti ühesugune mõju vardale: a) mõlemad lubavad vardal täiesti vabalt pöörelda ümber telje, mis läbib punkti A ja on joonisega risti; b) kumbki ei luba varrast punktist A ära tõmmata, ükskõik mis suunas, ükskõik kui vähe. Seega on juhtumitel 4 ja 10 sisuliselt tegemist ühe ja sama kinnitusega, mis on aga lihtsalt tehniliselt erinevalt realiseeritud.
11. Sissemüüritud varras (tasapinnalise jõusüsteemi korral).
Oletame, et varras AB on seina müüritud punktis A ja kõik vardale rakendatud jõud asetsevad xy-tasapinnas (joonis 4.32). Sel juhul tuleb vardale joonistada punktis A kolm reaktsiooni: kaks reaktsioonjõudu ja ühe reaktsioonmomendi (joonis 4.32). Siin on asi lihtne.
Sissemüüritud vardale tuleb müüringupunktis joonistada: a) kaks reaktsioonjõudu teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades (siin
ja ) ; b) ning ühe momendi , mis tuleb joonistada kaarnoolena ümber müüringupunkti, sealjuures vastupäeva (s.t. momentide positiivses suunas, see olgu öeldud veidi teooriaga etterutates).
Joonis 4.32
Miks nii? Tõepoolest, müüring ei luba ju varrast ära rebida ükskõik millises suunas mitte natukestki – sellest telgedesuunalised reaktsioonjõud
ja . Teiseks, müüring ei luba varrast ka pöörata ümber punkti A, mitte natukestki. Sellest siis reaktsioonmoment , mis seda takistab.
12. Kerge jäik varras lisajõuga.
Juhtum neli käsitles varda AB kinnitusena kerget jäika varrast, millele ühtegi jõudu rakendatud ei olnud. Seal nägime, et sel juhul tuleb vardale AB joonistada (vastavas punktis) reaktsioonjõu selle kerge varda sihis.
Mis aga teha siis, kui kergele kinnitusvardale mõjub mingi jõud? Siis on olukord hoopis teistsugune. Vaatame näiteks järgmist juhtumit.
Joonis 4.33
Siin on varras AB kinnitatud paremalt poolt liigendiga, mis on aluse küljes kinni. Seda juhtumit vaatasime alapunktis 5 ja sellega probleeme ei ole. Mis aga teha otsaga A? Otsast A on varras AB kinnitatud jäiga kerge vardaga AD, kuid sellele vardale mõjub jõud . Sellisel juhul on tegemist hoopis aga teistsuguse olukorraga kui me vaatasime alapunktis 4 ja seetõttu:
siin reaktsioonjõud
ei ole mitte kerge varda sihiline.
Tõepoolest. Kui vaadata korraks kerget jäika varrast AD kui omaette objekti (ei ole siin eraldi toodud), siis sellele ei mõju siin mitte 2, vaid 3 jõudu: a) varrast AD mõjutab ülemine varras AB jõuga ; b) vardale AD mõjub aluspinna reaktsioon
punktis D; c) ning veel punkti K rakendatud jõud . Kolme jõu puhul aga ei kehti esimene staatika aksioom ja seetõttu jõud
ja
ei ole mitte selle kerge varda sihilised . Seega pole jõu
suunast siin mingit aimu! Kokkuvõttes: varda AB punkti A on rakendatud reaktsioonjõud , millest me siin ei tea ei suurust ega suunda. Mis siis teha? Selle probleemi lahendus on tegelikult väga lihtne.
Reaktsioonjõud
lahutatakse kaheks komponendiks koordinaattelgede suundades, joonistatakse eraldi selle komponendid
ja , ning nii lahendatakse ülesanne lõpuni. Kui jõud
ja
on täielikult arvutatud, siis on kerge leida summaarse reaktsiooni
suurust ja suunda. Seega saame järgmised pildid.
a) b)
Joonis 4.34
Siin tuleb uurida ka varrast AD eraldi, joonistades selle jaoks jõudude pildi ning kirjutades ka selle jaoks välja tasakaaluvõrrandid (nagu edaspidi näeme). Siinjuures olgu märkuseks veel öeldud, et joonisel 4.34b olevad reaktsioonjõud
ja
on joonisel 4.34a olevate jõudude
ja
vastumõjud. Seetõttu, kuna on tegemist mõju ja vastumõju printsiibiga, siis on jõud
ja
omavahel moodulilt võrdsed, kuid suunalt täpselt vastupidised. Samuti on jõud
ja
moodulilt võrdsed, kuid suunalt vastupidised.
Näiteid jõudude märkimise kohta.
Näide 1.
Olgu raske kuulike kinnitatud kahe nööri abil (joonis 4.35a), milleks on AB ja AC. Teha jõudude skeem kuulikese tasakaalu uurimiseks.
a) b)
Joonis 4.35
Uurides kuulikese tasakaalu näeme, et sellele kuulikesele on sidemeteks nöörid AB ja AC. Kasutame sidemetest vabastamise printsiipi ja eemaldame sidemed, asendades nende mõju ekvivalentselt jõududega. Nagu eespool nägime, on nööri korral sideme reaktsioonjõud alati suunatud piki nööri, kusjuures nöör alati tõmbab, mitte kunagi see ei lükka. Seetõttu kannamegi joonisele jõud
ja . Lisaks nendele joonistame muidugi ka kuulikese raskusjõu , kuulikese keskpunktist otse alla. Jõudude skeem selle juhtumi kohta ongi tehtud.
Näide 2.
Raske varras AB hoitakse horisontaalasendis tasakaalus kahe nööri abil. Nöör 1 on teise otsaga kinnitatud lae külge, nöör 2 on visatud üle ploki, kusjuures nööri teises otsas ripub raskus 2. Teha jõudude skeem varda AB tasakaalu uurimiseks.
Joonis 4.36
Raskele vardale AB on sidemeteks 2 nööri. Eemaldame need, asendades nende mõju ekvivalentselt jõududega. Siinjuures tähelepanu: nöör tuleb (oma mõttes) katki lõigata varda vahetus läheduses. Reaktsioonjõud
ja
suuname piki nööre ülespoole (kuna nöör alati tõmbab). Joonisele lisame veel varda raskusjõu , mis on rakendatud varda tsentrisse ja suunatud otse alla. Saame pildi, mis on kujutatud joonisel 4.37.
Joonis 4.37
Siin ülesandes me võime aga teha veel ühe täpsustuse. Asi puudutab nimelt parempoolse nööri tõmmet . See nöör on visatud üle ploki, selle teises otsas ripub raskus 2.
Lahendame nüüd siinjuures ühe väikese abiülesande. Uurime nimelt ploki (keha 3) tasakaalu eraldi. Sellele plokile on sidemeteks liigend (mis on lae küljes kinni), ja nöör oma kahe otsaga. Eemaldame need, asendades nende mõju ekvivalentselt jõududega.
Joonis 4.38
Jõud
ja
on antud liigendi reaktsioonjõud. Jõud
ja
on nööriotste tõmbejõud. Nööri parempoolse otsa tõmme on nimelt võrdne selle otsas rippuva raskusega , seetõttu me ei märgi sinna mitte , vaid kohe . Nüüd arvestame seda, et siin on täielik tasakaal. Siis aga peavad nööriotste tõmbed võrdsed olema, seega . Seda arvestades saame lõplikult järgmise pildi.
Joonis 4.39
Näide 3.
Tala CD raskusega
on kinnitatud ülemisest otsast liigendiga C seina külge (joonis 4.40) ja toetub horisontaalsele talale AB, mille raskus on . Tala AB on kinnitatud liigendiga A aluse külge ja toetub rullidele B. Tala AB punktist K läheb nöör, mis on visatud üle ploki. Selle nööri teises otsas ripub keha raskusega . Tala CD punktist L läheb selle talaga ristiolev nöör, mis on samuti visatud üle ploki, selle nööri teises otsas ripub keha raskusega . Teha jõudude skeemid talade AB ja CD tasakaalu uurimiseks.
Joonis 4.40
1. osa. Et uurida varda AB tasakaalu, selleks tuleb teha jõudude skeem selle varda jaoks, vaadates seda varrast eraldi. Selleks eraldame antud süsteemist varda AB, eemaldades kõik sidemed ning asendades nende mõju ekvivalentselt jõududega. Samuti tuleb eemaldada kõik teised kehad (siin varda CD) ning asendada ka nende mõju ekvivalentselt jõududega.
Siinjuures olgu tehtud väikesed kasulikud märkused.

Jõudude skeemi on mugavam teha, kui liigendid siiski veidi ära näidata, aga oma mõttes kujutame ette, et need on siiski eemaldatud.

Nööri, mis on kinnitatud varda punkti K, lõikame katki kinnituspunkti vahetus läheduses.

Ülemisest, „äravisatud” vardast CD, joonistame natukene alumist otsa.
Saame järgmise pildi.
Joonis 4.41
Siia hakkamegi nüüd jõudusid peale kandma.
Esiteks, tala raskusjõud. Selle joonistame tala keskpunktist otse alla. See on teksti põhjal jõud . Joonisele võib vektori kõrvale kirjutada ka mooduli .
Teiseks, vasakust otsast A on tala kinnitatud liigendiga aluse külge. Nagu sellesamas paragrahvis nägime (reegel 5), tuleb siis joonistada 2 jõudu, mis on teineteisega risti ja suunatud vastavate telgede positiivses suunas (joonis 4.42). Tähistame need jõud
ja . Et kõik oleks korrektne, selleks tuleb enne muidugi defineerida teljed. Joonistame kuskile koordinaatide nullpunkti ja näitame ära telgede positiivsed suunad. Märkuseks: tasapinnalisel juhul ei ole väga tähtis, kuhu asetada koordinaatide alguspunkti. Väga tähtsad küll on koordinaattelgede suunad, alguspunkti asukoht ei ole aga tähtis. Asi on ju selles, et momentide võrrandi koostamisel võime momendid võtta suvalise punkti suhtes, täiesti olenemata sellest, kus asub koordinaatide alguspunkt. Seetõttu jooonistataksegi sageli koordinaatide alguspunkt kuskile kõrvale, et teljed ei jääks jõudude joonistamisel jalgu .
Joonis 4.42
Kolmandaks, varda AB parempoolses otsas on ka liigend, kuid see silindriline liigend toetub ratastele (ehk rullikutele). Rattad omakorda toetuvad kaldpinnale. Mis siin teha? Reegel 7 (sellestsamast paragrahvist) ütleb, et sellisel juhul tuleb joonistada üksainus jõud, mis on risti pinnaga, kuhu rattad toetuvad. Tähistame selle jõu . See jõud on muidugi suunatud ülespoole, sest kaldpind hoiab ju varrast üleval, mitte ei tõmba alla.
Neljandaks, punktist K läheb nöör. Seega on siin sidemeks nöör. Reegel 3 ütleb, et nööri puhul on sideme reaktsioonjõud alati suunatud piki nööri, kusjuures nöör alati tõmbab, mitte kunagi ei lükka. Kuidas seda jõudu tähistada? Siin tuletame meelde näidet 2 ja seega me teame: kui nöör on visatud üle liikumatu ploki ja nööri teises otsas ripub raskus , siis ongi nööri tõmbe suurus . Kirjutamegi selle nööri tõmbejõu juurde.
Viiendaks, punktis D mõjutab varrast AB teise varda CD mõjujõud. Seega – punktis D puutuvad need kaks varrast kokku. Siin on aga tegemist kahe kokkupuutuva pinnaga, millest üks (siin ülemine) osutub punktiks. Selle juhtumi kohta ütleb reegel 2, et kui üks kokkupuutuvatest pindadest osutub punktiks, siis reaktsioonjõu suund on risti teise pinnaga. Seega, reaktsioonjõu suund on risti vardaga AB. Tähistame selle jõu . See jõud on suunatud allapoole, sest varras CD surub vardale AB peale (mitte ei tõmba üles).
Varda AB jõudude skeem ongi valmis.
2. osa. Nüüd vaatame varrast CD. Teeme ka selle jaoks eraldi joonise, eemaldades kõik sidemed ning asendades nende mõju ekvivalentselt jõududega. Samuti tuleb varrast CD uurides eemaldada alumise varda AB, asendades ka selle mõju ekvivalentselt vajalike jõududega.
Et oleks endal lihtsam lahendada, selleks näitame liigendi punkti C juures siiski veidi ära (oma mõttes on see siiski eemaldatud). Samuti näitame veidi ära nööri punktis L, ning ka alumisest vardast AB näitame natukene ära. Saame pildi, mis on kujutatud joonisel 4.43a.
a) b)
Joonis 4.43
Hakkame sellele joonisele jõudusid kandma.
Esiteks, raskusjõud varda kaskpunktist otse alla. Joonisele võib jõu juurde märkida mooduli.
Teiseks, ülemises punktis C on varras CD kinnitatud liigendiga seina külge. Sel juhul tuleb joonistada kaks jõudu teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades. Tähistame need
ja . Märkus: teljed on meil juba defineeritud, neid siin enam ära näitama ei pea.
Kolmandaks, nööri tõmme. See on suunatud täpselt nööri sihis. Selle juurde võib märkida selle jõu mooduli, mis on . Tõepoolest, on ju siin nöör visatud üle liikumatu ploki ja nööri teises otsas ripub keha raskusega . Sel juhul ju nööri tõmme T on .
Neljandaks, vardale CD mõjub alumise varda AB mõjujõud. See on rakendatud varraste kokkupuutepunkti D. Ka siin on kaks kokkupuutuvat pinda, millest aga ülemine osutub punktiks. Seetõttu on reaktsioonjõud risti alumisega, ning suunatud seejuures ülespoole, sest alumine varras hoiab varrast CD üleval, mitte ei tõmba alla.
Joonistele 4.42 ja 4.43b punktidesse D kantud jõud
ja
on teineteise suhtes mõju ja vastumõju. Tõepoolest, joonisel 4.42 on jõud
rakendatud punkti D (alumise varda vastavasse punkti) ja see iseloomustab varda CD mõju vardale AB. Joonisel 4.43b on jõud
rakendatud samuti punkti D (ülemise varda vastavasse punkti) ja see iseloomustab varda AB mõju vardale CD. Nad on seetõttu moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende mõjusirged kattuvad. Moodulilt seega .
Jõudude skeem ongi valmis.
Märkus: joonisele soovitatakse vektori juurde märkida selle arvväärtuse tähise (joonisel punaselt). Väga ebamugav ja ebaülevaatlik oleks, kui kõikide vektorite juurde joonisel kirjutada selle vektortähise, koos vektorimärkidega ja sageli ka primmidega. Seetõttu soovitataksegi märkida jõu juurde selle arvväärtuse tähise. Arvväärtuse peale vektorimärki muidugi panna ei tohi.
Näide 4.
Raske vertikaalse varda 4 ülemisse otspunkti B on kinnitatud nöör 3 (joonis 4.44), mille teine ots on kinnitatud lae külge. Nööril asetseb kerge plokike 2. Selle ploki tsentrisse on riputatud raskus 1. Varras 4 hoitakse vertikaalasendis tasakaalus jäiga kaalutu varda 5 abil. Teha jõudude skeemid kehade 2, 4 ja 5 jaoks. Keha 1 raskus on , varda 4 raskus on ; kehad 2 ja 5 on aga kaalutud.
Joonis 4.44
1. osa. Teeme jõudude skeemi ploki 2 jaoks. Vaatame seda plokki eraldi, eemaldades sellelt kõik sidemed, mis asendame ekvivalentselt jõududega. Oma mõttes lõikame läbi nööri 3 mõlemad harud ploki vahetus läheduses, samuti ploki tsentrist allamineva nööri. Saame pildi, mis kujutatud joonisel 4.45a.
a) b)
Joonis 4.45
Nüüd jääb üle joonistada siia vajalikud jõud. Eespool nägime, et nööri korral on jõud alati suunatud piki nööri, kusjuures nöör alati tõmbab. Seetõttu saamegi pildi, mis on kujutatud joonisel 4.45b. Meil on 3 nööriotsa, igale joonistame nöörisihilise tõmbava reaktsioonjõu. Mis nendele nimeks panna? Selle nöörijupi, mis ripub otse alla, otsas ripub raskus . Selle kirjutamegi vertikaalselt allasuunatud jõu juurde.
Jääb üle tähistada veel nööri 3 tõmbed. Näites 2 juba tutvusime ühe väga tähtsa reegliga: tasakaalu korral on ühe ja sama nööri kõikides harudes ühe ja samasuguse suurusega jõud. Selgituseks: nööri 3 vasak- ja parempoolses harus on mingid tõmbejõud. Arvestades, et jõud on vektoriaalne suurus, on need jõud kui vektorid täiesti erinevad (sest nende suunad on ju erinevad). Tähistame näiteks nööri 3 vasakoolses harus mõjuva tõmbejõu , parempoolses harus mõjuva jõu . Kuid, kuna tasakaalu korral on ühe ja sama nööri kõikides harudes ühe ja samasuguse suurusega jõud, siis , mille võib tähistada lihtsalt T. Seega . See moodul T ongi märgitud nööri 3 harudes mõjuvate tõmmete juurde.
Plokk 2 ise on teksti põhjal kaalutu, seetõttu raskusjõudu
siin ei joonista.
2. osa. Vaatame nüüd varrast AB eraldi.
a) b)
Joonis 4.46
Eemaldame kõigepealt sellelt kõik sidemed. Ülemisest punktist B mineva nööri lõikame (oma mõttes) läbi varda vahetus läheduses ja punktis D kinnitatud kerge varda lõikame samuti läbi. Varda alumine ots A on kinnitatud aluse külge liigendiga, selle eemaldame samuti, kuid – see näidatakse õrnalt sageli siiski ära, sest siis on toereaktsiooni sellesse punkti mugavam jooonistada. Saame pildi, mis on kujutatud joonisel 4.46a.
Nüüd hakkame sellele jõudusid joonistama, näidates enne korrektsuse mõttes ära telgede positiivsed suunad. Millised jõud siin mõjuvad?
Esiteks, varda AB raskusjõud , mille jooonistame varda keskpunktist otse alla.
Teiseks, punktis A on varras kinnitatud liigendiga, mis on aluse küljes kinni. Seega tuleb sellest punktist joonistada 2 reaktsioonjõudu
ja , mis on teineteisega risti, ning suunatud vastava telje positiivses suunas.
Kolmandaks, punktist B läheb nöör. Siia tuleb joonistada nööri tõmbejõud täpselt nööri sihis. Küsimus on ainult selles, mis sellele jõule nimeks panna. Vaatame kus on sellesama nööriosa teine pool. Selle leiame joonisel 4.45b, kus see on sealse nööri parempoolseks haruks. Sellel on jõuks märgitud . Kuid, joonistel 4.45b ja 4.46b on tegemist ühe ja sama nööriosa kahe poolega. Esimesel on see nööriosa plokikese 2 seisukohalt, teisel aga varda 4 seisukohalt. Seega on siin tegemist mõju ja vastumõjuga. Kui joonisel 4.45b märkisime selle , siis vastumõju kui jõuvektori tähistame . Kuid, on hästi ka teada, et mõju ja vastumõju arvväärtused on võrdsed. Seega kokkuvõttes . Mugavuse mõttes võibki just selle arvväärtuse märkida jõu juurde. Muide, kõige täpsem on, kui jõu juurde märkida mõlemad, nii tema vektortähise kui ka mooduli, aga seda moodust kirjanduses eriti ei kasutata.
Neljandaks, jäänud on veel panna jõud punkti D, kuhu on kinnitatud kerge jäik varras DE. Tuletame siinkohas meelde reeglit 4: kui keha kinnituseks mingis punktis on kerge jäik varras ilma lisajõuta, siis on kehale mõjuv reaktsioonjõud selles punktis on alati kerge varda sihiline. Paneme sellele jõule nimeks . Küsimus on ainult selles, et kummas suunas (piki varrast DE) on jõud
suunatud? Teatavasti võib nöör ainult tõmmata, kuid jäik varras võib nii tõmmata kui ka lükata. Kummas suunas on suunatud jõud , see tuleb meil endal leida loogilise arutluse teel. Vaatame joonist 4.44, mis ülesanne on kinnitusvardal DE? See hoiab varrast AB üleval. Kui kinnitusvarras DE ära võtta, siis kukub AB ju vasakule poole pikali . Järelikult peab kinnitusvarras DE selle kukkumise ära hoidma ja seetõttu vektori
suund on just selline, nagu on joonisel 4.46b näidatud.
3. osa. Jääb üle veel vaadata kinnitusvarrast DE eraldi (sest seda nõuti ülesande tekstis).
Eemaldame ka sellelt oma mõttes sidemed. Mis jõud siin mõjuvad? See on väga lihtne. Siin on ju tegemist kerge jäiga vardaga, millele ühtegi lisajõudu ei mõju. Seetõttu on varda DE mõlemas otspunktis jõud varda DE sihilised.
Punkt D on meil vaatluse all juba teist korda. Teises osas me vaatasime punkti D varda AB seisukohalt: kuidas äravisatud DE mõjutab varrast AB. Siin aga vaatame punkti D kinnitusvarda DE seisukohalt: kuidas „äravisatud” AB mõjutab varrast DE. Seega on siin tegemist mõju ja vastumõjuga, mistõttu joonisele 4.47 on kõige õigem märkida punkti D rakendatud jõu nimeks . Kuid, teisest küljest me teame, et
Joonis 4.47 moodulilt .
Märkuseks: mõju ja vastumõju kui vektorid on alati teineteise suhtes vastupidise suunaga.
Jõudude skeem selle ülesande puhul ongi valmis.
Näide 5.
Silindri 1 telje külge on liigendi A abil kinnitatud varras 2 ehk AB (joonis 4.48). Silinder 1 toetub kaldpinnale, varda 2 parempoolne ots toetub teisele kaldpinnale. Varda punktist K läheb nöör 3, mis läheb üle ploki ja on kinnitatud ketta 4 keskpunkti D. Ketas 4 toetub terava nuki vastu. Süsteem on sellises asendis tasakaalus. Teha jõudude skeemid kehade 1, 2 ja 4 tasakaalu uurimiseks. Kehad 1, 2 ja 4 on rasked. Nöör on kaalutu ja venimatu.
Joonis 4.48
1. osa. Teeme jõudude skeemi silindri 1 jaoks.
a) b)
Joonis 4.49
Eemaldame sellelt kõigepealt kõik sidemed. Saame pildi, mis on kujutatud joonisel 4.49a. Kaldpinna näitame siiski ära, sest selle alusel joonistame ju silindrile mõjuva aluse reaktsioonjõu. Tsentris A näitame ära ka liigendi. Näitame kuskil ära ka telgede positiivsed suunad.
Kanname sellele joonisele kõik silindrile mõjuvad jõud, tulemuseks saame pildi, mis on kujutatud joonisel 4.49b.
Esiteks, kanname joonisele silindri 1 raskusjõu. Selle rakendame silindri tsentrisse ja suuname otse alla. Selle jõu nimeks paneme kasvõi , joonisele on selle jõu juurde märgitud moodul .
Teiseks, silindrile mõjuv toetuspinna reaktsioonjõud. Silinder toetub vastu kaldpinda. Seega tuleb silindrile joonistada kaldpinna reaktsioonjõu. Reegel on väga lihtne: kui meil on kaks kokkupuutuvat pinda, siis reaktsioonjõud on risti kokkupuutuvate pindadega ja see rakendatakse kokkupuutumispunkti. Paneme sellele jõule nimeks . Jõud
tuleb seega joonistada risti kaldpinnaga. Küsimus on veel – kummale poole risti kaldpinnaga, kas risti ülespoole või risti allapoole? Siin me peame asja vaatama silindri seisukohalt. Mida teeb kaldpind silindriga? Hoiab üleval, mitte ei tõmba alla. Seetõttu ongi jõu
suund just selline, nagu joonisel 4.49b on näidatud.
Kolmandaks, liigendis A mõjuvad reaktsioonjõud. Liigend A on tavaline silindriline liigend, mis ühendab kahte keha: 1 ja 2. Siin tuleb reegli 5 alusel punktist A joonistada 2 jõudu, teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades (kui see liigend esineb esimest korda, teisel korral tuleb juba arvestada mõju ja vastumõju seadust). Paneme nendele jõududele nimeks
ja . Jõudude skeem silindri 1 jaoks on valmis.
2. osa. Teeme jõudude skeemi varda 2 jaoks. Joonistame varda AB eraldi.
Joonis 4.50
Silinder 1 on nüüd eemaldatud, aga liigend A jääb. See liigend esineb nüüd juba teist korda! Nööri 3 lõikame katki kinnituspunkti K vahetus läheduses nii, et jupp nööri oleks ikka näha. Kaldpinna joonistame siiski ka, muidu me ei oska ju joonistada kaldpinna reaktsioonjõudu. Teljed on samad, mis olid silindri 1 puhul juba joonistatud. Hakkame sellele jõudusid peale kandma.
Esiteks, raskusjõud
varda keskpunktist otse alla.
Joonis 4.51
Teiseks, nööri tõmme punktis K. Selle tõmbe arvväärtus olgu T, ja just selle me märgimegi jõu juurde.
Kolmandaks, vardale punktis B mõjuv kaldpinna reaktsioonjõud. Siin on tegemist kahe kokkupuutuva pinnaga, millest ülemine osutub punktiks. Seetõttu on reaktsioonjõud
risti alumisega, s.t. risti kaldpinnaga. Kuna kaldpind hoiab varda otsa üleval (mitte ei tõmba alla), siis sellest ka jõu
suund joonisel. Jõu juurde märgime jälle tema mooduli.
Neljandaks, liigendis A mõjuv reaktsioonjõud. See liigend esineb meil selles ülesandes juba teist korda. Kui joonisel 4.49 me uurisime silindrit 1, siis seal liigendis A mõjuvad jõud
ja
näitavad, kuidas varras AB mõjutab silindrit 1. Siin me uurime aga varrast AB. Siin on seetõttu vastupidi: me peame näitama, kuidas silinder mõjutab varrast AB. Mõju ja vastumõju aksioomi põhjal peavad mõju ja vastumõju kui jõud olema moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised. Siia joonisele 4.51 on seega kantud vastumõjud
ja , aga joonisele on jõudude juurde kirjutatud nende arvväärtused, mis on ju ikkagi
ja , sest mõju ja vastumõju arvväärtused on alati ühesugused. Jõud suurusega
peavad joonistel 4.49 ja 4.51 olema vastassuunalised; samuti peavad ka jõud
olema joonistel 4.49 ning 4.51 vastassuunalised. Jõudude skeem varda AB jaoks on valmis.
3. osa. Teeme jõudude skeemi ketta 4 jaoks. Eraldame selle kõigepealt, eemaldades kõik sidemed, mis seejärel asendame ekvivalentselt jõududega.
a) b)
Joonis 4.52
Näitame joonisel 4.52a ära veidi nööri, ning ka nuki, kuhu vastu see ketas toetub. Hakkame sellele jõudusid peale kandma.
Esiteks, joonistame ketta raskusjõu
keskpunktist otse alla.
Teiseks, nööri tõmme. See on seesama nöör, mida me vaatasime juba varda AB puhul. Ainult, siin vaatleme selle nööri teist otsa. Kuna nööri tõmme on alati nööri sihiline, siis see määrabki selle jõu sihi ning suuna joonisel 4.52b. Selle juurde märgime tema suuruse T. Eespool me juba ju märkasime, et tasakaalu puhul on ühe ja sama nööri kõikides osades ühesugune tõmbejõud. Sellest siis ka sama märge T.
Kolmandaks, nuki kui sideme reaktsioonjõud . Kuna siin on tegemist kahe kokkupuutuva pinnaga, millest alumine osutub punktiks, siis reaktsioonjõud on risti ülemisega, s.t. ta on risti ringjoonega. Teiste sõnadega, reaktsioonjõud on risti ringjoone puutujaga, mis on tõmmatud puutepunktis. Ning muidugi on selle suund just selline, nagu joonisel 4.52b on näha, sest nukk hoiab ketast üleval, mitte ei tõmba alla.
Jõudude skeem selle ülesande jaoks ongi valmis.
Näide 6.
Süsteem koosneb kolmest kehast: L-kujulisest vardast 1 ehk ABC (joonis 4.53), täisnurksest prismast 2 ja silindrist 3. Teha kõigi kolme keha jaoks jõudude skeem, kui kõik need kehad on rasked.
Joonis 4.53
1. osa. Vaatame L-kujulist varrast ABC. Siin on 2 varrast, AB ja BC kokku keevitatud üheks L-kujuliseks vardaks ABC. Teeme selle jaoks jõudude skeemi.
Joonis 4.54
Eemaldame prisma , aga näitame alumise punkti C juures veidi ära kaldpinda, et selle alusel õigesti joonistada toereaktsiooni. Võib õrnalt ära näidata ka liigendi A, siis on toereaktsioone ka sinna mugavam joonistada. Lõpuks – näitame ära ka koordinaattelgede positiivsed suunad. Nüüd võibki jõudusid hakata joonisele kandma. Kanname jõud sellesamale joonisele, süsteemist eraldatud keha ABC ju eraldi ära näitama ei pea. Millised jõud tuleb joonistada?
Esiteks, liigendi A reaktsioonjõud. Kuna see liigend on seina küljes kinni, siis tuleb siin joonistada 2 jõudu, teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades. Paneme nendele jõududele nimeks
ja , joonisele märgime mugavuse mõttes nende jõudude arvväärtused
ja .
Teiseks, (mõttes) äravisatud prisma reaktsioonjõud, ehk s.t. kaldpinna reaktsioonjõud. L-kujuline varras toetub alumise otsaga vastu kaldpinda. Siin on tegemist kahe kokkupuutuva pinnaga, millest ülemine osutub punktiks. Reaktsioonjõud on seega risti alumisega, s.t. risti kaldpinnaga. See jõud olgu , joonisele märgime tema arvväärtuse . Jõu
suund on just selline, nagu joonisel 4.54 on näidatud, sest – aluspind hoiab varrast üleval, mitte ei tõmba alla.
Kolmandaks, L- kujulise varda raskusjõud. Kuidas sellega toimida, kuhu rakendada jõud ? Jõud
tuleks rakendada muidugi vaadeldava keha raskuskeskmesse. Raskuskeset me aga veel õppinud ei ole (see tuleb alles staatika lõpuosas ), ning pealegi – mõnedel kehadel on raskuskeskme leidmine päris tülikas. Kas on kuidagi võimalik ülesannet lahendada ilma ABC raskuskeskmeta? On küll ja väga hästi. Lihtsalt tuleb igat sirget osa vaadata eraldi ja panna igale osale oma raskusjõu. Nii ongi joonisel 4.54 tehtud. Osa AB raskusjõu tähistame näiteks , selle rakendame osa AB keskpunkti. Osa BC raskusjõu tähistame , selle rakendame osa BC keskpunkti. Joonisele märgime vastava vektori juurde nende arvväärtused
ja .
Varda ABC jõudude skeem ongi valmis. Aga, üks asi on siin siiski veel jäänud. Nimelt, tuleb eel arvutada osade AB ja BC raskused, s.t. leida
ja
suurused. Asi on selles, et selliste keerulise kujuga varraste puhul on ülesande tekstis tavaliselt antud varda ühe meetri raskus, ning samuti on antud varda osde pikkused.
Olgu siin näiteks antud, et ABC raskus on q (N/meetri kohta). Varda ABC osade pikkused olgu
(osa AB pikkus), ja
(osa BC pikkus). Sel juhul:
(N);
(N).
2. osa. Vaatame täisnurkset prismat 2.
Joonis 4.55
Viskame ära L-kujulise varda ABC, näidates siiski natuke ära selle varda alumist otsa punkti C juures. Samuti näitame ära ka veidi silindri 3 piirjoonest kokkupuutepunkti D läheduses (see on muidugi ringjoone kaar). Märgime ära silindri 3 keskpunkti C3 ja tõmbame raadiuse DC3. Selle alusel saab ringjoonele tõmmata puutuja punktis D. Nüüd saab kaks jõudu kohe joonisele kanda.
Esiteks, „äravisatud” silindri 3 mõjujõu prismale. See tuleb rakendada punkti D ja paneme sellele nimeks . Kuidas on see jõud suunatud? Jooniselt 4.55 on kerge näha, et punktis D puutuvad kokku 2 pinda, millest alumine osutub punktiks. Seetõttu jõud
peab olema risti ülemisega, s.t. risti ringjoonega. Mistõttu
on risti puutujaga, ehk on suunatud raadiusega C3D ühes sihis. See jõud
on siin nimelt suunatud allapoole, sest ülemine silinder surub prismale peale, mitte ei tõmba üles.
Teiseks jõud, millega varras ABC mõjutab prismat. Varras ABC ja prisma 2 puutuvad kokku punktis C. See punkt on vaatluse all juba teist korda, sest me vaatlesime seda punkti juba ka varda ABC puhul. Seal me rakendasime punkti C jõu , mis väljendab prisma 2 mõju vardale ABC. Siin me uurime aga prismat 2, ja me peame punkti C rakendama jõu (), mis väljendab hoopis varda ABC mõju prismale. Seega on need kaks jõudu mõju ja vastumõju, ning seetõttu peavad olema moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised. Vastumõjul on täpselt sama arvväärtus , mis mõjulgi. Just selle arvväärtuse me märgimegi joonisele 4.55 vastava vektori juurde.
Siinjuures tasub veelkord kontrollida, kas jõud
joonisel 4.54 ja jõud
joonisel 4.55 ikka on vastupidised.
Kolmandaks, prisma 2 raskusjõud. See on muidugi rakendatud prisma raskuskeskmesse. Aga küsimus on: kus on kolmnurkse prisma raskuskese? Raskuskeset õpitakse kahjuks alles staatika lõpuosas, kuna aga kolmnurkseid prismasid esineb ülesannetes kaunis sageli, siis ei ole midagi teha – me peame teoorias ette ruttama ja seetõttu ütleme siin lühidalt: ühtlase kolmnurga raskuskese asub mediaanide lõikepunktis. Meil tuleb seega leida prisma-kolmnurga mediaanide lõikepunkt. Kuna meil on siin tegemist täisnurkse kolmnurgaga, siis on mediaanide lõikepunkti eriti lihtne leida, see leidmise skeem on meile hästi teada juba keskkoolist.
Jaotame täisnurkse kolmnurga mõlemad kaatetid (KL ja DL) täpselt kolmeks osaks.
a) b)
Joonis 4.56
Seejärel loeme kaatetil KL kaks osa teravast tipust K alates ja saadud kohta tõmbame õrnalt vertikaaljoone. Samuti kaatetil DL loeme kaks osa tipust D alates, saadud kohast tõmbame õrnalt horisontaaljoone. Nii saamegi kätte täisnurkse kolmnurga raskuskeskme . Just sinna punkti rakendamegi prisma raskusjõu .
Neljandaks, prisma aluspinna reaktsioonjõud. Selle jõuga on probleeme. Milline on see reaktsioonjõud, kuhu rakendatud ja millises suunas? Suunaküsimuse lahendamine on väga lihtne: reaktsioonjõud peab olema risti kokkupuutuvate pindadega, seega risti aluspinnaga. Tähistame aluspinna reaktsioonjõu . See jõud on suunatud otse üles, sest aluspind hoiab prismat üleval, mitte ei tõmba alla. Raske küsimus on aga selle jõu rakenduspunkt. Uurime seda asja veidi.
Prisma 2 surutakse vastu aluspinda . Vastu aluspinda on surutud prisma aluspinna KL kõik osad. Aluspinna reaktsioonjõud on selle surve vastumõju. Seega tuleb välja, et aluspinna reaktsioonjõud mõjub prisma aluspinna KL igale osale. Seega osutub aluspinna reaktsioonjõud jaotatud jõuks, ning see ei ole sugugi ühtlane jaotus. Veel enam, meil ei ole aimugi sellest jaotusseadusest. Kas see on lineaarne (joonis 4.57a) või mittelineaarne (joonis 4.57b), pole aimugi. Isegi juhul, kui see on lineaarne, me ei tea sellele vastava sirge tõusunurka.
a) b)
Joonis 4.57
Absoluutselt jäiga keha puhul võib jaotatud jõu alati asendada sellele vastava resultandiga. See ongi , aga kuna me ei tea jaotusseadust, siis me ei tea üldse selle resultandi rakenduspunkti. Rakendame aluspinna reaktsiooni resultandi lihtsalt mingisse punkti (joonis 4.58).
Märgime ära ka selle reaktsioonjõu mõjusirge kauguse prisma nurgast K, tähistades selle kauguse näiteks ξ. Seega saame siit ülesandesse juurde 2 tundmatut:
ja ξ. Edaspidi näeme, et selle kauguse ξ võime soovi korral ilusti arvutada, kasutades selleks momentide võrrandit. Võtame momendid näiteks punkti K suhtes (muidugi, kõik jõud peavad enne olema joonisele kantud).
Joonis 4.58
Toome nüüd selle osa lõpuks ära prisma 2 jõudude skeemi, kuhu kõik jõud on peale kantud.
Joonis 4.59
3. osa. Vaatame silindrit 3 ja teeme selle jõudude skeemi.
Joonis 4.60
Millised jõud siin mõjuvad?
Esiteks, raskusjõud keskelt otse alla.
Teiseks, seina reaktsioonjõud , mis peab olema risti kokkupuutuvate pindadega. Seega on jõud
risti seinaga. Seejuures on selle jõu suund antud sihil just selline, nagu joonisel on näha, sest sein hoiab silindrit paigal antud asendis.
Kolmandaks, „äravisatud” prisma 2 mõju silindrile punktis D. See punkt on meil juba teist korda. Joonisel 4.59 väljendas sealne jõud
silindri mõju prismale. Siin on aga vastupidi, siin peab jõud
väljendama prisma 2 mõju silindrile. Seega on tegemist mõju ja vastumõjuga, mistõttu jõud
ja
peavad olema moodulilt võrdsed () ja suunalt vastupidised. Kontroll joonistel 4.59 ja 4.60 näitab, et need jõud on tõesti vastupidi.
Näide 6 on tehtud.
Näide 7.
Süsteem koosneb rasketest varrastest 1 ja 2, kehast 3, ning kergest jäigast vardast 4 (joonis 4.61). Varras 1 on müüritud seina. Varras 2 on liigendi B abil ühendatud vardaga 1, ning varrast 2 hoitakse üleval jäiga kerge varda 4 abil. Varda 2 punktist E läheb nöör, mis on visatud üle ploki ja mille teises otsas ripub raskus 3. Teha jõudude skeemid kehade 1, 2 ja 4 jaoks. Kehad 1, 2 ja 3 on rasked.
Joonis 4.61
1. osa. Vaatame sissemüüritud varrast 1 ehk AB. Joonistame selle eraldi välja (joonis 4.62) ja hakkame sellele jõudusid märkima. Kõigepealt, muidugi, tuleb defineerida teljed. Need olgu teljed x ja y, need teljed joonistame kasvõi punktist A lähtudes.
Joonis 4.62
Millised jõud siin mõjuvad?
Esiteks, raskusjõud
varda AB keskpunktist otse alla.
Teiseks, kuna varras on punktis A seina müüritud, siis reegli nr 11 alusel tuleb kõigepealt punkti A rakendada 2 reaktsioonjõudu,
ja , teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades. Peale selle, reaktsioon-jõupaari MA kaarnoole, mille joonistame ümber müüringupunkti A vastupäeva (s.t.positiivses suunas).
Kolmandaks, varda AB ülemises otsas on liigend B, mille abil see varras ühendatakse varda 2 külge. Siin on tegemist tavalise liigendiga kahe varda vahel. Sel juhul joonistame punktist B kaks jõudu, teineteisega risti ning telgede sihis. Kuid mis suunas seejuures? Kuna see liigend esineb siin esimest korda, siis telgede positiivses suunas, need on jõud
ja .
2. osa. Vaatame nüüd varrast 2 ehk BC. Teeme sellest vardast eraldi joonise, näidates sellel ära liigendi B, veidi nöörist punkti E juures, ja veidike kergest vardast 4. Teljed olgu siin samasugused, mis vardal 1.
Joonis 4.63
Kanname vajalikud jõud joonisele.
Esiteks, siin mõjub varda 2 raskusjõud , mille joonistame varda keskpunktist otse alla.
Teiseks, niidi tõmbejõud punktis E, mis mõjub täpselt niidi sihis. Mis on selle tõmbejõu suurus? Kuna nöör on visatud üle liikumatu ploki ja nööri teises otsas ripub raskus , siis ongi selle tõmbejõu suuruseks
ja just selle me märgimegi jõu juurde.
Kolmandaks, liigendis B mõjuvad reaktsioonjõud. See on liigend, mis ühendab vardaid 1 ja 2, ning see liigend esineb siin ülesandes juba teist korda. Kui joonisel 4.62 varda 1 puhul me pidime näitama, kuidas „äravisatud” varras 2 mõjutab
ja
abil varrast 1, siis siin on vastupidi: kuidas „äravisatud” varras 1 mõjutab varrast 2. Seega on joonisele 4.62 kantud jõud
ja joonisele 4.63 kantud
teineteise suhtes mõju ja vastumõju (moodulilt võrdsed ja suunalt täpselt vastupidised). Tähelepanu: joonisele 4.63 on jõu
juurde märgitud lihtsalt selle arvväärtus . Täpselt samamoodi on jõud
ja
teineteise suhtes mõju ja vastumõju. Selliste ülesannete lahendamisel tasub kindluse mõttes spetsiaalselt veelkord kontrollida, kas vastavad mõju- ja vastumõjujõud ikka on vastupidise suunaga joonistele kantud.
Neljandaks, punkti C rakendatud kerge jäiga varda CD mõjujõud. Tuletame meelde reeglit 4. Selle alusel: kui mingil vardal on kinnitus kerge (kaalutu) jäiga vardaga, millele ühtegi lisajõudu rakendatud ei ole, siis vaadeldavale vardale (BC) mõjuv jõud on tingimata kerge jäiga varda sihiline. Seetõttu joonistamegi punktist C (joonis 4.63) jõu
täpselt kerge varda CD sihis. Kummale poole aga sellel sihil? Selle peab leidma loogilise arutluse abil. Kerge on näha jooniselt 4.61, et kerge varras CD hoiab varrast 2 üleval, mis muidu kukuks alla. See asjaolu määrabki jõu
täpse suuna antud sihi peal.
3. osa. Vaatame lõpuks veel eraldi kerget jäika varrast CD ehk 4.
Kergele vardale mõjub siin ainult 2 jõudu: alumises otsas C varda BC mõjujõud, ja ülemises otsas D lae kui sideme reaktsioonjõud. Mingit kolmandat lisajõudu siin ei ole. Võtame kõigepealt alumise otsa C. See punkt (koos liigendiga) esineb juba teist korda. Esimest korda see esines varda BC puhul ja sinna punkti me rakendasime joonisel 4.63 jõu , mis väljendab kerge varda 4 mõju raskele vardale 2. Siin on aga vastupidi: siinne
väljendab raske varda 2 mõju kergele vardale 4. Mõju ja vastumõju seaduse alusel on jõud
ja
täpselt vastupidised. See
Joonis 4.64 asjaolu määrabki ära jõu
suuna siinsel joonisel 4.64.
Nüüd joonistame jõu . Siin on tasakaal kahe jõu,
ja
, toimel. Staatika esimese aksioomi põhjal peavad sel juhul need jõud olema moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised, kusjuures nende jõudude mõjusirged kattuvad. Just see asjaolu määrabki ära jõu
täpse suuna joonisel 4.64.
Näide 7 on tehtud.
Näide 8.
Süsteem koosneb rasketest varrastest 1 ja 2, ning kergest jäigast vardast 3 (joonis 4.65). Varras 1 on müüritud seina. Varras 2 on liigendi B abil kinnitatud varda 1 otsa külge. Varrast 2 hoitakse üleval kerge jäiga varda 3 ehk DE abil, kuid sellele kergele vardale on rakendatud jõud . Teha jõudude skeemid kehade 1, 2 ja 3 jaoks.
Joonis 4.65
1. osa. Vaatame sissemüüritud varrast 1 ehk AB. See on väga sarnane eelmise ülesande analoogilise vardaga 1, mis oli samuti seina müüritud. Seetõttu teeme sellele jõudude joonise analoogia põhjal kohe ära.
Joonis 4.66
Siin tuleb joonistada: a) raskusjõud
varda keskpunktist otse alla; b) sissemüüritud otsale A reaktsioonjõud
ja
teineteisega risti, telgede positiivsetes suundades; c) reaktsioon-momendi MA kaarnoole, mille joonistame ümber müüringupunkti A vastupäeva; d) varraste 1 ja 2 ühendusliigend B esineb siin esimest korda, sinna joonistame reaktsioonjõud
ja
telgede positiivsetes suundades.
2. osa. Vaatame varrast 2 ja teeme selle jaoks jõudude skeemi.
Joonis 4.67
Siin joonistame:
Esiteks, raskusjõu
varda BC keskpunktist otse alla.
Teiseks, liigendis B mõjuvad reaktsioonjõud. Kuna see liigend esineb juba teist korda, siis tuleb mõju ja vastumõju seaduse kohaselt jõud
ja
kanda siia joonisele täpselt vastupidi nendele suundadele, mis olid toodud eelmisel joonisel 4.66.
Kolmandaks, jõud liigendis D, kuhu on kinnitatud kerge kinnitusvarras DE. Selleks, et siia jõudusid joonistada, tuleb kõigepealt heita pilk põhijoonisele 4.65. Väga tähtis küsimus on, kas sellele kergele jäigale vardale DE on rakendatud mingi lisajõud (lisaks otspunktides D ja E mõjuvatele jõududele), või ei ole. Jooniselt 4.65 me näeme kohe, et lisajõud on kergele vardale 3 rakendatud tõepoolest, nimelt jõud . Seetõttu on siin olukord kerge vardaga kardinaalselt erinev sellest, mis oli eelmises ülesandes (kus lisajõudu ei olnud).
Kui meil on kinnitusvardaks kerge jäik varras, millele mõjub mingi lisajõud, siis selle kerge varda mõjujõud ei ole kunagi kerge varda sihiline. Veel enam, selle mõjujõu
suund ei ole meil üldse teada. Sellisel juhul kantakse joonisele selle mõjujõu
komponendid
ja
eraldi. Siin tuleb need kanda telgede positiivses suunas, kuna see ühendusliigend D esineb meil praegu esimest korda.
3. osa. Vaatame kerget jäika varrast DE.
Siin esineb ühendusliigend D juba teist korda, seetõttu on siin jõud
ja
mõju ja vastumõju seaduse alusel täpselt vastupidised sellele kuidas nad olid joonisel 4.67.
Nüüd jõud liigendis E. Kui juba resultatiivne reaktsioonjõud
ei ole varda DE sihiline, siis ei ole varda sihiline ka reaktsioonjõud . Ka selle tuleb joonisele kanda komponentide
Joonis 4.68 ja
abil. Lõpuks jõud , see oli kohe antud.