Teoreetiline mehhaanika (7)

Teoreetiline mehaanika
Eksam : 3 teoreetilist küsimust ja 2 lahendus ül.
1. Loeng
Teoreetiline mehaanika uurib kehade liikumist.
Absoluutselt jäik keha on keha, mille kahe mistahes punktivaheline kaugus on jääv sõltumata kehale mõjuvatest jõududest.
Teoreetiline mehaanika jaguneb:

• Staatika- uurib kehade tasakaalu tingimus ja neile mõjuvate jõudude süsteeme
  
• Kinemaatika - vaatab mehaanilist liikumisi geomeetria seisukohalt
  
• Dünaamika- uurib kehade liikumisi kui seda põhjustavaid jõude
  

Mehaanika uurimisel kirjeldas Newton integraal ja diferentsiaal arvutust .
Kujunes välja 2 uurimismeetodit: geomeetriline ja analüütiline
Masspunkt - on keha geomeetriline punkt, kuhu on koondunud ta mass ja mis asub keha raskuskeskmes.
Absoluutselt sile keha välistab igasuguse hõõrde.
Kasutatakse aksiomaatilisi meetodeid (väited mis ei vaja tõestust)
VEKTORID :
Skalaarid -suurused mis on määratud täielikult oma mõõtarvuga on skalaar (temperatuu, arv).
Vektorid – teiseks on ka suurused mis on määratud ka oma arvu ja suunaga (jõud, kiirendus, kiirus).
Sirgjoont, millel asub vektor , nim tema mõjusirgeks.
Vektor on määratud: 1. Tema mõju sirgega 2. Teda kujutava lõigu pikkusega 3. Tema suunaga mõju sirgel
Vektori pikkust nim. tema suuruseks e. mooduliks .
Vektorid liigitatakse:

• Vabad vektorid: rakenduspunkt on suvaline .
  
• Libisevad vektorid- rakenduspunkt võib ümber paikneda mööda mõju sirget.
  
• Rakendatud vektorid- rakenduspunkt on kinnistatud.
  

Kaht vektorit nim võrdseks kui nad on paralleelsed, võrdse suurusega ja suunatud ühele poole
Kaks vektorit on vastupidised- kui nad on paralleelsed, võrdse suurusega, aga suunatud vastupidiselt teineteise suhtes.
Vektorite liitmine : kahe vektor a1 ja a2 summaks nim vektorit a mis saadakse

• Vektor, mis ühendab vektori algpunkti lõpppunktiga, ongi summa vektor.
  
• Mitmevektori liitmine: summavektor ei sõltu liidetavate vektorite järjekorrast.
  NB! Kui summa vektori tipp langeb kokku esimese vektori alguspunktiga, siis nim sellist vektorite hulka nurka suletuks hulknurgaks, mis võrdub 0’ga.
  

Vektorite lahutamine- kahe vektori a ja b vaheks nim vektorit c, mis lahutatavaga liidetult annab vektori c e. c= a-b
Ühe vektori lahutamisel teisest tuleb vähendatava ja lahutatava alguspunkt asetada samasse punkti. Vektori vahe alguspunkt on lahutatava vektori lõpppunkt a ja lõpppunkt vähendatava vektori lõpppunkt.
Vektori korrutamine ja jagamine skalaaarvuga: Vektori a ja positiivse skalaari n korrutiseks on vektor, mille suurus on an ja see on suunatud samas suuna s kui vektor a.
Vektori projektsioon teljel : olgu meil telg x ja vektorid, mis pole paralleelsed selle teljega. Vektori AB projektsioon teljel x nim telje lõigu a1b1 pikkust, mille alguseks on vektori alguspunkt projektsioon teljel ja lõpppunkt.... Projektsioon on võetus positiivne kui lõigu suund õhtib telje suunaga, a1b1=positiivne, aga d1c1=negatiivne (suund on vastupidine telje suunaga). Projektsiooni tähistatakse PrxAB= a1b1.
Teoreem vektorile projektsiooni kohta- vektori projektsioonid paralleelsete ja ühesuunalistele telgedele on võrdsed. x║y, PrxAB=PryAB, a1b1= a2b2. tõestuseks lõikame neid telgi kahe paralleelse tasapinnaga.
Vektori projektsioon teljele on võrdne projekteeritava vektori suuruse ja vektori ning telje vahelise nurga koosinuse korrutisega. PrxAB=Abcosα, a1b1= a2b2, PryAB=PrxAB => /AB/cosα.
Mitme vektori geomeetriline summa projektsioon teljele on võrdne komponent vektorite projektsioonide summaga samal teljel.
Vektori komponendid ja vektori projektsioonid koordinaatteljestikus:

igat vektorit koordinaatteljestikus kirjeldatakse tema projektsioonide kaudu

projektsioonide ruutude summa ristkoordinaadis annab vektori pikkuse ruudu
Loeng 2.
Jõud, sidemed ja nende süsteemid staatika aksioomid
Kehade vahelised mõjutused võivad olla staatilised või dünaamilise.
Def: suurust, mis on kehade vastastikuse toime mõõduks nim. jõuks. Selle jõu kohta kehtib Newtoni 1 seadus- iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni talle rakendatud jõud puuduvad või on tasakaalus. ( jõud on keha liikumise muutumise põhjus). Jõud on määratud siis, kui on teada tema suurus, mõju suund ja rakenduspunkt. Jõud on vektoriaalne suurus.
Jõu rakenduspunktiks nim. seda materiaalset punkti kehas, millele mõjub jõud. Jõu suunal mõistame liikumise suunda, mille saab selle jõu mõju vaba materiaalne punkt, mis alguses oli paigal. Sirget, mida mööda on suunatud antud jõud nim. selle jõu mõjusirgeks. Mingile jäigale kehale või mehaanilise süsteemile võib samaaegselt mõjuda mitu jõudu. Nende jõudude kogumit nim. jõudude süsteemiks. Jõu suurus määratakse tema võrdlemise jõuga mis on võetud ühikuks. Jõu mõõt ühikuks SI- süsteemis on Njuuton (N). Kaks jõusüsteemi on ekvivalentsed, kui nad mõjuvad kehale ühtviisi.
Aksioom - väide mille tõesuses ei kahelda.
1.Tasakaalu aksioom- kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad pikki sama sirget. See aksioom määrab ära lihtsama tasakaalus jõusüsteemi. Keha, millele mõjub üksainus jõud, ei saa olla tasakaalus. See aksioom kehtib absoluutselt jäiga keha korral, sest deformatsiooni korral nihkuvad rakenduspunktid.
2.Superpositsiooni aksioom- tasakaalus olevate jõudude lisamine või ära jätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist.
Esimesest ja teisest aksioomist võib järeldada, et jäiga keha tasakaal ja liikumine ei muutu. kui jõurakenduspunkt viia mööda selle jõu mõjusirget keha mistahes teise punkti.
3. Jõu rööpkülliku aksioom- keha mingis punktis rakendatud kahe jõu liitmine toimub rööpkülliku reegli järgi.
Resultantjõuks nim. Jõudu, mis on ekvivalentne ( samaväärne) antud jõusüsteemiga ehk.
Jäiga keha ühte punkti rakendatud kahe jõu resultant on rakendatud samasse punkti ja võrdub nende jõudude geomeetrilise summaga.
4. Mõju ja vastumõju aksioom- kaks keha mõjutavad teineteist jõududega mis on võrdvastupidised ja omavad sama mõju sirget.
5. Jäigastumise aksioom- deformeeruva keha tasakaal antud jõu süsteemi puhul ei muutu, kui keha lugeda deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks. Üleminek deformeerunud kehalt jäigale on seotud keha liikumisvabaduse piiramisega ( kehal mistahes kahe punkti vaheline kaugus loetakse muutumatuks). Kui deformeeruv keha oli tasakaalus, siis täiendavate kitsenduste pealepanek kehale ei riku tasakaalu. Arvutused viiakse läbi jäiga keha staatika võrrandite kohaselt ja saadud tulemused kehtivad ka esialgse süsteemi korral. Tingimused, mis jäiga keha tasakaaluks on tarvilikud ja piisavad, osutuvad deformeeriva keha puhul tarvilikeks kuid mitte piisavateks.
6. Jõudude liitmine ja komponentide lahutamine- iga jõud on lahutatav meile sobivas koordinaatteljestikus, selle koordinaatteljestiku telgede suunalisteks komponentideks. Selleks viime koordinaatteljestiku alguspunkti jõu rakenduspunkti ja leiame jõu vektori projektsioonid selle koordinaadistiku telgedele.
Jõu sidemed ja nende süsteemid
Jäika keha nim avaks, kui teda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse. Tingimusi, mis kitsendavad keha liikumist nim sidemeteks. Kehadele mõjuvad sidemed kitsendavad nende kehade liikumisvabadust ning muudavad nende liikumist võrreldes sellega, mida nad sooritaksid samade jõudude mõjul sidemete puudumise korral. Nii võime lugeda, et sideme mõju jõu tagajärg on samasugune , kui jõudude mõju oma, mistõttu võime sidemete mõju asendada vastavate jõududega. Neid jõudusid nim. sideme reaktsioonideks. Sideme reaktsioon on suunatud vastupidiselt suunale, milles side takistab keha liikumist.
Kuna reaktsiooni jõud ilmnevad alles kehale tegelikult toimivate jõudude mõjul siis nim. neid ka passiivseteks jõududeks. Aktiivsete jõudude all mõistame aga kõiki neid jõude, mis ei ole reaktsiooni jõud.
Staatika üheks põhiülesandeks ongi sidemete reaktsioonide leidmine tasakaalus oleva keha jaoks, kui talle on rakendatud aktiivsed jõud.
Mehaanika ülesande lahendamisel omab tähtsat kohta sidemetest vabastamise printsiip:
Iga mitte vaba keha võib vaadelda, kui vaba keha, kui jätta ära seosed või sidemed ning asendad nende mõju reaktsioonijõududega. Ülesande lahendamisel on oluline määrata reaktsioonijõudude suund.
Sidemete tüübid:

Hõõrdevaba pind- takistab ainult keha liikumist pinna sisse, st. sellel pinnal on tegemist ainult pinna normaali jõududega. Seose reaktsioon peab olema pinna normaali sihiline.

Liigendid e. šarniirid
Kolme jõu tasakaal
Mõjugu jäigale kehale kolm mitte paralleelset jõudu. Tasakaalud aksioomi järgi on need jõud tasakaalus siis, kuid nad on võrdvastupidised ja neil on sama mõjusirge. Viimane tingimus on täidetud siis, kui nende jõudude mõjursirged lõikuvad ühes punktis.
Võime järeldada, et kolm mitte paralleelset jõudu on tasakaalus on ainult siis:

kui nende mõjusiged lõikuvad ühes punktis

neist saab moodustada kinnise kolmnurga kindla ümberkäigu suunaga.
Jõudude kolmnurga saab moodustada üksnes ühes tasapinnad olevate jõudude puhul, siis kolm mitte ühes tasapinnas jõudu tasakaalus olla ei saa.
Loeng3.
Tasapinnaline koonduv jõudude süsteem. Jõudude liitmise geomeetriline meetod ja tasakaalusüsteemis, jõu lahutamine komponentideks.
Jõudusi, mille jõud lõikuvad ühes punktis nim koonduvateks. Kuna jõud on libisev vektor, siis saame neid üle kanda mööda mõjusirgeid nende lõikepunkti.
Ühte punkti rakendatud kaks jõudu liidetakse jõudude rööpkülliku reegli järgi. Kui on teada, et komponentjõudude F1 ja F2 ja nende vahelise α suurused, siis resultantjõu suuruse F võib leida kolm nurgast OAC cos teoreemi abil.
Erandjuhud:

α=00, jõud samasuunalilsed ja ühel sirgel, cos00=1

α=1800, cos1800=-1
Kahte jõudu võib arendada kolmnurga võttega. Ühte pukti rakendatud mitu jõudu, arvutamine jõu hulknurga võttega. Tulemuseks saame vektori, mille alguspunkt on esimese vektori alguspunkt ja mille lõppunkt on viimase vektori lõpppunkt. Hulknurga võte – jõudude liitmise geomeetriline meetod.
Koonduvate jõudude tasakaalu tingimus.
Koonduvad jõud on tasakaalus, kui jõu hulknurgas viimase vektor lõpp langeb kokku esimese vektori algusega ( alguspunktiga ).
Koonduvate jõudude tasakaaluks on vajalik ja piisav et nendele jõududele ehitatud hulknurk oleks suletud.
Koonduvate jõudude tasakaalu võrrand ( analüütiline meetod jõudude liitmiseks)
Def: Koonduva jõu süsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võrduks nulliga.
Jõu lahutamine komponentideks: jõu asendamist temaga ekvivalentse jõusüsteemiga nim. jõu lahutamiseks komponentideks.
Paralleeljõud. Jõudude liitmine ja lahutamine.
Jõudusid, mille mõjusirged on üksteisega paralleelsed nim paralleeljõududeks. Olgu, meil vaja liita 2 samasuunalist paralleeljõudu P ja Q. Kuna nende jõudude mõjusirged ei lõiku, siis nende otsene liitmine rööpküliku aksioomi järgi langeb ära. Mõlemasse punkti rakendame võrdvastupidised jõud.
Liites S1 ja P ja S2=Q saame resultantjõudu. Pikendame jõusirged, kuni nad lõikuvad punktis P. Kuna /S1/=/S2/, seega jõuavad mõjuma Q ja P, et nende mõjusirged ühtivad siis R on P ja Q’ga samasuunalised. R=/P/+/Q/. Kanname rakenduspunktist D üle punkti C, C-asukoha määramiseks vaatame kahe sarnase kolmnurkade paari.
Tulemusest lähtub et resultantjõu rakenduspunkt C jaotab lõigu AB osadeks pöördvõrdeliselt /P/ ja /Q/ suurustega.
Def: Kahe samasuunalise paralleeljõu resultant on nende jõududega samasuunaline vektor, mis suuruselt võrdub nende jõude summaga ja mille mõjusirge läbib punkti, mis jaotab jõudude rakenduspunkti ühendava lõigu osadeks pöördvõrdeliselt nende suurustega.
Jõu lahutamine temaga paralleelseteks komponentideks on üldjuhul määramata ülesanne. Ülesanne muutub määratuks, kui on antud mõni konkreetne tingimus, mille suhtes ta lahutatakse komponentideks.
Kahe antiparalleelse jõu liitmine – antiparalleeleks nim jõude, mis on samasihilised, kuid vastassuunalised.
Loeng 4.
Jõupaar ja tema moment. Jõupaaride liitmine ja ekvivalentsus
Vaatame kahest vastassuunalisest paralleeljõust koosnevat süsteemi olukorras, kus nende jõudude suurused on võrdsed.
Jõupaari mõiste: kahe suuruselt võrdse, suunalt vastupidise ning mitte ühel sirgel mõjuva jõu süsteemi, nim jõupaariks. Tasapinda, milles paar mõjub, nim paaritasapinnaks. Paar on jõudude süsteem, millel ei ole resultanti ja mis pole tasakaalus.
Paari tähistame järgmiselt: (F,-F).
Katse näitab, et paar annab kehale pöörleva liikumise jõupaari tasapinnas ja edaspidi rääkides paaridest eeldame, et paari jõud on ristilõiguga, mis ühendab nende rakenduspunkte. Paari jõudude mõjusirgete vahelist kaugust h nim jõupaariõlaks.
Jõupaari moment.
Jõupaari mõju kehale iseloomustab:

tasapoind, milles paar asub

paari moodustavate jõudude suurus

jõuõlg

jõupaari jõudude suund, mis määrab ära jõupaari pöörlemissuuna,
Kõigi nende nelja jõu mõjul koosmõju iseloomustatakse jõumõistega.
Def: jõupaari momendiks nim paari ühe jõu suuruse korrutist õlaga võetava siis pluss või miinus märgiga. Märk on kokkuleppelilne, kuid lähtudes vektorkorrutise suunast on + märk siis, kui meil on jõupaar püüab pöörata keha vastupäeva. – märk, kui jõupaar püüab pöörata keha päripäeva. Tähistatakse: M=+-F*h
Jõupaari põhiomadused

Teoreem: jõupaari võib üle kanda mistahes asukohta tema tasapinnas ilma, et muutuks ta mõju jäigale kehale. Olgu meil jõupaar (F,F’) õlaga h=AB. Näitame, et muutmata antud jõupaari mõju võib ta ümber paigutada nii, et õlg langeb ühte Cd. Sirgete I ja III, II ja IV lõikepunktidesse, mida tähistatakse K ja L kanname mööda mõjusirgeid jõud F ja F’. Nüüd rakendame K ja L isekeskis tasakaalustavad jõud F1 ja F2 suunatud pikisirget III ja IV. Võime öelda, et /R/=/R1/ tasakaalustavad üketeist, järelikult jäävad jõud F2 ja F4, mis asuvad III ja IV sirgel. Nad moodustavad jõupaari ning jõupaar F ja F’ on ülekantud lõigule DC, kusjuures jõupaari moment on muutumatu.

Teoreem: kaks ühes tasapinnas asuvat ja võrdsete momentidega ning ühesuguse pöörlemissuunaga jõupaari on ekvivalentsed(samaväärne). Olgu meil üks jõupaar (F,F’), õlaga AB, jõupaarimoment M1=F*AB. Lahutame jõu F’ kaheks paralleelseks jõuks Q ja Q’, millest Q1 on rakensatud punkti A ja Q’ punkti C, mis asub õla AB pikenduseks. Q ja Q’ ei ole võrdsed.
F’/Q’=AC(AB=> F’*AB=Q’*AC, Q’=F’*AB/AC, F’=Q1+Q’.
Asendame punkti A rakendatud jõu F ja F1 resultandiga, mis on suunatud allapoole.
f-Q1=Q=Q’ =>
Teisendamise tulemusena (F,F’) ->(Q,Q’) jõupaar õlaga AB teisenduses AC.
Selle saadud jõupaari momendiks on
M2=Q’*AC=F’*AB/AC=F’*AB=M1
Tulemus: jõupaari (F,F’) asemel, mille õlg on AB saime temaga ekvivalentsed jõupaari (Q,Q’), mille õlg on AC.
Ühes tasapinnas asuvate jõupaaride liitmine
Olgu jäigale kehale rakendatud mitu jõupaari (F1,F1’) õlaga d1, (F2, F2’) õlaga d2, (F3,F3’) õlaga d3.
Jõupaarimomendid: M1=-F*d1, M2=-F2*d2, M3=F3*d3.
Võtame lõigu AB, pikkusega d ja taandame kõik jõupaaride ühele õlale d.
(P,P1); (P,P2); (P,P3)
m1=-P1d, m2=-P2*d, m3=P3*d =>
=> F1d1=P1d; F2d2=P2d; F3d3=P3d
Kuna jõupaari saab tema tasapinnas ülekanda mistahes asendisse, siis paigutame kõik paarid saadud nii, et nende õlad langeksid lõiguga AB.
Jõud oleksid asetatud kahele paralleelse sirgele, mis on risti lõiguga AB.
Liites need jõud P1, P2, P3 saame resultandi:
R= P1+P2+P3
R’= P3- P2-P1
Jõud R ja R’ moodustavad jõupaari (R,R’)
Järeldus: jõupaarid (F1,F1’) , (F2, F2’) , (F3,F3’) taanduvad üheks jõupaariks (R,R’), mida nim resulteerivaks paariks.
Resulteeriva paarimoment võrsub liidetavate paaride algebraliste summaga.
Tähistatakse: m0
m0=m(R,R’)=-Rd= -( P1+P2-P3)d= -P1d-P2d+P3d=m1+m2+m3=m(F1,F1’)+m(F2, F2’)+m(F3,F3’).
Järelikult: tasapinnas mistahes viisil paigutatud jõupaare saab liita. Nende liitmisel saadakse üks resulteeriv jõupaar, mille moment võrdub liidetavate jõupaaride momentide algebraliste summaga.
M(R,R’)=∑(üleval n, all j=1)m(Fj, Fj’)
Et paaride süsteem oelks tasakaalus peab resulteeriva jõupaarimoment võrduma O.
m(R,R’)=0