,,Eukleides" Eukleides: Eukleides oli Kreeka matemaatik, keda tuntakse ka ,,geomeetria isana". Eukleides oli esimeste peaaegu täielikult säilinud matemaatikateoste autor. Eukleidese tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria. See tohutu suur, 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid) hõlmav töö on kirjutatud ranges loogilises järjekorras ja on olnud paljude aastasadade vältel geomeetriaõpikute koostamise aluseks. Eukleidese aksioomid : Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X
arvuga. Algebralised süsteemid Vektorarvutus Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatsioon ehk 4. Aksioomid: tehe, nim. algebraliseks süsteemiks. Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu võrdsed või võrdelised, siis determinant võrdub nulliga. Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon
13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetriat ehk geomeetria haru, milles kõrgemat matemaatikat kasutamata uuritakse lihtsamate kujundite põhilisi omadusi. See teos oli ilmumisajast kuni 20. sajandi alguseni kasutusel matemaatika ja geomeetriaõpikuna. Selles leidunud põhitõdesid kutsutakse nüüd Eukleidese geomeetriaks. Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis
Defineerimiseks nimetatakse mõistele selgituse andmist. Mõiste definitsioon annab täpse vastuse küsimusele: „Mis on?“ või „Mida nimetatakse?“. Mõistete defineerimisel kasutatakse algmõisteid. Algmõisted- mõisted, mida ei defineerita. Need on näiteks: punkt, sirge, tasand, arv, ruum, suurus. Teoreem: Teoreemiks nimetatakse lauset, mida saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil. Laused, mid kasutatakse põhjendamisel peavad olema enne põhjendataud, välja arvatud aksioomid. Aksioom- lause, mida loetakse tõeseks ilma põhjendamata. Teoreemi eeldus ja väide: Teoreemis eristatakse kahte osa: 1) eeldus- ütleb, mis on antud või teada 2) väide- ütleb, mida on vaja tõestada või põhjendada. Kui teoreem on kirjutatud kui, siis vormis, siis eeldus algab sõnaga kui ja võide algab sõnaga siis.
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , ...
2. sipelga tunnetus äärmiselt empiiriline ja kuna sipelga tegevus ei anna uut kvaliteeti, on see lõputu sihipäratu faktide kuhjamine ja me ei pruugi jõuda mingisuguse kogemuseni. 3. mesilase tunnetus eesmärgipärane, annab tulemusele uue kvaliteedi. Ratsionalism Kõiges olemasolevas tuleb kahelda. Deduktsioon jagada olemasolevad teadmised üksikosadeks ja lahendada iga üksikosa eraldi. Üksikosa oma lihtsuses muutub kaheldamatuks aksioomid. Ma mõtlen, järelikult olen ma olemas. Mõni mõtted on minust enesest. Alahindasid kogemusel põhinevat tunnetamist. 17. saj. esindajad olid Descartes, Leibniz ja Spinoza. Rene Descartes prantsuse filosoof, matemaatik, füüsik ja füsioloog. Filosoofia lähtealuseks peab mõtlemist. Mõtlemise tulemusena jõuti maailma olemise tõsikindlate seaduspärasusteni. Nendeks on tema arvates mõtlemistulemid e. aksioomid. Üldised tõed maailma nähtuste, asjade kohta ei vaja mingit
Termodünaamika teine printsiip Termodünaamika tugineb kahele printsiibile. Need printsiibid on tõestamatud ehk aksioomid. Kuna ei ole leitud veel sellist asja, et lükata need printsiibid ümber siis ei kahelda nendes. Teine printsiip, mis on meie teemaks, käsitleb looduslike protsesside mittepööratavust. Seadus väljendab termodünaamiliste protsesside statistilist iseloomu ning on aluseks nii entroopia kui ka temperatuuri mõiste defineerimisel termodünaamikas. Teine pritsiipt on praktikast võetud väide, millele tugineb termodünaamika. Ning teine printsiip on suletud süsteem
DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommutatiivsus) 2) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ ⃗c ∈V korral ( ⃗a + b⃗ )+ ⃗c =⃗a +(b⃗ + ⃗c ) (liitmise assotsiatiivsus)
kogemusele. Miks ma aga täielikult ei saa nõustuda ka sellega, et kõik meie teadmised ja ideed tulenevad kogemustest, peitub näiteks selle teema seosest matemaatikaga. Ratsionalistid on välja toonud sellise näite: võib joonistada tuhandeid kolmnurki ning mõõta nende külgi ja nurki, kuid saadud andmed ei tõesta siinusteoreemi kehtivust. See tähendab, et kogemuste abil ei saa matemaatilisi teoreeme tõestada. Ratsionalismi seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika aksioomid ja definitsioonid mõistusest enesest. Selline ratsionalistide arusaam tundub tõepoolest loogiline. Järelikult võiks eelnevast tuletada, et minu arvamused ühtivad rohkem ratsionalistide omadega, kuid osalt nõustun ka empiristide väidetega. Usun, et minu filosoofiline mõttemaailm on veel väljakujunemas, seega ei saa öelda, et olen täielikult empirist või ratsionalist, kuid kindlasti on minu mõtlemist kujundanud nii ühe kui ka teise mõttesuuna ideed.
olevat Elea koolkonna esindajaid, kes arvasid, et tõeline maailm on liikumatu ainuolemine, mida saab tunnetada ainult mõistusega. Kuid põhilisteks rajajateks ning filosoofideks nimetatakse ratsionalismis siiski Immanuel Kanti, Baruch Spinozat ning David Hume'i. Ratsionalismi eeskujuks on oma matemaatika. Just matemaatika ongi see valdkond, millele ratsionalism on viidanud, kui jutt on tõsikindla teadmise võimalikkusest. Selle seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika aksioomid mõistuses enesest. Ratsionalismi seisukohalt ei saa kogemuse põhjal otsustada, mis on paratamatu ja üldkehtiv. Näiteks võib joonistada tuhandeid kolmnurki ning mõõta nende külgi ja nurki, kuid saadud andmed ei tõesta siinusteoreemi kehtivust. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria.
Antud vektori vastandvektoriks nimetatakse vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja võrdne pikkus, kuid vastupidine suund. Vektori projektsioon- Vektori projektsiooniks teljele x nim telje lõigu a*b pikkust mille algus on vektori alguse projektsioon teljele ja lõpuks vektori lõpuprojektsioon teljele. Vektori projektsioon on posit kui telje lõigu sound langeb ühte telje suunaga, millele projekteeritakse vector ja minus kui need suunad on vastupidised. 14. Staatika aksioomid- Superpositsiooni aksioom- Tasakaalus olevate jõudade lisamine v ära jätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu ja liikumist Jäiga keha tasakaal ja liikuine ei muutu kui jõu rakenduspunkt viia mööda selle jõu mõju sirget keha teise punkti.Jõu rööpküliku aksioom- Keha nimgis punktis rakendatud kahe jõu liitmine kahe jõu liitmine toimub rööpküliku reegli järgi: Jäiga keha ühte ponkti rakendatud kahe jõu resultant on rakendatud samasse punkti ja võrdub nende summaga
D Ülesanne 1 Täisnurkse kolmnurga ABC jaotab hüpotenuusi AC kaheks osaks: 4 cm ja 5 cm. Leia kolmnurga ABC pindala. B C A Eukleidese teoreem Eukleides Vana-Kreeka matemaatik ja filosoof sündinud umbes 325 eKr tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid" sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid) hõlmav tööon kirjutatud ranges loogilises järjekorras on olnud paljude sajandite vältel peaaegu ainsaks geomeetria õpikuks surnud umbes 265 eKr Teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on oma projektsiooni ja hüpotenuusi geomeetriline keskmine. C a fc a fc 2
Järeldus1 AC = BD AB + BC = BC + CD AB + BC = BC + AB vektorite liitmine on kommutatiivne. Järeldus2 AB + ( BC + CD ) = ( AB + BC ) + CD vektorite assotsiatiivsus. Järeldus3 BB = 0 AB = AB + BB on olemas null vektor. Järeldus4 BA = ( -a ) AA = AB + BA 0 = a + ( -a ) eksisteerib vastandvektor. Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega. Aksioom*1 Igale reaalarvule ja vektorile a seatakse vastavusse parajasti üks vektor b, nii et b = a. Aksioom*2 ( a ) = ( ) a Aksioom*3 ( a + b ) = a + b Aksioom*4 ( + ) a = a + a Aksioom*5 1 a = a Viimastest aksioomidest saab teha järeldused:
asub lähemal ideaalpunktile. Hindamine koos kasulikkuse analüüsiga Koostatakse sihtide puu, millisele märgitakse suhtelised ja absoluutsed kaalud. Edasi toimitakse analoogselt kaalutud punkhindamisele. 39. Aksiomaatilise projekteerimise etapid Aksiomaatiline projekteerimine põhineb hüpoteesil, mis sisaldab kindlaid fundamentaalseid printsiipe, mis kontrollivad head projekteerimise tava ning kus võtme komponentideks on projekteerimise valdkonnad, aksioomid, hierarhiad ja siksakilisuse (zigzagging) järgimine. 40. Kuidas jagunevad valdkonnad aksiomaatilises projekteerimises. Kuidas on erinevad valdkonnad omavahel seotud? Joonistada skeem. Aksiomaatiline disain/projeketeerimine koosneb neljast põhiideest, -etapist: · · valdkonnad (domains) · · hierarhiad (hierarchies) · · sik-sakilisused (zigzagging) · · disaini aksioomid (design axioms)
tähistamiseks o Teatud hulk väiteid loetakse tõesteks a priori (ilma tõestuseta). Neid väiteid nimetatakse selle teooria aksioomideks o Teooria arendamine seisneb nn. teoreemide tõestamises. Teoreemideks loetakse väiteid, mida saab tõestada ,,ainult aksioome kasutades". Väidete mugavamaks sõnastamiseks võidakse olemasolevate mõistete baasil defineerida uusi Peano aritmeetika aksioomid: o ¬ = 0 o = = o [ + 0 = ] o [ + = ( + )] o [ 0 = 0] o [ = + ] o Kõik valemid kujul 0 &[ ] Aksioomidest P1-P2 saame, et on olemas lõpmatu naturaalarvude jada 0, 0 , 0 , 0 , ... . Tavaliselt tähistame neid arve 0, 1, 2, 3, 4, ... , 2017, ... Aksioomid P3-P4 defineerivad naturaalarvude liitmise
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10
mäluta kombinatsioonloogikalülitusteks ja mäluga järjendloogikalülitusteks. 3.3 Loogikafunktsioonid ja elemendid 3.4 Loogikaseadused Loogikaseadusteks nimetatakse tavaliselt binaarloogika algebra ehk Boole' i algebra seadusi. (George Boole [2.11.1815-8.12.1864], inglise matemaatik ja loogik oli üks matemaatilise loogika rajajaid.) Algebraks nimetatakse üldjuhul elementide hulka, millega tehakse tehteid, kusjuures nende tehete aluseks on kindlad reeglid ehk aksioomid. Aksioomid määravad ära algebra põhitehete omadused ja seosed. Kuna nüüdismatemaatikas on palju algebra like (universaalalgebra, hulgaalgebra, loogikaalgebra), siis kehtivad neis ka erinevad tehted ja aksioomid. Boole'i algebra elementideks on binaarloogika signaalid (argumendid) kahe tõeväärtustega: väär ehk 0 (false) ja tõene ehk 1 (true). Võib lisada et polüvalentse (mitmevalentse) loogika puhul on tegemist enam kui kahe erineva tõeväärtusega.
Paralleeljõudude kese paralleeljõudude keskmel on omadus et kui pöörata ühes suunas kõigi jõudude mõjusirgeid jõudude rakneduspunktide ümber ühe ja sama nurga võrra siis resultandi mõjusirge pöördub paralleeljõudude keskme ümber sama nurga võrra. Jäiga keha raskuskese Jäiga kehaga muutumatult seotud punkt mida läbib keha kõigile osadele mõjuvate paralleelsete raskusjõudude resultant. Kehade stabiilsus kaldpinnal Staatika aksioomid Tasakaalu aksioom Kaks abs. jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui neil ühine mõjusirge ja nad on võrdvastupidised Superpostisiooni aksioom tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajrmine ei mõjuta keha tasakaalu Jõurööpküliku aksioon Kaks ühtepunkti rakendatud jõudu võib asendada ühe jõuga mis on rakendatud samasse punkti ja kujutuab endast antud jõududele ehitatud rööpküliku diagonaali. Jõudu millega saab
Paralleeljõudude kese paralleeljõudude keskmel on omadus et kui pöörata ühes suunas kõigi jõudude mõjusirgeid jõudude rakneduspunktide ümber ühe ja sama nurga võrra siis resultandi mõjusirge pöördub paralleeljõudude keskme ümber sama nurga võrra. Jäiga keha raskuskese Jäiga kehaga muutumatult seotud punkt mida läbib keha kõigile osadele mõjuvate paralleelsete raskusjõudude resultant. Kehade stabiilsus kaldpinnal Staatika aksioomid Tasakaalu aksioom Kaks abs. jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui neil ühine mõjusirge ja nad on võrdvastupidised Superpostisiooni aksioom tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajrmine ei mõjuta keha tasakaalu Jõurööpküliku aksioon Kaks ühtepunkti rakendatud jõudu võib asendada ühe jõuga mis on rakendatud samasse punkti ja kujutuab endast antud jõududele ehitatud rööpküliku diagonaali. Jõudu millega saab
Kui kehale on rakendatud ainult üks jõud siis see jõud asendab tervet jõusüsteemi ning on vastava jõusüsteemi resultant. Resultandiks nim koonduvate jõudude geomeetrilist summat, resultant rakendub nende jõudude lõikepunktis. 4. Koondatud ja jaotatud jõud Koondatud jõud-mõjub kehale ühes punktis. Jaotatud jõud-mõjub mingile pinna või ruumi osale. Absoluutselt jäikade kehade puhul asendatakse jaotatud jõud üksikjõuga. 5. Staatika aksioomid Staatika aktsioomid: a) Tasakaalu aktsioom-kehale,millele mõjuvad kaks jõudu on tasakaalus parajasti siis,kui need jõud mõjuvad ühel sirgel ja on võrdvastupidised. b) Ekvivalentsuse aktsioom-tasakaalus oleva süsteemi lisamine või eemaldamine ei muuda jõusüsteem olekut. c) Jõurööpkülik-Keha seisundit muutmata võib kaks tema mingis punktis rakendatud Jõudu asendada resultandiga, mis võrdub jõudude geomeetrilise summaga
aga see-eest on nad head sõbrad. Naised ei mänginud Kanti elus suurt rolli. Ta jäi vallaliseks Kanti tööpäev algas kell 5 hommikul. Siis valmistus ta loenguteks, mis algasid tavaliselt kell7. Lõunasöök oli Kanti jaoks ainus söögikord ning see kestis kella ühest nelja-viieni. Kanti tunnetusteooria Tõelise teadmise staatuse pälvisid teadmised millegi üldkehtiva ning paratamatu kohta, nt matemaatika ja loogika aksioomid, väide, et kõigel on põhjus jne. Kanti huvitasid eelkõige just sellised tõelised teadmised, kuid ta arvas, et neis sisaldub nii kogemusest kui ka mõistusest lähtuvat. Inimtunnetusel on seega kaks allikat meeled ja mõistus. Selles mõttes vastandubki Kanti tunnetusteooria nii traditsioonilisele empirismile kui ka ratsionalismile ning vähemalt Kanti enda arvates ületab mõlema puudused (ühekülgsuse):
vahelise nurga koosinuse korrutisega. PrxAB=Abcos, a1b1= a2b2, PryAB=PrxAB => /AB/cos. Mitme vektori geomeetriline summa projektsioon teljele on võrdne komponent vektorite projektsioonide summaga samal teljel. Vektori komponendid ja vektori projektsioonid koordinaatteljestikus: 1. igat vektorit koordinaatteljestikus kirjeldatakse tema projektsioonide kaudu 2. projektsioonide ruutude summa ristkoordinaadis annab vektori pikkuse ruudu Loeng 2. JÕUD, SIDEMED JA NENDE SÜSTEEMID STAATIKA AKSIOOMID Kehade vahelised mõjutused võivad olla staatilised või dünaamilise. Def: suurust, mis on kehade vastastikuse toime mõõduks nim. jõuks. Selle jõu kohta kehtib Newtoni 1 seadus- iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni talle rakendatud jõud puuduvad või on tasakaalus. ( jõud on keha liikumise muutumise põhjus). Jõud on määratud siis, kui on teada tema suurus, mõju suund ja rakenduspunkt. Jõud on vektoriaalne suurus. Jõu rakenduspunktiks nim
seda on argumenteerimine. 2 1. Argument Argument on mis tahes suuline või kirjalik tekst või tegu, millega kedagi milleski veenda püütakse, seda eelkõige veenmiskunstis, loogikas nimetatakse argumendiks propositsioonide või väidete süsteemi, milles on eristatud eeldus või eeldused ja järeldus. Argumendid jaotuvad kaheks: empiirilised argumendid ehk faktid, statistilised andmed, aksioomid, paradigmad ja standardid, aprioorsed argumendid on aga intuitsioon, usk, demagoogilised võtted ja varem tõestatud või tõeseks peetud asjaoludele. Empirism tunnistab usaldatava tunnetuse ainsaks vahendiks kogemuse ehk meelelise taju. Sellise filosoofilise õpetuse järgi pärinevad kõik teadmised tegelik maailma kohta kogemusest. Ratsionalism peab omakorda ainsaks tõese teadmise allikaks mõistust.1 Empirismis toimub argumenteerimine vastavalt loogika reeglitele ja seadustele
vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Def. 1. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud II ptk. §1 teoreemis loetletud aksioomid 1° 8°. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks. Def. 1. Vektorite 1 , 2 , ... , m V lineaarseks kombinatsiooniks nimetatakse iga vektorit kujul c11 + c2 2 + ... + cm m , kus c1 , c2 , ... , cm . Seega on vektorite 1 , 2 , ... , m lineaarne kombinatsioon vektor, mis on saadud nendest vektoritest lineaarsete tehete abil. Näide 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised
toele mis on risti tema raskusjõu mõjusirgega. 13. Kehade stabiilsus kaldpinnal Olgu keha horisontaalsel tasapinnal, mis on punktis A kinnitatud tasapinna külge. Oletades, et keha saab pöörelda ümber liigendi A. Mõjugu talle kallutav jõud Q. Kallutav jõud punkti A suhtes: M=-Q*h. Taastavaks/vastumõjuvaks raskusjõud G: M=G*a. Mtaastav>=Mkallutav. Stabiilsustegur k=Mtaastav/Mkallutav. k>1- tasakaal. 14. Staatika aksioomid 1.Tasakaal- 2 absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus vaid siis kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget. 2. Superpositsiooni- Tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist. Jäiga keha tasakaal või liikumine ei muutu, kui jõu rakenduspunkt viia mööda mõjusirget keha mistahes mõjupunkti. 3. Jõu rööpkülik- Keha mingisugusesse punkti rakendatud kahe jõu liitmine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Alamruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Faktorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 5.5 Otsekorrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ¨ 5.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 4 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.1 Eralduvuse aksioomid ja j¨areldusi neist . . . . . . . . . . 60 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 ¨ 6.3 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 7 KOMPAKTSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi . 68 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides .
Kui tagasi tuldi, leiti filosoof igavikuvaikuses. SPINOZA MATERIALISTLIK FILOSOOFIA Samuti nagu Descartes püüdis ka Spinoza rajada filosoofiat absoluutselt tõsikindlatele lähte-eeldustele. Tõsikindluse ja range tõestatuse musterkujuks pidas Spinoza geomeetriat, kus aksioomidest rangelt dedutseeritakse teoreemid. Sellepärast kirjutas ta oma peateose "Eetika" niinimetatud geomeetrilisel meetodil. "Eetika" alguses on antud definitsioonid, siis on sõnastatud aksioomid , edasi on nende definitsioonide ja aksioomide alusel tõestatud teoreemid. Seejuures käsitletakse aksioome seisukohtadena, mille tõestus on intuitiivselt selge. Kõik ülejäänud tõed tulenevad aksioomidest ja definitsioonidest kui oma loogilisest alusest. Uueaegse filosoofia kallimaid aardeid - Ethica more geometrico demonstrara - valati Spinoza poolt geomeetrilisse vormi. Selle viis raamatut käsitlevad: 1. Jumalat; 2. hinge olemust ja algupära; 3
Minevik on inimese mälestustes, tulevik ootustes. Aeg on üksnes hingeline nähtus ja jumala asetamine ajalistesse seostesse on väär. Jumalatõestus- 1)liikumatu liigutaja; 2)põhjuslikkus; 3)võimalikkus ja paratamatus; 4)jumal kui väärtuste ja hinnangute absoluutne alus; 5) maailmas valitseb teleoloogia, eesmärgipärasus. Peab olema juht, kes suunab. 10. Descartes- eesmärgiks oli ehitada kõik inimlikud teadmised üles ühtse süsteemida. Dedukstioon on tõene siis kui aksioomid on tõesed. Millistele aksioomidele rajada filosoofia? Tema arvates peab metafüüsika andma teadmistele vundamendi. Et mitte rajada teadmiste süsteemi näivatele eeldustele, rakendas ta metoodilist kahtlus. Kas filosoofia saaks rajada meelelistele kogemustele, kuid meeled petavad meid vahel. Mõtlen, järelikult olen- uusaegse pöörde moto, ratsionalismi lähtekoht. Subjekt- iseenesena aluseks lebav, iseseisvalt olev. Uusajal saab subjektiks mõtlev mina ja teised muutuvad selle jaoks
tähega . 112. a = ae + ar + ac Absoluutne kiirendus 113. Coriolise teoreemi alusel - 114. Kiirenduste arvutamine 115. n Pa + a = a + a + aet + ac t P r n e 116. 117. 118. Punkti dünaamika: Dünaamika aksioomid 119. 120. I aksioom. Inertsiseadus 121. kus on liikumine, seal peab olema ka mingi jõud 122. II aksioom. Dünaamika põhiseadus 123. Punktmassi kiirendus on mõjuva jõuga võrdeline ja samasuunaline, võrdeteguriks on punkti mass. 124. Erijuhtum. Kõikidele maapinna läheduses asetsevatele kehadele mõjub raskusjõud , mille moodul on võrdne keha kaaluga 125. Newtoni I seadus. 126
III teema Millisel lausel pole tõeväärtust? A. Ei ole õige Tõeväärtust pole ilmselt vääral lausel, näiteks lausel Mõni paarisarv ei jagu 2-ga B. Ei ole õige Tõeväärtust pole aprioorset teadmist väljendaval lausel, näiteks lausel Iga paarisarv jagub 2-ga C. ÕIGE Tõeväärtust pole mõtteta lausel, näiteks lausel Radiaatori hüpotenuus on suurem kaatetist Geomeetria aksioomid on Henri Poincare arvates ("Teadus ja hüpotees") A. ? mõistusest endast pärinevad sünteetilised aprioorsed väited B. Õige! konventsioonid, täpsemalt - varjatud definitsioonid C. ? kogemusele tuginevad üldistused (kogemusüldistused) Kui sirget tõlgendatakse valguskiirena homogeenses keskkonnas, siis on Carl Gustav Hempel'i arvates ("Geomeetria ja empiiriline teadus") tegemist A. ? geomeetria jaoks sobimatu tõlgendusega B
1. Lahenduvus Eksam- Eksamehk kas üldse ülesannet saab lahendada 2. Lahendubus Eksamtavamõttes - Tüüpilised põhjused, miks me ei saa tavaprobleeme lahendada: näiteks, kuidas saada kiiresti väga palju raha (pole piisavalt infot ja juhuslikkus segab) 3. Lahendubus Eksammatemaatilises Eksammõttes Eksam- EksamInfot on piisavalt: meil on olemas kõik vajalikud aksioomid / programm / täpne ülesanne ja juhuslikkust ei ole Positiivsete täisarvude, positiivsete/negatiivsete ja murdarvude võimsuse Eksamvõrdlemine Eksamja Eksamtõestamine. Reaalarvude Eksamsuurem Eksamvõimsus Eksamkui Eksamtäisarvude Eksamvõimsus (Cantori Eksamteoreem): tõestuse idee. – Vastavusse pannes on reaalarve rohkem kui täisarve, ehkki murdarve saab vastavusse panna täisarvudega Mis on peatumisprobleem, selle lahendamatuse tõestuse idee
loomuõigusõpetusi, eriti nt Hobbesil). Geomeetria kui mõistuspärase aprioorse teadmise etalon. Usuti, et intuitsioon ei tee geomeetrilisi vigu. Iga katse uurida empiiriliselt geomeetrilisi teoreeme oleks tundunud absurdne. [a) liigne usk intuitsiooni viis liialdusteni õigusemõistmises b) Gauss 18-19 saj jt tegid siiski katseid testida geomeetriat (Pythagorase teoreemi) tegelikkuses.] [5] Deduktiivse süstematiseerimise ideaalil on kolm aspekti või nõuet: 1) aksioomid on ilmselged tõed (väga lihtsad ja iseenesestmõistetavad); 2) aksioomid ja teoreemid on omavahel deduktiivselt seotud peab olema määratletud lubatavate tuletusreeglite hulk; 3) teoreemid on kooskõlas vaatlustega. (Teoreemide tõestamiseks tuleb aksioomidele lisada defineerimatud algmõisted ehk primitiivsed terminid [hulk hulgateoorias], nende kaudu defineeritavad mõisted ning tuletusreeglid.)
loomisel polnud vaba, vaid pidi lähtuma temast mitteolenevatest igavestest ideedest. Leibnizi arvates ei olnud mõistuse- ja faktitõdesid küllaldaselt eristatud seega ta kirjeldas nad ise uuesti lahti. Mõistusetõed on nt geomeetria ja aritmeetika väited. Leibnizi arusaama järgi taanduvad matemaatika teoreemid analüüsi tulemusel definitsioonidele, aksioomidele ja postulaatidele. On olemas geomeetria ja aritmeetika lihtideed, mida ei saa defineerida ning aksioomid ja postulaadid, mida ei saa tõestada nad on meie hinges sünnipäraselt olemas. Kuid, rõhutas 3 Leibniz, me ei arutleks nende üle, kui me poleks kunagi midagi näinud või muud moodi meeltega kogenud. Meie hinges on järelikult ideed ja printsiibid, mis ei pärine meelelisest kogemusest, kuid mille teadvustamist viimane ajendab. Faktitõed on aga väited konkreetsete
sellised geomeetriad empiiriliste kaemustega ühendatavad. Nendest kaalutlustest lähtudes nägi Kant matemaatilise teadmise eripära selles, et too kujutab endast mõistustunnetust mitte “mõistetest lähtudes” (nagu näiteks filosoofia), vaid “mõistete konstruktsioonist lähtudes” (A 713 / B 741), see tähendab, et matemaatika loob oma mõisted ise. Just selle tõttu on Kanti järgi matemaatikas võimalikud mõistete ranged “definitsioonid” ja “aksioomid” ning selle kaudu apodiktilised tõestused. “Mõistete konstruktsioon” tähendab tema selgituse kohaselt mõistete esitamist “ in concreto” (A 711 / B 739) ja “in concreto” omakorda tähendab “kaemuses”. See ei tähenda mitte joonise tegemist, 1 Andrus Tool / Klassikaline saksa filosoofia / FLFI.01.020. vaid seda, et osutatakse selle operatsiooni skeem, mille järgi kaemuses kujundatakse antud
*põhiühikud mehaanikas: a) Pikkus [L] =m b) Mass [M]= kg c) Aeg [T]= s d) Jõud [F]= kg*m/s2 , Njuuton on jõud, mis kehale massiga 1kg annab kiirenduse 1 m/s2. 3. Jõud (moodul, mõjusuund, rakenduspunkt). Jõud - DEF: Suurust, mis on kehade vastastikuse toime mõõduks, nimetatakse jõuks. Jõud on vektoriaalne suurus, tal on a) moodul b) mõjusuund c) rakenduspunkt * Kahte jõudu loeme samaväärseiks ainult siis, kui neil on sama tugevus (moodul), mõjusuund ja rakenduspunkt. 4. Staatika aksioomid: a) Tasakaalu aksioom - Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget. b) Superpositsiooni aksioom - Tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist. I ja II => Jõu mõju absoluutselt jäigale kehale ei muutu, kui jõu rakenduspunkt viia mööda selle jõu mõjusirget keha mistahes punkti.
seisukoht peab olema esitatud piisavalt põhjendatult, st. küllaldasel alusel. Kõnesoleva reegli esmaformuleerija oli G.W. Leibniz (1646-1716), kes püstitas nõude: seisukoht, tees (ka hüpotees?) peab olema põhjendatud peab olema piisavalt evidentne. Täpsemalt: kehtiv mõte peab olema põhjendatud, mittekehtivat (väära) mõtet pole vaja põhjendada (selleks pole vahendeidki). Põhjenditeks võivad olla: kehtivad otsustused, faktoloogiline materjal, aksioomid, postulaadid, teoreemid, teaduste andmed, seisukohad, kategooriad, seadused lühidalt, kõik tõestuses kasutatavad argumendid. Tõestaja (proponendi) ülesanne on oma veendumuste ja seisukohtade argumenteeritud ja korrektne esitus arutluses, milles sisaldub ka piisavalt austust dispuudis osaleja (oponendi) vastu. Muide, õpetlik on tähele panna parlamendis kõnelejaid, kes võivad kuitahes sügavalt erimeelsuses olla, üksteist sarkastiliselt sarjata, kuid igas nende
Sündis 24 nov 1632 Amsterdamis Käis Portugali emigrantide asutatud juudi koolis 20ndates aastates võttis üle isa äri "kohutav eksiõpetuse" e....... 1670 elas Haagis ja ilmus tema teos Teoloogilise poliitika traktaat 1673 tehti ettepanek asuda Heidelbergi ülikooli õppetoolile - millest ta keeldus suri 21 veb 1677 materialistlik filosoofia: püüdis rajada filosoofiat tõsikindlatele lähte eeldustele peateos "eetika" ülesehitus: alguses on antud definitsiooni, siis sõnastas aksioomid, edasi on definitsioonide ja aksioomide alusel tõestatud teoreemid. Õpetus loodusest: Õpetas, et eksisteerib ainult üks substants loodus mis on iseenese põhjuseks Loodus on ühelt poolt "loov loodus" teiselt poolt " loodud loodus" "loova loodusena" on ta substant ehk jumal, välistades loodusest kõrgemal asuva olendi olemasolu. Loodus on õpetuse järgi igavene ja lõputu, loodus on noiihästi põhjus kui tagajärg, niihästi olemus kui eksistents.
ahistamine. Lisaks räägib riigi puhul loodusõigusest. Igal inimesel peaks olema õigus filosofeerida ja öelda, mis mõeldakse. Sünnipäraselt oleme kõik vabad. Riigi ülesanne on selle vabaduse teostamine. Peeti omal ajal suureks ketserid, oli väga religioosne. Seotud müstika ja ratsionalismiga. Teos ,,Eetika" eluajal ei avalda, pärastpoole. Teos kujundatud geomeetrilise meetodiga. Igal lõigul selged joones. Teaduslikul viisil, aksioomid. EM: nagu matemaatikas, samamoodi filosoofiat vaja korrastada. Kasulikkus printsiibina on inimesi kahjustav motiiv, seestumus. Teoses alustab Jumala. Ütleb, et kui inimesel on Jumala kujutis vale, siis ei saa olla ka õiget inimesepilti. Substantsi kasutamine Jumala kohta. Ta jaoks substants mõiste, mis ei vaja teiste nähtuste mõisteid enda väljendamiseks, (puhas) Jumal tema jaoks absoluutne, lõputu olemine, milles pole mitte mingit piirangut.
võib saada süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid. Muutuva massiga kehade mehaanika rajas Peterburgi Polütehnilise Instituudi professor Ivan Mestserski (1859-1935). Oma kuulsa võrrandi esitas ta magistri- dissertatsioonis "Muutuva massiga punkti dünaamika" 1897. aastal. Seda arendas ta edasi ja üldistas 1904. aastal. Raketiteooria looja on K. Tsiolkovski (1857-1935). §2. Dünaamika aksioomid Dünaamika aksioome on neli. Kolmeks esimeseks on Newtoni kolm seadust. Neljanda aksioomi, nn "jõudude mõju sõltumatuse printsiibi" esitas hiljem Lagrange. 1. I aksioom. Inertsiseadus. Punktmass, millele ei mõju jõudusid, säilitab oma paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise seni, kuni talle rakendatud jõud ei sunni teda seda olekut muutma. Selle seaduse avastas juba G. Galilei 1638. aastal. Asi oli nimelt selles, et Vana-
meele kaemusevorm, vorm, mille me meeleaistingu ainele pea- le surume -- kui ainsat võimalikku seletust nende sünteetiliste propositsioonide teadmisele a priori. Ent kui seisukoht, et puhas geomeetria tegeleb füüsikalise ruumiga, oli piisavalt usutav Kan- ti päevil, mil Eukleidese geomeetria oli ainuke geomeetria, mida tunti, siis hilisem mitteeukleidiliste geomeetriate leiutamine on näidanud, et see on ekslik. Nüüd näeme, et geomeetria aksioomid on lihtsalt definitsioonid ja et geomeetria teoreemid on lihtsalt nende definitsioonide loogilised järeldused. (Vrd Poincar´e 1914: II osa, ptk iii.) Geomeetria iseenesest ei käi füüsikalise ruumi koh- ta; ei saa öelda, et see iseendast üldse millegi "kohta" käiks. Aga me võime geomeetriat kasutada füüsikalise ruumi üle arutlemisel. See tähendab, kui oleme kord andnud aksioomidele füüsikalise tõlgenduse, võime järgnevalt rakendada teoreeme objektide pu-
Meetod toimib hästi tehniliste süsteemide puhul. Süsteemi või programmi veapuu analüüs võimaldab lokaliseerida ja analüüsida süsteemi kriitilisi komponente, analüüsida kriitiliste komponentide vahelisi seoseid ning paremini kvantifitseerida riske. Algoritmide või programmide tõestamist võib käsitleda ühe staatilise meetodina. Lühikokkuvõte tõestamisest: · Siht. Näidata, et programm vastab spetsifikatsioonile · Idee. Luuakse loogiline arvutus (valemid, aksioomid, tuletusreeglid, tõestused, teoreemid). Selle arvutuse terminites kujutatakse spetsifikatsiooni (sisendid ja väljundid) ning programmi. Tõestatakse, et lähtudes antud sisenditest ja kasutades antud programmi jõutakse nõutud väljunditeni (tavaliselt ka, et programm lõpetab töö) · Eeltingimused. Spetsifikatsioon, programm, loogikavahendid, vajadus, ressursid, soovitavalt toetav tarkvara · Eelised. Suurem töökindlus, formaalne korrektsus, ainuke viis tsüklite korrektsuse
Tema võttis kasutusele jõuhulknurga võtte jõudude liitmisel. Varignon täpsustas ja viimistles jõu momendi mõistet, andes jõu momendile just sellise kuju, nagu me seda tänapäeval tunneme. Varignon defineeris ja tõestas kuulsa teoreemi resultantjõu momentidest, mis tänapäeval kannabki Varignoni nime. Louis Poinsot (1777-1859) defineeris oma kuulsas traktaadis ”Staatika elemendid” 1803. aastal kõik staatika aksioomid ja esitas need just sellisel kujul, nagu me neid tänapäeval tunneme. Tema andis kahe või enama paralleeljõu liitmise võtte, tema tõi sisse jõupaari mõiste ja andis kogu jõupaaride teooria. Poinsot võttis kasutusele reaktsioonjõu mõiste, ilma milleta me tänapäeva mehaanikat ette ei kujutagi. Poinsot andis ka jõusüsteemi taandamise teooria ja esitas vaba jäiga keha tasakaalutingimused. Seega paistab, et Poinsot panus staatika arengus on vist kõige suurem
Kui need osakesed liiguvad kiiremini, siis eksisteerivad nad kauem, sest liikuvas süsteemis aeg kulgeb aeglasemalt. Relatiivsusteooriast tuleneb niinimetatud absoluutkiiruse printsiip, mis ütleb: väli liigub aine suhtes alati suurima võimaliku kiirusega ehk absoluutkiirusega aga ainelised objektid liiguvad omavahel suhteliste kiirustega, mis sõltuvad taustsüsteemi valikust. Analoogiliselt on matemaatikud loonud teooriaid lähtudes mõnest põhitõest, mida nemad nimetavad aksioomideks. Aksioomid ei ole samuti tõestatavad nagu füüsika põhiprintsiibid, kuid neist lähtudes võib luua täiesti üldkehtivaid ja rakendatavaid teooriaid (positiivse ja negatiivse kõverusega ruum). Näiteks füüsikas on üldkehtiv atomistlik printsiip, mis väidab, et loodus ei ole lõputult ühel ja samal viisil osadeks jagatav. Tänaseks teada ja kätte saadavad osakesed, millest on moodustunud aatomid, on prooton, neutron ja elektron. Kuid
selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi b ? järeldub Eukleidese paralleelide aksioom teistest aksioomidest ning seetõttu ei saa teda asendada uue aksioomiga, sest siis tekiksid vasturääkivused c ? on Eukleidese paralleelide aksioom mõistusest tulenev ilmselge tõde ning sõltumatu teistest aksioomidest 3 Geomeetria aksioomid on Henri Poincare arvates ("Teadus ja hüpotees") a Ei ole õige mõistusest endast pärinevad sünteetilised aprioorsed väited b Ei ole õige kogemusele tuginevad üldistused (kogemusüldistused) c ? konventsioonid, täpsemalt - varjatud definitsioonid 4 Millises arutluses lähtutakse tõe kooskõlateooriast? a ? See on tõsi, et ta käis kinos - ma ise nägin.
Aritmeetika alused, näiteks liitmis- ja korrutamistehted, saab selgete väidetena suhteliselt kergesti kirja panna. Samuti saab kirja panna iga huvipakkuva aritmeetikateoreemi. Teoreemi tõestamiseks tuleb teda kirjeldav väide tuletada aritmeetika aluseid kajastavate väidete hulgast, kasutades selle juures lisaks vaid elementaarselt tõeseid väiteid. Kui me niisuguse tuletuse oleme leidnud, on teoreem ilma igasuguse kahtlusevarjuta õige. 1.7 Aksioomid, reeglid ja mittetäielikkus Niisiis on loogikute üks ülesanne välja eraldada mõtlemise kirjapandavaid baaskomponente: oma struktuuri tõttu paratamatult tõeseid väiteid ehk aksioome ja teadalolevalt tõestest väidetest uute väidete moodustamise elementaarseid reegleid. Kõigi selliste mõtlemise baaskomponentide olulisim omadus on, et nende tõesust ei saa tõestada: me lihtsalt teame ehk usume, et nad on tõesed
piirkasulikkused võrdsed (MUA=MUB=MUC=...) Asenduse piirmäär e asendatavuse marginaalmäär väljendab ühe hüvise hulka, millest tarbija võiks loobuda teise hüvise lisaühiku kasuks, püsides samal ükskõiksuskõveral, st samal rahuldustasemel. Aksiomaatiline eelistusteooria on nõudlusteooria osa, mis käsitleb üksikisiku valikut lähtuvalt eelistusjärjestuse aksioomidest. Eelistusjärjestuse aksioomid: 1. tarbija teab kõikvõimalike tarbitavate hüviste erinevate kombinatsioonide e tarbimispakettide täielikku järjestust 2. eelistusjärjestus on transitiivne 3. tarbija eelistab tarbimiskombinatsiooni, mis sisaldab vähemalt üht hüvist rohkem Ükskõiksuskõver on ükskõiksusdiagrammi graafik, mille iga punkt esitab kahe hüvise võrdväärseid kombinatsioone. Eelarvejoon kujutab endast kahe hüvise erinevaid kombinatsioone, mida võib
- mida ta ei peagi teadma - mida ta oskab tekstist ise välja lugeda Tõendusmaterjalid Kõik mida saab kontrollida otsesele vaatlusele toetudes või kogemusest lähtudes. Tõendusmaterjalid - faktid - katsetulemused - statistilised andmed - standardid, normid 8 5.05.2016 Tõendusmaterjalid - normatiivaktid - aksioomid - viited varem tõestatud asjaoludele - viited eksperdi, autoriteedi, klassiku arvamusele Teadustekst Lugeja: - on harjunud selliseid tekste lugema - omab ettekujutust, milline teadustekst peab olema Teadustekst Usaldusväärsus Põhjendus Täpsus 9 5.05.2016 Teadustekst Neutraalsus Impersonaalsus Teadustekst
Kui teaks, mis firma ülesostmine homme välja kuulutatakse, ostaks selle aktsiaid. • Juhuslikkus segab: Teel aaret välja kaevama minnes võin kraavi sõita. Kasiinos panustades ei tea, mis nr ruletis tuleb. Kas aktsia lähiajal tõuseb või langeb, sõltub tihti hullult paljudest juhuslikest teguritest. Lahenduvus matemaatika mõttes (teoreetilises mõttes): Lahendatavad ülesanded: • Infot on piisavalt: meil on olemas kõik vajalikud aksioomid/programm/täpne ülesanne, nt: Maleseis ja käigureeglid, täisarvude massiivi sorteerituse kriteerium, programmi sisend ja seismajäämise tuvastamise kriteerium • Juhuslikkust ei ole: Malemäng käib täpselt reeglite järgi, sorteerimisel ei toimu juhuslikke muutusi massiivis, programm ei tee juhuslikke tegevusi. Iga täpselt formuleeritud probleemi (matemaatika- ja programmeerimisprobleemid) jaoks ei leidugi lahendavat algoritmi.
säilib, kuni seda y ei muudeta sisendiga x2 19 1.2.2. Loogikaseadused Loogikaseadusteks nimetatakse tavaliselt binaarloogika algebra ehk Boole' i algebra seadusi. Algebraks nimetatakse üldjuhul elementide hulka, millega tehakse tehteid, kusjuures nende tehete aluseks on kindlad reeglid ehk aksioomid. Aksioomid määravad ära algebra põhitehete omadused ja seosed. Kuna nüüdismatemaatikas on palju algebra liike (universaalalgebra, hulgaalgebra, loogikaalgebra), siis kehtivad neis ka erinevad tehted ja aksioomid. Boole'i algebra elementideks on binaarloogika signaalid (argumendid) väärtustega 0 ja 1. Nende signaalidega saab sooritada kõiki loogikatehteid ning moodustada suvalisi loogikafunktsioone. Loogikatehete kohta kehtivad järgmised binaarloogika aksioomid: 1
teesi põhjendades tuginetakse. Argumendid jagunevad nii: o Üksikfaktid- nende hulka kuuluvad statistilised andmed, teaduslikud faktid jne. Faktide osa ei saa aga absolutiseerida, sest olulised on ka seosed ja tähendused. o Määratlused- igas teaduses on oma põhimõisted, mida kasutatakse selle väidete tõestamisel argumentidena o Aksioomid ja postulaadid- seisukohad, mis on silmnähtavalt tõesed.(õige mõtlemise seadused) o Teaduse seadused ja varem tõestatud seisukohad-mida võib kasutada ka argumentidena. o Demostratsioon ehk tõestamisvorm- see on argumentide loogiline seos teesiga, nt on vaja tõestada seisukohta: Plaatina sulab Tõestuse struktuur näeb välja nii: Tees:Plaatina sulab Argumendid: Kõik metallid sulavad
annaabi.ee 
