Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast (1)

18
J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL
Mehhatroonikainstituut
JÜRI KIRS

INSENERIMEHAANIKA

III

Loenguid ja harjutusi dünaamikast

Tallinn 2004

III osa. DÜNAAMIKA
§1. Sissejuhatus
1. Dünaamika aine ja põhikategooriad
Dünaamikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumist neile rakendatud jõudude mõjul.
Staatikas uuritakse ainult jõudusid ja jõusüsteeme ning seal ei uurita seda, kuidas liiguks materiaalne osake või jäik keha kui sellele need jõud rakendada. Kinemaatikas uuritakse ainult liikumist, kuid seda puht geomeetrilisest aspektist, jättes täielikult välja jõud, mis selle liikumise põhjustavad. Dünaamikas uuritakse materiaalsete osakeste ja jäikade kehade liikumist neile rakendatud jõudude toimel ning ka seda, kuidas muutub see liikumine kui nii või teisiti muuta jõudusid. Kui staatikas vaadeldi jõudusid konstantsete suurustena, siis dünaamikas on jõud muutuv suurus. Dünaamika tähtsamateks kategooriateks on inerts ja mass.
Inertsiks nimetatakse materiaalsete kehade omadust säilitada oma liikumise olek muutumatuna jõudude puudumisel või nende tasakaalu puhul.
Võib öelda ka veidi teisiti: Inerts on materiaalsete kehade omadus rakendatud jõudude mõjul kiiremini või aeglasemalt muuta oma liikumise kiirust. Kui näiteks ühesuguste jõudude toimel esimese keha kiiruse muutumine on aeglasem kui teisel, siis öeldakse, et esimene keha on enam inertne kui teine ja vastupidi. Antud keha suurem või väiksem inertsus sõltub temas sisalduva aine hulgast.
Suurust, mis sõltub keha aine hulgast ja mis on tema inertsi mõõduks translatoorsel liikumisel, nimetatakse keha massiks. Massi tähis on m ja ühik kg.
Teoreetilise mehaanika dünaamika osas uuritakse masspunkti (öeldakse ka punktmassi), jäiga keha ja punktmasside mehaanikalise süsteemi liikumist neile rakendatud jõudude toimel.
Punktmassiks ehk masspunktiks nimetatakse materiaalset keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei tule arvestada. See võib olla ühest küljest väga väike materiaalne osake, millel õieti polegi mõõtmeid või mille mõõtmed on väga väikesed võrreldes kaugustega punktide vahel. Teisest küljest võib see olla küllaltki suur materiaalne objekt, kuid mille mõõtmetel pole liikumise seisukohalt mingit tähtsust — näiteks juhul kui see keha liigub translatoorselt . Teatavasti on translatoorse liikumise puhul kõikide punktide kiirused ühesugused nii suuruselt kui ka suunalt, ning ka kiirendused on kõik ühesugused. Seetõttu — selle asemel, et uurida translatoorselt liikuvat keha võib uurida ühtainsat selle punkti. See aga tähendabki seda, et keha mõõtmetel ei ole siin mingit tähtsust. Peale selle võib iga jäiga keha oma mõttes tükeldada väga väikesteks osakesteks ja vaadelda igat sellist osakest punktmassina.
2. Lühimärkmeid ajaloost.
Dünaamika rajajaks loetakse G. Galileid (1564-1642). Tema võttis kasutusele kiiruse ja kiirenduse mõisted punkti sirgjoonelise mitteühtlase liikumise puhul ning formuleeris dünaamika I seaduse — inertsiseaduse. Ta uuris kehade liikumist kaldpinnal ning kehade vaba langemist õhutühjas ruumis, samuti tegi ta kindlaks, et horisondi suhtes nurga all visatud keha liigub õhutühjas ruumis mööda parabooli .
Galilei poolt alustatut arendas edasi Isaac Newton ( 1643 -1727), kes oma kuulsas teoses “Loodusfilosoofia matemaatilised alused” (1687) esitas dünaamika kolm põhiseadust ja nende alusel punkti dünaamika süstemaatilise põhikursuse. Samuti kuulub Newtonile ülemaailmse gravitatsiooniseaduse avastamise au.
Esimesena kasutas inertsmomendi mõistet üks suurimaid XVII sajandi teadlasi Christian Huygens (1629-1695) seoses uurimustega füüsikalise pendli alalt. Huygensi nimega on seotud ka paralleelsete telgede teoreem , millele tänapäevase kuju andis F. Steiner (1849-1901). Nimetuse “inertsmoment” võttis kasutusele L. Euler (1707-1783), temale võlgneme ka peainertstelgede mõiste (1765). Inertsellipsoidi tõi mehaanikasse L. Poinsot’ 1834. aastal. L. Eulerit loetakse jäiga keha mehaanika rajajaks. Ta vaatles esimesena jäika keha koosnevana üliväikestest masspunktidest, mis on omavahel ühendatud liikumatult. Ta esitas esmakordselt ühe kinnispunkti ümber pöörleva jäiga keha kinemaatilised ja dünaamilised võrrandid.
Liikumishulga jäävuse seaduse andis René Descartes (1596- 1650 ) oma töös “Filosoofia printsiibid” 1644 . aastal, kus ta kasutas seda põrkeülesande lahenda-miseks. Newton täpsustas hiljem, et süsteemi liikumishulka saavad muuta ainult välisjõud.
Kineetilise energia muutumise teoreemi andsid Johann Bernoulli (1667- 1748 ) ja Daniel Bernoulli (1700- 1782 ). Kineetilise momendi muutumise teoreemi esitasid 1746 . aastal peaaegu üheaegselt L. Euler ja D. Bernoulli.
Tänapäeval hästi tuntud d’ Alembert ’i printsiibi alused rajas hoopis Peterburgi Teaduste Akadeemia akadeemik J. German (1687- 1733 ) 1716. aastal, kui ta esitles kinetostaatika meetodit. Seda ideed arendas edasi, üldistas ja andis lõpliku kuju 1743. aastal J. d’Alembert ( 1717 -1783). Virtuaalsiirete printsiibi formuleeris üldkujul esimesena Johann Bernoulli 1717. aastal. Printsiibi näitlik tõestus, mis polnud küll range, pärineb Lagrange ’ilt. Rangelt tõestas selle printsiibi Ampère 1806. aastal.
Analüütilise suuna suurimaks esindajaks oli kaheldamatult väljapaistev prantsuse matemaatik ja mehaanik Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Ta sidus d’Alembert’i printsiibi staatikast tuntud virtuaalsiirete printsiibiga ja oli sellega dünaamika üldvõrrandi loojaks, mida tänapäeval nimetatakse ka d’Alembert’-Lagrange’i printsiibiks. Lagrange’i teeneks on ka üldistatud koordinaatide ja üldis-tatud jõudude kasutuselevõtt mehaanikas, samuti kuuluvad talle mitmed tähtsad uurimused väikeste võnkumiste teoorias . Lagrange’i tööde tulemusena muutus mehaanika sama rangeks teaduseks kui seda on matemaatika. Tema peateos on “Analüütiline mehaanika” (1788).
Lagrange’i poolt rajatud uue suuna, mida tänapäeval tuntakse analüütilise mehaanika nime all, üheks väljpaistvamaks edasiarendajaks oli inglise mehaanik, matemaatik ja astronoom William Rowan Hamilton (1805-1865). Tal õnnestus tuletada üldine variatsiooniprintsiip (nn vähima mõju printsiip), millest lähtudes võib saada süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid.
Muutuva massiga kehade mehaanika rajas Peterburgi Polütehnilise Instituudi professor Ivan Meštšerski (1859-1935). Oma kuulsa võrrandi esitas ta magistri-dissertatsioonis “Muutuva massiga punkti dünaamika” 1897. aastal. Seda arendas ta edasi ja üldistas 1904. aastal. Raketiteooria looja on K. Tsiolkovski (1857-1935).
§2. Dünaamika aksioomid
Dünaamika aksioome on neli. Kolmeks esimeseks on Newtoni kolm seadust. Neljanda aksioomi, nn “jõudude mõju sõltumatuse printsiibi” esitas hiljem Lagrange.
1. I aksioom . Inertsiseadus.
Punktmass , millele ei mõju jõudusid, säilitab oma paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise seni, kuni talle rakendatud jõud ei sunni teda seda olekut muutma .
Selle seaduse avastas juba G. Galilei 1638 . aastal. Asi oli nimelt selles, et Vana-Kreeka teadlased arvasid, et igasuguse liikumise põhjustajaks on alati jõud — “kus on liikumine, seal peab olema ka mingi jõud” (Aristoteles). Kui kehale mingit jõudu rakendatud ei ole, siis nende arvates peab keha olema paigal. Galilei taipas , et see väide ei pea alati paika. Olles üks esimesi, kes laialdaselt kasutas katselist meetodit, otsustas ta selle väite kummutamiseks teha katse kahe kaldpinnaga (joonis 2.1).

Joonis 2.1

Ta võttis kaks kaldpinda, tegi need võimalikult siledaks ja lasi kuulikese alla veereda vasakpoolselt kaldpinnalt kõrguselt h. Jõudnud alla, hakkas kuulike tõusma mööda teist kaldpinda üles. Ilmnes , et ta tõusis seal täpselt kõrgusele h. Galilei muutis kaldenurka , kuid kuulike tõusis iga kord ikka samale kõrgusele h. Siit järeldas Galilei, et kui võtta teise kaldpinna kaldenurga , siis kuulike liigub tasapinnal mööda sirget peatumata edasi, kuigi talle jõudu ei mõju. Järelikult pole liikumise alalhoidmiseks sugugi vaja, et kehale mõjuks mingi jõud. Galilei katse tulemused olid Newtonile teada, kes nende põhjal formuleeriski eelpool toodud seaduse. Seda nimetatakse Newtoni esimeseks seaduseks ehk inertsiseaduseks. Ja see ongi dünaamika esimeseks aksioomiks.
Newtoni I seadus annab kriteeriumi selle üle otsustamiseks, kas masspunktile on rakendatud jõud või ei ole. Kui masspunkt liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal, siis talle pole jõudu rakendatud (või rakendatud jõudude geomeetriline summa on null). Kui masspunkt liigub kõverjooneliselt, või mitteühtlaselt sirgjooneliselt, siis talle peab mõjuma mingi jõud. Kuidas aga jõud kvantitatiivselt muudab masspunkti liikumist, sellele küsimusele dünaamika I aksioom vastust ei anna. Ühtlasel sirgliikumisel on masspunkti kiirus
ja seega tema kiirendus .
Seetõttu võiks dünaamika esimest aksioomi formuleerida ka nii:
Masspunkti kiirendus erineb nullist ainult siis, kui sellele punktile on rakendatud mingi jõud.
Taustsüsteemi, kus kehtib inertsiseadus, nimetatakse inertsiaalseks taust-süsteemiks. Millised on siis inertsiaalsed taustsüsteemid? Praktilises elus ja tootmises vajaminevate ülesannete lahendamisel võib koordinaatsüsteemi siduda Maaga ja vaadata masspunkti ühtlast sirgjoonelist liikumist maapinna suhtes. Suuremat täpsust nõudvate ülesannete puhul see aga ei kõlba. Asi on ju selles, et Maakera pöörleb ümber oma telje ja liigub sealjuures ümber Päikese. Mis sirgjoonest saab siin kokkuvõttes juttu olla? Sel juhul tuleks koordinaatide alguspunkt asetada Päikesele ja suunata koordinaatteljed kinnistähtede poole. Heliotsentriline koordinaatsüsteem on kaunis suure täpsusega inertsiaalsüsteemiks, kuid ka sellel on oma piirid, sest liigub ju Päikesesüsteemi massikese Galaktika suhtes mööda kõverjoonelist trajektoori, kusjuures Galaktika ise sealjuures pöörleb.
Kui taustsüsteem
liigub inertsiaalsüsteemi
suhtes translatoorselt ning süs-teemi
alguspunktil on moodulilt ja suunalt konstantne kiirus, siis taustsüsteem
on samuti inertsiaalne . Kui taustsüsteem
liigub inertsiaalsüsteemi
suhtes mittetranslatoorselt või mitteühtlaselt, siis ei ole taustsüsteem
inertsiaal-süsteem. Kui aga mingi taustsüsteem liigub inertsiaalsüsteemi suhtes küllaltki väikese kiirendusega, siis võib praktiliste ülesannete lahendamisel sageli selle väikese mitteinertsiaalsuse hüljata. Seejuures loetakse inertsiprintsiip ligikaudu kehtivaks ka niisuguses taustsüsteemis.
2. II aksioom. Dünaamika põhiseadus.
Punktmassi kiirendus on mõjuva jõuga võrdeline ja samasuunaline, võrde- teguriks on punkti mass.
(2.1)
Seos (2.1) on kõige tähtsam võrrand klassikalises mehaanikas ja seda nimetatakse dünaamika põhiseaduseks ( ehk -põhivõrrandiks). Sellise kuju (2.1) andis põhiseadusele L. Euler oma traktaadis “Mehaanika” 1736. aastal.
Newtoni valem oli veidi teistsugune: . Newtoni II seadus võimaldab juba vastata küsimusele, kuidas jõud kvantitatiivselt keha liikumist mõjutab.
Märgime veel, et see seadus sisaldab endas tegelikult erijuhuna ka esimese seaduse. Tõepoolest, kui jõudu ei mõju (), siis on liikumine ühtlane ja sirgjooneline, sest ; ning ka vastupidi — kui liikumine on ühtlane ja sirg -jooneline (), siis ei mõju punktmassile mingit jõudu ().
Põhiseaduses (2.1) on võrdeteguriks mass m. Newtoni järgi väljendab mass lihtsalt aine hulka kehas (või osakeses). Euleri järgi on primaarne see, et võrdetegur m on inertsi mõõduks. Sekundaarne on see, et seda inertsi mõõtu saab väljendada aine hulga kaudu.
Erijuhtum. Kõikidele maapinna läheduses asetsevatele kehadele mõjub raskus-jõud , mille moodul on võrdne keha kaaluga. Katsete abil on kindlaks tehtud, et raskusjõu mõjul omandab mistahes keha vabalangemisel Maale (väikeselt kõrguselt ja õhuta ruumis) ühe ja sama kiirenduse , mida nimetatakse raskuskiirenduseks ehk vaba langemise kiirenduseks. Kui punktmassile teisi jõudusid ei mõju, siis
(2.2)
millest saame seose moodulite vahel
(2.3)
ja järelikult
(2.4)
Siinjuures tuletame veelkord meelde, et kaalu P ühikuks on njuuton (N), massi m ühikuks aga kilogramm (kg). Keha mass ei sõltu keha asukohast ja mõjuvatest jõududest. Kaal ja raskuskiirendus sõltuvad aga keha kõrgusest ja mõningal määral ka geograafilisest laiusest. Näiteks põhjanabal on raskuskiirendus merepinnal 9,832 , ekvaatoril aga 9,780 . Standardgravitatsiooniks on võetud raskuskii-rendus
põhjalaiusel merepinnal
(2.5)
Märgime veel, et Tallinnas on raskuskiirendus 9,8188 . Dünaamika põhivõrrandi alusel määratud massi (2.4) nimetatakse ka inertseks massiks.
Massi võib määrata aga ka gravitatsiooniseaduse alusel, mille järgi
, (2.6)
kus  on gravitatsioonikonstant , r – kaugus kehade vahel. Olgu
vaadeldava keha mõõdetav mass m; olgu aga Maa mass. Mõõdame ära vaadeldava keha ja maa vahelise gravitatsioonijõu F ja määrame valemi (2.6) alusel massi . Sel viisil määratud massi nimetatakse raskeks massiks. Kas raske mass on võrdne inertse massiga? Täpsete katsetega on kindlaks tehtud, et ühe ja sama keha inertne ja raske mass on võrdsed. Selle väite võttis A. Einstein üheks aluseks üld- relatiivsusteooria loomisel.
3. III aksioom. Mõju ja vastumõju seadus.
Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised, nende mõjusirged kattuvad.
Seejuures tuleb silmas pidada seda, et need jõud on rakendatud erinevatele kehadele (joon 2.2).
Joonis 2.2
Niisiis , kui me näeme, et mingile punktmassile A mõjub teise punktmassi B poolt jõud , siis teame, et punktmassile B on omakorda rakendatud jõud , mille põhjustajaks on punktmass A ja mis rahuldab seoseid
ning .
Newtoni III seadus kehtib sõltumatult sellest, kas teineteisele mõjuvad kehad puutuvad kokku või mitte, kas nad seisavad paigal või liiguvad.
4. IV aksioom. Jõudude mõju sõltumatuse seadus.
See on aksioom, mille lisas Newtoni kolmele seadusele (aksioomile) hiljem Lagrange ja kannab seetõttu Lagrange’i nime.
Kiirendus, mille punktmass saab mitme jõu üheaegsel mõjumisel, on võrdne geomeetrilise summaga kiirendustest, mille punkt saab iga üksiku jõu mõjul eraldi.
Mõjugu punktmassile jõud . Siis IV aksioomi põhjal
(2.7)
kus , , … , . (2.8)
Korrutame võrrandi (2.7) mõlemaid pooli massiga m, saame
Arvestades seoseid (2.8) saame nüüd
ehk
(2.9)
See on punkti dünaamika põhivõrrand mitme jõu üheaegsel mõjumisel. Et punktile mõjuvad jõud moodustavad alati koonduva jõusüsteemi ja koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant , siis võib võrrandi (2.9) asemel kasutada ka võrrandit (2.1), kus jõu
all tuleb mõista punktile mõjuvate jõudude resultanti.
5. Märkusi Newtoni seaduste kohta.
A. Newtoni seadused ei ole tõestatavad ja seetõttu ongi neid õigem nimetada aksioomideks. Nendele neljale aksioomile on üles ehitatud kogu klassikaline mehaanika. Nende õigsuse üle otsustame kaudsel teel, võrreldes nende põhjal saadud tulemusi katsete ja vaatluste materjaliga . Nii on leitud, et nad ei ole üldkehtivad, vaid nende kehtivuspiirkond on piiratud. Nad ei kehti väga suurte kiiruste puhul (mis on võrreldavad valguse kiirusega) ja samuti ei kehti nad üliväikeste osakeste (kvantosakeste) liikumisel.
B. Newtoni seadustes räägitakse liikumisest. See eeldab, et on olemas kokkulepe selle kohta, kuidas määratakse punkti asukoht ja kirjeldatakse liikumist. Siin tuleb möödapääsmatult kasutada mingit koordinaatteljestikku. Kas võib aga öelda, et igasuguses, täiesti suvaliselt valitud teljestikus jäävad Newtoni seadused kehtima? See oleks liiga julge oletus. Neid raskusi, mis on seotud koordinaatteljestiku valikuga, mõistis juba Newton. Seepärast ta ütles, et tema seadused kehtivad “absoluutses ruumis”. “Absoluutse ruumi” kohta ütles Newton, et “see on selline ruum, millel ei ole midagi ühist kõige sellega, mis on väljaspool teda”. On kerge mõista, et selline mõiste on täiesti viljatu, sellist objekti ei ole ju võimalik kujutledagi. Newton tahtis lihtsalt öelda, et need seadused kehtivad absoluutselt liikumatus teljestikus. Kuid me ei saa konkretiseerida sellist teljestikku. Seega tuleb praktikas alati lähtuda mingist kokkuleppest selle kohta, missugust teljestikku lugeda liikumatuks. Nagu juba eelpool mainitud, on suhteliselt kõige paremaks teljestikuks selline teljestik, mille alguspunkt on Päikesel ja mille teljed on suunatud kinnistähtede poole. Igapäevases praktikas ettetulevate lihtsate ülesannete lahendamisel võib aga teljestiku siduda ka Maaga, sealjuures saavutatakse küllaldane täpsus praktiliste ülesannete lahendamiseks.
C. Liikumiste kirjeldamine nõuab kokkulepet ka selle kohta, kuidas mõõta aega. Newton ütles, et tema seadused kehtivad “absoluutses ajas” — sellises, “millel ei ole midagi ühist kõigega, mis on väljaspool teda ja mis voolab alati ühtlaselt”. Kuid sellist aega ei ole võimalik ette kujutada. Praktikas lähtutakse alati mingist konkreetsest nähtusest, näiteks Maa pöörlemisest oma telje ümber. On selge, et selline mõõdupuu ei tarvitse olla ideaalne ning ei tarvitse sobida liikumiste kirjelda-miseks kogu universumis.
6. Punkti dünaamika I ja II põhiülesanne.
On olemas kaks punkti dünaamika põhiülesannet olenevalt sellest, mis on antud ja mida arvutatakse.
1. põhiülesanne: antud on punkti liikumine, leida tuleb punktile mõjuva jõu.
2. põhiülesanne: antud on kõik punktile mõjuvad jõud, määrata tuleb punk-
ti liikumine (tavaliselt tema liikumise seadus).
Mõlemad põhiülesanded lahendatakse dünaamika põhivõrrandi (2.1) alusel, mille võib üles kirjutada ka kujul
(2.10)
Siin on rõhutatud asjaolu, et jõud on muutuv suurus, mis üldjuhul sõltub asukohast , kiirusest
ja ajast .
§3. Punkti dünaamika I põhiülesanne
Kirjeldatud on punkti liikumine, leida tuleb jõud, mis selle liikumise põhjustab. Selle ülesande lahendame dünaamika põhiseaduse abil ((2.1) või (2.10)).
Projekteerime vektorvõrrandi (2.1) Descartes’i koordinaattelgedele x, y, z
või
(3.1)
kus Fx, Fy, Fz on punktile mõjuva jõu projektsioonid vastavalt x-, y- ja z-teljele. Kui punktile mõjub mitu jõudu, siis
(3.1A)
Võrrandid (3.1) annavadki eeskirja jõu
leidmiseks: kui on antud liikumise seadus
siis leiame neist teised tuletised aja t järgi ja korrutame seejärel massiga m. Sellega on jõu projektsioonid ,
ja
leitud. Kogujõud moodulilt on siis
(3.2)
jõu
suunakoosinused on
(3.3)
Valemid (3.2) ja (3.3) määravad punktile mõjuva jõu täielikult, nii suuruselt kui ka suunalt.
Mõnikord on aga kasulikum põhiseaduse vektorvõrrandi (2.1) projekteerida mitte Descartes’i telgedele, vaid hoopis loomulikele telgedele t, n ja b. Seda nn loomulikku teljestikku oleme vaadelnud juba kinemaatika osas. Siin t- telg on puutujatelg, n-telg on peanormaaltelg ja b-telg on binormaaltelg. Vektorvõrrandi (2.1) projekteerimisel loomulikele telgedele t, n, b saame:
(3.4A)
ehk
(3.4B)
ehk ; ;
(3.4C)
tuletame siinjuures meelde asjaolu, et kiirendusvektor
asub alati kooldumis-tasandil (s.t koordinaattasandil tn), seetõttu tema projektsioon b-teljele on alati null, kuna binormaal on alati risti kooldumistasandiga.
Näide 3.1
Masspunkt massiga kg liigub järgmiste võrrandite kohaselt
kus pikkusi mõõdetakse meetrites. Leida jõud, mis selle liikumise põhjustab.
Lahendus.
Lahendame selle ülesande võrrandite (3.1) alusel. Selleks leiame kõigepealt muutujate x, y ja z teised tuletised aja t järgi, nendest saame kätte jõuprojektsioonid
Jõu
projektsioonid on leitud, need määravad aga jõu üheselt. Jõu moodul on
, (N)
Jõu suuna määravad suunakoosinused
Kuna
igal ajahetkel, siis asub jõud
alati koordinaattasandil xy. Milline on jõud alghetkel t = 0? Lihtne on leida ülaltoodud võrranditest, et
; ; ;
Seega alghetkel on jõud suurusega 4 N suunatud täpselt x-telje positiivses suunas. Alghetkest edasi, sedamööda kuidas aeg voolab, muutub jõud
moodulilt pidevalt suuremaks ja suunalt pöördub xy-koordinaattasandil kogu aeg x- teljest y-telje poole.
Näide 3.2
Masspunkt massiga m liigub mööda ringjoont, mille raadius on r, konstantse kiirusega v. Leida jõud, mille mõjul selline liikumine toimub.
Lahendus.
Kuna siin ülesandes on kasulikum kasutada loomulikku teljestikku, siis kasutame võrrandeid (3.4), selle alusel
kuna siin moodulilt , siis
ja seetõttu mõjuv jõud omab projektsioone
Näide 3.3
Kast kaaluga P tõuseb kiirendusega a (joonis 3.1). Leida trossi tõmme T.
Joonis 3.1
Lahendus.
Suuname x-telje liikumise suunas otse üles ja kasutame lahendamiseks süsteemi (3.1) kõige esimest võrrandit
(3.5)
Mõjuvate jõudude projektsioonide summa x-teljele on joonise 3.1 põhjal
Kuna
ongi kiirendus, mis siin on antud (a), siis
millest ,
kus jõudu T mõõdetakse njuutonites.
Näide 3.4
Silla kõverusraadius punktis A on R (joonis 3.2). Kui suur on auto surve sillale punktis A, kui auto mass on m ja ta liigub kiirusega v?
Joonis 3.2
Lahendus
Punktis A on auto normaalkiirendus . Seejuures mõjuvad autole raskusjõud
ja silla reaktsioonjõud . Kasutame lahendamiseks süsteemi (3.4) teist võrrandit
(3.6)
ja leiame mõjuvate jõudude projektsioonide summa n-teljele, saame
Seega
Siit
(3.7)
Auto surve sillale on moodulilt võrdne suurusega N, suunalt aga allapoole (jõuga N vastassuunaline).
Millal on auto surve sillale null? Pannes võrrandisse (3.7) , saame sealt, et kui , siis auto surve sillale punktis A on null. Olgu näiteks
m, siis kiiruse korral
ei avalda auto sellele sillale kõrgeimas punktis mingit survet.
§4. Punkti dünaamika II põhiülesanne
1. Üldine lahendusmeetod
Siin on antud masspunktile mõjuvad jõud ja tuleb leida punkti liikumine. Selle põhiülesande lahendame dünaamika põhiseaduse (2.1) alusel, mis projekteerituna Descartes’i koordinaattelgedele x, y, z omandab kuju (3.1). Sealjuures on üldiselt jõud , seega ka tema projektsioonid Fx, Fy, Fz, muutuvad suurused. Millest jõud võib oleneda? Eelkõige muidugi ajast t. Teiseks võib jõud oleneda punkti asuko-hast, s.t kohavektorist
ehk teisiti öeldes — punkti koordinaatidest x, y, z. Näitena võib siin tuua elastsusjõu — mida pikem on vedru, seda suurem on jõud, seega elastsusjõud oleneb tõepoolest vedru otspunkti koordinaatidest (või koordinaadist). Kolmandaks võib jõud oleneda punkti liikumise kiirusest, s.t vektorist
ehk teisiti öeldes tuletistest ,
ja . Näitena võib tuua keskkonna viskoosse takistus-jõu, mille suurus on võrdeline kiirusega. Kokkuvõttes võib süsteemi (3.1) esitada siin kujul
(4.1)
Võrrandeid (4.1) nimetatakse masspunkti liikumise diferentsiaalvõrranditeks. Need on teist järku diferentsiaalvõrrandid tundmatute funktsioonide
ja
suhtes. Kuna aga masspunktile võib mõjuda mitu jõudu, siis kasutame dünaamika põhiseadust kujul (2.9) ja kirjutame vastavalt sellele üldjuhul
(4.2)
See diferentsiaalvõrrandite süsteem tuleb nüüd lahendada funktsioonide ,
ja
suhtes. Üldjuhul võib see osutuda vägagi raskeks ülesandeks, millele sageli ei olegi võimalik leida analüütilist lahendit. Sel juhul tuleks see süsteem lahendada ligikaudsete meetoditega, näiteks kasvõi nii, et asendada tuletised lõplike vahedega.
Just siin esineda võimalike komplikatsioonide tõttu vaadeldakse kõrgkooli kursuses vaid nelja erijuhtu:

jõud on konstantne;

jõud oleneb ainult ajast t;

jõud oleneb ainult asupaigast (s.t koordinaatidest x, y, z);

jõud oleneb ainult kiirusest (s.t kiiruse projektsioonidest ).
Kui meil õnnestub lahendada süsteem (4.1) (või 4.2) ja leida analüütiline lahend, siis saame tulemuseks funktsioonid x, y ja z olenevalt ajast t ja üldjuhul kuuest integreerimiskonstandist, s.t
(4.3)
Seda nimetatakse süsteemi (4.1) (või 4.2) üldlahendiks. Kui üldlahendis (4.3) anda integreerimiskonstantidele erinevaid arvväärtusi, siis saame kogumi erilahendeid. See tähendab, et ühtede ja samade jõudude mõjul võib masspunkt liikuda vägagi erinevalt. Näiteks keha, mis vabastati ilma algkiiruseta, langeb raskusjõu mõjul vertikaalselt alla mööda sirgjoont. Seesama keha, visatuna horisondi suhtes mingi nurga all, liigub sama raskusjõu mõjul (õhutakistuse jätame arvestamata) mööda mingit kõverjoont.
Niisiis, masspunkti konkreetse liikumisseaduse määramiseks ei piisa mõjuvate jõudude etteandmisest, vaid tuleb veel anda liikumise algtingimused. Tuleb nimelt ette anda masspunkti algasendi ja algkiiruse , s.t hetkel :

kohavektori ,

kiirusvektori .
See aga tähendab seda, et tuleb ette anda nii kohavektori kui ka kiirusvektori projektsioonid alghetkel ehk
(4.4A)
(4.4B)
Nende andmete kogumit nimetatakse liikumise algtingimusteks. Nende alg-tingimuste põhjal tuleb nüüd määrata integreerimiskonstandid
süs-teemis (4.3). Need määratakse nii, et kirjutatakse kõigepealt välja süsteemi (4.3) kõik võrrandid alghetkel , asendades seejuures vasakutes pooltes x, y, z ase-mele vastavalt etteantud ,
ja aja t asemele nulli. Seejärel leitakse funktsioonide x, y ja z tuletised aja t järgi ja kirjutatakse ka need välja alghetkel . Seejuures asendatakse ka siin vasakutes pooltes kõik muutuvad suurused
nende algväärtustega võrrandite (4.4) alusel. Kõige selle tulemuseks saame kokkuvõtteks süsteemi kuuest võrrandist kuue tundmatuga
(4.5)
Siit süsteemist saabki leida integreerimiskonstantide
väärtused konkreetse juhtumi jaoks. Asendame siit leitud konstandid
süsteemi (4.3) ja ülesande lahend vaadeldaval juhul ongi leitud:
(4.6)
2. Erijuhtum: sirgjooneline liikumine.
Liikugu masspunkt mööda mingit sirget. Suunamegi x-telje mööda seda sirget. Siin on tegemist niisiis ühedimensionaalse juhtumiga ja diferentsiaalvõrrandite süsteemist (4.2) kasutame vaid esimest võrrandit, mis omab siin kuju
(4.7)
mille parem pool kujutab endast mõjuvate jõudude projektsioonide summat x-teljele. Olgu veel märgitud, et kuna siin on tegemist ühedimensionaalse juhtumiga, siis kas: a) jõud ei anna y- ja z-teljele üldse mingit projektsiooni , või b) projektsioonid on küll nullist erinevad kuid jõudude projektsioonide summa y- ja z-teljele on nullid, s.t
(4.8)
Diferentsiaalvõrrandi (4.7) lahendamisel saame üldlahendi kujul
(4.9)
Kahe integreerimiskonstandi määramiseks peab olema kaks tingimust, nendeks on etteantud algasend
ja veel algkiirus , mis siin on lihtsalt .
Leiame nüüd kõigepealt funktsiooni x tuletise aja t järgi võrrandist (4.9), saame
(4.10)
Nüüd kirjutame võrrandid (4.9) ja (4.10) välja alghetkel
kasutades sealjuures etteantud algasendit
ja algkiirust
Siit süsteemist määrame integreerimiskonstandid C1 ja C2 ning asendame need võrrandisse (4.9). Kokkuvõttes saamegi masspunkti liikumisvõrrandi
(4.11)
3. Ülesannete grupid.
Konkreetse lahendamise seisukohalt on ülesanded kasulik jaotada kolme klassi ehk gruppi.
1. grupp
Siia kuuluvad sellised ülesanded, mis lahenduvad otsese integreerimise teel. Jõud
oleneb siin ainult ajast t, või veelgi lihtsam — jõud on konstantne. Ühe-dimensionaalsel juhul näiteks, kui , saame
siit
2. grupp
Siia kuuluvad ülesanded, kus jõud oleneb kas asukohast või kiirusest ja mille lahendamisel saame diferentsiaalvõrrandi, kuid selle diferentsiaalvõrrandi üldlahend on ette antud. Toomegi siin ära viie kõige sagedamini esineva diferentsiaalvõrranditüübi üldlahendid.
1)
(4.12A)
2)
(4.12B)
3)
(4.12C)
4)
(4.12D)
5)
a)
(4.12E)
b)
(4.12F)
kus
(4.12G)
Märkused.
1. Lahendite tabelis toodud suurused A ja B on mingid konstandid, kusjuures
Siin ei tohi A ja B sõltuda ajast t, sest sel juhul need lahendid ei kõlba. Muutuvate
ja
korral tuleks tekkiv diferentsiaalvõrrand lahendada ise-seisvalt kasutades diferentsiaalvõrrandite teooriat.
2.
ja
on integreerimiskonstandid, mis määratakse algtingimuste põhjal.
Viiendas tüübis
ja
puuduvad, sest seal on need juba asendatud
ja
kaudu.
3. Viies tüüp on sirgjoonelise liikumise jaoks kui jõud on proportsionaalne kiiruse
ruuduga . Siin on antud 2 lahendit — esimeses sõltub kiirus asukohast (või läbitud teest), teises sõltub kiirus ajast t. Kumba lahendit kasutada, oleneb sellest, mida ülesande tekstis küsitakse. Kui küsitakse kiirust sõltuvana asukohast, siis tuleb kasutada esimest avaldist , kui küsitakse kiirust sõltuvana ajast, siis kasutame teist avaldist. Selle tüübi paljudes ülesannetes küsitakse punkti poolt läbitud teed kuni seismajäämiseni. Sel juhul tuleb kasutada esimest avaldist, kirjutada see välja lõpphetkel kui
ja avaldada .
4. Kui jõud on proportsionaalne kiiruse esimese astmega ja küsitakse kiirust sõltu-
vana ajast, siis kasutame lahendite tabeli teist võrrandit. Kui aga küsitakse liiku-misseadust, siis tuleb kasutada esimest tüüpi võrrandit.
5. Kolmanda tüübi korral ei olene lahend sellest, kuidas tähistada integreerimis-
konstandid — kas panna
siinuse ette ja
koosinuse ette või vastupidi. Ana-loogiline reegel kehtib ka neljanda tüübi korral.
6. Mitmedimensionaalse liikumise korral võib saada analoogilised diferentsiaal -
võrrandid ja nende lahendid ka y ja z jaoks. Teise ja viienda tüübi korral on aga siis tegemist kiiruse vastava projektsiooniga: kas vx , vy või vz .
7. Ülesande lahendamise üldine käik on nüüd selline: a) teeme joonise ja kanna-
me sellele kõik mõjuvad jõud; b) leiame jõudude projektsioonide summa x- teljele (vajaduse korral ka y- ja z-teljele); c) asendame need projektsioonide summad võrrandi(te)sse (4.2); d) teisendame saadud diferentsiaalvõrrandeid ja viime need normaalkujule (lahendite (4.12) kasutamise mõttes); e) vaatame kas saadud diferentsiaalvõrrand esineb lahendite tabelis; f1) kui on: siis kirjutame lahendite tabelist kohe välja üldlahendi ja leiame integreerimiskonstandid alg-tingimuste põhjal; f2) kui ei ole: siis on tegemist hoopis kolmanda klassi ülesandega, kus diferentsiaalvõrrand tuleb ise lahendada.
3. grupp
Siia kuuluvad ülesanded, kus jõud oleneb asukohast või (ja) kiirusest ning lahen-damisel me saame diferentsiaalvõrrandi, kuid selle diferentsiaalvõrrandi lahendit lahendite tabelis ette antud ei ole. Siin on omakorda 3 võimalust:
3A) Tekkinud diferentsiaalvõrrand on eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand;
3B) Tekkinud diferentsiaalvõrrandi saab kergesti teisendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks, kui kasutada asendust
(4.13)
Kuidas see on saadud? Vaatame kiiruse projektsiooni
kui liitfunktsiooni
ja kasutame liitfunktsiooni tuletise reeglit, siis saamegi
Analoogilised valemid saame kirja panna ka
ja
jaoks. Asenduse (4.13) abil saame lahendamise tulemusel suuruse
koordinaadi x funktsioonina .
Ühedimensionaalne juhtum.
Sirgjoonelise liikumise korral (ühedimensionaalne juhtum) on
ja seetõttu võime kirjutada
(4.14)
Kui ülesandes küsitakse sirgjoonelise liikumise korral kiirust sõltuvana asupaigast (koordinaadist), siis tulebki alati kasutada asendust (4.14) ja lahendada sel viisil saadud eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Selle lahendamine on aga lihtne — diferentsiaalvõrrandi mõlemaid pooli tuleb sobivalt korrutada (või jagada) nii, et ühenimelised muutujad oleksid ühel pool, teisenimelised teisel pool (näiteks: v-liikmed vasakul, x-liikmed paremal). Sealjuures peab muutuja diferentsiaal (dv, dx, jms) olema lugejas. Nüüd tuleb võrrandi mõlemast poolest võtta integraal ja lisada juurde (kas vasakule või paremale poole) integreerimiskonstant (kui võtta määramata integraal). Kui aga võtta määratud integraal, siis tuleb mõlemale integraalile panna õiged rajad ja siin muidugi integreerimiskonstante ei panda.
3C) Tekib keerulisem diferentsiaalvõrrand, mida ei saa nimetatud asendustega (4.13 või 4.14) teisendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks. Siin tuleb tekkinud diferentsiaalvõrrandi ise ära lahendada kasutades diferentsiaal-võrrandite teooriat ja vajaduse korral ka ligikaudse arvutuse meetodeid. Nii keerulisi ülesandeid aga kontrolltöödes ja kodutöödes lahendada ei tule.