Elektrimõõtmiste konspekt (0)

ELEKTRIMÕÕTMISED ELECTRICITY MEASUREMENTS 3. parandatud ja täiendatud trükk
LOENGU KONSPEKT Koostas: Toomas Plank
TARTU 2005 Sisukord Sissejuhatus ......................................................................................................................................... 5 MÕÕTMISTEOORIA ALUSED ........................................................................................................ 6 1. Mõõtmine, mõõtühikud, mõõtühikute vahelised seosed.............................................................. 6 1.1. Mõõtmine ............................................................................................................................ 6 1.2. Mõõtühikud ja nende süsteemid .......................................................................................... 6 1.3. Dimensioonvalem ................................................................................................................ 8 1.4. Suured ja väikesed ühikud................................................................................................... 9 2. Tõeline väärtus ja mõõdis. Viga ja määramatus ........................................................................ 11 3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus ............................................................................................. 13 3.1. Histogramm ....................................................................................................................... 14 3.2. Dispersioon ja standardhälve............................................................................................. 16 3.3. Ekse ................................................................................................................................... 17 3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja A­tüüpi määramatus ......................................... 18 3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel....................................................................... 19 4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine ................................................ 20 4.1. Normaaljaotus .................................................................................................................... 20 4.2. Ühtlane jaotus .................................................................................................................... 20 4.3. Kolmnurkjaotus ................................................................................................................. 21 4.4. Usaldusnivoo hindamine jaotusfunktsiooni alusel ............................................................ 22 4.5. Jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine........................................................................ 22 5. Kaalutud keskmiste meetod ....................................................................................................... 25 6. Juhuslikud ja süstemaatilised efektid ......................................................................................... 26 6.1. Süstemaatilised efektid ...................................................................................................... 26 6.2. Juhuslikud efektid.............................................................................................................. 26 7. Mõõtevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine ............................................................ 28 7.1. Normaal - ja töötingimused ................................................................................................ 29 7.2. Täpsusklass........................................................................................................................ 30 7.3. B-tüüpi määramatus........................................................................................................... 31 8. Mõõtetulemuse esitamine koos määramatuse hinnanguga ........................................................ 33 8.1. Näited B-tüüpi määramatuse leidmisest ja vastuse esitamisest......................................... 34 9. Mõõtetulemuse määramatus kaudmõõtmisel............................................................................. 36 9.1. Otsesed ja kaudsed mõõtmised.......................................................................................... 36 9.2. Kaudmõõtmise määramatus sõltumatute sisendsuuruste korral ........................................ 36 9.3. Summa ja vahe määramatus .............................................................................................. 37 9.4. Korrutise ja jagatise määramatus....................................................................................... 37 9.5. Kaudmõõtmise määramatus sõltuvate sisendsuuruste korral ............................................ 38 10. Mõõtetulemuste graafiline töötlemine ....................................................................................... 40 10.1. Katsepunktide lähendamine lähenduskõveraga................................................................. 40 10.2. Määramatuse ristide lisamine katsepunktidele .................................................................. 40 10.3. Teoreetilise mudeli kontrollimine ..................................................................................... 41 10.4. Vähimruutude meetodil leitud sirge tõusu ja algordinaadi kasutamine füüsikaliste suuruste mõõtmiseks ......................................................................................................... 42 11. Eksperimendi planeerimise elemente......................................................................................... 43 ELEKTRIMÕÕTMISED................................................................................................................... 44 12. Elektriskeemides kasutatavate tingmärkide tähendus ................................................................ 44 13. Osutmõõteriist............................................................................................................................ 46 3 14. Testri kasutamine mõõtmisteks, mõõtepiirkonna valik ............................................................. 47 14.1. Testri kasutamine voltmeetrina ......................................................................................... 48 14.2. Testri kasutamine oommeetrina ........................................................................................ 48 14.3. Testri kasutamine ampermeetrina...................................................................................... 48 15. Ostsilloskoop .............................................................................................................................. 49 15.1. Analoogostsilloskoop ........................................................................................................ 49 15.2. Digitaalostsilloskoop ......................................................................................................... 50 16. Laboratoorsed tööd koos juhendite ja indeksitega ..................................................................... 51 17. Kasutatud kirjandus ................................................................................................................... 52 LISA ................................................................................................................................................ 53 18. t-jaotus........................................................................................................................................ 53
4 Sissejuhatus Elektrimõõtmiste kursusel on kolm peamist eesmärki: tutvustada põhilisi elektrinähtusi, tutvustada mõõtevahendeid ja - meetodeid , õpetada eksperimendi tehnikat ja katsetulemuste töötlemist. Nende eesmärkide täitmiseks on kursus jagatud kolme ossa. Loengutes räägitakse elektrimõõtmistest ja mõõtetulemuste usaldatavuse hindamisest erinevate mõõtevahendite ja erinevate mõõtmisviiside korral. Praktikumides tuleb üliõpilasel loengus omandatud teadmiste kinnistamiseks sooritada 6 laboratoorset tööd peatükis 16 toodud nimekirjast. Seminarides õpime praktikumitöid andmetöötlusele esitatavate nõuete kohaselt vormistama kasutades inseneritarkvara paketti MathCAD .
5 Mõõtmisteooria alused
MÕÕTMISTEOORIA ALUSED 1. Mõõtmine, mõõtühikud, mõõtühikute vahelised seosed 1.1. Mõõtmine Tänapäeval tegeldakse mõõtmisega väga erinevates eluvaldkondades: alates füüsikast ja keemiast ning lõpetades majanduse ja sotsiaalteadustega. Näiteks: vee kulu mõõtmine, tarbitud sooja- või elektrikoguse mõõtmine, pinge mõõtmine vooluvõrgus; aga ka rahvaloendus , kliendi rahulolu mõõtmine. Võib öelda, et mõõtmine on igasuguse kvantitatiivse informatsiooni hankimine eksperimentaalsel teel. Mõõtmiste käigus me võrdleme mõõdetava suuruse väärtust mingi teise, samanimelise, suurusega. Seda võrdluseks vajalikku teist suurust nimetakse mõõtühikuks. Mõõdetava suuruse väärtuse võib esitada kujul
Y = y [Y], (*) kus [Y] on mõõtühik, ja y kujutab endast arvu, mitu korda mõõdetav suurus erineb ühikust. Võrrandit (*) nimetatakse mõõtmiste põhivõrrandiks.
1.2. Mõõtühikud ja nende süsteemid Mõõtmiste juures on väga oluline mõõtühiku valik. Põhimõtteliselt võiks ühikuks valida ükskõik millise sama liiki füüsikalise suuruse väärtuse ja seejärel mõõta, mitu korda on mõõdetav objekt meie ühikust suurem või väiksem. Vanasti seda ka tehti. Esimesed mõõtühikud tekkisid koos inimühiskonna arenguga pikkusühikud: kasutati erinevate kehaosade pikkusi ­ vaks , küünar, jalg; massiühikud: igapäevases elus kasutatavad esemed jne. Ühtsed riiklikud mõõtühikud võeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babüloonias. Näiteks Egiptuses kasutati pikkusühikuna vaarao küünart (kaugus küünarnukist väljasirutatud sõrmeotseni). Egiptlased oskasid ka mõõtühikuid tuletada. Näiteks pindala mõõtsid nad ruutühikutes. Kordsed ühikud võeti kasutusele Babüloonias. Ajaühikud tund, minut ja sekund pärinevad samuti vanast Babülooniast. Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid ühikuid, eriti pikkuse, pindala, massi ja ruumala mõõtmiseks. Selline ühikute mitmekesisus on mingil määral säilinud tänapäevani. Näide 1. Te kõik teate massiühikut tonn . Kui mitu kilogrammi vastab ühele tonnile? Kas 907,2 kg, 1000 kg või 1016 kg? Vastus sõltub teie asukohariigist: nn. meetersüsteemi tonn = 1000 kg; Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg; Ameerikas (lühike) tonn = 2000 naela = 907,2 kg. Näide 2. Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuühikut gallon , aga: Inglismaal 1 gallon = 4,54609 liitrit; Mõõtmisteooria alused
Ameerikas 1 gallon = 3,78543 liitrit. Näide 3. Laialdaselt kasutatakse mahuühikut barrel (tõlkes: vaat , tünn), aga tuleb eristada nn. kuiva barrelit ja naftabarrelit: kuiv barrel = 115,628 liitrit; naftabarrel = 158,988 liitrit. Suure hulga erisuguste ühikute puhul on probleemiks nendest ühikutest arusaamine. Kui igal inimesel oleksid omad ühikud, millega ta mõõteobjekte võrdleb, siis oleks teistel inimestel väga raske neid mõõtetulemusi kasutada. Sellepärast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped ühikuteks valitavate suuruste osas. Tänapäeva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema ülemaailmsed, s.t. tuleks valida sellised ühikud, mis kehtiksid kõikides maades. Tänapäeval enim levinud mõõtühikute süsteem on SI (prantsuse keeles: Système International d'Unités, tõlkes "rahvusvaheline ühikute süsteem"). See võeti kasutusele 1960 aastal, XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Mõõtude Peakonverentsil. SI süsteemi põhiühikuteks on: L pikkusühik m M massiühik kg T ajaühik s I voolutugevuse ühik A temperatuuri ühik K J valgustugevuse ühik cd 1971 .a. lisati neile kuuele veel ainehulga N ühik: N ainehulga ühik mol Rahvusvahelise süsteemi põhiühikud on defineeritud tabelis 1.
Tabel 1. Rahvusvahelise süsteemi põhiühikud.
Dimensiooni SI Definitsioon tähis ühik L m Pikkusühik meeter on teepikkus, mille valgus läbib vaakumis 1/299 792 458 s jooksul. M kg Massiühik kilogramm võrdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga. T s Ajaühik sekund on tseesium-133 aatomi põhiseisundi kahe ülipeenstruktuurinivoo vahelisele üleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus. I A Voolutugevuse ühik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus, mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lõpmata pikas paralleelses ja tähtsusetult väikse ümara ristlõikega sirgjuhtmes, tekitab nende juhtmete vahel jõu 2·10-7 N juhtme jooksva meetri kohta. K Temperatuuri ühik kelvin on 1/273,16 osa vee kolmikpunkti termodünaamilisest temperatuurist. N mol Mool on süsteemi ainehulk , mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0,012 kilogrammis süsiniku isotoobis 12C. Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tüüp olema täpsustatud. Need võivad olla aatomid , molekulid, ioonid , elektronid, mingid teised osakesed või kindla koosseisuga grupid neist osakestest .
7 Mõõtmisteooria alused
J cd Kandela on valgustugevus , mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540·1012 Hz, kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1/683 W/sr.
Enne SI süsteemi loomist oli füüsikute hulgas enamlevinuks CGS süsteem, mille põhiühikuteks on: L pikkusühik cm M massiühik g T ajaühik s Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri ühik K (kelvin), ainehulga N ühik mol (mool) ja valgusvoo ühik lm ( luumen ). Lisaks põhiühikutele kasutatakse veel tuletatud ühikuid. Füüsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid ­ füüsika valemeid. Need seosed ja seaduspärasused on aluseks ka põhi­ ja tuletatud ühikute vaheliste seoste määramisel. Näide 5. Juhti läbinud laeng Q on arvutatav juhti läbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t. SI süsteemis mõõdetakse voolu amprites ja aega sekundites. Laengu ühikuks saame nüüd [Q]SI = A s = C. Täispikkade tuletatud ühikute kasutamine igapäevaelus on suhteliselt kohmakas, seetõttu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud ühikutele antud oma erinimetus ja -tähis. Eelmises näites toodud SI süsteemi laengu ühikut kutsutakse kuloniks. Erinimetusega tuletatud ühikute tähised on toodud tabelites 2 ja 3.
1.3. Dimensioonvalem Mitme mõõtühikute süsteemi olemasolu tekitab vajaduse teisendada ühikuid ühest süsteemist teise. On selge, et põhiühikute muutmine toob kaasa ka tuletatud ühikute muutumise. Näiteks võttes teepikkuse ühikuks meetri asemel kilomeetri ja ajaühikuks sekundi asemel tunni, saame kiirusühikuks kilomeetri tunnis (1 m s-1 = 3,6 km h-1). Seetõttu on ilmselt soovitav leida niisugune seos, mis näitaks, kuidas muutub põhiühikute muutmisel meid huvitava suuruse tuletatud ühik. Niisuguseid seoseid kutsutakse dimensioonvalemiteks. Dimensioonvalem - matemaatiline avaldis , mis näitab, mitu korda muutub tuletatud ühik, kui põhiühikute muutused on ette antud. Üldkujul võib dimensioonvalemi üles kirjutada järgmiselt:
dim Y = L M T I N J . NB! Tähised kirjutatakse alati sellises järjekorras. Kui mõni tähis on puudu, siis astendajat 0 ei kirjutata. Mitmete tuletatud ühikute dimensioonvalemid on toodud tabelites 2 ja 3.
Tabel 2. Mõned erinimetusega tuletatud mõõtühikud ja nende dimensioonvalemid
Suurus Tähis Mõõtühik Ühiku SI dimensioonvalem nimetus Sagedus f Hz herts dim f = T-1 jõud, kaal F N njuuton dim F = L M T-2 rõhk, meh. pinge p Pa paskaal dim p = L-1M T-2 töö, soojus , energia A J dzaul dim A = L2M T-2 võimsus P W vatt dim A = L2M T-3
8 Mõõtmisteooria alused
valgusvoog lm luumen dim =J heledus L nt nitt dim L = L-2J valgustatus E lx luks dim E = L-2J neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2 nurk rad radiaan dim = 1 ruuminurk sr steradiaan dim =1
Näide 6. Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub järgmiselt:
dim U L2 M T 3 I 1 . SI süsteemi põhiühikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge ühikuks SI süsteemis
[U ]SI m 2 kg s 3 A 1 . Seda ühikut nimetatakse voldiks. Näide 7. Eespool nägime, et laeng Q avaldub valemiga Q = I t. SI süsteemi ühikuks saime [Q]SI = A s = C. Dimensioonvalemiks võime seega kirjutada dim Q = T I.
Tabel 3. enamlevinud elektriliste ja magnetiliste suuruste mõõtühikud ja dimensioonvalemid SI süsteemis. Suurus Tähis Mõõtühik Ühiku SI dimensioonvalem nimetus el.pinge, potentsiaal, potentsiaalide vahe, U, , V volt dim U = L2M T-3I-1 elektromotoorjõud el. Takistus R oom dim R = L2M T-3I-2 el. juhtivus G S siimens dim G = L-2M-1T3I2 elektrilaeng Q C kulon dim Q = T I induktiivsus L H henri dim L = L2M T-2I-2 el. mahtuvus C F farad dim C = L-2M-1T4I2 magnetvoog , magn . induktsiooni voog Wb veeber dim = L2M T-2I-1 magnetvoo tihedus, mag. induktsioon B T tesla dim B = M T-2I-1
1.4. Suured ja väikesed ühikud Mõõdetavate suuruste väärtus võib olla kord suur ja kord väike. Seetõttu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega ühikuid sama liiki füüsikalise suuruse mõõtmiseks. Näide 4. Pikkuse mõõtmiseks kasutatakse toll'i, jalg'a, jard'i, miili'i, mere miil 'i: 9 Mõõtmisteooria alused
toll: 1'' = 0,0254 m 1 jalg = 0,3048 m = 12'' 1 jard = 0,9144 m = 3 jalga = 36'' miil = 1 609,344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360'' mere miil: 1 nam 1 850 m 2 025 jardi 6 080 jalga 72 900'' Oleks hea, kui ühtedelt ühikutelt teistele üleminek oleks võimalikult lihtne. Niisugusteks mõõtühikuteks said meetermõõdustiku ühikud, mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791.aasta kevadel "kõikideks aegadeks, kõigile inimestele, kõigi riikide jaoks" (prantsuse keeles: pour tous les temps, pour tous les peuples, pour tous les pays). Meetermõõdustiku ehk kümnendsüsteemi oluliseks omaduseks on see, et ühe ja sama suuruse erinevad mõõtühikud suhtuvad üksteisesse nagu kümne täisarvulised astmed . Kasutatavate kümnendliidete selgitus on toodud tabelis 4. Hoolimata meetermõõdustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades tänaseni kohalikku süsteemi (Inglismaa, USA).
Tabel 4. Kümnendliited kordsete mõõtühikute moodustamiseks.
Aste Nimetus Tähis Aste Nimetus Tähis 1024 jotta- Y 10-24 jokto- y 1021 zetta- Z 10-21 zepto- z 18 -18 10 eksa - E 10 atto- a 15 -15 10 peta - P 10 femto- f 12 -12 10 tera - T 10 piko- p 9 -9 10 giga - G 10 nano- n 6 -6 10 mega - M 10 mikro- 3 -3 10 kilo- k 10 milli- m 102 hekto - h 10-2 senti- c 101 deka - da 10-1 detsi- d
10 Mõõtmisteooria alused
2. Tõeline väärtus ja mõõdis. Viga ja määramatus Mõõdetava suuruse tõeline väärtus on väärtus, mis on kooskõlas antud konkreetse mõõdetava suuruse definitsiooniga. Tõeline väärtus on ideaalsuurus. Me ei saa seda eksperimentaalselt määrata, me saame anda ainult hinnangu selle suuruse väärtuse jaoks koos hinnanguga väärtuste võimaliku jaotumise kohta. Seda mõõtmise teel antud hinnangut mõõdetava suuruse väärtuse kohta nimetatakse mõõdiseks või mõõteväärtuseks. Mõõdise all mõistetakse üksikmõõtmise või ­vaatluse töötlemata tulemust. Kui mõõdisele lisatakse parand või leitakse mõõdiste aritmeetiline keskmine, siis saadakse juba mõõteväärtus. Hinnangut, mida saab anda inimkonna käsutuses oleva parima mõõtevahendi ehk etaloniga, nimetatakse leppeliseks tõeliseks väärtuseks xl. Mõõtetulemuse x ja mõõdetava suuruse tõelise väärtuse xt vahe on mõõtetulemuse viga. x = x ­ xt . Viga on ideaalsuurus, reaalses elus ei saa me enamasti teada tema tegelikku väärtust. Saame anda ainult tõenäosusliku hinnangu väärtuste vahemiku kohta, milles asub mõõdetava suuruse tõeline väärtus soovitud (nõutud) tõenäosusega. Selle väärtuste vahemiku ulatust iseloomustab mõõtemääramatus. Mõõtemääramatus (pr. incertitude de mesure, ingl. uncertainty of measurement, sks. die Unsicherheit, die Me unsicherheit) ­ mõõtetulemusega seotud parameeter , mis iseloomustab mõõtetulemusele omistatavat mõeldavate väärtuste hajumist. Sõna määramatus tähendab "kahtlust" ja seega mõiste mõõtemääramatus oma laiemas tähenduses väljendab kahtlust mõõtetulemuse kehtivusse. Mõisteid mõõdis ja mõõdetava suuruse tõeline väärtus, viga ja mõõtemääramatus illustreerib joonis 17. Mõõtetulemus on mõõteväärtus koos (mõõte)määramatusega, s.t oluline on kogu vahemik mõõteväärtus ­ mõõtemääramatus kuni mõõteväärtus + mõõtemääramatus. Näide 1. Oletame, et mõõtsime mõõdulindiga keerupaari kaabli pikkuseks 76,65 m ja mõõtemääramatuseks saime 0,04 m. Siis võime mõõtetulemuse koos tema määramatusega üles kirjutada kujul l = 76,65 m u(l) = 0,04 m. Määramatuse tähises antakse sulgudes suuruse tähis, mille määramatusega on tegemist. Näide 2. Oletame, et mõõtsime sama keerupaari kaabli pikkuse kasutades käte siruulatust. Tulemuseks saime 77 m ja mõõtemääramatuse hinnanguks 2 m. Nüüd võime mõõtetulemuse koos tema määramatusega üles kirjutada kujul l = 77 m u(l) = 2 m.
11 Mõõtmisteooria alused
Kummas näites saadud tulemus on parem, õigem? Ilmselt on mõõdulindiga mõõtes saadud tulemus täpsem, aga kui meil puuduks info mõõtemääramatuse kohta, siis ei saaks me sellele küsimusele vastata. Seega on määramatuse suuruse kohta käiv info hädavajalik mõõtetulemuse osa. Mõõtepraktikas on määramatusel palju võimalikke allikaid , millest võiks nimetada ebatäpsust skaalanäiduga mõõtevahendi lugemi võtmisel mõõtevahendi piiratud lahutusvõimet ja/või madalat tundlikkuse läve mõõtevahendi kaliibrimisel kasutatud etalonide ja etalonainete ebatäpseid väärtusi mõõteprotsessis vajalike konstantide ja parameetrite väärtuste ebatäpsust lähendeid ja eeldusi , mis kuuluvad mõõteprotseduuri ja ­meetodi koosseisu puudulikke teadmisi keskkonnatingimuste mõjust mõõteprotseduurile jne. Mõõtetulemuse määramatus koosneb paljudest komponentidest, mis jagatakse kahte tüüpkategooriasse: A - tüüpi määramatus, mida hinnatakse statistiliste meetodite abil, B - tüüpi määramatus, mida hinnatakse muul viisil. Mõõtetulemuse standardmääramatust, mis on saadud paljude komponentide väärtuste põhjal, nimetatakse liitmääramatuseks (combined uncertainty). Tema arvulise väärtuse saab leida ruuteeskirja järgi:
uC u A2 u B2 .
Usaldusnivoo näitab, kui suure tõenäosusega asub leppeline tõeline väärtus xl vahemikus xm ­ u kuni xm + u. Siin tähistab xm mõõtetulemust. Näiteks usaldusnivoo 68% näitab, et leppeline tõeline väärtus asub 68 juhul 100-st vahemikus xm ­ u kuni xm + u. ja 32 juhul 100-st väljaspool nimetatud vahemiku (vaata joonis 1).
68 % 32 % xl xl xm x xm - u xm + u Joonis 1. Usaldusnivoo 68%. Usaldusnivoo tõstmiseks kasutatakse kattetegurit. Liitmääramatuse läbikorrutamisel katteteguriga k saadakse laiendmääramatus U:
U = k uC . Kattetegur k sõltub mõõtetulemuste jaotusest ja soovitavast usaldusnivoost. Näide 3. Normaaljaotuse eeldusel on usaldusnivoo p = 90 % korral kattetegur k = 1,65. p = 95 % korral on kattetegur k = 1,96 ja usaldusnivoo p = 99 % korral k = 2,58.
12 Mõõtmisteooria alused
3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus Juhuslik suurus on suurus, mis sõltub juhuslikust sündmusest ja mille väärtust pole enne juhusliku sündmuse toimumist võimalik kindlaks määrata. Näiteks täringu viske puhul ei tea me kunagi täpselt ette, mitu silma saame. Nii on täringuviske resultaat juhuslik suurus. Tingituna juhuvigadest on ka üksikmõõtmise tulemus juhuslik suurus. Näide 1. Oletame, et mõõtsime multimeetriga füüsikahoones 8 minuti jooksul n = 100 korda vahelduvpinget. Katsetulemuste jaotus on kujutatud joonisel 2. Näeme, et vahelduvpinge väärtus ei ole ajas konstantne vaid fluktueerub mingi väärtuse ümber, s.t on juhuslik suurus. Antud näites on selle põhjuseks nii juhuvead kui ka vahelduvpinge väärtuse sõltuvus kogu võrgus tarbitavast võimsusest.
228.8
228.6
U Pinge, /V/
228.4
228.2
228 0 1 2 3 4 5 6 7 8 aeg, /min/ Katsepunktid Keskmine
Joonis 2. Võrgupinge muutumine ajas. Mõõtetulemus on reaalse katse tulemus. Mõõtetulemuste kogum annab informatsiooni mõõdetud suuruse võimalike väärtuste tõenäosuslikust jaotusest. Sellises käsitluses on mõõteväärtus nagu koordinaat , millega pannakse paika mõõtetulemusele omistatavate väärtuste kese arvteljel . Hinnatava füüsikalise suuruse iseloomustamiseks võime enamasti kasutada aritmeetilist keskväärtust. Oletame et me mõõtsime suuruse X väärtuse n korda, siis aritmeetiline keskväärtus avaldub valemiga
13 Mõõtmisteooria alused
n xi x1 x2 xn i 1 x , n n kus xi on üksikmõõtmiste tulemused.
o Üksikmõõtmiste tulemused erinevad keskväärtusest. Neid erinevusi x xi xi nimetatakse hälveteks.
3.1. Histogramm Mõõtetulemuste e mõõdiste jaotumist keskväärtuse ümber saab kirjeldada histogrammiga. Histogramm on tulpdiagramm , mis näitab, kui sageli esinevad ühed või teised tulemused. Histogrammi ehitamiseks peame kogu mõõtetulemuste esinemise vahemiku jagama võrdseteks lõikudeks x. Vahemike arv valitakse tavaliselt ligikaudu võrdseks ruutjuurega mõõtmiste arvust. Seejärel loendame, mitu korda mõõdetav suurus satub igasse lõiku ja joonistame iga lõigu kohale tabamuste arvuga võrdelise tulba . Näide 2. Histogrammi ehitamine. Tuleme tagasi vahelduvpinge mõõtmise näite juurde (joonis 2). Oma katses saime 100 lugemit, millest vähim oli Emin = 228,10 V ja suurim Emax = 228,77. Jagame mõõtetulemuste vahemiku Emin ... Emax 100 10 lõiguks, seejärel loendame, mitu korda mõõtetulemus igasse lõiku sattus. Tulemused on esitatud tabelis 5.
Tabel 5. Loendustabel histogrammi joonistamiseks
Jrk Lõikude rajaväärtused ni [V] 1 228.100 228.167 3 2 228.167 228.234 3 3 228.234 228.301 8 4 228.301 228.368 7 5 228.368 228.435 14 6 228.435 228.502 18 7 228.502 228.569 10 8 228.569 228.636 21 9 228.636 228.703 12 10 228.703 228.770 4 Tabeli alusel joonistame histogrammi (joonis 3). Histogrammi rõhtteljele kantakse mõõtetulemuste vahemike Ei otspunktidele (või keskpunktidele) vastavad väärtused. püstteljele kantakse suurused ni /(n· E), kus ni on mõõtmiste arv, mis satub lõikku Ei. Selliselt valitud ühikute kasutamisel on histogrammi alune pindala võrdne ühega (joonis 4).
14 Mõõtmisteooria alused
Joonis 3. Histogrammi ehitamine.
4
3 ni/(n· E), /V-1/
2
1
0 228.1 228.2 228.3 228.4 228.5 228.6 228.7 228.8 E , /V/ Üksikmõõtmiste histogramm
Joonis 4. Histogrammi näide.
15 Mõõtmisteooria alused
Mõõtmiste arvu suurendades ja samal ajal vahemiku laiust vähendades (joonis 5) sulavad piirjuhul ni tulpade tippud siledaks kõveraks f ( x) lim x 0 ,n n xi .
Saadud kõverat f (x) nimetatakse tõenäosuse tihedusfunktsiooniks (joonis 5 sinine joon).
Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Kmin Kmax 2.33
1.17
0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 5. Tõenäosuse tihedusfunktsioon on tähistatud sinise joonega.
3.2. Dispersioon ja standardhälve Mõõtetulemuste hajumist iseloomustab parameeter mida kutsutakse dispersiooniks: n 2 ( xi xt ) i 1 Dx , n kus xt on mõõdetava suuruse tõeline väärtus. Selle parameetri puuduseks on tema dimensioon ­ suuruse dispersiooni dimensiooniks on suuruse enda dimensioon ruudus . Näeme, et suurust ja tema dispersiooni on väga ebamugav võrrelda. Seetõttu kasutatakse mõõtmisteoorias mõõdiste hajumise iseloomustajana positiivset ruutjuurt dispersioonist ­ standardhälvet. Mõõtmiste suure arvu korral saab suuruse x ehk standardhälbe ( ruutkeskmine hälve vanemas kirjanduses) leida valemist n ( xi xt ) 2 i 1 x . n 16 Mõõtmisteooria alused
Praktikas pole mõõtmiste arv tavaliselt väga suur, samuti pole teada mõõdetava suuruse tõelist väärtust. Seetõttu kasutatakse standardhälbe ligikaudse hinnanguna eksperimentaalset standardhälvet: n ( xi x ) 2 i 1 sx . n 1 Oluline on märkida, et üksikmõõtmiste eksperimentaalne standardhälve peaaegu ei sõltu mõõtmiste arvust (vaata eelmist valemit!), ta iseloomustab mõõtmismeetodi täpsust. Üksikmõõtmiste standardhälbe ulatus võrrelduna jaotusfunktsiooni laiusega on näha joonisel 6. Matemaatiline standardhälve on piirjuht eksperimentaalsest standardhälbest:
x lim n sx
Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Kmin Kmax 2.33
1.17 2·Sx
0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 6. Üksikmõõtmiste standardhälve.
3.3. Ekse Mõnikord juhtub, et mõõtetulemuste hulka satub ilmselgelt vale mõõdis ehk ekse. Kuidas ekset ära tunda? Vaatame järgmist näidet. Oletame, et saime võrgupinge mõõtmisel sellise tulemuse nagu on näidatud joonisel 7. Lisame sellele joonisele kaks visiirjoont, kohtadel E 3sE ja E 3sE . Kõik mõõtetulemused, mis jäävad nende kahe visiirjoonega piiratud alast väljapoole, võib lugeda ekseteks.
17 Mõõtmisteooria alused
Antud näites on meil kaks ekset: E = 229.18 V (sest E > E 3sE ); E = 227.96 V (sest E 229.2 E+3 s 229
228.8 Pinge, /V/
228.6
228.4
228.2 E -3 s 228
227.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 aeg, /min/ Katsepunktid Keskmine
Joonis 7. Võrgupinge muutumine ajas, ekse. Ekse on põhjustatud mõõtja hooletusest, tähelepanematusest või mõnikord ka digitaalset mõõtesüsteemi mõjustanud häirest. Selline jämeda veaga tulemus tuleb edasisest andmetöötlusest kõrvaldada, lisades asjakohase märkuse mõõtmiste protokolli.
3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja A­tüüpi määramatus Siiani rääkisime, et üksikmõõtmise tulemus on juhuslik suurus. Samamoodi on juhuslik suurus ka juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine. Näiteks kui on tehtud N mõõteseeriat, igaühes n mõõtmist, ja leitud kõik N keskväärtust x j , siis seeriate aritmeetilise keskmise standardhälbe saab leida valemist N ( xi xt ) 2 i 1 x N Matemaatilises statistikas näidatakse, et x ja x on seotud valemiga
x x . n
18 Mõõtmisteooria alused
Analoogiliselt on seotud omavahel aritmeetilise keskmise standardhälbe hinnang ja mõõdise eksperimentaalne standardhälve. Saadud tulemus lubab hinnata aritmeetilise keskmise erinevust tõelisest väärtusest ka üheainsa seeria põhjal, mis koosneb n mõõtmisest: n sx ( xi x) 2 i 1 sx n n(n 1) 1 Kuna suurus sx on võrdeline , siis saab teda vähendada mõõtmiste arvu suurendades. n Eespool nägime, et mõõdetava suuruse hinnanguna kasutatakse enamasti aritmeetilist keskmist. Selle keskmise hindamise täpsust iseloomustab keskmise standardhälve, mis valitaksegi määramatuse statistilise komponendi ­ A-tüüpi määramatuse ­ väärtuseks.
n sx ( xi x) 2 i 1 uA x sx . n n(n 1) 3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel Tõenäosust tulemuse sattumiseks mingisse vahemikku saab hinnata, kui mõõta histogrammi alune pindala (graafiku ühikutes!) selle vahemiku ulatuses. Seda protseduuri illustreerib keskväärtusest ühe standardhälbe kaugusele jäävate tulemuste tõenäosuse leidmise näite varal joonis 8. Histogrammi roheliseks värvitud osa pindalaks saame 0,655, mis tähendab, et tulemuse sellesse vahemikku sattumise tõenäosus on 65,5%. ni/( E n), /1/V/
4
p = 0,035 + 0,14 + 0,18 + 0,10 + 0,20 = 65,5% 3
2
1
0 228.1 228.2 228.3 228.4 228.5 228.6 228.7 228.8 E , /V/
Joonis 8. Usaldusnivoo hindamine histogrammi aluse pindala mõõtmise teel.
19 Mõõtmisteooria alused
4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine 4.1. Normaaljaotus Paljudes rakendustes loetakse juhuslike suuruste jaotus ligilähedaseks Gaussi ehk normaaljaotusele. Analüütilisel kujul avaldub normaaljaotus valemiga
1 ! ( x x) 2 f ( x) exp , x 2" 2 2 x kus x on parameeter, mis iseloomustab kõvera laiust ja mis on arvuliselt võrdne standardhälbega. Tõenäosuse tihedusfunktsiooni graafik , mis on saadud eksperimendist leitud keskväärtuse ja standardhälbe asendamisel valemisse 2.2 on kujutatud joonisel 4. Gaussi kõveral vastavad punktidele x x ja x x käänupunktid, s.t. punktid kus kumerus läheb üle nõgususeks. Graafiku alust pindala mõõtes saab näidata, et vahemikku x# x jääb 68,27 % sündmustest. Vahemikku x # 2 x jääb 95,45 % ja vahemikku x # 3 x 99,73 % sündmustest (vt. ka joonis 9). Mida suurem on x seda laiem ja madalam on f (x) graafik. Mida väiksem on x seda kitsam ja kõrgem on f (x) graafik.
x- x 68,3 x+ x
2·Sx x-2 x 95,5% x+2 x
x-3 x+3 x x 99,7% x Joonis 9. Tõenäosuse tihedusfunktsioon normaaljaotuse korral.
4.2. Ühtlane jaotus Vaatleme nüüd teist olulist jaotust ­ ristkülikjaotust e. ühtlast pidevat jaotust (joonis 10).
20 Mõõtmisteooria alused
58 % xl x- x x+ x
x - x x + x
Joonis 10. Ristkülikjaotus. Ühtlase jaotuse korral on kõik sündmused võrdtõenäosed. Sellise jaotuse dispersioon avaldub $ xt )% 2 2
( xt
valemiga D . Standardhälbe väärtuseks saame selle jaotuse korral 12 3
D 0,58
x . 3
4.3. Kolmnurkjaotus Vaatleme nüüd kolmandat olulist jaotust ­ kolmnurkjaotust (joonis 11).
65 % xl x- x x+ x
x - x x + x
Joonis 11. Kolmnurkjaotus. Kolmnurkjaotuse korral, erinevalt ühtlasest jaotusest, ei ole enam kõik sündmused võrdtõenäosed ­ keskele satub tulemus suurema tõenäosusega kui jaotuse äärtesse. Kolmnurkjaotuse dispersioon
2 avaldub valemiga D . Standardhälbe väärtuseks saame selle jaotuse korral 6
D 0,41
x . 6
21 Mõõtmisteooria alused
4.4. Usaldusnivoo hindamine jaotusfunktsiooni alusel Analoogiliselt usaldusnivoo leidmisele histogrammi aluse pindala mõõtmise teel saab usaldusnivood hinnata ka jaotusfunktsiooni alust pindala mõõtes. Matemaatika terminites tähendab see meile huvipakkuvas vahemikus määratud integraali arvutamist jaotusfunktsiooni avaldisest. Järgnevalt leiame usaldusnivoo tulemuse sattumiseks maksimaalselt ühe standardhälbe kaugusele keskväärtusest. Normaaljaotuse korral saame usaldusnivooks 68,3%: x x x x 1 ! ( x x) 2 & f ( x)dx & 2" exp 2 x2 dx 0,683 x x x x x
Vastav osa normaaljaotuse kõvera alla jäävast graafikust on joonisel 9 värvitud roheliseks. Ühtlase jaotuse korral annab anloogiline arvutus usaldusnivooks 58%: x x
& f ühtlane jaotus ( x)dx 0,58 x x
Vastav osa jaotusfunktsiooni kõvera alla jäävast graafikust on joonisel 10 värvitud roheliseks. Kolmnurkjaotuse korral saame usaldusnivooks 65%: x x
& f kolmnurkjaotus ( x)dx 0,65 x x
Vastav osa kolmnurkjaotuse kõvera alla jäävast graafikust on joonisel 11 värvitud roheliseks. Soovides anda vahemikhinnangut kõrgemal usaldusnivool, tuleb standardhälvet korrutada katteteguriga. Praktikumis kasutatava usaldusnivoo p = 95 % korral on kattetegur k = 1,96 normaaljaotuse eeldusel, k = 1,65 ühtlase jaotuse eeldusel ja k = 1,9 kolmnurkjaotuse eeldusel. Kattetegurite sellised väärtused saadakse jaotusfunktsiooni aluse pindala leidmise (jaotusfunktsioonist määratud integraali arvutamise) pöördprotseduuriga, kusjuures otsitavaks on määratud integraali rajaväärtuses sisalduv kattetegur.
4.5. Jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine Metroloogia esimene ülesanne on jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontroll, kõigepealt normaaljaotuse hüpoteesi kontroll. Allpool toodud joonised illustreerivad jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimise ülesannet. Joonis 12 kujutab normaaljaotuse alusel jaotunud suurust. Seejuures on näha, et väikese arvu mõõtmiste korral on kokkulangevus normaaljaotuse analüütilise kõveraga väga ligikaudne . Üksikmõõtmiste histogramm Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 3.5 Mõõtmisi 50 tulpade_arv 8 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Mõõtmisi 500 tulpade_arv 23 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Kmin Kmax Kmin Kmax 2.33 2.33
1.17 1.17
0 0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm . Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 12. Kas see suurus on jaotunud normaaljaotuse kohaselt?
22 Mõõtmisteooria alused
Kas joonisel 13 kujutatud suurus on jaotunud normaaljaotuse hüpoteesi kohaselt? Ilmselt mitte. Järgmisena kontrollime ühtlase jaotuse hüpoteesi ­ seekord edukalt (joonis 14). Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317
Tõenäosuse tihedusfunktsioon Kmin Kmax 2.33
1.17
0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 13. Kas see suurus on jaotunud normaaljaotuse kohaselt? Üksikmõõtmiste histogramm Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 3.5 Mõõtmisi 50 tulpade_arv 8 Mõõtmisi 500 tulpade_arv 23 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Tõenäosuse tihedusfunktsioon Kmin Kmax Kmin Kmax 2.33 2.33
1.17 1.17
0 0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm . Üksikmõõtmiste histogramm .
Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Kmin Kmax 2.33
1.17
0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 14. Kas see suurus on jaotunud ühtlase jaotuse kohaselt? Mis jaotuse kohaselt on jaotunud joonisel 15 kujutatud suurus? Kas ühtlase jaotuse, kolmnurkjaotuse või normaaljaotuse järgi? Vastus: ilmselt kolmnurkjaotuse alusel. Joonis 16 kujutab ligikaudu normaaljaotuse järgi jaotunud suurust.
23 Mõõtmisteooria alused
Üksikmõõtmiste histogramm Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 3.5 Mõõtmisi 500 tulpade_arv 23 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317
Tõenäosuse tihedusfunktsioon Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Kmin Kmax Kmin Kmax 2.33 2.33
1.17 1.17
0 0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm . Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 15. Mis jaotuse kohaselt on jaotunud see suurus? Kas ühtlase jaotuse, kolmnurkjaotuse või normaaljaotuse järgi? Vastus ­ kolmnurkjaotuse alusel.
Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317 Tõenäosuse tihedusfunktsioon
Kmin Kmax 2.33
1.17
0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised Üksikmõõtmiste histogramm .
Joonis 16. Mis jaotuse kohaselt on jaotunud see suurus? Kas ühtlase jaotuse, kolmnurkjaotuse või normaaljaotuse järgi? Vastus ­ ligikaudu normaaljaotus.
24 Mõõtmisteooria alused
5. Kaalutud keskmiste meetod Praktikas hinnatakse sageli üht ja sama füüsikalist suurust erinevates tingimustes või erinevate meetoditega, kusjuures üksiktulemuste määramatused osutuvad erinevateks. On selge, et keskmise tulemuse arvutamisel tuleks täpsemaid tulemusi arvestada suurema kaaluga kui vähemtäpseid. Võimaluse selleks pakub kaalutud keskmiste meetod. Sellisel juhul ei arvutata mitte tulemuste aritmeetilist keskmist, vaid nn. kaalutud keskmine: n g i xi i =1 x n , gi i =1
kus gi on i-nda tulemuse kaal ja n on mõõtmiste arv. Kaaludeks gi võetakse arvud, mis on võrdelised üksikmõõtmiste määramatuste ruutude pöördväärtustega. Võrdetegur võib olla suvaline , tavaliselt võetakse ta võrdseks ühega. Sel juhul 1 gi . u 2 ( xi ) C
Kaalutud keskmise määramatuse leiame valemist 1 uC ( x ) n . gi i =1
Kaalutud keskmine osutub alati täpsemaks kui ka kõige täpsem üksiktulemus xi. Näide: Olgu kahe erineva meetodi abil leitud ühe ja sama suuruse väärtused x1 = 4,60(0,10) x2 = 4,80(0,20)
Arvutame 1 1 g1 100 ja g 2 25 0,12 0,2 2 100 4,6 25 4,8 x 4,640 100 25 1 uC ( x ) 0,089 100 25 Lõpptulemuseks saime x 4,640(0,089) . Nagu näha, ei mõjusta vähemtäpsete andmete lisamine mõõtetulemust oluliselt. Aritmeetiline keskmine oleks märksa halvem hinnang kui täpsem tulemus üksinda.
25 Mõõtmisteooria alused
6. Juhuslikud ja süstemaatilised efektid 6.1. Süstemaatilised efektid Süstemaatilised efektid võib jagada kolmeks: 1. Efektid, mille põhjused on teada ja millede suurusi on võimalik piisavalt täpselt hinnata. Näiteks testri 0 võib olla paigast ära, elektromotoorjõu mõõtmisel voltmeetri sisetakistuse arvestamata jätmine, keha massi hindamisel üleslükkejõu arvestamata jätmine, termomeetri skaala võib olla nihkes. Võimaluse korral tuleb seda liiki efektid kindlasti kõrvaldada või äärmisel juhul kompenseerida parandite abil. Teadaoleva (aditiivse) süstemaatilise vea arvestamisel saame mõõtetulemuse parandatud väärtuseks ~ x x q , kus q on aditiivset süstemaatilist viga arvestav parand. Seejuures on parand ainult süstemaatilise vea hinnanguks, vea täpne väärtus pole teada. Aditiivne parand ei sõltu mõõtetulemuse väärtusest. Mõnikord võib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga, s.t. veaga mis kasvab võrdeliselt mõõtetulemuse kasvuga. Sellisel juhul tuleb parandatud mõõtetulemuse saamiseks mõõtetulemus parandusteguriga läbi korrutada ~ x Q x , kus Q on multiplikatiivset süstemaatilist viga arvestav parandustegur. Üldjuhul on parandatud tulemus esitatav kujul ~ x Q x q. Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse taatlemisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel, kust saab leida vajaliku väärtuse parandi (või parandusteguri) jaoks. 2. Efektid, millede põhjused on teada, kuid suurused mitte. Siia alla käivad kõik riistavead. Need on põhjustatud ebatäpsest gradueerimisest. Sellist süstemaatilist viga saab vähendada, kui kontrollime mõõteriista mõne teise tunduvalt täpsema mõõteriistaga ja koostame vastava parandite tabeli. 3. Efektid, millede olemasolu on meile teadmata. Sellised efektid võivad esineda juhtudel, kui kasutatakse uut mõõtmismeetodit või kui on tegemist äärmiselt keeruliste mõõtmistega. Lihtsaks näiteks oleks traadi eritakistuse hindamine juhul, kui traadis on mingi pragu või mittehomogeensus. Sel juhul ei kirjelda traaditüki takistus õigesti materjali elektrijuhtivust. Hälbest vabaneda saab randomiseerimise teel, s.t. püütakse süstemaatiline hälve muuta osaliselt või täielikult juhuslikuks. Traadi näite puhul tuleks mõõta paljude traaditükkide takistus ja leida nende keskväärtus.
6.2. Juhuslikud efektid Juhuslik viga on põhjustatud mõõtetulemust mõjutavate parameetrite stohhastilisest muutumisest. Selliste juhuslike efektide tõttu saame kordusmõõtmisel varasemast erineva tulemuse. Juhuslikku viga pole võimalik kompenseerida parandi abil, küll aga saab teda vähendada kordusmõõtmiste arvu suurendamisega. Juhuslik mõõteviga on ideaalsuurus. Reaalsete mõõtmiste puhul kasutame katsetulemuste hajumise ulatuse iseloomustamiseks A-tüüpi määramatust. NB! Tuletame meelde, et ka A-tüüpi määramatus väheneb mõõtmiste arvu kasvades.
26 Mõõtmisteooria alused
Mõisteid mõõdis ja mõõdetava suuruse tõeline väärtus, viga, parand ja mõõtemääramatus illustreerib joonis 17.
Parandamata Parandatud mõõdised mõõteväärtused Mõõdiste uC standardhälve uA
Juhuslik viga PARAND Viga
Parandatud mõõte- väärtuste jaotus Tõeline Mõõdiste väärtus eeldatav jaotus
Süstemaatiline viga
Joonis 17. Mõistete mõõdis ja mõõdetava suuruse tõeline väärtus, viga, parand ja mõõtemääramatus illustratsioon.
27 Mõõtmisteooria alused
7. Mõõtevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine Mõõtevahendid on tehnilised vahendid, millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette nähtud mõõtmiseks.
Joonis 18. Digitaalnihik. Mitmeväärtuselise mõõdu näitena võime vaadelda nihiku haarade vahele jäävat lõiku. Mõõtevahendid jaotatakse viide rühma: 1. mõõdud: üheväärtuselised mõõdud, näiteks kaaluvihid, normaalelement, mitmeväärtuselised mõõdud, näiteks joonlauad, takistussalved, 2. mõõteriistad (mõõturid), 3. mõõtemuundurid, 4. abimõõtevahendid, 5. mõõtesüsteemid või -kompleksid või seadeldised. Mõõdud on seadeldised mingi füüsikalise suuruse reprodutseerimiseks. Näide: kaaluvihid, nihik (joonis 18). Mõõteriist on mõõtevahend, mis võimaldab saada mõõteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul. Näide: osutmõõteriistad, klaas-vedelik termomeetrid , multimeeter (joonis 19). Mõõtemuundur on ette nähtud mõõteinfo saamiseks, muundamiseks, edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks, kuna puudub näiduseadis. Näide: mõõtevõimendid. Mõõtemuundurite eriliigiks on andurid esmase mõõteinfo saamiseks. Näide: termopaar , niiskusmõõtja mahtuvuslik andur. Joonis 19. Multimeeter. Mõõteriista näide.
28 Mõõtmisteooria alused
Abimõõtevahendid on seadmed , millega kontrollitakse mõõteriista töötingimusi, füüsikalisi mõjureid jne. Näiteks kuivelemendi elektromotoorjõu määramise töös kasutatakse normaalelementi elektromotoorjõu standardi reprodutseerimiseks, mõõtmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga. Mõõtesüsteem on mitmest eelpoolmainitud mõõtevahendist koostatud seadeldis.
7.1. Normaal- ja töötingimused Iga mõõtevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente, mis normeerivad mõõtepiirkonna(d), mõõtediapasooni, tundlikkuse, normaaltingimused, töötingimused, hoiutingimused, mõõtevea jne. Mõõtevahenditele on kehtestatud lubatud mõõtevead. Kõige tähtsam nendest on põhiviga. Põhiviga on maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel. Universaalseid normaaltingimusi ei ole, need kehtestatakse individuaalselt igale mõõteriistale (temperatuuri­, niiskuse­, õhurõhu­, toitepinge vahemik jne.). Näiteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23,000 ± 0,005)'C. Tavalistel seadmetel on see 20'C või 23'C ümbruses ± 0,1'C kuni ± 5'C. Normaaltingimustes on mõõteriist kõige täpsem. Töötingimustes lisandub täiendav viga, nn. lisaviga. Hoiutingimuste piirkonnas mõõteriistaga enam mõõta ei saa, aga mõõteriista säilimine mõõtmiskõlbulikuna on veel tagatud. Kahjustavate tingimuste piiri ületamisel mõõteriist rikneb. Normaal-, töö-, hoiu- ja kahjustavate tingimuste vahekorda illustreerib joonis 20.
normaaltingimused x
töötingimused
hoiutingimused
kahjustavad tingimused Joonis 20. Mõõteriista normaal-, töö-, hoiu- ja kahjustavate tingimuste omavaheline vahekord . Mõõtmisteooria alused
Näide: Wenzel´i manomeetri A200 passis tuuakse toitepinge, sageduse, temperatuuri ja õhuniiskuse väärtused, milliste täidetuse juures manomeetriga võib töötada: Specifications Parameter Min Typ Max Unit Mains supply voltage (230V-setup) 190 230 242 V Mains supply voltage (120V-setup) 99 120 130 V Frequency 50 60 Hz Power consumption 9 W ambient temperature ( working ) 0 40 'C ambient temperature ( storage ) -10 50 'C Humidity 0 90 % rel
7.2. Täpsusklass Mõõtevahendi täpsusklass on mõõtevahendi üldistatud karakteristik, mis määrab tema suurima lubatava põhi- ja lisavea, aga samuti teised täpsust mõjutavad omadused vastavalt mõõteliikidele kehtestatud standardile. Selleks üldistatud karakteristikuks võib olla absoluutpõhiviga. Absoluutviga defineeritakse mõõdu puhul valemiga
x xnom xl , kus xnom on nominaalväärtus ja xl leppeline tõeline väärtus, ja mõõteriista puhul valemiga
x xnait xl , kus xnait on mõõteriista näit. Täpsusklassina kasutatakse absoluutviga peamiselt mõõtude puhul. Mõõtevahendi täpsusklassi väljendavaks üldistatud karakteristikuks võib olla suhtpõhiviga. Suhtviga defineeritakse valemiga
x x 100% . xl Kui täpsusklass on suhtpõhivea kujul, siis on seadme esipaneelile või skaalale kantud täpsusklassi tähis (= suhtpõhivea väärtus) ringi sees. Vene päritolu seadmetel võib olla suhtpõhivea tähiseks ka venekeelne sõna KLASS (joonis 21).
0.5 0.5
Joonis 21. Suhtviga 0,5%.
30 Mõõtmisteooria alused
Digitaalsete mõõteriistade täpsusklassi esitamisel kasutatakse enamasti valemit absoluutvea arvutamiseks. Näiteks digitaalse multimeetri viga kujul: ±0.25% RDG ± 2 D, ±0.25% Reading ± 2 Digit, ±0.25% ± 2 ct. Sellist esitust tuleb mõista järgmiselt: Lugemi absoluutpõhiviga on 0,25 % lugemist pluss kaks korda mõõteriista lahutusvõime. Mõõteriista lahutusvõime all mõistetakse tema displeil kuvatava mõõdise viimase koha vähimat võimalikku nullist erinevat väärtust. Näide: Oletame, et saime multimeetriga mõõtes pinge väärtuseks E = 6,25 V. Siis absoluutpõhiviga 0,25 #
E 6,25 V 2 0,01 V 0,016 V 0,02 V 0,04 V 100 Mõõtevahendi täpsusklass võib olla esitatud konstantide e ja f kaudu kujul: näiteks täpsusklass kujul 0.02 / 0.01. Nendest konstantidest tuleks arvutada suhtpõhiviga kasutades valemit: - ! xnorm * x # +e f 1 (, % . , xnait ) Mõõtevahendi täpsusklassi väljendavaks üldistatud karakteristikuks võib olla taandpõhiviga. Taandviga defineeritakse valemiga
x x 100% , xnorm kus xnorm on normeeriv väärtus (võib olla näiteks mõõtepiirkonna ülemine piir või skaala pikkus). Rõhuva enamuse osutmõõteriistade puhul on kasutusel see karakteristik. Seadme esipaneelile või skaalale on kantud täpsusklassi tähis (= taandpõhivea väärtus) ilma ringita. Näiteks 0,5 või 1,0 jne. Kasutusel on täpsusklasside rida (1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)·10n, kus n = 1; 0; ­1; ­2;... Mõõtevahendi täpsusklassi väljendavaks üldistatud karakteristikuks võib olla täpsusklass x detsibellides ­ kl 20 log , dB. x Näide:
kl 0,5 dB tähendab et ! kl ! 0,5 x x näit exp x näit exp 0,00125 x näit 20 20
7.3. B-tüüpi määramatus Põhimõtteliselt saaks teha statistilisi uuringuid iga mõeldava veaallika kohta: kasutada erinevaid mõõtevahendeid, -meetodeid, - mudeleid jne ja anda määramatustele A-tüüpi hinnangu. Reaalses elus poleks selline aja ja ressursikulu enamasti majanduslikult põhjendatud. Seega on olemas vajadus "muul viisil" saadud määramatusehinnangu järele. "Muul viisil" saadud määramatusehinnangute puhul võetakse aluseks aprioorne jaotus:
31 Mõõtmisteooria alused
Kui mõõdetava suuruse kohta on väga vähe infot, siis eeldatakse see olevat jaotunud ühtlase jaotuse alusel; Kui mõõdetava suuruse kohta on rohkem infot ja on põhjust eeldada, et tulemuse sattumine jaotuse keskossa juhtub suurema tõenäosusega kui jaotuse servadesse, siis kasutatakse kolmnurkjaotust, normaaljaotust või ... jaotust. Tööstuslikult valmistatud mõõteriistade puhul põhjendab ühtlase jaotuse eelduse kasutamist mõõteriistade kvaliteedikontrolli läbiviimise viis: mõõdetakse seadmega teatavat etaloniga ette antud väärtust ja kui mõõteväärtus satub etalonväärtusele lähemale kui absoluutpõhiviga, loetakse seade korrasolevaks. Kui mõõteväärtus jääb etalonväärtusest kaugemale kui absoluutpõhiviga, läheb mõõteriist praaki. Jaotusfunktsiooni valiku aluseks on: tootja poolt seadme passis antud informatsioon; kaliibrimistunnistuses leiduv info; varasemad mõõtetulemused; kogemused teiste samalaadsete suuruste mõõtmisel ja/või mõõteriistade kasutamisel. Olemasoleva info õige kasutamine B-tüüpi määramatuse hindamiseks eeldab kogemuste ja üldteadmiste olemasolu ­ neid saab omandada praktilise töö käigus. Peale aprioorse jaotuse valikut arvutatakse mõõtevahendi täpsusklassi avaldisest absoluutpõhiviga. Kui eeldatakse, et mõõdised on jaotunud ühtlase jaotuse alusel, saadakse B-tüüpi määramatuseks (58% usaldusnivool)
x uB x 0,58
x. 3 Kui eeldatakse, et mõõdised on jaotunud kolmnurkjaotuse alusel, saadakse B-tüüpi määramatuseks (65% usaldusnivool)
x uB x 0,41
x. 6
32 Mõõtmisteooria alused
8. Mõõtetulemuse esitamine koos määramatuse hinnanguga Määramatuse hinnang mõõtmiste väikese arvu korral on üsna ebatäpne, seetõttu pole vahemikhinnangu väljakirjutamisel mõtet suurel arvul kehtivatel kümnendkohtadel. Tulemused esitatakse ümardatult. Arvude ümardamisel kasutatakse reeglit: arvud 1; 2; 3 ja 4 ümardatakse alla, teised üles. Täisarvude ümardamisel kirjutatakse ärajäetud numbrite asemele kordaja 10m, kus m näitab ärajäetud numbrite hulka. Näide: 32 548 33·103. Tähendusega numbriteks loetakse alati kõiki numbreid peale nulli. Nulli loetakse tähendusega numbriks, kui ta asub teiste arvude vahel, täisarvu või kümnendmurru lõpus. Arvu alguses olevaid ja ümardamise teel saadud nulle arvu lõpus ei loeta tähendusega numbriks. Näide 1: 10 400 5 tähendusega numbrit. 104·102 3 tähendusega numbrit. 10 400,00 7 tähendusega numbrit. 0,01040 4 tähendusega numbrit. ISO standardi alusel esitatakse määramatus alati ühe või kahe tähendusega numbri täpsusega: tavalise mõõtmise korral jäetakse alles üks tähendusega number; täppismõõtmiste korral jäetakse alles kaks tähendusega numbrit. Kehtib ka info säilimise reegel: ümardamise käigus ei tohi tulemus (ega mõõtemääramatus) muutuda rohkem kui 10%. Kui muutus oleks suurem, siis esitatakse ka tavalise mõõtmise korral määramatus täpsusega kaks tähendusega numbrit. Mõõtetulemus esitatakse alati määramatuse viimase komakoha täpsusega. Näide 2: x = 73,3582768 uC = 0,0382765 Seega mõõtetulemuse võime kirjutada kujul x = 73,358(38). Näide 3: x = 100,3476 uC = 0,5246 Selle mõõtetulemuse võime kirjutada kujul x = 100,35(52). Näide 4: Peatükis 3 toodud vahelduvpinge mõõtmise näites kasutatud multimeetri TX3 täpsusklass on esitatud kujul ±(0.4% + 2 ct.). Multimeetri absoluutpõhiveaks saame 0,4 . 228,485 2 . 0,01 0.934V .
E 100 Kokkuleppeliselt eeldame, et kõik multimeetriga loetud lugemid on jaotunud ühtlase jaotuse järgi. Saame B-tüüpi standardmääramatuseks (see ei ole statistiliste meetoditega saadud määramatus!) 0.934V uB 0.539V . 3 Oletame, et eksperimendist saime standardhälbeks
33 Mõõtmisteooria alused
sE 0,148 V n 100 .
E 228,485 V 0,148 sE Siis aritmeetilise keskmise standardhälve s 0,015 V . See on statistiliste E 100 n meetoditega saadud tulemus, s.t see on A-tüüpi määramatus uA E sE 0,015 V . Järelikult liitmääramatuseks saame uC u A2 u B2 0,0152 0,5392 0,54 V . Siin oleme arvesse võtnud juhusliku hälbe ja mõõteriista ebatäpsuse, kuid arvesse võtmata jätnud süstemaatilise hälbe. Tulemuse esitame kujul E 228,49(0,54) V , E 228,49(54) V või täiuslikumas kirjaviisis E 228,49 V n 100 p 68% uC 0,54 V uA E 0,02 V , normaaljaotus uB 0,54 V , ühtlane jaotus. Teeme vahelduvpinge mõõtmise näites eelduse, et tulemused on jaotunud ühtlase jaotuse alusel (sest normaaljaotuse eeldusel leitud A-tüüpi määramatus on mitukümmend korda väiksem kui ühtlase jaotuse eeldusel leitud B-tüüpi määramatus). Laiendmääramatuseks saame siis U 1, 65 0 , 015 2 0 ,539 2 0 ,89 V . Teame, et leppeline tõeline väärtus asub tõenäosusega p vahemikus x U / xl / x U . Seega võime oma näite puhul öelda, et leppeline tõeline väärtus asub tõenäosusega p = 95 % vahemikus 227,60 V / xl / 229,38 V. Tulemuse esitame kujul E (228,49 # 0,89) V, , p 95%, k 1.65 näidates ära nii laiendmääramatuse, katteteguri kui ka usaldusnivoo. NB! Tähis # on reserveeritud laiendmääramatuse tähistamiseks ja standardmääramatust sellise tähistusega kirja panna ei tohi!
8.1. Näited B-tüüpi määramatuse leidmisest ja vastuse esitamisest Näide: Täpsusklass on esitatud absoluutpõhivea kujul. Joonisel 18 kujutatud nihiku absoluutpõhiviga on ± 0,03 mm.
34 Mõõtmisteooria alused
Oletame, et saime selle nihikuga silindri pikkust mõõtes lugemiks 25,07 mm. B-tüüpi määramatuse jaoks saame ühtlase jaotuse eeldusel 95%-sel usaldusnivool u x 1.65 0,03 B 0,03 mm . 3 Mõõtetulemuse võime esitada kujul x = 25,07(3) mm.
Näide: Täpsusklass on esitatud taandvea kujul. Oletame, et mõõtsime voltmeetriga (joonis 22) alalispinge väärtuseks E = 2400 mV. Voltmeeteri klass olgu 0,2 ja skaala ulatus Esk = 3000 mV. Sel juhul avaldame esmalt taandpõhivea valemist absoluutpõhivea E Esk # ja saame
E 100 E Esk 0,2 3000 6,0mV .
E 100 100 Seejärel leiame ühtlase jaotuse eeldusel B-tüüpi määramatuse 95%-sel usaldusnivool valemist
1,65 1,65 6,0mV uB E E 5,7mV . 3 3 Mõõtetulemuse võime nüüd esitada kujul Joonis 22. Osutmõõteriist: volt-apmermeeter. E = 2400(6) mV.
Näide: täpsusklass konstantide e ja f kaudu kujul: 0,05 / 0,02 Oletame, et mõõtsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivväärtuseks Enait = 15,080 V. Olgu voltmeetri täpsusklass esitatud kujul 0,05 / 0,02 ja oletame, et kasutasime voltmeetri piirkonda Esk = 20 V. Sel juhul avaldame esmalt suhtpõhivea valemist absoluutpõhivea E - ! 20 * 15,080 # E # +0,05 0,02 0,0085 V ja seejärel leiame B-tüüpi
E 1 ( 100 , 15,080 ) 100 määramatuse ühtlase jaotuse eeldusel 95%-sel usaldusnivool valemist
1,65 E 1,65 0,0085 uB E 0,008V . Mõõtetulemuse võime nüüd esitada kujul 3 3 E = 15,080(8) V.
35 Mõõtmisteooria alused
9. Mõõtetulemuse määramatus kaudmõõtmisel 9.1. Otsesed ja kaudsed mõõtmised Mõõtmised võivad olla otsesed või kaudsed. Otsemõõtmine on selline mõõtmine, mille puhul meid huvitava suuruse väärtus registreeritakse vahetult mõõtmisvahendi skaalalt või saadakse vahetult mõõduga võrdlemise teel. Kaudmõõtmine on mõõtmine, kus mõõtetulemus leitakse arvutuste teel (valemi abil) otsemõõdetud suurustest. Näiteks pinge mõõtmine voltmeetriga on otsemõõtmine, sest pinge väärtus saadakse teada vahetult voltmeetri skaalalt. Samuti on otsemõõtmine pikkuse mõõtmine joonlaua või nihikuga. Seejuures võivad otsemõõtmised sisaldada arvutusi üleminekukordajate või skaala jaotise väärtuse arvutamiseks. Sellised arvutused ei muuda füüsikalise suuruse mõõtmist kaudmõõtmiseks. Oletame, et voolu töö leidmiseks mõõdame pinge E voltmeetriga, voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga.Töö arvutamine valemist A = E I t on kaudmõõtmine.
9.2. Kaudmõõtmise määramatus sõltumatute sisendsuuruste korral Olgu füüsikaline suurus Y funktsioon sõltumatutest (s.t. mittekorrelleeruvatest) sisendsuurustest X1, X2,...,Xn: Y f (X1, X 2 , , Xn).
Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2,...,xn. Arvutatud suurus y f ( x1 , x 2 , , x n ) on kaudmõõdetud suurus. Soovides leida määramatuse u(y), peame peale funktsiooni kuju teadma veel sisendsuuruste määramatuste väärtusi: u(x1), u(x2), ..., u(xn). Sõltumatute sisendsuuruste korral avaldub suuruse Y määramatus valemiga 2 2 2 !0 f !0 f !0 f u ( y) u 2 ( x1 ) u 2 ( x2 ) u 2 ( xn ) 0 x1 0 x2 0 xn . MathCADi keskkonnas käib kaudmõõtmise määramatuse arvutamine samamoodi (vt joonis 23). Seejuures tuleb silmas pidada järgmist: Indeksiga suurusest (Suurus [ indeks) ei suuda MathCAD tuletist arvutada. Kui soovite seda siiski teha, siis peate selle indeksi defineerima nn. iluindeksina mis kirjutatakse MathCADi kujul Suurus punkt indeks. Analüütilise valemi saamiseks ei tohi teil olla suurustele antud numbrilisi väärtusi. Kui soovite nii analüütilist valemit kui ka arvulist lahendit, siis leidke kõigepealt analüütiline lahend ja andke suurustele numbrilised väärtused sellest analüütilisest lahendist ALLPOOL. Järgnevalt vaatleme kahte erijuhtu ­ summa ja korrutise määramatuse arvutamist.
36 Mõõtmisteooria alused
Joonis 23. Kaudmõõtmise määramatuse arvutamine MathCADi keskkonnas.
9.3. Summa ja vahe määramatus Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2, ..., xn. Olgu meil ka valem suuruse Y arvutamiseks: Y = ± a1X1 ± a2X2 ± ... ± anXn. Sellisel juhul avaldub mõõtetulemus kujul y = ± a1x1 ± a2x2 ± ... ± anxn ja mõõtemääramatus 2 2 2 2 2 2 u y a1 u x1 a2 u x2 ... an u xn .
NB! Veendu, et viimane valem kehtib sõltumata sellest kas meil on tegemist liikmete summa või vahega.
9.4. Korrutise ja jagatise määramatus Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2, ..., xn. Olgu meil ka valem suuruse Y arvutamiseks: Y = AX1 a1 X2 a2 ... Xnan. Sellisel juhul avaldub mõõtetulemus kujul y = Ax1a1 x2a2 ... xnan.
37 Mõõtmisteooria alused
ja mõõtemääramatus 2 2 2 2 ! u x1 2 ! u x2 2 ! u xn u y y a1 a2 ... an . x1 x2 xn NB! Veendu, et viimane valem kehtib sõltumata sellest kas meil on tegemist liikmete korrutise (s.t. astendaja on positiivne) või jagatisega (s.t. astendaja on negatiivne).
9.5. Kaudmõõtmise määramatus sõltuvate sisendsuuruste korral Olgu füüsikaline suurus Y funktsioon sõltuvatest (s.t. korrelleeruvatest) sisendsuurustest X1, X2,...,Xn: Y f (X1, X 2 , , Xn). Olgu meil mõõdetud suurusted x1, x2,...,xn ja sisendsuuruste määramatuste väärtused u(x1), u(x2), ..., u(xn). Kaudmõõdetud suuruse y f ( x1 , x 2 , , x n ) määramatuse u(y) saame arvutada valemist 2 2 !0 f 2 !0 f !0 f !0 f , u( y) u ( x1 ) u 2 ( x2 ) 2 r1, 2 u ( x1 )u ( x2 ) 0 x1 0 x2 0 x1 0 x2 Viimases valemis r1,2 on korrelatsioonitegur, mis iseloomustab suuruste x1 ja x2 vahelise sõltuvuse tugevust. Korrelatsiooniteguri arvutamiseks peame mõõtma suurusi x1 ja x2 mitu korda. Mõõdise järjekorranumbri tähistamiseks peame suurustele x1, x2 lisama teise indeksi, k, mis tähistab suuruste järjekorranumbrit mõõteseerias. Seega x1 ja x2 asemel peame kirjutama x1,k ja x2,k. Korrelatsiooniteguri saame arvutada valemist n ( x1, k x1 )( x2, k x2 ) k 1 r1,2 n n . ( x1, k x1 ) 2 ( x2, k x2 ) 2 k 1 k 1
Korrelatsiooniteguri väärtus on vahemikus 1 / ri, j / 1 . Kui hinnangud xi ja xj on sõltumatud, siis ri,j = 0 ja kaudmõõtmise määramatuse valem võtab peatükis 9.2 toodud kuju. Sõltuvate sisendsuuruste korral ri,j 1 0. Näide: Olgu meil vaja hinnata vahelduvvoolu keskmine võimsus. Selleks tuleks ampermeetriga mõõta vahelduvvoolu- ja voltmeetriga vahelduvpinge efektiivväärtused (vastavalt I ja E) ning fasomeetriga voolu ja pinge vaheline faasinihe 2. Võimsuse saab arvutada valemist P I E cos 2 . Liitmääramatus uC(P) on funktsioon E, I, 2, u(E), u(I) ja u(2).
38 Mõõtmisteooria alused
2 2 2 ! 0P ! 0P ! 0P ! 0P ! 0P u ( P) 2 u (E) 2 u (I ) u 2 (2 ) 2 r u ( E )u ( I ) 0E 0I 02 0E 0I U,I I 2 cos 2 (2 )u 2 ( E ) E 2 cos 2 (2 )u 2 ( I ) sin(2 ) u 2 (2 ) 2 IE cos 2 (2 )u ( E )u ( I ) 2 E 2I 2 I cos(2 )u ( E ) E cos(2 )u ( I ) E 2 I 2 sin 2 (2 )u 2 (2 ) 2
Et pinge ja voolu efektiivväärtused on teineteisest lineaarses sõltuvuses (E = I R), kus R on vooluahela takistus, mis fikseeritud sagedusel on konstant, siis korrelatsioonitegur rE,I = 1. Oletame nüüd, et mõõtsime voolutugevuse väärtuseks I = 0,1 A (ampermeetri täpsusklass = 345; mõõtediapasoon 0,15 A), pinge väärtuseks E = 100 V (voltmeetri täpsusklass = 345; mõõtediapasoon 150 V) ja faasiks 2 = "/3 (fasomeetri täpsusklass = 0,6). Vastavad määramatused 0,0003 0,3 0,0063 avalduvad nüüd uB ( I ) A ; uB ( E ) V ja u B (2 ) rad . 3 3 3 Arvandmete asendamisel keskmise võimsuse ja tema määramatuse valemitesse saame " P 0,1 100 cos 5,00 W , 3 2 2 ! ! " 0,3 ! " 0,0003 " ! 0,0063 2! u ( P) 0,1cos 100 cos 2 2 100 0,1 sin 0,04 W . 3 3 3 3 3 3 Tulemuse esitame kujul P = 5,00(4) W. Et määramtused, mida siia valemisse panime, olid usaldusnivool 58%, saame ka tulemuse usaldusnivool 58%. Soovides kõrgemat usaldusnivood, peaksime määramatuse u(P) veel läbi korrutama katteteguriga.
39 Mõõtmisteooria alused
10. Mõõtetulemuste graafiline töötlemine 10.1. Katsepunktide lähendamine lähenduskõveraga Katsetes kasutatakse sageli suuruste x ja y paare , kusjuures üks neist, näiteks y osutub x-i funktsiooniks. Seejärel kantakse leitud suurused graafikule ja püütakse leida sile joon, mis läbiks võimalikult palju katsepunkte ja kirjeldaks funktsiooni y = f(x).
Vigane lähenduskõver Korrektne lähenduskõver 8 8
6 6 y
y 4 4
2 2
0 0 0 2.2 4.4 6.6 8.8 11 0 2.2 4.4 6.6 8.8 11 x x Katsepunktid Katsepunktid Lähenduskõver Lähenduskõver . .
A B
Joonis 24. Lähenduskõvera leidmine. A) punktist punkti kõver B) eksponentsiaalne sõltuvus.
10.2. Määramatuse ristide lisamine katsepunktidele Määramatuse väärtuse kandmiseks graafikule joonistame läbi iga katsepunkti horisontaalse lõigu [x ­ u(x), x + u(x)] ja vertikaalse lõigu [y ­ u(y), y + u(y)] (vaata joonis 25). Need lõigud moodustavad määramatuse risti.
y + u(y)
y
y ­ u(y)
x ­ u(x) x x + u(x)
Joonis 25. Määramatuse rist .
40 Mõõtmisteooria alused
10.3. Teoreetilise mudeli kontrollimine Tihti tuleb graafiliselt kontrollida teatavaid teoreetiliselt tuletatud sõltuvusi. Sel puhul kantakse graafikule eksperimendist saadud punktid koos määramatuse ristidega. Samale graafikule kantakse ka teoreetiliselt arvutatud kõver, ilma üksikuid katsepunkte näitamata. Teoreetilise kõvera kokkulangemine eksperimendi punktidega määramatuse ristide täpsusega kinnitab eksperimendi kooskõla teooriaga. Näide. Kontrollime, kas joonisel 26 esitatud katsepunkte saab lähendada sirgega või eksponentsiaalse kõveraga. Selleks joonistame graafiku, kus oleks peal nii katsepunktid kui ka nende määramatust väljendavad määramatuse ristid . Lisame ka mõlema hüpoteesi kohased kõverad. Näeme, et sirgega ei õnnestu kõiki katsepunkte määramatuse piires lähendada, nii peame järeldama et lineaarse sõltuvuse hüpotees ei pea paika. Eksponentsiaalne kõver läheb läbi kõigist katsepunktidest (määramatuse täpsusega), seega võib öelda et eksponentsiaalse sõltuvuse hüpotees on sobiv seda füüsikalist nähtust kirjeldama.
Mudel ei pea paika Mudel peab paika 8 8
6 6 y
y
4 4
2 2
0 0 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 x x Katsepunktid Katsepunktid Lähenduskõver Lähenduskõver Määramatus . Määramatus . A B
Joonis 26. Teoreetilise mudeli kontroll. A) lineaarne sõltuvus B) eksponentsiaalne sõltuvus. Arvutiprogrammid võimaldavad katsepunkte lähendada ka keerulisemate kõveratega. Näiteks võimaldab tabelarvutuse programm Excel XP läbi katsepunktide parve tõmmata kas eksponentsiaalse, logaritmilise või astmefunktsiooni kõvera või kuni 6. järku polünoomi. MathCAD 2001i pakub kõvera tüüpide valikul veelgi laiemaid võimalusi. Seejuures peab eksperimentaator kindlustama, et läbi katsepunktide tõmmatud kõver oleks füüsikaliselt põhjendatud. Kõrget järku polünoomide kasutamisel, eriti veel siis kui katsepunkte on vähe, kipuvad kõveratele sisse tulema sellised jõnksud, mis füüsikaliselt ei ole põhjendatud. Seetõttu tuleb väga kriitiliselt suhtuda arvuti poolt väljastatava kõvera kujusse ja vajadusel joonistada kõver ise käsitsi arvuti ekraanil . Füüsika praktikumi tööde vormistamisel võiks aja kokkuhoiu mõttes soovitada ainult katsepunktide väljatrükkimist koos määramatuse ristidega. Sobiva kõvera läbi katsepunktide võib hiljem ise käsitsi joonistada. Siinkohal tuleks märkida, et täiesti lubamatu on eksperimendist saadud katsepunktide suvaline nihutamine graafikul. Katsepunktid on konkreetsete mõõteriistadega ja konkreetsetes tingimustes saadud mõõtetulemused. Seetõttu tuleb nad graafikule kanda täpselt sellisel kujul, nagu nende väärtused katses määrati. Läbi katsepunktide joonistatav kõver on eksperimentaatori interpretatsioon mõõdetud füüsikalise suuruse käitumise kohta. Siin on eksperimentaatoril palju
41 Mõõtmisteooria alused
suurem vabadus. Ainukeseks piiranguks on, et eksperimentaator oskaks oma seisukohta veenvalt põhjendada.
10.4. Vähimruutude meetodil leitud sirge tõusu ja algordinaadi kasutamine füüsikaliste suuruste mõõtmiseks Kui meil on teada katsepunkte lähendava analüütilise valemi kuju, siis saame lähenduskõvera leidmise ülesande lahendit kasutada (füüsikaliste) suuruste mõõtmiseks. Vaatame lineaarse regressiooni näidet. Matemaatikud ütlevad, et sirge võrrand avaldub kujul: y a x b. Siin tähistavad x ja y mõõdistepaari, a ja b aga sirge parameetreid: tõusu ja algordinaati. Tõusu a ja algordinaadi b leidmiseks saab kasutada MathCAD´i standardfunktsioone: a slope x , y ,
b intercept x , y . Sirge parameetrite a ja b tähendust selgitab joonis 27. Lineaarne regressioon 8 V y 6 a x b E0 R y
4
a = tan( ) 2
b 0 0 2 4 6 8 10 A Katsepunktid Lähenduskõver x E Määramatus . Joonis 28. Elektriskeem takistuse R ja lisapingeallika Joonis 27. Lineaarne regressioon graafiliselt. pinge E0 leidmiseks lineaarse regressiooni meetodil. Reaalses elus on teil üldvõrrandi y a x b asemel füüsika võrrand. Näiteks joonisel 28 kujutatud elektriskeemi puhul võib kirjutada: E I R E0 Siin mõõdate I ja E paare. R ja E0 on antud katses konstandid. Vastavuseks matemaatika ja füüsika vahel saame: x I; y E; a R; b E0.
42 Mõõtmisteooria alused
11. Eksperimendi planeerimise elemente Tööde ettevalmistamisel tuleb endale selgeks teha, milliseid füüsikalisi nähtusi hakatakse uurima, milliseid suurusi hakatakse mõõtma, milline on seadmete töötamise põhimõte, millistele teoreetilistele alustele tugineb mõõtemeetod. Laboratoorse töö juhendi põhjal koostatakse eksperimendi esialgne plaan, millest võiks leida vastuseid küsimustele millises järjekorras mõõtmisi läbi viia, millised muudetavate (etteantavate) suuruste väärtused on sobiv valida, millisele uuritava sõltuvuse piirkonnale on vaja osutada erilist tähelepanu, milliseid suurusi on vaja mõõta suurema täpsusega, milliseid võib mõõta väiksema täpsusega. Seda esialgset plaani täpsustatakse mõõteriistadega tutvumisel enne tööle asumist. Kui mitu korda tuleb mõõtmist korrata ? Vastuse saamiseks selgitame välja, kumb määramatuse komponent , A-tüüpi või B-tüüpi määramatus, on ülekaalus. Kordusmõõtmiste arv valitakse tavaliselt nii suur, et oleks täidetud tingimus: uB uA / . 3
43 Elektrimõõtmised
ELEKTRIMÕÕTMISED
12. Elektriskeemides kasutatavate tingmärkide tähendus Tingmärk Tähendus Tingmärk Tähendus Takisti Sulavkaitse
Muuttakisti, Reostaat reguleeritav takisti
Kondensaator Muutkondensaator, reguleeritav kondensaator
Induktiivpool Trafo
Alalispinge Pistik ja pesa allikas, patarei
hõõglamp lüliti
Maandus Kereühendus Elekrimõõtmised
Voltmeeter Ampermeeter
V A Juhtmete Juhtmete ristumine ilma hargnemine elektrilise kontaktita Diood Generaator
G
Põhjalikum ülevaade elektriskeemides kasutatavatest tingmärkidest on antud L.Abo raamatus Raadioseadmete üksikosad, Tln, 1981, 384 lk.
45 Elekrimõõtmised
13. Osutmõõteriist
Mõõtediapasoon 150 mV
Näit 120 ühikut Skaala ulatus 150 ühikut
Täpsusklass 0,2
Joonis 29. Osutmõõteriist. Lugemi võtmiseks tuleb osutmõõteriista puhul vaadata nii skaalat kui ka mõõtediapasooni lüliti asukohta . Vastuseks saadakse Näit Lugem Mõõtediapasoon Skaala ulatus Joonisel 29 toodud voltmeetri puhul saame lugemiks 120,0 E 150mV 120,0 mV . 150 Täpsusklass on esitatud taandpõhivea kujul (0,2 ilma ringita). B-tüüpi määramatuseks saame ühtlase jaotuse eeldusel (usaldusnivoo 58%) 0,2 150mV uB E 0,2 mV . 100 3
46 Elekrimõõtmised
14. Testri kasutamine mõõtmisteks, mõõtepiirkonna valik Väikseim Ületäitumine Näit 1569 jaotis on 1mV
Mõõtediapasoon 2000 mV
10A piirkonnas voolu mõõtmise klemm
Alalispinge Pinge, takistuse ja mA piirkonnas voolu mõõtmise klemm
COMMON klemm
Joonis 30. Multimeetri M-830B kasutamine voltmeetrina. Mõõdetava suuruse väljavalimiseks tuleb diapasoonilüliti pöörata asendisse, kus tema "osuti" näitab soovitava suuruse tähise peale. Pinge mõõtmisel peaks osuti ,,vaatama" piirkonda V, voolu mõõtmisel piirkonda A ja takistuse mõõtmisel piirkonda . Alalis- ja vahelduvpinge(voolu) mõõtmiseks on tavaliselt eraldi piirkonnad. Alalispinge piirkonda tähistavad tähed DC (ingl. Direct Current ) või piktogramm ; vahelduvpinge piirkonda tähistavad tähed AC (ingl. Alternating Current) või piktogramm ; Vooluringi toimimiseks on alati vaja KAHTE juhet : üks juhe ühendatakse pesasse COM (ingl. Common - ühine), pinge mõõtmisel on teiseks pesaks tähega V märgitud pesa. Voolu mõõtmisel on teiseks pesaks tähega A tähistatud pesa ja takistuse mõõtmisel tähega tähistatud pesa. Mõnikord on sama suuruse erinevates mõõtepiirkondades mõõtmiseks kasutusel mitu pesa. Sel juhul on ka see info kirjutatud pesa juurde. Näiteks joonisel 30 kujutatud multimeetril M-830B on üks pesa voolu mõõtmiseks mA piirkonnas ja teine pesa voolu mõõtmiseks 10A piirkonnas . Lugemi võtmiseks tuleb multimeetri puhul vaadata nii seadme näiduseadist kui ka mõõtediapasooni lüliti asukohta. Vastuse numbriline väärtus saadakse seadme näiduseadiselt, ühik aga mõõtediapasooni lüliti asendi põhjal Lugem Näit Ühik Joonisel 30 toodud voltmeetri puhul saame lugemiks E 1569 mV . Kui meil pole teada mõõdetava suuruse ligikaudset väärtust, siis tuleks esimene mõõtmine teha maksimaalses mõõtepiirkonnas. Saadud ligikaudse mõõdise alusel valitakse õige mõõtepiirkond ja tehakse seal uus mõõtmine.
47 Elekrimõõtmised
Täpsusklassi leiame testri passist. 2000 mV alalispinge mõõtmise piirkonnas on see esitatud kujul (± 0.5%rdg±2D). B-tüüpi määramatuseks saame ühtlase jaotuse eeldusel (usaldiusnivoo 58%) 0,5 1569 2 1 mV uB E 6 mV . 100 3
14.1. Testri kasutamine voltmeetrina 14.2. Testri kasutamine oommeetrina
G
Joonis 32. Oommmeetri ühendamine elektriskeemi.
V Enne oommeetri kasutamist tuleb skeemist eemaldada kõik pingeallikad. Seejärel ühendatakse oommeeter mõõdetava takisti klemmidele.
Joonis 31. Voltmeetri ühendamine elektriskeemi. Voltmeeter ühendatakse skeemi alati rööbiti.
14.3. Testri kasutamine ampermeetrina
G
A Joonis 33. Ampermeetri ühendamine elektriskeemi. Ampermeeter ühendatakse skeemi alati jadamisi.
48 Elekrimõõtmised
15. Ostsilloskoop Ajas aeglaselt muutuvate signaalide vaatamiseks saab kasutada arvutiga sidestatud multimeetrit. Ajas kiiresti muutuvate signaalide vaatamiseks kasutatakse ostsilloskoope.
15.1. Analoogostsilloskoop Analoogiliselt teleriga suunatakse ka analoogostsilloskoobis (joonis 34) elektronkiir luminofooriga kaetud ekraanile , mis hakkab selle tulemusena helenduma. Kiire juhtimiseks kasutatakse vertikaalseid ja horisontaalseid kallutusplaate (joonis 35), millede vahel tekitatakse elektriväli. Vertikaalsete plaatide vaheline elektriväli on võrdeline pingega ostsilloskoobi sisendis . Horisontaalsetele plaatidele antakse võrdeliselt ajaga muutuv pinge. Nii hakkab elektronkiire jälg liikuma ekraanil vasakult paremale. Püsiva kujutise saamiseks peab sama ostsillogrammi joonistama ekraanile vähemalt 10 korda sekundis. Seega saab analoogostsilloskoobiga vaadelda ainult perioodilisi signaale.
Joonis 34. Analoogostsilloskoop GOS-680.
Joonis 35. Elektronkiiretoru põhimõtteskeem.
49 Elekrimõõtmised
15.2. Digitaalostsilloskoop Digitaalostsilloskoobis (joonis 36) registreeritakse sisendpinge muutused diskreetsetel üksteisele järgnevatel ajahetkedel. Mõõdetud väärtused salvestatakse vahemälus. Hetk enne uut mõõtmist nihutatakse eelmised tulemused ühe koha võrra edasi. Käivitusimpulsi saabudes kuvatakse vahemälu sisu ekraanile. Erinevalt analoogostsilloskoobist saab siin soovi korral näha ka signaali kuju enne käivitusimpulssi. Digitaalostsilloskoopi iseloomustavateks põhiparameetriteks on lugemi võtmise sagedus, vertikaalne lahutusvõime ja salvestuse pikkus. Joonisel 36 kujutatud ostsilloskoobil on maksimaalseks lugemi võtmise sageduseks 1Gs/s, salvestuse pikkuseks 2500 punkti ja vertikaalseks lahutusvõimeks 256 astet.
Joonis 36. Digitaalostsilloskoop Tektronix TDS-210.
50 Elekrimõõtmised
16. Laboratoorsed tööd koos juhendite ja indeksitega 1. Juhusliku suuruse jaotusseaduse uurimine võrgupinge näite varal EM-1 2. Elektriliste suuruste mõõtmine LF-17 3. Mõõtetulemuste töötlemine ja määramatuse hindamine lineaarse regressiooni meetodit kasutades FMA-9 4. Tutvumine vooluallikatega, kuivelemendi uurimine EM-4 5. Tutvumine vooluallikatega, arvuti toiteploki uurimine EM-5 6. Vee elektrijuhtivuse uurimine LF-18 7. Inimkeha elektrijuhtivuse uurimine EM-7 8. Pooljuhi keelutsooni laiuse määramine EP-10.1 9. Tutvumine elektronostsillograafiga EM-9 10. Tutvumine digitaalse ostsillograafiga (elektromagnetiliste vabavõnkumiste töö näitel). EM-10 11. Tutvumine digitaalse signaali töötlusega arvutis (elektromagnetiliste vabavõnkumiste töö näitel). EM-11 12. Kondensaatori aperioodilise laadumise ja tühjenemise uurimine EM-12 13. Vahelduvvoolu iseloomustavate suuruste mõõtmine: induktiivsuse ja mahtuvuse määramine ning Ohmi seaduse kontroll järjestikahela korral EM-13 14. Magnetinduktsiooni mõõtmine LF-21 15. Trafo mudeli valmistamine ja uurimine K­12
Nimekirjast sooritada 6 tööd vastavalt juhendava õppejõu poolt koostatud graafikule. Kursuse erijuhendid (saadaval füüsikaraamatukogus, laborandi käest füüsikahoone ruumist 325 või interneti aadressil http://www.physic.ut.ee/instituudid/efti/loengumaterjalid/el m).
51 17. Kasutatud kirjandus 1. Laaneots, R ja Mathiesen, O, 2002, Mõõtmise alused, TTÜ, 206 lk 2. Plank, T, 2005, Mõõtemääramatuse hindamine, Loodusainete õpetamisest koolis. II osa: Abiks füüsikaõpetajale, REKK, Tln, ?? - ??lk 3. Mõõtemääramatuse väljendamise juhend, RMK, Tartu, 1996, 152 lk 4. US National Institute of Standards and Technology 's web site http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html 5. Sena L, 1985, Füüsikaliste suuruste mõõtühikud ja nende dimensioonid, Tln, 224 lk 6. Laaneots R, 1994, Metroloogia, Tln, 87 lk. 7. Tammet H, Füüsika praktikum , Metroloogia, Tln , 1971, 240 lk 8. Voolaid H, 1986, Mõõtevigade hindamine füüsika praktikumis, Tartu, 56 lk 9. Tarkpea K, Voolaid H, 1999, Laboritöid füüsikast, Tartu, 147 lk 10. Kudu K, 1982, Elektripraktikumi tööjuhendid, Tartu, 298 lk 11. Tamm E, 1978 või 1987, Üldmõõtmiste praktikumi tööjuhendid I, Tartu, 84 lk Elekrimõõtmised
LISA
18. t-jaotus
Kui me võtame katsetulemuste A-tüüpi määramatuse hinnanguks uA x sx , siis normaaljaotuse eeldusel saadav usaldusnivoo p = 68% on veidi ülehinnatud (tegelik usaldusnivoo on väiksem). Põhjus seisneb selles, et mõõtmiste väikese arvu korral on standardhälbe hinnangu viga küllalt suur. Tehtud viga on seda suurem, mida väiksem on mõõtmiste arv. W. S. Gosset alias Student andis eeskirjad, mille abil võib lõplikust hulgast mõõdistest saada vahemikhinnanguid lähtudes matemaatilise statistika teooriast. Vahemikhinnangu leidmisel Student'i eeskirja järgi tuleb katsest leitud aritmeetilise keskmise standardhälbe väärtus korrutada koefitsiendiga t( 4p), mis leitakse (efektiivse) vabadusastmete arvu ja soovitava usaldusnivoo p alusel t-jaotuse tabelist (vt. tabel 6): uA, p t ( , p) s x (*)
Student'i eeskirja võib vahemikhinnangu leidmisel kasutada ainult juhul, kui mõõdised on kas normaaljaotusega või ligikaudu normaaljaotusega. Kui oleme suuruse x jaoks leidnud määramatuse vahemikhinnangu uA,p, siis võime öelda, et leppeline tõeline väärtus asub tõenäosusega p vahemikus x uA, p / xl / x uA, p . Selleks, et anda vahemikhinnang meie poolt valitud usaldusnivool, tuleb esmalt leida tulemuste aritmeetiline keskmine ja tema A-tüüpi määramatuse hinnang. Tabelist 6 leiame vabadusastmete arvu ( = n - 1) ja soovitava usaldusnivoo alusel t-koefitsiendi ja selle alusel valemist (*) vahemikhinnangu. Usaldusnivoo füüsika praktikumis valib eksperimentaator ise, tavaliselt võetakse selleks 95 %. MathCAD'i programmis saab t-koefitsiendi leida standardfunktsiooniga !1 p qt , . 2 NB! Liitmääramatuse leidmisel valemi uC u A2 u B2 alusel tuleb nii A- kui ka B-tüüpi määramatused valemis võtta standardkujul, s.t ilma t-koefitsiendi või katteteguriga läbi korrutamata. Usaldusnivoo tõstmiseks korrutame jaotusfunktsioonile ja soovitavale usaldusnivoole vastava katteteguriga läbi alles liitmääramatuse uC.
53 Elekrimõõtmised
Tabel 6. t-jaotuse väärtused t( , p) sõltuvalt vabadusastmete arvust (sõltumatute suuruste arv ­ nendevaheliste seoste arv) ja soovitavast usaldusnivoost p.
Vabadusastmete Osa p protsentides arv 68,27(I) 90 95 95,45(I) 99 99,73(I) 1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53 8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28 9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09 10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85 12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76 13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69 14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98 3,64 15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59 16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54 17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51 18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48 19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45 20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42 25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33 30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27 35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,23 40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20 45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18 50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16 100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000
Suuruse x jaoks, mida kirjeldab normaaljaotus keskväärtusega x ja keskmise standardhälbega sx , sisaldab vahemik x # k sx vastavalt p = 68,27; 95,45 ja 99,73 protsenti jaotusest k = 1; 2 ja 3 korral.
54