Veaarvutus (0)

TARTU ÜLIKOOL
Tartu Ülikooli  Teaduskool
Veaarvutus ja  määramatus
Urmo Visk
Tartu 2005
Sisukord
1 Tähistused
2
2 Sissejuhatus
3
3 Viga
4
3.1
Mõõteriistade vead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
Tehted  vigadega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3
Näide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Skinneri  konstandi viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Määramatus
10
4.1
Määramatuse erinevus veast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2
A-tüüpi määramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3
B-tüüpi määramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.4
Studenti  kordajad  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.5
Liitmääramatus  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.6
Tehted määramatusega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.7
Näide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.8
Märgitest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.9
Märgitesti näide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5  Graafikud
17
5.1
Lineaarse sõltuvuse  regressioonsirge  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.2
Teiste funktsioonide regressioonsirged . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6 Abiks eksperimendis
20
Must kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Magnetinduktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Mõõtmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Loendamine  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Protokoll  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1
1 Tähistused
Sümbolid  on toodud tähestiku järjekorras. Kreeka tähed on järjestatud vastavalt eestikeelsele
hääldusele. Tähiste alaindeksid sõltuvad kontekstist, ülaindeksid mitte.
2,71828
viimane oluline  tüvenumber ; alakriipsu pole märgitud, kui
parempoolseim number on viimane oluline tüvenumber;
suhteline viga;
δk
korduvmõõtmise suhteline viga;
∆
absoluutne viga; sümbolile võib järgneda füüsikalise suuruse
tähis;
∆k
korduvmõõtmise absoluutne viga;
n
mõõtmiste arv;
∂
osatuletis ;  tuletis  mitme muutujaga funktsioonist üle ühe
muutuja ;
standardhälve ;
t
Studenti kordaja;
uA
A-tüüpi määramatus; väike u tähistab määramatust 68 %
usaldusnivool;
uB
B-tüüpi määramatus;
uC
liitmääramatus;
U
laiendmääramatus; suur U tähistab määramatust 95 %  usal -
dusnivool; ülaindeksid tähistavad sama mis 68 % usaldus-
nivoo korral;
x
aritmeetiline keskmine; ülakriips füüsikalise suuruse tähise
kohal märgib selle suuruse keskmist
xt
tõeline väärtus
2
2 Sissejuhatus
Eksperimendis ei piisa tulemuseks üksnes vastusest. Kui katses mõõdeti keha kukkumise kii-
rust , siis pole üksnes  arvuline  vastus kuigi usaldusväärne, sest raskuskiirenduse väärtust ümar-
dati ja korra jäi eksperimendis  stopper  hoopiski seisma. Lisaks vastuse arvväärtusele on eks-
perimendi tulemuseks ka viga või määramatus. Need iseloomustavad kõiki katses tehtud liht-
sustusi, ümardamisi ja apsakaid. Veata vastuse korral pole võimalik hinnata vastuse täpsust.
Äkki mõõdeti  voolutugevust  valel skaalal ja ampermeetri osuti vaevu reageeris voolule? Või oli
katse teostatud nii kehvade mõõteriistadega, et viga on vastuse väärtusest suurem? Sarnaste
küsimuste vältimiseks lisataksegi eksperimendi tulemusele määramatus või viga.
Enamasti teostatakse katsetes mitu mõõtmist.  Ühelt  poolt suureneb vastuse täpsus ja teisest
küljest vähendatakse nii  kogemata  tehtud eksimuste mõju. Korduvmõõtmiste tulemused võivad
üksteisest erineda ja neist ükski pole teistest parem. Katse kõige täpsemaks  vastuseks  on kõigi
mõõtmistulemuste aritmeetiline keskmine (tähistusi vaata  peatükist  "‘1 Tähistused"’.
n x
x
i
x = 1 + x2 + x3 + . . . + xn = i=1
(1)
n
n
3
3 Viga
Viga on mõõtmistulemuse ja mõõdetava suuruse tõelise väärtuse erinevus. Tõeline väärtus on
füüsikalise suuruse ideaalselt täpne väärtus. Kahjuks jääb selle leidmine vaid unelmaks. Ükski
mõõtmistulemus pole täpne ja igal mõõtmisel on alati tehtud viga.  Vigade  suuruse hindami-
ne on eksperimendis sama tähtis kui füüsikalise suuruse enda mõõtmine, mõnikord tähtsamgi
(näiteks metroloogias). Vigade arvutamine on töömahukam kui katsetulemuse leidmine, kuid
see-eest lihtne toiming.
Enamasti mõistetakse vea all põhiviga. See on suurim erinevus eksperimendis leitud väärtuse ja
tõelise väärtuse vahel. Edaspidi on ka siin vea all mõeldud põhiviga. Kui 1 kg kaalupommi (põ-
hi)viga on 1 g, siis ei või vihi mass erineda massist 1 kg rohkem kui 1 g võrra. Vea tähistamiseks
lisatakse füüsikalise suuruse tähise ette täht ∆. Pikkuse l viga on  niisiis  ∆l. Mõõtetulemus võib
tõelisest väärtusest olla nii suurem kui ka väiksem, mistõttu võib viga olla nii positiivne kui ka
negatiivne. Seepärast on vea ees märk "‘±"’.
Mõõtetulemust on  korrektne  kirjutada koos veaga. Kui mikromeetriga mõõdetud lõigu pikkus
on 15,0 µm ja viga on 0,2 µm, siis  kirjutatakse  mõõtetulemus järgmiselt:
l = (15,0 ± 0,2) · 10−6 m = (15,0 ± 0,2) µm .
Ühik µm (või 10−6 m) on toodud sulgudest välja, sest pikkuse ja selle vea  ühikud  on ühesugused
( sulge  võib ka avada, korrutades ühikuga läbi mõõtetulemuse ja selle vea, kuid nii tavaliselt siiski
ei  tehta ).
Vastuses võib tüvenumbreid olla maksimaalselt niipalju, kui väikseima tüvenumbrite arvuga al-
gandmetes. Seda reeglit tuleb aga eirata, kui mõni suurus on antud väiksema tüvenumbrite
arvuga kui kõik teised. Näiteks on kõik andmed esitatud kolme - nelja tüvenumbriga ning üks
füüsikaline suurus vaid kahega. Taolistel juhtudel on mõistlik esitada vastus siiski kolme tüve-
numbriga.
Suhteline viga on vea ja mõõtetulemuse  jagatis .
∆x
δ =
(2)
x
Suhteline viga näitab, kui suure osa mõõtetulemusest moodustab viga. Kui suhteline viga on 0,01
, siis on viga 1% mõõtetulemusest. Suhteline viga on alati ühikuta suurus. Rõhutamaks suhtelise
vea δ ja vea ∆ erinevust, nimetatakse viimast absoluutseks  veaks .
3.1 Mõõteriistade vead
• Suhtviga
∆x
δs =
(3)
x
Suhtviga on mõõteriista suhteline viga. Kui  voolutugevus  eksperimendis on 0,5 A ja am-
permeetri suhtviga on 5, siis on voolutugevuse absoluutne viga 0,5 A · 5 % =
= 0, 025 A. Mõõteriistale kirjutatud suhtviga on ümbritsetud  ringiga .
4
• Taandviga
∆x
δt =
(4)
xnorm
Taandviga näitab, kui suure osa moodustab viga normeerivast väärtusest xnorm. Enamasti
on selleks mõõteriista skaala maksimaalne väärtus. Kui pinget mõõdetakse voltmeetri
skaalal (0 - 300) V ja seadme taandviga on 1, siis on kõigi sellel skaalal mõõdetud pingete
viga 300 V · 1 % = 3 V. Absoluutne viga on 3 V siis, kui voltmeetri näit on 4 V ja ka siis kui
näit on 287 V. Mõõteriistale kirjutatud taandviga pole ümbritsetud ringiga.
• Digitaalse mõõteriista viga
∆d = ±(0,5%  reading  + 2 digits)
(5)
See oli näide  valemist  absoluutse vea leidmiseks digitaalse mõõteriista korral.  Tegelikku -
ses võivad arvud erineda valemis tooduist. Valemis tähistab rdg mõõteriista näitu (reading
tähendab inglise keeles näitu) ja digits (inglise keeles  numbrid ) mõõteriista  ekraanil  näi-
datavate  numbrite  väikseimait järku (näiteks sajalised). Sõnade reading ja digits asemel
kasutatakse ka nende lühendeid (näiteks rdg ja dgts).
Vaatlen näitena oommeetrit, mille vea saab leida valemiga (5). Kui  oommeetriga  mõõde-
takse takistust  piirkonnal  (0−2000) Ω ja oommeetri ekraanil on näit 1578, siis on väikseim
ekraanil näidatav järk ühelised. Seega digits=2 Ω ja reading=1578 Ω. Takistuse absoluutne
viga ∆ on
∆ = 0,5 % · 1578 Ω + 2 Ω = 10 Ω
3.2 Tehted vigadega
Eksperimendis  piisab  harva vaid mõõdetud suuruse väärtusest, enamasti tuleb katseandmete
põhjal midagi arvutada (vähemalt Skinneri konstandi võiks leida). Järgnevalt on  selgitatud , kui-
das muutuvad arvutustes sõltuvad vead. Sõltuvatel vigadel on vähemalt osa tekkepõhjusest ühi-
ne (näiteks on kasutatud sama mõõteriista; kõik eksperimendid tehti allpool mõõteriista tööks
ettenähtud temperatuuri jne).
•  Liitmine  ja lahutamine
Olgu muutuja K viga ∆K ja muutuja L viga ∆L. Summa Y = K + L väärtus koos veaga
on sel juhul:
Y + ∆Y
= (K ± ∆K) + (L ± ∆L) = (K + L) ± (∆K + ∆L), kus
Y
= K + L
∆Y
= ±(∆K + ∆L)
(6)
Summa viga on  liidetavate  absoluutsete vigade summa. Kui liidetavaid on üle kahe, tuleb
liita ka teiste liidetavate absoluutsed vead.
5
Oleks loogiline, kui lahutamistehte Z = K − L viga oleks ∆Z = ±(∆K − ∆L). Tege-
likkuses tuleb veaarvutuses eeldada kõige hullemat: vead muudavad tulemuse alati eba-
täpsemaks, suurendades vastuse viga. Seepärast tuleb vigade märgid alati valida nii, et
viga tuleks võimalikult suur (vea ülehindamine on väike viga, mõnikord kasutatakse seda
ebatäpse tulemuse varjamiseks). Nii on ka lahutamistehte viga ∆Z = ±(∆K + ∆L).
•  Korrutamine
Leian korrutise Y = (K ± ∆K) · (L ± ∆L) koos veaga.
Y
= (K ± ∆K) · (L ± ∆L) = KL + K∆L + L∆K + ∆K∆L, kus
Y
= K + L
∆Y
= K∆L + L∆K + ∆K∆L ≈ K∆L + L∆K
(7)
Üldjuhul on vead ∆K ja ∆K palju väiksemad kui K ja L, mistõttu on liige ∆K∆L palju
väiksem teistest liidetavatest valemis (7) ja selle võib võrdsustada nulliga. Leian korrutise
suhtelise vea δ .
×
∆Y
K∆L + L∆K
∆K
∆L
δ =
= δ
×
Y
KL
K
L
K + δL
(8)
Korrutise suhteline viga on tegurite  suhteliste  vigade summa. Kui tegureid on üle kahe,
siis tuleb summeerida kõigi tegurite suhtelised vead.
Jagamistehte suhteline viga on jagaja ja jagatava suhteliste vigade summa. Põhjus on sama
mis  lahutamise  juures: eeldame halvimat.
•  Astendamine  ja juurimine
Kui muutuja K võetakse  astmele  n, siis korrutatakse muutujat K  iseendaga  n korda. See-
ga tuleb  astendamise  suhtelise vea leidmiseks vastavalt valemile (8) liita muutuja K suh-
telist viga n korda ehk korrutada K suhtelist viga astendajaga n. Astendamise suhteline
viga on
∆K
δ = n
= n · δ
K
K
(9)
√
Kuna n A = A1/n , siis on juurimistehte suhteline viga
1 ∆K
K
√ =
(10)
n K
n
•  Keerulisemad  funktsioonid
Ka keerulisemate funktsioonide jaoks saab tuletada valemid, mis  kirjeldavad  vea muutust
funktsiooni rakendamisel. Kuna funktsioone on aga palju, siis tuleks ka palju uusi vale-
meid. Lihtsam on ära õppida  algoritm , mille abil saab leida vea iga funktsiooni jaoks.
Olgu funktsiooniks y = log x, argumendi väärtuseks x = 124 ja veaks ∆x = 5.  Logaritm -
funktsiooni väärtus on y = log 124 = 2,09. Nüüd leian logaritmfunktsiooni väärtused
x + ∆x ja x − ∆x korral.
ymax = log(124 + 5) = 2,11 ymin = log(124 − 5) = 2,08
Leian, kumb on suurem: kas erinevus y ja ymax (2,11 − 2,09 = 0,02) või y ja ymin vahel
(|2,08 − 2,09| = 0,01). Suurim erinevus ongi y viga: ∆y = ±0,02. y = 2,09 ± 0,02
6
Sõltumatud vead
Sõltumatute vigade korral on vead tekkinud üksteisest sõltumatult, juhuslikult. Taolised vead
muudavad ka tulemust juhuslikult: üks viga teeb vastust  suuremaks , aga teine väiksemaks. Kok-
kuvõttes vead kompenseerivad üksteist osaliselt ning vastuse viga on väiksem kui sõltuvate vi-
gade korral.
Vigade leidmine sõltumatute vigade korral on sarnane eelpoolkirjutatuga: kõikjal tuleb vaid
summa  asendada  ruutjuurega  ruutude   summast  (ruutsumma). Tulemuse viga on sõltumatu-
te vigade korral väiksem kui sõltuvate vigade korral, sest ruutsumma on väiksem või võrdne
tavalisest  summast.
Sõltumatute suuruste summa ja vahe viga on
∆ =
∆A2 + ∆B2
(11)
Sõltumatute suuruste korrutise ja  jagatise  suhteline viga on
∆A 2
∆B 2
δ =
δ 2 + δ 2
(12)
×
A
B
A
B
Astendamisel ei eksisteeri sõltumatut viga. Astendamine on arvu korrutamine iseendaga, mis-
tõttu on korrutatavatel  arvudel  ühised vead ja astendamisel saab olla vaid sõltuv viga.
Korduvmõõtmised
Korduvmõõtmiste tulemuseks on mõõdetud suuruse aritmeetiline keskmine (1). Korduvad
mõõtmised on sõltumatud. Seega on aritmeetilise keskmise viga üksikute mõõtmiste vigade
ruutsumma. Viimane on aga väiksem vigade summast, võimaldades eksperimendi kordamisega
vähendada tulemuse viga. Kuna valemid on selgitusest asjalikumad, siis toon ära ka tõestuse.
Olgu tehtud n mõõtmist ja saadud tulemused x1, x2, . . . , xn. Kõigi mõõtmiste suhteline viga
olgu p. Absoluutsed vead on siis px1, px2 . . . , pxn. Mõõdetud tulemuste aritmeetiline keskmine
on ¯
x =
x/n, mille vea leian valemi (11) järgi.
1
1
∆¯x =
(px
p x2 + x2 + . . . + x2
n
1)2 + (px2)2 + . . . + (pxn)2 = n
1
2
n
Kuna kõik katses mõõdetud tulemused on ligikaudu võrdsed aritmeetilise keskmisega, siis  asen -
dan üksikud tulemused x1, x2, . . . , xn aritmeetilise keskmisega ¯x.
1
1 √
p¯
x
∆¯x = p x2 + x2 + . . . + x2
p n¯
x2 = √
n
1
2
n = n
n
Leian aritmeetilise keskmise suhtelise vea.
∆
x p
p
x
x =
√ = √
(13)
x
x
n
n
7
Mida rohkem mõõtmisi teha, seda väiksemaks muutub viga. Kunagi pole mõtet teha ühte mõõt-
mist, sest juba kahe  mõõtmisega  väheneb viga 1,4 korda. Kahjuks pole võimalik korduvmõõtmis-
tega  viga  olematuks  muuta: vaja oleks lõpmatult palju katseid.
3.3 Näide
Katses mõõdeti kuuli veeremise kiirust laual, mõõtes  vahemaa , mille kuul läbis, ja selle läbi-
miseks kulunud aja. Teepikkust mõõdeti sellest lühema joonlauaga, nii et pikkust tuli mõõta
kahes osas: l1 ja l2.  Joonlaua  absoluutne viga oli 0,1 cm. Aega mõõdeti stopperiga, mille abso-
luutne viga oli 0,03 s.  Katsetulemused  on toodud järgnevas tabelis.
Tulemused
Mõõtmisi Keskmine
l1
30,0 cm 30,0 cm
2
30, 00 cm
l2
25,2 cm 25,0 cm 25,3 cm 25,2 cm
4
25,18 cm
t
5,54 s
5,48 s
5,68 s
5,50 s
5,59 s
5
5, 558s
Ülesande lahendus
Kuuli keskmine kiirus on
l
v = 1 + l2 = 9,927 cm/s ≈ 9,93 cm/s.
t
Vea leidmine
∆ (viga) ∆k (korduvmõõtmise viga) δk (korduvmõõtmise suhteline viga)
√
l1
0,1 cm
0,1 cm/ 2 = 0,071 cm
0,071 cm/30,00 cm = 0,20 %
√
l2
0,1 cm
0,1 cm/ 4 = 0,05 cm
0,05 cm /25,18 cm = 0,28 %
√
t
0,03 s
0,03 s / 5 = 0,013 s
0,013 s /5,558 s = 0,24 %
Teepikkuse kahte osa mõõdeti sama joonlauaga, mistõttu on osade mõõtmisel tehtud viga sõltuv
ja kogu vahemaa vea leidmiseks tuleb kasutada valemit (6).
∆(l) = ∆k(l1) + ∆k(l2) = 0,071 cm + 0,05 cm = 0,121 cm
Kogu teepikkuse suhteline viga on
δ(l) = 0,121 cm/(30,00 cm + 25,18 cm) = 0,22 %.
Leian kiiruse vea. Aja mõõtmisel tehtud viga on sõltumatu pikkuse veast, mistõttu on jagatise
viga leitav valemist (12).
δv =
δ(l)2 + δk(t)2 = 0,33 %
Kiiruse absoluutne viga on
δv · v = 0,032 cm/s ≈ 0,03 cm/s.
Vastus
Kuuli keskmine kiirus oli (9,93 ± 0,03) cm/s.
8
3.4 Skinneri konstandi viga
Kui korrutada kõik lähteandmed omavahel ja seejärel Skinneri konstandiga, siis on tulemuseks
õige vastus. Tegu on väga lihtsa ja meeldiva lahendusmeetodiga. Korrektses vastus tuleb esitada
ka viga, mistõttu on väga oluline Skinneri konstandi vea teadmine.
Ülesannete lahendamisel pole teada, kas leitud vastus on ka õige. Seega peab Skinneri konstandi
viga olema selline, et ülesande lahendamisel leitud vastus oleks vea piires õige vastus. Kuna õige
vastus võib  asuda  kogu füüsikalise suuruse määramispiirkonnas (tihti on selleks −∞ . . . ∞), siis
peab Skinneri konstandi viga olema lõpmatult suur.
Toon ära ka matemaatilise tõestuse, kus
x tähistab kõigi algandmete omavahelist korrutist, C
Skinneri konstanti ja y vastuse määramispiirkonda.
(C ± ∆C) ·
x = y
y
C ± ∆C
x y
∆C
= lim
± C = ∞ ± C = ∞
y→∞
x
9
4 Määramatus
Lisaks veale kasutatakse mõõtetulemuse täpsuse iseloomustamiseks ka määramatust. Viimane
neist kahest on eelistatum, kuid nõuab palju enam  arvutusi .
Määramatus kirjutatakse arvulise vastuse järele sulgudesse, nii et vastuse ja määramatuse pa-
rempoolseimad numbrid (mitte tüvenumbrid) on sama järguga. Järelikult peab määramatus
olema esitatud samasuguse täpsusega kui vastus ise. Kui määramatuses peaks olema koma,
siis seda ei märgita. Näiteks I = 11,0(12) A korral on  voolutugevus  11,0 A ja selle  määrama -
tus on 1,2 A. Määramatus tuleb esitada alati koos usaldusnivooga (vaata peatükki "‘4.4 Studenti
kordajad"’).
Vastuses võib tüvenumbreid olla maksimaalselt niipalju, kui väikseima tüvenumbrite arvuga al-
gandmetes. Seda reeglit tuleb aga eirata, kui mõni suurus on antud väiksema tüvenumbrite
arvuga kui kõik teised. Näiteks on kõik andmed esitatud kolme - nelja tüvenumbriga ning üks
füüsikaline suurus vaid kahega. Taolistel juhtudel on mõistlik esitada vastus siiski kolme tüve-
numbriga.
4.1 Määramatuse erinevus veast
Siinkohal on mõeldud jällegi põhiviga ehk mõõtetulemuse maksimaalset erinevust tõelisest
väärtusest. Vea korral on mõõtetulemus alati vea piires võrdne tõelise tulemusega. Kui voo-
lutugevus on (2 ± 0,1) A, siis on voolutugevuse tõeline väärtus täiesti kindlalt vahemikus
(1,9 . . . 2,1) A.
Määramatus väljendab tõelise väärtuse tõenäoliseimat  asukohta . Kui mõõdetud voolutugevus
on 2A määramatusega 0,1A, siis tõeline voolutugevus on vahemikus (1,9 . . . 2,1)A tõenäosusega
68% ja vahemikus (1,8 . . . 2,2)A tõenäosusega 95% . . Saamaks 100%  kindlust , et mõõtetulemus
on määramatuse piires tõeline tulemus, tuleks vahemikuks anda (−∞ . . . ∞) A. Määramatus ei
võimalda kindlalt öelda, et mõõdetud tulemus on tõeline.
Tõelise väärtuse asumise tõenäosus
1,9
2,0
2,1
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
Voolutugevus (A)
Voolutugevus (A)
Joonis 1: Vasakul on kujutatud voolutugevuse tõelise väärtuse võimalikke asukohti vea ja pare-
mal määramatuse korral. Mida tõenäolisem on tõelise väärtuse  asumine  mingis punktis, seda
kõrgem on selles punktis värvitud ala.
10
Viga
Määramatus
Viga väljendab mõõtmisel tehtud
Määramatus väljendab kahtlust  mõõte -
eksimust.
tulemuse õigsusesse.
Tõeline tulemus võib olla kõikjal vahemi-
Tõeline tulemus on tõenäoliseimalt 2 A,
kus (1,9 . . . 2,1) A võrdse tõenäosusega.
teiste voolutugevuse väärtuste tõenäo-
Tõeline tulemus võib olla  niihästi  1,92 A,
sused  kahanevad , kui eemalduda kesk-
2,01 A kui ka 2,095 A.
misest voolutugevusest.
4.2 A-tüüpi määramatus
Teisiti kutsutakse seda ka statistiliseks määramatuseks. A-tüüpi määramatus kirjeldab  üksiku -
te katsetulemuste hajusust. Kui katsetulemused on lähedased, siis on statistiline määramatus
väike, sest tulemuste erinevused on väikesed. Tulemuste korral aga, mis erinevad üksteisest
palju, on A-tüüpi määramatus suur. A-tüüpi määramatuse  analoog  vea korral on aritmeetilise
keskmise viga, kuid päris sama asjaga tegu pole.
Katsepunktide hajusust iseloomustatakse standardhälbega σ.
n (x
(x
i − xt)2
σ =
1 − xt)2 + (x2 − xt)2 + . . . + (xi − xt)2 =
i=1
(14)
n − 1
n − 1
Standardhälve on katsetulemuste keskmine ruuterinevus tõelisest väärtusest: katsetulemuste ja
tõelise väärtuse erinevuste  ruudud  liidetakse ning summa jagatakse (n − 1)-ga (kuna standard-
hälbe leidmiseks on vaja vähemalt kahte katsetulemust, siis loetakse efektiivseks katsetulemuste
hulgaks n−1 katset). Selleks, et standardhälve oleks sama ühikuga mis katses mõõdetud suurus,
võetakse ruutude summast  ruutjuur .
Reaalses eksperimendis pole ju tõeline väärtus xt teada, nii et valemist (14) pole kasu. Küll aga
on kasu seosest valemis (14) leitud standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhtes leitud stan-
dardhälbe σ¯x vahel(valemis (14) on siis xt asemel ¯x):
σ =
x
√
(15)
n
Valemist (15) järeldub, et korduskatsetega väheneb tõelise väärtuse suhtes leitud standardhälve
ehk määramatus. Ka vigade korral vähendas katsete kordamine eksperimendi viga.
Katseandmete hajuvuse leidmiseks tõelise väärtuse ümber polegi tõelist väärtust ennast teada
vaja, piisab aritmeetilise keskmise suhtes leitud dispersioonist σ¯x ja valemist (15).
n (x
(x
i − ¯
x)2
σ = uA =
x
√ =
1 − ¯
x)2 + (x2 − ¯x)2 + . . . + (xi − ¯x)2 = i=1
(16)
n
n(n − 1)
n(n − 1)
Leitud valemiga hinnatakse eksperimendis A-tüüpi määramatust uA ehk katsepunktide haju-
vust . Samas saab valemiga (16) leida katsetulemuste standardhälbe tõelise väärtuse suhtes. Kui
11
tahetakse rõhutada, et valemiga (16) leitakse A-tüüpi määramatust, siis kasutatakse tähist uA.
Rõhutamaks standardhälbe arvutamist, kasutatakse tähist σ. Tulemus on sama, kuid välimus
erinev.
4.3 B-tüüpi määramatus
Antud määramatust hinnatakse kogemuslikult ja see iseloomustab kahtlust mõõteriista näidu
õigsusse. Sisuliselt on tegu mõõteriistade absoluutsete vigade teisendamisega määramatusteks.
Ei saa ju leida tulemuse määramatust, kui katseseeriat iseloomustab määramatus ja üksiku katse
tulemust viga.
B-tüüpi määramatus leitakse valemiga
∆
uB = √
(17)
3
4.4 Studenti kordajad
Joonise 1 paremal poolel on näha, et tõeline väärtus võrdub tõenäoliseimalt katsetulemuste kesk-
misega, kuid väiksema tõenäosusega võib võrduda ka mõne teise väärtusega. Mida suurem on
määramatus, seda kõrgem on tõenäosus, et eksperimendi tulemus on määramatuse piires tõeli-
ne väärtus. Valemite (16) ja (15) põhjal leitud määramatused on 68 % usaldusnivool ehk ekspe-
rimendi tulemus on 68 % tõenäolisusega tõeline väärtus. Kui pole märgitud teistsugust usaldus-
nivood , siis on selleks vaikimisi 68 %.
Tulemus 68 % usaldusnivool pole just eriti usaldusväärne: 32 % tõenäosusega ei ühti vastus
tõelise väärtusega. Enim kasutatakse 95 % usaldusnivood; 5 % eksimus on piisavalt väike selle-
ga leppimaks. Kui määramatus on esitatud  suuremal  usaldusnivool kui 68 %, siis nimetatakse
määramatust laiendmääramatuseks ja selle tähisena kasutatakse U. Suuremat usaldusnivood
tähistab ka suurem täht.
Kõrgema  usaldusnivoo  saamiseks tuleb määramatust suurendada, korrutades seda sobiva kons-
tandiga. Suurem määramatus hõlmab rohkem joonise 1 paremal poolel toodud kõverast, tõstes
nii tõenäosust, et tõeline väärtus  ühtib  määramatuse piires katsetulemusega. B-tüüpi määrama-
tust tuleb korrutada arvuga 2, et saada määramatust 95 % usaldusnivool. Statistilise määrama-
tusega 95 % usaldusnivool on lugu aga keerulisem. Nimelt tuleb A-tüüpi määramatust korrutada
Studenti kordajaga t, mille väärtus sõltub korduskatsete arvust.
Tabel 1: Studenti kordajad t 95 % usaldusnivool
n (katsete arv)
2
4
6
11
∞
t (Studenti kordaja)
12,7 3,2 2,6 2,2 2,0
Korduskatseid tuleb kindlasti teha üle kahe, sest Studenti kordaja kahe katse jaoks on  teistega
võrreldes kosmiliselt suur. Nelja ja enama eksperimendi jaoks kehtivad Studenti kordajad on
soovitav  meelde jätta ( kordajate  tüvenumbrid saab meelde jätmiseks kirjutada arvuna 3262).
12
4.5 Liitmääramatus
Igal eksperimendis mõõdetud suurusel on nii A- kui ka B-tüüpi määramatus. Esimene on leitud
korduvkatsetest ja teine mõõteriista põhivea alusel.
Mõlemad määramatused saab teisendada üheks liitmääramatuseks uC (või UC). A- ja B-tüüpi
määramatus on teineteisest sõltumatud, mistõttu toimub nende liitmine analoogiliselt sõltuma-
tute vigade summeerimisele, kus liideti vigade ruudud.
uC =
(uA)2 + (uB)2 või
(18)
UC =
(UA)2 + (UB)2
(19)
Kui üks määramatus erineb teisest üle kümne korra, siis võib väiksema määramatuse jätta  arves -
tamata. Kõlab ülekohtuselt, kuid väiksema määramatuse panus liitmääramatusse on siis tõesti
√
√
väike:
102 + 12 =
101 = 10,05 , mis erineb suuremast määramatusest 0,5 % võrra.
4.6 Tehted määramatusega
Iga vastuse leidmiseks tehtava arvutusega peab  muutuma  ka määramatus (kasvõi seepärast, et
muutub vastuse ühik). Vigade teisendamiseks erinevates tehetes oli mitu  algoritmi , kuid määra-
matuse teisendamiseks vaid üks. Aga see-eest milline.
Olgu katses mõõdetud füüsikaliste suuruste tähised d, e, f, . . . , z ja vastuse tähis Y . Viimase
laiendmääramatus on siis UY ja algandmete laiendmääramatused on Ud, Ue, Uf , . . . , Uz. Vas-
tuse määramatus leitakse valemist:
2
2
2
∂Y
∂Y
∂Y
U
2
2
2
Y =
U
U + . . . +
U .
(20)
∂d
d
∂e
e
∂z
z
Sümbol ∂ tähistab osatuletist ehk tuletist üle ühe muutuja, kui funktsioonil on mitu muutujat.
Valemis (20) ei pea kasutama laiendmääramatust. Sel juhul tuleb vastuse määramatust uY kor-
rutada katteteguri või Studenti kordajaga. Viimase väärtus sõltub aga katsete arvust, mistõttu
saab valemis (20) määramatusi ud, ue, uf, . . . , uz kasutada vaid siis, kui kõiki füüsikalisi suurusi
on mõõdetud sama arv  kordi .
Kui  soovime  leida  takisti  takistust valemi R = U/I järgi, siis on takistuse laiendmääramatus
∂R 2
∂R 2
1 2
−U 2
U
2
2
2
2
R =
U
U
U
U
∂U
U
∂I
e
I
U
I2
I
4.7 Näide
Katses tuli leida küttespiraalil eralduv võimsus, kasutades oom- ja ampermeetrit. Ampermeetri
taandviga oli 5 ja mõõtmisi teostati skaalal (0 - 2,5) A. Oommeeter oli  digitaalne  ja selle abso-
luutne viga avaldus valemiga ∆ = ±(0, 1% reading + 1 digit). Katsete tulemused on toodud
järgnevas tabelis:
13
I
∆I = I − ¯
I
∆I2 · 103
R
∆R = R − ¯
R
∆R2
2,20 A
0,0317 A
1,003 A2
101 Ω
0,250 Ω
0,0625 Ω2
2,25 A
0,0183 A
0,336 A2
100 Ω
0,750 Ω
0,563 Ω2
2,28 A
0,0483 A
2,336 A2
102 Ω
1, 250 Ω
1,563 Ω2
2,18 A
0,0517 A
2,669 A2
101 Ω
0,750 Ω
0,563 Ω2
2,27 A
0,0383 A
1,469 A2
2,21 A
0,0217 A
0,469 A2
I = 2,232 A
∆I2 = 8,283 · 10−3 A2 ja ¯
R = 100,8 Ω
∆R2 = 2,75Ω2
Lahendus
Küttespiraali võimsus oli P = I2R = (2,232 A)2 · 100,8 Ω = 501,77 W≈ 502 W.
Määramatuse leidmine
Leian voolutugevuse määramatuse. A-tüüpi määramatuse leian valemist (16).
n (xi − ¯x)2
∆I2
uA
i=1
I =
= 0,0166 A
n(n − 1)
n(n − 1)
Ampermeetri B-tüüpi määramatus on
0,05 · 2,5 A
uBI =
√
= 0,0722 A.
3
Laiendmääramatus A-tüüpi määramatuse jaoks on UAI = t · uAI = 0,0432 A, kuna Studenti
kordaja kuue katse korral on 2,6. Laiendmääramatus B-tüüpi määramatuse jaoks on UBI =
2 · uBI = 0,144 A. Voolutugevuse liitmääramatus on
UCI =
(UAI)2 + (UBI)2 = 0,151 A.
Leian takistuse määramatuse. A-tüüpi määramatus on
∆R2
uAR =
= 0,479 Ω.
n(n − 1)
Takistuse B-tüüpi määramatus on
0, 1 % ¯
I + 1 Ω
uBR =
√
= 0,636 Ω.
3
14
Laiendmääramatus A-tüüpi määramatuse jaoks on UAR = t · uAR = 1,532 Ω (Studenti kordaja
on nelja katse jaoks 3,2). Laiendmääramatus B-tüüpi määramatuse jaoks on UBR = 2 · uBR =
1,271 Ω. Takistuse liitmääramatus on
UCR =
(UAR)2 + (UBR)2 = 1,99 Ω.
Küttespiraali võimsuse määramatuse leian valemist (20), teades et
∂(I2R)
∂(I2R)
= 2IR ja
= I2
∂I
∂R
UCP =
(2IR)2 · (UCI)2 + (I2)2 · (UC )2 = 68,62 W
R
≈ 69 W
Vastus
Küttespiraali võimsus on 95 % usaldusnivool 502(69) W.
4.8 Märgitest
Märgitest on  eeskiri  määramatuse hindamiseks standardhälvet ja B-tüüpi määramatust arvu-
tamata. Tulemus saadakse väiksema vaevaga, kuid leitud määramatus on tegelikust kuni 30 %
suurem.
Esmalt  järjestatakse eksperimendis mõõdetud katsetulemused  kasvamise  järjekorras. Tabelist 2
leitakse mõõtmiste arvule n vastav konstant k. Nüüd võetakse järjestatud tulemuste mõlemast
äärest k-s väärtus. Väiksemat tulemust tähistatakse x ja suuremat x
−
+. Kui on tehtud üle kuue
katse, siis ei kasutata äärmisi tulemusi, kuna nende mõõtmisel on toimunud ühes suunas enim
eksimusi.
Tabel 2: Märgitesti kordajad k, kui usaldusnivoo on 95 %
n 6 9 12 15 17
k 1 2
3
4
5
Katses mõõdetud suuruse väärtus on
x
x = + + x− .
(21)
2
Eksperimendis leitud suuruse määramatus 68 % usaldusnivool on
x
uC = + − x− .
(22)
2
15
4.9 Märgitesti näide
Leian voolutugevuse määramatuse eelmise näite andmete põhjal, kus voolutugevuse väärtused
olid:
2,20 A 2,25 A 2,28 A 2,18 A 2,27 A 2,21 A
Lahendus
Voolutugevuse väärtused järjestatult on:
2,18 A 2,20 A 2,21 A 2,27 A 2,27 A 2,28 A
Kuna on tehtud on kuus mõõtmist, siis k = 1 ja I = 2,18 A, I
−
+ = 2,28 A. Voolutugevus on
2,18 A + 2,28 A
I =
= 2,23 A.
2
Määramatuse leidmine
Voolutugevuse määramatus 68 % usaldusnivool on
2,18 A − 2,28 A
uCI =
= 0,05 A.
2
Määramatuse leidmiseks 95 % usaldusnivool korrutan voolutugevuse määramatuse B-tüüpi
määramatuse kordajaga 2.
UCI = 2 · 0,05 A = 0,10 A
Vastus
Voolutugevus on I = 2,23(10) A. Leides voolututugevuse aritmeetilise keskmise valemiga (1)
ja määramatuse standardhälbest (16), on tulemuseks 2,23(15). Enamasti on märgitestiga leitud
määramatus siiski suurem kui valemist (16) leitud. Ka võivad eri  meetoditel  leitud vastused
erineda.
16
5 Graafikud
Graafikud annavad kiire ülevaate sõltuvustest eksperimendis mõõdetud suuruste vahel. Tabelist
on ju ruutsõltuvust palju raskem märgata kui jooniselt.
Joonise tegemine tundub  imelihtne . Enda jaoks ongi, aga  graafikut  peavad ka teised mõistma.
Seepärast peab graafikul olema rida  arusaamist  hõlbustavaid elemente:
1. pealkiri,
2. x- ja y-telje  pealkirjad ,
3. x- ja y-telje ühikud,
4. mõõdetud väärtuste vearistid.
1
Trafo magnetvoo sõltuvus voolutugevusest
0,22
0,20
0,18
0,16
3
0,14
4
0,12
0,10
0,08
Magnetvoog (Wb)
0,06
0,04
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
2
Voolutugevus (A)
Joonis 2: Näidisjoonis
Vearist kirjeldab graafikul oleva punkti määramatust. Joonisel 2 on vearistide alumine serv mag-
netvoo väärtuse Φ − UCΦ juures ja ülemine väärtuse Φ + UCΦ juures. Kui samal joonisel tuleks
näidata ka voolutugevuse määramatust, siis tuleks lisada horisontaalsed vearistid voolutugevuse
tarvis.
Katses mõõdetud punkte ei või omavahel  joonega  ühendada (väga aktiivselt pakub sellist või-
malust näiteks Excel), sest pole teada, kuidas muutub mõõdetud suurus kahe katsepunkti vahel.
17
Äkki on sõltuvuseks  siinusfunktsioon  ja kõik tulemused mõõdeti sinusoidi maksimumis? Pideva
joonega võib kujutada vaid funktsioone, sest nende väärtusi saab leida igas graafiku punktis.
5.1 Lineaarse sõltuvuse regressioonsirge
Katsepunkte läbiva regressioonsirge võrrandi arvutamine kompuutri  abita  on tülikas, seepärast
seda siin ei puudutagi. Lihtsam on kasutada silmamõõtu ja regressioonsirge joonistada.
Ideealne  regressioonsirge läbib graafikul kõikide mõõdetud punktide keskmeid.  Tegelikus  elus
tuleb jälgida, et regreesioonsirge läbiks punktide veariste. Lisaks peaks mõlemal pool  regres -
sioonsirget olema umbes võrdne arv punkte ja need võiksid sirgest ka sama kaugel olla.
Trafo magnetvoo sõltuvus voolutugevusest
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
Magnetvoog (Wb)
0,06
0,04
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
Voolutugevus (A)
Joonis 3: Regressioonsirge  näidis . Regressioonsirge läbib katsepunkte hästi.
Täpsema regressioonsirge (ja määramatuse!) saamiseks tuleb katsepunktidest läbi panna kaks
regressioonsirget: üks nii suure tõusuga kui võimalik ja teine minimaalsega. Regressioonsirge te-
geliku tõusu leidmiseks tuleb kasutada märgitesti (21). Ka tõusu määramatus leitakse märgites-
tist (22). Tõusu määramatuse arvutamiseks 95 % usaldusnivool tuleb määramatust korrutada
arvuga 2.
Vabaliikme sirge võrrandis saab leida analoogiliselt tõusuga. Nüüd tuleb regressioonsirge joonis-
18
Trafo magnetvoo sõltuvus voolutugevusest
0,22
0,20
Kõige järsem
sirge
0,18
0,16
Laugeim
0,14
sirge
0,12
0,10
0,08
Magnetvoog (Wb)
0,06
0,04
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
Voolutugevus (A)
Joonis 4: Regressioonsirgel on  näidatud  läbi katsepunktide tõmmatud maksimaalse ja  minimaal -
se tõusuga sirge.
tada võimalikult  kõrgele  ja võimalikult madalale ( sirged  peavad olema paralleelsed). Vabaliikme
väärtuse koos määramatusega saab jällegi leida märgitestist (valemid (21) ja (22)).
5.2 Teiste funktsioonide regressioonsirged
Keerulisemate ja kumeramate sõltuvuste jaoks regressioonkõveraid ei joonistata. Selle asemel
teisendatakse katsetulemusi nii, et need kujutaksid graafikul lineaarset sõltuvust. Mõõdetud
suurustest võetakse logaritm, eksponent, pöördväärtus või teisendatakse tulemusi muul sobival
viisil.
Näiteks astmefunktsiooni y = Axn korral võib graafikul kujutada y-xn sõltuvust või log y−log x
sõltuvust. Mõlemal juhul on sõltuvuseks sirge, mille tõus võrdub esimesel juhul konstandiga A,
teisel juhul korrutisega n log A.
19
6 Abiks eksperimendis
Must kast
Must kast on salapärane karp, kuhu on peidetud  elektriskeem . Katsetaja ülesandeks on välja
selgitada, millised poolid, kondensaatorid ja  takistid  mustas kastis asuvad ja kuidas on need
omavahel ühendatud.
Pooli ja kondensaatori takistused sõltuvad vahelduvvoolu sagedusest: takistused on vastavalt
XL = jωL ja XC = 1/(jωC). Musta kasti sisu kindlaksmääramiseks tuleb uurida takistuse
muutust  mustast  kastist väljuvatel juhtmetel, kui voolu sagedus muutub. Selleks ühendatakse
musta kastiga helisagedusgeneraator (genereerib soovitud sageduse ja pingega vahelduvvoolu),
mõõdetakse voolutugevust ja arvutatakse takistus. Kui vahelduvvoolu sageduse kasvades musta
kasti takistus suurenes, siis on kastis pool. Takistuse kahanemisel on kastis kondensaator. Kui
takistus ei muutu, siis on mustas kastis aktiivtakisti.
Induktiivsuste, mahtuvuste ja takistuste arvväärtuste leidmiseks võib lahendada võrrandisüs-
teemi. Teiseks võimaluseks on kanda topeltlogaritmskaala x-teljele sagedus ja y-teljele musta
kasti takistus ning leida graafikult sirge tõus. Kuna see leiti topeltlogaritmskaalalt, siis tuleb
mahtuvuse või induktiivsuse leidmiseks võtta tõusust antilogaritm (ehk 10t˜ous).
Magnetinduktsioon
Magnetinduktsiooni B mõõtmiseks saab teslameetri puudumisel kasutada  vasest  juhtmetega
südamikuta pooli. Lisaks on vaja galvanomeetrit, mis töötab impulssre ziimis, ja oommeetrit
pooli takistuse  määramiseks . Ei tundu just erilise lihtsustusena, kui ühe mõõteriista asemel
tuleb kasutada kahte, kuid teslameeter nii  haruldane  ja õrn mõõteriist, et seda saab väga harva
tarvitada.
Impulssre ziimis oleva galvanomeetri maksimaalne näit võrdub mõõteriista läbinud elektrilaen-
guga. Kui magnetväljas olev pool sealt kiiresti eemaldada, siis tekib poolis elektromagnetilise
induktsiooni tõttu  elektromotoorjõud  E.
dΦ
E = − dt
Tekkinud elektromotoorjõud võrdub pooli takistuse ja voolutugevuse korrutisega (kui on teada
galvanomeetri takistus, siis tuleks pooli takistusele liita ka galvanomeetri takistus).
dΦ
E = IR = − dt
RIdt = −dΦ
Voolutugevuse  integraal  üle aja on  elektrilaeng  Q. Integraal üle dΦ on magnetvoog Φ.
QR = −Φ
Magnetvoog Φ võrdub pooli ristlõikepindala S ja magnetinduktsiooni B korrutisega.
QR = −BS
20
QR
B = −
(23)
S
Magnetinduktsiooni mõõtmiseks tuleb magnetväljas olev pool sellest kiiresti eemaldada ja re-
gistreerida galvanomeetri näit. Mõõtnud ka pooli takistuse ja ristlõikepindala, saab arvutada
magnetvälja magnetinduktsiooni.
Kuna magnetvoog Φ = B · S = BS cos α, siis sõltub magnetvoog pooli ristõikepindala ja mag-
netinduktsiooni vastastikusest orientatsioonist. Mõõtmisi tuleb korrata pooli erinevate asendi-
te korral, kuni leitakse maksimaalne magnetinduktsiooni väärtus. Siis cos α = 1 ja Φ = BS
ning saab kasutada valemit (23). Kuna magnetinduktsioon on  vektoriaalne  suurus, siis on lisaks
arvväärtusele vastuse osa ka magnetinduktsiooni suund.
Magnetinduktsiooni mõõtmiseks ei saa kasutada südamikuga pooli ega ka rauast pooli. Need on
ferromagneetikud, mis  tugevdavad  välist magnetvälja (tekitavad hüstereesisilmuse). Kui palju
välise välja tugevdatakse, sõltub eelkõige ferromagneetiku materjalist ja töötlusest. Ulatusliku
tehnilise dokumentatsioonita oleks võimatu hinnata, kui palju tugevdab ferromagneetik välist
magnetvälja, ilma et selle suurus teada oleks.
Mõõtmine
Viga ja määramatust käsitlevates peatükkides jõuti järeldusele, et vastuse viga on seda väiksem,
mida rohkem katseid on tehtud. Üks variant korduvmõõtmistest on samasuguste omaduste
üheskoos mõõtmine: näiteks mõõtes ühe paberilehe paksuse asemel kümne või saja paberilehe
paksuse. Paberileht on nii õhuke, et ühe lehe paksust ei saa nihikuta täpselt leida; saja lehe
paksuse saab aga määrata tavalise joonlauaga. Paberilehe paksuse viga on siis ∆ = ∆j/n, kus
∆j on joonlaua absoluutne viga, ∆ on ühe lehe paksuse absoluutne viga ja n on lehtede arv.
Lühikese  pendli ühte võnkeperioodi pole ka hea mõõta, sest  stopperi  kinni ja lahti vajutamiseks
kuluv aeg on ju võrreldav pendli võnkeperioodiga. Palju täpsema tulemuse saab, kui mõõta küm-
ne või rohkemagi võnke kestust. Väikeste  kuulide   diameetri  mõõtmisel saab kuulid joonlaua
serva äärde joondada ja seejärel mõõta kuulide diameetrite summa.
Loendamine
Korduvate sündmuste loendamine läheb varem või hiljem sassi, arvud muutuvad sarnasteks ja
lõpuks teiseneb loendamine pagari piparkookideks. Kavalam on lasta kalkulaatoril loendada.
Selleks vajuta klahve 1 ja + ning iga sündmuse ajal märgile = . Olgu sündmuseks pendli
jõudmine äärmisse asendisse või mahakukkunud vihmapiiskade arv, kalkulaatori ekraan näitab
toimunud sündmuste arvu.
Protokoll
Protokoll on  tüütu  paber, kuhu tuleb kõik tehtu üles kirjutada. On tüütu, aga vajalik. Ise te
loomulikult mäletate tehtut, kuid ka zürii peab mõistma katse  käiku . Mida vähem protokolli
üles märkida, seda vähem  arvavad  hindajad teid vaeva näinud olevat. Ka võib zürii hinnata
teie jaoks elementaarseid või tähtsusetuid tegevusi (mõõteriista nulli kontrollimine, võimalikult
väikese  mõõteskaala  valimine). Seepärast tuleb protokolli kirja panna kõik, mida katses tegite.
21