FUUSIKALISTE SUURUSTE MOOTMINE MOOTMISVEAD MOOTEHALBED J (0)

(Microsoft Word - F\334\334SIKALISTE SUURUSTE M\325\325TMINE, M\325\325TMISVEAD, M\325\325TEH\304LBED J\205)



TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  1     FÜÜSIKALISTE SUURUSTE MÕÕTMINE. MÕÕTMISVEAD, MÕÕTEHÄLBED  JA MÕÕTEMÄÄRAMATUS FÜÜSIKA PRAKTIKUMIDES  1.  Füüsikaliste suuruste mõõtmine  Mõõtmiseks  nimetatakse  antud  füüsikalise  suuruse  võrdlemist  teise  sama  liiki  suurusega,  mis  on 
võetud  mõõtühikuks.  Mõõtetulemus  on  mõõtmise  teel  saadud  mõõtesuuruse  väärtus,  mis  koosneb 
mõõtarvust  (arvväärtusest)  ja  vastavast  mõõtühikust.  Mõõtetulemuse  täielik  esitus  peab  sisaldama 
informatsiooni mõõtemääramatuse kohta. Määramatus (ebakindlus) mõõtmistes tekib nii mõõdetava 
objekti  kui  selle  mõõtmise  olemuslikust  ebatäiuslikkusest  (ligikaudsusest).  Esialgu  võtame 
teadmiseks,  et  mõõtemääramatus  on  mõõtetulemuse  kui  juhusliku  suuruse  hajuvust  iseloomustav 
parameeter, mis piiritleb vahemiku, kuhu mõõdetava suuruse väärtushulk usutavasti satub. Tavaliselt 
on  määramatuse  arvuliseks  väärtuseks  selle  vahemiku  poollaius.  Põhjalikumalt  käsitletakse 
mõõtemääramatust  allpool.  Lisame,  et  Eestis  peab  mõõtmisalane  tegevus  olema  kooskõlas  Eesti 
Vabariigi mõõteseadusega.  Lihtsaim mõõtmine on otsemõõtmine. Sel korral leitakse mõõtarv otse mõõteinstrumendi skaalalt  viida  (osuti)  asukoha  järgi  või  registreeritakse  instrumendi  näidikul  asuv  arv  (digitaalmõõteriistade 
korral). Otsemõõtmise üksiktulemust nimetatakse mõõdiseks.  Kaudsel mõõtmisel leitakse mõõtarv valemi abil otseselt mõõdetud suuruste kaudu. 
  2.  Mõõtmisvead ja mõõtehälbed  Absoluutseks  veaks  0 α   nimetatakse  mõõtmistulemuse  x  ja  mõõdetava  suuruse  tõelise  väärtuse  X  vahet:  X x − = 0 α .  Suuruse  tõelise  väärtuse  võiks  kätte  saada  ainult  absoluutselt  täiuslikul  mõõtmisel,  mis  pole  reaalselt  teostatav.  Seega  on  tõeline  väärtus  ja  ka  absoluutne  viga  teoreetilised  mõisted,  mida 
praktikas kasutada ei saa.  Relatiivseks ehk suhteliseks veaks  0 δ  nimetatakse absoluutse vea ja mõõdetava suuruse tõelise  väärtuse suhet:  X 0 0 α δ = .  Ülalöeldust tuleneb, et ka relatiivne viga on teoreetiline mõiste. 
Kuna  mõõdetava  suuruse  tõelist  väärtust  X  pole  põhimõtteliselt  võimalik  teada  saada  (parimal  juhul  on  teada  nn  leppeväärtus  e  tegelik  väärtus,  mis  on  parimate  vahendite  ja  metoodikaga  leitud 
mõõtesuuruse  väärtuse  hinnang),  siis  mõõtmisvigade  asemel  räägitakse  praktikas  mõõtevea 
hinnangutest e mõõtehälvetest.  Hälbeks  nimetatakse  mõõtetulemuse  ja  valitud  tugiväärtuse  vahet.  Tavaliselt  on  tugiväärtuseks  kas aritmeetiline keskmine või leppeväärtus. Mõõdis miinus mõõdiste aritmeetiline keskmine annab 
juhusliku  mõõtehälbe.  Selle  käitumine  on  juhuslik.  Mõõdiste  aritmeetiline  keskmine  miinus 
leppeväärtus  annab  süstemaatilise  mõõtehälbe.  See  on  kas  püsiv  või  seaduspäraselt  muutuv 
kõrvalekalle  mõõtesuuruse  tegelikust  väärtusest.  Mõõdise  (üldiselt  mõõtetulemuse)  mõõtehälve  on 
juhusliku  ja  süstemaatilise  mõõtehälbe  algebraline  summa.  Kuna  mõõtehälve  loetakse  mõõtevea 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  2     hinnanguks, siis tähistatakse teda tähega e, mis tuleneb ingliskeelsest sõnast error. Eestpoolt järeldub 
mõõtehälbe üldine definitsioon mõõtetulemuse ja leppeväärtuse vahena:  l x x e − = ,  kus x on mõõtmistulemus ja  l x  mõõdetava suuruse leppeväärtus.  Niisiis  erineb  mõõtehälve  kui  praktiline  mõiste  mõõteveast  kui  teoreetilisest  mõistest  selle  poolest,  et  esimesel  juhul  leitakse  mõõtetulemuse  kõrvalekalle  teadaolevast  või  määratavast 
leppeväärtusest, teisel juhul (tundmatust) tõelisest väärtusest.  Kuna  tavaliste  mõõtmiste  juures  pole  mõõdetava  suuruse  leppeväärtus  teada,  siis  seal  mõõtehälbe  konkreetset  suurust,  rangelt  võttes,  hinnata  ei  saa.  Küll  saab  mõõtmisi  korrates  leida 
juhuslikud mõõtehälbed. Juhul, kui mõõdetava suuruse leppeväärtus aga teada on (näiteks teatmikust 
leitud  vastava  suuruse  väärtusena),  saab  hinnata  nii  mõõtetulemuse  määramatust  (ainult 
katseandmete põhjal) kui mõõtehälvet. Ka on võimalik mõõtevahendite teadaolevate metroloogiliste 
karakteristikute,  näiteks  täpsusklassi  järgi  leida  suurim  lubatud  näiduhälve  (lubatud  piirhälve),  s.o 
näidu maksimaalne kõrvalekalle tegelikust e leppeväärtusest. Näiduhälve on mõõtehälbe erijuht.   Süstemaatilised mõõtehälbed jaotatakse üldiselt kolme liiki: 
a)  tuntud  olemuse  ja  määratava  suurusega  süstemaatilised  mõõtehälbed  (nihutatud  skaala  või  kõver  osuti,  temperatuuri  muutusest  tingitud  hälve  jne),  mis  tulevad  paranditena 
mõõtetulemustesse sisse viia enne tulemuste edasist töötlemist;  b)  tuntud  päritoluga,  kuid  tundmatu  suurusega  süstemaatilised  mõõtehälbed,  milleks  kõige  sagedamini  on  mõõtevahendi  näiduhälve.  Kuigi  mõõtevahendi  metroloogiliste 
karakteristikute järgi on kergesti arvutatav näiduhälbe maksimaalsuurus e lubatud piirhälve, 
jääb konkreetse näidu hälve tundmatuks. Lubatud piirhälbe, s.o suurima lubatud näiduhälbe 
järgi jaotatakse mõõtevahendid täpsusklassidesse. Neist tuleb juttu edaspidi.  c)  süstemaatilised mõõtehälbed, mille olemasolust ei olda teadlikud. Need on kõige ohtlikumad,  kuna nihutavad mõõtetulemuse õigest väärtusest kõrvale mõõtja teadmata.  Ekseteks  ehk  jämedateks  mõõtehälveteks  nimetatakse  vilumatusest,  tähelepanematusest,  lühiajalistest  kõrvalmõjudest  ja  muudest  asjaoludest  tingitud  olulisi  kõrvalekaldeid  ülejäänud 
mõõtetulemustest. Tavaliselt on eksed avastatavad ja parandatavad, kui mõõtmisi korratakse.    3.  Mõõtemääramatus  3.1. Põhiseisukohad 
Lähtudes  rahvusvahelisest  normdokumendist  “Guide  to  the  expression  of  uncertainty  in 
measurement”  (ISO,  Geneva,  1993)  ja  Eestis  kehtivast  mõõteseadusest  ning  standardist  (EVS 
758:1998  “Metroloogia.  Terminid  ja  määratlused”),  tuleb  iga  mõõtetulemuse  kvaliteeti  hinnata 
mõõtemääramatuse  kontseptsiooni  alusel.  Selle  järgi  pole  põhimõtteliselt  võimalik  ühtki  objekti 
absoluutselt täpselt mõõta. Veel enamgi, ka objekt ise jääb alati mingil määral ligikaudseks, hajusaks. 
Väärtuste  hajuvust  saab  iseloomustada  tõenäosusjaotusega.  Määramatuse  kontseptsiooni  järgi  ongi 
mõõtmise  eesmärgiks  mõõdetava  objekti  tõenäosusjaotust  iseloomustavate  parameetrite  usaldatav 
hindamine. Nende parameetrite all mõeldakse kõige sagedamini keskväärtust ja standardhälvet.  Selles kogumikus kasutatakse mõõtemääramatuse sünonüümina määramatust. 
Selgitame nüüd määramatust veidi põhjalikumalt. Kõige üldisemalt tähendab mõõtemääramatus  kahtlust  mõõtetulemuse  kehtivuses,  õigsuses.  Seda  kahtlust  peab  oskama  kvantitatiivselt  hinnata. 
Määramatuse arvuliseks hindamiseks tuleb vastata kahele põhiküsimusele: 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  3     1)  millistes konkreetsetes piirides mõõtetulemuse ümber võiks mõõdetava suuruse väärtushulk  paikneda?  2)  millise kindlusastmega (tõenäosusega) ta neis piirides asuda võiks? 
Nii mõõtetulemust kui ka mõõdetavat objekti (näiteks varda pikkust) käsitletakse siin juhusliku  suurusena.  Juhuslikku  suurust  iseloomustab  peale  arvväärtuste  hulga  aga  veel  nende  jaotumine 
tõenäosuste järgi. Viimane võimaldab hinnata juhusliku suuruse hajuvust, st vahemikku, mille piiride 
vahele juhusliku suuruse väärtused teatud tõenäosusega satuvad.  Konkreetsemalt  ongi  mõõtemääramatus  mõõtetulemuse  ja  selle  kaudu  mõõteobjekti  tõenäosusjaotuse  hajuvust  iseloomustav  parameeter.  Mida  täpsemad  on  mõõtmised,  mida  enam  on 
parandite  sisseviimisega  vähendatud  süstemaatilist  mõõtehälvet,  seda  lähemal  on  mõõtetulemuse 
määramatus mõõteobjekti määramatusele.  Mõõteseaduse  kohaselt  on  mõõtemääramatuse  definitsioon  järgmine:  mõõtemääramatus  on  mõõtetulemusega  seonduv  parameeter,  mis  iseloomustab  mõõtesuurusele  põhjendatult  omistatavate 
väärtuste tõenäosusjaotust. Sellise definitsiooni korral peavad aga mõõtmised olema tehtud peaaegu 
ideaalse täpsusega, et mõõtetulemuse tõenäosusjaotus oleks võimalikult lähedane mõõdetava suuruse 
tõenäosusjaotusele ja tulemuse hajuvust iseloomustav parameeter vastaks seega mõõdetava suuruse 
väärtuste tegelikule hajuvusele (oleks selle hajuvuse parimaks hinnanguks).  Füüsika  üldpraktikumis  nii  kõrge  täpsusega  mõõtmisi  ei  tehta.  Seetõttu  saab  siin  rääkida  mõõtetulemuse  laiema  tähendusega  määramatusest,  mida  tekitavad  mõlemad:  nii  mõõdetav  objekt 
kui selle mõõtmine. Objekti määramatusele lisandub olulisena selle mõõtmisest tingitud määramatus. 
Reaalselt pole nad eristatavad. Mõõtetulemuse (kogu)määramatus on nende koosmõju tulemus.  Tõenäosusteooria  järgi  näitab  hajuvust  dispersioon.  Positiivset  ruutjuurt  dispersioonist  nimetatakse  standardhälbeks.  Standardhälve,  selle  kordne  või  siis  antud  tõenäosusega 
usaldusvahemiku  poollaius  on  tavaliselt  nendeks  parameetriteks,  millega  mõõtetulemuse  hajuvust 
iseloomustatakse ja mis seega mõõtemääramatust väljendavad.  Neid  parameetreid  saab  statistiliste  võtetega  hinnata.  Statistilises  mõttes  moodustab  mõõdiste  kogum  valimi.  Selle  baasil  leitakse  mõõdiste  või  nende  aritmeetilise  keskmise  hajuvust 
iseloomustava  parameetri,  standardhälbe  hinnang  –  eksperimentaalne  standardhälve.  Kui  sellele 
vastav  tõenäosus  on  teada  ja  mõõdiste  jaotus  on  sümmeetriline,  siis  on  standardhälve  ühtlasi  talle 
vastava  usaldusvahemiku  poollaius.  Etteantud,  standardhälbest  suurema  tõenäosusega  usaldusvahemiku  poollaiuse  moodustamiseks  korrutatakse  standardhälvet  vastavast  tõenäosusjaotusest tuleneva koefitsiendiga, mida nimetatakse katteteguriks.  Nii eksperimentaalne standardhälve kui selle kordne väljendavad määramatuse absoluutsuurust,  kuid sellest ei piisa mõõtmiste headuse iseloomustamiseks.  Mõõtmiste  kvaliteedi  sobiv  iseloomustaja  on  aga  määramatuse  absoluutsuuruse  ja  mõõtetulemuse suhe, mida nimetatakse suhtelise vea eeskujul suhteliseks mõõtemääramatuseks. Ta 
näitab, millise osa moodustab määramatus mõõtetulemusest.  3.2. Mõõtemääramatuse klassifitseerimine tüüpideks ja liikideks 
Erinevatest  allikatest  pärit  info  töötlemise  viisist  tulenevalt  hinnatakse  mõõtemääramatust,  s.o 
mõõtetulemuse hajuvust kahte moodi: A- ja B-tüüpi hindamismeetodiga. Kasutatud hindamismeetodi 
järgi  jaotataksegi  mõõtemääramatus  tüüpideks.  A-tüüpi  hindamismeetodil  leitud  määramatust 
nimetatakse  A-tüüpi  määramatuseks  ja  B-tüüpi  hindamismeetodil  leitud  määramatust  B-tüüpi 
määramatuseks. 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  4     A-tüüpi hindamismeetodiks on eksperimendi käigus tehtud kordusmõõtmiste statistiline analüüs.  A-tüüpi määramatuse näiteks on eksperimentaalne standardhälve.  B-tüüpi hindamismeetodi korral on lähteinfo mujalt pärit (mitte aktuaalsetest kordusmõõtmistest)  ja  selle  teabe  alusel  hinnatakse  määramatust  teisiti  kui  A-tüübi  puhul.  Niisiis,  B-tüüpi 
hindamismeetod  ei  ole  seotud  mõõteseeria  praktilise  statistilise  analüüsiga.  B-tüüpi  määramatust 
hinnatakse kogemuslikult, teoreetiliselt või muul viisil, lähtudes eeldatavast tõenäosusjaotusest.  B-tüüpi  määramatuse  näiteks  on  mõõtevahendi  passist  pärit  suurima  lubatud  näiduhälbe  e  piirhälbe  alusel  tehtud  määramatuse  hinnang,  näiteks  standardhälbe  kujul,  eeldades  mingit 
näiduhälbe tõenäosusjaotust.  Vajab  rõhutamist,  et  mõlemad  hindamismeetodid  põhinevad  tõenäosusjaotusel  ja  mõlemal  meetodil  saadud  määramatuse  komponendid  leitakse  selle  jaotuse  parameetritena  (näiteks 
standardhälbe  hinnangutena),  st  mõlemad  komponendid  on  juhuslike  suuruste  hajuvust 
iseloomustavad arvkarakteristikud, mis on vaid hinnatud erineval viisil.  Peale  kahte  suurde  tüüpi  jaotamise  klassifitseeritakse  mõõtemääramatust  veel  olenevalt  sellest,  kas  tema  hindamiseks  kasutatakse  standardhälvet  või  selle  kordset  või  siis  kindla  tõenäosusega 
usaldusvahemiku poollaiust. Sel korral saadakse järgmised mõõtemääramatuse liigid:  a)  Kui hinnatavaks parameetriks on standardhälve, siis saame standardmääramatuse. 
b)  Kui hinnatavaks parameetriks on standardhälbe kordne või kindla, küllalt suure tõenäosusega  usaldusvahemiku  poollaius,  siis  saame  laiendmääramatuse.  Kui  kasutatakse  usaldusvahemikku,  siis  tuleb  kindlasti  näidata,  millisele  usaldusnivoole  (tõenäosusele)  ta 
vastab. Usaldusvahemik kujutab endast konkreetsete usalduspiiridega kehtestatud vahemikku 
mõõtetulemuse  ümber,  kuhu  usaldusnivooga  määratud  tõenäosusega  usutavasti  satub 
mõõdetava suuruse tegelik väärtus.  Üldiselt on mõõtetulemuse määramatusel palju erinevaid, mõõtmistega seotud allikaid. Vaatleme  nüüd  määramatust  nende  seisukohast.  Määramatust  tekitavad  ja  seega  mõõtetulemust  hajutavad  nii 
mõõdetav objekt kui mõõtevahendid, mõõtemeetod, mõõteprotseduur ja mõõtetingimused ning kõik 
teised  häirivad  faktorid,  sh  mõõtja  ise.  Kui  tegu  on  kaudse  mõõtmisega,  siis  mõjutavad  tulemuse 
määramatust nii üksiksuuruste mõõtmistulemused kui nende määramatused.  Määramatuse allikate rohkusest tulenevalt võib sel olla palju komponente ehk osamääramatusi.  Kui  kõik  komponendid  on  leitud  standardmääramatuse  kujul,  siis  nende  koosmõju  iseloomustab 
kogumääramatus,  mida  nimetatakse  liit(standard)määramatuseks.  Viimast  katteteguriga  korrutades 
saame  ülaltoodud  määratluse  järgi  laiendliitmääramatuse  e  lihtsalt  laiendmääramatuse.  Kattetegur, 
nagu  eespool  öeldud,  on  kindlale  tõenäosusele  vastav  koefitsient.  Katteteguri  väärtus  sõltub 
tõenäosusjaotusest.  Ülalnimetatud määramatuse liikidest võib igaüks olla kas ainult A- või B-tüüpi määramatus või  siis nende kombinatsioon.  Vaatleme nüüd lähemalt, kuidas leitakse liitmääramatus kaudse mõõtmise korral. Väljundsuuruse  (kaudselt  mõõdetud  suuruse)  liitmääramatus  kujuneb  mitme  sisendsuuruse  (otseselt  mõõdetud 
suuruse)  standardmääramatuse  koosmõjul.  Ta  on  võrdne  positiivse  ruutjuurega  summast,  mille 
liikmed on sisendsuuruste dispersioonid või kahekordsed kovariatsioonid ja mida liitmisel kaalutakse 
vastavalt  sellele,  kuidas  mõõtetulemus  muutub  sõltuvalt  sisendsuuruste  väärtuste  muutumisest. 
Dispersioonide  kaaludeks  on  seejuures  vastavate  tundlikkustegurite  ruudud  ja  kahekordsete 
kovariatsioonide  kaaludeks  vastavate  tundlikkustegurite  korrutised.  (Kovariatsioon  iseloomustab 
sisendsuuruste  omavahelist  sõltuvust.  Sõltumatute  sisendsuuruste  korral  võrdub  kovariatsioon 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  5     nulliga.)  Tundlikkusteguriteks  on  osatuletised,  mis  leitakse  väljundsuurust  kirjeldavast  mitme 
muutuja funktsioonist. (Põhjalikum käsitlus on esitatud allpool.)  Liitmääramatus  on  definitsiooni järgi  standardmääramatus. Tema  usaldusnivoo  on aga  üldjuhul  teadmata.  Liitmääramatuse  põhjal  sobiva  usaldusnivooga  laiendmääramatuse  leidmiseks  tuleks 
kõigepealt  kindlaks  teha  või  põhjendatult  eeldada  liitmääramatusega  iseloomustatava  juhusliku 
suuruse  tõenäosusjaotus,  mis  teoreetiliselt  kujutab  endast  osamääramatustega  iseloomustatavate 
juhuslike  suuruste  tõenäosusjaotuste  ühendjaotust  (konvolutsiooni).  Kui  liitmääramatusega 
iseloomustatav tõenäosusjaotus on leitud või ollakse küllalt kindlad eeldatavas tõenäosusjaotuses, siis 
on  võimalik  vastava  katteteguri  abil  liitmääramatuse  usaldusvahemikku  suurendada  ja  sel  viisil 
sobiva tõenäosusega laiendmääramatus leida. Siin tuleb jällegi rõhutada, et katteteguri suurus sõltub 
tõenäosusjaotuse  iseloomust.  Sageli  eeldatakse,  lähtudes  tsentraalsest  piirteoreemist,  et 
liitmääramatusega  iseloomustatav  tõenäosusjaotus  on  ligikaudu  normaaljaotus.  Sel  korral  võib 
kattetegurina kasutada normaaljaotusest tulenevat tegurit.  Kuna  juhuslike  suuruste  tõenäosusjaotuste  ühendjaotuse  leidmine  on  matemaatiliselt  üsna  keerukas  ja  sageli  pole  piisavalt  teavet  ühendjaotust  moodustavate  osajaotuste  kohta,  siis  leitakse 
füüsika praktikumis mitme argumendi funktsiooni (kaudselt mõõdetud suuruse) laiendmääramatus ja 
selle usaldusnivoo traditsioonilisel viisil ligikaudselt.  Kõigepealt  viiakse  kõik  määramatuse  komponendid  neid  vastavate  katteteguritega  korrutades  ühele ja  samale  usaldusnivoole,  st  leitakse  vastavad  laiendatud  osamääramatused.  Siis  korrutatakse 
need läbi tundlikkusteguritega ja seejärel summeeritakse ruutu tõstetud korrutised. Kui üksiksuuruste 
vahel sõltuvust pole, siis leitakse sellest summast ruutjuur. Saadud tulemuse, laiendliitmääramatuse 
usaldusnivoo  loetakse  võrdseks  osamääramatuste  usaldusnivooga.  Kui  sisendsuuruste  vahel  esineb 
sõltuvus,  siis  lisanduvad  ülalnimetatud  summale  seda  sõltuvust  arvestavad  liidetavad,  millest 
räägitakse edaspidi.  Kui  on  vaja  hinnata  otsese  mõõtmise  tulemuse  laiendatud  liitmääramatust,  siis  toimitakse  ülaltooduga  analoogiliselt.  Laiendatud  osamääramatused  saadakse  standardsete  osamääramatuste 
korrutamise  teel  ühele  ja  samale  usaldusnivoole  vastavate  koefitsientidega.  Laiendatud 
liitmääramatus  leitakse  ruutjuurena  laiendatud  osamääramatuste  ruutude  summast,  eeldades 
osamääramatuste sõltumatust. Seejuures loetakse laiendatud liitmääramatuse usaldusnivoo võrdseks 
laiendatud  osamääramatuste  usaldusnivooga.  Rõhutame  siin  veelkord,  et  see  on  laiendatud 
liitmääramatuse ligikaudse hindamise viis.  Füüsika praktikumis on üksikmääramatuste hindamise “täpsus” suhteliselt madal (~20%), mis on  arvuliseks õigustuseks ülalesitatud laiendliitmääramatuse leidmise ligikaudsele viisile.  Mõõtemääramatuse allikaid lühidalt kokku võttes peame meeles, et lisaks mõõdetavale objektile  tekitab määramatuse ka selle mõõtmine ning peale selle iga mõõtmisi häiriv tegur, mille konkreetne 
mõju mõõtmistulemusele pole teada. Kõik, mis jääb ebamääraseks, moodustab määramatuse. (Juhul, 
kui  häiriva  teguri  mõju  on  piisavalt  täpselt  teada,  saame  ta  põhimõtteliselt  vastava  parandi  abil 
peaaegu elimineerida.)  3.3. Mõõtemääramatuse hindamise valemeid otsestel mõõtmistel  3.3.1.   A-tüüpi määramatuse hindamine otsestel mõõtmistel  A-tüüpi  määramatus  leitakse  kordusmõõtmistest.  Kui  mõõtmiste  lõppresultaadiks  on  ühe  ja  sama  suuruse   x   n-kordsel  mõõtmisel  leitud  kõigi  üksiktulemuste  x i    aritmeetiline  keskmine  ∑ = = n i i x n x 1 1 , 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  6     siis  selle  A-tüüpi  standardmääramatuseks  ( ) x u A   on  aritmeetilise  keskmise  eksperimentaalne  standardhälve:    ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 − − = ∑ = n n x x x u n i i A   (1)  Laiendmääramatus avaldub üldkujul järgnevalt:    ( ) ( ) x u k x U   = ,  (2)  kus k on tõenäosusjaotusest sõltuv kattetegur ja  ( ) x u    standardmääramatus.  Kui juhuslikud mõõtehälbed (kõrvalekalded aritmeetilisest keskmisest) on jaotunud normaalselt,  siis saab aritmeetilise keskmise A-tüüpi laiendmääramatuse leida järgmiselt:    ( ) ( ) ( ) 1 1 2 , − − = ∑ = n n x x t x U n i i A β ν ,  (3)  kus katteteguriks  k  on Studenti tegur   β ν , t , mille väärtused on toodud tabelis 1.  3.3.2.   B-tüüpi määramatuse hindamine otsestel mõõtmistel  B-tüüpi  hindamismeetodi  kasutamine  tähendab  mõõtemääramatuse  nende  komponentide  leidmist, 
mille jaoks eksperimentaator kordusmõõtmisi ei teinud. See hinnang baseerub mujalt pärineval infol, 
kusjuures  sageli  lähtutakse  a  priori  oletusest,  et  vastav  suurus  allub  mingile  tõenäosusjaotusele. 
Füüsika  praktikumis  saadakse  seda  tüüpi  määramatuse  leidmiseks  vajalik  info  kas  mõõtevahendi 
passist  või  numbrilaualt,  stendil  paiknevast  vastavast  tabelist,  katseseadme  iseärasustest, 
mõõtmismetoodikast, kogemustest või lihtsalt arukatest kaalutlustest.  Mõõtevahendi  suurimast  lubatud  näiduhälbest  e  lubatud  piirhälbest  tingitud   B-tüüpi  standardmääramatus  ( ) m B x u   (vastab  1 σ -le;  σ   on  standardhälve)  on  leitav  järgmisest  valemist, mis eeldab näiduhälbe normaalset jaotust ja piirhälbe vastavust  σ 3 -le:    ( ) 3 p m B e x u = ,  (4)  kus  p e  on suurim lubatud näiduhälve e lubatud piirhälve.  Vastav B-tüüpi laiendmääramatus usaldatavusega  β  avaldub:    ( ) 3 , p m B e t x U β ∞ = ,  (5)  kus  β , ∞ t  on Studenti tegur (tabel 1).   
 
 
 
 
 
 
 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  7     Tabel 1  Valik teguri  β ν , t  väärtusi  β  ν  0,5  0,68  0,95  0,975  0,9973  1  1,00  1,8  12,7  12,7  235,8  2  0,82  1,3  4,3  4,3  19,2  3  0,77  1,2  3,2  3,2  9,2  4  0,74  1,1  2,8  2,8  6,6  5  0,73  1,1  2,6  2,6  5,5  6  0,72  1,1  2,5  2,4  4,9  7  0,71  1,1  2,4  2,4  4,5  8  0,71  1,1  2.3  2,3  4,3  9  0,70  1,1  2.3  2,3  4,1  10  0,70  1,1  2,2  2,2  4,0  20  0,69  1,0  2,1  2,1  3,4  ∞  0,67  1,0  2,0  2,0  3,0  Indeks  1 − = n ν on vabadusastmete arv ja  β  on tõenäosus.  Lugemi  ümardamise  tagajärjel  tekkinud  B-tüüpi  standardmääramatus  l B x u ) (   avaldub  ümardamisel tekkiva mõõtehälbe ühtlase jaotuse korral järgnevalt:    ( ) 3 l x u l B =   (6)  ja vastav B-tüüpi laiendmääramatus järgnevalt:    , ) ( l x U l B ⋅ = β   (7)  kus  β   on  usaldatavus  ja  l  on  suurim  mõõtehälve,  mis  ümardamisel  võib  tekkida.  Näiteks,  kui  ümardati skaala täisjaotisteni, siis on l-iks pool jaotise väärtust.  Lugemi  ümardamisest  tingitud  B-tüüpi  määramatust  ei  arvutata,  kui  sooritatakse  ühe  ja  sama  suuruse  kordusmõõtmised  ning  arvutatakse  A-tüüpi  määramatus.  Siis  jääb  ümardamisest  tingitud 
mõõtehälve juhuslike hälvete hulka, mille on hõlmanud A-tüüpi määramatus.  Kui  on  põhjust  arvata,  et  mõõtevahendi  näiduhälbed  jaotuvad  ühtlaselt,  siis  arvutatakse  tema  ebatäpsusest  tingitud  B-tüüpi  standard-  ja  laiendmääramatus  samuti  valemite  (6)  ja  (7)  järgi, 
kusjuures l-iks on siis suurim lubatud näiduhälve (lubatud piirhälve).  3.3.3.   Liitmääramatuse hindamine otsestel mõõtmistel  Korduvalt tehtud otseste mõõtmiste korral avaldub liit(standard)määramatus järgnevalt:    m B A c x u x u x u ) ( ) ( ) ( 2 2 + = .  (8)  Ühekordsete otseste mõõtmiste juhul (A-tüüpi määramatust siis hinnata ei saa) leitakse ainult B- tüüpi liit(standard)määramatus:    l B m B c x u x u x u ) ( ) ( ) ( 2 2 + = .  (9)  ( ) x u c  on valemites (8) ja (9) ning edaspidi liitmääramatuse tähis (c – combined). 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  8     3.3.4.   Laiendatud liitmääramatuse hindamine otsestel mõõtmistel  Korduvate  otseste  mõõtmiste  tulemuse  (aritmeetilise  keskmise)  laiendatud  liitmääramatuse 
usaldusnivool   β   arvutame,  arvestades  eespool  antud  laiendatud  liitmääramatuse  ligikaudse  arvutamise võtet, järgmise valemi järgi:    ( ) ( ) [ ] 2 , 2 3        + = ∞ p A c e t x U x U β ,  (8a)  kus  ( ) x U A   leiame  valemist  (3).  Seejuures  tuleb  mõlemad  osamääramatused  leida  samal  usaldusnivool  β .  Ühekordse otsese mõõtmise tulemuse laiendatud liitmääramatuse usaldusnivool   β  hindame aga,  arvestades valemeid (5) ja (7), järgmise valemi järgi:    ( ) ( )2 2 , 3 l e t x U p c ⋅ +       = ∞ β β .  (9a)  3.4.    Määramatuse hindamise valemeid kaudsel mõõtmisel  3.4.1.   Liitmääramatuse hindamine kaudsel mõõtmisel  Kui  kaudse  mõõtmise  korral  on  mõõtetulemus  (otsitav  väljundsuurus) y   mitme  otseselt  mõõdetud 
sõltumatu suuruse e sisendsuuruse  k x x x ..., , , 2 1  funktsioon  ( ) k x x x f y ..., , , 2 1 = ,  siis väljundsuuruse y liit(standard)määramatus  ) ( y u c  on leitav valemiga:  2 2 2 2 2 1 1 ) ( ... ) ( ) ( ) (       ∂ ∂ + +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ = k k c x u x y x u x y x u x y y u ,  (10)  kus  ( ) i x u  on sisendsuuruse x i standardmääramatus ja  i x y ∂ ∂  on  y  osatuletis  x i  järgi e tundlikkustegur.  Sõltuvate (korreleeruvate) sisendsuuruste korral vaatleme kõige lihtsamat juhtu, kui on tegemist  vaid kahe sisendsuurusega:  ( ) 2 1 , x x f y = .  Sel korral leitakse väljundsuuruse  y  määramatus järgmise valemiga:  ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 12 2 2 2 2 1 1 x u x u x y x y k x u x y x u x y y u c ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ =  ,  (11)  kus k12  on sisendsuuruste x1 ja x2 vahelise korrelatsiooni tegur. Kui k12 = ±1, siis on x1 ja x2 vahel 
lineaarne  sõltuvus.  Plussmärk  tähendab,  et  sõltuvus  on  samasuunaline,  miinus,  et  vastassuunaline 
(ühe suuruse kasvades, teine kahaneb).  3.4.2.   Laiendatud liitmääramatuse hindamine kaudsel mõõtmisel  Kaudse  mõõtmise  korral,  nagu  teame,  on  mõõtetulemus  (väljundsuurus  y)  funktsionaalselt  seotud 
otseselt mõõdetud ehk sisendsuurustega  k x x x ..., , , 2 1 :    ( ) k x x x f y ..., , , 2 1 = .   


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  9     Väljundsuuruse  y  laiendatud  liitmääramatus  sõltumatute  sisendsuuruste  korral  leitakse  siin  ligikaudselt valemiga (10) analoogilise valemi abil:  2 2 2 2 2 1 1 ) ( ... ) ( ) ( ) (       ∂ ∂ + +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ = k k c x U x y x U x y x U x y y U ,  (10a)  kus  ( ) ( ) k x U x U ... 1  on sisendsuuruste  k x x ... 1  ühe ja sama tõenäosusega laiendmääramatused ja  i x y ∂ ∂   on y osatuletis  x i   järgi  e  tundlikkustegur.  Niimoodi  hinnatud  laiendatud  liitmääramatuse  tõenäosus  loetakse võrdseks sisendsuuruste laiendmääramatuste tõenäosusega.  Kahe  sõltuva  sisendsuuruse  korral  leitakse  väljundsuuruse  y  laiendatud  liitmääramatuse  arvutusvalem lähtudes valemist (11). Sel juhul:  ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 12 2 2 2 2 1 1 x U x U x y x y k x U x y x U x y y U c ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ =  ,  (11a)  kus  ( ) ( ) 2 1 ja x U x U  on sisendsuuruste  2 1 ja x x  ühe ja sama tõenäosusega laiendmääramatused.  Märkus.  Kaudsete  mõõtmiste  aritmeetilise  keskmise  A-tüüpi  määramatust  hinnatakse  praktikumis samamoodi kui otseste mõõtmiste oma (valemid (1) ja (3)).  3.5.    Lihtsustusvõtted määramatuse arvutamisel  Kui kaudsel mõõtmisel on suurus y avaldatav mistahes astmenäitajal otseselt mõõdetud sõltumatute 
suuruste korrutisena  r k q p x x x y ⋅ ⋅ ⋅ = ... 2 1 ,  siis liitmääramatuse  ) ( y u c  võib leida ilma osatuletisi kasutamata suhtelise liitmääramatuse valemist:    2 2 2 2 2 1 1 ) ( ... ) ( ) ( ) (       + +       +       = k k c x x u r x x u q x x u p y y u .  (12)  Määramatuse  hinnangute  valemites  võib  ära  jätta  need  liidetavad,  millest  igaühe  kohta  jääb  summasse üks temast vähemalt 3,3 korda suurem määramatus (enne ruutu tõstmist).  Loendamisel saadud arvud loetakse veatuteks (nende määramatus võrdub nulliga). Ülemaailmsed  konstandid  (valguse  kiirus,  Plancki  konstant,  elektroni  laeng  jne)  võetakse  nii  kõrge  täpsusega,  et 
nende määramatust pole vaja arvestada.    4.  Mõõtmistulemuste graafiline analüüs  Füüsikalistes  katsetes  mõõdetakse sageli  kahte  suurust  x  ja  y ,  millest  üks  on  teise  funktsioon  ( ) x f y = . Kajastagu nendevahelist sõltuvust joonisel 1 esitatud graafik. Üldjuhul on graafikuks sile,  ilma  murdepunktideta  kõver.  Selle  saamiseks  tuleb  kõigepealt  katsepunktidele  teljesuunaliste 
sirglõikudena märkida usaldusalad. Lihtsal, ligikaudsel juhul on vaja nendest selline sile kõver läbi 
tõmmata, mis oleks katsepunktidele kõige lähemal ja läbiks samas kõiki usaldusalasid.  Joonisel 1 asuva lähenduskõvera mingi punkti A ordinaadi määramatuse leidmiseks fikseeritakse  tema abstsiss (näiteks x A)  ja  mõõdetakse  punkti  A  ümbruses  sümmeetriliselt  asetseva  n  katsepunkti  hälbed lähendusjoonest y-telje sihis  ( ) i i y y ′ − .   


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  10       Joonis 1. Katsepunktide lähendamine sileda kõveraga.  Siin  on  i y   katsepunkti  ordinaat  kohal  i x   ja  i y′   lähendusjoonel  oleva  punkti  ordinaat  sama  i x   kohal.  Fikseeritud  abstsissi  A x   määramatus  loetakse  võrdseks  nulliga,  ordinaadi  A y   A-tüüpi  laiendmääramatus  ) ( A A y U   arvutatakse  aga  valemiga  [eeldades,  et  hälbed  ( ) i i y y ′ −   on  jaotunud  normaaljaotuse järgi]:    ( ) ( ) 2 ) ( 1 2 , 2 − ′ − = ∑ = − n n y y t y U n i i i n A A β .  (13)  Täpsemaks,  aga  samal  ajal  keerukamaks  ja  arvutuslikult  töömahukamaks  meetodiks  lähendusjoone leidmisel on nn vähimruutude meetod. Selle meetodiga leitakse lähendusjoon, millest 
katsepunktide kõrvalekallete ruutude summa oleks minimaalne.  Eeldame mõõdetud suuruste  i x  ja  i y  vahelist lineaarset sõltuvust:    β α + = i i x y .  (14)  Suuruste  α  ja  β  hinnangud − lähendussirge tõus a ja vabaliige b leitakse valemitega:    ( )( ) ( ) ∑ ∑ = = − − − = n i i n i i i x x y y x x a 1 2 1 ,  (15)    x a y b ⋅ − = ,  (16)  kus  x  ja  y on  i x  ja  i y  aritmeetilised keskmised.  Füüsika praktikumi töödes huvitab meid sageli sirge tõus, kuid vahel ka vabaliige, mistõttu tuleb  osata  hinnata  ka  nende  määramatusi.  Tõusu  a  A-tüüpi  laiendmääramatuse  saame  leida  järgmise 
valemi abil (eeldades, et hälbed  ( )] [ b x a y i i + ⋅ −  on jaotunud normaaljaotuse järgi):    ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = − − − − ⋅ − = n i i n i i i n A x x n b x a y t a U 1 2 1 2 , 2 2 ) ( β .  (17)  Vabaliikme b laiendmääramatuse  ) (b U A  hindamiseks kehtib järgmine valem: 


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  11       ( ) ( ) ( ) . 2 ) ( 1 2 1 2 1 2 , 2 ∑ ∑ ∑ = = = − − − − ⋅ − = n i i n i i n i i i n A x x n x b x a y t b U β   (18)  Füüsika  praktikumis  on  katseandmete  sirgega  lähendamiseks  kasutusel  spetsiaalne  programm  “Lineaarne regressioon”, mille juhendi võib leida e-võrgust.  Sellist graafilist analüüsi võib teha ka MS Excelis, kus tuleb täidetud tabeli korral menüüst valida  Tools →Data  Analysis→Regression.  Valiku  tulemusena  avaneb  sisestusaken,  milles  saab  määrata  funktsiooni  y  väärtuste  ploki  (Input  Y-Range),  argumendi  x  väärtuste  ploki  (Input  X-Range), 
usaldusnivoo  (Confidence  Level)  ja  tulemuste  väljastamiskoha  (Output  options).  Regressioonanalüüsi rakendamise tulemusena tekib kolm tabelit, millest viimases on antud vabaliige 
(Intercept) ja sirge tõus (X Variable) koos oma standardmääramatustega (Standard Error). Lisaks 
on  kolmanda  tabeli  eelviimases  ja  viimases  tulbas  antud  vabaliikme  ning  sirge  tõusu  alumised  ja 
ülemised usalduspiirid, mis vastavad antud usaldusnivoole. Usaldusvahemiku laiuse leidmiseks tuleb 
ülemisest usalduspiirist lahutada alumine. Laiendmääramatuseks on siin usaldusvahemiku poollaius.  Graafik tuleb teha eraldi, sest eelneva protseduuriga see automaatselt ei ilmu. 
  5.  Aritmeetilised tehted ligikaudsete arvudega. Lõppresultaadi esitusviis  5.1. Kehtivad numbrid 
Kehtivateks  numbriteks  nimetatakse  kõiki  numbreid 1,  2,  3,  ...,  9  ja  0,  kui  see  asub  numbrite  1...9 
vahel  või  täisarvu  ja  kümnendmurru  lõpus.  Nulle  kümnendmurru  numbritest  vasakul  ei  loeta 
kehtivateks  numbriteks.  Näiteks  arvus  0,07205  on  neli  kehtivat  numbrit,  esimeseks  kehtivaks 
numbriks on siin 7, viimaseks 5; arvus 30,510 on aga kokku viis kehtivat numbrit − kõik numbrid on 
kehtivad. Veel üheks näiteks olgu täisarv 2400, kus on neli kehtivat numbrit. Kui nullid asuvad arvu 
lõpus ja  ei  ole  kehtivad,  st  nad  näitavad  ainult arvu  suurusjärku,  siis  kirjutatakse  arv  kümne  astme 
abil. Näiteks, kui arvus 400 ei näita lõpus olevad nullid täpsust, vaid suurusjärku, siis esitatakse ta 
kujul:  2 10 4 400 ⋅ =  või  3 10 4 , 0 ⋅ .  5.2. Tehted mõõtarvudega 
Kõigi aritmeetiliste tehete resultaadid leitakse ühe võrra suurema kehtivate numbrite arvuga, kui on 
mõõtarvudel kehtivaid numbreid.  Kui kõik mõõtarvud ei ole ühesuguse kehtivate numbrite arvuga, siis suurema kehtivate numbrite  arvuga andmed ümardatakse nii, et numbreid jääks ühe võrra rohkem kui kõige väiksema kehtivate 
numbrite arvuga mõõtarvul.  5.3. Mõõtarvu määramatuse ümardamine 
Mõõtarvu  määramatus  tuleb  anda  üldjuhul  kahe  kehtiva  numbriga.  Otsese  mõõtmise  tulemuse 
määramatuses ei esitata aga neid kümnendkohti, mida mõõtmisel ei määratud.  5.4. Lõpptulemuse esitusviis 
Mõõtarv  ümardatakse  tema  määramatuse  arvulise  hinnangu  viimase  kehtiva  numbrini. 
Lõpptulemusele lisatakse selle usaldatavus.     


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  12     6.  Arvulisi näiteid mõõtemääramatuse hindamise kohta erinevatel juhtudel   
Näide 1.  Üldmõõtmised  Mõõdeti metallplaadi paksust  d  seitsmest eri kohast. Tulemused kanti tabeli 2 teise veergu.  Mõõtevahendiks oli kruvik, mille lubatud piirhälve on 0,004 mm.  Tabel 2  Katse nr.  i d , mm  3 10 ) ( ⋅ − d d i   mm  6 2 10 ) ( ⋅ − d d i   mm 2  1  8,15  -29  841  2  8,20   21  441  3  8,17  -9  81  4  8,16  -19  361  5  8,21    31  961  6  8,16  -19  361  7  8,20    21  441    Aritmeetiline keskmine  n d d n i i ∑ = = 8,179, kus  7 = n   Nüüd leiame plaadipaksuse laiendatud liitmääramatuse valemi (8a) kohaselt   (tabelist 1:  β ν , t = 2,5;  β , ∞ t = 2,0; β = 95%;  ν = n -1):                                           m B A C d U d U d U ) ( ) ( ) ( 2 2 + = = 0,0230 mm,  kus            ( ) ( ) ( ) 1 1 2 , − − = ∑ = n n d d t d U n i i A β ν  = 0,0228 mm   (valem 3)  ja                   ( ) 3 , p m B e t x U β ∞ = = 0,00267 mm ,  (valem 5)  kus  p e  on mõõteriista lubatud piirhälve ning  β ν , t   ja   β , ∞ t  on Studenti tegurid  Lõpptulemus kirjutatakse kujul:  d = 8,179±0,023 mm,  usaldatavusega 95%           


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  13     Näide 2.  Olgu vaja määrata metallvarda tihedus ρ. Sel eesmärgil mõõdeti kruvikuga varda diameeter  d   viiest  eri  kohast  ja  saadi  tulemused:  2,05;  2,08;  2,06;  2,06;  2,07  mm.  Varda  pikkuseks  saadi metalljoonlauaga mõõtes:  = l 34,4 cm. Varda kaalumine andis tulemuseks:  = m 10,24  g. Näites 1 esitatud arvutuste eeskujul leiti, et  d = 2,064±0,015 mm, usaldatavusega 0,95.  Kuna kruviku lubatud piirhälve on 4µm = 0,004 mm, siis laiendatud liitmääramatus  ) (d U C   arvutati valemite (8a), (3) ja (5) kohaselt (tabelist 1:  β ν , t = 2,8;  β , ∞ t = 2,0; β = 95%;  ν = n -1):   0145 , 0 ) 3 004 , 0 0 , 2 ( 0143 , 0 ) ( 2 2 = ⋅ + = d U C  mm      Praktikumi  stendilt  leiti  metallmõõtejoonlaua  lubatud  piirhälve:  ≈30cm  pikkuse  lõigu  mõõtmisel  oli  see  0,10 mm.  Kuna  aga  mõõtmisel  ei  hinnatud  millimeetri  kümnendikke  (ei  olnud  võimalik  nii  täpselt  fikseerida  varda  otste  asendit  joonlaual),  siis  tuli  arvestada  ka  mõõtehälvet, mis on pool joonlaua jaotise väärtust ehk antud näites l = 0,5mm. Valemite (5)  ja (7) ning määramatuste liitmiste eeskirja (9a) abil leiti:  675 , 0 ) 5 , 0 95 , 0 ( 2 ) 3 10 , 0 0 , 2 ( ) ( 2 2 = ⋅ ⋅ + ⋅ = l U C  mm      Lugemi ümardamisest tingitud B-tüüpi määramatus ( l x U l B ⋅ = β ) ( ) võeti siin kahekordselt  arvesse,  sest  määramatus  esineb  ühesugusena  varda  mõlema  otspunkti  asendi  määramisel.  Mõõdetav suurus on määratav nendele asenditele vastavate lugemite vahena, vahe korral aga  määramatuse ruudud liituvad. Seega  = l 34,40±0,07 cm, usaldatavusega 0,95.  (Märkus:  Antud  juhul  ei  ole  mõistlik  määramatus  esitada  kahe  kehtiva  numbriga,  sest  juba  esimene  mõjub  mõõtarvu kümnendkohas, mida mõõtmisel ei ole määratud).  Varda kaalumine teostati digitaalsel kaalul, mille lubatud piirhälve on 0,02g. Siis vastavalt  valemile (5) saadi varda massi määramatuseks:                      g m U C 013 , 0 3 02 , 0 0 , 2 ) ( = ⋅ = ,     usaldatavusega 95%.     (Märkus: Lugemi ümardamisest tingitud B-tüüpi määramatust digitaalsel mõõtevahendil ei arvesta!)  Varda materjali tihedus arvutati valemist ;  3 2 2 2 897 , 8 10 064 , 2 40 , 34 24 , 10 4 4 cm g ld m = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = − π π ρ   (*)  Tiheduse määramatus arvutati valemi (10a) põhjal:  


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  14     2 2 2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( d U d l U l m U m U C C C C ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ρ ρ ρ ρ        Selleks tuli leida osatuletised:   2 4 ld m π ρ = ∂ ∂ ;  2 2 4 d l m l π ρ − = ∂ ∂ ;  3 8 ld m d π ρ − = ∂ ∂       Lihtsama lõppvalemi saamiseks jagati  ) ( ρ C U  algavaldisega (*).  Tulemuseks saadi:  2 2 2 ) ) ( 2 ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( d d U l l U m m U U C C C C ⋅ + + = ρ ρ       Järelikult   3 3 2 2 2 10 73 , 14 26 , 211 14 , 4 61 , 1 10 ) 064 , 2 015 , 0 2 ( ) 4 , 34 07 , 0 ( ) 24 , 10 013 , 0 ( ) ( − − ⋅ = + + = ⋅ + + = ρ ρ C U       ja   3 131 , 0 0147 , 0 897 , 8 ) ( cm g U C = ⋅ = ρ .      Varda tihedus on:  3 13 , 0 90 , 8 cm g ± = ρ , usaldatavusega 0,95   
 
Näide 3. 
 
Olgu vaja arvutada allpool oleva joonisel esitatud funktsiooni  ) (t f v =  graafiku sirge tõus ja  tema  määramatus.    Selleks  tuleb  graafik  poolitada  nii,  et  kummalegi  poole  jääks  ühepalju 
katsepunkte. 
  Seejärel  valime  punkti  1,  mis  asub  eraldusjoonest 
vasakule  poole  jäävate  katsepunktide  keskel  (sümmeetriliselt).  Samamoodi  valime  ka  punkti  2 
paremal  pool  eraldusjoont.  Valitud  punktide  järgi  on 
sirge tõus a leitav:   
 
 
 
 
Nii arvutatud suurus on keha keskmine kiirendus lõigul 
1-2. 
 
 
  Graafiku tõusu a määramatus  ) (a U C  leitakse vastavalt eeskirjale (10a) valemiga:       1 2 1 2 t t v v a − − =    


TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT  15     1 2 2 2 2 1 )) ( ( )) ( ( ) ( t t v U v U a U A A C − + =       eeldades, et nimetaja on konstantne. 
Määramatuse  ) ( 1 v U A leidmiseks  võtta  vasakul  pool  eraldusjoont  asuvad  katsepunktid,  vaadelda  nende  koordinaatide  erinevusi  graafikust  (lähendussirgest).  Tähistame  need 
erinevused  i v ,1 ∆ . Need asendada valemisse (13).  Seega:  ) 2 ( ) ( ) ( 1 2 , 1 , 2 1 − ∆ = ∑ = − n n v t v U n i i n A β ,       Määramatuse  ) ( 2 ν A U   leidmiseks  võtta  eraldusjoonest  paremal  pool  asuvad  punktid  ja  vaadelda  nende  koordinaatide  erinevusi  graafikust.  Tähistame  need  erinevused  i v ,2 ∆ .  Ning  need samuti asendada valemisse (13).