ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST (0)

1 ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST
Juhuslik sündmus - midagi mis mingi katse tulemusel võib toimuda.
Katse - mingi tingimuste kompleksi realiseerumist (mingit toimingut).
Lähtepunktiks katsega seotud sündmustel on elementaarsündmuste ruum Ω, mis koosneb elementaarsündmustest ω (mis on üksteist välistavad sündmused, iga katse korral toimub tingimata üks).
Tingimused elementaarsündmuste ruumile Ω on:
1) vastastikune välistatus: korraga toimub vaid üks elementaarsündmus: ωiωj = Ø (i≠j),
2) täielikkus: alati mingi elementaarsündmus toimub: Σ ωi = Ω.
nt. Kaardi valik 52’sest kaardipakist
Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted:

• Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart)
  
• Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart)
  
• Sündmuste sisalduvus: kui toimub A, toimub ka B (kõik sündmuses A sisalduvad elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A  B  C)
  
• Vastandsündmus A : sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, A : punane kaart)
  

sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast :
1.Normeeritusaksioom: 0  P(A)  1
2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Σ Ai ) = Σ P( Ai ) kui AiAj = Ø (σ-aditiivsus)
3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B)  0)
Tõenäosuse määramisviisid:
Klassikalised: Kombinatoorne; Geomeetriline; statistiline
mitteklassikalised: subjektiivne/ intersubjektiivne ; kuuluvusfunktsiooni väärtus,..
Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus mingist võimalikust väärtuste hulgast.
Juhusliku suuruse põhiliigid:
diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nt variantide nr’id)
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (Xa, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1)
jaotustihedus - jaotusfunktsiooni tuletisena.
Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine /arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud, kvantiilkarakteristikud.
Keskväärtus( asendikarakteristik ) – iseloomustab juhusliku suuruse jaotuse keskkoha asukohta .
Keskväärtuse geomeetriline tõlgendus: jaotus raskuskeskme projektsioon x-teljele
Dispersioon ja standardhälve on arvkarakteristikud juhusliku suuruse hajuvuse iseloomustamiseks keskväärtuse suhtes. dispersioon on standardhälve ruudus ja standardhälve on vastavalt dispersiooni ruutjuur .
Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p.
Kvantiile nim ka protsentiilideks, siis tõenäosus p väljendatakse protsentides. 10% kordseid protsentiile nim detsiilideks, 25%kordseid protsentiile nim kvartiilideks, 50% korral mediaaniks. Mediaan on jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenäosus on võrdelt 0.5. Sümmeetrilise jaotuse korral mediaan võrdub keskväärtusega.
Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum(raskem): negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba.
Ekstsess näitab jaotuse sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega. Normaajaotuse korral ekstsess võrdub nulliga. Kui jaotuse sabad kahanevad kiiremini kui normaaljaotuse korral, on ekstsess negatiivne.Kui aeglasemalt, siis positiivne.
Asümmetria ja ekstsess on dimensioonivabad arvkarakteristikud.
Moodiks nim diskreetse juhusliku suuruse puhul suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust, pideva jaotuse korral jaotustiheduse graafiku maksimumkohta.
Positiivsete juhuslike suuruste korral kasutatakse juhusliku suuruse suhtelise hajuvuse iseloomustamiseks variatsioonitegurit, mis defineeritakse standardhälbe ja keskväärtuse suhtena v= sigma /müüga.
Pidev-diskreetsed juhuslikud suurused tekivad sagedamini piirangute olemasolul juhuslike suuruste moodustumisel(nt. Piiratud säilivusaeg)
Binomiaaljaotus tekib Bernoulli katsete skeemi kasutamisel : tehakse järjest n sõltumatut katset, mille tulemusel võib toimuda sündmus A. Sündmuse A tõenäosus igas katses on p ja vastavalt mittetoimumise tõenäosus q=1-p. Olgu m nende katsete arv, milles toimub sündmus A, siis m on juhuslik suurus ja igas katseseerias erinev. Siis m on jaotunud binomiaaljaotuse järgi.
Poissoni jaotus on vaadeldav kui binomiaaljaotuse piirjuhtum, kui p0 ja nlõpmatus. Jaotus on kasutatav sellistes olukordades , kus juhuslikel ajahetkedel tekivad mingid sõltumatud sündmused suht püsiva piisavalt väikese sagedusega. Kasutatakse teenindussüsteemide, töökindluse jm arvutamisel.
Ühtlane jaotus (pidev) tekib ülalt ja alt piiratud juhusliku suuruse korral, kui selle lubatud muutumisvahemiku sees kõik juhusliku suuruse väärtused on tekke mõttes samaväärsed. Jaotuse parameetriteks on juhusliku suuruse muutumisintervalli alumine piir a ja ülemine piir b.
Eksponentjaotus (pidev) kirjeldab mingi sündmuse toimumisaja jaotust eeldusel , et sündmuse tekkimise jaoks kõik ajahetked on samaväärsed. Kasutatakse töökindlustehnikas, teenindussüsteemides jm. Jaotuse kirjeldamiseks üks parameeter lambda, mis on sündmuste voo intensiivsus/sagedus.
Normaaljaotus on esmajoones seotud keskse piirteoreemiga tõenäosusteoorias. Suvalise ühesuguse jaotusega sõltumatute juhuslike suuruste summa või keskväärtuse jaotus läheneb liidetavate arvu kasvades normaaljaotusele. Seega saab juhuslike suuruste liitumisel tekkivate juhuslike suuruste jaotust vähemalt ligikaudu kirjeldada normaaljaotusega. Ei ole vaja suur liidetavate arvu, lubatav on liidetavate mõningane vastastikune sõltuvus, normaaljaotusega liidetavate summa jaotus on täpselt normaaljaotus , katseandmete analüüsi kogemus paljudes valdkondades on näidanud, et suur enamus katseandmeid on hästi kirjeldatavad normaaljaotusega. Normaaljaotusel on kaks parameetrit, mis on vastava juhusliku suuruse keskväärtus ja standardhälve. Normaaljaotus on sümmeetriline.
Normeeritud normaaljaotus on normaaljaotuse erijuhtum, kui keskväärtus ja standardhälve on vastavalt 0 ja 1. Tähistatakse X~N(0,1).
K sigma reegel: näitab, kui suur on juhusliku suuruse normaaljaotuse korral tõenäosus sattude piirkonda keskväärtus pluss-miinus k standardhälve.
Lognormaalne jaotus tekib, kui vaadeldava juhusliku suuruse logaritm on jaotunud normaaljaotuse kohaselt: kui juhuslik suurus Y on jaotunud normaaljaotuse järgi, siis juhuslik suurus X=expY on jaotunud lognormaalse jaotusseaduse järgi. Jaotust tähistatakse L(müü,sigma,epsilon). Sõltumatute juhuslike suuruste korrutamine tekitab lognormaalsele jaotusele lähedase jaotuse. Jaotuse kirjeldamiseks kasutatakse kolme parameetriga mudelit, mudelit: parameetrid μ,σ,ε, kus μ ja σ on seotud juhuslik suurus logaritmi jaotuse keske ja standardhälbega ning ε on nihkeparameeter, mis määrab juhusliku suuruse minimaalväärtuse.
Juhuslikuks vektoriks nim vektorit , mille komponentideks on juhuslik suurus.
Liigid:pidev ja diskreetne.
Olulised aspektid: vektori komponentide arv, vektori komponentide vastastikune sõltuvus/sõltumatus, jaotusseadus.
Diskreetse kahekomponendilise vektori jaotus antakse kahemõõtmelise jaotustabelina või valemina, mis iga väärtuspaari jaoks fikseerib selle tõenäosuse pij=P(X=xi,Y=yj). Seejuures X võimalike väärtuste diskreetne hulk ja Y võimaike väärtuste diskreetne hulk võivad sisaldada lõpliku või loenduva hulga väärtusi ning tõenäosuste kogumi jaoks peavad kehtima omadused pij>=0 ja summa(pij)=1(normeeritus).
Pidev kahekomponendiline vektor - Kahe juhusliku suuruse paarina (X,Y) esitatud kahekomponendilise pideva vektori jaotusseadus on kahe muutuja x ja y funktsioon, mida saab esitada jaotusfunktsioonina või jaotustihedusena. Jaotusseaduse omadused: monotoonssus, normeeritus, ristküliku tõenäosus.
Kaht juhuslikku suurust nim sõltumatuteks, kui nende kahemõõtmeline jaotusseadus avaldub ühemõõtmeliste marginaalsete jaotustiheduste korrutisena. Kui juhuslikud suurused pole sõltumatud, on nad sõltuvad.
Juhuslike suuruste vastastikune sõltuvus:

• kaks juhuslikku suurust on determineeritud/funktsionaalses seoses
  
• kaks juhuslikku suurust on tõenäosuslikus seoses: ühe järgi saab oletada teise kohta
  
• kaks juhuslikku suurust on tõenäosuslikult sõltumatud.
  

Regressioon näitab mingi juhusliku suuruse keskväärtuse sõltuvust mingist teisest suurusest.
Kovariatsioon - 1+1 järku keskmoment μ11 ja mida tähistatakse sageli Covxy. Kovariatsioon iseloomustab juhuslike suuruste X jaY omavahelist sõltuvust.
Korrelatsioon on kovariatsiooni normeeritud variant, tähistatakse pxy. Korrelatsioon iseloomustab X ja Y sõltuvust esmajoones nende lineaarse seose tugevuse mõttes. Selle moodul ei ületa väärust 1. Mida lähemal on korrelatsiooni väärtus ühele, seda lähemal on X ja Y sõltuvus lineaarsele seosele. Sõltumatusest tuleneb korreleerimatus ent vastupidine ei kehti. Korrelatsiooni ruutu nim determinatsiooniteguriks.
Juhusliku suuruse teisendusi

• Kui X on diskreetne juhuslik suurus, siis iga X võimalik väärtus xi teisendub väärtuseks yi=g(x) ning jaotus säilub Y jaoks samasena kui X jaoks.
  
• Kui X on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsiooon g(x) on monotoonne , siis avaldub y jaotustihedus nii: fy(y)=fx[Ψ(y)]*[Ψ’(y)]
  
• Kui x on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsioon g(x) pole monotoonne, tuleb g(x) jagada X muutumispiirkonna osas monotoonsuspiirkondadeks.
  
• Lineaarteisendus on ülalkirjeldatud juhusliku suuruse teisendamise olulisim erijuht , kus teisendusfunktsioon saab kuju g(x)=a+bx
  

2. RAKENDUSSTATISTIKA ALUSED
Mediaani hinnang: kasvavalt järjestatud valimi keskelement, kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma.
Haare : valimi suurima ja vähima elemendi vahe.
Variatsioonirida - kasvavasse järjekorda reastatud valim
Järkstatistik: variantsioonirea liige järjekorranumbriga i.
Epiiriline jaotusfunktsioon avaldub variatsioonirea põhjal kujul: FN(x)=0, kui x