11. Grupis on 30 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad? P= 2/30 12. Diskreetne ja pidev juhuslik suurus, nende jaotusfunktsioonid. Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Tõenäosusjaotus. Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Tihedusfunktsioon. 13. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused. 14
Jaotusfunktsioon 0,40 0,20 0,00 6 17,4 20,2 23 25,8 5 10 15 20 25 30 Diameeter cm loomustab tihedusfunktsiooni sümeetrilisust. Kui A on 0, siis tihedusfunktsioon täiesti sümeetriline loomustab tihedusfunktsiooni tippujärskust, kui on E positiivne, siis tihedusfunktsioon on terava tipuga, kui on E negatiivne s Diame e trijaotuse võrdle mine normaaljaotuse ga 40,000 30,000 20,000
< x) Pidev juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks Poissoni jaotus-Diskreetse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosus ajaühikus on Poissoni jaotuse järgi. Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Ühtlane jaotus-Pidev juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui selle juhusliku suuruse võimalikud väärtused on
teine komponent töötab. diskreetsel juhul on selle juhusliku suuruse Siin aitab jällegi puudiagramm, mis Pidevat juhuslikku suurust esindab kõigi võimalike väärtuste ja neile vastavate näitab kõiki võimalusi jaotusfunktisoon ja tihedusfunktsioon. tõenäosuste korrutise summa. Pideval Diskreetset juhuslikku suurust esindab juhul võib tõenäosusjaotust kujutleda P(vähemalt üks töötab) = 1 P(mõlemad jaotusfinktisoon ja tõenäosusfunktisoon. "ühikulise tõenäosusmassina", mis arvteljel ei tööta) = 1 0,1 * 0,2 = 0,98 1
nimetatakse usaldusnivooks ja tähistatakse sümboliga . Parameetri a sümmeetriliseks usalduspiirkonnaks vastavalt usaldusnivoole nimetatakse juhuslikku vahemikku (ã , ã + ), mis katab hinnatava parameetri a tõenäosusega : P(|ã a| < ) = Arv > 0 iseloomustab hinnangu täpsust. Usalduspiirkonna leidmine p(a) S= 0 ã- ã+ a p(a) juhusliku suuruse a tihedusfunktsioon. Usalduspiirkonna (ã , ã + ) leidmiseks tuleb: 1. Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; 2. Ette anda usaldusnivoo (näiteks 95%; 99%); 3. Leida seosest P(|ã a| < ) = suurus , mis määrabki usalduspiirkonna. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, ). Leiame keskväärtuse punkthinnangu
Standardhälve 5,59 5,28 Variatsioonikordaja 559,2 31,97 Asümmeetriakordaja 0,26 -0,4625 Ekstsess -1,12 -0,825 9 9. Jaotuse kuju kirjeldus. Diameetri jaotusel on pikksaba paremale (A>0) Rühmitamata andmete korral on diameetri tihedusfunktsioon lameda tipuga (E<0) Rühmitatud andmete korral on diameetri tihedusfunktsioon lameda tipuga (E<0) Erindeid (tugevasti erinevaid väärtusi) ei ole. 10 10.Valemid. N 1 X Ruut = N X i =1 I 2 - Ruutkeskmine N X harm = N (1 / x ) - Harmooniline keskmine i =1
seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? Normaaljaotuse omadusi: Normaaljaotus on sümmeetriline oma keskväärtuse suhtes. Normaaljaotuse korral ühtivad keskväärtus, mood ja mediaan.
11. Pidev juhuslik suurus, - Pideva juhusliku suuruse (PJS) väärtuste hulk on pidev, st. Kui a
ja b on võimalikud, on võimalik ka iga c, mis kuulub vahemikku a-st b-ni: c(a,b). Pideva
juhusliku suurusega saab esitada näiteks: Inimese pikkus, Välistemperatuur, Asjade kaal
Pideva juhusliku suuruse korral on iga üksiku väärtuse tõenäosus null. Seega leiame hoopis
tõenäosuse, et juhuslik suurus asub teatud vahemikus:
P(173,5
· P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p. Nt 0,3 kvantiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtuseid on variatsioonreas 30%. Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust xq, millest võrdsete või suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on q. 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon on jaotusfunktsiooni tuletis: F'(x) = f(x). 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? 1) normaaljaotus on sümmeetriline keskväärtuse µ suhtes: tema keskväärtus, mood ja mediaan võrduvad parameetriga µ 2) normaaljaotuse tihedusfunktsioonil on kaks käänupunkti, mis asuvad mõlemal pool keskväärtust kaugusel
tulpade tippud siledaks kõveraks f ( x) lim x 0 ,n n xi . Saadud kõverat f (x) nimetatakse tõenäosuse tihedusfunktsiooniks (joonis 5 sinine joon). Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317 Tõenäosuse tihedusfunktsioon Kmin Kmax 2.33 1.17 0 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 Mõõdised
2. F(x) = f ( x ) dx . 3. f ( x ) dx = 1,( vaata eelmise punkti omadust 4). x2 4. Kui x1 < x2, siis P(x1 ≤ X ≤ x2 ) = f ( x)dx x1 . Järeldus: iga konstandi X = a korral on tõenäosus 0. Näide: Leida ühtlase jaotusega juhusliku suuruse tihedusfunktsioon. f(x) = c, seega vahemikus [a,b] on tihedus b 1 cdx = 1, millest cb – ca = 1 ja c = a ba . Seega tihedusfunktsioon avaldub kujul: 0, kuix a 1 f(x) = , kui a≤x≤b. ba 0, kuix a
tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...., n tõenäosusega P(n, m) valemiga P{Xn =m}= n
Selle tõestuseks
jagame vaadeldavad arvuvahemikud sündmustega: A, et X≤a; B, et a
57 15 11.77 10.84 10 7.73 6.59 5 3.67 1.84 0 0-14 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 90-104 ni´ Tihedusfunktsioon 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.010 0 0 0 0
6.2 Hüpoteetilise normaaljaotuse histogramm kooskõlas punktiga 5 6.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 6.4 Parameetritega a=0 ja b=100 hüpoteetilise ristkülikjaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 6.5 Kahe ristkülikjaotuse parameetritega a = 0 ja b = 100 summeeritud tihedusfunktsiooni f(x) graafik Hüpoteetiline jaotusfunktsioon Empiiriline jaotusfunktsioon Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon 14 0.018 0.016 12 0.014 10
sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud mõlema osasündmuse ühise esinemise tõenäosus. Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus on võrde nende sündmuste tõenäosuste summaga. Kahe sõltuva sündmuse A ja B korrutise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega. 10) Juhuslik suurus – muutuv suurus, mille konkreetne väärtus sõltub juhusest. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – jaotusfunktsiooni esimene tuletis. Näitab, millised x väärtused on tõenäosemad, millised mitte. Juhusliku suuruse dispersioon – keskväärtuste suhtes leitud hälvete ruutude keskväärtus. 11) Keskväärtuse omadused: – Konstandi keskväärtus võrdub konstandi väärtusega. – Kahe mistahes juhusliku suuruse summa keskväärtus võrdub liidetavate keskväärtuste summaga. – Kahe sõltumatu juhusliku suuruse korrutise keskväärtus võrdub tegurite keskväärtuste korrutisega
Skitseeri normaaljaotusega juhusliku suuruse X ~ N(22; 3) jaotusfunktsioon 10. Leia oma skitseeritud jooniselt, kui suur on tõenäosus, et juh. suuruse väärtus on väiksem kui 19? 11. Kui suur on selle juhusliku suuruse ekstsess, asümmeetriakordaja? 12. Kui suur on selle juhusliku suuruse variatsioonikordaja, dispersioon? 13. Kui suure tõenäosusega jäävad selle juhusliku suuruse väärtused vahemikku 19 kuni 25? 14. Skitseeri normaaljaotusega juhusliku suuruse X ~ N(14; 1,5) tihedusfunktsioon 15. Missugused karakteristikud iseloomustavad juhusliku suuruse tsentrit? Missugused karakteristikud iseloomustavad juhusliku suuruse hajuvust? Missugused karakteristikud iseloomustavad juhusliku suuruse tihedusfunktsiooni kuju? 16. Missuguses väärtuste vahemikus võib muutuda juhusliku suuruse jaotusfunktsioon? Vastused: 1) 239,45 14,44 2) 8; 21; 40; 50; 38; 19; 7 3) 3,756; 4; 0,440 4) Sobivad 5) 92,1% 6) 37,9; 39,5; 31,8; 35,2; 14,5
Binoomjaotus; X ~ B(n; p) n- katsed, p-tõenäosus Tunnikontrollis: Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega X~B(n; p), siis tema tõenäosusfunktsioon avaldub kujul P(X=x)= Cxn px (1-p)n-x astmes x (X=x)= Poissoni jaotus: P e- x! a ma seda kasutada küll ei oska xd - keskmine õnnetuste arv muidu 3. Jaotus- ja tihedusfunktsioon Siin olid Märdil ainult erinevad funktsioonid ja 0 teksti. Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Jaotustabel x 0 1 3 P(X=x) 0,8 0,1 0,1 Leia E(X2): 02x0,8+12x0,1+32x0,1= 1 1
82 1,185 0,2012 2,3 0,109 5 2,7 7,29 3,17 97 1,682 0,1006 1,2 0,057 4 2,8 7,84 6,53 21,3 50 81,58 6. Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon. ( xi X ) 2 1 Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x) e 2 2 2 3 7. Fteor(x) graafik: a=0, b=100, F(x)=1/(b-a)=0,01. 4
Geomeetriline jaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga P( X = k ) = q k -1 p Toimuvad sõltumatud katsed, juhuslikuks suuruseks on katsete arv kuni esimese sündmuse A toimumiseni, igal katsel P(A)=p, P()=1-p=q. Keskväärtus EX=1/p, dispersioon DX=q/p2 10 Pidevad juhuslikud suurused Juhuslikku suurust nimetame pidevaks, kui tema väärtuste hulk pole loenduv (on pidev). Def: Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon (vastab diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioonile/jaotusseadusele) on jaotusfunktsiooni tuletis f(x)=F'(x). Keskväärtus ja dispersioon arvutatakse üldjuhul 2 EX = x f ( x )dx, DX = ( x - EX ) f ( x)dx - - Normaaljaotus: Kõige tähtsam pidev jaotus.
Standarthälve iseloomustab rea elementide paiknevust keskväärtuse suhtes. Kui on tegemist normaaljaotusega siis jaotuse proportsioonidest teame seda, et keskväärtus, mood ja mediaan on võrdsed (vt Joonis 2). Arvuliselt kõige enam esinenud tulemus on ka loendamise tulemusena keskel ning on sama, mis määrab ära graafiku raskuskeskme. Joonis 4. Normaaljaotuse keskväärtus, mood ja meridiaan on võrdsed. Mitte kõik sarnase kujuga jaotused pole normaaljaotused. Normaaljaotuse tihedusfunktsioon on konkreetne matemaatiline funktsioon. Kvalitatiivselt sarnase kujuga võivad olla ka paljude teiste funktsioonide graafikud. Mõnikord saab mittenormaalset tunnust teisendada nii, et tema jaotus muutub ligikaudu normaalseks. Normaaljaotuse kuju sõltub standardhälbest Graafiku kuju sõltub jaotusparameetrite väärtustest. Keskväärtus määrab jaotuse raskuskeskme asukoha ja standardhälve tiheduskõvera kuju. Mida suurem on standardhälve, seda väiksema järskusastmega on tiheduskõver
B intervallhälve tõenäosustasemel P=0.95 Normaaljaotusele vastav mõõtetulemus t 2,01 Bmin 18,098652 n- on mõõtetulemuste koguarv, Bmax 18,102748 h - on intervalli samm f(zi) - on normaaljaotuse tihedusfunktsio 5. Histogramm ja tihedusfunktsioon f(zi) = NORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus Intervall 10 n 50 samm 0,0139 Intervall tabel Teor. Intervalli Intervalli Intervalli Kogus kogus kesk- jkn algus lõpp intervallis Tigedus fun. intervallis väärtus
EMP 2 = = 81,57 n 'i = 0,05 k = 7 -3 = 4 KR 2 (, k ) = KR 2 (0,05;4) = 9,49 EMP 2 > KR 2 Ho kehtib, kui EMP 2 < KR 2 antud juhul ei ole tegu normaaljaotusega. 3 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon ( xi - X ) 2 1 - Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x ) = e 2 2 2 7. Graafik 2: Tabel 4 graafiku 2 jaoks: intervall Ni x F(x)emp F(x)teor 0,006 0 11 0,22 0,22 0,14 0,009 15 8 0,16 0,38 0,29
Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus. PXn =m= Cmn pmqn-m , kus P( F) = 1- p = q ja m = 0, 1, ...., n Sündmuste järgnevus ei= A F A F A, tagasipanekuga skeem 8. Hüpergeomeetriline jaotus PN,M n, m = CmM Cn-mN-M / CnN. Tagasipanekuta skeem 9. Poisson jaotus Pt(X=x) = (axe-a) / x! = fP(x,a) 10. Ühtlane (ristkülik) jaotus f(x) = 1/(b-a)}, kui a x b 11
84 98 31,64 45,64 1,15 1,66 -72,52 25,48 -2,637 0,927 5 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon ( xi - X ) 2 1 - Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x ) = e 2 2 2 7. Graafik 2: Tabel 4 graafiku 2 jaoks: Intervall ni x F(x)emp F(x)teor 0-14 4 0,08 0,08 0,06 14-28 9 0,18 0,26 0,17 28-42 7 0,14 0,4 0,35
Põrgete sagedus on seda suurem, mida rohkem reaktsiooni--järgu määramine on tülikam. (lk.32)-20. aeroobselt või -anaeroobselt. C (t ) -Elusrakud+substraat+O2uued elusrakud+- E (t ) = tihedusfunktsioon -võrrandi - C ( t ) dt järgi +produkt+CO2+H2O-Elusrakkude kasvul bioreaktoris võib -eristada neli faasi:-1 faas - rakud kohanevad 0 keskkonnaga-2 faas rakkude paljunemise kiirus on C 3(t ) -võrdeline rakkude kontsenratsiooniga-3 faas ühe või E (t ) =
x max y 6 3,3 48,8 3,3 Osa D. Juhuslike suuruste modelleerimine 11. Modelleerida Monte-Carlo meetodiga 5 juhuslikku arvu võttes mudeliks p.6.3 leitud normaaljaotuse tihedusfunkstsioon f(x). Asetada modelleeritud arvud tihedusfunktsiooni graafikule F ( x) ri ri arv juhuslike arvude tabelist b F ( x ) f ( x)dx ri a 6.3 leitud tihedusfunktsioon f(x) p.6.3 leitud normaaljaotus Arv 1 r i 4,97 xCN ri 6 5,78 6 1,03 X i S c xCN X 27,7 (0,22) 52,12 23,61 Tabel 8 arv1 arv 2 arv 3 arv 4 arv 5 1 0,66 0,34 0,22 0,2 0,11 2 0,96 0,97 0,10 0,67 0,16 3 0,67 0,27 0,96 0,33 0,21
84 90 36,22 4 1,24510 1,45135 0,3925 0,4265 0,03 2 1 8 , 2 2 6.Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon. 7.Graafik 2: Konstrueerida samas teljestikus graafikud empiirilisse jaotusfunktsiooni F(x) graafik, Parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikjaotuse F(x) graafik ja hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5. 8.Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi ja/või -testi abil hüpoteesi, et põhikogumi 2 jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikjaotus, võttes
Põhimõisted, Stella funktsioonid- Kui ei saa mingit protsessi täpselt määrata siis jääb sisse teatav juhuslikkus- mingi juhuslik element võib määrata süsteemi käitumise suuna. Mõisted: Juhuslik suurus- suurus, mis katse tulemusel omandab ühe oma võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev) Diskreetne juhuslik suurus- kui juhusliku suuruse väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Ühtlane jaotus (UNIF(min,max))- pideva juhusliku suuruse jaotus, mille tihedusfunktsioon on konstantne. Praktikas esineb harva, näiteks bussi ooteaeg, ooteaeg valgusfoori taga. Normaaljaotus (NORMAL)- pideva juhusliku suuruse jaotus, mida kirjeldab kaks parameetrit: keskväärtus ja standardhälve. Kolmnurkjaotus (TRIA(min, mood, max)- PJS jaotus, mille korral tihedusfunktsiooni graafik on kolmnurkse kujuga. Jaotust kirjeldavaid parameetreid on kolm- murdjoone nurkpunktide väärtused. RANDOM(0,1)- juhuslik arv 0 ja 1 vahel. NÄIDE: 13
0,71256 1,15560 70 84 22,517 36,517 3 1 0,2611 0,3749 0,1138 6,828 1,15560 1,34547 84 90 36,517 42,517 1 5 0,3749 0,4099 0,035 2,1 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon. 7. Graafik 2: Konstrueerida samas teljestikus graafikud empiirilisse jaotusfunktsiooni F(x) graafik, Parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikjaotuse F(x) graafik ja hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5. 8.Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi ja/või -testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks 2 on fikseeritud parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikjaotus, võttes olulisuse nivooks
n 'i n k ni = ( ui ) Sc = 0,05 k = 7 -3 = 4 KR 2 (, k ) = KR 2 (0,05;4) = 9,49 EMP 2 > KR 2 Ho kehtib, kui EMP 2 < KR 2 , antud juhul ei ole tegu normaaljaotusega. Kehtib hüpotees H1. 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon. 6 ( xi - X ) 2 1 - Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x ) = e 2 2 2 Z1(1 2,55) 7 7
hulka[0,1]. Kui katsel on N võrdvõimalikku tulemust, siis sündmuse A klassikaline tõenäosus on P(A)=K/N, kus K on nende tulemuste arv, mille korral sündmus A toimus. Statistiline tõenäosus iseloomustab sündmuse A suhtelist sagedust ja võrdub suhtega h(A)/N, kus h(A) on sündmuse A toimumise arv N katsest. 20. Juhusliku suuruse jaotusseadus, Selle esitusviisid; tõenäosusfunktsioon, jaotusfunktsioon(integraalne jaotusseadus) tihedusfunktsioon(diferentsiaalne jaotusseadus) PILT! Juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikult vaatekohalt. Jaotusseadus võimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga sündmuse tõenäosust. Jaotusseaduse põhikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral. Jaotusseadus-eeskiri, mis seab igale juhuslikule suuruse väärtusele vastavusse tema
F(x)emp ni' ni(tihedus) 0.116667 0.818775 0.0037174676 0.216667 2.307237 0.0082621812 0.35 4.576167 0.0131205816 0.55 6.388425 0.0152796014 0.733333 6.277228 0.0141463608 0.85 4.341344 0.0102827883 1 2.113307 0.0045826678 ne jaotusfunktsioon Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon Ristkülikjaotus Teoreetiline algus a* = 6.881288 9.402555 Teoreetiline lõpp b* = 96.21871 9.402555 Teoreetiline tihedusfn f(x) = 0.011194 Intervalli sagedus nPi = 9.402555 on Hüpoteetilise ristkü oteetilise ristkülikjaotuse tihedus fn Hüpoteetilise ristkülikjaotuse tihedusfn Empiiriline jaotus
( ) = . A – vahemikus (t;t+τ) toimub vähemalt 1 sündmus. Ā – vahemikus (t;t+τ) toimub 0 sündmust. 1 = P(A) + P(Ā) = P(T≤τ) + P(T>τ) = P(T≤τ) + P(X=0) = P(T≤τ) + e-ντ => F(τ) = P(T≤τ) = 1 – e-ντ. f(τ) = F’(τ) = νe-ντ, kui τ 0; 0, kui τ<0. Saadud eksponentjaotus näitabki sündmuste vahelist aega lihtsa sündmuste voo korral. 21. Normaaljaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni leidmine. Tihedusfunktsioon on ette antud Keskväärtus: ( ) = ( )= ∫ = [ = + ]= ∫ ( + ) = ∫ + √ √ √ = ∫ = √
väiksemad kui x. OMADUSED: kuna jaotusf. on oma olemuselt tõenäosus, siis on tal kõik tõenäosuse omadused, st jaotusfunkts.väärtused saavad olla vahemikus 0≥F(x)≤1. ; Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon; F(-∞)=0; F(+∞)=1. Jaotusfunktsiooni graafik sõredate suuruste korral on trepiastmete kujuline. Pidevate juhuslike suuruste korral on sujuvalt ülesminev, mitte astmik. 22. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – nimetatakse jaotusfunktsiooni esimest tuletist, st P(x)=F’(x). OMADUSED: Tihedusfunkts.on ainult pidevatel juhuslikel suurustel!; mittenegatiivne funktsioon p(x)≥0, st tihedusf. on kas võrdne nulliga v omab positiivseid väärtuseid. ; P(-∞)=0, st tihedusf.kohal -∞ on võrdne nulliga. JA p(+∞)=0. Määratud integraal tihedusf. lõpmatutes rajades on võrdne ühega. Tihedusf. graafik ei saa asuda allpool x-telge ning kogu kõvera ja x-telje
JS (tõenäosuste) jaotus ehk jaotusseadus on eeskiri, mis määrab vastavuse JS iga väärtuste hulga ja sellest hulgast
mingi väärtuse omandamise tõenäosuse vahel.
n
Diskreetse JS X jaotus on vastavus iga xi ja tema esinemise tõenäosuse pi vahel. Seejuures pi =1
i=1
42. Juhusliku suuruse jaotus- ja tihedusfunktsioon.
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(x) nimetatakse funktsiooni, mis määrab tõenäosuse, et JS on väiksem
argumendi teatud väärtusest x,
F(x)=P(X
A – vahemikus (t;t+τ) toimub vähemalt 1 sündmus. Ā k! – vahemikus (t;t+τ) toimub 0 sündmust. 1 = P(A) + P(Ā) = P(T≤τ) + P(T>τ) = P(T≤τ) + P(X=0) = P(T≤τ) + e-ντ => F(τ) = P(T≤τ) = 1 – e-ντ. f(τ) = F’(τ) = νe-ντ, kui τ≥0; 0, kui τ<0. Saadud eksponentjaotus näitabki sündmuste vahelist aega lihtsa sündmuste voo korral. 20. Normaaljaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni leidmine. Tihedusfunktsioon on ette antud Keskväärtus: [ ] x−μ u= 2 ∞ − ( x−μ ) ∞ −u 2
suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõikide võimalike väärtuste x1, x2, ... ja nende tõenäosuste p1, p2, ... vahel. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x) määrab tõenäosuse selleks, et juhuslik suurus on väiksem tõkkest x, s.t. F(x) = P(X < x). Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Tõenäosuste tihedusfunktsioon f(x) on esimene differentsiaal jaotusfunktsioonist. Geomeetriliselt tähendab, et F(x) võrdub arvuliselt pindalaga S(x) joone f(x) ja ordinaadi x (x-telje) vahel. Juhuslikus suuruse sattumise tõenäosus antud intervalli (x´, x´´) määratakse seosest: Sageduste histogrammiks nimetatakse astmelist kuju ristkülikutest, millede aluseks on osaintervallide pikkus h ja kõrgus on võrdne suhtega ni/h (sageduste tihedus). Osaristküliku i pindala on võrdne h(ni/h) = ni sageduste
41) −1 V2 Seostest (2.40) ja (2.41) saab leida ka ideaalse gaasi töö polütroopses protsessis võttes =n . 2.6. Gaasimolekulide jaotus kiiruste järgi. Gaasimolekulid liiguvad väga erinevate kiirustega. Põrkudes omavahel ning anuma seintega, muutuvad nii kiiruse väärtus kui ka liikumise suund pidevalt. Igas sekundis toimub ühe molekuliga umbes 109 põrget. Seda, kui palju gaasi molekule liigub mingis kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ näitab tihedusfunktsioon ehk tõenäosusfunktsioon Nv v = , (2.42) v kus N v on kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ liikuvate molekulide arv. Tihedusfunktsiooni väärtus sõltub peale kiirustevahemiku ka molekulide koguarvust N. Molekulide koguarvust sõltumatut suurust nimetatakse jaotusfunktsiooniks: 1 1 Nv
Siinjuures hulk tähistab sündmuste ruumi. Definitsioon 12.9 Kui X on pidev juhuslik suurus, siis tõenäosus, et X asub arvude a ja b vahel, defineeritakse integraaliga b P (a X b) = f (x) dx, (12.5) a kus funktsioon f on pideva juhusliku suuruse X tihedusfunktsioon või ka lihtsalt tihedus. 107 PEATÜKK 12. PÄRATUD INTEGRAALID JA NENDE RAKENDUSED Kuna kogu teooria peab sobima tõenäosuste arvutamisega, siis peab tihedusfunktsioon y = f (x) rahuldama tingimusi 1. f (x) 0 iga x R korral; 2. P (- < X < ) = f (x) dx = 1. - Definitsioon 12.10
x. - Pidevad jaotused Pidevate juhuslike suuruste väärtused hõlmavad kogu reaalarvude hulga või mingi lõpliku pikkusega lõigu reaalarvude teljel...palju erinevaid väärtusi. Pidevate juhuslike suuruste sagedusjaotusi kirjeldatakse pidevate funktsioonidega. Kaks tüüpi funktsiooni: o Jaotusfunktsioon F(x), näitab kui suur on tõenäosus P selleks, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem argumentväärtusest x: F(x) = P (X < x). o Tihedusfunktsioon... f(x) määratud kui jaotusfunktsiooni tuletis f(x)=(d/dx)*F(x) Hüdroloogias kõige sagedamini esinev jaotus on normaaljaotus. See eeldab, et protsessil on mingi “normaalne” keskmine tase, mille ümber varieerub suurem osa väärtustest. Standardiseeritud normaaljaotus: Tähistus N (0,1); Parameetriteks μ (xkesk)= 0 (keskväärtus) ja σ (S)= 1 (standardhälve). Standardiseerimine - erinevatel skaaladel mõõdetud suuruseid saab võrrelda omavahel.
annaabi.ee 
