a) Püstitage hüpoteesid? Nullhüpotees: mõõtmisel saadud joonepikkus võrdub etaloni pikkusega. Alternatiivne hüpotees: mõõtmistel saadud joonepikkus ja etaloni pikkus erinevad. Hüpoteeside kontrollimiseks selle ülesande puhul kasutame t-teststatistikut. See kontrollib valimi keskmisel põhinevat hüpoteesi kasutades selleks algandmetena valimi keskmist, standardhälvet, mõõtmiste arvu, usaldusnivood ja üldkogumi keskmist (hetkel kalibraatori pikkus). Usaldusnivoo tuleb võtta 0.025, sest tegemist "kahe sabaga". Programmi sisestatud suurused ja neile vastavad tulemused on näidatud järgneval joonisel (Joonis 1). Tulemused tulid samad, mis praktikumitunnis arvutatud. Ka programm lükkas nullhüpoteesi tagasi ehk mõõdetud joonepikkus ei võrdu etaloni pikkusega. 1 Joonis 1. t-statistiku kasutamine hüpoteeside kontrollimisel.
9. 17,00 -0,07 0,0049 10. 17,20 0,13 0,0169 Arvutan mõõtetulemuste keskmise n 1 đ= n ∑ di = 17,070 mm i=1 Arvutan juhusliku vea ehk A-tüüpi mõõtemääramatuse. Selleks on vaja teada Studenti tegurit, mille leian juhendaja antud tabelist. Kuna β (usaldusnivoo - tõenäosus, et tulemus on õige) on 95% ehk 0,95 ja vabadusastmete arv (n-1) on 9, siis saan Studenti teguriks 2,3. Ümardan vastuse kolme kehtiva numbrini. Varunumber on vajalik täpsuse kao vältimiseks edaspidisel ümardamisel. d i−d k ¿ ¿ ¿2 UA(đ) = tn-1,β n ∑¿ ¿ = 2,3 √ 0,116
· Kõvera ja horisontaaltelje vahele jääva pinnaosa pindala näitab, kui tõenäone on juhusliku suuruse sattumine vaadeldavale lõigule. · Normaaljaotuse keskväärtusest ka kui tahes kauged väärtused on võimalikud, kuid vähetõenäosed. 8) Usalduspiirid, millal kasutada ja mis nende laiust mõjutab. · Eksimist tulemuste üldistamisel valimilt üldkogumile me täielikult vältida ei saa. Seepärast kehtestatakse lubatava eksimise piir ehk usaldusnivoo. · Näiteks usaldusnivoo 95% tähendab, et lubame endale järeldustes eksimist maksimaalselt 5%. Sel juhul on 5%. · Normaaljaotusega tunnuse puhul on teada, milliste punktide vahel on 95% tunnuse väärtustest (umbes keskmine +/- 2 standardhälvet). Usaldusvahemik on seda laiem, mida: · Suurem on tunnuse hajuvus · Väiksem on valimi maht · Suurem on usaldusnivoo Usaldusvahemik on seda kitsam, mida: · Väiksem on tunnuse hajuvus
.................................................................................... 14 3.2. Dispersioon ja standardhälve............................................................................................. 16 3.3. Ekse ................................................................................................................................... 17 3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja Atüüpi määramatus ......................................... 18 3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel....................................................................... 19 4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine ................................................ 20 4.1. Normaaljaotus.................................................................................................................... 20 4.2. Ühtlane jaotus ................................................................................................................
Seda eksimisvahemikku nimetatakse usaldusvahemikuks. Vahemiku ülemist ja alumist piiri nimetatakse usalduspiirideks. · Punkthinnangu puhul ei kasutata tavaliselt täiendavaid eeldusi uuritava tunnuse jaotuse kohta, vahemikhinnangu korral aga küll. · Tihti on eelduseks, et tunnus oleks normaaljaotusega. · Eksimist tulemuste üldistamisel valimilt üldkogumile me täielikult vältida ei saa. Seepärast kehtestatakse lubatava eksimise piir ehk usaldusnivoo. · Näiteks usaldusnivoo 95% tähendab, et lubame endale järeldustes eksimist maksimaalselt 5%. Sel juhul on 5%. · Normaaljaotusega tunnuse puhul on teada, milliste punktide vahel on 95% tunnuse väärtustest (umbes keskmine +/- 2 standardhälvet). · Usaldusnivoo ei pea olema tingimata 95%, see võib uurija soovi korral olla ka laiem või kitsam. Usaldusvahemik on seda laiem, mida: · Suurem on tunnuse hajuvus · Väiksem on valimi maht
3) Eeldade s diameet rite samasug ust hajuvust ka ülejäänu d üldkogu mis tuli leida, mitme puu diameet rid peaksim e mõõtma , et saada keskvää rtuse hinnang veaga 0,3 cm 159 diameetrit 4) Tuli leida, mitme puu diameet rid peaksim e mõõtma , et saada keskvää rtuse hinnang Variatsi täpsuseg oonikor a 1%. daja 59,14 N= 3498 diameetrit 5) Usaldusnivoo on uurija poolt ette antud tõenäosus kuhu üldkogumi parameeter kuulub teatud (küllalt suure) tõenäosusega. Seda tähistatakse 1-. Selle väärtuseks võetakse tavaliselt metsanduslikes uurimustes 0,95. 6)Vastavalt usaldusnivoo etteeantud väärtustele arvutatakse usalduspiirid s.o. kaks arvu mille vahel asub üldkogumi parameeter tõenäosusega 1-. 7) Standartveaks nimetatakse aritmeetlise keskmise kui keskväärtuse hinnangu standarthälvet.
- Punkte (23,7 ja 23,9) nimetatakse usalduspiirideks - 23,7 alumine usalduspiir - 23,9 ülemine Punktihinnangu puhul ei kasutata tavaliselt täiendavaid eeldusi uuritava tunnuse jaotuse kohta, vahemikhinnangu korral aga küll Tihti on eelduseks, et tunnus oleks normaaljaotusega Eksimist tulemuste üldustamisel valimit üldkogumile me täielikult vältida ei saa. Seepärast kahtestatakse lubatava eksimise piir e usaldusnivoo Nt usaldusnivoo 95% täh, et lubame endale järeldustes eksimist max 5%. Eksimisriski tähtsus: Normaaljaotusega tunnuse puhulon teada, milliste punktide vahel 95% tunnuse väärtustest (umb keskmine +/- 2standardhälvet) Kui eeldame, et eksimus on samuti normaaljaotusega, siis on nomaaljaotuse kohta käivaid tingimusi teades võimalik välja arvutada vahemik, kus keskm väärtus üldkogumil tegelikult võiks olla
Ülemine kvartiil 11409 Kvartiilide vahe 2149 Dispersioon 3780832,1571429 Standardhälve 1944,4 Üldkogumi keskväärtuse usaldusintervall (usaldusnivooga 95% Usaldusnivoo 1- 0,95 Olulisuse nivoo 0,05 Vabaduse aste n-1 20 T-jaotuse täiendkvantiil 2,1 Alumine usalduspiir 9112,33 Ülemine usalduspiir 10882,53
Laplace funktsioon e. tõenäosuse integral. x -t 2 1 ( x) = 2 e 0 2 dt Laplace'i funktsiooni omadused: 1) (0)=0 2) ()=0,5 3) (-X)=- (X).(paarisfun) 7. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkonna leidmine. Studenti jaotus. k= n-1 ; - Usaldusnivoo k=n-1 (vabadusastme ARV) -dispersiooni usalduspiirkond 8. Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirkonna leidmine. Juhuslik sündmus on sündmus, mis antud katse korral võib toimuda või mitte toimud m
mis katab hinnatava parameetri a tõenäosusega : P(|ã a| < ) = Arv > 0 iseloomustab hinnangu täpsust. Usalduspiirkonna leidmine p(a) S= 0 ã- ã+ a p(a) juhusliku suuruse a tihedusfunktsioon. Usalduspiirkonna (ã , ã + ) leidmiseks tuleb: 1. Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; 2. Ette anda usaldusnivoo (näiteks 95%; 99%); 3. Leida seosest P(|ã a| < ) = suurus , mis määrabki usalduspiirkonna. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, ). Leiame keskväärtuse punkthinnangu aritmeetilise keskmise abil: 1n x = xi
Variatsioonikordaja näitab, kui suure osa moodustab standardhälve aritmeetilisest keskmisest ning esitatakse kas kümnendmurruna või protsendina. Kuna variatsioonikordaja on ühikuta suhtarv, sobib see erinevates ühikutes mõõdetud tunnuste hajumise võrdlemiseks 16. Mood on väärtuste seas kõige sagedamini esinev väärtus 17. Mediaan on punkt tunnuse väärtuste järjestatud skaalal, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on ühepalju 18. Usaldusnivoo näitab uurijale kuivõrd kindel ta võib olla tulemuste kehtivuses. Seda väljendatakse protsentides, mis näitab kehtivuse tõenäosust. Seega 95%-lise usaldusnivoo korral võib uurija olla kindel, et 95% tulemustest kehtivad kogu uuritavas populatsioonis ja 5%-il juhtudel mitte 19. Andmete põhjal saab leida standardhälbe, dispersioon, moodi, mediaani, aritmeetilise keskmise. Samuti saab leida mõõtemääramatuse ja usaldusvahemikud. Nende põhjal
Juhusliku suuruse X väärtustest ligikaudu 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? 15. Mis on standardhälve, standardviga, asümmeetriakordaja, ekstsess, dispersioon? 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. 17. Mis on usaldusnivoo? usaldusnivoo - see on tõenäosus, millega üldkogumi väärtus paikneb teatud vahemikus. Tavaliselt võetakse usaldusnivooks 0,95 (ehk 95%), kus siis olulisuse nivooks on 0,05 (ehk 5%). 18. Mis on usalduspiirid? Usalduspiir- jaotuse baasil valemist . Kuna t-jaotus on lamedam, on rohkem kui aasta tagasi funktsiooniga CONFIDENCE. 19. Mis on nullhüpotees? H0 nullhüpotees, mis tavaliselt väljendab uurijat mittehuvitavat juhtu (üldkogumi vastamine teatud standardile)
või b) teiste autorite töödest kokkukirjutatud, ainestikku iseseisvalt läbitöötamata koostatud teos? 10. Representatiivsusvead ehk esindusvead tulenevad a) ebaõigetest vaatlusmeetoditest; b) ebatäpsest andmete üleskirjutamisest? 11. Mis on esinduslik valim? a) valim, mis hõlmab kõik uuritava kogumi üksikliikmed, b) valim, mille kõik olulised tunnused jaotuvad samamoodi kui üldkogumis 12. Kui suur peab olema 95%-lise usaldusnivoo korral proovi (valimi) suurus, et veapiirid ei ületaks a) 1%; b) 10%? ...a) 10000 ja b) 100....................................................................................................................... 13. Analüüsi puhul a) lahutatakse uuritav nähtus kui tervik osadeks; b) ühendatakse uuritava nähtuse eri küljed ja tunnused mõtteliseks tervikuks? 14. Mis on teadustöö peamiseks eesmärgiks? ..uute teadmiste saamine ja rakendamine................................................
1) Üldkogumi keskmise µ hinnang on valimkeskmine: x tulu = 3 385,23 x kulu = 2 894,88 x palk = 5 937,23 , keskmiste saamiseks kasutatud valemit AVERAGE. 95% usaldusvahemik üldkogumi keskmisele: kus: n valimi maht valimstandardhälve Usaldusnivoo 0,95 puhul Tulu Kulu Palk (1842,85, 4927,61) (1700,49, 4089,27) (2877,88, 8996,58) Näiteks tulu puhul kasutatud valemit (AVERAGE(E2:E36) 1,96*(STDEV(E2:E36)/SQRT(COUNT(E2:E36)) , AVERAGE(E2:E36) + 1,96*(STDEV(E2:E36)/SQRT(COUNT(E2:E36)) NB! Kulu ning tulu puhul kasutatud samasid valemeid (vastavate andmetega).
............................................... 3 2. Diameetri usalduspiirid..................................................................................................4 3. Mitut puud tuleks mõõta?..............................................................................................4 3.1 Mitut puud tuleks mõõta et saada keskväärtuse hinnang veaga 0,3 cm..................4 3.2 Mitut puud tuleks mõõta, et saada keskväärtuse hinnang veaga 1%.......................4 4. Usaldusnivoo................................................................................................................. 5 5. Usalduspiirid..................................................................................................................5 6. Standardviga.................................................................................................................. 5 7. Katsetäpsus.........................................................................................................
16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. Pidevad: 1) Normaaljaotus 2) X^2- jaotus 3) Empiiriline jaotus 4) Logaritmiline normaaljaotus 5) Gram-charlier normaaljaotus 6) Weibulli jaotusseadus 7) Eksponentjaotus 8) Gammajaotus 9) Beetajaotus 10) Studenti jaotus 11) F-jaotus Diskreetsed: 1) Binoomjaotus 2) Hüpergeomeetriline jaotus 3) Poissoni jaotus 4) Pascali jaotus 17. Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. 18. Mis on usalduspiirid? usalduspiirid, usaldusvahemiku alumine ja ülemine otspunkt. Usalduspiirkond on valimi põhjal arvutatud piirkond, millesse hinnatava parameetri tegelik väärtus kuulub teatava tõenäosusega. Selle tõenäosuse väikseimat lubatavat väärtust, milleks tavaliselt valitakse 0,99 või 0,95, nimetatakse usaldusnivooks. 19. Mis on nullhüpotees?
ckeha- keha erisoojus tkeha- keha temperatuur enne kalorimeetrisse asetamist mvesi- kalorimeetrisse valatud vee mass cvesi- vee erisoojus mkal- kalorimeetri sisemise anuma ja segaja masside summa ckal- kalorimeetri sisemise anuma ja segaja materjalide erisoojus t0- vee, kalorimeetri ja segaja ühine temperatuur t- vee, kalorimeetri, segaja ja metallic ühine temperatuur pärast metallsilindri vettelaskmist Vigade arvutus: Lõppvastus: Studenti koefitsentide tabel Mõõtmiste arv Usaldusnivoo (%) 90 95 99 1 6,31 12,71 63,66 2 2,92 4,30 9,92 3 2,35 3,18 5,84 4 2,13 2,78 4,6 5 2,02 2,57 4,03 6 1,94 2,45 3,71 7 1,89 2,36 3,5 8 1,86 2,31 3,36 9 1,83 2,26 3,25 10 1,81 2,23 3,17 Laboratoorse töö protokoll
Füüsika praktikumis on katseandmete sirgega lähendamiseks kasutusel spetsiaalne programm “Lineaarne regressioon”, mille juhendi võib leida e-võrgust. Sellist graafilist analüüsi võib läbi viia ka standardses MS Excelis, milleks tuleb täidetud tabeli korral menüüst valida Tools, Data Analysis, Regression. Sellise valiku tulemusena avaneb sisestusaken, milles saab määrata funktsiooni y väärtuste ploki (Input Y- Range), argumendi x väärtuste ploki (Input X Range), usaldusnivoo (Confidence Level) ja selle koha, kuhu tulemused väljastatakse (Output options). Regressioonanalüüsi protseduuri rakendamise tulemusena tekib kolm tabelit, millest viimases on antud vabaliige (Intercept) koos oma standardmääramatusega (Standard Error) ja sirge tõus (X Variable) koos oma standardmääramatusega. Graafik tuleb teha eraldi – eelneva protseduuriga graafikut ei joonestata.
Statistilisi peensusi vähem tundvatele inimesele pakutakse täna internetis representatiivse valimi suuruse arvutamiseks kalkulaatoreid. Näiteks vabalt võib alla laadida kalkulaatori veebilehtelt MaCorr Research Solutions Online (MaCorr) (joonis 2) või toetudes juhistele arvutada oma uurimuse valimi suurus otse veebis (Resolution Research 2012) (joonis 3). Määra usaldusnivoo Määra valimivea piirid usaldusintervall Sisesta ppopulatsiooni suurus Arvutatatud valimi suurus Valimi tulemi tõenäosus Valimivea piirid Joonis 2 Valimi suuruse kalkulaator (Allikas: MacCorr)
Kuna valimi maht jääb alla 30, siis kasutan Studenti jaotust (OpenOffices vastab F^-1 TINV funktsioon) β=0.95 α = (1 + β) / 2 (number) a studenti jaotuse kvantiilide puhul k* = n – 1 (degree_freedom Leian p* = k/n (kus k on mittesuitsetavate arv ja n koguarv) Naistel vahemik (59.2% ; 95.4%) Meestel vahemik (49.3% ; 86.5%) Ülesanne 3 Kas võib arvata, et meeste ja naiste keskmine palk on võrdsed? Koostada hüpoteeside paar. Esitada teststatistik. Usaldusnivoo 0,95 juures leida kriitilised väärtused, kriitiline piirkond. Arvutada teststatistiku väärtus ja võtta vastus otsus. EX – meeste keskmine palk EY – naiste keskmine palk H0 – Meeste ja naiste keskmine palk on võrdsed – EX = EY H1 – Meeste ja naiste keskmised palgad ei ole võrdsed EX != EY Standardhälbed on tabelis tähistatud Δ ^2. Valimite suurused on vastavalt 28 -> mehed ja 22 -> naised. β = 0.95 -> α = 0.05
standardhälve, seda suurem on hajuvus. Üldkogum ehk populatsioon, selle all mõeldakse kõiki juhtumeid või situatsioone, mille kohta meie poolt püstitatud järeldused, oletused või prognoosid kehtivad. Valim väike objektide grupp, mis valitakse üldkogumist, et selle põhjal teha järeldus kogu üldkogumi kohta. Nõuded valimile peab olema küllalt arvukas, igal üldkogumi objektil peab olema võrdne võimalus valimisse sattuda. Usaldusvahemik väärtuste vahemik. Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. Olulisuse nivoo riskiprotsent, näitab kui suur statistiline viga on lubatud. Juhusliku suuruse normaaljaotus, selle graafik juhuslikud suurused, mille tõenäosust kirjeldavaks graafikuks on kellukesekujuline Gauss'i kõver.
PS. Tavaliselt esitatakse juhusliku suuruse X normaaljaotus standardiseeritud juhusliku suuruse Z kaudu, mille korral µ=0 ja =1. 29. Olulisuse nivoo (level of significance) on hüpoteeside testimisel raske (ehk 1.liiki) vea esinemise suurim lubatav tõenäosus. Uurija paneb paika, sõltuvalt sellest kui raskeks loeb uurija hüpoteeside testimisel tekkivat võimalikku viga. N: Tulemus on arvatavasti 90% liselt tõenäoline (usaldusnivoo) ehk siis olulisuse nivoo sellest tulenevalt 0.10 ( =0,1). Kasutatakse nivood 0,05 ja 0,01. Vea tõenäosus vastavalt 1 või 5 %. 30. Olulisuse tõenäosus p (significance probability) väikseim olulisuse nivoo, mille puhul saab vastu võtta sisuka hüpoteesi. 31. Osakorrelatsioon mõõdab 2 juhusliku suuruse (näiteks Y ja X1) vahelist korrelatsiooni juhul, kui kolmanda juhusliku suuruse (näiteks X2) võimalik mõju on elimineeritud. N: Ristandmete
2.442 2.697 3) Eeldades diameetrite samasugust hajuvust ka ülejäänud üldkogumis, leida, mitme puu diameetrid peaksime mõõtma, et saada keskväärtuse hinnang veaga 0,3 cm 81.692 4) Leida, mitme puu diameetrid peaksime mõõtma, et saada keskväärtuse hinnang täpsusega 1%. Variatsioonikordaja 55.097 N= 110 5) Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo on tõenäosus, mis on etteantud, sinna kuulub üldkogumi parameeter. 6) Mis on usalduspiirid? Usalduspiirid on usaldusnivoo kaudu arvutatud parameetrid. Kaks arvu, mille vahel on 7) Mida iseloomustab standardviga Standardveaks nimetatakse aritmeetilise keskmise kui keskväärtuse hinna 8) Mida iseloomustab katsetäpsus (suhteline standardviga) Katsetäpsus on suhteline standardviga protsentides 9) Standardvea arvutamise valem (Equation Editoriga)
Maa 28,666667 0,83333333 306,5 L / M koos 29 0,77777778 277,66667 II OSA. Matemaatiline statistika 1. Leida üldkogumi keskmise X2, X4 ja X8 punkthinanngud vanuse punkthinnang = 29,8157895 lastearvu punkthinnang = 0,94871795 palga punkthinnang = 268,923077 2. Leida üldkogumi keskmise X2, X4 ja X8 vahemikhinnangud (usaldusnivoo 0,9545) Antud juhul t=1,96 2.1 Keskmise vanuse vahemikhinnang s2 = 27,809717 s = 5,2734919 ( 28,16 ; 31,47 ) 2.2 Keskmise laste arvu vahemikhinnang s2 = 0,9973009 s = 0,9986496 ( 0,64 ; 1,26 ) 3.3 Keskmise palga vahemikhinnang
OSA A 1. Hindame valimi parameetreid Hindamiseks kasutame järgmised valemid: Keskväärtus: 44,12 Dispersioon: 673,44 Standardhälve: 25,95 Mediaani ja haarde leidmiseks teeme valimi liikmete ümberjärjestuse: Mediaan: 51 Haare: 92-4= 88 2. Leiame keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (usaldusnivoo = 0,10), eeldades üldkogumi normaaljaotust Keskväärtuse jaoks kasutame t-statistikut f = N 1 = 24 t0,95(24) = 1,7109 = 8,88 (poollaius) P(35,24 < < 53) = 0,9 Dispersiooni jaoks kasutame 2-statistikut f = N 1 = 24 20.95(24) = 36,415 20.05(24) = 13,848 P (443,9 < 2 < 1167,15) = 0,9 3. Kontrollime hüpoteese keksväärtuse ja dispersiooni kohta, eeldades üldkogumi normaaljaotust, ja kasutades usaldusnivood = 0,10 3.1 H0: = 50; H1: 50
k - P( X = k ) = e valemiga k! , k=0,1,... . . Tõenäosuse ühtlane jaotus:Kui katse tulemuseks on diskreetne juhuslik suurus ja erinevate variantide tõenäosus on ühesugune, on tegemist diskreetse ühtlase jaotusega. Diskreetse jaotuse korral p 1=p2='...'=pi 24. Statistiline hinnang, selle nõutavad põhiomadused. Keskväärtuse dispersiooni ja standardhälbe hinnang. Studenti t-jaotus. Usaldusvahemik ja usaldusnivoo. Punkthinnang annab hinnatava parameetri väärtuse valimi põhjal ühe punktina arvteljel.Et hinnata punkthinnangu erinevust jaotusparameetri tegelikust väärtusest, kasutatakse vahemikhinnangut.Matemaatilises statistikas kasutatakse hinnangu ã täpsuse määramiseksusaldusvahemikke. Usaldusvahemik on valimi põhjal arvutatav piirkond, millesse hinnatava parameetri tegelik väärtus kuulub tõenäosusega, mis ei ole väiksem etteantud suuruse usaldusnivoo väärtusest
3. Mis on mõõtmisviga? Kuidas klassifitseeritakse neid? Mõõtmisviga on mõõtmisprotsessis tehtav või tekkiv viga. Neid klassifitseeritakse põhjustajate järgi: 1.mõõteriistade ebatäiuslikkus 2.inimese eksimused mõõtmisprotsessis 3.juhuslikud protsessid mõõtmise ajal, mis omakorda jaguneb: a)hõõrdumine mõõteriista sõlmedes b)mõõtmise parallaks c)elektrivoolu fluktuatsioonid 4. Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivooks (P %) nimetatakse tõenäosust, et tegelik väärtus asub veaga määratud vahemikus. X- X X t X +X. Katsete arvu n suurenemisel (n) usaldusnivoo muutub. Tabelite (Student) abil võib leida, mitu korda tuleb suurendada vahemikku X selleks, et antud n jaoks saada usaldusnivoo 95%. 5. Kuidas leitakse mõõtmise täpsust otsesel mõõtmisel? Mis on dispersioon? Valem. Mõõtmise täpsust otsesel mõõtmisel leitakse nii, et korratakse ühe suuruse mõõtmist mitu korda
valim (intended sample) ja realiseerunud valim (resulting sample, realized sample) Parameeter mingi tunnuse kui terviku karakteristik või kirjeldus üldkogumis (perede sissetuleku keskmine, leibkonnaliikmete arvu jaotus) Statistik (?) tunnuse kirjeldus valimis, kasutatakse üldkogumi vastava parameetri hindamiseks Usaldusvahemik arvtelje vahemik, mille iga väärtus võiks võrdväärsena olla tundmatu parameetri hinnanguks Usaldusnivoo tõenäosus, millega vaadeldav vahemik võiks sisaldada parameetri tõelise, üldkogumis kehtiva väärtuse Valimite liigitus Tõenäosuslikud ja mittetõenäosuslikud valimid Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid - objektide valimisse sattumise tõenäosused ei ole teada. Taotluseks enamasti saada üldkogumi omaga teatavate tunnuste osas lähedase struktuuriga valim. Eelised:
1. Valimi parameetrite hindamine. Kasutan järgmisi valemeid: Keskväärtus: 44,28 Dispersioon: 772,46 Standardhälve: 27,79 Mediaani ja haarde leidmiseks teeme valimi liikmete ümberjärjestust: 1; 2; 5; 14; 18; 19; 25; 27; 31; 33; 37; 39; 39; 45; 46; 50; 56; 63; 65; 71; 74; 77; 83; 89; 98 Mediaan: 39 Haare: 98 1 = 97 2. Leian keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (usaldusnivoo = 0.10), eeldades üldkogumi normaaljaotust Keskväärtuse jaoks kasutame t-statistikut f = N 1 = 24 t0.95(24) = 1.711 = 9.51 Keskväärtuse usaldusvahemik arvutatakse valemiga: P(34,77 < < 53,79) = 90% Dispersiooni usaldusvahemiku leidmiseks kasutatakse 2-statistikut f = N 1 = 24 P (509,10 < 2 < 1338,75) = 90% 3. Kontrollime hüpoteese keskväärtuse ja dispersiooni kohta, eeldades üldkogumi normaaljaotust, ja kasutades usaldusnivood = 0.10 3
suurim (p = 0,75) kannab nime ülemine kvartiil. Detsiilid jaotavad rea kümneks võrdsel arvul liikmeid sisaldavaks osaks. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond Kuidas hinnata üldkogumi keskväärtust µ , kui on teada valimi keskväärtus x ja dispersioon s. Kui valim on suur (>30) kasutame valemit P( x -µ <) =1 -. s s lb = ( x - t , x + t ) =1 - n n 1-alpha on usaldusnivoo Näide: Juhuslik suurus X on normaaljaotusega. Kümnel sõltumatul katsel saadi järgmised suuruse X väärtused: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 2,5 2 -2,3 1,9 -2,1 2,4 2,3 -2,5 1,5 13 Leida üldkogumi keskväärtuse hinnang usaldusnivoodega 0.95 ja 0.99. average stdev var TINV 0,4 2,221111 4,933333 2,262159
andmebloki ülemises reas; Output options - määratakse tulemuste väljastamise asukoht: samale töölehele (Output Range), uuele töölehele (New Worksheet Ply) või uude faili (New Workbook); Summary statistics - määratakse, kas karakteristikute väärtused üldse väljastatakse; Confidence Level for Mean - määratakse usaldusnivoo protsentides keskväärtuse usalduspiiride arvutamiseks; Kth Largest - määratakse järjekorranumber K, et teada saada suuruse poolest K-ndat väärtust; Kth Smallest - määratakse järjekorranumber K, et teada saada väiksemalt poolt K- ndat väärtust. http://www.htg.tartu.ee/~a9tp/mirror/www.eau.ee/%257Ektanel/kool_ja_too/stat_excelis/arvkar.html (2 of 5)29.05.2006 15:08:55
Usalduspiirid Üldkogumi keskväärtuse usalduspiiriks nim. valimi põhjal määratud vahemikku, kuhu valimi keskmine kuulub teatud tõenäosusega (enamasti 95%, aga ka 99%). Ehk kui kordaksime testi, siis selle teatud tõenäosusega jääks ka uue valimi keskmine nendesse piiridesse. Kui näiteks kahe võrreldava grupi usalduspiirid ei kattu, saame öelda, et tõenäoliselt laieneb valimi erinevus ka populatsioonile. Vastavalt usaldusnivoo väärtusele arvutatakse parameetri usalduspiirid so. kaks arvu, mille vahel parameeter asub etteantud tõenäosusega. Valem 95% usalduspiiride arvutamiseks: Alumine usalduspiir= X̅-1.96SD*SEM Ülemine usalduspiir= X̅+1.96SD*SEM Usaldusnivoo (confidence level) on psühholoogias 95%, ehk et 95 % tõenäosusega on tulemus usaldusäärne. Olulisusnivoo (level of significance) ehk vea tõenäosus on sellisel juhul p=0,05 ehk
Kui pole märgitud teistsugust usaldus- nivood, siis on selleks vaikimisi 68 %. Tulemus 68 % usaldusnivool pole just eriti usaldusväärne: 32 % tõenäosusega ei ühti vastus tõelise väärtusega. Enim kasutatakse 95 % usaldusnivood; 5 % eksimus on piisavalt väike selle- ga leppimaks. Kui määramatus on esitatud suuremal usaldusnivool kui 68 %, siis nimetatakse määramatust laiendmääramatuseks ja selle tähisena kasutatakse U. Suuremat usaldusnivood tähistab ka suurem täht. Kõrgema usaldusnivoo saamiseks tuleb määramatust suurendada, korrutades seda sobiva kons- tandiga. Suurem määramatus hõlmab rohkem joonise 1 paremal poolel toodud kõverast, tõstes nii tõenäosust, et tõeline väärtus ühtib määramatuse piires katsetulemusega. B-tüüpi määrama- tust tuleb korrutada arvuga 2, et saada määramatust 95 % usaldusnivool. Statistilise määrama- tusega 95 % usaldusnivool on lugu aga keerulisem. Nimelt tuleb A-tüüpi määramatust korrutada
3,035682 3,56701 3) Eeldades diameetrite samasugust hajuvust ka ülejäänud üldkogumis, leida, mitme puu diameetrid peaksime mõõtma, et saada keskväärtuse hinnang veaga 0,3 cm 2824,923 4) Leida, mitme puu diameetrid peaksime mõõtma, et saada keskväärtuse hinnang täpsusega 1%. Variatsioonikordaja 20,539 N= 4218505 5) Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumist mingisse kindlasse vahemikku, milleks enam 6) Mis on usalduspiirid? Usalduspiirid iseloomustavad 7) Mida iseloomustab standardviga See selleks, aga ta iseloomustab siis meie teadmiste täpsust uuritava 8) Mida iseloomustab katsetäpsus (suhteline standardviga) Iseloomustab hinnangute täpsust. m=S_x/(n) 9) Standardvea arvutamise valem (Equation Editoriga)
24,8 32,6 3) Eeldades diameetrite samasugust hajuvust ka ülejäänud üldkogumis, leida, mitme 31,25 puu diameetrid peaksime mõõtma, et saada keskväärtuse hinnang veaga 0,5 cm 23,5 24,15 4) Leida, mitme puu diameetrid peaksime mõõtma, 23,2 et saada keskväärtuse hinnang täpsusega 1%. Variatsioonikordaja 33,4 N= 26,85 18,25 18,4 5) Mis on usaldusnivoo? 26,1 6) Mis on usalduspiirid? 27,05 7) Mida iseloomustab standardviga 26,6 8) Mida iseloomustab katsetäpsus (suhteline standardviga) 25,6 9) Standardvea arvutamise valem (Equation Editoriga) 21,1 10) Katsetäpsuse arvutamise valem (Equation Editoriga) 22,55 11) N leidmise valem, kui on ette antud standardviga (Equation Editoriga) 27,9 12) N leidmise valem, kui on ette antud katsetäpsus (Equation Editoriga) 27,15
o Ühe valimi t-test ühe grupi keskmise võrdlemiseks kindla väärtusega o Paariviisiline t-test samal grupil tehtud mõõtmiste võrdlemiseks · Wilcoxoni test pidevate tunnuste jaotuste võrdlemiseks, kui tunnus ei ole normaaljaotusega. · Z-test kahe grupi protsentide võrdlemiseks. · Mitmene võrdlemine nt kehakaal ja värskes õhus viibimise aeg. · Mitmese võrdlemise/testimise probleem: o Ühe statistlise testi korral (usaldusnivoo 5%) on I liiki vea tõenäosus 5%. o Mitmese testimise probleem? o Lahendus: üldise olulisuse/seose testimiseks dispersioonanalüüs o Individuaalsete erinevuste testimiseks/leidmiseks post hoc testid gruppidevahelisteks paarikauoa võrdlusteks. · Dispersioonanalüüs (ANOVA) o Ühemõõtmeline dispersioonanalüüs Arvuline uuritav e sõltuv tunnus (pidev ligikaudse normaaljaotusega)
on suurem. Piiriks olev ,,kolm" on parajasti pool suurusjärku. Mõõtarv ümardatakse sama kümnendkohani kui viga. (Kui viga on 0,25, siis mõõtarv ümardatakse sajandikeni; kui viga on 60, siis ümardatakse mõõtarv kümnelisteni). Kui kirjutame absoluutse piirvea, paneme ta koos mõõtarvuga sulgudesse ning sulgude järele mõõtühiku. Kui kasutame tulemuse loetavuse huvides järguliiget (nt. 104), kirjutatakse see väljaspoole sulge enne mõõõtühikut. Usaldusnivoo märgitakse indeksina vea juurde. (Näit. m=(3,25±0,1295%)103 kg).
on suurem. Piiriks olev ,,kolm" on parajasti pool suurusjärku. Mõõtarv ümardatakse sama kümnendkohani kui viga. (Kui viga on 0,25, siis mõõtarv ümardatakse sajandikeni; kui viga on 60, siis ümardatakse mõõtarv kümnelisteni). Kui kirjutame absoluutse piirvea, paneme ta koos mõõtarvuga sulgudesse ning sulgude järele mõõtühiku. Kui kasutame tulemuse loetavuse huvides järguliiget (nt. 104), kirjutatakse see väljaspoole sulge enne mõõõtühikut. Usaldusnivoo märgitakse indeksina vea juurde. (Näit. m=(3,25±0,1295%)103 kg).
või b) teiste autorite töödest kokkukirjutatud, ainestikku iseseisvalt läbitöötamata koostatud teos? 10. Representatiivsusvead ehk esindusvead tulenevad a) ebaõigetest vaatlusmeetoditest; b) ebatäpsest andmete üleskirjutamisest? 11. Mis on esinduslik valim? a) valim, mis hõlmab kõik uuritava kogumi üksikliikmed, b) valim, mille kõik olulised tunnused jaotuvad samamoodi kui üldkogumis 12. Kui suur peab olema 95%-lise usaldusnivoo korral proovi (valimi) suurus, et veapiirid ei ületaks a) 1%; b) 10%? ...a) 10000 ja b) 100....................................................................................................................... 13. Analüüsi puhul a) lahutatakse uuritav nähtus kui tervik osadeks; b) ühendatakse uuritava nähtuse eri küljed ja tunnused mõtteliseks tervikuks? 14. Mis on teadustöö peamiseks eesmärgiks? ..uute teadmiste saamine ja rakendamine...............................
(valimi mahu võtmisel ei arvestata missing lahtrit) Piiresindusviga. Jälle kaks valemit lähtuvalt üldkogumist. Kasutatakse t-jaotuse täiendkvantiili (olulisusnivoo ja vabadusastmete arv). Piiresindusviga=keskmine esindusviga*t Usalduspiirid= x ±x Mõisted: · usaldusvahemik on see piirkond, kuhu meie üldkogumi karakteristik määratud tõenäosusega langeb · alumine ja ülemine usalduspiir on usaldusvahemiku otspunktid · usaldusnivoo on see tõenäosus, millega antud karakteristik sellesse vahemikku jääb HÜPOTEESIDE TESTIMINE Statistiliseks hüpoteesiks nimetatakse üldkogumi kohta esitatud üldistust. Hüpoteeside kontrollimiseks esitatakse statistiliste hüpoteeside paar(nullhüpotees ja altervatiiv- ehk sisukas hüpotees). Hüpoteeside paari moodustavad hüpoteesid peavad kindlasti üksteist välistama ning üks neist peab kindlasti kehtima. Näiteks: H0: tunnus on jaotunud normaaljaotusega
3.Mis on mõõtmisviga? Kuidas klassifitseeritakse neid? Mõõteviga on mõõtetulemuse erinevus mõõdetava suuruse tõelisest väärtusest. Mõõtevead on tingitud 1) mõõteriistade ebatäiuslikkusest; 2) inimese eksitustest mõõtmisprotsessis; 3) juhuslikest protsessidest mõõtmise ajal. Mõõteriista süstemaatiline viga on määratud mõõteriista täpsusega. Taandatud viga on mõõteriista absoluutne viga jagatud mõõdetava suuruse maksimaalse väärtusega 4.Mis on usaldusnivoo? Tõenäosus, et tegelik väärtus asub veaga määratud vahemikus. 5.Kuidas leitakse mõõtmise täpsust otsesel mõõtmisel? Mõõtistulemusele liidetakse juurde mõõteriista viga. Mis on dispersioon? Dispersiooni arvutamisvalem. Dispersioon on standardhälve ruut. 6. Kuidas avaldub mõõtmistulemuse viga teiste otseselt mõõdetavate suuruste kaudu? Kaudselt mõõdetud tulemuse viga sõltub argumentide mõõtmise vigadest. Olgu x = f(u), kus u±u on otseselt mõõdetud
√ ( ) <=> ( ) √ Vahemikhinnangu leidmine Studenti t-jaotuse abil Olgu Xi ~ N(μ,σ); ̅ = ∑ ; = √ ∑ ( ̅ ) ; α – usaldusnivoo ̅ Kui X on normaaljaotusega, siis juhuslik suurus = √ ( 1) on Studenti jaotusega, mille vabadusastmete arv on n-1. Konstrueerime t-jaotuse abil parameetrile μ α-usaldusintervalli Iα
Ühest üldkogumist saab moodustada valimeid – järelikult parameetrite hinnanguid on ka palju. Väikeste valimite korral võib punkthinnang oluliselt erineda hinnatava parameetri tegelikust väärtusest. Vahemikhinnang: üldkogumi karakteristiku vahemikhinnang – valimi alusel leitud vahemik, kuhu see parameeter kuulub teatud tõenäosusega. Seda ette antavat tõenäosust nim usaldusnivooks ja täh traditsiooniliselt 1-α. Tavaliselt võetakse usaldusnivoo väärtuseks 0,95 aga ka 0,90 või 0,99. Vabadusastmete arv – üksteisest sõltumatute suuruste koguarvu nimetatakse selleks. Enamasti n-1. 35. Statistiliste hüpoteeside kontrollimine, vead hüpoteeside kontrollimiseks ja olulisuse nivoo – hüpoteesidega kontrollitakse teatud oletuste paikapidavust kas üldkogumite v valimite suhtes. Tuginedes valimitele, kontrollitakse statistiliste testide abil teatud oletuste
(näiteks aritmeetilise keskmise) väärtus. NB! Kuna ühest üldkogumist võib moodustada palju erinevaid valimeid, siis iga valim annab meid huvitavale üldkogumi parameetrile erineva punkthinnangu. Niisuguseid punktihinnanguid võib vaadelda omakorda kui teatud JS, millel on oma jaotus. Üldkogumi mingi parameetri vahemikhinnang on piirkond (vahemik, intervall), kuhu hinnatav parameeter teatud, küllalt suure tõenäosusega jääb. See tõenäosus, usaldusnivoo on tavaliselt 95% või 99% (ka 0,95; 0,99) . Tähistatakse 1- . Tihti räägitakse ka olulisuse nivoost ehk riskist, suurusest (=0,05; =0,01). Hinnanguvahemikku nimetatakse ka usaldusvahemikuks ehk usalduspiirkonnaks. Selle otspunkte usalduspiirideks. NB! Kuna üldkogumi parameeter on JS, siis usalduspiire võib vaadelda kui parameetri hinnangu vastavaid kvantiile. 46. Usaldus- ja olulisuse nivoo. Otsustuse, hüpoteesi tõenäosus olulisuse nivoo; tähis
tulusid o majandustsükli risk, mis tuleneb majandustsükli faasi muutumisest 8. Finantsriskide mõõtmiseks kasutatavad kvantitatiivsed meetodid: VaR, tundlikkuse analüüs, stresstestid VaR riski mõju all olev väärtus näitab riskist tuleneva potentsiaalse maksimaalse kahjumi seost vastava turu käitumisega ette antud usaldusnivoo juures teatud ajaintervallil. VaR'i arvutamine põhineb tavaliselt vastava finantsinstrumendi ajaloolise volatiilsuse analüüsil (analüütilised andmed peavad olema kättesaadavad vähemalt 1 a ulatuses). Soovitatavaks usaldusnivooks on 99%. Vaadeldava perioodi pikkus sõltub riskipositsiooni pikkusest ja turu likviidsusest. Tundlikkuse analüüs eesmärgiks on hinnata tegevuskeskkonna üksiku teguri
· võrdlushüpoteesina (võrreldakse tunnuseid) · seosehüpoteesina (seostatakse uuritavaid tunnuseid) Põhimõisted hüpoteeside testimisel: · Olulisustõenäosus (p-value) on eksimuse tõenäosus sisuka hüpoteesi eelistamisel. · Olulisuse nivoo () ehk riskitase ehk riskiprotsent ehk riski kriitiline tase ehk uurija seatud tõke esimest liiki vea tõenäosusele ehk tase, mille juures saab veel sisuka hüpoteesi vastu võtta. · Usaldusnivoo on tõese otsuse tõenäosus ( = 1 ). Eksimuse vastandsündmus on tõene otsus. · Usaldusintervall ehk usalduspiirkond ehk usaldusvahemik sisaldab etteantud tõenäosusega parameetri tegelikku väärtust. Paarikaupa esitatud hüpoteesid peavad teineteist välistama ja üks neist peab kindlasti kehtima. KOGUMITE VÕRDLEMINE Kaks kogumit: · sõltuvad valimid · sõltumatud valimid
kaitumise muutumisele voi tehnoloogilisele arengule mitteadekvaatselt reageerimine toob kaasa kahju voi vahendab tulusid; majandustsukli risk, mis tuleneb majandustsukli faas muutumisest. 39. Finantsriskide mõõtmiseks kasutatavad kvantitatiivsed meetodid: VaR, tundlikkuse analüüs, stresstestid VaR (Value at Risk) ehk riski moju all olev vaartus naitab riskiest tuleneva potentsiaalse maksimaalse kahjumi seost vastava turu kaitumisega ette antud usaldusnivoo juures teatud ajaintervallil. VaRi arvutamine pohineb tavaliselt vastava finantsinstrumendi ajaloolise volatiilsuse analuusil, kusjuures analuutilised andmed peavad olema kattesaadavad vahemalt uhe aasta ulatuses. Usaldusnivooks on tavaliselt 95%, 97,5%, 99% voi 99,9%. Baseli Komitee poolt soovitavaks usaldusnivooks on 99%. Tundlikkuse analuusi eesmargiks on hinnata tegevuskeskkonna uksiku teguri muutumise moju panga riskidele ja kapitali - vajadusele
Täiendkvantiil on väärtus, millest suuremate väärtuste osakaal on a ehk väärtus, millest väiksemate väärtuste osakaal on 100%-a. Üldiselt on üldkogumile tulemuste andmisel kasutusel järgmised mõisted: · Olulisusnivoo a (alpha) on uurija poolt etteantud veapiir ehk suurim lubatud tõenäosus tulemuste andmisel vea tegemiseks, enamasti on väärtusteks olulisusnivoo a=5%, kuid mitte kunagi üle 10%. · Usaldusnivoo on olulisusnivoo vastandtõenäosus (100%-a) ehk tõenäosus, millega üldkogumile antud vahemikhinnang või otsus kehtib, seega enamasti 95%, kuid mitte kunagi alla 90%. · Olulisustõenäosus on valimist tulenev tegelik viga üldkogumile tulemuste andmiseks. Seega mõisted usaldus ja olulisus on statistikas vastandlikud ning tulemuste kommenteerimisel peab mingi tulemuse olulisusest rääkides alati olema kontrollitud vastav olulisusnivoo.
σ ≈ Φ−1 2 () ≤¿ ε α ≈ Φ−1 2 √n () Vahemikhinnangu leidmine Studenti t-jaotuse abil √ n n Olgu Xi ~ N(μ,σ); ´x = 1 ∑ x i ; s= 1 ∑ (x i− ´x )2 ; α – usaldusnivoo n i=1 n−1 i=1 x´ −μ Kui X on normaaljaotusega, siis juhuslik suurus T = √ n t( n−1) on s Studenti jaotusega, mille vabadusastmete arv on n-1. Konstrueerime t-jaotuse abil parameetrile μ α-usaldusintervalli Iα
Mõõtarv ümardatakse sama kümnendkohani kui viga. (Kui viga on 0,25, siis mõõtarv ümardatakse sajandikeni; kui viga on 60, siis ümardatakse mõõtarv kümnelisteni). Kui kirjutame absoluutse piirvea, paneme ta koos mõõtarvuga sulgudesse ning sulgude järele mõõtühiku. Kui kasutame tulemuse loetavuse huvides järguliiget (nt. 104), kirjutatakse see väljaspoole sulge enne mõõõtühikut. Usaldusnivoo märgitakse indeksina vea juurde. (Näit. m=(3,25±0,1295%)103 kg). DEFINITSIOONID Loeng 1 · Naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) jagatisena e. murruna m/n
annaabi.ee 
