Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks (1)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

1 HALB

Esitatud küsimused

Miks nüüd iga n m � xn � M?

Reaalarvud
Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist:

Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas

Aritmeetika ( tehted reaalarvudega) ja järjestus
Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega:
(A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral ( liitmise kommutatiivsus )
(A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus )
(A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu)
(A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu)
(M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus)
(M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus)
(M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu)
(M4) iga b € R \ puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu)
(D) (a + b) c= ac +ab kõikide a,b,c € R korral (distributiivsus)
Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega 0, siis ac monotoonsus )

Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.

Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv .

Igast mittenegatiivsest arvust saab võtta n-da juure – Igast mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn=b

Alamhulk N ei ole ülalt tõkestatud ( Archimedese printsiip) – Alamhulk N ⊂ R ei ole ülalt tõkestatud, s. t. iga reaalarvu a korral leidub temast suurem naturaalarv n. Teisisõnu ,
Iga a € R leidub n € N : n > a

Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal -kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a

Tõkestatud alamhulgad . Hulga ülemine ja alumina raja (*)
Tõkestatud alamhulgad hulgas R.
Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et võrratus x ≤ M kehtib iga x ∈ X korral. Arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks. Analoogiliselt nimetatakse hulka X ⊂ R alt tõkestatuks, kui leidub m ∈ R, et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x ≥ m. Arvu m nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks.
Öeldakse, et hulk X on tõkestatud, kui ta on nii ülalt kui ka alt tõkestatud.
Näited tõkestatud ja tõkestamata hulkadest:
Kõigi reaalarvude hulk on tõkestamata hulk
Hulk X = (1,5] on tõkestatud hulk, inf X = 1, sup X =max X = 5, minimaalset elementi vaadeldavas hulgas ei eksisteeri.
Kõigi naturaalarvude hulk X = N on alt tõkestatud, ei ole ülalt tõkestatud; min X = inf X = 1, sup X = lõpmatus .
Defineerida ülalt tõkestatud hulga ülemine raja ja alt tõkestatud hulga alumina raja, selgitaga neid mõisteid ( laused 1.2 ja 1.3)
Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Arv b ∈ R on hulga X ülemine raja (s.t. b = supX) parajasti siis, kui
(i) x ≤ b iga x ∈ X korral ja
(ii) iga c ∈ R korral, mis rahuldab võrratust c Seejuures võib tingimuse (ii) esitada temaga samaväärsel kujul
(ii′) iga ε > 0 korral leidub selline x0 ∈ X, et b − ε Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Võrdus inf X = a kehtib parajasti siis, kui
(i) x ≥ a iga x ∈ X korral ja
(ii) iga d ∈ R korral, mis rahuldab võrratust d > a, leidub selline x0 ∈ X, et x0 Tingimuse (ii) võib esitada temaga samaväärsel kujul
(ii′) iga positiivse ε > 0 korral leidub selline x0 ∈ X, et x0 Tõestada, et kui alamhulgas on suurim (vähim) element, siis see on hulga ülemine (alumine) raja (lause 1.4)
Kui hulgas X eksisteerib suurim element, siis see on hulga X ülemine raja, s.t.
supX = maxX. Analoogiliselt, kui minX eksisteerib, siis inf X = minX.
Pidevuse aksioom. Nagu me eelpool veendusime , ei pruugi ülalt tõkestatud alamhulgal olla maksimaalset ega alt tõkestatud hulgal minimaalset elementi. Selge ei ole ka ülemise ja alumise raja olemasolu, seda ei ole aritmeetika ja järjestuse aksioomidest lähtudes võimalik tõestada. Seepärast eeldatakse (s.t. postuleeritakse), et reaalarvude hulgas R kehtib järgmine väide, mida nimetatakse pidevuse aksioomiks:
(P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊂ R leidub ülemine raja.
Reaalarvude hulga seda omadust nimetatakse tema täielikkuseks.
Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkestatud
alamhulgal. Selle tõestamisel rakendame me mitmel korral järjestuse aksioomidest järelduvat
omadust võrratused a Tuua näiteid alumise ja ülemise raja kohta:
Alumine raja (infX): [0,2) minX = 0
Ülemine raja (maxX): (0,2] maxX = 2

Pidevuse aksioom (*)
Esitada pidevuse aksioom (P) - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
Tõestada, et igal alt tõkestatud hulgal on alumina raja:
Eeldame, et X ⊂ R on mittetühi alamhulk, mis on alt tõkestatud reaalarvuga m, s.t. m ≤ x iga x ∈ X korral. Omaduse ** kohaselt −x ≤ −m iga x ∈ X korral. Tä ja paneme tähele, et hulk Y on ülalt tõkestatud. Pidevuse aksioomi (P) põhjal laidub tal ülemine raja c := sup Y.
Näitame, et arv a := -c on hulga X alumina raja. Kuna −x ≤ c, siis x ≥ −c = a iga
x ∈ X korral , mis tähendab, et a on hulga X alumine tõke. Osutub, et
ta on alumistest tõketest suurim. Et selles veenduda, võtame suvalise d > a ja kontrollime
niisuguse x0 ∈ X olemasolu, mis rahuldab tingimust x0 Võrratusest d > a tuleneb, et −d −d. Seejuures y0 = −x0 mingi x0 ∈ X korral, mistõttu −x0 = y0 > −d ehk x0 Teada, et kui X ja Y on ülalt tõkestatud alamhulgad, siis X + Y on ülalt tõkestatud ja sup(X + Y) = supX + supY
Olgu X ja Y mittetühjad reaalarvude hulgad. Kui X ja Y on ülalt tõ ülalt tõ = supX + sup Y
** - võrratused a *** - Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Võrdus inf X = a kehtib parajasti siis, kui iga d ∈ R korral, mis rahuldab võrratust d > a, leidub selline x0 ∈ X, et x0 **** - Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Arv b ∈ R on hulga X ülemine raja (s.t. b = supX) iga c ∈ R korral, mis rahuldab võrratust c

Reaalarvu absoluutväärtus (*)
Esitada absoluutväärtuse definitsioon:
Arvu a ∈ R absoluutväärtuseks nimetatakse arvu
Selgitada, et |a|, selle seose abil põhjendada lihtsamaid seoseid:
1) a ≤ |a| ja −a ≤ |a| ,
2) |a| ≥ 0,
3) |−a| = |a|
4) |a| = 0 parajasti siis, kui a = 0
Tõestada, et |a| ≤ c parajasti siis, kui –c ≤ a ≤ c:
Reaalarvude a ja c korral kehtib võrratus |a| ≤ c parajasti siis, kui −c ≤ a ≤ c
Tarvilikkus. Eeldame, et |a| ≤ c, ja veendume, et siis −c ≤ a ≤ c. Tõepoolest ,
kui |a| ≤ c, siis
a ≤ = |a| ≤ c ja
−a ≤ = |a| ≤ c,
mis tingimuse ** kohaselt tähendab, et −c ≤ a. Kokkuvõttes −c ≤ a ≤ c.
Piisavus . Nüüd eeldame, et −c ≤ a ≤ c, siis −a ≤ c , mistõttu |a| ≤ c.
Lause on tõestatud
Absoluutväärtuse tehetega seotud omadused:
Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited :
(a) |a + b| ≤ |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus),
(b) |a − b| ≤ |a| + |b|,
(c) ||a| − |b|| ≤ |a − b|,
(d) |ab| = |a| |b|.
** - võrratused a

Intervallid
Esitada intervallide definitsioon - Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka X ⊂ R, millel on järgmine
omadus: kui a, b ∈ X ja a Tuua (põhjendustega) 2 näidet lõpmatust reaalarvude hulgast, mis ei ole intervall :
Intervallide tüübid (vahemik, poollõik , lõik; tõkestatud ja tõkestamata intervallid):
Iga kaks reaalarvu a ja b, kus a vahemiku (a, b)
Lisaks neile neljale intervallide tüübile tuleb meil tegemist ka tõkestamata intervallidega
(−∞, b) , [a,∞) ,
neile lisandub (−∞,∞) := R.
Esitada reaalarvu ümbruse definitsioon, veenduda, et igal reaalarvul a on lõpmata palju ümbrusi ja nende ü.
Olgu a mingi arv. Vahemikku (a − δ, a + δ) =: Uδ (a) , kus δ on mingi positiivne arv, nimetatakse arvu (ehk punkti) a δ-ümbruseks. Arvu δ nimetatakse seejuures ümbruse Uδ (a) raadiuseks .
Igal punktil a ∈ R on lõpmata palju ümbrusi, s.h. kuitahes väikese raadiusega . Sellest
tuleneb, et , teisisõnu, kui mingi arv x kuulub punkti a igasse ümbrusse, siis x = a
Defineerida alamhulga X ⊂ R sisepunkti mõiste, kirjeldada vahemikku, poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka.
Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo.
Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis , X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅.
Tuua 2 näidet reaalarvude hulkadest, millel pole sisepunkte
Kõigi naturaalarvude hulgal N
Hulk F = [0, 1] \ E, E ⊂ [0, 1]

Funktsiooni mõiste
Funktsiooni f : D → R mõiste:
Olgu D mittetühi reaalarvude hulk, s.t. D ⊂ R ja D ̸= ∅. Kui igale arvule x hulgast D on mingi eeskirja järgi seatud vastavusse üheselt määratud arv y, mida me tähistame f (x), siis öeldakse, et hulgas D on defineeritud funktsioon f.
Tuua näiteid tema analüütilise esituse kohta:
Olgu funktsioon f antud seosega
Selle parem pool omab mõtet vaid juhul, kui
≥ 0. Selleks on kaks võimalust: a) x ≥ 0 ja x > 5 ning b) x ≤ 0 ja x 5, juhul b) aga siis, kui x ≤ 0. Kokkuvõttes on funktsiooni f määramispiirkonnaks hulk D := (−∞, 0] ∪ (5,∞) .
Esitada paaris- ja paaritu funktsiooni definitsioon:
Olgu funktsiooni f määramispiirkond D sümmeetriline nullpunkti suhtes, s.t. −x ∈ D iga x ∈ D korral. Funktsiooni f nimetatakse
1) paarisfunktsiooniks, kui f (−x) = f (x) iga x ∈ D korral,
2) paarituks funktsiooniks, kui f (−x) = −f (x) iga x ∈ D korral.
Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata funktsioonide kohta:
Siinusfunktsioon f : R → R, f (x) := sin x ja koosinusfunktsioon f : R → R, f (x) := cos x on tõkestatud, kuna mõlemal juhul f (R) = [−1, 1]
Seevastu tangensfunktsiooni f : R\{π/2 + kπ | k ∈ Z } → R, f (x) := tan x =sin x/cos x väärtuste hulk ei ole tõkestatud, täpsemalt, f(R\{π/2 + kπ | k ∈ Z}) = R
Tõkestamata funktsioon: f(x)=x, f(x)=x^3
Tehted funktsioonidega, tuua sellekohaseid näiteid (pole kindle näidete õigsuses):
Olgu f ja g hulgas D ⊂ R määratud funktsioonid, s.t. f : D → R ja g : D → R. Defineerime uued funktsioonid
f + g : D → R, (f + g) (x) := f (x) + g (x) (funktsioonide f ja g summa), - y = x2 + 4x, y = 2x + 2
f − g : D → R, (f − g) (x) := f (x) − g (x) (funktsioonide f ja g vahe), - y = x3 - x, y = 3x - 1
λf : D → R, (λf) (x) := λf (x) (funktsiooni f λ-kordne, λ ∈ R) , - y = 7x, y = 4x2
fg : D → R, (fg) (x) := f (x) g (x) (funktsioonide f ja g korrutis), - y = x5ex, y = x2cosx
f/g : D → R,(f/g)(x) :=f (x)/g (x)(funktsioonide f ja g jagatis ), - y = sinx/x, y = x2 / lnx
viimasel juhul eeldame, et g (x) ̸= 0 kõikide x ∈ D korral.
Nendega seotud arvutusvalemite kohta märgime, et
(f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f) (x)
iga x ∈ D korral, s.t. f + g = g + f. Analoogiliselt veendutakse, et
fg = gf, (f + g) + h = f + (g + h) , (fg) h = f (gh) , f (g + h) = fg + fh
suvaliste hulgas D määratud funktsioonide f, g ja h puhul
Esitada liitfunktsiooni mõiste definitsioon, tuua näiteid.
Olgu f : D → R ja h : E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Funktsiooni h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) nimetatakse funktsioonide f ja h liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks .

Funktsioon y = 1 +(4 − 3x)1/2 on funktsioonide

f :(−∞,4/3] → R, f (x) := 4 − 3x ja
h: [0,∞) → R, h (x) := 1 +√x kompositsioon h ◦ f :(−∞, 4/3]→ R.
Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x
iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞)

Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis

h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x
iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) .

Jada piirväärtus , selle ühesus
Arvjada mõiste - Arvjadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N.
Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad , tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest.
Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas
või xn → a), kui
∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat
jada nimetatakse hajuvaks.
Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (xn), kus xn = a iga
n ∈ N korral, 1/x
Hajuv jada: ,
Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3)
Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus)
lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b
Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b
Vaja näidata, et a = b  a – b = 0
[Fakt Iga ε > 0 |x| Näitame, et iga ε > 0 |a - b| Fikseerime ε > 0
Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e = ε/2)
∃ N1 : Iga n (n ≥ N1 => xn = |xn – a | Kuna lim xn = b, siis (võttes (*) e = ε/2)
∃ N2 : Iga n (n ≥ N2 => xn = |xn – b | Nüüd |a - b| = |a – xn + xn - b| ≤ |-(xn - a)| + |xn - b| = |xn - a| + |xn - b| ↑abs väärtuse kolmnurga om: iga x,y € IR |x + y|= |x| + |y|
*- lim xn = a iga ε > 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a|

Koonduva jada tõkestatusest (*)
Defineerida jada tõkestatuse ja koonduvuse mõiste:
Jada (xn) on tõkestatud parajasti siis, kui ∃m,M ∈ IR : m ≤ xn ≤ M iga n ∈ IN korral,
selle tingimuse võime esitada kujul ∃K > 0 : |xn| ≤ K iga n ∈ IN korral
Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus
Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata jadadest.
Tõkestatud: konstantne jada (3, 3, 3, …), hääbuv jada (1, ½, ⅓, ¼, … )
Tõkestamata: tõkestamatult kasvav (6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6), tõkestamatult kahanev (3, 0, -3, -6, -9, …)
Tõestada, et iga koonduv jada on tõkestatud (lause 2.1).
Lause (koonduva jada tõkestatus)
(xn) koonduv => (xn) tõkestatud
Tõestus:
Olgu (xn) koonduv s.t. leidub a € R lim xn=a
Vaja näidata, et (xn) on tõkestatud, s.t. leidub m,M : iga n m ≤ xn ≤ M
Kuna lim xn=a, siis rakendades (*) e = 5 korral
Leidub N : iga n (n ≥ N |xn - a|Valime<<
Miks nüüd iga n m ≤ xn ≤ M?
2 varianti

n ≥ N => m ≤ a – 5

n ≤ N-1 => m ≤ xn ≤ M
minX = α  1) α € X
2) iga x € X, α ≤ X
*- lim xn = a iga ε > 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a| Tõestada, et kui xn→ 0 ja (yn) on tõkestatud, siis xnyn → 0 (lause 2.2)
Lause (“hääbuva * tõkestatud = hääbuv)
lim xn = 0
(yn) tõkestatud } => lim (xnyn) = 0
Tõestus: Olgu lim xn = 0. Olgu (yn) tõkestatud, s.t. ∃ K > 0. Iga n |yn| ≤ K. Vaja näidata, et
lim (xnyn) = 0 s.t. iga ε > 0 ∃ N € IN. Iga n (n ≥ N => |xnyn – 0 | Fikseerime ε > 0
Kuna lim xn = 0, siis (võttes (*) e = ε/K)
∃ N € IN. Iga n (n ≥ N => xn = |xn – 0 | Saame:
n ≥ N0 => |xnyn – 0 | = | xnyn | = |xn ||yn | 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a|

Koonduvate jadade esimene järjestusega seotud omadus (piirväärtuse võrdlemine) (*)
Tõestada lause 2.4 koonduvate jadade piirväärtuse võrdlemisest:
Olgu (xn) ja (yn) sellised koonduvad jadad, et
1) xn → a,
2) yn → b ja
3) leidub niisugune N0 ∈ N, et xn ≤ yn, kui n ≥ N0.
Siis a ≤ b.
Oletame vastuväiteliselt, et a > b, ja veendume, et see oletus viib vastuolule. Võtame ε := (a−b)/2 , siis ε > 0. Kuna xn → a ja yn → b, siis vastavalt piirväärtuse definitsioonile saame valida niisugused N1,N2 ∈ N, et n ≥ N1 ⇒ |xn − a| a − ε. Kuna b + ε = b +(a – b)/2 =(a + b)/2= a – (a – b)/2= a − ε,
siis eelnevaast seostest saame, et
yn vastuolus eeldusega 3) (peame silmas, et n ≥ N0). Väide on tõestatud.

Koonduvate jadade teine järjestusega seotud omadus (nn. “võileivaomadus”) (*)
Tõestada lause 2.5:
Lause koonduvate jadade piirväärtuse monotoonsusest

∃ N0 iga n (n ≥ N0 xn≤ zn ≤ yn)

lim xn = a } => lim zn = a

lim yn = a
Tõestus: Kehtigu 1), 2), 3)
Vaja näidata, et lim zn = a s.t.
Iga ε > 0 ∃N iga n (n ≥ N => |zn -a| Fikseerime ε > 0
Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e= ε)
∃N1 iga n (n ≥ N1 => |xn -a| Kuna lim yn = a, siis (võttes (*) e= ε)
∃N2 iga n (n ≥ N2 => |yn -a| Tä
Kui n ≥ N, siis

xn≤ zn ≤ yn (sest n ≥ N ≥ N0)

a - ε

a - ε Seega
n ≥ N => a – ε a – ε *- lim xn = a iga ε > 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a|

Koonduvate jadade tehetega seotud omadused (*)
Koonduvate jadade tehetega seotud omadused:
Kui xn → a ja yn → b, siis
(a) xn + yn → a + b,
(b) xnyn → ab,
(c) λyn → λb iga λ ∈ R puhul,
(d) xn − yn → a − b,
(e) 1/yn→ 1/b ( eeldusel , et b ̸= 0),
(f) xn/yn → a/b (eeldusel, et b ̸= 0).
Tõestada (vabal valikul ) kaks omadust
Tõestame siinkohal väite (a) . Eeldame, et xn → a ja yn → b, olgu ε > 0.
Meie eesmärgiks on veenduda, et leidub N ∈ IN omadusega
n ≥ N ⇒ |(xn + yn) − (a + b)| Kuna xn → a ja yn → b, siis leiduvad sellised N1,N2 ∈ N, et
n ≥ N1 ⇒ |xn − a| Seega iga n ≥ korral
|(xn + yn) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| Tõestame siinkohal väite (b) . Eeldame, et xn → a ja yn → b, olgu ε > 0. (Pole kindle, kas see on täiesti õige…)
Meie eesmärgiks on veenduda, et leidub N ∈ IN omadusega
n ≥ N ⇒ |(xn * yn) − (a * b)| Kuna xn → a ja yn → b, siis leiduvad sellised N1,N2 ∈ N, et
n ≥ N1 ⇒ |xn − a| Seega iga n ≥ korral
|(xn * yn) − (a * b)| ≤ |xn − a| * |yn − b|

Tähtsad piirväärtused (*)
Teada piirväärtusi
Kui 0 ≤ a Kui 0 Teise piirväärtuse tõestus:
Kui a = 1, siis väide ilmselt kehtib. Olgu a > 1, siis ka a1/n>, seega a1/n= 1 + vn, kus vn:= a1/n−1 > 0 suvalise n ∈N korral. Seose
tõttu
a = (1 + vn)n > nvn ehk 0 Siit saame tänu lausele **, et vn→ 0 ehk a1/n→ 1 protsessis n → ∞.
Kui a 1, mistõttu eelneva arutelu põhjal b1/n→ 1 ning
Väide on tõestatud.
** - Kui xn → a ja yn → a ning seejuures leidub selline N0∈ N, et xn ≤ zn ≤ yn iga n ≥ N0 korral, siis zn → a

Funktsiooni piirväärtused
Defineerida hulga D ⊂ R kuhjumispunkti mõiste, tuua näiteid.
Arvu a nimetatakse hulga D ⊂ R kuhjumispunktiks, kui (Uρ (a)\{a}) ∩ D ̸= ∅ iga ρ > 0 korral,
s.t. kui punkti a iga ümbrus, millest arv a ise on välja jäetud, sisaldab hulga D elemente.
Kui D on suvaline intervall otspunktidega a ja b, kus a on kõik arvud x ∈ [a, b]
Arv 0 on mõ ainuke kuhjumispunkt
Funktsiooni f : D → R korral defineerida .
Olgu arv a hulga D ⊂ R kuhjumispunkt. Arvu A nimetatakse funktsiooni f : D → R piirväärtuseks punktis a (ehk kohal a) ja kirjutatakse , kui iga positiivse (kuitahes väikese) arvu ε korral saab leida sellise δ > 0, et kui argumendi väärtus x rahuldab tingimust
0 Niisiis,
:⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) > 0 : [x ∈ D, 0 Ühepoolsed piirväärtused: defineerida .
Öeldakse, et arv A on funktsiooni f parempoolne piirväärtus punktis a, ning tähistatakse , kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et [x ∈ D, 0 Öeldakse, et arv A on funktsiooni f : D → R vasakpoolne piirväärtus punktis a, ning tähistatakse kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et [x ∈ D, 0 Teada, et intervallic D sisepunktis a kehtib seos
parajasti siis, kui
(lause 3.1).
Defineerida piirväärtused , tuua näiteid
Öeldakse, et arv A on vaadeldava funktsiooni f piirväärtus lõpmatuspunktis ∞ (kirjutatakse
, kui ∀ε > 0 ∃N > 0 : [x ∈ D, x > N] ⇒ |f (x) − A| Öeldakse, et A on funktsiooni f piirväärtus lõpmatuspunktis −∞ (lühidalt , kui
∀ε > 0 ∃N > 0 : [x ∈ D, x Defineerida
tuua näiteid.
Olgu a funktsiooni f : D → R määramispiirkonna D kuhjumispunkt.

Ütleme, et ∞ on funktsiooni f piirväärtus punktis a, ning kirjutame kui ∀M > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, 0 M.

Ütleme, et −∞ on funktsiooni f piirväärtus punktis a, ning kirjutame kui
∀M > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, 0

Funktsiooni piirväärtuse Heine kriteerium . Funktsiooni piirväärtuse ühesus (*)
Sõnastada piirväärtuse Heine kriteerium ( teoreem 3.2) ja tõestada selle tarviklikkuse osa.
Arv A on funktsiooni f : D → R piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga arvuks a koonduva argumendi väärtuste jada (xn) korral, kus xn ̸= a, funktsiooni väärtuste jada (f (xn)) koondub arvuks A. Teisisõnu,
parajasti siis, kui kehtib implikatsioon
[xn ∈ D\{a} (n ∈ IN) , xn → a] ⇒ f (xn) → A.
Tarvilikkus. Eeldame, et . Olgu (xn) hulgas D\{a} selline punktide jada, mis koondub arvuks a, meie eesmärk on näidata, et f (xn) → A.
Olgu ε suvaline positiivne arv. Vastavalt funktsiooni piirväärtuse definitsioonile leiame sellise δ > 0, et
[x ∈ D\{a} , 0 Kuna xn → a, siis jada piirväärtuse definitsiooni kohaselt saame fikseerida niisuguse indeksi N, et 0 Tõestada Heine kriteeriumi abil, et funktsiooni piirväärtus on üheselt määratud:
Eeldame, et
olgu (xn) selline arvjada, et xn ∈ D\{a} iga n ∈ IN korral ja xn → a. Heine kriteeriumi põhjal tuleneb eeldusest
Kuid lause 2.3 kohaselt on koonduval jadal (f (xn)) vaid üks piirväärtus, seega A = B
Lause 2.3 - Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud: kui xn → a ja xn → b, siis
a = b.

Funktsiooni piirväärtuse omadused (*)
Teada funktsiooni piirväärtuse omadusi (väited 3.4 – 3.8):
Lause 3.4 Olgu f : D → R ja g : D → R sellised funktsioonid, et

leidub niisugune δ > 0, et f (x) ≤ g (x) iga x ∈ (D\{a}) ∩ (a − δ, a + δ) korral.
Siis A ≤ B.
Järeldus 3.5 Kui f : D → R on selline funktsioon, et

leidub niisugune δ > 0, et f (x) ≤ B iga x ∈ (D\{a}) ∩ (a − δ, a + δ) korral, siis A ≤ B.
Lause 3.6 Olgu f : D → R, g : D → R ja h: D → R sellised funktsioonid, et

leidub niisugune δ > 0, et f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) iga x ∈ (D\{a}) ∩ (a − δ, a + δ) korral.
Siis
Tõestada (vabal valikul) kas lause 3.4, lause 3.6 või kaks väidet lausest 3.7
Lause 3.6 Olgu f : D → R, g : D → R ja h: D → R sellised funktsioonid, et

leidub niisugune δ > 0, et f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) iga x ∈ (D\{a}) ∩ (a − δ, a + δ) korral.
Siis
Tõestus. Eeldame, et tingimused 1) ja 2) on täidetud. Olgu (xn) selline arvjada, et a ̸= xn ∈ D iga n ∈ IN korral ja xn → a, Heine kriteeriumi kohaselt on meie eesmärgiks näidata, et h (xn) → A.
Vastavalt jada piirväärtuse definitsioonile saame valida sellise N ∈ IN, et |xn − a| n ≥ N ⇒ a − δ xn ∈ (D\{a}) ∩ (a − δ, a + δ) , kui n ≥ N, mistõttu eelduse 2) põhjal
n ≥ N ⇒ f (xn) ≤ h (xn) ≤ g (xn) .
Kuna , siis teoreemi 3.2 kohaselt f (xn) → A ja g (xn) → A. Näeme,
et jadad (f (xn)) , (g (xn)) ning (h (xn)) rahuldavad kõiki lause 2.5 tingimusi, selle kohaselt
h (xn) → A. Lause on tõestatud.
Teoreem 3.2 - Arv A on funktsiooni f : D → R piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga arvuks a koonduva argumendi väärtuste jada (xn) korral, kus xn ̸= a, funktsiooni väärtuste jada (f (xn)) koondub arvuks A. Teisisõnu, limx→af (x) = A parajasti siis, kui kehtib implikatsioon
[xn ∈ D\{a} (n ∈ N) , xn → a] ⇒ f (xn) → A.
Lause 2.5 - Kui xn → a ja yn → a ning seejuures leidub selline N0 ∈ N, et xn ≤ zn ≤ yn iga n ≥ N0 korral, siis zn → a.

Funktsiooni pidevus antud punktis, selle seos vasak- ja parempoolse pidevusega
Defineerida funktsiooni pidevus, vasak- ja parempoolne pidevus antud punktis, selgitada nende mõistete vahekorda (4.1). Tuua näiteid.
Olgu a € D hulga D kuhjumispunkt. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks punktis a (ehk kohal a), kui
Kui a € D on hulga D ∩ (-∞,a) või hulga D ∩ (a, ∞) kuhjumispunkt ning kehtib vastavalt võrdus , siis kõneldaks vastavalt vasakpoolsest ja parempoolsest pidevusest punktis a
Funktsioon f on pidev oma määramispiirkonna D kuhjumispunktis a ∈ D parajasti siis, kui
Funktsioon
on pidev igas punktis a ∈ R.
Olgu funktsioon f : [0, 4] → R määratud seosega Siis
seega on f punktis
a = 2 küll vasakult pidev, kuid ei ole selles punktis paremalt pidev.

Tehted pidevate funktsioonidega. Liitfunktsiooni pidevus (*)
Defineerida funktsiooni pidevus antud punktis.
Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks punktis a (ehk kohal a), kui
Tõestada vabal valikul 2 väidet lausest 4.2:
Olgu funktsioonid f : D → R ja g : D → R pidevad punktis a, siis ka funktsioonid f + g, f − g, λf, fg ja f/g on punktis a pidevad (funktsiooni f/g puhul eeldame, et g (x) ̸= 0 iga x ∈ D korral).
Tõestus:

Eeldame, et funktsioonid f ja g on kohal a pidevad, ja veendume, et ka nende korrutis fg on pidev selles punktis.

Eeldame, et funktsioonid f ja g on kohal a pidevad, ja veendume, et ka nende korrutis f+g on pidev selles punktis.
Kuna eelduse kohaselt
,siis
(f+g)(x)= f(x)+g(x)= f(x)+ g(x) (lause 3.7(a)) =f(a)+g(a)=(f+g)(a), mis tähendabki funktsiooni f+g pidevust kohal a.
Defineerida liitfunktsiooni mõiste:
Olgu f : D → R ja h : E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Funktsiooni h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) nimetatakse funktsioonide f ja h liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks.
Tõestada väide liitfunktsiooni pidevusest:
Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt ning olgu f : D → R ja h: E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Kui f on pidev punktis a ja h on pidev punktis b := f (a) , siis liitfunktsioon h ◦ f : D → R on pidev punktis a.
Olgu (xk) selline jada, et xk ∈ D\{a} ja xk → a. Teoreemi 3.2 kohaselt on meie eesmärgiks näidata, et
h ◦ f (xk) → h ◦ f (a) .
Funktsiooni f pidevusest punktis a järeldub, et
uk := f (xk) → f (a) = b.
Seega järeldub funktsiooni h pidevusest punktis b koonduvus h (uk) → h (b). Niisiis,
h ◦ f (xk)) = h (f (xk)) = h (uk) → h (b) = h (f (a)) = h ◦ f (a) , s.t. h ◦ f on pidev kohal a.

Lõigus pidev funkstsioon, selle omadused
Defineerida funktsiooni pidevus tema määramispiirkonna alamhulgas:
Olgu X funktsiooni f määramispiirkonna D alamhulk. Kui f on pidev igas punktis x ∈ X, siis öeldakse, et ta on hulgas X pidev. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks, kui ta on oma määramispiirkonnas D pidev.
Teada lõigus pideva funktsiooni omadusi:

Pidev funktsioon teisendab intervalli intervalliks.
Lõigus [a, b] pidev funktsioon f on selles lõigus tõkestatud, s.t.

∃m,M ∈ R : m ≤ f (x) ≤ M iga x ∈ [a, b] korral.

Lõigus [a, b] pideval funktsioonil f on selles lõigus suurim ja vähim väärtus, s.t.

∃x1, x2 ∈ [a, b] : f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) iga x ∈ [a, b] korral.

Pööratavad funktsioonid, pöördfunktsiooni pidevus (*)
Defineerida pööratav funktsioon ja selle pöördfunktsioon :
Kui funktsiooni f : D → R igale väärtusele y ∈ f (D) vastab ainult üks argumendi väärtus x ∈ D, siis ütleme, et funktsioon f on pööratav. Sel juhul funktsiooni f−1 : f (D) → D, f−1 (y) := x, kus y = f (x) , nimetatakse funktsiooni f pöördfunktsiooniks.
Tõestada lause 4.7 rangelt monotoonse funktsiooni pööratavusest ja tema pöördfunktsiooni rangest monotoonsusest.
Iga rangelt monotoonne funktsioon on pööratav. Seejuures on rangelt kasvava (rangelt kahaneva) funktsiooni pöördfunktsioon samuti rangelt kasvav (rangelt kahanev).
NB!! Seal polnud tõestust
Teada teoreemi 4.8 pöördfunktsiooni pidevusest:
Olgu funktsioon f : D → R intervallis D rangelt monotoonne ja pidev. Siis tema pöördfunktsioon f−1 on intervallis f (D) pidev.

Elementaarfunktsioonid. Piirväärtused (*)
Selgitada, mis on elementaarfunktsioonid
Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete rakendamisel ja liitfunktsioonide moodustamisel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks.
Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest:
Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev.
Tõestada, et
Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et
ehk
Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis
ning lause 3.6 kohaselt
4.3 -
Seosega
määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1, 0)∪(0,∞) , on esitatav funktsioonide
u = (1 + x)1/x ja y = ln u
liitfunktsioonina. Kuna
(s.t. kui x → 0, siis u → e) ja logaritmfunktsioon
on pidev kohal e (s.t.
siis

Tuletis ja diferentseeruvus . Diferentseeruva funkstiooni pidevus (*)
Defineerida funktsiooni tuletis ja diferentseeruvus antud punktis.
Funktsiooni f tuletiseks intervalli D punktis a nimetatakse (lõplikku või lõpmatut) piirväärtust
(5.1)
kui see eksisteerib. Kui piirväärtus (5.1) on lõplik (s.t. f′ (a) ∈ R), siis öeldakse, et funktsioon
f on diferentseeruv punktis a ∈ D (ütleme ka diferentseeruv kohal a).
Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev:
Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis on ta selles punktis pidev
Eeldame, et funktsioon f on kohal a diferentseeruv, seega eksisteerib lõplik piirväärtus. Seetõttu
, mis tähendabki funktsiooni f pidevust punktist a
Näidata, et absoluutväärtusega määratud funktsioon ei ole kohal 0 diferentseeruv (näide 5.3).
Vaatleme funktsiooni f : R → R, f (x) := |x| ,
mis teatavasti on pidev igas punktis a ∈ R (vt. näide 4.1). Osutub, et funktsioonil f ei ole kohal a = 0 tuletist. Tõepoolest, ühepoolsed piirväärtused
On erinevad, seega piirväärtust ei eksisteeri.

Diferentseeruvuse geomeetriline tähendus (*)
Lähtudes tuletise definitsioonist , defineerida diferentseeruva funktsiooni graafiku puutuja antud punktis kui seda punkti läbivate lõikajate piirseis.
Kohal a ∈ D diferentseeruva funktsiooni f : D → R graafiku puutujaks punktis (a, f (a)) nimetatakse sirget, mis on määratud võrrandiga y = f′ (a) (x − a) + f (a)
Niisiis, punktis a diferentseeruva funktsiooni f korral
• punktis (a, f (a)) on funktsiooni graafiku puutujaks punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a,
• tuletis f′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga.

Tehetega seotud diferentseerimisreeglid (*)
Teada funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletiste valemeid.
(f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a)
(fg)′ (a) = f (a) g′ (a) + f′ (a) g (a)
Tõestada summa ja korrutise valemid (laused 5.2 ja 5.4).
Summa tõestus:
Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a ∈ D diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f + g ja f − g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a)
Eeldame, et mõlemad funktsioonid f ja g on punktis a diferentseeruvad, s.t. eksisteerivad lõplikud piirväärtused
Suvalise arvust a erineva argumendi väärtuse x korral moodustame avaldise
piirprotsessis x → a saame, et
Korrutise tõestus:
Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a ∈ D diferentseeruvad, siis ka nende korrutis fg on selles punktis diferentseeruv funktsioon ning (fg)′ (a) = f (a) g′ (a) + f′ (a) g (a)
Eeldame, et eksisteerivad lõplikud piirväärtused
Suvalise x ∈ D\{a} korral saame vahe fg (x) − fg (a) esitada kujul
f (x) g (x) − f (a) g (a) = (f (x) − f (a)) g (x) + f (a) (g (x) − g (a)), siis
Kuna kohal a diferentseeruv funktsioon g on lause 5.1 põhjal selles punktis pidev, s.t. , siis piirväärtuse tehetega seotud omaduste kohaselt (vt. lause 3.7)
Lause on tõestatud
Tuua näiteid nende valemite rakendamise kohta.
Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel
Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal.
Funktsiooni uurimine
L' Hospitali reegel
Taylori valem

Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (*)
Tõestada lause 5.6 liitfunktsiooni diferentseerimisest:
Olgu funktsioon f : D → R kohal a ∈ D diferentseeruv. Kui f (x) ∈ E iga x ∈ D korral ja funktsioon h: E → R on punktis b := f (a) diferentseeruv, siis ka liitfunktsioon
h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x))
on punktis a diferentseeruv ja
(h ◦ f)′(a) = h′ (b) f′ (a) .
Eeldame, et funktsioon u = f (x) on kohal a ja funktsioon y = h (u) kohal b = f (a) diferentseeruv. Meie eesmärgiks on veenduda, et
Defineerime abifunktsiooni
Kuna funktsioon h on punktis b diferentseeruv, siis φ on kohal b pidev:
(5.8)
Paneme tähele, et
h (u) − h (b) = φ (u) (u − b) iga u ∈ E puhul, niisiis
h (f (x)) − h (f (a)) = φ (f (x)) (f (x) − f (a)) iga x ∈ D korral. (5.9)
Kuna funktsioon f on kohal a diferentseeruv, siis lause 5.1 kohaselt on ta selles punktis pidev. Et funktsioon φ on pidev kohal b = f (a) (vt. (5.8)), siis liitfunktsioon φ ◦ f on lause 4.3 põhjal pidev punktis a, seega (5.10)
Seostest (5.9) ja (5.10) saame, et
Lause on tõestatud
Teada pöördfunktsiooni diferentseerimise reeglit:
Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D → R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon f−1 : D′ → R on kohal b := f (a) diferentseeruv parajasti siis, kui f′ (a) ̸= 0. Sel juhul

Fermat ’ teoreem funktsiooni tuletise seosest lokaalse ekstreemumiga (*)
Defineerida intervallis määratud funktsiooni lokaalse maksimumi ja lokaalse miinimumi mõiste:
Olgu funktsioon f määratud intervallis D ja olgu a intervalli D sisepunkt, s.t. a ∈ Do.
Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et
f (x) ≤ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum.
Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et
f (x) ≥ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum.
Tõestada Fermat' teoreem (lause 6.1), selgitada selle lause geomeetrilist sisu:
Olgu funktsioon f : D → R intervalli D sisepunktis a diferentseeruv ning olgu tal selles punktis lokaalne ekstreemum . Siis f′ (a) = 0.
Eeldame, et funktsioon f : D → R on kohal a ∈ Do diferentseeruv ja tal on selles punktis lokaalne ekstreemum, olgu see konkreetsuse mõttes lokaalne maksimum. Valime vastavalt eelnevale definitsioonile sellise δ > 0, et Uδ (a) ⊂ D ning iga x ∈ Uδ (a) korral f (x) ≤ f (a) , seega
f (x) − f (a) ≤ 0, kui a − δ Eelduse kohaselt eksisteerib lõplik piirväärtus
(6.2)
seega leiduvad mõlemad ühepoolsed piirväärtused, mis on võrdsed piirväärtusega (6.2), niisiis
Paneme tähele, et kui a − δ Kui aga a 0 ning
järelikult
Kuna võrratused f′ (a) ≥ 0 ja f′ (a) ≤ 0 on üheaegselt täidetud, siis f′ (a) = 0.
Sama tulemuseni jõuame ka siis, kui funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum.
Geomeetriliselt tähendab lause 6.1 väide seda, et kui kohal a diferentseeruval funktsioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud puutuja on paralleelne x- teljega
Defineerida funktsiooni statsionaarse punkti mõiste:
Punkti a ∈ D nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f : D → R statsionaarseks punktiks, kui f′ (a) = 0
Tuua näide funktsioonist, mille statsionaarses punktis ei ole lokaalset ekstreemumit:
Kuupfunktsioon f : R → R, f (x) := x3
on igas punktis x ∈ R diferentseeruv ning f′ (x) = 3x2. Seega on 0 funktsiooni ainuke statsionaarne punkt, kuid f (0) = 0 ei ole funktsiooni f lokaalne ekstreemum. Nimelt on tal punkti 0 igas ümbruses Uδ (0) = (−δ, δ), kus δ on suvaline positiivne arv, nii negatiivseid kui ka positiivseid väärtusi:
f (x) = x3 0, kui 0 Niisiis ei ole kuupfunktsioonil ühtegi lokaalset ekstreemumit.

Rolle’I teoreem (*)
Tõestada Rolle'i teoreem (lause 6.2), selgitada selle geomeetrilist sisu:
Olgu f : [a, b] → R pidev funktsioon, mis vahemikus (a, b) on diferentseeruv. Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c ∈ (a, b), et f′ (c) = 0.
Eeldame, et f on lõigus [a, b] pidev ning vahemikus (a, b) diferentseeruv funktsioon omadusega
f (a) = f (b). Selge, et väide kehtib, kui f on seejuures konstantne funktsioon, siis f′ (x) = 0 iga x ∈ (a, b) puhul.
Olgu f mittekonstantne funktsioon. Kuna ta on lõigus [a, b] pidev, siis Weierstrassi teoreemi põhjal on tal selles lõigus nii minimaalne kui ka maksimaalne väärtus. Seejuures vähemalt ühe neist globaalsetest ekstreemumitest, mis sel juhul on ka lokaalne ekstreemum, saavutab funktsioon vahemikus (a, b), olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 6.1 kohaselt f′ (c) = 0.
Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku otspunkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbiv lõikaja on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel vähemalt üks selline graafiku punkt (c, f (c)) , milles võetud puutuja on selle lõikajaga paralleelne. Järgmine lause – Lagrange ’i keskväärtusteoreem – ütleb, et sellises geomeetrilises sõnastuses kehtib Rolle’I teoreem ka ilma eelduseta f (a) = f (b): lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f korral on vähemalt ühes graafiku punktis (c, f (c)) puutuja paralleelne läbi graafiku punktide (a, f (a)) ja (b, f (b)) tõmmatud lõikajaga

Cauchy keskväärtusteoreem. L’Hospitali reegel (*)
Tõestada Cauchy keskväärtusteoreem (lause 6.4) ja selle järeldusena Lagrange'i keskväärtusteoreem (lause 6.3):
Cauchy keskväärtusteoreem - Olgu f : [a, b] → R ja g : [a, b] → R pidevad funktsioonid, mis vahemikus (a, b) on diferentseeruvad, ning olgu g′ (x) ̸= 0 iga x ∈(a, b) korral. Siis leidub selline punkt c ∈ (a, b), et
(6.3)
Kõigepealt paneme tähele, et g (b) ̸= g (a) , sest vastasel juhul rahuldaks g Rolle’i teoreemi tingimusi ning g′ (x) = 0 vähemalt ühes punktis x ∈ (a, b), mis on vastuolus lause eeldustega.
Moodustame abifunktsiooni h: [a, b] → R, kus
siis funktsioonide f ja g pidevusest tuleneb funktsiooni h pidevus. Tõepoolest, lause 4.2 põhjal on funktsioon pidev, seega on h pidev kui kahe pideva funktsiooni vahe. Lisaks sellele on ta vahemikus (a, b) diferentseeruv:
(6.4)
Kuna h (b) = h (a) = f (a), siis rahuldab h kõiki Rolle’I teoreemi tingimusi, seega h′ (c) = 0 mingis punktis c ∈ (a, b). Võrdusest (6.4) saamegi seose(6.3)
Lagrange'i keskväärtusteoreem - Olgu f : [a, b] → R pidev funktsioon, mis vahemikus (a, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c ∈ (a, b), et
Sõnastada l'Hospitali reegel (teoreem 6.5):
Eeldame, et funktsioonid f ja g on diferentseeruvadhulgas (a − θ, a + θ)\{a}, kus θ on mingi positiivne arv. Kui kas
või
ning eksisteerib piirväärtus
siis
Analoogiline väide kehtib ka piirprotsesside x → a−, x → a+, x → −∞ ja x → ∞ korral.

Taylori valem
Esitada funktsiooni Taylori valem ja kirjeldada tema jääkliikme omadusi (teoreem 6.7 (a) ja (b)).
Taylori valem -
Olgu D ⊂ R mingi lahtine intervall ja a ∈ D, olgu n ∈ N0.

Kui funktsioon f : D → R on n korda diferentseeruv, siis

Kui funktsioon f : D → R on n + 1 korda diferentseeruv, siis iga x ∈ D\{a} korral leidub punktide a ja x vahel selline punkt c ∈ D, et
Selgitada Taylori valemi tähtsust. Tuua näide selle valemi rakendamise kohta
Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi.

Funktsioonide monotoonsus (*)
Defineerida antud hulgas kasvavad, kahanevad , rangelt kasvavad ja rangelt kahanevad funktsioonid:
Funktsiooni f : D → R nimetatakse hulgas D
rangelt kasvavaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral
x1 kasvavaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral
x1 rangelt kahanevaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral
x1 f (x2) ,
kahanevaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral
x1 Tõestada lause 7.1 diferentseeruva funktsiooni monotoonsusepiirkondade leidmisest :
Olgu f : D → R pidev funktsioon, mis intervalli D kõigis sisepunktides x ∈ Do on diferentseeruv.
(a) Kui f′ (x) = 0 iga x ∈ Do korral, siis f on hulgas D konstantne funktsioon.
(b) Kui f′ (x) > 0 (f′ (x) ≥ 0) iga x ∈ Do korral, siis f on hulgas D rangelt kasvav (kasvav) funktsioon.
(c) Kui f′ (x) Olgu y ja z suvalised punktid intervallis D. Eeldame, et y ≠ z, konkreetsuse mõttes olgu y Lause 6.3 kohaselt eksisteerib c ∈ (y, z) omadusega
f (z) − f (y) = f′ (c) (z − y) . (7.1)
(a) Eeldame, et f′ (x) = 0 iga sisepunkti x ∈ Do korral. Kuna c ∈ (y, z) ⊂ D0, siis f′ (c) = 0, mistõttu seosest (7.1) saame, et f (y) − f (z) = 0. Seega f (y) = f (z) suvaliste y, z ∈ D puhul, niisiis on f intervallis D konstantne funktsioon.
(b) Eeldame, et f′ (x) > 0 iga sisepunkti x ∈ Do korral. Siis seose (7.1) põhjal f (z) − f (y) = f′ (c) (z − y) > 0
ehk f (y) f′ (x) ≥ 0.
(c) Iseseisvalt!
Tuua näiteid selle lause rakenduste kohta:
Leiame seosega f (x) := x ln x
määratud funktsiooni f kasvamise ja kahanemise piirkonnad. Funktsiooni f m¨a¨aramispiirkonnaks
on intervall D := (0,∞), suvalise x ∈ D korral eksisteerib l˜oplik tuletis
f′ (x) = ln x + 1. Seega
f′ (x) > 0 parajasti siis, kui x > 1/e ,
ning f′ (x) Lause 7.1 väidete (b) ja (c) kohaselt on f rangelt kasvav intervallis (0, 1/e] ning rangelt kahanev intervallis [1/e ,∞)

Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid (*)
Selgitada lokaalse ja globaalse ekstreemumi mõisteid:
Kui funktsioonil on vaadeldavas punktis kas lokaalne maksimum või lokaalne miinimum, siis öeldakse, et tal on lokaalne ekstreemum.
Funktsiooni globaalne ekstreemum –funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A € X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum
Defineerida diferentseeruva funktsiooni kriitilise punkti mõiste:
Määramispiirkonna D sisepunkti c nimetatakse funktsiooni f : D → R kriitiliseks punktiks, kui c on kas statsionaarne punkt või f ei ole kohal c diferentseeruv.
Tõestada lause 7.2 diferentseeruva funktsiooni lokaalsete ekstreemumite leidmisest:
Olgu funktsioon f : D → R pidev oma kriitilises punktis c.

Kui punktil c leidub niisugune ümbrus Uδ (c), et f′ (x) ≥ 0 iga x ∈ (c − δ, c) korral ja f′ (x) ≤ 0 iga
x ∈ (c, c + δ) korral, siis on funktsioonil f punktis c lokaalne maksimum.

Kui punktil c leidub niisugune ümbrus Uδ (c), et f′ (x) ≤ 0 iga x ∈ (c − δ, c) korral ja f′ (x) ≥ 0 iga
x ∈ (c, c + δ) korral, siis on funktsioonil f punktis c lokaalne miinimum.
(c) Kui punktil c leidub niisugune ümbrus Uδ (c), et tuletis f′ (x) on sama märgiga kõikide
x ∈ (c − δ, c + δ)\{c} korral, siis funktsioonil f kohal c ei ole ekstreemumit.
Tõestus. (a) Kuna f′ (x) ≥ 0 iga x ∈ (c − δ, c) korral, siis lause 7.1(b) põhjal on funktsioon f poollõigus (c − δ, c] kasvav, seega f (x) ≤ f (c) iga x ∈ (c − δ, c) puhul. Analoogiliselt garanteerib eeldus, et f′ (x) ≤ 0 iga x ∈ (c, c + δ) puhul, funktsiooni f kahanemise poollõigus [c, c + δ), seega f (c) ≥ f (x) iga x ∈ (c, c + δ) korral. Kokkuvõttes f (x) ≤ f (c) kõikide x ∈ Uδ (c) korral, s.t. funktsioonil f on kohal c lokaalne maksimum.
Väide (b) tõestatakse analoogiliselt. Väite (c) eeldustel kehtivad suvaliste punktide x1 ∈ (c − δ, c) ja x2 ∈ (c, c + δ) korral kas võrratused f (x1) ≤ f (c) ≤ f (x2) või f (x1) ≥ f (c) ≥ f (x2), seega ei saa funktsioonil f kohal c ekstreemumit olla.
Teada lauset 7.3 kaks korda diferentseeruva funktsiooni ekstreemumist:
Eeldame, et funktsioonil f : D → R on punktis c ∈ D esimene ja teine tuletis ning
f′ (c) = 0 ja f′′ (c) ≠ 0. Kui f′′ (c) 0 aga lokaalne miinimum.
Tuua näiteid nende lausete rakendamise kohta:

Funktsiooni algfunktsioon ja integreerimine
Defineerida funktsiooni algfunktsioon, kirjeldada antud funktsiooni kõigi algfunktsioonide
hulka.
Kui intervallis D märatud funktsioon f on mingi funktsiooni F : D → R tuletis selles intervallis, s.t.
F′ (x) = f (x) iga x ∈ D korral, siis öeldakse, et F on funktsiooni f algfunktsioon intervallis D.
Lihtne on näha, et algfunktsioon, kui ta olemas on, ei ole üheselt määratud: kui kehtib
seos (12.9), siis suvalise arvu C puhul (F (x) + C)′ = F′ (x) = f (x) iga x ∈ D korral.
Niisiis, kui F on funktsiooni f algfunktsioon intervallis D, siis on seda ka funktsioon
F + C : D → R, (F + C) (x) := F (x) + C iga konstandi C ∈ R puhul.
Olgu F1 ja F2 funktsiooni f kaks suvalist algfunktsiooni intervallis D, s.t. F′1 (x) = F′2 (x) = f (x) iga x ∈ D korral.
Siis (F1 − F2)′(x) = F′1 (x) − F′2 (x) = 0 ning lause 7.1(a) kohaselt F1 − F2 on konstantne funktsioon. Niisiis leidub selline C ∈ R, et F1 (x) − F2 (x) = C ehk F1 (x) = F2 (x) + C iga x ∈ D korral.
Kokkuvõttes, kui funktsioonil f : D → R leidub algfunktsioon F : D → R, siis funktsiooni
f kõik algfunktsioonid intervallis D saame avaldisest F + C, kui anname konstandile C
kõikvimalikud reaalarvulised väärtused.
Igal pideval funktsioonil leidub algfunktsioon.
Selgitada funktsiooni määramata integraali mõistet:
Avaldist F (x)+C, kus F on funktsiooni f : D → R mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks intervallis D ja märgitakse ∫ f (x) dx.
Teisisõnu, ∫ f (x) dx = F (x) + C, kus F′ (x) = f (x) iga x ∈ D puhul.
Integreerimise põhivalemid :

Integreerimisreeglid (*)
Tõestada integreeruvate funktsioonide f ja g summa f + g ja kordse λf integreerimise
reeglid (lause 8.1 ja 8.2):

Kui intervallis D määratud funktsioonidel f ja g eksisteerivad selles intervallis määramata integraalid ∫f (x) dx ning ∫ g (x) dx, siis eksisteerib ka määramata integraal ∫ (f (x) + g (x)) dx ja kehtib seos

Eeldatavasti eksisteerivad ∫f (x) dx = F (x)+C1 ning ∫g (x) dx = G(x)+C2, mistõttu (F + G)′ (x) = F′ (x) + G′ (x) = f (x) + g (x) = (f + g) (x) , s.t. F + G on funktsiooni f + g algfunktsioon intervallis D. Seega
Seejuures olgu märgitud, et fikseeritud konstandi C puhul saame valida konstandid C1 ning
C2, et C = C1 +C2, ja vastupidi, fikseeritud arvude C1 ja C2 korral võtame C := C1+C2.

Kui funktsioonil f eksisteerib intervallis D määramata integraal ∫f (x) dx, siis suvalise λ ∈ R\{0} korral eksisteerib ka integraal ∫λf (x) dx ning kehtib seos ∫ λf (x) dx = λ∫f (x) dx.

Selgitada ositi integreerimise valemit (lause 8.3). Tuua näiteid.
Olgu funktsioonid f : D → R ja g : D → R diferentseeruvad. Kui intervallis D on olemas integraal
∫ f′ (x) g (x) dx, siis eksisteerib ka integraal ∫f (x) g′ (x) dx ning ∫f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x) − ∫f′ (x) g (x) dx.
Leiame valemi (8.2) abil määramata integraali ∫x cos xdx.
Selleks võtame f (x) := x ja g (x) := sin x, siis g′ (x) = cos x ning ∫x cos xdx = ∫f (x) g′ (x) dx = x sin x –
∫1 · sin xdx = x sin x + cos x + C suvalise x ∈ R korral.

Monotoonsed jaded. Monotoonsuseprintsiip (*)
Defineerida kasvavad, kahanevad, rangelt kasvavad ja rangelt kahanevad jadad.
Arvestades asjaolu, et jada on funktsioon määramispiirkonnaga IN, saame monotoonse funktsiooni definitsioonist, et jada (xn) on
• kasvav, kui xn+1 ≥ xn iga n ∈ IN korral,
• rangelt kasvav, kui xn+1 > xn iga n ∈ IN korral,
• kahanev, kui xn+1 ≤ xn iga n ∈ IN korral,
• rangelt kahanev, kui xn+1 Tõestada monotoonsete jadade monotoonsuseprintsiip (lause 9.1).
Monotoonne jada (xn) koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Kui (xn) on seejuures kasvav, siis
on kahanev, siis
Tarvilikkus on selge, sest iga koonduv jada on tõkestatud.
Piisavus. Olgu (xn) selline kasvav jada, mis on tõ ülalt tõkestatud ning pidevuse aksioomi kohaselt on tal ü =: b.
Näitame, et
Olgu ε > vähim ülemine tõke, siis b − ε ei ole selle hulga ülemiseks tõkkeks, järelikult leidub selline jada liige xN, mis on arvust b – ε suurem. Kuna jada (xn) on kasvav, siis b − ε Seega −ε Kokkuvõttes saab iga ε > 0 korral valida indeksi N nii, et |xn − b| Analoogiliselt selgub , et tõkestatud kahanev jada (xn) .

Koonduvad ja hajuvad arvread . Tarvilik tingimus rea koonduvuseks (*)
Defineerida arvrea mõiste ja arvrea koonduvus ning hajuvus:
Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . , mida me edaspidi tavaliselt märgime kujul
nimetame arvreaks (ehk lühidalt reaks)
Kui piirväärtus s on lõplik, siis ütleme, et rida on koonduv ( summaks s). Mittekoonduvat
rida nimetatakse hajuvaks.
Selgitada, miks rea suvalise arvu esimeste liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust või hajuvust (s.t. tõestada lause 9.2).
Rida
koondub parajasti siis, kui koondub rida
suvalise p ∈ IN korral. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks. Ridade puhul on põhiküsimus selles, kuidas antud rea korral teha kindlaks, kas ta koondub või hajub.
Tõestada tarvilik tingimus rea koonduvuseks (lause 9.3).
Kui rida
koondub, siis
Kui rida
koondub, siis eksisteerib lõplik piirväärtus
Kuna
un = u1 + · · · + un−1 + un − u1 − · · · − un−1 = sn − sn−1,
siis lauset xn − yn → a − b,rakendades saame, et
Väide on tõestatud

Geomeetriline rida, selle koonduvus (*)
Tõestada, et geomeetriline rida koondub parajasti siis, kui |q|
Seose
(1 − q)(1 + q + q2 + · · · + qn)= 1 − qn+1 kohaselt
suvalise n ∈ IN0 korral. Kui |q| Kui |q| ≥ 1, siis lause 2.7 kohaselt |qk|= |q|k →!(ei tohi) 0 . Seega ei ole tarvilik tingimus rea koonduvuseks täidetud, tähendab, sel juhul geomeetriline rida hajub.

Harmoonilised read (*)
Teada, et harmooniline rida
koondub parajasti siis, kui α> 0 (lause 9.7).
Tõestada, et rida hajub (lause 9.5):

Tehted koonduvate ridadega (*)
Tõestada, et kui read koonduvad vastavalt summaks s ja t, siis read koonduvad vastavalt summaks s+t; λs ja s-t (lause
9.8).

Ridade esimene ja teine võrdluslause (*)
Selgitada, et mittenegatiivsete liikmetega rea osasummade jada on kasvav.
Tõestada tarvilik ja piisav tingimus sellise rea koonduvuseks (lause 9.9):
Mittenegatiivsete liikmetega rida
koondub parajasti siis, kui ta osasummade
jada (sn) on tõkestatud.
Eelneva märkuse põhjal on reaosasummade jada (sn) kasvav, vastavalt monotoonsuseprintsiibile koondub ta parajasti siis, kui ta on tõkestatud.
Tõestada mittenegatiivsete liikmetega ridade esimene võrdluslause (lause 9.10) ja sõnastada teine võrdluslause (lause 9.12).
Tuua näiteid nende rakendamise kohta.

Rea absoluutne koonduvus (*)
Defineerida rea absoluutse koonduvuse mõiste:
Ütleme, et rida
koondub absoluutselt, kui
on koonduv rida
Tõestada, et absoluutselt koonduv rida on koonduv (lause 9.13):
Olgu rida
absoluutselt koonduv, s.t. rida
koondub. Meie eesmärgiks on veenduda, et ka rida
koondub. Tähistame iga k ∈ IN korral vk := |uk| − uk, siis
0 ≤ vk ≤ 2 |uk|. Esimese võrdluslause kohaselt on rida
koonduv ja kuna
uk = |uk| − vk iga k ∈ IN korral,
siis lause
põhjal koondub ka rida
Tuua näide reast , mis koondub, kuid ei koondu absoluutselt.

Cauchy, D’Alemberti ja Leibnizi koonduvustunnused (*)
Tõestada Cauchy koonduvustunnus (lause 10.1):
Rida
koondub absoluutselt, kui eksisteerib piirväärtus
Eeldame, et c 0 ning q = c + ε. Kuna → c, siis leidub niisugune indeks N, et
kõikide k ≥ N puhul. Seega
ehk
Ridade rakendame esimest võrdluslauset. Kuna 0 koondub, seega koondub ka rida . Teisisõnu, rida
koondub absoluutselt.
Kui c > 1, siis valime ε ∈ (0, c − 1), sel juhul 1 piirväärtus, siis leidub selline N ∈ IN, et
, järelikult
|uk|>1, kui k ≥ N.
On selge, et tarvilik tingimus
() ei ole sel juhul täidetud, tähendab rida
hajub
Sõnastada d'Alemberti koonduvustunnus(lause 10.2):
Rida
koondub absoluutselt, kui eksisteerib piirväärtus ning d 1, siis rida
hajub
Sõnastada Leibnizi koonduvustunnus (lause 10.3):
Rida
koondub, kui jada (ak) koondub nulliks monotoonselt
Tuua näiteid nende tunnuste rakendamise kohta.
C - →
D -
→
L - kus α > 0.

Astmerida , selle koonduvuspiirkond (*)
Selgitada, mis on astmerida, defineerida astmerea
koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A. Veenduda, et A on nullpunkti suhtes sümmeetriline intervall.:
Olgu (a0, a1, a2, . . . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul
või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks.
Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka selle astmerea absoluutse koonduvuse piirkonnaks .
Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid.

Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida
Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5).
Astmerea
summa s: (−r, r) → R on diferentseeruv funktsioon. Astmerida võib igas punktis x ∈ (−r, r) liikmeti diferentseerida, seejuures
(10.5)
ja astmerea (10.5) koonduvusraadius on r.
Defineerida lõpmata palju kordi diferentseeruva funktsiooni f Taylori rida, selgitada, kuidas saadakse seos an = (valem (10.7)) funktsiooni ja astmerea kordajate vahel.
Üldiselt, f : (a − d, a + d) → R on lõpmata palju kordi diferentseeruv, suvalise n ∈ N korral avaldub funktsiooni n-ndat järku tuletis kujul
Selgitada seost Taylori valemiga (lause 10.7):
Funktsiooni f Taylori rida
koondub hulgas (a − d, a + d) summaks f parajasti siis, kui

Eksponentfunktsiooni arendamine astmereaks (*)
Esitada näide 10.12 koos kõigi sammude põhjendustega (seose
(a ≥ 0) võib lugeda teadaolevaks!).
Leiame eksponentfunktsiooni f : IR → IR, f (x) := ex
Taylori rea kohal a = 0. Valemite (10.8) ja (10.9) kohaselt
(10.10)
(vrd. näide 6.8), kus cn+1 (x) on mingi arv punktide 0 ja x vahel. Jääkliikme
hindamiseks paneme tähele, et kui b > 0, siis
Olgu x ∈ R suvaline ja olgu b > 0 selline arv, et |x| korral saame, et
10.8 -
10.9 -
6.8 -

Logaritmfunktsiooni arendamine astmereaks (*)
Esitada näide 10.13 koos kõigi sammude põhjendustega.
Vaatleme logaritmfunktsiooni
f : (−1,∞) → R, f (x) := ln (1 + x) .
Kui −1 (ln (1 + x))′ = 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − x3 + · · · =Seejuure rida
koondub vahemikus (−1, 1) ja tema summa üheks algfunktsiooniks on astmerea
summa, tähistame selle sümboliga F (x). Niisiis,
ln (1 + x) = F (x) + C, kus C on suvaline konstant. Võttes viimases võrduses x = 0, saame, et C = 0, seega kehtib võrdus ln (1 + x) = F (x) ehk

Siinusfunktsiooni arendamine astmereaks (*)
Esitada näide 10.14 koos kõigi sammude põhjendustega.
Siinusfunktsiooni f : R → R, f (x) = sin x tuletised avalduvad valemiga
seega
Valemi (10.8) kohaselt
seejuures
10.8 -

Kõvertrapetsi pindala (*)
Selgitada lõigus [a; b] pideva mittenegatiivste väärtustega funktsiooni poolt määratudkõvertrapetsi mõistet:
Olgu f : [a, b] → R selline pidev funktsioon, et f (x) ≥ 0 kõikide x ∈ [a, b] korral, olgu kõver AB selle funktsiooni graafik xy-tasandil. Vaatleme xy-tasandil kujundit aABb, mille määravad kõver AB ning sirged y = 0 (s.o. x- telg ), x = a ja x = b. Sellist kujundit nimetatakse kõvertrapetsiks.
Selgitada lõigu [a; b] alajaotuse ja selle diameetri mõistet.
Olgu n mingi naturaalarv. Jagame lõigu [a, b] suvalisel viisil n osaks punktidega a = x0 edaspidi nimetame sellist jaotust lõigu [a, b] alajaotuseks ja märgime T[x0, . . . , xn] või lühidalt T.
Suurima osalõigu pikkust nimetame alajaotuse T diameetriks, seda tähistame sümboliga λ (T), s.t.
λ (T) .
Selgitada ideed, kuidas ristküliksummade abil defineerida kõvertrapetsi pindala.

Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad ja Darboux’ integral. Integreeruvad funktsioonid (*)
Defineerida lõigus [a; b] tõkestatud funktsiooni Darboux' ülem- ja alamsumma lõigu antud
alajaotuse T korral. Selgitada nende geomeetrilist tähendust.
Olgu f lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon. Tähistame
ning
Summasid S ja s nimetatakse vastavalt Darboux’ ülem- ja alamsummaks
Tõestada Darboux' summade kaks omadust (laused 11.1 ja 11.2).
Alajaotuse peenendamisel (s.o. jaotuspunktide lisamisel) ei saa Darboux' ülemsumma
kasvada ega alamsumma kahaneda.
Olgu S (T) alajaotusele T[x0, . . . , xn] vastav Darboux’ ülemsumma. Lisame sellele jaotusele ühe uue jaotuspunkti x′, see paikneb mingi kahe olemasoleva jaotuspunkti xi−1 ja xi vahel. Uuele alajaotusele T′ [x0, . . . , xi−1, x′, xi, . . . , xn] vastav ülemsumma S (T′) on kujul
, siis
, mistõttu
Analoogiliselt saab näidata, et ,
Ükski alamsumma ei ole suurem ühestki ülemsummast, s.t. suvaliste T, T′ ∈ korral s (T′) ≤ S (T) .
Tõestus. Olgu T ja T′ lõigu [a, b] kaks suvalist alajaotust, moodustame kolmanda alajaotuse T′′ nii, et selle jaotuspunktideks on parajasti kõik jaotustesse T ja T′ kuuluvad jaotuspunktid. Siis T′′ on peenem mõlemast alajaotustest T ja T′, mistõttu omadusest 11.1 saame võrratused s (T′) ≤ s (T′′) ≤ S (T′′) ≤ S (T) . Lause on tõestatud.
Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja (Darboux' mõttes) integreeruvad funktsioonid
Iga ülemsumma S (T) on kõ ülemine tõ =: I∗ (f) , arvu I∗ (f) nimetatakse funktsiooni f Darboux' alamintegraaliks. Kuna arv I∗ (f) vähim ülemine tõke, siis I∗ (f) ≤ S (T) suvalise alajaotuse T ∈
korral. Niisiis, I∗ (f) alumine tõke. Seega on see hulk alt tõkestatud, mistõttu tal leidub alumine raja I∗ (f) ,
seda nimetatakse funktsiooni f Darboux' ülemintegraaliks. Alumine raja kui suurim alumine
tõke ei saa olla väiksem alumisest tõkkest I∗ (f), j¨ arelikult I∗ (f) ≤ I∗ (f) .
Öeldakse, et lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon f on selles lõigus integreeruv, kui tema Darboux’ alam- ja ülemintegraal on võrdsed, s.t. I∗ (f) = I∗ (f) .

Tarvilik ja piisav tingimus tõkestatud funktsiooni integreeruvuseks (*)
Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja integreeruvad funktsioonid.
Iga ülemsumma S (T) on kõ ülemine tõ =: I∗ (f) , arvu I∗ (f) nimetatakse funktsiooni f Darboux' alamintegraaliks. Kuna arv I∗ (f) vähim ülemine tõke, siis I∗ (f) ≤ S (T) suvalise alajaotuse T ∈ korral. Niisiis, I∗ (f) alumine tõke. Seega on see hulk alt tõkestatud, mistõttu tal leidub alumine raja I∗ (f) , siis supreemumi definitsiooni kohaselt (vrd. lause 1.2) saab valida sellise T1 ∈ , et
s (T1) > I (f) – ε/2
Analoogiliselt saame seose I (f) = I∗ (f) põhjal infiimumi definitsiooni silmas pidades (vrd. lause 1.3) valida T2 ∈
omadusega S (T2) Moodustame uue alajaotuse T0 nii, et ta sisaldab mõlema alajaotuse T1 ja T2 jaotuspunktid, seega on T0 peenem nii jaotusest T1 kui ka jaotusest T2. Seetõttu lause 11.1 kohaselt
s (T0) ≥ s (T1) > I (f) – ε/2 ja S (T0) ≤ S (T2) Nende seoste põhjal
S (T0) − s (T0) Piisavus. Olgu ε > 0 suvaliselt fikseeritud. Eelduse kohaselt leidub alajaotus T0 ∈
omadusega
S (T0) − s (T0) I∗ (f)−I∗ (f) mittenegatiivne arv, mis on väiksem igast positiivsest arvust ε, seega I∗ (f) = I∗ (f), mis tähendab, et f on integreeruv.
Leida konstantse funktsiooni integraal (näide 11.1), näidata, et Dirichlet ' funktsioon ei ole lõigus [0; 1] integreeruv (näide 11.2).
Iga lõigus konstantne funktsioon on selles lõigus integreeruv. Tõepoolest, funktsiooni
f : [a, b] → R, f (x) := c (11.4)
puhul kehtivad suvalise alajaotuse T = T[x0, . . . , xn] korral seosed
s (T) = S (T) =
= c (b − a), mistõttu I∗ (f) = I∗ (f) = c (b − a) , niisiis I (f) = c (b − a) .
Paneme tähele, et konstantse funktsiooni (11.4) graafikuga määratud kõvertrapets on ristkülik alusega [a, b] ja kõrgusega c. Tähendab, integraali väärtuseks on sel juhul kõvertrapetsi pindala.
Vaatleme Dirichlet’ funktsiooni
Suvalise alajaotuse T[x0, . . . , xn] ∈
[0;1] puhul sisaldab iga osalõik [xk−1, xk] eelpoolmainitud teoreemide 1.9 ja 1.10 põhjal nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve. Seetõttu Mk = 1 ja mk = 0 iga
k = 1, . . . , n korral. Järelikult
seega
S (T) − s (T) = 1 iga T ∈
[0;1] puhul.
Teoreemi 11.3 põhjal ei ole funktsioon f integreeruv. Niisiis, leidub selliseid tõkestatud funktsioone, mis ei ole integreeruvad.

Tõkestatud funktsiooni Reimanni integraal
Selgitada, kuidas moodustatakse funktsiooni Riemanni integraalsumma :
Olgu f : [a, b] → R tõkestatud funktsioon ja olgu T [x0, . . . , xn] lõigu [a, b] mingi alajaotus. Fikseerime iga k = 1, . . . , n korral täiesti suvaliselt punkti ξk osalõigust [xk−1, xk] ning moodustame funktsiooni f alajaotusele T ning punktide komplektile ξ vastava integraalsumma
Kuna
siis
niisiis, s (T) ≤ σ (T, ξ) ≤ S (T) iga T ∈ T puhul, (11.5) sõltumata sellest, kuidas valitakse punktide komplekt ξ iga konkreetse alajaotuse T puhul. Seejuures lause 1.6(b) põhjal
analoogiliselt
Defineerida funktsiooni integreeruvus Riemanni mõttes ning funktsiooni Riemanni integraal.
Öeldakse, et tõkestatud funktsioon f : [a, b] → R on lõigus [a, b] Riemanni mõttes integreeruv, kui eksisteerib lõplik piirväärtus , s.t.
∀ε > 0 ∃δ > 0 : λ (T) Arvu I nimetatakse sel juhul funktsiooni f Riemanni integraaliks lõigus [a, b], seda tähistatakse
Teada järgmisi väiteid:
(1) Tõkestatud funktsioon on Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, kui ta on Darboux' mõttes integreeruv, sel juhul vastavad integraalid on võrdsed (teoreem 11.4).
(2)Lõigus pidev funktsioon on selles lõigus integreeruv (teoreem 11.5).

Integreeruvate funktsioonide omdused
Teada integraali järgmisi omadusi:

integreeruvus osalõigus (lause 12.1):
Kui funktsioon f on integreeruv lõigus [a, b], siis on ta integreeruv igas osalõigus
[a1, b1] ⊂ [a, b].

aditiivsuseomadus (lause 12.2):
Kui funktsioon f on integreeruv lõikudes otspunktidega vastavalt a ja c ning c ja b, siis on ta integreeruv lõigus [a, b] ja Analoogiline väide kehtib ka juhul b

tehetega seotud omadused (laused 12.3 ja 12.4):
Kui funktsioonid f ja g on lõigus [a, b] integreeruvad, siis ka funktsioonid f +g ja λf on lõigus [a, b] integreeruvad ning
ja
Kui funktsioonid f ja g on lõigus [a, b] integreeruvad, siis ka nende korrutis fg on lõigus [a, b] integreeruv.

monotoonsuseomadused (lause 12.6):
(a) Kui f (x) ≥ 0 iga x ∈ [a, b] korral ja f : [a, b] → ∫ R on integreeruv, siis
(b) Kui f (x) ≤ g (x) iga x ∈ [a, b] korral ja funktsioonid f, g : [a, b] → R on integreeruvad,
Siis
(c) Olgu a ≤ b. Kui f on lõigus [a, b] integreeruv funktsioon, siis ka seosega |f| (x) := |f (x)| määratud funktsioon |f| on integreeruv ja
5) keskväärtusteoreem (lause 12.7):
Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et

Diferentsiaal - ja integraalarvutuse põhiteoreem (*)
Tõestada keskväärtusteoreemi abil põhiteoreem 12.8
Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis funktsioon G on lõigus [a, b] diferentseeruv ja
G′ (x) = f (x) iga x ∈ [a, b] korral. Teisisõnu, G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b].
Eeldame, et f : [a, b] → IR on pidev funktsioon. Olgu x ∈ [a, b] suvaline, näitame, et funktsioon G on punktis x diferentseeruv. Kui z ∈ [a, b] ning z ≠ x, siis, arvestades integraali aditiivsuseomadust (vt. lause 12.2) ja kokkulepet (12.1), saame, et
, seega
Rakendades integraali keskväärtusteoreemi (vt. lause 12.7), leiame arvude x ja z vahel sellise punkti c (z), et kehtib võrdus, niisiis
Kuna c (z) paikneb punktide x ja z vahel, siis protsessis z → x punkt c (z) läheneb punktile x, seejuures tänu funktsiooni pidevusele . Niisiis . Teoreeem on tõestatud
Kokkulepe 12.1 -
Lause 12.2 - Kui funktsioon f on integreeruv lõikudes otspunktidega vastavalt a ja c ning c
ja b, siis on ta integreeruv lõigus [a, b] ja
Lause 12.7 - Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et
Tõestada Newton-Leibnizi valem (järeldus 12.10) eelmise järeldusena
Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis
(12.3)
kus F on funktsiooni f suvaline algfunktsioon.
Olgu F funktsiooni f mingi algfunktsioon. Teoreemi 12.8 kohaselt on ka G funktsiooni f üks algfunktsioonidest, seega G(x) = F (x) + C, kus C on mingi constant (vrd. alapunkt 8.1). Seosest G(a) =0 (vrd. kokkulepe (12.1)) järeldub, et C = −F (a) . Tähendab, G(x) = F (x) − F (a) iga x ∈ [a, b] korral, siit tulenebki võrdus (12.3).
Teoreem 12.8 - Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis funktsioon G on lõigus [a, b]
diferentseeruv ja G′ (x)=f (x) iga x∈ [a,b] korral.Teisisõnu, G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a,b]
Kokkulepe 12.1 -
8.1 - F′ (x) = f (x) iga x ∈ D korral, öeldakse, et F on funktsiooni f algfunktsioon intervallis D.
Tuua näiteid Newton-Leibnizi valemi rakendamise kohta.
Määratud integraali arvutamiseks
Päratu integraali leidmiseks

.DOCX Laadi alla originaalfail 41 lk · .docx · 54 allalaadimist

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #1

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #2

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #3

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #4

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #5

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #6

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #7

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #8

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #9

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #10

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #11

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #12

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #13

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #14

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #15

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #16

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #17

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #18

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #19

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #20

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #21

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #22

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #23

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #24

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #25

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #26

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #27

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #28

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #29

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #30

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #31

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #32

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #33

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #34

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #35

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #36

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #37

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #38

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #39

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #40

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #41

100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.

~ 41 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2015-03-24 Kuupäev, millal dokument üles laeti

54 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

kellu1993 Õppematerjali autor

Eksami konspekt

matemaatiline analüüs I tartu ülikool eksami konspekt koonduv diferentseeruv piirväärtus intervall reaalarv reaalarvu piirväärtuse teoreem

Sarnased õppematerjalid

177

pdf

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1

Algebra I

docx

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud

Matemaatiline analüüs 1

odt

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. Punkti ε-ümbrus Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetat

Matemaatiline analüüs 1

odt

Matemaatiline Analüüs I kollokvium spikker

1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a) 2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u||

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑¿ .

Matemaatiline analüüs 1

pdf

Kollokvium I, 2012

Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt pa

Matemaatika analüüs i

docx

ARVU ABSOLUUTVÄÄRTUSE OMADUSED

x1 , x2∈ A FUNKTSIOON (Ühene) ühe reaalmuutuja f-n – hulga X ⊂ R igale elemendile vastab element y hulgast Y ⊂ R. Mitmene f-n – hulga X igale elemendilt vastab vähemalt üks element hulgas Y ja vähemalt ühele hulga X elemendile Mittekahanev(monotoonselt kasvav): piirkonnas A⊂X , kui iga korral vastab mitu elementi hulgast Y. Määramispiirkond – hulk X. Muutumispiirkond – hulk Y. f ( X )={ y| y=f ( x ) ˄ x ∈ X } ⊆Y

Matemaatika

pdf

Matemaatilise analüüsi I kollokviumi vastused

1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0. *Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatika analüüs i

Rohkem sarnaseid