Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium (0)

1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X)
Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused:
1).
2).
1).
||λf|| = sup||λ[f(x)]|| = sup||λ[f(x)]|| = |λ|sup||f(x)||=|λ| ||f|| - 2o
x∈X x∈X x∈X
||f +b|| ≤ sup||(f + b)x|| ≤ sup||fx+bx|| ≤ sup(||fx||+||bx||) ≤ sup||fx||+sup||bx|| ≤ ||f|| +||b|| -3o
x∈X x∈X x∈X x∈X x∈X
*Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused:
1).
2).)
3).
*Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis voime kahe elemendi u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul
d(u, v) := ||v − u||
Seega on kahe reaalarvu (x1, x2 ∈ R) vaheline kaugus leitav kujul
d(x1, x2) = |x2 − x1|
2*( ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)
Punkti - ümbrukseks nim. hulka
*Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) ⊂ Y muutumispiirkonnaks.
*Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui : f(-x)=f(x) ja paarituks funktsiooniks, kui: f(-x)= -f(x).
* Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T =/= 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)= -f(x) korral.
4*( Pöördfunktsioon . Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x ∈ X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , kusjuures y = f (x).
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või mittekahanev.
* Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 N korral.
Jada piirväärtuse omadused + ühe tõestus:
1)konstantse PV jada PV on seesama konstant; 2),kusjuures selle PV on |a|; 3)Iga koonduv jada on tõkestatud;
4)Kui jada PV≠0, siis teatud elemendist alates on jada liikme abs.v. >|a|/2 ; 5)kui jadadkoonduv PV-ks a;7)kui lim(n→∞)xn=a ja lim(n→∞)yn=b, siis
lim(n→∞)[cxn]=ca ja lim(n→∞)=ab ja lim(n→∞)[xn+yn]=a+b; 8)kui lim(n→∞)xn=a ja lim(n→∞)yn=b ning yn≠0 ja b≠0, siis lim(n→∞)xn/yn=a/b; 9) koondub ja selle PV on arv, siis üldliige xn esitatav kujul xn=a+yn, kus yn PV=0; 10)iga ülalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada on koonduv; 11)igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada; 12) lõplik PV, kui iga pos. arvu ε korral leidub naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p korral n→n0 |xn+p -xn| N1 Xn ∈ Uε(a)
n > N2 Xn ∈ Uε(b)
*Kui N= max(N1; N2),siis:
n > N Xn ∈ Uε(a)
n > N Xn ∈ Uε(b)
*Saame vastuolu, kuna vastavalt eeldustele Uε(a) Uε(b) =
6* (Näidata et kuija , ning Xn , siis )
*Tõestus: Fikseerime ε. Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud N1, N2 ∈ N nii, et:
n > N1 Xn ∈ Uε(a) - ε
n > N2 Yn ∈ Uε(a) - ε
Kui N= max(N1; N2),siis vastavalt eeldusele n>N korral
- ε ∈ Uε(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab
7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus)< nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M>0, et iga n ∈ N korral Xn ∈ UM(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.(9 Punkt)
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano -Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem : Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
* lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn *Tõestus: Fikseerime n. Xn Xn- Xn+1 0 korral leidub n ∈ N, et iga naturaalarvu n> N ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |Xn+p - X­n|ε.< koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada.
*Tõestus:
1). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et olgu ε>0 suvaline , siis leidub n ∈ N omadusega |X­n -a|iga n>N korral. Kui n>N, saame |Xn+p - X­n|= |Xn+p –a +a -X­n| |Xn+p - a| + |Xn -a| seega on < Cauchy jada.
2). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud. Eeldame, et < on Cauchy jada. Def. kohaselt leidub selline n ∈ N, et |Xn+p - X­n|N korral. Tähistame A:= Xn+1, siis A-1N), 3). Nä Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõ’d.
*Tähistame nk ja näitame, et nk=a.
*Olgu ε>0 ja N selline indeks, et |Xn+p - X­n| N, p ∈ N)
*Olgu K ∈ N valitud nii, et nk>N, kui k>K ja |Xnk - a|N puhul |Xn - a| = |Xn -Xnk +Xnk - a| |Xnk - Xn| + |Xnk - a|
10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid.
*Jada < koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt.
*Arv a on jada < kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada <, mis koondub arvuks a.
11*(Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega.Reaalmuutuja funktsiooni ühepoolsed piirväärtused )Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε>o leidub >0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 leidub >0, et iga x∈(a-, a) korral kehtib võrratus |f(x)-b|
*Arvu b nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε>o leidub >0,et iga x∈(a, a+) korral kehtib võrratus |f(x)-b|
12*(Funktsiooni piirväärtuse omadused)
Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st.
1)x ∈ X (f(x)=c) 
2).
* =
3). =e = e = e
4). Kui eksisiteerib funktsiooni f(x) piirväärtus punktis x0, siis leidub punkti
x0 selline ümbrus U(x0), et funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal U(x0)\{x0}, st
∃ limx→x0
f(x) ⇒ ∃U(x0) : f(x) = O(1) (x ∈ U(x0)\{x0}).Tõestus: Lähtume funktsiooni piirväärtuse definitsioonist .
Olgu lim(x→x0)f(x) = a.Valime ε = 1. Lause 1 põhjal leidub selline suurus δ > 0, mis määrab punkti x0 korral sellise ümbruse Uδ(x0)) ja seega >00 : |(x)|0)x=0 ja lim(x->0) 5x = 0 siis lim (x->0)x + lim (x->0) 5x = 0+0=0
16*(Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused. Näidata, et kahe ekvivalentse lõpmata väikese suuruse vahe on kõrgemat järku lõpmata väike suurus)Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) nim. piirprotsessis X->Xo ekvivaletseteks lõpmata väikesteks suurusteks, kui ). Seda fakti tähistatakse ().
*Ekvivalentsete lõpmata väikeste suuruste vahe on kõrgemat järku lõpmata väike:
Näiteks: x- sinx ~x3/6 (x->0) ; sinx ~x (x->0)
Tõestus: Kui f ja g on lõpmatult väikesed suurused, siis
lim(x→a)g(x)/f(x)=1/lim(x→a)f(x)/g(x)= 1
Seega,
lim(x→a)f(x) − g(x)/f(x)= lim(x→a)[1 − g(x)/f(x)]= 1 − lim(x→a)g(x)/f(x)= 1 − 1 = 0
See näitab, et vahe on kõrgemat järku lõpumatult väike suurus f suhtes, g suhtes näidatakse analoogiliselt.
17*Näidata, et kui lim(xa) f (x) = b, siis leidub δ > 0, et
f (x) = b + α(x) x ϵ (a -δ, a + δ) \,
kus α (x) on piirprotsessis x  a lõpmata väike suurus.
Limxa f (x) = b
Limxa f (x) - b = lim f(x) – b = 0
f(x) = b + lim (f (x) - b)
α (x):= f(x) - b
ɛ > 0∃δ(ɛ) ...x ϵ Uδ(ɛ)
f(x) ϵ Uɛ(δ)
18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust:
1). f(a);
2). lim x→a+ f(x) lim x→a- f(x)
3).
(Tõestus: (Xo))=0 (Xo f(x-xo)) – f(xo))=0 )
Tähistatakse: f(x) ∈ C(a)
*Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks.
*Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused.
*Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks.
*Kui vaadeldakse suurusi f(Xo) ja eeldatakse 1 ja 2 punkti olemasolu.
19* Näidata, et funktsioon f (x) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f(x) on esitatav kujul
f (x) = f (a) + α(x) = f (a) + o(1), kus lim (xa) α(x) /1=0⇔ α(x)=o(1)
α(x)0(xa)
f(x)=f(a)+α(x) α(x)0(xa)
f-pidev
20*( Pidevate funktsioonide omadusi)
Tambergi materjal
Lause Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on pidevad punktis a ning b,c ϵ R , siis on punktis a pidevad ka funktsioonid bf(x)+cg(x) ja f(x)g(x) ning täiendaval tingimusel g(a)≠0 ka funktsioon f(x)/g(x).
Lause Kui funktsioon cg(x) on pidev punktis a ja funktsioon f(x) on pidev punktis g(a) , siis liitfunktsioon f(g(x)) on pidev punktis a .
MUU
Funktsioon f(x) on pidev punktis X0 parajasti siis, kui see funktsioon on punkti X0 ümbruses esitatav kujul f(x)= f(X0) + (x) , kus (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xxo.
*Kui funktsioonid f1(x) ja f2(x) on pidevad punktis X0 ning C1,C2 ∈ R siis punktis X0 on pidevad ka funktsioonid C1 f1(x) + C2 f2(x) ja f1(x) f2(x) ning täiendaval tingimusel f2(x0)=/=0 ka funktsioon f1(x) /f2(x). Tõestus:
f1(x) = f1(x0) + 1(x), f2(x) = f2(x0) +2(x), kus 1(x) ja 2(x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis X-> X0.
*Et C1 f1(x) + C2 f2(x) = C1 (f1(x0) + 1(x)) + C2(f2(x0) +2(x))= C1f1(x0) + C2f2(x0) + C11(x) + C22(x) = C1f1(x0) + C2f2(x0) + (x), milles suurus (x)= C11(x) + C22(x) on lõpmata väike piirprotsessis xxo, siis C1 f1(x) + C2 f2(x) ∈ C(x0)
* Suuruse f1(x)/ f2(x) jaoks saame esituse: = = + , kusjuures suurus = , kui lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike suurus piirprotessis x->x0.
21*(Hulgal pidevad funktsioonid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X c R, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tähistatakse f(x) C(x).
*Elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides.
*==== = ln = = k
22*(Tõestada Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest)Lõigul pidev funktsioon f(x) on tõkestatud sellel lõigul st. selle funktsiooni väärtuste hulk sellel lõ on tõkestatud. Tõestus: Olgu f(x) . Eeldame väitevastaselt, et funktsioon f(x) on tõkestamata sellel lõigul, st suvalise n korral leidub selline Xn, et |f( Xn)| kusjuures f(Xn) -> Et Xn, *Kasutades funktsiooni pidevust lõigul, leiame, et , kusjuures suurus on lõplik. Teisalt järeldub tingimusest f(Xn) -> tingimus f(Xnk) ->
*Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud väitevastasest eeldusest. Seega on lõigul pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul.
23*(Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. Bolzano- Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) Hulga =/= X c R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sup X. Hulga =/= X c R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf X.
Näide: Vahemik on X=(0;1), Inf x = 0 ja sup x = 1.
*Pidevuse aksioom- Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
*Funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nim. funktsiooni ekstremaalseteks väärtusteks sellel hulgal.
*Weierstrassi teoreem lõigus pidev funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest: Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul.
*Bolanzo Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest: Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel.
24*(Ühtlane ja Lipschitzi pidevus)Funktsiooni f(x) nimetatakse ühtlaselt pidevaks hulgal X c R, kui X1, X2 X /\ |X1 - X2|