Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded I 1. A) A={0;1;2;3} B={0;2;4;...;2n} ühisosaks on numbrid,mis kuuluvad mõlemasse hulka ehk A {0;2} B) A={-5n;...;-10;-5;0;5;10;...;5n} B={-2n;...;-2;0;2;...;2n} A {-10n;...;-10;0;10;...;10n} Seletus: 10n sain tehes tehte 5*2*n,sest sellisel juhul jagub see arv ükskõik millise n-ga korrutades siiski nii 5 kui 2ga ja seega kuulub nii hulka A kui B. 2. A ja B sümmeetriline vahe on C ja värvitud kollaseks. A ja C sümmeetriline vahe on B ning viirutatud,sest kui otsida A ja C sümmeetrilist vahet,siis A juba kuulub sellesse ja seega jääb järele ainult B. 3. väär,sest kahe hulga ühendist moodustatud 2-elemendilisi arve on rohkem,kui moodustades hulgast A ja B eraldi 2-elemendilised arvud ja need seejärel ühendiks võtta. tõene,sest ühisosa on osa,mis on olemas nii hulgas A kui B. tõene,sest alamhulgaks olevasse hulk...
b) Üks õun kui ka üks pirn kui ka üks ploom Korrutamislause (ja/kui ka) – 8 13 6 = 624 võimalust 2. Tähestikus on 27 täht, mitu võimalust on kahetähelise kombinatsiooni moodustamiseks? a) Sama ei saa olla. 26 27 = 702 b) Sama saab olla. 27 27 = 729 c) 9 täishäälikut, 18 kaashäälikut. 9 18 + 18 9 = 324 võimalust KOMBINATSIOONID JA VARIATSIOONID Kombinatsioonid – alamhulgad, kus järjekord ei ole tähtis Variatsioonid – alamhulgad kus järjekord on täht Variatsioon – n-elemendist (koguhulk) k-kaupa on k-elemendilised erinevad järjestused n! k nPr = V n = ( n−k ) ! r=k 24 2 V 4 = 2 = 12 Kombinatsioon – n-elemendist k-kaupa on k-elemendilised osahulgad n! k C n = k ! ( n−k ) !
Tähistan sobivate alamhulkade arvu -ga. Vaatan ka " -i, sest teda on vaja rekurrentse seose kasutamisel. Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 2 Olga Dalton 104493 IAPB21 n hulk alamhulgad sobivad alamhulgad sobivate alamhulkade arv 0 {} {} {} 1 1 {1} {},{1} {},{1} 2
stereomeetriaks.Elementaargeomeetria lähtub kolmest põhikujundist: punktist, sirgest ja tasandist. Punkte tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A, B, C jne), sirgeid väikeste ladina tähtedega (a, b, c jne), tasandeid väikeste kreeka tähtedega (α, β, γ jne). Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib kujundite omadusi, mis on invariantsed topoloogiliste teisenduste suhtes. Kujundi all mõeldakse topoloogias punktihulka, mille alamhulgad rahuldavad teatud aksioome. Neid kujundeid nimetatakse topoloogilisteks ruumideks. Topoloogia on nn kõige üldisem geomeetria. Topoloogia peamine ülesanne on tuua välja ja uurida ruumide selliseid topoloogilisi omadusi, mis ei muutu topoloogilistel teisendustel - topoloogilisi invariante. Tähtsaimate topoloogiliste invariantide hulka kuuluvad näiteks sidusus, kompaktsus, mõõde, kaal, fundamentaalrühm, homoloogiarühmad jne.Samuti selgitab ja uurib topoloogia pidevuse ideed
Graafid Graaf koosneb tippudest(sõlmedest) ja neid ühendavatest kaartest. Kaarega võib ühendada suvalisi graafi tippe, sealhulgas on võimalik kaar samale tipule (iseendale). Iga kaar on määratud kahe tipuga. Orienteeritud graaf: kaared on järjestatud tipupaarid. Def: Graaf on paar (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Näide lk 47 (Palm) Tipu aste tipust väljuvate servade arv. Teoreem: Igas graafis on kõigi tippude astmete summa võrdne servade arvu kahekordsega. Järeldus: Igas graafis on paaritu astemga tippe paarisarv. Ahel graafis tippude järjend, kus iga kaks järjestikust tippu on servaga ühendatud (esimene ja viimane on otstipud vahepeal sisetipud). Ahela pikkus on k kui selles on k+1 tippu. Ahel võib läbida mõnda tippu mitu korda. Lihtahel kõik tipud läbitakse üks kord.
2. Vahemik (a,b)= {x:xR, a
2 46. Transkriptsioonifaktorite NFB ja NFAT aktiveerimine ja osalus T-lümfotsüütide aktivatsiooni algetapil.4 47. G-valkude osa T-lümfotsüütide aktivatsiooni algetapil 4 48.IL-2 transkriptsiooni aktivatsioon kui konvergentsi punkt T- lümfotsüütide aktivatsiooni erinevatele radadele aktivatsiooni algfaasis. 4 49. Immunoloogiline sünaps T-lümfotsüüdi ja APC vahelisel „inteface`l” 4 50. T-rakkude aktivatsioon superantigeenidega. 2 51. Põhilised abi (helper)-T rakkude alamhulgad ja nende osa immuunvastuse kujunemisel. 2 52. Erinevused tüümus sõltuvate ja tüümus sõltumatute antigeenide poolt tekitatud immuunvastuste vahel. 2 53. B-lümfotsüütide komplekse antigeense retseptori struktuur ( BCR – TCRCD3 kompleksi analoog) 2 54. Obligatoorsed signaalid B-rakkude aktiveerimisel TD antigeenide korral. 2 55. Esmased sündmused B-rakkude aktivatsioonil. PTK-de osa aktivatsiooni algetappidel. 4 56. Helper T-rakkude osast B-rakkude aktivatsioonil. 2 57
topoloogia hulgal X on T = {∅, A, X}. 1.2 Topoloogilise ruumi baas Sageli antakse topoloogia hulgal X baasi abil. Definitsioon 1.3 Topoloogilise ruumi (X, T ) lahtiste hulkade hulka B ⊂ T nimetatakse ruumi X baasiks, kui iga mittet¨ ¨hendina hulka B kuuluvatest uhi lahtine hulk avaldub u hulkadest. N¨ aide 1.4 Hulgal X m¨a¨aratud diskreetse topoloogia baa- si moodustavad k˜oik hulga X u ¨heelemendilised alamhulgad. N¨ aide 1.5 Reaalarvude hulga R loomuliku topoloogia T baasi moodustavad k˜oikv˜oimalikud lahtised vahemikud ]a; b[, kus a, b ∈ R, a < b. T˜oepoolest, kui A ∈ T ja A = ∅, 1.3 Kinnised hulgad 9 siis iga x ∈ A jaoks leidub vastavalt loomuliku topoloogia definitsioonile vahemik ]ax ; bx [ nii, et ]ax ; bx [⊂ A. Seet˜ottu A = ∪x∈A ]ax ; bx [.
Teisisõnu, Iga a € R leidub n € N : n > a 7) Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal-kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a < b, siis leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. Irratsionaalarvude hulk RQ on tihe hulgas R: kui a,b € R ja a < b, siis leidub selline irratsionaalarv p, et a < p < b 2. Tõkestatud alamhulgad. Hulga ülemine ja alumina raja (*) Tõkestatud alamhulgad hulgas R. Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et võrratus x ≤ M kehtib iga x ∈ X korral. Arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks. Analoogiliselt nimetatakse hulka X ⊂ R alt tõkestatuks, kui leidub m ∈ R, et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x ≥ m. Arvu m nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks.
ja S = (sij), siis kompositsiooni R S maatriks on maatriksite R ja S (Boole'i) korrutis: RS = (cij), kus ... f. **Relatsiooni astme maatriksi saab leida järjestikuse korrutamise teel: R1 = R, Rn+1 = Rn R Graafid 31) a. Graaf on paar G = (V, E), kus V on mittetühi hulk ja E on hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. b. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks. c. Hulga E elemente nimetatakse graafi servadeks. d. Kui graaf sisaldab silmuseid ja/või kordseid servi, on tegemist multigraafiga. e. Kui n-tipulises graafis on olemas serv iga kahe tipupaari vahel, on tegemist täisgraafiga, märgitakse Kn. f. Kui n-tipulises graafis pole serva ühegi tipupaari vahel, on tegemist nullgraafiga, tähistatakse On. g
on tõene ka ( + ) = + Teisendame võrduse vasakut poolt, kuni saame parema poole: ( + ) = ( + ) = ( + ) + = ( + )+ = + ( + )= + Teisendusteks kasutasime: liitmise aksioomi P4, korrutamise aksioomi P6, implikatsiooni vasakut poolt, liitmise assotsiatiivsust, aksioomi P6. Sellega on L 3.2 ja teoreem 3 tõestatud. GRAAFID Graaf on paar G=(V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks Hulga E elemente nimetatakse graafi servadeks Multigraaf on graaf, mis võimaldab serva, mis ühendab tippu iseendaga, ning võimaldab mitut erinevat serva kahe antud tipu vahel Täisgraafiks nimetatakse n-tipulist graafi, kui selles graafis on olemas serv iga kahe tipupaari vahel Nullgraafiks nimetatakse n-tipulist graafi, kui selles graafis pole serva ühegi tipupaari vahel
Rn+1 =Rn ∘R GRAAFID 33. Graafi definitsioon. Tipud, servad. Multigraaf. Täisgraaf, nullgraaf, täiendgraaf. Kaalutud graaf. Intsidentsus. Naabertipud. Graafi naabrusmaatriks. Alamgraaf. Regulaarne graaf. [2] Graaf, tipud, servad o Graaf on punktide hulk (tavaliselt lõplik), kus mõned punktid on ühendatud joontega. o DEF. Graaf on paar G = (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks, hulga E elemente aga servadeks. Ülaltoodud graafi puhul näiteks on V = {A,B,C,D,E} Ja E = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {C,E}}. 30 Multigraaf o DEF: Et toodud definitsioonis loetakse servadeks ainult tippude hulga kaheelemendilisi alamhulki, siis ei tohi graafis esineda silmuseid, st servi mis ühendavad mingit tippu
matemaatikavälise süsteemiga. Mittetäielikkuse tõestamine andis sisuliselt surmahoobi Hilberti formalistlikule ja Russelli logitsistikule programmile kogu matemaatika lõplikuks aksiomatiseerimiseks ning kahandas lõppkokkuvõttes matemaatikute huvi loogika vastu. Nii praktilises kui filosoofilises plaanis tuleb mittetäielikkuse kasutamisse suhtuda siiski ettevaatusega. Esiteks on väga suured ja huvipakkuvad alamhulgad matemaatikat ning matemaatikaväliseid süsteeme siiski lõplikult aksiomatiseeritavad, st loogika ja formaalne aksiomaatika kui praktiline tööriist ei kaota sugugi oma tähtsust: lihtsalt ei saa loota, et mingi lõplik hulk aksioome suudaks kirjeldada absoluutselt kõike. Teiseks ei ole näha fundamentaalset vahet inimese ja formaalse aksiomaatika teoreetiliste võimaluste vahel: ka inimene on piiratud, nii ruumis kui ajas lõplik, ning ei suuda samuti kirjeldada ega lahendada kõike
sisaldab kolm või rohkem välisvõtit. Nende välisvõtmete kombinatsioon moodustab primaarvõtme. Neljandale normaalkujule viimisel tuleb kontrollida, kas nende välisvõtmete vahel on sõltuvused. Kui omavahelisi sõltuvusi ei ole, siis tuleb see tabel lõhkuda kaheks või rohkemaks tabeliks. Viies normaalkuju (5NF) Kutsutakse ka: project-join normal form (PJNF) Joini-sõltuvus kirjeldab teatud tüüpi veergude vahelist sõltuvust. Näiteks kui tabeli T atribuutide alamhulgad on A, B, ... Z, siis tabel T sisaldab joinisõltuvust siis ja ainult siis kui tabeli T ja tema sisu saab täpselt taastada tema projektsioonide A, B,... Z ühendamise (joinimise) tulemusel. Def. Tabel on viiendal normaalkujul kui ta ei sisalda joini-sõltuvust. St., et tabelit ei õnnestu enam selliteks väiksemateks osadeks lahutada, mida saab kadudeta ühendada. Tegevused: 4-ndal normaalkujul olev tabel on pea-aegu alati ka viiendal normaalkujul
Kui suhe on 50/50, siis pole probleeme, kuid kui suvalist neist on vähem, siis on Ne väiksem kui N. See sõltuvus on kvantitatiivselt kirjeldatav: 4NmNf Ne = -------------- Nm + Nf kus Nm ja Nf on vastavalt isaste ja emaste isendite arv; Tavaliselt on väiksem isaste arv, seda eriti polügaamsete liikide juures, olgu need siis "sotsiaalsed" imetajad, mitmed linnud, samuti liigid, kus esinevad populatsioonis spetsialiseeritud, paljunemises mitteosalevad alamhulgad (sipelgad, mesilased). populatsiooni suuruse fluktuatsioonid: igasugu välistingimuste muutustest, kohalikest väljasuremistest, rekoloniseerimisest jne põhjustatud pudelikaelad jms. Neil põhjustel on toodud sisse veel lisaks ka termin pikaaegne effektiivse populatsiooni suurus. See suurus on sisult õige ja kvantitatiivselt muidugi lähendus. Kui on olemas mingeid andmeid fluktuatsioonide kohta, siis arvutatakse seda harmoonilise keskmisena üle paljude põlvkondade )1, 2,3,…n):
Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkesta- tud alamhulgal. Lause 1.4 Täielikus järjestatud korpuses F leidub igal alt tõkestatud mittetühjal hulgal alu- mine raja. Tõestus. Iseseisvalt!z Järgmise lausega esitame edaspidiseks vajalikud arvutuseeskirjad supreemumi ning infii- mumi jaoks. Lause 1.5 Olgu X ja Y täieliku järjestatud korpuse F mittetühjad alamhulgad. (a) Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y := {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup (X + Y ) = sup X + sup Y. (1.7) ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 11 (b) Kui X ja Y on alt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y alt tõkestatud ja inf (X + Y ) = inf X + inf Y.
Samas aga, kui meil on tõesti suur kihk funktsiooni kirjeldusena kasutada, siis võik- sime iga kuupäevaga vastavusse seada hoopis kõik inimesed, kellel on sel päeval sünnipäev. Teisisõnu muudaksime funktsiooni muutumispiirkonda: enam ei oleks muutumispiirkonna elementideks inimesed, vaid hoopis kõikvõimalikud inimeste funktsioon alamhulgad. Nii saaksime igati toreda funktsiooni ning süda võib rahul olla. See kehtib ka üldisemalt: tihti võime muutumispiirkonda laiendades saada mitte- funktsioonist igati viisaka funktsiooni. Funktsioonide omadusi Nii nagu on eri tüüpi, hoopis isesuguste omadustega masinaid, nii on ka erinevate omadustega funktsioone. Kokku on funktsioone väga palju ning nende kõigiga ei
annaabi.ee 
