Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silind...
Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4
. Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Võrdlus harmoonilise reaga. Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul 1.Kui positiivsete arvridade Σk=1 ak ja Σk=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus ak≤bk, siis
42. Tuletada Greeni valem. 43. Tõestada, et potentsiaalse jõuvälja integraal mööda kinnist kontuuri tasandil võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
.., en} nimetatakse vektorruumi V lineaarselt sõltumatut moodustajate süsteemi Vektori koordinaadid Vektori a koordinaatideks baasil {e1, ..., en} nimetatakse kordajaid x1, x2, ..., xn baasi suhtes avaldises a=x1e1+x2e2+...+xnen Arvrida Arvreaks nimetatakse lõpmatut summat, mis avaldub kujul u ( n ) =u ( 0 ) +u ( 1 )+ ...+u ( m )+ ... n=0 Arvrea summa Arvrea summaks nimetatakse piirväärtust (kui see eksisteerib) S= n lim u ( k ) n k=0 Arvrea koondumise u ( n) lim u ( n )=0 tarvilik tingimus Kui rida koondub, siis tema üldliige läheneb nullile n n=0
...,f(n),... nimetatakse jadaks. Jada elementidest koostatud avaldist f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)+... nimetatakse arvreaks. Näited: n- 1 n- 1 1. Olgu n:=1,2..20. Naturaalarvulise argumendiga n funktsiooni ( -1) väärtused yn:= ( -1) moodustavad lõpliku jada. yT = ( 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ) 2. Mis on jada elemendid ja arvrea liikmed? Esitage 2 näidet! Arve f(n) nimetatakse jada elementideks ja arvrea liikmeteks. 3. Mis on lõplik arvrida, jada? Esitage 2 näidet! Jada ja arvrida nimetatakse lõplikuks kui selles on lõplik arv elemente või liikmeid. Näited: 4. Mis on lõpmatu jada, arvrida? Esitage 2 näidet! Jada ja arvrida nimetatakse lõpmatuks kui selles on lõpmatu palju elemente või liikmeid. Näited: 5. Millised on tuntuimad jadad, arvread? Aritmeetiline jada, geomeetriline jada. 6
Fourier’ teisenduse rakendusi. 𝑘→+∞ √|𝑎𝑘 | 𝑘→+∞ √|𝑎𝑘 | 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta
Aritmeetiline keskmine: AVERAGE Mediaan: MEDIAN Kui N is paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea ehk variatsioonrea keskmine liige. Kui N on paaris, siis on mediaan variatsioonrea kahe keskmise liikme poolsumma. Kvartiilid: QUARTILE 25-protsentiili nimetatakse esimeseks kvartiiliks. Mediaan on 50-protsentiil ehk teine kvartiil. 75-protsentiili nimetatakse kolmandaks kvartiiliks. Mood: MODE Mood on arvrea suurima sagedusega liige. Dispersioon: VARP Näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Arvutuste lihtsustamiseks võib kasutada valemit: Standarthälve: STDEVP Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust. Haare on arverea suurima ja vähima väärtuse vahe. Kovariatsioon: COVAR Olgu igal objektil on mõõdetud rohkem kui üks tunnus. Tunnuste x ja y vaheline kovariatsioon: Arvutamiseks lihtsam valem:
mD y × ( x , y ) dxdy o Kujundi D inertsimomendid Ix ja Iy vastavalt x- ja y-telje suhtes on leitavad 1 1 valemitega: Ix = y 2 × ( x , y ) dxdy ja Iy = x2 × ( x , y ) dxdy mD mD 4. Read Arvrea osasumma mõiste Jada (Sn); kus Sn = u0 + u1 + un nimetatakse rea osasummade jadaks. Kui leidub piirväärtus S = n lim S n siis seda nimetatakse rea summaks ja kirjutatakse u n=S n n=0 Arvrea koonduvus (d'Alemberti ja Cauchy tunnused) o Kui rea summa S on lõplik, siis öeldakse, et rida koondub summaks S: Kui
1. Kirjeldava statistika põhimõisted: Aritmeetiline keskimine X=(x1+x2+...+xN)/N=( i=1N xi)/N Kaalutud keskmine- keskmiste keskmine. On teada rühmade keskmised ja objektide arvud. Mediaan Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea keskmine liige. Kui N on paaris, siis on mediaan järjestatud arvrea kahe keskmise liikme poolsumma. Kvartiilid p-protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100-p) protsenti suurem või võrdne. 25- protsentiili nim. esimene kvartiil. Mediaan on 50-protsentiil e. teine kvartiil. 75-protsentiil nim. kolmas kvartiil. Mood arvrea suurima sagedusega liige. Dispersioon 2= ((x1-x)2+(x2-x)2+...+(xN-x)2)/N =(i=1N(xi-x)2)/N
Kahe tunnuse vahel on kasvav seos lineaarne korrelatsioonikordaja on positiivne Kahe tunnuse vahel on kahanev seos lineaarne korrelatsioonikordaja on negatiivne Küsimus 9 Leia õiged paarid. Õige Hindepunkte Asendikeskmine, mis jaotab järjestatud arvrea kaheks võrdseks osaks: mediaan 1.00/1.00 Tunnuse väärtuste hulgas vähim mõõdetud väärtus: minimaalne elemen
1. Esimest liiki joonintegraali kasutades saab arvutada joone L pikkuse. Tõepoolest, kuna Li on osakaare Mi-1Mi pikkus, siis kaarte pikkuste summa n ln = / Li võrdub joone L pikkusega. i= 1 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga: m = (P)dL L 31. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Olgu antud reaalarvude jada a1, a2, a3,........ Avaldist S ai = a1+ a2+ a3+... nim. arvreaks i =1 Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis
... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n 22. Arvread. Arvrea osasumma. Arvrea koonduvus ja hajuvus, arvrea absoluutne koonduvus. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus*. Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist: ( u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... (1) n=0 Kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks n Summasid u k =1 1 + u 2 + u 3 + ..
1) L PL2 Q F ( x, y )dx = F ( x, f a 2 ( x ))dx 24. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Arvreaks nimetatakse avaldist Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega a=t0, t1, t2, ..., tn=b, kusjuures ti=ti-ti-1, xi=(ti) ja yi=(ti) Punktid Mi((ti),(ti))L b
Def. Antud rida (u) u n un ja tema n-indaks (un) jääkreaks , nim. rida n =1 u k = n +1 k = u n +1 + u n + 2 + ... + u k + ... Lause: kui arvrida (u) koondub, siis koondub ka iga tema jääk rida . Kui lähterea summa on lim S n = S < siis jääkrea summa on S =S-Sn n Kehtib ka vastupidine: Kui koondub jääkrida siis koondub ka arvrida (u). Järeldus: Arvrea koonduvus omadused ei sõltu sellest, kas jätame rea algusest mõned liikmed ära või lisame mõned liikmed juurde. Järeldus: jääkrea summa piirväärtus o võrdne nulliga: lim S = lim( S - S n ) = lim S - lim S n = S - S = 0 n n n n 9 Lause: Koonduv rida (u), siis koondub ka (cu): cu
4) Suurim väärtus on GLOBAALNE MAKSIMUM ja väiksem väärtus GLOBAALNE MIINIMUM. Kahekordsed integraalid · Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus · Kahekordse integraali arvutamine · Integreerimisjärjekorra muutmine · Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, kujundi ruumala, tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) Read · Arvrea koonduvus · Funktsionaalread, astmeread Majanduses kasutatavaid mitme muutuja funktsioone · Osaelastsused · Täisdiferentsiaali majanduslik tähendus · Samatoodangujooned · Tehnilise asenduse piirmäär
Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p. Nt 0,3 kvantiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtuseid on variatsioonreas 30%. Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust xq, millest võrdsete või suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on q. 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon on jaotusfunktsiooni tuletis: F'(x) = f(x). 10
(divF) (x, y, z) def. = Xx(x, y, z) + Yy(x, y, z) + Zz(x, y, z) ehk lühidalt divF = Xx + Yy + Zz. 1.12. VÄLJATEOORIA POHIMOISTED Definitsioon 3. Vektorit (Zy(x, y, z) - Yz(x, y, z),Xz(x, y, z) - Zx(x, y, z), Yx(x, y, z) - Xy(x, y, z)) nimetatakse vektorvälja F rootoriks punktis P(x, y, z) ja tähistatakse rotF, st(rotF) (x, y, z) def. = (1.12.3)= (Zy(x, y, z) - Yz(x, y, z),Xz(x, y, z) - Zx(x, y, z), Yx(x, y, z) - Xy(x, y, z))ehk lühidalt rotF =(Zy - Yz,Xz - Zx, Yx - Xy) . 31. Arvrea koonduvus ja summa Arvujadast u1, u2, ... , un moodustunud avaldist uk = u1+u2+...+un+...seda avaldistt nim reaks. Need arvud u1, u2, ..., un on rea liikmed n- esimesest liikmest koostatud summa Sn=u1+u2+...+un -> rea osasumma, kui olemas limnSn =Sk, siis seda piirväärtust nim rea summaks (kindel suurus) uk=S, öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtust ei eksisteeri või see on lõpmatus, siis rida hajub. 32. Rea koonduvuse tarvilik tingimus
= a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral. Koondub kui on täidetud tingimused: 1) = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi TEOORIAKÜSIMUSED nr 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: = c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida?
= =a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral, koondub kui on täidetud tingimused: 1) lim a = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi. 64. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 65. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... Erijuhtum, kui a=0 66. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida,
N-üldkogumi maht Aritmeetilise keskmise erijuht on kaalutud keskmine: N N N µ = 1 µ1 + 2 µ 2 + ... + m µ m N N N µ1, µ2,..., µm on m-rühma keskmised N1 N 2 N , ,..., m on nn kaalud N N N Mediaan: Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea (variatsioonirea) keskmine liige; kui N on paarisarv, siis on mediaan järjestatud arvrea kahe keskmise liikme poolsumma. Mood on arvrea suurima sagedusega liige. Kvartiilid: 25-protsentiili nim esimeseks kvartiiliks Mediaan on 50-protsentiil ehk teine kvartiil 75-protsentiili nim kolmandaks kvartiiliks Protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100- p) protsenti suurem või võrdne. Dispersioon on andmeväärtuste hajuvust näitav karakteristik. N ( x i - µ )2 =2 i =1
Näide. Leiame 2 n 2 (3 + ) 3n 2 + 2n n = 3. lim = lim n n 2 + 5 n 2 5 n (1 + 2 ) n 2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat
5) Mediaanpalga mõiste SKP kogumahu suurenemine, samuti SKP per capita kasv ei tähenda alati, et keskmise elaniku heaolu on suurenenud (või et suurem hulk inimesi on vaesusepiirist kõrgemale tõusnud), kui loodud rikkus kontsentreerub kõige rikkamate kätte. Üheks võimaluseks oleks vaadata kuidas on muutunud mediaanpalk. Brutokuutasu mediaan mediaanpalgast saavad pooled töölised rohkem ja pooled vähem palka (matem. järjestatud arvrea keskmine liige). Eestis keskmine brutokuutasu 2010. aastal oli 819 eurot ja mediaan 688 eurot. Tegemist küll "keskmise" palgaga, kuid selgelt üle poole palgatöötajatest teenib alla keskmise! MTA andmetel oli 2013. aasta teises kvartalis mediaanpalk 705 eurot (võrdluseks keskmine brutokuupalk 976). 6) Majanduskasvu mõõdikud (5 tk) (+ tutvuge statistikaga) 1) SKP kui majanduslik jõukus 2) SKP kasvumäär kui majanduslik progress
arvust b – ε suurem. Kuna jada (xn) on kasvav, siis b − ε < xN ≤ xn ≤ b < b + ε, kui n ≥ N. Seega −ε < xn − b < ε ehk |xn − b| < ε iga n ≥ N korral. Kokkuvõttes saab iga ε > 0 korral valida indeksi N nii, et |x n − b| < ε kõikide n ≥ N puhul, s.t. Analoogiliselt selgub, et tõkestatud kahanev jada (x n) koondub arvuks inf {xn | n ∈ IN} . 34. Koonduvad ja hajuvad arvread. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks (*) Defineerida arvrea mõiste ja arvrea koonduvus ning hajuvus: Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . , mida me edaspidi tavaliselt märgime kujul nimetame arvreaks (ehk lühidalt reaks) Kui piirväärtus s on lõplik, siis ütleme, et rida on koonduv (summaks s). Mittekoonduvat rida nimetatakse hajuvaks. Selgitada, miks rea suvalise arvu esimeste liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust või hajuvust (s.t. tõestada lause 9.2).
koondavad u ¨ksteist. 8.6 Funktsionaalread Funktsionaalreaks nimetatakse rida, mille liikmed on funktsioonid, st rida uk (x) (8.11) k=1 Kui fikseerida argumendi x v¨a¨artus x0 , omandavad funktsioonid uk(x) kindlad arvulised v¨a¨artused uk (x0 ), st v¨a¨artuse x0 korral saame reast (8.11) arvrea. N¨aide. Vaatleme funktsionaalrida 2 k 1 + x + x + ... + x + ... = xk (8.12) k=0 1 Andes selles reas muutujale x v¨aa¨rtuse x = , saame geomeetrilise rea, 2
x x - 35 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a V READ Arvread Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist (u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... , (1) n =0 kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks. Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks. Definitsioon: Jada (U n ) , kus
. . . . . 133 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid . . . . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Arvread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus . . . . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus . .
kuivsegu vastu võtta. Gravitatsioonsegistite trumli pöörlemissagedus on tavaliselt piires 15...24 p/min. Iseliikuvate ja autobetoonisegistite trumlil on vähemalt kaks pöörlemissagedust - aktiveerimissagedus ca 1...2 p/min ja segamis- e töösagedus, kuid võib olla ka kolmas - tühjendamissagedus, mis on suurem kui töösagedus. Gravitatsioonsegisteid valmistatakse trumli täitemahuga 50...10 000 liitrit kindla arvrea järgi. 87) Mördisegistid Mördisegistid on reeglina sundtoimelised segistid, sest mördi komponentide hulka võib kuuluda ka pastataolised materjalid mille ühtlaseks jaotamiseks üle segu massi tuleb neid segamise protsessis hõõrutada. Toodetakse tsükkel- ja pidevvtoimega-, paikseid ja teisaldatavaid segureid. Liigitatakse: 1. segamisvõlli asendi järgi : a) horisontaalvõlliga (vt TV lk 38,39 joon 5.1, 5.2, 5.3, 5.7),
annaabi.ee 
