FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS Funktsiooni piirväärtuse mõiste, tehetega seotud omadused, ühepoolsed piirväärtused Piirväärtuse mõiste · Arvu A nim funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a ja kirjutatakse lim () = , kui f(x)A niipea kui xa. (loe: kui f(x) läheneb A-le niipea kui x läheneb a-le) · Piltlikult öeldes on arv A funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a, kui funktsiooni y = f(x) väärtused tulevad arvule A kuitahes lähedale, kui argumendi x väärtused on arvule a küllalt lähedal.
x -1 x 2 -1 arvule 1 ja kirjutatakse lim = 2. x 1 x -1 10 Leiame veel mõningad selle funktsiooni piirväärtused. Ülaltooduga analoogilisi tabeleid koostades veendume, et: x 2 -1 x 2 -1 lim = 0 ja lim = 3. x -1 x -1 x 2 x - 1 Üldjuhul võime piirväärtuse mõiste määratleda järgmiselt. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on piirväärtus A kohal a, kui argumendi x väärtuste lähenedes kohale a funktsiooni väärtused f(x) lähenevad arvule A. Kui x a, siis f(x) A (loetakse: kui x läheneb a-le, siis f(x) läheneb A-le). Sümboleis: lim f ( x) = A (loetakse: funktsiooni f(x) piirväärtus kohal a on A). x a FUNKTSIOONI PIDEVUS Kui argumendi väärtus a kuulub funktsiooni y = f(x) määramispiirkonda, siis
*Arv a on hulga X sisepunkt, kui Monotoonsed jadad- leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Tõestus: Määramispiirkond
x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x ∈ X ∧ y = f(x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 3.Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jada – Funktsioon f(x), mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N. Jada piirväärtus - Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 < |x − a| < δ(ε) kehtib võrratus |f(x) − b| < ε. Lim f(x) = b x→a Koonduv jada – Jada, millel on lõplik piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused - 1)Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st
Matemaatiline analüüs I Vähendatud programm I KT Kindlasti peab teadma : 7. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a .
X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f(x1) < f(x2). 1. Naidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 aksioome) || f ||∞ := sup x∈X | f(x)|. ∈X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N = {1, 2, 3, . . .} Ütleme, et jada {xn}∞n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn}∞n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 < ε ∈ R korral leidub N ∈ N nii et xn ∈ Uε(a) iga n > N korral. Tähistame xn → a või xn ( n→∞ →)a 2. Näidata, et reaalarvude jaoks saame kauguse defineerida absoluutväärtuse abil (st d(u,
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või
mittekahanev.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või
kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 X korral, mis rahuldavad võrratust
x1
Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t)
kus: Rsi on piirde sisepinna soojustakistus. Selleks suuruseks on välisseina puhul 0,13, (m2K)/W. R1, R2, R3, R... seina iga materjalikihi arvutuslik soojustakistus, (m2K)/W. Rse piirde välispinna soojustakistus. Selleks suuruseks on välisseina puhul 0,04, (m2K)/W Arvutan soojustuse sektsiooni soojustakistuse Valem 2-ga: Arvutan sõrestik sektsiooni soojustakistuse Valem 2-ga: 3. Leian kogusoojustakistuse ülemise piirväärtuse valemiga: 5 = (Valem 3) kus: Aa, ..., An piirde üksikute sektsioonide osapindalad (osakaalud) RTa, ..., RTn piirde üksikute sektsioonide soojustakistus Arvutan kogusoojustakistuse ülemise piirväärtuse Valem 4-ga = 4. Mittehomogeensete materjalikihtide soojustakistused Arvutan 50 mm paksuse soojustus kihi soojustakistuse
deformatsiooni teooria (II tugevusteooria); *suurima nihkepinge teooria (III tugevusteooria); *energeetiline teooria (IV tugevusteooria) 8.26. Määratlege fenomenoloogiliste tugevusteooriate olemus! - põhinevad katseandmete matemaatilisel töötlemisel, süvenemata piirseisundi ekkemehanismi 8.27. Millisel hüpoteesil põhineb esimene tugevusteooria? Piirseisund tekib (sõltumatult pinguse liigist) siis, kui moodulilt suurim normaalpinge antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: 8.28. Millisel hüpoteesil põhineb teine tugevusteooria? Piirseisund tekib siis (sõltumatult pinguse liigist), kui moodulilt suurim suhteline joondeformatsioon antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: 8.29. Millisel hüpoteesil põhineb kolmas tugevusteooria? Piirseisund tekib siis (sõltumatult pinguse liigist), kui suurim nihkepinge antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: 8.30. Millisel hüpoteesil põhineb neljas tugevusteooria?
Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Järjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast sõltuv suurus. Järjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ka reaalarvude jada , , , . . . , xn, . . . . Sel juhul genereerib jada indeks järjestuse. Kui k > i, siis jada element xk järgneb elemendile xi. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk
tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga. Graafik on sümmeetriline 0-punkti suhtes. f(x)=x3, sest (-x)3=-x3 f(x)=sinx, sest sin(-x)=-sinx f(x)=tanx, sest tan(-x)=-tanx 3. Funktsiooni piirväärtuse mõiste ja sümbol. Piirväärtuse 5 omadust. - Kui funktsiooni f(x) argumendi x väärtuste jada xn läheneb arvule a ükskõik kummalt poolt, siis funktsiooni väärtuste jada f(xn) läheneb kindlale arvule A, siis see arv A ongi selle funktsiooni f(x) piirväärtus (argumendi x lähenemisel arvule a). - Kui xa, siis f(x)A - Omadused(5): 4. Funktsiooni tuletise mõiste (sõnad+sümbolid). Selgitav joonis. Ühe funktsiooni tuletise leidmine tuletise mõitsest/definitsioonist lähtudes.
hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolse siinuse ja koosinuse kaudu on defineeritud veel Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste: Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon: Üldine definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x -
Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Järjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast sõltuv suurus. Järjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ka reaalarvude jada , , , . . . , xn, . . . . Sel juhul genereerib jada indeks järjestuse. Kui k > i, siis jada element xk järgneb elemendile xi. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| < ε. Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb
& , = 0 kus & on mingi ja sisaldav avaldis. =O 4 N , 4 Q) , Q* =P 4 Süsteem määrab iga 4 Q) , Q* korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega , = O 4 , P 4 . Kui muutuja 4 jookseb läbi kogu lõigu Q) , Q* , siis 4-le vastav punkt kujundab tasandile teatud joone. Süsteemi võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat 4 selle joone parameetriks. 7) Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Olgu järjestatud muutuv suurus. Arvu nimetatakse muutuva suuruse piirväärtuseks, kui
15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi
Võrranditega antud joon on ühtlasi funktsiooni y=f(x) graafikuks. d. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid d.i. d.ii. x=arsinhy areasiinus (funktsiooni y=sinhx pöörfunktsioon) x=arccoshy areakoosinus, x=artanhy areatangens, x=arcothy areakotangens 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ®¥ ja x ®-¥ definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. a. Järjestatud muutuva suuruse mõiste Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärstustest on moodustunud järjestatud hulk, st mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. a.i
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N
deformatsiooni teooria (II tugevusteooria); *suurima nihkepinge teooria (III tugevusteooria); *energeetiline teooria (IV tugevusteooria) 8.26. Määratlege fenomenoloogiliste tugevusteooriate olemus! - põhinevad katseandmete matemaatilisel töötlemisel, süvenemata piirseisundi ekkemehanismi 8.27. Millisel hüpoteesil põhineb esimene tugevusteooria? Piirseisund tekib (sõltumatult pinguse liigist) siis, kui moodulilt suurim normaalpinge antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: 8.28. Millisel hüpoteesil põhineb teine tugevusteooria? Piirseisund tekib siis (sõltumatult pinguse liigist), kui moodulilt suurim suhteline joondeformatsioon antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: 8.29. Millisel hüpoteesil põhineb kolmas tugevusteooria? Piirseisund tekib siis (sõltumatult pinguse liigist), kui suurim nihkepinge antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: 8.30. Millisel hüpoteesil põhineb neljas tugevusteooria?
st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2-siny+y=0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x ärjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse , st rahuldavad võrratust Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse
Rahva muusikapärand Aastaaegade vaheldumine Valguskiirus vaakumis Popmuusika võidukäik Lillede fotosüntees Valguse neeldumine Heroiline maastikumaal Saastatud õhk Staatiline elekter Vana - Kreeka kirjandus Vulkaani purskamine Samasuunalised vektorid Hellenistlik kunst Mandrite triiv Kolmerealine determinant Eelklassikaline periood Veetaseme muutus Piirväärtuse arvutamine Joonia stiil Raua oksüdeerumine Pythagorase teoreem Pärimusmuusika päevad Must jää Astronoomiline ühik Laulev revolutsioon Liikide levik Bioloogiline kell Ilmalik laul Liikide väljasuremine Orgaaniline keemia Kunstimuuseumi näitus Liikide teke Aatomi ehitus Eesti muusika Mändrijää sulamine Nõrgad elektrolüüdid
n leidub arv n = n 0 (ε), et kehtib võrratus x 0 n < −M, alati kui n ≥ n 0 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduv aks jadaks. Jada, millel ei ole lõplikku piirväärtust, nimetatakse hajuv aks jadaks. 12. Jada piirväärtuse definitsiooni abil tõestamine Ülesanded vihikust. 13. Tõkestatud jadad (ülalt/alt tõkestatud jada, tõkestatud jada). Monotoonsed jadad. Osajada mõiste. Öeldakse, et jada (x ) on n tõkestatud , kui leidub selline arv M > 0, et |xn| ≤ M (n ∈ N). Tõkestatud jada tähistatakse O(1). Öeldakse, et jada (x ) on n ülalt
Funktsiooni piirväärtuse arvutamine x lim = 1) x →6 3 lim ln x= 2) x →1 2 lim = 3) x →2 2 x−5 1 lim = x→ π tan x 4) 4 lim ( x 3−5 x ) = 5) x →3 2 4 x −1 lim = 1 2 x +1 x→ − 6) 2 x 2 −1 lim = 7) x →1 x−1 x 2 −x−6 lim = 8) x →3 x−3 9−x lim = 9) x→9 √ x−3 x lim = 10) x →0 √ 4+x−2 2 x +4 lim = 11) x → ∞ 3 x +1 x 2 +2 x+5 lim 2 = 12) x → ∞ 2 x −6 x +1 2 x −x2 lim 3 = 13) x → ∞ 3 x +1 3 x 3 +1 lim 2 = 14) x → ∞ 2 x +x 2 x 2 +47 x +5 lim 3 ...
mõistet; y = x , y = 3 x , y 8) tuletab aritmeetilise ja x geomeetrilise jada esimese n = x-2, y = liikme summa ja hääbuva graafikud ja geomeetrilise jada summa omadused. valemid ning rakendab neid ning Liitfunktsioon. aritmeetilise ja geomeetrilise jada Pöördfunktsioon. üldliikme valemeid ülesandeid Funktsioonide y = f lahendades; (x), y = f (x) + a, y 9) selgitab jada piirväärtuse = f (x + a), y = f olemust ning arvutab piirväärtuse; (ax), y = a f (x) teab arvude ja e tähendust; graafikud arvutil. 10) lahendab elulisi ülesandeid Arvjada mõiste, aritmeetilise, geomeetrilise ning jada üldliige, hääbuva geomeetrilise jada jadade liigid. põhjal. Aritmeetiline jada, selle omadused. Aritmeetilise jada üldliikme valem ning esimese n liikme summa valem. Geomeetriline jada, selle omadused.
1. 2. 3. 4. Hüperboolse siinuse ja koosiinuse kaudu on defineeritud veel: 5. 6. Areafunktsioonid e sinh, cosh,tanh,coth pöördfunktsioonid 7. 8. 9. 10. 7. · Järjestatud muutuv suurus Kui x väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda kumb on eelenv ja kumb järgnev. · Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a saame nimetada suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikse positiivse arvu korral saab näidata sellist x väärtust millele kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad a ümbrusesse ( ehk rahuldavad võrratust . Kui arv a on suuruse piirväärtus siis öeldakse, et x läheneb a-le. · Muutuva suuruse vasakpoolne piirväärtus Olgu x järjestatud muutuv suurus. Kui
väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse või . MUUTUVA SUURUSE ÜHEPOOLSETE PIIRPROTSESSIDE DEFINITSIOONID Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a - , a + ) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a - , a] või [a,a + ). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. . Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu
F = 4 * 2,45 = 9,8 kN Leian kogu ülalt alla mõjuva jõu (ilma momendita). 9,8 + 4 + 6 11,345 = 8,455 kN Leian resultantjõu lõigul Xf2 (ilma momendita). R2 = 22,5752 + 11,3452 = 638,34 R = 638,34 25,3 kN 2 Talale mõjuvad jõud ja moment Jõudude epüür Momendi epüür 3 Suurima nihkepinge ehk kolmas tugevusteooria. Piirseisund tekib siis (sõltumatult pindsuse liigist), kui suurim nihkepinge antud punktis saavutab teatud piirväärtuse: (sõltumatult teisest pinge- ja deformatsiooni komponentidest). Liitpingsuse suurim nihkepinge: Ekvivalentse joonpinguse suurim nihkepinge: Teooria annab häid tulemusi tasandpinguses sitkete materjalide puhul, mille käitumine tõmbel ja survel on ühesugune ja piirseisundiks on voolamine (teras). normaalpinge (pikkepinge) tangentsiaalpinge (nihkepinge) 4
sechx =1 /coshx=2 /ex + e-x- hüperboolne seekant : cschx =1 /sinhx=2 /ex - e-x- hüperboolne koseekant. x = arsinhy - areasiinus x = arcoshy - areakosinus x = artanhy - areatangens x = arcothy - areakotangens 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a-,a+ ), st rahuldavad võrratust |x- a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või limx = a.
väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (;M), st rahuldavad võrratust x
väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (;M), st rahuldavad võrratust x
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni piirväärtus Piirväärtuse arvutamine: lim 1 = x 0 x2 lim 1 =0 x x lim C =C x a lim [ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x a x a x a lim [ f ( x) - g ( x)] = lim f ( x) - lim g ( x) x a x a x a lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a lim f ( x) lim f ( x ) = xa
Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal.
1.17. L'Hospitali reegel Reegel, abistamaks piirväärtuse leidmist. Lause 1. Kui ja eksisteerib ning , siiseksisteerib ka , kusjuures , st . Analoogiline v'ide peab paika ka vasakpoole piirväärtuse ja ka kahepoolse piirväärtuse korral. Tõestus. Eelduses, et eksisteerib sisaldub vaikimisi, et Olgu suurus selline, et . Vaatleme abifunktsioone: ja . Ning nendest järeldub, et , kusjuures . Et , siis funktsioonid F(x) ja G(x) rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi ning kehtib väide: . Vasakpoolse piirväärtusega analoogselt: (kirjutan ümber sama aint a-) Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus . N. N. 1.18.Taylori polünoom.
ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞ 9
näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat jada nimetatakse hajuvaks. Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (x n), kus xn = a iga n ∈ N korral, 1/x Hajuv jada: , Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3) Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus) lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b Vaja näidata, et a = b a – b = 0 [Fakt Iga ε > 0 |x| < ε x = 0] Näitame, et iga ε > 0 |a - b| < ε Fikseerime ε > 0 Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N1 : Iga n (n ≥ N1 => xn = |xn – a | < ε/2) Kuna lim xn = b, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N2 : Iga n (n ≥ N2 => xn = |xn – b | < ε/2)
põhjuseks olev kavandatav tegevus toob eeldatavalt kaasa olulise keskkonnamõju; § 6. Olulise keskkonnamõjuga tegevus (1) Olulise keskkonnamõjuga tegevus on: 1) nafta töötlemine, välja arvatud naftast ainult määrdeainete tootmine; Kaalutlusõiguse puhul võib haldusorgan tagajärje osas teha valikuid rakendada tagajärge B1, B2, B3 ....... Saastuse kompleksse vältimise ja kontrollimise seadus § 19. Heite piirväärtuse määramise alused (2) Heite piirväärtusi määrates lähtutakse õigusaktides ettenähtud piirväärtustest. Kui õigusaktis on sätestatud heite piirväärtuse vähim ja suurim väärtus, võib loa andja määrata käitise või selle osa konkreetse heite piirväärtuse nende väärtuste vahemikust, arvestades tulemust, mida on võimalik saada parimat võimalikku tehnikat kasutades. Haldusõigus Määratlemata õigusmõisted
Sellise piirprotsessi tähistusviis on x → −∞ või lim x = −∞ . 7. Defineerida reaalarvude jada piirväärtus. Milline jada on koonduv ja milline jada on hajuv? (lk 4) Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a või lim xn = a 8. Defineerida funktsiooni piirväärtus. (lk 5) Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ei= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on limx→a f(x) = b või f(x) → b kui x → a 9. Milline on funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu? (lk 6 – 7)
alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused rahuldavad võrratust . Muutuja x läheneb lõpmatusele, kui iga etteantud positiivse arvu M korral saab näidata sellist x väärtust, millest alates muutuja x kõik järgnevad väärtused x >M rahuldavad võrratust Kui muutuja x läheneb lõpmatusele, siis nimetatakse teda lõpmatult kasvavaks suuruseks ja kirjutatakse: x . 7. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon, selle graafiline tähendus. Funktsiooni vasakpoolne ja parempoolne piirväärtus (ühepoolsed piirväärtused). Funktsiooni piirväärtuse definitsioon, kui argument läheneb lõpmatusele. Funktsiooni piirväärtus - Olgu funktsioon y = f ( x ) määratud punkti a mingis ümbruses või selle ümbruse mõnedes punktides. Funktsioon y = f ( x ) läheneb piirväärtusele b (yb) argumendi x lähenemisel väärtusele a (xa), kui iga kuitahes
mobiiltelefoni kasutamine suurendab kasvajate riski süljenäärmetes, kuulmisnärvis ja ajus TTÜ uuringud · TTÜ biomeditsiinitehnika instituudis tehtud EEG uuringu tulemused näitavad, et mikrolainekiirgus mõjub ajule kui mittespetsiifiline ärritaja · Sarnased muutused toimuvad EEG signaalis ka alkoholi toimel · Inimeste tundlikkus kiirgusel on erinev Piirnorme on vaja muuta! · Sõltumatute teadlaste ja ekspertide ühendus BioInitiative taotleb piirväärtuse kehtestamist 0,6 V/m · Kiirguse piirnormide karmistamine tähendaks tõsiseid probleeme kaasaegsete telekommunikatsioonivahendite, eelkõige mobiiltelefonide tootjatele Elektromagnetiline saaste · Elektromagnetkiirgus ei ole enam pelgalt teatud töökeskonna ohutegur, vaid kogu keskonna elektromagnetiline saaste, mis mõjutab kogu elanikonda · Kehtivad piirnormid ei välista terviseriski Lapsed ja mobiiltelefonid · Kõige tundlikum riskigrupp on lapsed, sest
Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x pöördfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x pöördfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x pöördfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x pöördfunktsioon) . 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus
Funktsioon y = f(x) läheneb piirväärtusele b (y b) argumendi x lähenemisel väärtusele a (x ), kui iga kuitahes väikese positiivne arv , et iga x a puhul, mis rahuldab võrratust < , kehtib võrratus < . Kirjutatakse: Geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil y = f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Tõestus 11. Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused (näiteid). Piirväärtuse f(x) = b eksisteerimise tingimus Ühepoolsed piirväärtused. Arvu nimetatakse funktsiooni vasakpoolseks piirväärtuseks punktis , kui iga leidub , et kui Arvu nimetatakse funktsiooni parempoolseks piirväärtuseks punktis , kui iga leidub , et kui korral kehtib võrratus . Näited: = 1 ja = - 1 Piirväärtuse f(x) = b eksisteerimise tingimus
gaasides pidevalt järgmiste saasteainete sisaldust: 1) vääveldioksiid; 2) lämmastikoksiidid; 3) tahkete osakeste kõik fraktsioonid kokku; 4) süsinikoksiid gaaskütuse põletamise korral. o Kivisütt või pruunsütt kasutavate põletusseadmete puhul mõõdetakse vähemalt üks kord aastas elavhõbeda summaarset heidet. SAASTEAINETE HEITE PIIRVÄÄRTUSTE JÄRGIMINE Pideva mõõtmise korral loetakse saasteainete heitele esitatavad piirväärtuse nõuded täidetuks, kui mõõtmiste tulemused näitavad, et: o ühegi kalendrikuu keskmine heite mõõtetulemus ei ületa suurte põletusseadmete jaoks kehtestatud heite piirväärtust; o ükski ööpäeva keskmine heite mõõtetulemus ei ületa heite piirväärtust 110 protsenti; o 95 protsenti kõigist ühe tunni keskmistest heidetest ei ületa heite piirväärtust aasta kestel 200 protsenti. NÕUDED SAASTEAINETE PÜÜDESEADME AVARII KORRAL
ringjopne n n lim n sin n n n pikkus on lõplik arv, peab ka n n olema lõplik arv. See peab olema kõigi ringjoonte puhul ühesugune, sest piirväärtuse sümboli all ei esine ringjoone raadiust r. Selleks, et veenduda, kas on 180 irratsionaalarv 3,14, koostame lim n sin ja täidame tabeli: n n n 3 60 ≈0,866 ≈2,598 12 15 ≈0,2588 ≈3,106 24 7,5 ≈0,1305 ≈3,133 72 2,5 ≈0,0436 ≈3,1406
3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. §2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a, a+) leidub punkte x X, x a. Definitsioon 1. Arvu a nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a (piirprotsessis x a), kui iga arvu > 0 korral leidub = ( ) > 0, nii et f(x) - A< , alati kui 0< x - a< . Kirjutame lim xa f(x) = A või lim f ( x) = A x a
suuruseks võrreldes -ga, kui lim = 0 . Kui 0 , siis öeldakse ka, et lugeja läheneb 0-le kiiremini kui nimetaja. Pöördväärtus on lõpmata suur. Arv e e (Euleri arv) on naturaallogaritmi alus. e avaldub e = 2,718281828... e on irratsionaalarv (väärtust ei saa täpselt esitada). Piirväärtus Lõpmatu rea summa: kus n! on arvu n faktoriaal. Piirväärtuse arvutamine- arvu A nimetatakse jada an piirväärtuseks, kui mingist jada elemendist alates kõik jada elemendid on arvule A lõpmata lähedal. Piirväärtuse arvutamiseks kaotame avaldisest ära selle osa, mis muudaks selle avaldise lahendamatuks ning seejärel asendame arvuga ja saame vastuse. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused- L'Hospitali valemit võime kasutada piirväärtuse arvutamise lihtsustamiseks ning reeglina kasutatakse seda ainult selliste piirväärtuste korral, mis
sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik jÄrgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse Ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tÄhistatakse jÄrgmiselt: x või lim x = . Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes vÄikese positiivse arvu korral saab nÄidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik jÄrgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a Ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on jÄrgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult vaikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pÖÖrdarvud. Teoreem 2.1
Kui argumendi x väärtuste jada xn lähenemisel arvule a, ükskõik kummalt poolt, kas vasakult või paremalt, vastava funktsiooniväärtuste jada f(x n) läheneb ühele kindlale arvule A, siis öeldakse, et arv A on funktsiooni f(x) piirväärtus argumendi x lähenemiseel arvule a ja kirjutatakse või lühemalt Võib olla ka, et x -> +∞ x -> - ∞ Argumendi väärtus a ei pea olema määrmaispiirkonnas. Funktsiooni piirväärtusi ei saa olla mitu tükki. Piirväärtuse omadusi , kus c on konstant. , kus c on konstant. Need omadused kehtivad ka siis kui x→∞ Kaks tähtsamat piirväärtust: ehk sinx ~ x, kui x→0 (läheneb 0-le ja on väga väike) e ≈ 2,72 Funktsiooni pidevus Funktsioon on pidev mingis punktis y0, kui funktsiooni graafiku joonistamisel punktist (f(x0) ; x0) läbi minnes ei pea pliiatsit paberilt tõstma. Joonis 8. Punktis x0 pideva funktsiooni f(x) korral
Millistes kohtades on see kõrge – millega saab seda seostada? See on kõrge rahvastatud aladel (näiteks Hiina aladel kõrgeim). Seda saab seostada aktiivse vulkaanilise tegevuse, energiaettevõtete ja töötlevate tööstuste töötamise ja kivisöe ja kütteõli põlemisega. Näiteks Hiinas on palju tööstusi, mille tõttu satub õhku hulga vääveldioksiidi. Näiteks Eestis kehtiva saasteainete sisalduse piirväärtuse on vääveldioksiidi puhul 24 tunni keskmisena 125 µg/m3. g) Vali aerosoolide hulka õhus kajastav kaardikiht. Miks joonistub siin välja Aafrika siseosa? Teine aerosoolidest üsna paks õhk on Atlandi ookeani kohal – põhjenda, miks see nii on. Tšaadis olevad Tiibesti mägesid ja Ennedi lavamaad läbivad liivatormid paiskavad atmosfääri liiva, mis paiskub üle Aafrika ja Atlandi ookeani .
Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist · Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga: lim(y+z)=a+b · korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta) · Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b0 · Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a
annaabi.ee 
