korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi.
11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22
27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5. 6. 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal > Mat.Analüüs 2 Page 1 7
k! Taylori reaks ∞ f (k )( 0) k Kui a=0 saame f (x)=∑ ∗x – sellist rida nimetatakse k=1 k! Maclaurini reaks 34.Astmerida(definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall- kuidas neid leida? ∞ Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul ∑ cn x n , kus c0, n=0 c1.... on arvud, mida nimetatakse rea kordajateks. Omadused: rida koondub ainult punktis x=a; rida koondub kõikide x-
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
+(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0 Astmerea Astmerea koonduvusvahemikuks nimetatakse vahemikku (a-R, a+R), kus koonduvusraadius suurus R on koonduvusraadius Astmerea Astmerea koonduvuspiirkonnaks nimetatakse hulka X={x R: rida koonduvuspiirkond a ( n ) ( x-c )n koondub} n=0 Funktsiooni Olgu funktsioon f(x) määratud punkti c R mingis ümbruses. Öeldakse, et arendamine funktsioon f(x) on arendatav astmeritta punktis c, kui leidub astmerida, mis astmereaks
koondub absoluutselt koonduv tingimisi koonduv 4. Mis on funktsionaalrida? Esitada näide! Rida, mille liikmed on funktsioonid, nimetatakse funktsionaalreaks. 5. Mis on astmerida? Esitada näide! a xi i Funktsionaal rea tähtis erijuhtub on astmerida i = 0 , kus a0 ,a1 , a2, ... , an , .... on konstandid. 6. Mis on koonduvusraadius ja koonduvusvahemik? Esitada näide! Koonduvusraadius on raadius, kus rida koondub. Koonduvusvahemik on vahemik, kus rida koondub. Rea koonduvusraadius on 2, rida koondub vahemikus , kuid Kui ja , siis on rida hajuv 7. Kuidas arendada funktsioone astmeritta Mathcadi keskkonnas? Esitada näide! Symbolics --- Variable --- Expand to series või käsuga "series" Symbolic palettilt Näide: 8. Defineerige funktsiooni piirväärtus
∞ ∞ k ∞ k x x piisab analüüsida lihtsaid näiteid xk , ja (iseseisvalt!)z. P P P k k2 k=0 k=1 k=1 6.6.2 Astmerea summa omadused ∞ Olgu r > 0 astmerea ak xk koonduvusraadius ja funktsioon s : (−r, r) → R selle rea P k=0 ∞ summa, s.t. s (x) := ak xk iga x ∈ (−r, r) korral. Enne, kui asume uurima funktsiooni s P k=0 omadusi, tõestame lause, mis kirjeldab astmerea ühtlast koonduvust. ∞ Lause 6.37 Astmerida ak xk koondub ühtlaselt igas lõigus [a, b] , kus −r < a < b < r.
x . Omadus 3. Astmerida (1) võib igas punktis x (- R; R ) liikmeti diferentseerida, kusjuures S ( x ) = na n x n -1 . n =0 Astmerea (1) liikmeti integreerimisel või diferentseerimisel tema koonduvusraadius ei muutu. Samad omadused kehtivad ka astmerea (2) kohta tema koonduvusvahemikus (a - R; a + R ) . Teoreem (Abeli lemma). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku (- R; R ) parem- poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa S (x ) on vasakult pidev punktis R , st. S (R - ) = S ( R ) . Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti - R kohta. 27
Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid. 42. Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5). Astmerea summa s: (−r, r) → R on diferentseeruv funktsioon. Astmerida võib igas punktis x ∈ (−r, r) liikmeti diferentseerida, seejuures (10.5) ja astmerea (10.5) koonduvusraadius on r. Defineerida lõpmata palju kordi diferentseeruva funktsiooni f Taylori rida, selgitada, kuidas saadakse seos an = (valem (10.7)) funktsiooni ja astmerea kordajate vahel. Üldiselt, f : (a − d, a + d) → R on lõpmata palju kordi diferentseeruv, suvalise n ∈ N korral avaldub funktsiooni n-ndat järku tuletis kujul Selgitada seost Taylori valemiga (lause 10.7): Funktsiooni f Taylori rida koondub hulgas (a − d, a + d) summaks
a n =0 n x n , kus a n R, x - sõltumatu muutuja. n X = x | lim a k x k - astmerea koonduvuse piirkond n k =0 n k A = x | lim a k x - astmerea absoluutse koonduvuse piirkond n k =0 1 R= - astmerea koonduvusraadius lim n a n n Teoreem (Cauchy-Hadamanrdi valem): Astmerida a n x n koondub absoluutselt piirkonnas (- R, R ) ja hajub kui x > R . n=0 Tõestus: n a k
Avaldist p(A) := a0 I +a1 A + · · · + an An kus n on mittenegatiivne t¨aisarv, nimetatakse maatrikspol¨ unoo- miks. Samuti ¨oeldakse, et p(A) on pol¨ unoomi p(x) := a0 + a1 x + · · · + an xn v¨a¨artus kohal A. 7.3 Maatriksastmeread Olgu antud (koonduv) astmerida f (x) = an xn , |x| < r (koonduvusraadius) n=0 Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea f (x) = an An n=0 20 II. Maatriksarvutus ning u ¨tleme, et f (A) on funktsiooni f (x) v¨a¨artus kohal A. Vaiki- misi eeldame, et rida f (A) koondub samuti. Seega, funktsiooni f (x) arendame (kui v~oimalik) koonduvasse
annaabi.ee 
