20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused)
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud muutujad Näide: Funktsioon võib olla antud ilmutatud kujul z= f (x1 , x2 , x3 , … x n) (z=x2+y2-5) või ilmutamata kujul F ( x 1 , x 2 , ...
siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad
samaaegselt.
3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Võrdlus harmoonilise reaga.
Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul
1.Kui positiivsete arvridade Σk=1 ak ja Σk=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus
ak≤bk, siis
rea Σk=1bk koondumisest järeldub rea Σk=1 ak koondumine;
rea Σk=1 ak hajumisest järeldub rea Σk=1bk hajumine.
2.Kui Σk=1 ak ja Σk=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus
nende üldliikmete ak ja bk suhtes
limk- ∞ ak/bk =γ≠0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt
Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame
Võime piirduda juhuga k0=1. Et
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv ε >0 selline, et
γ-ε>0. Ahela esimese võrratuse põhjal (γ-ε)bk
samaaegselt.
3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada.
Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul
1.Kui positiivsete arvridade k=1 ak ja k=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus
akbk, siis
· rea k=1bk koondumisest järeldub rea k=1 ak koondumine;
· rea k=1 ak hajumisest järeldub rea k=1bk hajumine.
2.Kui k=1 ak ja k=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus
nende üldliikmete ak ja bk suhtes
limk- ak/bk =0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt
Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame
Võime piirduda juhuga k0=1. Et
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv >0 selline, et
->0. Ahela esimese võrratuse põhjal (-)bk
samaaegselt.
3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada.
Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul
1.Kui positiivsete arvridade k=1 ak ja k=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus
akbk, siis
· rea k=1bk koondumisest järeldub rea k=1 ak koondumine;
· rea k=1 ak hajumisest järeldub rea k=1bk hajumine.
2.Kui k=1 ak ja k=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus
nende üldliikmete ak ja bk suhtes
limk- ak/bk =0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt
Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame
Võime piirduda juhuga k0=1. Et
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv >0 selline, et
->0. Ahela esimese võrratuse põhjal (-)bk
... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n 22. Arvread. Arvrea osasumma. Arvrea koonduvus ja hajuvus, arvrea absoluutne koonduvus. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus*. Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist: ( u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... (1) n=0 Kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks n Summasid u k =1 1 + u 2 + u 3 + ..
Et süsteem { 𝜑k (x)} (𝑘 ∈ 𝑁0 ) on ortogonaalne Viimasest ahelast saame tingimuse abil, et Ak≥ ∫𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥Ak+1 (k ∈ N). Seega kehtivad seosed ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 ≥ Lause 2: Kui ∑∞ ∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 ja ∑𝑘=1 𝑏𝑘 on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus nende üldliikmete ak ja bk 〈𝑓,𝜑𝑚 〉 〈𝑓,𝜑𝑘 〉
2. Mis on jada elemendid ja arvrea liikmed? Esitage 2 näidet! Arve f(n) nimetatakse jada elementideks ja arvrea liikmeteks. 3. Mis on lõplik arvrida, jada? Esitage 2 näidet! Jada ja arvrida nimetatakse lõplikuks kui selles on lõplik arv elemente või liikmeid. Näited: 4. Mis on lõpmatu jada, arvrida? Esitage 2 näidet! Jada ja arvrida nimetatakse lõpmatuks kui selles on lõpmatu palju elemente või liikmeid. Näited: 5. Millised on tuntuimad jadad, arvread? Aritmeetiline jada, geomeetriline jada. 6. Kodanik paneb panka 10000 krooni. Kui palju on temal pangas raha täpselt 10 aasta pärast, kui intress on 10 aasta jooksul stabiilselt 3%. 7. Mis on rekurrentne seos? Esitage 2 näidet! Seos, mis võimaldab jada k-ndat elemnti leida selle jada eelmiste elementide kaudu, nimetatakse rekurentseks seoseks. 8. Milline on esimest järku rekurrentne seos? Esitage näide!
Näide. Leiame 2 n 2 (3 + ) 3n 2 + 2n n = 3. lim = lim n n 2 + 5 n 2 5 n (1 + 2 ) n 2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat
ei ole selle hulga ülemiseks tõkkeks, järelikult leidub selline jada liige x N, mis on arvust b – ε suurem. Kuna jada (xn) on kasvav, siis b − ε < xN ≤ xn ≤ b < b + ε, kui n ≥ N. Seega −ε < xn − b < ε ehk |xn − b| < ε iga n ≥ N korral. Kokkuvõttes saab iga ε > 0 korral valida indeksi N nii, et |x n − b| < ε kõikide n ≥ N puhul, s.t. Analoogiliselt selgub, et tõkestatud kahanev jada (x n) koondub arvuks inf {xn | n ∈ IN} . 34. Koonduvad ja hajuvad arvread. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks (*) Defineerida arvrea mõiste ja arvrea koonduvus ning hajuvus: Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . , mida me edaspidi tavaliselt märgime kujul nimetame arvreaks (ehk lühidalt reaks) Kui piirväärtus s on lõplik, siis ütleme, et rida on koonduv (summaks s). Mittekoonduvat rida nimetatakse hajuvaks. Selgitada, miks rea suvalise arvu esimeste liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust või hajuvust (s
x x - 35 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a V READ Arvread Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist (u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... , (1) n =0 kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks. Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks. Definitsioon: Jada (U n ) , kus
. . . . . 133 6.1.1 Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid . . . . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Arvread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus . . . . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . .
1) k=1 Liidetavaid selles summas nimetatakse rea liikmeteks ja liiget uk rea u ¨ ¨ldliikmeks. Uldliikmest saame indeksile k v¨a¨artusi andes konkreetsed liik- med. Kui rea liikmed on reaalarvud, nimetatakse rida arvreaks. Kui aga liikmed on muutuja x funktsioonid, st uk = uk (x), k = 1, 2, . . ., nimetatakse rida funktsionaalreaks. Esmalt vaatleme arvridu. Tuntumad arvread on geomeetriline rida a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q k + . . . = a1 q k (8.2) k=0 ja harmooniline rida 1 1 1 1 1 + + + ... + + ..
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
