"poollõik" - 27 õppematerjali

Võrratused vastused seletused

I RÜHM 2x 4 0 15 1. 2p. Väga lihtne ülesanne. Vastus: x>2 3 x 2 4 2x 2 6 x 0 6x3 6x 2. 3p. Arvteljele tuleb kanda 4 väärust, nende hulgas on 2 kahekordset väärtust ja null. Intervallmeetodil lahendades alustad paremalt joonistamist ALT. Lõppvastuses on ka üks üksik väärus. Vastuseks on poollõik või üksik element 2 x 2 32 3. 2p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Vastuseks on lõik x2 4 0 4. 1p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Kuigi nullkohad puuduvad on võrratuse lahendiks kõik reaalarvud. 3 3x 2 1 5x 1 5

Reaalarvud

Vahemik a-st b-ni A poollõik Xa [a; ) a Lõpmatu poollõik Xb (-; b] b Lõpmatu vahemik X>a (a; ) a Lõpmatu vahemik X

f) a, b b0 korral on võrrandil b x = a olemas lahend g) a, b, c (a + b)c = a c + b c korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. 16. Reaalarvude piirkonnad. Nimetus Tingimus Tähis Lõik axb [a; b] Vahemik a poollõik xa [a; [ xb ]- ; b] Lõpmatu vahemik x>a ]a; [ x

Põhilised arvuhulgad: 2  1. N ­ naturaalarvude hulk N={0,1,2,...} 2. Z ­ täisarvude hulk Z={...,-2,-1,0,1,2,...} 3. Q ­ ratsionaalarvude hulk Q={q:q=m/n, m A, n{1,2,3...}} 4. R ­ reaalarvude hulk 5. C ­ kompleksarvude hulk C={z:z=x+iy, x, y R, i2=-1} Intervallid: 1. Lõik [a,b]={x:xR, axb} 2. Vahemik (a,b)= {x:xR, a Poollõik [a,b)= {x:xR, ax Poollõik (a,b]= {x:xR, a

Võrratused

või mitu arvpiirkonda. Arvpiirkond võib olla : 1) vahemik ] a, b [ - kõigi ahelvõrratust a < x < b rahuldavate reaalarvude hulk, kus a ja b on mingid kindlad arvud; näiteks a = -2, b = 5 korral vahemik ] -2,5 [ on reaalarvude hulk -2 ja 5 vahel, arvud -2 ja 5 ei kuulu ise sellesse vahemikku; 2) lõik [ a, b ] - kõigi ahelvõrratust a x b rahuldavate reaalarvude hulk (seega lõik sisaldab oma otspunkte); 3) poollõik [ a, b [ , mille määrab ahelvõrratus a x < b; 4) poollõik ] a, b ] , mille määrab ahelvõrratus a < x b. Kõigi reaalarvude hulk (kogu arvtelg) moodustab vahemiku ] - , [ , mille määrab ahelvõrratus - < x < . Arvust a suuremate reaalarvude hulk on vahemik ] a, [ , mille määrab võrratus x > a. Arvust a väiksemate reaalarvude hulk on vahemik ]-, a[, mille määrab võrratus x < a. Analoogiliselt on määratud poollõigud [ a, [ ja ]-, a].

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused.  18.Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. N ­ naturaalarvud (0,1,2,3,4,5.....) Z ­ täisarvud (-1,-2,-3,5,6,7....) Q ­ ratsionaalarvud (1/2, -3/4, 2,34) R ­reaalarvud (, 2, e) C ­ kompleksarvud (1-4i, 6 + 7i, 2i) 19.Arvu absoluutväärtus 20.Muutuvad ja jäävad suurused = 3.14 e = 2,71 x,y,z 06.01 21.Lõik, vahemik, poollõik Vahemik on sirge paiknevate punktide hulk, mis asub kahe punkti vahel Lõik on sirge, mis ühendab kaht punkti A ja B (punktid A ja B kaasa arvatud) Seda lõiku tähistatakse AB Poollõik on reaalarvude hulga alamhulk (), mis koosneb kõigist reaalarvudest 22.Funktsiooni mõiste Seost, mis määrab viisi ( ), kuidas sõltuv muutuja ( ) on seotud sõltumatu muutujaga ( )

MATEMAATIKA ANALÜÜS 1 KT 1 vastused

1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,pikkuühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääki...

Logaritmid

2) log 0,5 ( 2 x+7 )>log 0,5 (3 x-4) . Logaritmi alus on 0,5 (< 1), s.t. võrratuse märk muutub vastupidiseks 2 x +7< 3 x-4 . Arvestame, et mõlemad logaritmitavad on positiivsed, seega saame süsteemi kolmest võrratusest  { { { -x <-11 x>11 2 x +7<3 x-4 x >-3,5 x >-3,5 2 x +7> 0 . 4 4 3 x-4>0 x> x> 3 3 Lahendite ühiseks osaks on poollõik x> 11 , mis on ülesande vastuseks. Vastus: x (11 ; ) . Lahendada võrratus: 1¿ log ( x +3) log 2 x 1 a ¿ log 1 x log 1 (10 x-5) 2 2 2 ¿ log 1 ( 2 x-1)>log 1 (x +1) 2 a ¿ log 0,1 (3 x+ 1)< log 0,1 (x-2) 2 2

Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused

irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1, kui x < 0. x x. Kehtib seos 2. Muutuv suurus ehk muutuja, jääv suurus ehk konstant. Muutuva suuruse muutumispiirkond. Mõisted: vahemik, lõik, poollõik. Kasvav ja kahanev muutuv suurus, monotoonne suurus. Tõkestatud muutuv suurus. Suurust, mis omandab mitmesuguseid väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Tähised x, y, z, u, ... Suurust, mille väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks ehk konstantseks suuruseks. Tähised a, b, c, ... Muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka nimetatakse selle muutuva suuruse muutumispiirkonnaks.

Matemaatilise analüüsi teooriakontrolltöö kordamisküsimused vastustega

Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a ­ , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a ­ , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st .

Diskreetse matemaatika elemendid, eksami konspekt

elementi. 13) a. Naturaalarvude hulk - = {1, 2,...} b. Täisarvude hulk - = {..., -2, -1, 0, 1,...} c. Ratsionaalarvude hulk - = {m/n | m, n , n > 0} d. Reaalarvude hulk - e. Kompleksarvude hulk - = {x + iy | x, y , i2 = -1} f. Reaalarvude intervallid: f.i. Lõik [a, b] = {x | x R & a x b} f.ii. Vahemik (a, b) = {x | x R & a < x < b} f.iii. Poollõik (a, b] = {x | x R & a < x b} f.iv. Poollõik [a, b) = {x | x R & a x < b} 14) a. Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A B x [x A x B] b. Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B A. c. Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja

Baaritöö konspekt

Rum fizz 6cl ­ heledat rummi Tequila fizz ­ kuldset tekiilat Whisky fizz - Comfortable fizz ­ 6cl viskibaasil virsikulikööri (USA tuntuim mark) 2. collinsid- jääkuubikutel serveeritud fizzed. Kuuma ilmaga sobiv pikk jook. Värskendav, originaalretsepti põhjal ei raputata, võib valmistada otse klaasi. Sageli ka sheigitakse (kui suhkrusiirupi asemel on suhkur, siis sheikimata see ei lahustu). Nii ja naa jook! Garneeriks apelsini poollõik ja kokteilkirss. 6cl dzinni 3cl sidrunimahla 1 tl suhkrusiirupit soodavesi Et säilitada kihisevust, ei segata üle 3 sekundi. Vähendades soodavett same fizzi, ilma soodaveeta on sour! "Tom Collins" "Ivan Collins" Baasiks dzinn baasiks viin Collinsid on rikkalik perekond ­ paljudel maadel oma Collinsid, baasalkohol erinev. Captain Collins ­ kanada viski Colonel Collins ­ burbooni viski *Jack Collins ­ kalvados, õunabrändi, applejack (pm sama jook, nimetused seadustega kaitstud)

Baaritöö

Rob Roy - manhattan scotch whisky´ga Cosmopolitan Cointreaupolitan 4,5 cl Absolut Citron Vodka2 4 cl Cointreau 2,25 cl Cointreau 2 cl jõhvikamahla 1,5cl laimimahla 2 cl sidrunimahla 0,75 cl jõhvikamahla garneeringuks sidrunikoorespiraal garneeriks laimi poollõik seiker + kokteiliklaas seiker + kokteiliklaas

Matemaatiline analüüs 1 kordaisküsimuste vastused

nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71 1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a poollõik *X={x IR|a poollõik *Def. 2 Muutumispiirkond on väärtuste hulk, mida x omandab *Def. 3 Arvu punkti a - ümardus ¥(a-; a+), >0 (joonis) 2. Funktsiooni mõiste Olgu antud 2 suurust x-muutumisp. X, y-muutumisp. Y *Def.1 Me nim funktsiooniks kujutust, mis seab igale x väärtusele piirkonnas X vastavusse suuruse y kindla väärtuse tema muutumisp. Y *f: x(argument) X-> y(kujutisfunkts) Y (f:IR->IR) *Def.2 Iga f-ga on seotud tema määramisp.,

Kordamisküsimusi 1. teema kohta - Teooriatöö I

23. Tõestada, et pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui argumendi muut läheneb nullile. (lk 18) limx→a f(x) = f(a) ⇔ limx→a f(x) − f(a) = 0 ⇔ limx→a f(x) − limx→a f(a) = 0 ⇔ limx→a [f(x) − f(a)] = 0 ⇔ limx→a ∆y = 0 ⇔ lim ∆x→0 ∆y = 0 . 24. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? (lk 18) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 25. Defineerida hulgal pidev funktsioon. (lk 19) Olgu A vahemik, lõik või poollõik. Kui funktsioon f on pidev hulga A kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev hulgal A. Hulgal A pideva funktsiooni graafik on selle hulga kohal pidev joon. 26. Sõnastada teoreem funktsiooni nullkoha olemasolust. (lk 19) Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 27. Defineerida funktsiooni absoluutne maksimum ja absoluutne miinimum etteantud hulgal

Diskreetse matemaatika elemendid

13. Põhilised arvuhulgad: N, Z, Q, R, C, reaalarvude intervallid. [3, 4, 5] Põhilised arvuhulgad o N = {1, 2, 3, …} naturaalarvud e positiivsed täisarvud o Z = {..., 2,1, 0, 1, 2, …} täisarvud o Q = {q | q=m/n, m∈Z, n∈N} ratsionaalarvud o R = reaalarvud o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11  o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk. [3, 4, 5] Alamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A ⊆ B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A ⊆ B ⇔ ∀x[ x∈A ⇒ x∈B ] Ülemhulk o DEF: Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B ⊇ A. Pärisalamhulk

J. Kurvitsa teooria vastused

Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a ­ , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a ­ , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st .

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (ainekava järgi koostatud konspekt)

Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 ­ 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud ­ arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud ­ kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud ­ on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud ­ mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud ­ hulk R, koosneb k...

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

(a) |a + b| ≤ |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus), (b) |a − b| ≤ |a| + |b|, (c) ||a| − |b|| ≤ |a − b|, (d) |ab| = |a| |b|. ** - võrratused a < b ning −b < −a on samaväärsed 5. Intervallid Esitada intervallide definitsioon - Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka X ⊂ R, millel on järgmine omadus: kui a, b ∈ X ja a < x < b, siis x ∈ X. Tuua (põhjendustega) 2 näidet lõpmatust reaalarvude hulgast, mis ei ole intervall: Intervallide tüübid (vahemik, poollõik, lõik; tõkestatud ja tõkestamata intervallid): Iga kaks reaalarvu a ja b, kus a < b, määravad ära neli intervalli: vahemiku (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} , poollõigud (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} ja [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} ning lõigu [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Lisaks neile neljale intervallide tüübile tuleb meil tegemist ka tõkestamata intervallidega (−∞, b) := {x ∈ R | x < b} , (a,∞) := {x ∈ R | a < x} ja

Matemaatiline maailmapilt

saadud reaalarv ja iga korral, mis on vastuolu eeldusega, et (0,1) N . Seega leidub lõpmatuid hulki, mis ei ole võrdse võimsusega. Definitsioon Kontiinumi võimsusega hulgaks nimetatakse hulka, mis on ekvivalentne hulgaga R . Näide: 1. Olgu a , b R sellised, et a