12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23
Def. Funktsionaalrida a n =0 n x n = a0 + a1 x + ... + a n x n + ... (1) a (x - a ) = a 0 + a1 ( x - a ) + ... + a n ( x - a ) + ... , (2) n n ehk üldisemalt n n =0 kus a on mingi arv, nimetatakse astmereaks. Arve a n nimetatakse astmerea kordajaiks. Muutujavahetusega x - a = t võib alati realt (2) üle minna reale (1). Iga astmerea korral leidub selline R , kus 0 R , et astmerida (1) (või (2)) koondub absoluutselt, kui x < R vastavalt ( x - a < R ), ja hajub, kui x > R (vastavalt x - a > R ). Vahemikke (- R; R ) ja (a - R; a + R ) nimetatakse vastavalt astmeridade (1) ja (2) koonduvus- vahemikeks ja suurust R koonduvusraadiuseks.
un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0 Astmerea Astmerea koonduvusvahemikuks nimetatakse vahemikku (a-R, a+R), kus koonduvusraadius suurus R on koonduvusraadius Astmerea Astmerea koonduvuspiirkonnaks nimetatakse hulka X={x R: rida koonduvuspiirkond
Seejuures Rn = S - S n < an+1. Seega, kui lähendame S Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. n 1 1 1 Näide Rida (-1) = 1 - + - ... koondub Leibnizi tunnuse põhjal, selles n =0 n +1 2 3 1 näites an = . n +1 3. Astmeread 3.1. Astmerea mõiste ja koonduvuspiirkond. Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2 a n ( x - c) = a0 + a1 ( x - c) + a 2 ( x - c) + ... (5) n =0
f (k )( 0) k Kui a=0 saame f (x)=∑ ∗x – sellist rida nimetatakse k=1 k! Maclaurini reaks 34.Astmerida(definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall- kuidas neid leida? ∞ Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul ∑ cn x n , kus c0, n=0 c1.... on arvud, mida nimetatakse rea kordajateks. Omadused: rida koondub ainult punktis x=a; rida koondub kõikide x- de korral; Leidub postitiivne arv R, nii et rida koondub kui I x-a I on väiksem koonduvusraadiusest ja hajub kui I x-a I on suurem koonduvusraadiusest.
kui iga e > 0 leidub N(ε) ϵ N, et iga n> N(ε) ja iga XϵXUC korral kehtib |Sn(x)-S(x)|<ε
(n>N(ε)).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kϵN ja iga x ϵ XUC korral kehtib |UK(x)|≤ak
Siis funktsioon Σ UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR)
Suurusi akϵR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
+(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
iga e > 0 leidub N() N, et iga n> N() ja iga XXUC korral kehtib |Sn(x)-S(x)|<
(n>N()).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kN ja iga x XUC korral kehtib |UK(x)|ak
Siis funktsioon UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
iga e > 0 leidub N() N, et iga n> N() ja iga XXUC korral kehtib |Sn(x)-S(x)|<
(n>N()).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kN ja iga x XUC korral kehtib |UK(x)|ak
Siis funktsioon UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
3): Rida koondub, kui jada (ak) koondub nulliks monotoonselt Tuua näiteid nende tunnuste rakendamise kohta. C- → D- → L- kus α > 0. 41. Astmerida, selle koonduvuspiirkond (*) Selgitada, mis on astmerida, defineerida astmerea koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A. Veenduda, et A on nullpunkti suhtes sümmeetriline intervall.: Olgu (a0, a1, a2, . . . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks. Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka selle astmerea absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid. 42. Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5)
Seejuures Rn = S - S n < an+1. Seega, kui lähendame S Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. n 24. Astmeread. Astmeridade a n x ja a n ( x - c ) n koonduvuspiirkonnad. n =0 n =0 Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x ) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2 a n ( x - c) = a0 + a1 ( x - c) + a 2 ( x - c) + ... (5) n =0
Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: = c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga: Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks: f(x) 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 65. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... Erijuhtum, kui a=0 66. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks: f(x) 67
on koonduv nimetatakse vaadeldava funktsionaal rea koonduvus piirkonnaks. (See on alamhulk) xo kuulub koonduvuspiirkonda. S ( x0 ) S ( x) = lim S n ( x) , x kuulub hulka Y . n Funktsionaal rida määrab oma koonduvuspiirkonnas teatud funktsiooni. Astmerida ja tema koonduvuspiirkond Def: funktsionaalrida, mille liikmed on muutuja x positiivsete täisarvuliste astmetega funktsioonid u n ( x) = c n x n või u n ( x) = cn ( x - a) n , nim astmereaks. Märkus: esimene rida on teise rea erijuhtum, kus a=0. vastupidi, kui tähistada y=x-a, teiseneb rida 2 esimeseks. Seega on nad samaväärsed read. Abeli teoreem: 1) kui esimene rida koondub mingi x=x0 0 puhul, siis ta koondub absoluutselt kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x < x0 11 2) kui esimene rida hajub mingi x=x0 0 puhul, siis ta hajub kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x > x1
kujutist 2𝜋 ∫−∞ exp(𝑖𝜔𝑥) 𝑑𝜔 nimetatakse Fourier’ pöördteisendiks ja tähistatakse 𝑔̃(𝑥), kusjuures kujutust 𝑓 ⟼ 𝑓̂ nimetatakse absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Astmeread: Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR) 6. Tuletada Cauchy tunnus. Olgu ∑∞ 𝑎
7.1 Definitsioonid astmeridade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.2 Definitsioonid funktsionaalvõrrandite abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.3 Arv π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5 6.8 Funktsioonide arendamine astmereaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.9 Mõned astmeridadega seotud klassikalised tulemused . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.9.1 Abeli piirväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.9.2 Weierstrassi lähendusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.9
|S(x) - Sn (x)| < . 8.8 Funktsionaalrea summa pidevus L~opliku arvu pidevate funktsioonide summa on pidev funktsioon. L~opmatu arvu pidevate funktsioonide summa, st rea, puhul ei pruugi see nii olla. Kuid kehtib teoreem. Teoreem. Kui hulgal X pidevatest funktsioonidest uk (x) moodustatud rida on majoreeruv hulgal X, siis rea summa on sellel hulgal pidev funktsioon. Vaatleme funktsionaalridu, mille liikmed on konkreetsed funktsioonid. 8.9 Astmeread Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mille liikmed on astmefunktsioo- nid, st rida c k xk (8.16) k=1 v~oi u ¨ldisemalt ck (x - a)k (8.17) k=1
annaabi.ee 
