docstxt/127559230192737.txt
docstxt/126521822273427.txt
docstxt/133759977893387.txt
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või
mittekahanev.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või
kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 X korral, mis rahuldavad võrratust
x1
Tähistus: f'(x) = (def)= limx 0 y/x. mis täidab tingimust x U (a) kehtib f(x) U(b). Lim f xa(x)=b, f(x) b (noole kohal on Def. Fun-n f in diferentseeruv punktis x, kui punkti mingis ümbruses f(x+ x)=f(x) + A x + xa). (x), limx 0 (x)/x=0. Lause. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui lim n xn = a ja lim n xn = b. A=f'(x) f(x+ x) = f(x) + f'(x) x + (x) ( (x)=0) 4. Jada { xn} nim. tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n N korral xn UM(0), st n Funktsioon f on diferentseeruv punktis x parajasti siis, kui leidub f'(x). N(d(xn,0)M
teineteisele. 4. Vektori projektsioon teljele on võrdne projekteeritavavektori suuruse ja vektori ning telje positiivse suuna vahel asuva nurga koosinuse korrutisega. 5. Newtoni I seadus- ehk inertsiseadus, keha liigub ühtlaselt sirgjooneliselt või seisab paigal kui talle mõjuvate jõudude resultant võrdub nulliga. 7. Sidemeteks nim. Iga keha mis piirab antud keha liikumisvabadust. Side mõjub vaadeldavale kehale teatud jõuga mida nim. sidereaktsiooniks. 8. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav et kõikide jõudude ja projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võrduks nulliga. 9. Kahe samasuunalise paralleeljõu resultant on suuruselt võrdne antud jõudude suuruste summaga ning on paralleelne ja samasuunaline antud jõududega. 2. variant 1. Masspunktiks nim. sellist materiaalset keha mille mõõtmed jäetakse arvestamata selle liikumise uurimise juures. 2
Jõuhulknurk on jõuvektoritest koostatud hulknurk, mis moodustub kui vektorid panna järjest üksteise otsa. Peavektor (resultant) on hulknurga sulgeja. Tegemist on jõuvektorite liitmisega. Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant Kuidas leida koonduva jõusüsteemi resultanti? Koonduva jõusüsteemi resultant rakendub koondumispunktis ja võrdub jõudude geomeetrilise summaga. Sõnastada koonduva jõusüsteemi tasakaalu geomeetriline ja analüütiline tingimus. Analüütiline tingimus resultant peab olema 0, sest muidu hakkab keha kiirenevalt liikuma. Geomeetriline tingimus (saadakse jõuhulknurga moodustamise teel) tasakaalu korral peab koonduva jõusüsteemi jõuhulknurk olema kinnine ühtse ümberkäigu suunaga.
Paraleerne valgusvihk - Paralleelse valgusvihu saamiseks peab valgusallikas olema kasutusel skeem, kus kasutatakse kumerläätse (valguse tekitaja paikneb kumerläätse fookuses) või nõguspeeglit (valguse tekitaja paikneb nõguspeegli fookuses) Koonduv valgusvihk Koonduva valgusvihu jaoks on vaja, et paraleerne valgusvihk läbiks nõgus läätse, sest nõguslääts koondab valgust. Hajuv valgusvihk Hajuva valgusvihu jaoks on vaja, et paraleerne valgusviht läbiks kumerläätse, sest kumerlääts hajutab valgust.
4. Jõurööpküliku aksioom: Kui keha mingis punktis on rakendatud kaks jõudu, siis neid saab keha seisundit muutmata asendada resultandiga, mis võrdub nende geomeetrilise summaga. Aksioom kehtib ka deformeeruva keha juhul. 5. Mõju ja vastumõju aksioom: Kaks keha mõjutavad teineteist võrdvastupidiste jõududega, millel on ühine mõjusirge. 6. Koonduv jõusüsteem: Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Koonduva jõusüsteemi korral on võimalik leida jõud, mis on samaväärne jõusüsteemiga. Saadud resultantjõud on rakendatud vaadeldava süsteemi jõudude mõjusirgete lõikepunkti. 7. Koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres= 0. See on tasakaalutingimus vektorkujul. 8. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: selleks, et kolm mitteparalleelset
Negatiivne märk tähendab seda, et reaktsiooni suund on vastupidine joonisel esitatule. 2.2.Et jõudu täielikult analüütiliselt määrata,peame teadma suurust ja suunda.Selleks on vaja teada tema kahte projektsiooni ehk komponenti.Positiivne jõu projektsioon on suunatud arvtelje positiivses suunas,negatiivne vastupidi.Summavektori projektsioon mingil teljel võrdub liidetavate vektorite samal teljel võetud projektsioonide summaga.Jõuhulknurgast saame summa F1+F2+F3+F4=RAnalüütiliseks koonduva tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et jõudude projektsioonide summa kahel mitteparalleelsel teljel üheaegselt võrdub nulliga. 3.Jõuõlaks on jõukandesirge kaugus vaadeldavast punktist,jõumomendi suurus punkti suhtes arvutatakse jõu suuruse ja õla korrutisena.Jõu moment punkti suhtes, mis asub jõu mõjusirgel, on 1.Keha.On jäik ruumiline kujund,Taustsüsteem:on mingi objektiga seotud koordinaatide
.............................................................. 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
.............................................................. 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Matrikli nr: Rühm: Juhendaja: G.Arjassov õ.a 2012/2013 KODUTÖÖ NR. 1 VARRASTE SÜSTEEM Kahest vardast süsteem koosneb standardsetest nelikanttorudest. Torude materjal on teras S355J2H. Määrata varraste vajalikud ristlõikepindalad ja valida vastavad torud. Antud: Kuna tegemist on koonduva jõusüsteemiga, lõikame välja kujutlevalt jõudude koondamistsentri ja suuname sidemereaktsioonid N1 ja N2 mööda vardaid. Koostame tasakaaluvõrrandid: 1.) Fx=0 F1cos+F2+F3cos-N1-N2cos=0 2.) Fy=0 F1sin+F3sin+N2sin=0 Leiame varraste sisejõud: Jõud N1 ja N2 on positiivsed, mis tähendab, et mõlemad torud on tõmmatud. Torude minimaalse ristlõikepindala leiame tugevustingimusest: Kus N-varda sisejõud(valima suurima)
= F 12 + F 3 + ... + F n = ...= F 28.Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduv jõusüsteem on jõusüsteem, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 29.Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on resultant, mis võrdub nende jõudude geomeetrilise summaga ja läbib koondumispunkti. Kui süsteem on tasakaalus on resultant võrdne nulliga. 30.Kuidas leida koonduva jõusüsteemi resultanti? Koonduval jõusüsteemil on resultant, mis võrdub nende jõudude geomeetrilise summaga ja läbib koondumispunkti. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et nende jõudude resultant võrduks nulliga. F = F 31.Sõnastada koonduva jõusüsteemi tasakaalu geomeetriline ja analüütiline tingimus.
Tähistame xn → a või xn ( n→∞ →)a 2. Näidata, et reaalarvude jaoks saame kauguse defineerida absoluutväärtuse abil (st d(u, või lim xn = a v) := |v − u| (u, v ∈ R) rahuldab meetrika aksioome). n→∞ Elementi b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust x ∈ Uδ(a) kehtib f(x) ∈ Uε(b). Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. Konstantse jada piirväärtus on see konstant. Iga ulalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. 3. Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. Iga koonduv jada on tõkestatud. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. 4. Jada tõkestatus
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada
kui talle mõjuvate jõudude resultant võrdub nulliga. 6.Supperpositsiooni aksioom- Tasakaalus olevate jõudude lisamine või ära jätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist. 7. Sidemeteks nim. Iga keha mis piirab antud keha liikumisvabadust. Sideme mõjuvõime asendada jõududega neid jõudusid nimetatakse sideme reaktsiooniks /Sidemeteks nim tingimusi(2)-Tingimusi, mis kitsendavad keha liikumist nim sidemeteks. 8. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav et kõikide jõudude ja projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võrduks nulliga. 9. Kahe samasuunalise paralleeljõu resultant on suuruselt võrdne antud jõudude suuruste summaga ning on paralleelne ja samasuunaline antud jõududega.
4. Jõu parameetrid: suurus, suund ja rakenduspunkt. 5. Tasakaalu aksioom- Jäigale kehale rakendatud kaks jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui nad on võrdsed suuruselt, suunatud vastupidi ja paiknevad ühel sirgel. 6. Aktiivseks jõuks nim jõudu, mis püüab panna vaadeldavat keha liikuma. Aktiivsete jõudude all mõistame kõiki neid jõude, mis ei ole reaktsiooni jõud. Passiivseteks jõududeks nim reaktsiooni jõude kuna need ilmnevad kehale tegelike jõudude mõjul. 7. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav et kõikide jõudude projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võrduks nulliga. Koonduvad jõud on tasakaalus kui jõuhulknurgas viimase vektori lõpppunkt langeb ühte esimese vektori alguspunktiga 8. Antiparalleelse jõu resultant- antiparalleelseteks nim. jõude mis on samasihilised kuid vastassuunalised. Kahe antiparalleelse jõu resultant on nende jõududega samasihiline
B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , grad 65 30 80 45 50 35 60 40 55 75 , grad 40 90 75 60 80 55 45 65 70 85 , grad 80 45 60 75 70 40 55 50 35 65 y x Kuna tegemist on koonduva jõusüsteemiga, lõikame välja kujutlevalt jõudude koondamistsentri ja suuname sidemereaktsioonid N1 ja N2 piki vardaid. Koostame tasakaaluvõrrandid ja leiame varraste sisejõud. Võrrandite süsteemist same Mõlemad jõud N1 ja N2 on positiivsed. Seega mõlemad torud 1 ja 2 on tõmmatud. Torude minimaalne ristlõikepindala leiame tugevustingimusest kus N varda sisejõud (valime suurima sisejõu); [] lubatud normaalpinge, MPa;
Kodutöö nr. 1 Varraste süsteem Kahest vardast süsteem koosneb standardsetest nelikanttorudest. Torude materjal on teras S355J2H. Määrata varraste vajalikud ristlõikepindalad ja valida vastavad torud. Antud: jõud F1=14 kN, F2=68 kN, F3=31 kN; nurgad =60°, =45°, =55°; materjali voolavuspiir ReH=355 MPa; tugevuse varutegur S=1,5 Kuna tegemist on koonduva jõusüsteemiga, saame kasutada lõikemeetodit, eraldades kujuteldava jõudude koondumistsentri. Kasutades ära jõuvektori ,,libisevust", saame kõik jõud paigutada ühte alguspunkti. Sidemereaktsioonid N 1 ja N2 suuname piki vardaid. 1) Koostame tasakaaluvõrrandid: Fx=0 -N1+F2+F3cos -N2cos -F1cos =0 Fy=0 N2sin +F3sin -F1sin =0 2) Leiame varraste sisejõud N2=(-F3sin +F1sin )/sin =(-26,85+11,47)/0,707=-21,75 kN (miinusmärk näitab, et
otsa. Peavektor (resultant) on hulknurga sulgeja, mis on teiste vektoritega vastassuunaline. · Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse süsteemi, milles kõikide jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. · Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant. · Kuidas leida koonduva jõusüsteemi resultanti? Koonduva jõusüsteemi resultant rakendub koondumispunktis ja võrdub jõudude geomeetrilise summaga · Sõnastada koonduva jõusüsteemi tasakaalu geomeetriline ja analüütiline tingimus. Koonduva jõusüsteemi analüütiline tingimus resultant peab võrduma nulliga, sest muidu keha hakkas kiirenevalt liikuma. Geomeetriline tingiumus - tasakaalu korral peab jõuhulknurk olema kinnine ühtse ümberkäigu suunaga. · Mida nimetatakse jõu projektsiooniks teljel
4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid.
Teiseks, kirjutades S2n = a1 – (a2 -a3)- (a4-a5) -…+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1. Seega on jada, mille üldliige on S2n kasvav ja tõkestatud, järelikult koonduv, st ∃ 2n =S Paarituarvulise indeksiga osasummade jada liige S2n+1 = S2n + a2n+1 ja teoreemi teise eelduse tõttu 2n+1= 2n+ 2n+1=S. Aga siis ka lim Sn = S, mis tähendabki, et rida koondub. 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Arvrida k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida k| koondub. Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks summaks. Koonduvat arvrida k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real k , ak∈ R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 7. Funktsionaalread
peegeldumisnurgaga. Paralleelse valgusvihu peegeldumine tasapeeglilt Paralleelne valgusvihk peegeldub tasapeeglilt paralleelse valgusvihuna. Hajuva valgusvihu peegeldumine tasapeeglilt Hajuv valgusvihk peegeldub tasapeeglilt hajuva valgusvihuna. Paralleelse valgusvihu peegeldu mine kumerpeeglilt? Paralleelne valgusvihk peegeldub kumerpeeglilt hajuva valgusvihuna. Paralleelne valgusvihu peegeldumine nõguspeeglilt Paralleelne valgusvihk peegeldub nõguspeeglilt koonduva valgusvihuna. Hajuv valgus Hajus valgus - valguse peegeldumine mitmesugustelt kehadelt. Hajus peegeldumine Valguse hajus peegeldumine - valguse peegeldumine , mille tulemusena valgus levib kõikvõimalikes suundades. Tasapeegel Tasapeegel on tasand, millelt valgus peegeldub. Kujutis: sama suur kui ese kaugus peeglist on sama suur kui eseme kaugus peeglist Sfäärilised peeglid Sfääriline peegel - kerapinna (sfääri) osa, millelt valgus peegeldub. Sfäärilisi peegleid:
torust välja optilise telje suhtes 45 kraadise nurga all oleva tasase sekundaarpeegliga. · Gregoriuse teleskoobil on peapeegel sfääriline või paraboolne, sekundaarpeegel on elliptiline nõguspeegel. Kuigi optiline skeem oli pakutud enne Newtoni skeemi, ei võimaldanud 17. sajandil optikatööstuse tase selliseid teleskoope toota. · Cassegraini teleskoobil on peapeegel sfääriline või paraboolne, sekundaarpeegel aga hüperboolne kumerpeegel, mis peegeldab koonduva kiirtekimbu (fookuskaugust seejuures suurendades) läbi peapeeglis keskel oleva avause fookusesse. · Richie-Chretieni teleskoobil on nii pea- kui sekundaarpeeglid hüperboolsed, fookuse tasand on tasane ning väga suures ulatuses moonutustevaba. Selline optiline skeem on näiteks Hubble'i kosmoseteleskoobil. Katadioptrilistel teleskoopidel koosneb objektiivile vastav optiline skeem nii peeglitest kui läätsedest.
Lause 2Iga koonduv jada on t˜okestatud. Lause 4 Kui jada {xn}koondub arvuks a, siis selle jada ¨uldliige on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium) Jada {xn}koondub parajasti siis, kui iga _>0 korral leidub N 2N, et iga naturaalarvu n >N ja naturaalvu p korral kehtib v˜orratus |xn+p −xn|<_.
Mõnikord, kui lainefrondi pind tähtsust ei oma, kasutatakse laine levimise kirjeldamiseks ka kiire mõistet. Elektromagnetlainete korral on ühtlases keskkonnas levivat lainet kirjeldavad kiired sirgjooned. Millise valgusvihu korral on valgus tasalaine? Tasalainele vastab paralleelne kiirte kimp (kiired on paralleelsed sirged). Keralainele vastab kas koonduvate (kiired lähenevad üksteisele) või hajuvate valguskiirte kimp (kiired eemalduvad üksteisest). Koonduva kimbu korral kera pind kahaneb, hajuva kimbu korral aga kasvab. Millise valgusvihu korral on valgus keralaine? Eelmine Milliseid (valgus)laineid nimetatakse monokromaatilisteks? Laineid, mille lainepikkus (või ka sagedus) ei muutu, nimetatakse monokromaatiliseks. Miks tajume mõnda valgust punasena, mõnda sinisena jne? Mille poolest on need erinevat värvi valgused sarnased, mille poolest erinevad? Erineva lainepikkusega monokromaatilised valguslained põhjustavad erinevaid värvusaistinguid
7.Jõupaari moment (skeem, arvutamine). Jõupaari moment on võrdne ühe jõu ja jõupaari õla korrutisega. M(F1) = F1*l.Paari moodustavate jõu momentide algebraline summa suvalises tsentris võrdub jõupaari momendiga Kaks ühes tasapinnas asetsevat jõupaari on ekvivalentsed kui nende momendid on geomeetriliselt võrdsed. 8. Mis on koonduv jõusüsteem?Ühes punktis lõikuvate jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks. 9.Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks vajalikud tingimused.Jõusüsteemi tasakaaluks piisab, kui jõudude geomeetriline summa on null (s.t. süsteemi jõududest moodustuks suletud hulknurk või et kõigi süsteemi kuuluvate jõudude algebraline summa igal koordinaatteljel oleks null. 10. Jõusüsteemi resultant.Jõusüsteemi resultandi leidmiseks tuleb liita iga jõu projektsioonid. 11
Kasutades saadud hinnangud seoses (5) saimegi hinnangu (4). Hinnangu (4) paremat poolt võib ka vaadelda, kui geomeetrilist jada a, aq, aq2, ..., kus a = = |x 1−x 0| 1−q . Et q < 1 siis on tegu hääbuva geomeetrilise jadaga ning võib öelda, et harilik iteratsioonimeetod koondub geomeetrilise progressioni kiirusega. Saab tõestada, et kui kõikjal lahendit x* sisaldavas vahemikus |g’(x)| > 1, siis meetod ei koondu. Vastavalt tõestatud teoreemile oleme leidnud koonduva hariliku iteratsioonimeetodi. Seega saame leida võrrandi x3 + 2x – 1 = 0 ligikaudse lahendi eeskirjaga xn = 0,5(1 – xn-13) Ehk X0 = 0,5 x1 = 0,5(1 – x03) = 0,5(1 – 0,53) = 0,4375 x2 = 0,5(1 – x13) ≈ 0,4581 x3 = 0,5(1 – x23) ≈ 0,4519 ...
* Sisejõududeks nimetatakse jõudusid, millega antud keha osad mõjuvad üksteisele. * Jõudu, mis on rakendatud keha mingis punktis, nimetatakse koondatud jõuks. * Jõude, mis mõjuvad antud ruumiosa või pinnaosa kõikidele punktidele, nimetatakse jaotatud jõududeks 7. Kolme jõu teoreem. Kui keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, milledest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. 8. Vaba ja seotud jäik keha. Seosed (holonoomsed - mitteholonoomsed, statsionaarsed - mittestatsionaarsed, kahepoolsed - ühepoolsed). Sideme- reaktsioonid. Aktiivne ja passiivne jõud. *Vaba jäik keha - Jäika keha nimetatakse vabaks, kui teda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse *Seotud jäik keha - kui keha liikumist takistavad teised kehad, siis see vaadeldav keha on seotud SEOSED:
Jagasime suurusega 1 q (1 q > 0, sest q < 1). Kasutades saadud hinnangud seoses (5) saimegi hinnangu (4). Hinnangu (4) paremat poolt võib ka vaadelda, kui geomeetrilist jada a, aq, aq2, ..., kus a = = |x 1-x 0| 1-q . Et q < 1 siis on tegu hääbuva geomeetrilise jadaga ning võib öelda, et harilik iteratsioonimeetod koondub geomeetrilise progressioni kiirusega Meetodi realisatsioon Näide 1) Vastavalt tõestatud teoreemile oleme leidnud koonduva hariliku iteratsioonimeetodi. Seega saame leida võrrandi x3 + 2x 1 = 0 ligikaudse lahendi eeskirjaga xn = 0,5(1 xn-13) 8 Ehk X0 = 0,5 x1 = 0,5(1 x03) = 0,5(1 0,53) = 0,4375 x2 = 0,5(1 x13) 0,4581 x3 = 0,5(1 x23) 0,4519 ...
5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause:
koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga. Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja resultandi suunakoosinused: cos =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cos on y ja cos on z) Süsteemi tasakaal Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0. see avaldis on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, st. et jõuhulknurk oleks kinnine (joon1) Vektorvõrdus on samaväärne kolme skalaarsega: Fres x=0, Fres y=0, Fres z=0. Nende projektsioonide väärtust arvestades saame analüütilised tasakaalutingimused kujul Fx=0 (y,z) Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis,
Noolutus seisneb terase kuumutamises temperatuurini 200 C, seisutamises sellel (vähemalt tunni) ja 8. Mis on koonduv jõusüsteem? jahutamises (tavaliselt õhus). Ühtlustuvad sisepinged, suureneb sitkus ja väheneb Ühes punktis lõikuvate jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks. mõnevõrra kõvadus. 9. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks vajalikud tingimused. 13. Mis on metalli kalestumine? Selgitage tõmbediagrammi abil. Koonduva jõusüsteemi tasakaalustamiseks peab viimase jõuvektori lõpp jõudma Kalestumiseks nim metalli plastsel deformeerimisel tekkivat mehaaniliste omaduste esimese jõuvektori alguspunkti, s.t. resultantjõu suurus peab võrduma nulliga. muutumist (meh. tugevus kasvab). Resultandi võrdumine nulliga on vajalik ja piisav koonduva jõusüsteemi
näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat jada nimetatakse hajuvaks. Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (x n), kus xn = a iga n ∈ N korral, 1/x Hajuv jada: , Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3) Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus) lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b Vaja näidata, et a = b a – b = 0 [Fakt Iga ε > 0 |x| < ε x = 0] Näitame, et iga ε > 0 |a - b| < ε Fikseerime ε > 0 Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N1 : Iga n (n ≥ N1 => xn = |xn – a | < ε/2) Kuna lim xn = b, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N2 : Iga n (n ≥ N2 => xn = |xn – b | < ε/2)
protsessi, mis sisaldab kolme erineva turuhäire elemente: infopuudust, ressursside jäikust ja ühe ajaperioodi teisega seostamise probleemi. Teooria eeldab, et tootjate tegevus pole koordineeritud ja et tootjad ei õpi kunagi oma vigadest. Ühtlasi näitab see teooria, kuidas alati tekib ebastabiilsus, kui tekib ajaline viivitus tootmisotsuse tegemise ja toote turuletoomise vahel. · Kui pakkumiskõver on järsem kui nõudluskõver, saame tulemuseks konvergeeruva(koonduva) ämblikuvõrgu ja hind jõuab tasakaalupunkti. Joonis 2.17 lk 48. · Kui pakkumiskõver on nõudlusküverast laugem, muutuvad hinnakõikumised igal perioodil suuremaks, eemaldudes üha enam esialgsest tasakaalust. Sel juhul on tegemist divergentse (hargneva) ämblikuvõrguga. Joonis 2.18a lk 49. · Kui nõudlus- ja pakkumiskõverad on ühesuguse tõusuga, kõigub hind lõpmatult
0 lim x = ∞ n n→∞ Definitsioon. Öeldakse, et jada (x ) piirväärtus on −∞, kui iga arvu M > 0 korral n leidub arv n = n 0 (ε), et kehtib võrratus x 0 n < −M, alati kui n ≥ n 0 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduv aks jadaks. Jada, millel ei ole lõplikku piirväärtust, nimetatakse hajuv aks jadaks. 12. Jada piirväärtuse definitsiooni abil tõestamine Ülesanded vihikust. 13. Tõkestatud jadad (ülalt/alt tõkestatud jada, tõkestatud jada). Monotoonsed jadad. Osajada mõiste. Öeldakse, et jada (x ) on
nende mõju asendada reaktsioonijõududega. Sidemereaktsiooni arvulised väärtused leitakse keha tasakaalutingimuste abil. Toed- seadmed, mis ühendavad keha alusega. Toereaktsioonid- toesidemete reaktsioonid. Koonduv jõusüsteem- kõigi jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Lihtsaim jõusüsteem. Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti. Fres=0 on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Staatikaga määramatu ülesanne- juhtum , kus tundmatute arv on tasakaaluvõrrandite arvust suurem. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem- Kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirge lõikuvad ühes punktis. Jõu moment telje suhtes- jõu pöörlemisvõimet iseloomustav skalaarne korrutis ±Fh, märkidega + ja eristatakse pöörlemissuunda
Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. TEOORIAKÜSIMUSED nr 14 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st: U= 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. TEOORIAKÜSIMUSED nr 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus
I [cd] iseloomustab valgusallikat ja on arvuliselt võrdne tema poolt ühikulisse ruuminurka kiiratud valgusvooga I=/. Valgustatus-E [lx] iseloomustab valgustatud pinda ja on arvuliselt võrdne ühikulisele pinnale langeva valgusvooga E=/S. pinna valgustatust mõõdetakse luksmeetriga.Valgustatuse seadus-punktvalgusallika poolt tekitatud valgustatus E=I*cosa/r².Lääts-läbipaistev keha, mis on piiratud kahe, lihtsamal juhul sfäärilise pinnaga(Kumerlääts,nõguslääts) Kiirte käik- koonduva läätse puhul:optilise peateljega paralleelne kiir läbib peale läätses murdumist fookuse, optilist keskpunkti läbiv kiir ei muuda suunda, paralleelsete kiirte kimp koondubfokaaltasandis Hajuva läätse korral: optilise peateljega paralleelne kiir muundub nii, et tema pikendus läbib hajutava läätse fookuse,optilist keskpunkti läbiv kiir ei muuda suunda, hajutavas läätses koonduvad fokaaltasandis paralleelsete kiirte pikendused. Kujutise
56. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel 57. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib). 58. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea
Baltimaades arusaam, et igaühel tuleb osaleda Balti ketis, avaldada survet Moskvale, teadvustamaks meie taotlusi maailmale. Balti tee Eesti, Läti ja Leedu raadio ühisaade algas 23.augustil juba kell 17.00, seega ajal, mil veel kümned ja kümned tuhanded tõttasid oma kohtadele. Kolmekeelne raadiosaade andis minejatele vajaliku ja päevakohaselt üleva meeleolu. Sajad ja sajad rahvarinnete turvateenistuste liikmed ja autoinspektorid korraldasid arvukate autode ja busside liikumist. Ketti koonduva rahva seas lehvisid arvukad rahvuslipud, kodudes valmistatud plakatid ja loosungid. Sagimine ja koondumine maanteedel hakkas lõppema enne kella seitset. Kell 19.00 kõlas raadiotest signatuur ja ERR eestseisuse liige Heinz Valk ütles meiepoolsed saatesõnad: "Edasi mööda Balti teed, edasi mööda Euroopa ühtsuse teed. Meiega on õiglus, meiega on jumal!" Seejärel astus raadiomikrofoni juurde ERR eesseisuse liige Marju Lauristin, kes kutsus üles: "Ühendagem oma käed, oma
DEF 9. Öeldakse, et jada xn on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et IxnIM (n N) DEF 10. Öeldakse, et jada xn on ülalt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnM (n N) DEF 11. Öeldakse, et jada xn on alt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnm (n N) DEF 12. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 11 (Cauchy kriteerium) Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kuivastavalt igale pos.arvule leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib Ixn+p-xnI<, kui n>n0 1.4 Arv e Vaata tõestust! 1.5 Funktsiooni piirväärtus DEF 1. Suurust a nim. funktsiooni f(x) piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise - ümbruse U(a) korral leidub selline arvu x0 -ümbrus U(x0), et f(U(x0 {x0}) c U(a) DEF 2
14 ºC kangestatud ja lühidalt tammevaadis laagerdunud punane vein; vähese tanniinisisaldusega punane vein 16 ºC noor täidlane punane vein 18 ºC hästi küpsenud ja väljaarenenud lõhnabuketiga punane vein; kangestatud ja pikalt tammevaadis laagerdunud punane vein 18–20 ºC noored ja tanniinised veinid üle 20 ºC muutub veinis sisalduv alkohol agressiivseks dominandiks SOBIV KLAAS: Parim veiniklaas on jalaga ning veidi koonduva ülaäärega. Laia äärega klaasist juuakse madala, ahtast kõrge happesusega veine. • Kõhukam klaas, mis taandab veini magusust, toob paremini esile selle vürtsisust, happesust ning tanniinisust. Saledam klaas taandab veini happeid ning toob välja magususe. • Sirgeseinalises klaasis taandub jook neutraalseks ja ilmetuks, mõjudes lõhnatu ning maitsetuna. • Kangestatud dessertveini jaoks on paras väiksem, u 12 cl mahuga klaas
nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav. a rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn| arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| <
õppimine. Renessanssiaja maalikunstnikud leidsid lahenduse, kuidas kahemõõtmelisel pinnal kolmemõõtmelist ruumi kujutada - nad võtsid kasutusele tsentraalperspektiivi. Töötati välja perspektiiviõpetus ning mõnikord valiti maalimiseks just selliseid motiive, kus oli võimalik demonstreerida perspektiiviseaduste kasutamise oskust. Oluline kunstnik Masaccio (1401-1428) Tema teos -Püha Kolmainsus Fresko, 680x475 cm. Asukoht Santa Maria Novella kirik.Oli esimene pagupunkti koonduva joone pilt. Oluline ruumi perspektiivne kujutamine ( Algselt arvati, et kunstnik on lõhkunud seina, kust läbi paistab kabel, niivõrd eriline oli tema teos.) Täherlepanuväärve figuuride plastiline, skulptuurisarnane töötlus ja ühtne valgusekäsitlus. Paolo Uccello (1397-1475)- teos : Jaht Metsas Perspektiivi joonis. San Romano lahing I-III Domenico Veneziano (1400-1461)- tema teos Madonna. Sandro Botticelli (1445-1510)-kuulsaim vararenesanssi esindaja.
jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui nende mõjusirged lõikuvadühes punktis. et neist saab moodustada kinnise hulknurga kindlaümberkäigu suunaga. Et jõudude hulknurga saab moodustada üksnes ühes tasapinnas olevate jõudude puhul siis ilmselt mitu mitte tasapinnas asuvat jõudu taskaalus olla ei saa. Jõu lahutamine komponentideks - Jõu asendamist temaga ekvivalentse jõusüsteemiga nim. jõu lahutamiskes komponentideks. Koonduvad jõud ja nende tasakaalutingimused - koonduva jõussüsteemi tasakaalu jaoks on vajalik ja piisav et kõikide jõudude projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võirdukd 0 Jõupaari moment jõupaari mõju kehale iseloomustab: tasapind milles jõupaar asub paari moodustavate jõudude suurusest jõuõlast jõupaari jõudude suunast mis määrab pöörlemissuuna Nende kõigi koosmõju kehale isel. momendi mõistega. Def: jõupaari momendiks nim. paari ühe jõu
rahuldavad võrratust x < - M . Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa
jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui nende mõjusirged lõikuvadühes punktis. et neist saab moodustada kinnise hulknurga kindlaümberkäigu suunaga. Et jõudude hulknurga saab moodustada üksnes ühes tasapinnas olevate jõudude puhul siis ilmselt mitu mitte tasapinnas asuvat jõudu taskaalus olla ei saa. Jõu lahutamine komponentideks - Jõu asendamist temaga ekvivalentse jõusüsteemiga nim. jõu lahutamiskes komponentideks. Koonduvad jõud ja nende tasakaalutingimused - koonduva jõussüsteemi tasakaalu jaoks on vajalik ja piisav et kõikide jõudude projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võirdukd 0 Jõupaari moment jõupaari mõju kehale iseloomustab: tasapind milles jõupaar asub paari moodustavate jõudude suurusest jõuõlast jõupaari jõudude suunast mis määrab pöörlemissuuna Nende kõigi koosmõju kehale isel. momendi mõistega. Def: jõupaari momendiks nim. paari ühe jõu
F1 = - F2 F1 IIF2 Jõupaar ei moodusta tasakaalustatud süsteemi ning jõupaarimõjul keha teostab pöörlemisliikumised. 7. Jõupaari moment (skeem, arvutamine). Jõupaari momendiks nim tema ühe jõu mooduli ja jõupaaariõla korrutist. Jõupaari õlg on minimaalne kaugus paari moodustavate jõudude vahel M = ±F l 8. Mis on koonduv jõusüsteem? Ühes punktis lõikuvate jõudude süsteemi nim koonduvaks jõusüsteemiks 9. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks vajalikud tingimused. Resultantjõud peab tulema 0. Koonduva jõusüsteemi tasakaalustamiseks peab viimase jõuvektori lõpp jõudma esimese jõuvektori alguspunkti n F = Fi = 0 i =1 n n n F x = Fix = 0; F y = Fiy = 0; F z = Fiz = 0 i =1 i =1 i =1 F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Arvutuslikult: 10
annaabi.ee 
