Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja
kusjuures suvalise konstandi C võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise [, ] () = () + () Tõestus: Kui on lõigu [, ] tükeldus, 8). (Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon). kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku [-1 , ], () = =1 ( ) = kontsandi summa on suvaline konstant. Kuna = ja = , siis ongi antud Riemanni summa lõigul [a,b] n (f) = =1 ( ) . -1 -1 seos esitatav kujul = - .
kusjuures Sk(x) (k < n) on polünoomide jagamisel tekkiv jääk ja Sk(x)/Pn(x) on lihtmurd. Lause 1. Kui Qm(x)/Pn(x) on lihtmurd ja polünoomil Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x1 + an on nullkohad x1, x2, . . . , xr kordsustega k1, k2, . . . , kr (k1 + k2 + . . . + kr = n) , st polünoom Pn(x) on esitatav kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , siis Qm(x)/Pn(x) on ühesel viisil lahutatav osamurdudeks 7. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine. 8. Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = . Kui eksisteerib piirväärtus = , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x)
Seda omadust tuleb tunnistada. Retroflektsioon inimene teeb endale seda, mida tahab, et keegi talle teeks. Hämamine ehk deflektsioon kontakti hajutamine, tehakse märkusi kohatuid jne. Nt. skisofreenik eitab kõike. Kokkusulamine inimese ja teda ümbritseva piir ähmane, fantaasia ja välismaailma vahel. Kõik inimesed tunnevad sama moodi. Küpsus on optimaalse tervise seisund, kus inimene suudab leida toetuseks ressursse enda seest. 15. Riemanni isiksusekäsitlus läbi hirmude Hirm kuulub eksistentsi juurde. On globaalsed ja isiklikud hirmud. Igal hirmul on arengulugu. See, kuidas inimene hirme vastu võtab, mõjutab isiksuse arengut. Kui inimene hirmud vastu võtab, saab küpsemaks. Globaalsed hirmud on teatud vanuses, need kõigil olnud. Isiklikud ei ole tüüpilised. 4 hirmude põhivormi : hirm sõltuvuse ees minast loobumine, hirm muudatuste ees, hirm paratamatuse ees tajutakse lõplikkust, vabaduse puudumine. Loob
Läbi selle teraapia üritatakse isiksust arendada praktiliselt. Ületab püüdluse väismaailma toe järele. Küps inimene leiab ressursid iseendast. Gesaltteraapia koosneb erinevatest komponentidest. Filosoofiast on võetud eksistentsialism, psühholoogiast on laenatud mõtted psühhoanalüüsist, Reichi füüsilisi harjutusi ning kasutatatakse psühhodraamat, kus probleeme lahendatakse läbi lavastamise. Nmetus gesalt tuleb saksa klassikalise teooria ideest. Pilet 15. F. Riemanni isiksusekäsitlus läbi hirmude. Tema isiksusekäsitlus põhineb hirmudel, mida kõik ei tunnista, kuid nad on olemas. On globaalsed hirmud ja individuaalsed hirmud. Igal hirmul on arengulugu. Hirmudest ülesaamine muudab küpsemaks. Hirm tuleb esile uudses olukorras, nt kooliminek, pere loomine. Isiklikud hirmud pole kõigile omased, nt ämblikud, kõrgus. On olemas hirmu põhivormid, millest tulenevad teised hirmud.
Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn
.. + b
Määratud integraal
Olgu lõigul [a; b] määratud funktsioon f(x). Vaatleme esiteks juhtu b > a. Jaotame selle lõigu punktidega xi
( i = 0; 1; 2; ...; n ) osalõikudeks [ xn-1, xi] ( i = 1; 2; ...; n ), kusjuures
a = x0 < x1 < x2 < ...
Läbi selle teraapia üritatakse isiksust arendada praktiliselt. Ületab püüdluse väismaailma toe järele. Küps inimene leiab ressursid iseendast. Gesaltteraapia koosneb erinevatest komponentidest. Filosoofiast on võetud eksistentsialism, psühholoogiast on laenatud mõtted psühhoanalüüsist, Reichi füüsilisi harjutusi ning kasutatatakse psühhodraamat, kus probleeme lahendatakse läbi lavastamise. Nmetus gesalt tuleb saksa klassikalise teooria ideest. Pilet 15. F. Riemanni isiksusekäsitlus läbi hirmude. Tema isiksusekäsitlus põhineb hirmudel, mida kõik ei tunnista, kuid nad on olemas. On globaalsed hirmud ja individuaalsed hirmud. Igal hirmul on arengulugu. Hirmudest ülesaamine muudab küpsemaks. Hirm tuleb esile uudses olukorras, nt kooliminek, pere loomine. Isiklikud hirmud pole kõigile omased, nt ämblikud, kõrgus. On olemas hirmu põhivormid, millest tulenevad teised hirmud.
3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,….
sajandini - kujunesid suured matemaatika harud, niteks algebra, aritmeetika ja geomeetria. Sellesse ajajrku kuulub ka Eukleidese teos "Elemendid" (3. sajand eKr), mis koondas kik tol ajal teada olnud geomeetriateadmised terviklikuks loogiliseks ssteemiks. Kolmandaks jrguks loetakse krgema matemaatika perioodi, mis kestis 19. sajandini. Siis olid kesksel kohal muutuja ja funktsiooni miste ning loodi kverate ruumide geomeetriad (Lobatevski geomeetria ja Riemanni geomeetria). Neljas ajajrk hlmab ndisaegse matemaatika, millele on eriti iseloomulik laialdane arvutite kasutamine (arvutusmatemaatika). Selles jrgus on tekkinud mitu uut matemaatikaharu, niteks matemaatiline loogika, ndisaegne algebra ja funktsionaalanals.
F''(a) < 0 kumer punktis a,f''(a) > 0 nõgus punktis a. INEGRAAL n Reimanni summa: Sn(f)= f (i)xi i =1 n Kui eksisteerib piirväärtus limn;maxxi0 f (i)xi , mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide i valikust, siis i =1 öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul[a; b] ning seda piirväärtust nim f-i f(x) määaratud integraaliks ehk Riemanni b a integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse f ( x)dx ; kui ab, siis =- f ( x)dx ; kui a=b, siis kogu a b
selles lõigus ja G (x) = f (x) . Märkus . Teoreemist 22 ja algfunktsiooni definitsioonist järeldub, et funktsioon G kujul (2) on funktsiooni f üks algfunksioone, mistõttu funktsiooni f suvaline algfunktsioon avaldub kujul x F ( x) = G ( x) + C = f (t )dt + C. a 2. Määratud (Riemanni ) integraal Olgu lõigus [a,b] antud funktsioon y = f(x). Teeme lõigu [a,b] alajaotuse a = x0 < x1 < x2 < ...< xn = b, valime punktid i [xi-1, xi ] ja olgu = max (xi xi-1) = max xi, i=1,...,n ( on osalõikude maksimaalne pikkus). Definitsioon 18. Kui sõltumata lõigu [a,b] alajaotusest ja punktide i valikust eksisteerib piirväärtus n lim f ( i )xi , 0 i =1
paratamatu ja üldkehtiv. Ratsionalismi seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika teooriad mõistusest enesest. Just matemaatika ongi olnud selleks valdkonnaks, millele ratsionalism on sajandeid viidanud, kui jutt on tõsikindla teadmise võimalikkusest. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria. Mõlemal suunal on asjadest omad kindlad arusaamad ja samas ka komistuskivid. Näiteks empiristide komistuskiviks on peetud matemaatika teoreemide olemasolu: nende tõesus ei sõltu kogemusest ning neid on võimalik teada kogemuse-eelselt. Ma ei saa öelda, et pooldan täiesti üht või teist filosoofilist suunda, kuid siiski pean end pigem empiristiks kui ratsionalistiks, kuna ma ei usu, et teadmised on kaasasündinud, nagu arvavad ratsionalistid
Korrutise diferentseerimisreegli põhjal [u ( x )v( x )] = u ( x )v ( x ) + v( x )u ( x ) [u(x )v(x )] dx = [u (x )v(x ) + v(x )u (x )]dx = u (x )v(x )dx + v(x )u (x )dx = u(x )dv(x ) + v(x )du (x ) uv = udv + vdu udv = uv - vdu 28 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Riemanni integraali mõiste Olgu funktsioon f antud lõigus [a, b] , kus a < b . Jaotame lõigu [a, b] punktidega a = x0 < x1 < ... < x n = b osalõikudeks ei = [xi -1 , xi ] i {1,..., n} . Valime suvaliselt punktid i ei ja moodustame summa n = f ( i )xi , i =1 kus xi = xi - xi -1 .
lõpuks tuli tagasi Leipzigi Ülikooli lektorina 1895 aastal. Aastal 1901 nimetati ta professoriks. Tema tuntumad teosed on Musik-Lexikon (1882; 5th ed. 1899; Eng. Trans., 1893-1896) täielik sõnastik muusika ja muusikute kohta, Handbuch der Harmonielehre (harmooniaõpetuse käsiraamat), uurimistöö harmooniast ja Lehrbuch des Contrapunkts (kontrapunktiõpetuse käsiraamat) samalaadne kontrapunkti uurimistöö, mis kõik on tõlgitud inglise keelde. Leiutas neo-Riemanni teooria. On kirjutanud artikkleid muusika interpretatsioonist. Ta kirjutas palju klaveritsükleid, laule, klaverisonaati, kuus sonatiini, viiuli sonaati ja keelpillikvartett. August Ferdinand Hermann Kretzschmar saksa muusikateadlane (19 January 1848, Olbernhau 10 May 1924, Berliin) oli organist ja kantori Karl Dankegott Kretzschmari poeg. Oli õppinud Dresdenis ja Leipzigi ülikoolis filosoofiat ja L. konsis muusikateadust. 1871 õpetas ise L. konsis muusikateooriat ja teisi aineid
y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal- piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon- kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon- kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..
Selle seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika aksioomid mõistuses enesest. Ratsionalismi seisukohalt ei saa kogemuse põhjal otsustada, mis on paratamatu ja üldkehtiv. Näiteks võib joonistada tuhandeid kolmnurki ning mõõta nende külgi ja nurki, kuid saadud andmed ei tõesta siinusteoreemi kehtivust. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria. Empirismis ei ole alati tarvis isiklikku kogemust, et midagi teada saada - sageli me tugineme hoopis ühiskondlikule kogemusele. Empirism rõhutab, et just nimelt lõppkokkuvõttes pärinevad teadmised tegeliku maailma kohta kogemusest. Mina isiklikult toetan rohkem empirismi, kui midagi nendest valima peaksin. Loomulikult ei käitu ma täiesti nende järgi, kuid arvan, et oma otsused ja elulised tegevused teen ikkagi
sajandini - kujunesid suured matemaatika harud, näiteks algebra, aritmeetika ja geomeetria. Sellesse ajajärku kuulub ka Eukleidese teos Elemendid (3. sajand eKr), mis koondas kõik tol ajal teada olnud geomeetriateadmised terviklikuks loogiliseks süsteemiks. Kolmandaks järguks loetakse kõrgema matemaatika perioodi, mis kestis 19. sajandini. Siis olid kesksel kohal muutuja ja funktsiooni mõiste ning loodi kõverate ruumide geomeetriad (Lobatsevski geomeetria ja Riemanni geomeetria). Neljas ajajärk hõlmab nüüdisaegse matemaatika, millele on eriti iseloomulik laialdane arvutite kasutamine (arvutusmatemaatika). Selles järgus on tekkinud mitu uut matemaatikaharu, näiteks matemaatiline loogika, nüüdisaegne algebra ja funktsionaalanalüüs. Kuigi peaaegu kõikides kultuurides on matemaatika algelisel tasemel toimib (loendatakse ja mõõtmine), on matemaatika edasiarendamine teada suhtelistelt vähestest kultuuridest ja ajastutest. Enne uusaega,
x [ a,b] x [ x+ x,x] * x [ x+ x,x] * x [ a,b] x[ a ,b ] x[ a ,b ] Seega m µ( x ) M , s.t. µ( x ) on tõkestatud, sest funktsioon f on integreeruvuse tõttu tõkestatud. lim G = lim µ ( x ) x = 0 , sest x 0 ja µ( x ) on tõkestatud. Seega on funktsioon G pidev. x 0 x 0 29. Määratud ( Riemanni) integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus*. Newtoni -Leibnizi valem1. Määratud (Riemanni) integraal - Kui sõltumata lõigu [a,b] alajaotusest ja punktide i valikust eksisteerib piirväärtus n lim f ( i )xi , 0 i =1
· Notsu: poeb peitu, muutub passiivseks · Jänes: viriseb, ülimalt konservatiivne · Puhh: närtsib ära, süüdistab, kipub vassima Soovitused · Iiah : väärtusta teisi! Kiida iga päev vähemalt 1 tegu · Notsu: väärtusta ennast! Ütle endale iga päev peegli ees, et olid tubli! · Jänes: võta vabalt!Võta aeg maha ja logele! · Puhh: tegutse süsteemselt! Täna teen tööd ja homme naudin elu, mitte vastupidi Hirmud (Fritz Riemanni järgi) · Hirm andumuse (sõltuvuse) ees- skisoidne - Iiah · Hirm endakssaamise ees - depressiivne - Notsu · hirm muundumiste ees- sundusega isik - Jänes · hirm paratamatuse ees - hüsteeriline isik - Puhh Inimese funktsioonid: · Mõtted · Tunded · Meelelisus (maitsed, lõhnad) · Intuitiivsus = kõhutunne · Kujutlusvõime · Unistamisvõime · Impulsiivsus = iha · Tahe koordineerib Tahte omadused · Energia, jõud
9 ja 1.10 põhjal nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve. Seetõttu Mk = 1 ja mk = 0 iga k = 1, . . . , n korral. Järelikult seega S (T) − s (T) = 1 iga T ∈ [0;1] puhul. Teoreemi 11.3 põhjal ei ole funktsioon f integreeruv. Niisiis, leidub selliseid tõkestatud funktsioone, mis ei ole integreeruvad. 49. Tõkestatud funktsiooni Reimanni integraal Selgitada, kuidas moodustatakse funktsiooni Riemanni integraalsumma: Olgu f : [a, b] → R tõkestatud funktsioon ja olgu T [x 0, . . . , xn] lõigu [a, b] mingi alajaotus. Fikseerime iga k = 1, . . . , n korral täiesti suvaliselt punkti ξ k osalõigust [xk−1, xk] ning moodustame funktsiooni f alajaotusele T ning punktide komplektile ξ := {ξ1, . . . , ξn} vastava integraalsumma Kuna siis niisiis, s (T) ≤ σ (T, ξ) ≤ S (T) iga T ∈ T puhul, (11
2 Avaldist F (x) + c, kus F (x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f (x) dx. Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. Määramata integraali omadused 1) ( f (x)±g(x))dx= f (x)dx± g(x)dx 2) af(x)dx=a f (x)dx 3) ( f (x)dx)'= f (x) 4) dF(x) =F(x)+c 9. Määratud integraal ja tema omadused Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks (ehk Riemanni integraaliks) lõigus [a; b] ja kirjutatakse Arve a ja b nimetatakse radadeks. 10. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. x a kus a ei tohi võrduda ühega, ehk a 1 Määratud integraali jaoks on vaja teada Newton Leibnisi valemit. Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus
~ osaloikudeks [xi-1 , xi ] a = x0 < x1 < . . . < xn-1 < xn = b. ~ Osaloikude hulka n = {[xi-1 , xi ] | i = 1, . . . , n} nimetatakse loigu ~ [a, b] tukelduseks. ¨ i [xi-1 , xi ], xi = xi - xi-1 . Vaatame tukelduse ¨ n jaoks funktsiooni f (x) Riemanni summat loigul ~ [a, b] n Sn (f ) = f (i )xi . i=1 ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2 / 18 Ma¨ aratud ¨ integraal Pindala
f(x) piirkonnas X. b. Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F´(x)= f(x), siis on seda ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant. 24. Kõvertrapetsi pindala(joonis) a. b. c. d. Funktsiooni f(x) määratud integraaliks rajadest a-st b-ni nimetatakse piirväärtust ¿¿ f (¿ x i ) ∆ x i n ∑¿ (Riemanni summa) i=1 b ∫ f ( x ) dx=lim n−∞ ¿ a b e. Geomeetriline tähendus: Positiivselt ja negatiivselt loetud pindalade vahet ∫ f ( x ) dx =
on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (X≠tühihulk) Fikseerides argumendi X0 ϵ X väärtuse saame arvrea Uk(X0) ϵ R Σ UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0ϵX, kui koondub arvrida Σ UK(x0) Kui arvrida Σ UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 ϵ X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p≥1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui Siis võib leiduda lõplik arv punkte XϵD, mille korral f(x)≠g(x) Seega, kui funktsionaalrea osasummade jada {Sn(x)} n ϵ Z korral kehtib lim||Sn-S||p=0 siis sellest ei järeldu vastava funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Vaatame funktsiooni f nn maksimumnormi piirkonnas D. Erinevalt LP normi järgi koondumisest tagab maksimumnormi järgi koondumine funktsionaalrea ühtlase koondumise. Lause Funktsionaalrida
.. mille liikmed uk kN on funktsioonid UK:XkYk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (Xtühihulk) Fikseerides argumendi X0 X väärtuse saame arvrea Uk(X0) R UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0X, kui koondub arvrida UK(x0) Kui arvrida UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui Siis võib leiduda lõplik arv punkte XD, mille korral f(x)g(x) Seega, kui funktsionaalrea osasummade jada {Sn(x)} n Z korral kehtib lim||Sn-S||p=0 siis sellest ei järeldu vastava funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Vaatame funktsiooni f nn maksimumnormi piirkonnas D. Erinevalt LP normi järgi koondumisest tagab maksimumnormi järgi koondumine funktsionaalrea ühtlase koondumise. Lause Funktsionaalrida
.. mille liikmed uk kN on funktsioonid UK:XkYk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (Xtühihulk) Fikseerides argumendi X0 X väärtuse saame arvrea Uk(X0) R UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0X, kui koondub arvrida UK(x0) Kui arvrida UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui Siis võib leiduda lõplik arv punkte XD, mille korral f(x)g(x) Seega, kui funktsionaalrea osasummade jada {Sn(x)} n Z korral kehtib lim||Sn-S||p=0 siis sellest ei järeldu vastava funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Vaatame funktsiooni f nn maksimumnormi piirkonnas D. Erinevalt LP normi järgi koondumisest tagab maksimumnormi järgi koondumine funktsionaalrea ühtlase koondumise. Lause Funktsionaalrida
y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon - kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon - kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..
∆ x k =x k −x k −1 . Järgnevalt igalt osalõigult valime vabalt ühe punkti ξ k ∈ [ x k−1 ; x k ] , kus k =1,2, 3,... , n , ning moodustame korrutised f (ξ k ) ∆ x k . (L. Pallas) Liites sellised korrutised omavahel saame funktsiooni y=f ( x ) integraalsumma lõigul [a ;b] : n S abBA =∑ f ( ξ k ) ∆ x k . k =1 Saadud summat nimetatakse ka Riemanni summaks. (H. Päeva) Kuna jaotuspunktid x 1 , x 2 , x 3 , … x n−1 on valitud täiesti vabalt, siis osalõikude ∆ x k , k =1,2, 3,... , n pikkused samuti erinevad. Võtame pikima osalõigu tähistuseks λ , siis λ=max ∆ x k . 1≤ k ≤n (L. Pallas) 5 Mida väiksem on ∆ x k , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul [x k−1 ; x k ] , sellest
(c-integreerimiskonstant). 33. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 34. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsoon y=F(x) lõigus {a,b}, siis nimetatakse vahet F(b) F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse f(x)dx. piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] 35. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul {a,b}. S= f(x)dx, f(x)>=0. 36. Nimetada määratud integraali omadusi. 1) Aditiivsus: kui 2) Lineaarsus: kui 3) Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus {a,b} ja f(x)<= g(x) iga 37. Newton-Leibnizi valem
. . 96 4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.5 L’Hospitali reegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Taylori valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Integreeruvad funktsioonid 106 5.1 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Riemanni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . .
mehaanika alalt, kuid ei tohi unustada, et ta loos L.H.H. Navier'ga (1785-1836) üks matemaatilise elastsusteooria rajajaid. Kõige rohkem kuulsust tõi Cauchyle kompleksmuutuja funktsioonide teooria ja see, et ta nõudis rangust matemaatilises analüüsis. Kompleksmuutuja funktsioone kasutas juba d'Alembert, kes ühes töös vedelike takistuse kohta (1752) jõudis tulemuseni, mida praegu nimetatakse Cauchy-Riemanni võrranditeks. Kuid Cauchy käes muutus kompleksmuutuja funktsioonide teooria hüdrodünaamika ja aerodünaamika vahedast vahendist uueks ja iseseisvaks matemaatika uurimisalaks. Cauchy tööd nendes küsimustes ilmusid alates 1814.a. pidevalt. Üks tähtsamaid on tema ,,Memuaar imaginaarsee rajadega määratud integraalidest" (Memoire sur les integrales definies,prises entre des limites imaginaires, 1825).Cauchy ainus tõsine rivaal oli temast kaksteist aastat vanem Gauss, kes samad
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 𝑙 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑥𝑝 𝑑𝑡. Vaatame funktsiooni f, mis on lokaalselt sile (-∞,∞) ‖𝑓‖𝑝 ≔ (∫𝐷 |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥) . Riemanni integraali omaduste põhjal, kui (∫𝐷 |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| 𝑑𝑥) = 0, siis võib leiduda lõplik arv 2𝑙 −𝑙 𝑖𝑘𝜋𝑥
Vaatleme rida (U): u n ja tema liikmete absol.väärtustest mood rida (U ) : u n . n n Järeldus: rida (U ) on pos rida. Teoreem: kui koondub rida (U ) , siis koondub ka rida (U). Def: rida (U) nim absol. koonduvaks, kui rida (U ) koondub. Dirichlet' teoreem: absoluutselt koonduva rea iga ümberjärjestus koondub samaks summaks S. Def: koonduvat rida (U), mille (U ) rida hajub, nim tingimisi koonduvaks. Riemanni teoreem: tingimisi koonduval real leidub alati niisugune ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt ette antud arv S, mis võib olla ka või - Funktsionaalrida ja tema koonduvuspiirkond DEF: Rida, mille liikmed on mingi argumendi funktsioonid: n =1 un(x)= u1(x)+ u2(x)+ ...+un(x)+... nimetame funktsionaalreaks (u(x)). un(x)- funktsionaalrea üldliige. Olgu liikmed un(x) määratud piirkonnas X on reaalarvude hulk. Iga xo puhul piirkonnas X saame arvrea: n =1
Mängin hoopis pilli). Pole sellega lihtsalt piisavalt tegelenud, kui kasutaks seda ressurssi, siis saaks selgeks. Kui midagi ei oska, siis tuleb mõelda, kas olen seda piisavalt tahtnud, sellega tegelenud, seda valinud. Üks pikk teema, erineb teistest isiksusekäsitlustest, tegeleb isiksusehäiretega (raamat, aga seda ei arvestata!!! F.Riemann „Hirmu põhivormid“) Kirjutame eneseanalüüsi Riemanni isikukäsitluste kaudu(kui loed ühte raamatut) F.Riemann (1902-1979) Parim psühho raamat, mis eesti keelde tõlgitud. Läheneb isiksusele läbi hirmude. Miks hirmud? Mis nendega toimub? Hirmud on elu osa, osad teadvustavad, saavad hakkama, teised ei teadvusta, kui ei mõtle neile, siis on ikkagi olemas. Hirmud on kaasajastunud. On ka selliseid, mida suurem osa inimesi kogeb, globaalsed hirmud. Spetsiifilised hirmud. Seotud
- Retroflektsioon teeme iseendale seda, mida tahame teistele teha v vice versa - Deflektsioon kontakti hajutamine. Ebameeldivas olukorras tehakse nägu, et midagi pole juhtunud. Piinlik hetk, keegi naljatab, viib teema mujale. - Kokkusulamine ehk konfluents keskkonna ja indiviidi piiride ähmasus, turvatunne tekitatakse nii, et ei öelda välja oma tõelisi tundeid. Kõik teeme ühtemoodi, ei tohi sinna peatuma jääda. 15. Riemanni isiksusekäsitlus läbi hirmude Hirm kuulub inimeste olemuse juurde. Inimene ei pruugi oma hirme teadvustada. Läbi ajaloo hirmud tänapäevastuvad. Vahend neist üle saada: Psühhoteraapia. Üldised, globaalseid hirme . Isiklikud hirmud- pärilikkus, kasvatus. Igal hirmul oma arengulugu. Kui inimene saab hakkama, siis tähendab see sammu tema arengus. Inimene saab küpsemaks kui saab oma hirmuga hakkama. Kui hoidub kõrvale siis tõkestab inimese arengut
- Deflektsioon kontakti hajutamine. Ebameeldivas olukorras tehakse nägu, et midagi pole juhtunud. Piinlik hetk, keegi naljatab, viib teema mujale. - Kokkusulamine ehk konfluents keskkonna ja indiviidi piiride ähmasus, turvatunne tekitatakse nii, et ei öelda välja oma tõelisi tundeid. Kõik teeme ühtemoodi, ei tohi sinna peatuma jääda. 13 15. Riemanni isiksusekäsitlus läbi hirmude Hirm kuulub inimeste olemuse juurde. Inimene ei pruugi oma hirme teadvustada. Läbi ajaloo hirmud tänapäevastuvad. Vahend neist üle saada: Psühhoteraapia. Üldised, globaalseid hirme . Isiklikud hirmud- pärilikkus, kasvatus. Igal hirmul oma arengulugu. Kui inimene saab hakkama, siis tähendab see sammu tema arengus. Inimene saab küpsemaks kui saab oma hirmuga hakkama. Kui hoidub kõrvale siis tõkestab inimese arengut
=cosxdx c)m=2k>0, n=2l>0 =>sin2x=1/2 (1-cos2x), cos2x=1/2(1+cos2x),
sinxcosx =1/2 sin2x d) m=2k<0, n=2l<0=> [t=tanx]=>dx=dt/1+t 2; cos2x=1/1+t2;
sin2x=t2/1+t2
32.Määratud int mõiste
Antud y=f(x)-pidev lõigul[a;b], konstruktsioon n N-> a=x0
20. sajandi teisel poolel muutus gestaltteraapia väga populaarseks. See jõudis ka Eestisse. · Starak, Oldham, Key "Risk olla elus" - See raamat on ülevaade või kokkuvõte sellest, milliseid teemasid või mõisteid gestalt teraapias kasutatakse. See on praktiline isiksuse treenimise teoreetiline kursus. Seal on suhteliselt vähe teoreetilist poolt, palju praktilise ülesandeid. 15. PILET FRITZ RIEMANNI ISIKSUSEKÄSITLUS LÄBI HIRMUDE Riemani tuntuim teos on "Hirmu põhivormid". Ta oli juudi soost saksa psühhoanalüütik ja tema isiksusekäsitlus põhineb hirmudel nagu ka tema tuntuima raamatu pealkiri ütleb. Kõigil inimestel on mingisugused hirmud, isegi kui neid ei teadvustata. Inimestel on palju tehnikaid hirmude tõrjumiseks, allasurumiseks, aga iseenesest need hirmud ei kao mitte kuhugi. Küll on need läbi ajaloo muutunud. Paljud
puuteruumis Lorentzi rühma taandamatute esitustega defineeritavate matemaatiliste suuruste ( spiinorite, tensorite ) vaatlemisest. Pärast seda arvestatakse ka kogu tänapäeva diferentsiaalgeomeetriat. Kasutatakse topoloogilisi meetodeid, mitmeid eripäraseid ja efektiivseid arvutusmeetodeid. Näiteks Cartani välisdiferentsiaalvormide arvutust. Seejärel see kõik rakendatakse aegruumi ( kui kõvera Riemanni ruumi ) omaduste detailse uurimise teenistusse. 74 Näiteks nn. spiinorformalism on tensorformalismist fundamentaalsem käsitlusviis. See formuleerib üldrelatiivsusteooriat spiinorite keeles. Kuid spiinorformalismilt on võimalik üle minna tensorformalismile. Seda on võimalik arendada kasutades globaalseid koordinaate, mis annabki meetrilise formalismi. Teise võimalusena saab kasutada aga lokaalseid reepereid iseloomustavaid
Need oleksid nagu põhjalaiuskraadid. Kui x1 = 0, siis see on ekvaator. tegemist on siis lõunalaiuskraadidega. Järgmisele meetrilisele seosele on olemas järgmine meetrilise tensori maatriks: Selle determinant on Valemi järgi on meetrilise tensori kontravariantsed komponendid Valemi järgi arvutades suurused saame Valemite abil arvutades 70 saame kätte Christoffeli koefitsendid: 2-ruumi Riemanni-Christoffeli tensori ainsa sõltumatu komponendi R1212 saame valemist Seega on võimalik järeldada seda, et kerapind kuulub kõverate ruumide hulka. ,,Selline esitusviis on üldrelatiivsusteooria ,,klassikaline" esitus ehk nn meetriline formalism. Kuid seda klassikalist formalismi on täiustatud. On välja arendatud üldrelatiivsusteooria matemaatiliste aluste üldiselt komplitseeritumad käsitlused. Need aga lähtuvad üldisematest matemaatilistest kontseptsioonidest, mõistetest
puuteruumis Lorentzi rühma taandamatute esitustega defineeritavate matemaatiliste suuruste ( spiinorite, tensorite ) vaatlemisest. Pärast seda arvestatakse ka kogu tänapäeva diferentsiaalgeomeetriat. Kasutatakse topoloogilisi meetodeid, mitmeid eripäraseid ja efektiivseid arvutusmeetodeid. Näiteks Cartani välisdiferentsiaalvormide arvutust. Seejärel see kõik rakendatakse aegruumi ( kui kõvera Riemanni ruumi ) omaduste detailse uurimise teenistusse. Näiteks nn. spiinorformalism on tensorformalismist fundamentaalsem käsitlusviis. See formuleerib üldrelatiivsusteooriat spiinorite keeles. Kuid spiinorformalismilt on võimalik üle minna tensorformalismile. Seda on võimalik arendada kasutades globaalseid koordinaate, mis annabki meetrilise formalismi. Teise võimalusena saab kasutada aga lokaalseid reepereid iseloomustavaid suurusi – selline formuleerimisviis on tegelikult üldisem
annaabi.ee 
