Kollokvium I, 2012 (1)

Teemad: 5. Ö on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus ( meetrika ). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond . Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsedjadad , jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano -Weierstraß'i teoreem 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused. x korral, mis täidab tingimust 0 0 leidub () >0, et 8. Funktsiooni pidevus punktis. Ühepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. iga x (a-(), a) korral kehtib võrratus |f(x) - b| pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ü lemine ja alumine raja. limxa- f(x) = b, f(x) b ( noole kohal on xa- ) Pidevuse aksioom .Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Def. Def. Arvu b nim. fun-ni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised . Diferentseeruvuse ja pidevuse >0, et iga x (a, a+()) korral kehtib võrratus |f(x) - b| vektorruumis V nim. reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari ||u|| punktis a (xn a) koondub arvuks b. R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: Omadused: u V ||u|| 0; ||u|| = 0 u= Lause. Konstantse fun-ni piirväärtuseks on see konstant, st x X(f(x) = c) limxa f(x) = c. u V, R || u|| = || ||u|| Lause: Kui fun-l f(x) leidub piirväärtus punktis a, siis leidub punkti a selline -ümbrus, et fun-n u, v V ||u+v|| ||u|| + ||v|| f(x) on tõkestatud hulgal (a-, a+) /. Kauguseks ruumis V nim. reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u, v V seab Lause. Kui funktsioonidel f (x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a - vastavusse skalaari d(u,v) R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: ümbrus, et iga 0 0} nim. punkti a V -ümbruseks. Reaalarvu a a R korral saame U(a) Y fun-ni f nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. muutumispiirkonnaks. Elementi x nim. fun-ni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a elementi y sõltuvaks muutujaks. eksisteerivad funktsiooni f (x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Mõiste funk-n asemel kasutatakse ka mõistet ,,kujutus". Hulka f(X) nim. hulga X kujutiseks Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki kujutamisel funktsiooniga f. Kui analüütiliselt esitatud funktsiooni y=f(x) korral ei ole fun-ni katkevuspunktiks. määramispiirkond fikseeritud, siis fun-ni määramispiironnaks X loetakse kõigi nende argumendi Ühepoolne pidevus. Def. Fun-n y = f (x) nimetatakse pidevaks paremalt punktis a, kui limxa+ x väärtuste hulka, mille korral antud eeskiri y=f(x) omab mõtet. Lihtsustatuna Y=f(X). y =0 ja pidevaks vasakult punktis a, kui limx0- y =0 Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nim. paarisfunk- ks, kui x X : f(-x) = f(x). Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nim. paarituks 9. Def. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. funk-ks, ku x X : f(-x) = -f(x). Tähistatakse f(x) C(X). Funktsiooni f nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T 0, et iga x X korral ka x ± T X ja Def. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks lõigul [a; b] (kuulub ja kriips all _ ) R, kui ta on f(x + T) = f(x). Vähimat positiivset arvu T, mille korral f(x + T) = f(x) x X, nim. funktsiooni pidev vahemiku (a, b) igas punktis, paremalt pidev lõigu otspunktis a ja vasakult pidev lõigu f(x) perioodiks . otspunktis b. Tähistatakse f (x) C[a, b]. Funk-ni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, Lause. Elementaar funk-n on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. mis rahuldavad võrratust x1 f(x2). Lause (Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest): Lõigul [a, b] pidev f-n f(x) Funktsi-ni f nim. kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X on tõkestatud sellel lõigul st selle fun-ni väärtuste hulk sellel lõ on korral, mis rahuldavad võrratust x1 f(x2). tõkestatud. Monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev Hulga (null kriipsuga) X R vähimat ülemist tõket nim-kse hulga X ülemiseks rajaks ja (monotoonselt kasvav fun-n) või mittekasvav (monotoonselt kahanev fun-n). tähistatakse sup X. Rangelt monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või Hulga X R suurimat alumist tõket nim-kse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf kahanev. X. Funkt-ni y=f(x), x X pöördfunktsiooniks nim. fun-ni x = f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) Lause (Pidevuse aksioom): Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja seab vastavusse arvy x X, kusjuures y = f(x), st x=f-1(y) y=f(x). igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Lause (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest). Lõigul 3. Jadaks nim. fun-ni, mille mää. pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a; b] leiduvad Jada x väärtusi x(n), n N tähistame xn ja nimetame jada liikmeteks . Jada x tä punktid [a, b] ja [a, b], nii et võ võ/ n=1 võn N. min x [a,b] f(x)=f() , max x [a,b] f(x)=f(). Kui xn R (n N), st x : N R, siis nimetame jada x arvjadaks. Tõestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigul pidev fun-n omab iga Ü/ n=1 koondub suuruseks a (/ n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 C korral. Tähistame xn a või xn n / a või lim/n xn = a. 10. Def. Fun-ni y=f(x). tuletiseks kohal x nim fun-ni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x Elementi b nim-kse fun-ni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga x korral, suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Tähistus: f'(x) = (def)= limx 0 y/x. mis täidab tingimust x U (a) kehtib f(x) U(b). Lim f xa(x)=b, f(x) b (noole kohal on Def. Fun-n f in diferentseeruv punktis x, kui punkti mingis ümbruses f(x+ x)=f(x) + A x + xa). (x), limx 0 (x)/x=0. Lause. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui lim n xn = a ja lim n xn = b. A=f'(x) f(x+ x) = f(x) + f'(x) x + (x) ( (x)=0) nim. tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n N korral xn UM(0), st n Funktsioon f on diferentseeruv punktis x parajasti siis, kui leidub f'(x). N(d(xn,0)M. Tüestus: olgu f'(x), näitame et f (x + x) = f(x) + f'(x) x + (x). Arvjadakoonduv jada on tõkestatud. f-'(x)= limx0- f (x+ x )-f(x) / x Lause. Iga ülalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Funk-ni f(x) diferintseeruvusest punktis x järeldub selle fun-ni pidevus punktis x, sh f(x) lõpliku või lõpmatu hulga D(x) f(x) C(x). jada elementide väljajätmise teel. Bolzano-WeierstraSi teoreem. Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Konkreetsed: 10. Näidata, et lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike. - 1. Näidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks ( rahuldab normi lim xa (c(x)) = c lim xa (x)= c*0=0 aksioome ) ||f|| := sup f(x), x X. 2. Näidata, et reaalarvude jaoks saame kauguse defineerida absoluutväärtuse abil (st d(u, v) := |v- 11. Näidata, et kahe lõpmata väikese suuruse korrutis ja summa on lõpmata väikesed. u| lim xa (x)= 0 lim xa (x)= 0 (u,v R) rahuldab meetrika aksioome). lim xa (x)(x) = (lim xa (x))(limxa (x))= 0*0=0 3. Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. lim xa ((x) + (x)) = lim xa (x)+limxa (x)= 0+0=0 - 4. Koonduva jada tõkestatuse tõestus. 5. Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. 12. Näidata, et kahe ekvivalentse lõpmata väikese suuruse vahe on kõrgemat järku lõpmata 6. Näidata, et kui lim n yn = a ning xn 0, et f (x) = b + (x) x (a - , b + )\, Lause. Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on pidevad punktis a ning b, c R, siis on punktis a pidevad kus (x) on piirprotsessis xa lõpmata väike suurus. (NB! Funktsiooni pidevus,lk 13) ka funktsioonid bf(x) + cg(x) ja f (x)g(x) ning täiendaval tingimusel g(a) 0 ka funktsioon f - 14. Näidata, et funktsioon f (x) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f (x) on (x)/g(x). esitatav kujul f (x) = f (a) + (x) = f (a) + o(1), kus limxa f (x) = (x)/ 1 (x) = o(1). (NB! Tõestus: Näitame, et f(x)g(x) on pidev kui f,g on pidevad. Funktsiooni pidevus,lk 16) lim xa f(x)g(x) = [f,g pidevad; lim f, lim g] = (lim xa f(x)(lim xa g(x)) = [f,g pidevad; lim 15. Punktis pidevate funktsioonide omadusi. Üks omadus tõestada. xa f(x)= f(a); (lim xa g(x)= g(a)] = f(a)g(a). 16. Tõestada Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest. 17. Tõestada Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. 16. Tõestada Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest. 18. Tõestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigul [a, b] pidev f-n f(x) on tõkestatud sellel lõigul st selle fun-ni väärtuste hulk sellel lõigul Y - 19. Näidata, et funktsioonil f (x) leidub tuletis punktis a parajasti siis, kui punkti a ü on tõkestatud. (x) on esitatav kujul (siin A = f `(a)) f (x) = f (a) + A(x - a) + o(x - a), kus limxa o(x-a)/x-a = 0 Olgu f(x) C[a; b]. Eeldame väitevastaselt, et funktsioon f (x) on tõkestamata sellel lõigul, st 20. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. suvalise n N korral leidub selline xn [a,b], et |f (xn) |, kusjuures f(xn) (noole kohal on 2. Näidata, et reaalarvude jaoks saame kauguse defineerida absoluutväärtuse abil (st d(u, n ). Et xn [a; on tõkestatud. Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal võib v) := |v-u| tõ. Seega, lim k+ = c [a; b]. Kasutades Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi u,v V vahelise kauguse funktsiooni pidevust lõigul [a; b], leiame, et lim k+ = f (c); kusjuures suurus f (c) on lõplik. defineerida kujul d(u,v) := ||v-u||. Seega on kahe reaalarvu x1, x2 R vaheline kaugus leitav kujul Teisalt järeldub tingimusest f(xn) (noole kohal on n ) tingimus f(xnk ) (noole kohal d(x1, x2) = |x2-x1| on k). Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud väitevastasest eeldusest. Seega on lõigul pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul. 3. Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. Lause. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud.Kui lim/n xn = a ja lim/n xn = b, siis 17. Tõestada Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. a=b. Lõigul pideval fun-l on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a, b] leiduvad Tõestus: Valime 1/2d(b,a), seega U(a) ja U(b) ei lõiku. Vastavalt piirväärtuse difinitsioonile punktid [a, b] ja [a, b], nii et minx [a, b]f(x) = f(), max x [a, b]f(x) = f(). leiduvad arvu C1, C2 N, nii et Tõestus: Olgu f(x) C[a, b]. Kuna pidev fun-n on tõkestatud, siis pidevuse aksioomi põhjal n > C1 xn U(a) leiduvad rajad n > C2 xn U(b) infx[a,b]f(x)= sup x[a,b]f(x), siis Võime valida iga n N korral xn [a, b], nii et - 1/n f(xn) . Kuna xn [a, b], siis jada n > C xn U(a) on tõkestatud. Tõ. Minnes n > C xn U(b) võrratustes - 1/nj f(xnj) piirile, saame = f() = supx[a,b]f(x). Seega ülemine raja Saame vastuolu kuna vastavalt eeldusele U(a) U(b) = . (null /-ga) saavutatakse0 suvaline , siis leidub C N omadusega |xn - a| N, siis saame |xn+p - xn| = |xn+p ­ a + a - xn| |xn+p - a| + |xn ­ a| 8. Näidata, et iga Cauchy arvjada koondub. Lõigul pidev fun-n omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete vää Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano-Weierstrassi teoreemi Tõ. Tähistame a:= limkXnk ja nöitame, et c [ min f(x), x [a, b] ja max f(x), x [a, b] ]. Vaja näidata, et leidub d [a, b], nii et f(d) = c ja limkXn = a. Olgu > 0 ja olgu C selline indeks, et |xn+p - xn| C, p N). F(d)=0 Edasi olgu K N valitud nii, et nk > C kui k > K ja |xnk - a| 0 0 1 2 . . . 2) valime a1 nii, et F(a1) 0 jne. Lause. Konstantse fun-ni piirväärtuseks on see konstant, st x X(f(x)=c) lim xa f(x) = c. F(d)=0 0 = f(d) ­ c f(d) = c Lause. Kui fun-ni f(x) leidub piirväärtus punktis s, siis leidub punkti a selline ­ümbrus, et funk-n f(x) on tõkestatud hulgal (a - , a + ) /. 20. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. Lause. Kui funktsioonidel f (x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a - Lause: kui f-n on diferentseeruv punktis x, siis fun-n on pidev punktis x. ümbrus, et iga 0 MOTT ) iga 0 0 N()... n>N |xn - a| N, f(xn) g(xn) | n lim n f(xn) lim n g(xn) b c.