Kumb on tõenäosem, kas kolmest koolivihikust on kaks köitmisveaga või kahest vihikust mõlemad on köitmisveaga. Vastus. P3(2) >P2(2) n) 85% CD plaatidest on kõrgkvaliteedilised. Leia tõenäosus, et ostetud kolmest plaadist vähemalt kaks on kõrgkvaliteedilised. Vastus 0,939 2.Arvjada. Aritmeetiline ja geomeetriline jada. a) On antud jada üldliige an = n2 -7n -10. 1) kas arvud -22 ja 0 on antud jada liikmeteks? 2) Mitmes liige selles jadas on arv 50? Vastus: 1) arv -22 on, 0 ei ole 2) 12 2n 1 n2 n b) On antud jada an, mille üldliige an = 1) Kirjutage välja jada esimesed 5 liiget, an-1 ,an+1.
Mõisted suuliseks arvestuseks 1. Arvjada kui igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv an, siis saadakse arvjada (arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust või lõpmatust hulgast arvudest; selle saab kui seada ritta ükskõik mis arve). 2. Aritmeetiline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstante (jada, kus iga kahe järjestikuse liikme vahe on võrdne). *Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3
Matemaatika 1. Arvjada lõpmatu järjestatud arvuhulk. 2. Aritmeetiline jada jada, milles alates II-st liikmest iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv suurus. 3. Geomeetriline jada jada, milles alates II-st liikmest on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis jääv suurus. 4. Hääbuv jada ehk nullile lähenev jada. Kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 1. Võrdeline seos y=ax. Graafikuks on sirge, mis läbib punkti (0;0). 2. Pöördvõrdeline seos y=a/x graafikuks on hüperbool, mis koosneb kahest harust, harud lähenevad telgedele, kusjuures kunagi ei puutu telge. 3. Funktsiooni: 4. Määramispiirkond x-i väärtuste hulk ehk argumentide hulk, mille korral on võimalik arvutada funktsiooni (y) väärtust. 5. Muutumispiirkond funktsiooni (y-i)väärtuste hulk. 6. Nullkohad nim. neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni ...
positiivsus- ja negatiivsuspiirkonna algebraliselt; negatiivsuspiirkon kontrollib, kas funktsioon on d. Funktsiooni paaris või paaritu; kasvamine ja 6) uurib arvutiga ning kirjeldab kahanemine. funktsiooni y = f (x) graafiku Funktsiooni seost funktsioonide y = f (x) + a, ekstreemum. y = f (x + a), y = f (ax), y = a f (x) Astmefunktsioon. graafikutega; Funktsioonide 7) selgitab arvjada, aritmeetilise y = x , y = x2 , ja geomeetrilise jada ning y=x , y=x , 3 -1 hääbuva geomeetrilise jada mõistet; y = x , y = 3 x , y 8) tuletab aritmeetilise ja x geomeetrilise jada esimese n = x-2, y = liikme summa ja hääbuva graafikud ja geomeetrilise jada summa omadused. valemid ning rakendab neid ning Liitfunktsioon. aritmeetilise ja geomeetrilise jada Pöördfunktsioon
4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß’i teoreem. Toestus: Valime ε <= ½ d(b, a), seega Uε(a) ja Uε(b) ei loiku. Vastavalt piirväärtuse definitsioonile Jada nimetatakse {xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M, et iga n ∈ N korral xn ∈ leiduvad arvud N1, N2 ∈ N, nii et UM (0), st ∀n ∈ N(d(xn, 0) <= M) ∀n > N1 xn ∈ Uε(a) Arvjada nimetatakse {xn} nimetatakse ülalt tõkestatuks, kui leidub arv M, et iga n ∈ N korral xn ∀n > N2 xn ∈ Uε(b) <= M. Arvjada nimetatakse {xn} nimetatakse alt tõkestatuks, kui leidub arv M, et iga n ∈ N korral Kui N = max{N1, N2}, siis xn > M. Iga koonduv jada on tõkestatud. ∀n > N xn ∈ Uε(a) Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev. Jada ∀n > N xn ∈ Uε(b)
f(x+ x) = f(x) + f'(x) x + (x) ( (x)=0) 4. Jada { xn} nim. tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n N korral xn UM(0), st n Funktsioon f on diferentseeruv punktis x parajasti siis, kui leidub f'(x). N(d(xn,0)M. Tüestus: olgu f'(x), näitame et f (x + x) = f(x) + f'(x) x + (x). Arvjada { xn} nim. ülalt tõkestatuks, kui leidub arv , et iga n N korral xn . (punk asemel limx 0 f(x+ x) f(x) / x = f'(x) vastavalt piirväärtuse omadusele leidub x ümbrus, kus f(x+ kriips üleval). x)-f(x) / x = f'(x) + (x), limx0(x)= 0. Arvjada {xn} nim. alt tõkestatuks, kui leidub arv , et iga n N korral xn (punkti asemel Ühepoolsed tuletised: kriips all)
Ettevalmistus matemaatika riigieksamiks Taimi TammVask Teemad I Reaalarvud ja avaldised; II Lineaar, ruut, murdvõrrandid ja võrratused; III Vektor tasandil. Joone võrrand Teemad IV Funktsioonid ja nende graafikud; V Arvjada ja selle piirväärtus; VI Logaritm ja eksponentfunktsioonid. Logaritm ja eksponentvõrrandid ning võrratused; Teemad VII Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid; VIII Funktsiooni piirväärtus ja tuletis; IX Geomeetria tasandil ja ruumis; X Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused oskab arvutada peast, kirjalikult või arvutusvahendite abil ja oskab kriitiliselt hinnata arvutustulemusi;
2 2 Y = - ; . 2 2 Joon. 19 29 x , kui x 0 18. Funktsioon y = x ehk y = (joon. 20), paarisfunktsioon. - x , kui x < 0 Joon. 20 30 4.3 Arvjada piirväärtus Olgu arvjada üldliige an . Arvu a nimetatakse arvjada piirväärtuseks, kui iga selle arvu ümbruse jaoks leidub niisugune järjekorranumber N, millest alates jada kõik liikmed kuuluvad sellesse ümbrusesse. Arvjada piirväärtust tähistatakse an a või lim an = a . n Jadade, üldliikmega an ja bn , korral: 1) lim n ( an ± bn ) = nlim
Y ; . 2 2 Joon. 19 29 x , kui x 0 18. Funktsioon y x ehk y (joon. 20), paarisfunktsioon. x , kui x 0 Joon. 20 30 4.3 Arvjada piirväärtus Olgu arvjada üldliige an . Arvu a nimetatakse arvjada piirväärtuseks, kui iga selle arvu ümbruse jaoks leidub niisugune järjekorranumber N, millest alates jada kõik liikmed kuuluvad sellesse ümbrusesse. Arvjada piirväärtust tähistatakse an a või lim an a . n Jadade, üldliikmega an ja bn , korral: 1) lim n
Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x)) 2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) . 7. Jada piirväärtus, selle ühesus Arvjada mõiste - Arvjadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks x x (n), n 1,2,.... on kõigi naturaalarvude hulk N. Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad, tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε.
, on lugejale tuttav eelnevatest matemaatilise analüüsi kur- sustest. 2.1 Koonduvad jadad 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused Arvjadaks (sequence, последовательность) nimetatakse reaalarvuliste väärtustega funkt- siooni x, mille määramispiirkond on kõigi naturaalarvude hulk N. Selline funktsioon x : N → R seab igale naturaalarvule n vastavusse reaalarvu x (n), mis tavaliselt kirjutatakse kujul xn . Neid funktsiooni väärtusi xn nimetatakse arvjada x liikmeteks, naturaalarve n ∈ N aga indeksiteks. Arvjada x ennast tähistame sümboliga (xn ), vajaduse korral märgime juurde indeksite määramispiirkonna, näiteks (xn )n∈N või (xn )∞ n=1 . Tihtipeale kasutame ka tähistust (x1 , x2 , . . .). Tavaliselt ütleme arvjada asemel lihtsalt jada. Mõnikord on kasulik võtta jada indeksite hulgaks N0 = N∪ {0}, sel juhul saame jada (x0 , x1 , x2 , . . .). Definitsioon
Kordamisküsimused keskkonnaökonoomikast 2012 1. Keskkonnaökonoomika definitsioon ja valdkond Majandusteaduse haru, mis uurib loodusvarade majanduslikku väärtust ja otstarbekama (säästlikuma) kasutamise viise ning kulutusi, mida nõuavad looduskaitse ja inimese elukeskkonna säilitamine elamiskõlblikuna. 2. Malthuse teooria *Inimeste arv kasvab geomeetrilises progressioonis (nagu arvjada 1,2,4,8,16) *Nende kasutada olevad ressursid aga aritmeetilises progressioonis (1,2,3,4,5) *Haritav maa piirab rahvastiku kasvu Malthuse ajal oli maailma rahvastiku arv umbes 1 miljard Aastal 2000 oli vastav arv 6 korda suurem Malthus ei näinud ette tootlikkuse kiiret kasvu põllumajanduses 3. Rooma klubi arengustsenaariumid. Realistlik ja pessimistlik stsenaarium, nende sarnasused ja erinevused. Rooma Klubi on 1968
Kordamisküsimused keskkonnaökonoomikast 2012 1. Keskkonnaökonoomika definitsioon ja valdkond Majandusteaduse haru, mis uurib loodusvarade majanduslikku väärtust ja otstarbekama (säästlikuma) kasutamise viise ning kulutusi, mida nõuavad looduskaitse ja inimese elukeskkonna säilitamine elamiskõlblikuna. 2. Malthuse teooria *Inimeste arv kasvab geomeetrilises progressioonis (nagu arvjada 1,2,4,8,16) *Nende kasutada olevad ressursid aga aritmeetilises progressioonis (1,2,3,4,5) *Haritav maa piirab rahvastiku kasvu Malthuse ajal oli maailma rahvastiku arv umbes 1 miljard Aastal 2000 oli vastav arv 6 korda suurem Malthus ei näinud ette tootlikkuse kiiret kasvu põllumajanduses 3. Rooma klubi arengustsenaariumid. Realistlik ja pessimistlik stsenaarium, nende sarnasused ja erinevused. Rooma Klubi on 1968
Juurfunktsioonid y= x; x 0 y =3 x Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a x , siis f ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x 5. Arvjada ja selle piirväärtus. Aritmeetiline ja geomeetriline jada · Aritmeetiline jada an = an 1 + d an = a1 + (n 1)d a + a k +1 a k = k -1 2 a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n = 1 n n 2 · Geomeetriline jada an = q
võrratust xn ≤ yn , siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende jadade piirväärtused 7 Näidata et koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et limn→∞xn = a. Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N ∈N omadusega |xn −a| < ε / 2 iga n > N korral. Kui n > N, siis saame |xn+p −xn| = |xn+p −a +a−xn| ≤ |xn+p −a|+|xn −a| < ε /2 + ε /2 = ε seega on{xn}Cauchy jada 8 Näidata, et Cauchy arvjada koondub. S – rea summa ∞ Arvrida ∑ ak koondub parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub naturaalarv N ∈ N, nii et iga n > N k=1 ja p > 0 korral kehtib |Sn+p − Sn| = |an+1 + an+2 + ... + an+p| < ε 9 Sõnastada funktsiooni piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. 1 Kontsantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant 2 Kui eksisteerib funktsiooni f(x) piirväärtus punktis x0 , siis leidub punkti x0 selline ümbrus
Leiame 2 n 2 (3 + ) 3n 2 + 2n n = 3. lim = lim n n 2 + 5 n 2 5 n (1 + 2 ) n 2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat n
.., xn) korral saab leida ühe kindla muutuja w väärtuse, siis see w on funktsioon muutujatest x1, x2, ..., xn. w=f(x1,x2,...,xn). Elementaarfunktsioonid funktsioonid, mida saab moodustada põhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y=x 2+2x+2, y=log(2x-3). Põhielementaarfunktsioonid: f(x)=c; xa; ax; logax; sinx, arccotx. 29. Jada piirväärtuse ja funktsiooni piirväärtuse mõisted. Olgu arvjada x1, x2, ..., xn. Kui sellel jadal on selline hea omadus, et mis tahes > 0 korral saame vaadeldavas jadas (xn) leida sellise elemendi xi, millest alates kõik ülejäänud jada elemendid kuuluvad mingi fikseeritud arvu a -ümbrusesse, siis öeldakse, et see arv a on jada (xn) piirväärtuseks (ehk jada koondub arvuks a). Funktsioon y = f(x). Olgu x1, x2, ..., xn, selle funktsiooni argumentidest moodustatud jada.
2) Arvutage täpne väärtus , kui Määrake, kas f(x) on paaris- või paaritu funktsioon. 4) Lahendage võrrand f x 0 lõigul ; . 5) Joonestage ühes ja samas teljestikus . funktsioonide y cosx ja cos2x graafikud lõigul ; . 8.Arvjada. Aritmeetiline ja geomeetriline jada. a) On antud jada üldliige an = n2 -7n -10. 1) kas arvud -22 ja 0 on antud jada liikmeteks? 2) Mitmes liige selles jadas on arv 50? Vastus: 1) arv -22 on, 0 ei ole 2) 12 2n 1 b) On antud jada an, mille üldliige an = n n 2 1) Kirjutage välja jada esimesed 5 liiget, an-1 ,an+1.
osa territooriumist täidavad looduslikud ökosüsteemid, s.t. kui palju on jäänud (kaitsealust) metsa või raba. 4. Malthuse teooria Thomas Malthust tuntakse teooria järgi, mis käsitleb rahvaarvu kasvu ja selle mõju inimkonna sotsiaalmajanduslikule käekäigule. Malthus arvas esimesena, et „ületootmine ja kogunõudluse ebapiisav tase tekitavad majanduses probleeme”. Ta väitis, et inimeste arv kasvab geomeetrilises progressioonis (nagu arvjada 1,2,4,8,16), aga nende kasutada olevad ressursid aritmeetilises progressioonis (1,2,3,4,5). Malthus toetas maaomanike kõrget rendinõudlust ning oli arvamusel, et haritav maa piirab rahvastiku kasvu. Peamine viga: tehnoloogilise progressi alahindamine, Malthus ei näinud ette tootlikkuse kiiret kasvu põllumajanduses. LISA: “Rahvastiku eksponentsiaalset kasvuvõimet kirjeldas Briti demograaf Thomas Malthus (1798)
f ( x) k = lim ja b = lim [ f ( x ) - kx ]. x - x x - III Joone y = f(x ) rõhtasümptootideks on sirged y =b. Sel juhul xlim f ( x) = b või xlim f ( x) = b. Rõhtasümptoodid on kaldasümptootide erijuhud, mille korral tõus k = 0. - 21. Arvjadad. Arvjada koonduvus ja hajuvus. Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n
1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑥0 ∈ 𝑐) ⇒ ( lim 𝑎𝑘 𝑥0 ) . Kuna iga koonduv arvjada on tõkestatud, siis ( lim 𝑎𝑘 𝑥0 = 0) ⇒ (∃𝑀 > 0 ∶ |𝑎𝑘 𝑥0 | ≤
G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 10 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ ~ Tokestatus Definitsioon Jada nimetatakse {xn } nimetatakse tokestatuks, ~ kui leidub selline arv M > 0, et iga n N korral xn UM (0), st n N(d(xn , 0) M). Definitsioon Arvjada nimetatakse {xn } nimetatakse ulalt ¨ ~ tokestatuks, kui leidub arv M, et iga n N korral xn M. Definitsioon Arvjada nimetatakse {xn } nimetatakse alt tokestatuks, ~ kui leidub arv M, et iga n N korral xn M. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
Seet˜ottu v¨ahemalt u ¨ks nendest 2n kuu- bist sisaldab l˜opmata palju hulga S punkte. Kuubiks Km+1 valimegi u ¨he sellistest kuupidest. Kuupide K1 , K2 , . . . konstruktsiooni kohaselt kehtib v˜ordus (7.15) ja a1i ≤ a2i ≤ . . . ≤ ami ≤ . . . ≤ bki , b1i ≥ b2i ≥ . . . ≥ bmi ≥ . . . ≥ aki iga m, k ∈ N ja i = 1, 2, . . . , n korral. Jada {ami }m∈N on monotoonselt kasvav ja u ¨lalt t˜okestatud arvjada ning seet˜ottu omab piirv¨a¨artust lim ami = ai ≤ bki m→∞ (vt [1], lk. 102, teoreem 8). Analoogiliselt jada {bmi }m∈N kui monotoonselt kahanev ja alt t˜okestatud jada omab piir- v¨a¨artust lim bmi = bi ≥ ai . m→∞ Seejuures ami ≤ ai ≤ bi ≤ bmi (7.16) iga i = 1, 2, . . . , n korral. Kuna r1
annaabi.ee 
