d x dx x x x x x 5. Tuletada ositi integreerimise valem. Esitada põhilised ositi integreeruvad integraalid. Põhilised ositi integreeruvad integraalid 1) cos x sin xdx 2) (ax +b) sin xdx 3)? 6. Defineerida funktsiooni f(x) määratud integraal lõigul [a;b]. Mis on a f ( x)dx b geomeetriline tähendus, kui f(x) _0 7. Sõnastada ja tõestada matemaatilise analüüsi põhiteoreem(st millega võrdub määratud integraali tuletis muutuva ülemise raja järgi). 8. Lähtudes matemaatilise analüüsi põhiteoreemist tuletada Newton-Leibnizi valem b f ( x)dx a arvutamiseks. Vt vihikust b 9. Tuletada ositi integreerimise valem f ( x)dx a arvutmiseks. Tuua näide.
Mt(F3)=0 11. Jõupaari omadused: 1. Jäiga keha seisund ei muutu, kui asendada üks jõupaar teise samas tasandis mõjuva samasuunalise jõupaariga, mille momendil on sama moodul. 2. Jäiga keha seisund ei muutu, kui jõupaar üle kanda oma tasandist mistahes teise paralleelsesse tasandisse. 3. Jäigale kehale mõjuv jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment võrdub jõupaaride momentvektorite summaga. Mres= Mi 12. Jõusüsteemi peavektor, peamoment: 13. Staatika põhiteoreem: iga jõusüsteemi saab asendada ekvivalentse süsteemiga, mis koosneb taandamiskeskmes rakendatud peavektorist ja jõupaarist, mille moment võrdub peamomendiga. 14. Varignoni teoreem: Kui jõusüsteemil on resultant, siis võrdub resultandi moment mis tahes punkti suhtes süsteemi jõudude sama punkti suhtes leitud momentide geomeetrilise summaga. 15. Süsteemi raskuskese 16. Kujundi staatiline moment: Integraali Sx= A ydA nimetame kujundi A staatiliseks momendiks telje x suhtes,
Neljateistkümnendast eluaastast hakkas Blaise Pascal koos isaga osalema Marin Mersenne'i kogunemistel, millest võtsid osa mitmed prantsuse geomeetrid (Roberval, Mydorge, Desargues) ja millest hiljem kasvas välja Prantsuse Teaduste Akadeemia. 16-aastasena pani Pascal Desargues'ist lähtudes kirja 53-realise töö pealkirjaga "Essee koonuslõikelistest tasapindadest", tõestades Pascali teoreemina tuntuks saanud väite, mis on projektiivse geomeetria üks põhiteoreem . See saavutus tegi Pascali teadlaste hulgas tuntuks. 1650 jättis Pascal katki oma matemaatika- ja füüsikauuringud, mis selleks ajaks olid andnud mõnegi nimetamisväärse tulemuse, ja pühendus religioonile. 1653 pidi Pascal üle võtma oma isa majapidamise ja leidis ühtlasi jälle aega füüsika ning matemaatika jaoks. Samal perioodil tutvus ta hertsog de Roannez ning viimase õe Charlotte'iga. Esimesest sai Pascali hea sõber ning eluaegne järgija, teisega
Nüüd ühtib x telg sõlmjoonega ON. 2. Saadud asendist pöörame xyz teljestikku ümber sõlmjoone ON nurga võrra. Nüüd ühtib z telg teljega. 3. Saadud asendist pöörame xyz teljestikku ümber telje nurga võrra. Sellega ongi viidud teljestiku xyz uude asendisse . 30) Jäik rootor on balansseeritud, kui selle pöörlemistelg läbib massikeset ja on peainertsitelg. 31) Staatiline ja dünaamiline disbalanss 32) Dispalanssi põhiteoreem iga jäiga rootori disbalnss on teisendatav ekvivalentseks süsteemiks, mis koosneb kahest disbalansist, mis on kontsentreeritud kahele suvalisele pöörlemisteljega risti olevale tasandile ehk jäiga rootori saab balansseerida, lisades kaks massi kahele suvalisele pöörlemisteljega risti olevale tasandile 33) Pöörlevate disbalansside toereaktsionid 34) Vedru-massi liikumise võrrand liikumisvõrrand omavõnkesagedus 35) Pole võimalik vastata
Kanali kodeerimine. 1)Shannoni teine teoreem: Kanali kodeerimise teoreem ehk Shannoni teoreem ehk Shannoni teine teoreem ehk informatsiooniteooria põhiteoreem on Claude Shannoni 1948. aastal sõnastatud teoreem, mille järgi on võimalik mis tahes mürataseme puhul mingi sidekanali kaudu informatsiooni teatud ülekandekiiruseni praktiliselt veatult edastada. Sidekanalis vältimatult esinev müra põhjustab diskreetse mäluta kanali sisendsignaali x ja väljundsignaali y vahel erinevusi. Suhteliselt kõrge müratasemega kanalis võib vigade esinemise tõenäosus tõusta suuruseni kus näiteks 100 bittist võetakse vastu 99 bitti. (1% kadusid)
X ja y sõltuvust nende lineaarse seose tugevuse mõttes. Determinatsioon korrelatsiooni ruut näitab, missusugse osa 1 juh.su. dispers/hajuvusest on tingitud 2. Suuruse mõjust. Stat üld eesmärk leida stohhastilise objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel Valim koosneb valimi elementidest, N on valimi maht. Mediaani hinnang- kasvavalt järjest. Valimi keskelement (paaritu) või keskelementide poolsumma (valim on paarisarv). Põhiteoreem (Glivenko-Cantelli)- empiiriline jaotusfunkts on teoreetilise jaotusfunktsiooni nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm enimkasutatav jaotustih. Hinnang. Tulpdiagramm. Kasut üldkogumi jaotusseadusest aimu saamiseks. X2 jaotus norm.j juh.su. dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel, 1 parameeter k, pos täisarv, vabadusastemete arv. Keskv=k, disper: 2k, mood: k-2. Kui klõpm normjaotus. Kui k=2 exp.jaotus. t-jaotus - normj. Juh
Jah võib küll. Millal on kaks jõupaari ekvivalentsed? Kui nende mõju jäigale kehale on ühesugune. Kuidas liidetakse jõupaare? Jõupaare liidetakse nende momentvektorite vektoriaalse liitmise teel. Tasapinnalise jõupaaride süsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et nende jõupaaride momentide algebraline summa võrduks nulliga. Selgitada jõu paralleellüket. See aitab nihutada jäigale kehale mõjuvaid jõude lisades momendi. Sõnastada staatika põhiteoreem. Jäigale kehale mõjuv mistahes jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt võetud tsentrisse ühe jõuga, mis võrdub süsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ning ühe jõupaariga, mille moment võrdub süsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. Millega on võrdne jõusüsteemi peavektor? Süsteemi jõudude geomeetrilise summaga Millega on võrdne jõusüsteemi peamoment mingi punkti suhtes? süsteemi jõudude momentide geomeetrilise summaga
Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1. Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub. Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga. Ainus võimalus on pi=1, mis on vastuolus sellega, et pi > 1. 6. Kordarvud. 1) 1-st suuremat naturaalarvu, mis ei ole algarv, nimetatakse kordarvuks. 2) Aritmeetika põhiteoreem : iga kordarv on ühesel viisil esitatav algarvude korrutisena. Arvu esitamist algarvude korrutisena, nimetatakse ka algteguriteks lahutamiseks. 7. Paaris ja paaritud arvud. 1) Paarisarvud. a) Üldkuju 2n n b) Paarisarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 2n + 2k = 2(n + k) 2n 2k = 4nk 2) Paaritud arvud. a) Üldkuju 2n + 1 n
jõupaar oma tasandist üle kanda mis tahes teise paralleelsesse tasandisse; 3)jäigale kehale mõjuv jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment võrdub süsteemi jõupaaride momentide geograafilise summaga Mres=M1+M2+...+Mn. Jõu rööplüke- Jäigale kehale rakendatud jõudu võib selle jõu mõju muutmata paralleelselt üle kanda keha mis tahes teise punkti, kui lisada jõupaar , mille moment võrdub ülekantava jõu momendiga uue rakenduspunkti suhtes. Staatika põhiteoreem- iga jõusüsteemi saab asendada ekvivalentse süsteemiga , mis koosneb taandamiskeskmes rakendatud peavektorist(F0)js jõupaarist , mille moment võrdub peamomendiga(M0). Peavektor- taandamiskeskmesse ülekantud jõudude geomeetriline summa. Varigoni teoreem- kui jõusüsteemil on resultant, siis võrdub resultandi moment mis tahes punkti suhtes süsteemi jõudude sama punkti suhtes võetud momentide geomeetrilise summaga.
Esmastele vajadustele järgnevaid vajadusi nimetas ta kultuurivajadusteks, millele sissetulekute kasvades hakatakse kulutama rohkem. Ta väidab, et kui reaalne sissetulek inimese kohta kasvab, kulutavad nad rahvuslikust produktist rohkem valitsussektori kaudu, makstes ühtlasi ka rohkem makse. Empiirika ei ole seda väidet tõestanud. Valitsuskulud on küll kasvanud, kuid on riigiti väga erinevad. 3. Mida väidab esimene heaoluteoreem e heaolu põhiteoreem? Selgita joonise abil selle sisu. Heaolu põhiteoreem väidab, et täiusliku konkurentsi tingimustes korraldab turg ressursside efektiivse jaotuse. See on niisugune jaotus, mida pole võimalik ümber korraldada nii, et kellegi olukord paraneks, ilma et kellegi olukord samal ajal halveneks. Ressursside niisugust jaotust, kus kellegi olukorda pole võimalik parandada ilma kellegi teise olukorda halvendamata, nimetatakse Pareto-optimaalseks (või Pareto-efektiivseks) jaotuseks.
suunas mõõdetud nurk negatiivseks.
1.2 Elementaarfunktsioonid
1.Konstantne funktsioon y=c
2.Astmefunktsioon y=x
3.Eksponentfunktsioon y=ax
4.Logaritmfunktsioon y=logax
5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
ühiskonna kogunõudluskõvera. Kogunõudluskõvera ja pakkumiskõvera lõikepunkt määrab hinna. Paindlike turuhindade puhul tarbib iga isik sama hinnataseme korral erineva koguse kaupu ja teenuseid Avalike kaupade optimaalne pakkumine: Kõik isikud tarbivad ühte ja sama kogust avalikku kaupa, kuid maksavad selle eest erinevat hinda. 3. Loeng Turutõrked Majanduslik efektiivsus on tagatud täieliku konkurentsi olemaslolul. Heoluökonoomika põhiteoreem: Tootjad ja tarbijad käituvad nagu täielikud konkurendid ja turul on tagatud pareto- efektiivsus (ei saa parandada kellegi heaolu, ilma et teise oma väheneks). Monopol: turu struktuur, kus kaupu toodab ja müüb üksainus firma. Monopoli toodangunõudluskõver kujutab ka turu nõudluskõverat. Monopoli jaoks pole oluline kõrge kauaba hind vaid maksimaalne kasumlikkus! Monopol valib sellise toodangumahu, kus piirkulu
Neljateistkümnendast eluaastast hakkas Blaise Pascal koos isaga osalema Marin Mersenne'i kogunemistel, millest võtsid osa mitmed prantsuse geomeetrid Roberval, Mydorge, Gerard Desargues Desargues ja millest hiljem kasvas välja Prantsuse Teaduste Akadeemia. 16-aastasena pani Pascal Desargues'ist lähtudes kirja 53-realise töö pealkirjaga "Essee koonuslõikelistest tasapindadest", tõestades Pascali teoreemina tuntuks saanud väite, mis on projektiivne geomeetria|projektiivse geomeetria üks põhiteoreem. See saavutus tegi Pascali teadlaste hulgas tuntuks. 1639 sundis kardinal Richelieu rantjeede vastuhakus osalenud Pascali isa armuandmise järel Roueni generaliteedi intendandi kõrgele ametikohale. Äsja oli generaliteedis veriselt maha surutud vaeste ülestõus, Roueni tulud ja varad olid konfiskeeritud, linnale oli määratud lisaks veel miljoniliivrine kontributsioon. Blaise Pascalil oli olnud kavas kirjutada uurimus matemaatikast, kuid isa vajas abi pikkade arvutulpade kokkulöömisel
Võrrandeid x=...;y=... nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks, muutujat t nimetatakse parameetriks. Elementaarfunktsiooniks nim funkts, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ..
majandusteadlase ja sotsioloogi Vilfredo Pareto (18481923) allokatsiooni, nimetatakse turutõrkeks. 30 EEVA Võimaliku kasulikkuse kõver kasulikkus E` E AADAMA kasulikkus Joonis 2.6. Heaoluökonoomika esimene ja teine põhiteoreem. · Heaoluökonoomika esimene põhiteoreem väidab, et konkurentsimajandusele vastab võimaliku kasulikkuse rajal punkt (E). · Heaoluökonoomika teine põhiteoreem väidab, et võimaliku kasulikkuse raja iga punkti (näiteks punkti E´) võib saavutada lihtsalt ressursside ümberjaotamise teel ühelt inimeselt teisele, lastes seejärel toimida turumehhanismil. 2.6.2. Turutõrked valitsuse tegutsemisajendina
23. Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. 24. Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). 25. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus Kuna eksisteerivad piirväärtused Võtame piirväärtuse, kui n ja , siis (tõestusega). 26
Info tarbija on passiivne, tagada tuleb usaldusväärsus; Kirjeldused: Infoallika ja edastuskanali kirjeldused käituvad ühtsetes ühikutes. Infoallika teated esinevad mingi juhuslikkusega. Kanali läbilaskevõime on kanali väljundis saadava info hulga ülemine piir ajaühikus. Infoallikat iseloomustavad: infoallika entroopia, infotekke kiirus Edastuskanalit iseloomustavad: kanali läbilaskevõime, sümboli vigasuse tõenäosus kanalis; Põhiteoreem: R(x) CK , 0, siis on olemas selline kooder, et vigasuse tõenäosus läheneb nullile. R(x) on infotekkekiirus Ck kanali läbilaskevõime 2. Diskreetsed infoallikad. Erinevad liigid. Kirjeldused. (Slaidid: paragrahv 1 slaidid 14-17 ja paragrahv 2) Diskreetne viitab sellele, et teateid on lõplik arv. Diskreetsed infoallikad on: 1) lihtallikad koosneb sümbolitest, on mäluga ja mäluta allikad
64.Tasapinnaliste jõupaarisüsteemide liitmine ja ekvivalentsus. 65.Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? lk.40-41. 66.Sõnastada Lemma jõu paralleellükkest. Jäigale kehale rakendatud jõudu võib ilma selle mõju muutmata kanda paralleelselt iseendaga keha mis tahes punkti, kui seejuures lisada jõupaar, mille moment võrdub ülekantava jõu momendiga uue rakenduspunkti suhtes. 67.Sõnastada staatika põhiteoreem. Jäigale kehale mõjuv mis tahes jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt võetud tsentrisse ühe jõuga, mis võrdub süsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentrisse, ning ühe jõupaariga, mille moment võrdub süsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. F = F = M 0( F ) M 0 68.Millega on võrdne jõusüsteemi peavektor?
Statistika üldiseks eesmärgiks on: asjakohastest eeldustest lähtudes leida vaadeldava stohhastilise objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
kus teisendusfunktsioon saab kuju g(x)=a+bx
Mediaani hinnang: kasvavalt järjestatud valimi keskelement, kasvavalt järjestatud
valimi keskelementide poolsumma.
Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe.
Variatsioonirida- kasvavasse järjekorda reastatud valim
Järkstatistik: variantsioonirea liige järjekorranumbriga i.
Epiiriline jaotusfunktsioon avaldub variatsioonirea põhjal kujul: FN(x)=0, kui
x
Tasapinnalise jõupaaride süsteemi tasakaalus on vajalik ja piisav, et nende jõupaaride momentide algebraline summa võrduks nulliga. · Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud paralleelselt iseendaga üle kanda suvalisse punkti ja sealjuures lisada jõupaar, mille moment on võrdne üle kantava jõumomendiga uue rakenduspunkti suhtes · Sõnastada staatika põhiteoreem. Suvaline jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt valitud tsentrisse ühe jõuvektoriga, mis on võrdne jõusüsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ja ühe jõupaariga, mille moment on võrdne jõusüsteemi peamomendiga selle taandamistsentri suhtes. · Millega on võrdne jõusüsteemi peavektor? Kõikide süsteemi jõudude vektorsummat nimetatakse peavektoriks. · Millega on võrdne jõusüsteemi peamoment mingi punkti suhtes?
oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks, s.t. tegemist on maksimaalse hinnaga, mida tootja võiks iga täien-dava ressursiühiku eest maksta. Selle hinnaga (või kallimalt) võiks tootja ka ressurssi (toorainet) müüa. Näiteks minimaalselt selle hinnaga on otstarbekas maad välja rentida või maksimaalselt selle hinnaga maad juurde rentida. Duaalsuse põhiteoreem: kui üks duaalsete ülesannete paari kuuluv ülesanne (kas esialgne või duaalne) omandab optimaalse lahendi, siis ka teisel samasse paari kuuluval ülesandel on optimaalne lahend, kusjuures optimaalsete lahendite korral on sihifunktsioonide ekstremaalsed väärtused võrdsed, seega kehtib seos zmax = wmin . Kui duaalse min-põhikujulise ülesande sihifunktsioon on lubatavate lahendite hulgal alt tõkestamata, siis esialgsel ülesandel ei ole lubatavaid lahendeid;
18. Jõupaari omadusi Jäiga keha seisund ei muutu, kui asendada üks jõupaar teise samas tasandis mõjuva samasuunalise jõupaariga, mille momendil on sama moodul Jäiga keha seisund ei muutu, kui jõupaar üle kanda oma tasandist mistahes teise paralleelsesse tasandisse. Jäigale kehale mõjuv jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment võrdub jõupaaride momentvektorite summaga Mres= SMi 19. Staatika põhiteoreem Iga jõusüsteemi saab asendada ekvivalentse süsteemiga, mis koosneb taandamiskeskmesse rakendatud jõust - peavektorist ja jõupaarist, mille moment võrdub peamomendiga 20. Varignoni teoreem Kui jõusüsteemil on resultant, siis võrdub resultandi moment mis tahes punkti suhtes süsteemi jõudude sama punkti suhtes leitud momentide geomeetrilise summaga 21. Jõusüsteemi taandamise erijuhtumid FO=0; MO ¹ 0 Jõusüsteem taandub jõupaariks. Jõuresultant puudub
Mediaani hinnang: kasvavalt järjestatud valimi keskelement, kasvavalt järjestatud valimi
keskelementide poolsumma.
Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe.
Variatsioonirida- kasvavasse järjekorda reastatud valim
Järkstatistik: variantsioonirea liige järjekorranumbriga i.
Epiiriline jaotusfunktsioon avaldub variatsioonirea põhjal kujul: FN(x)=0, kui x
Kui tegemist on tootmisplaani ül-ga, siis DÜ lahendid yi väljendavad täiendavat kasumit, mis oleks võimalik saada, kui i-ndat ressurssi oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sellisel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks (max hind, mida tootja võiks täiendava ressursiühiku eest maksta, selle hinnaga (või kallimalt) võiks tootja ka ressurssi müüa). NT min hinnaga maad välja rentida või max selle hinnaga juurde rentida. Duaalsuse põhiteoreem: Kui ühel DÜ-test on olemas optim lahend, siis on see olemas ka teisel, kusjuures sihifunktsioonide optim väärtused on võrdsed. Max z =min w Max kasum= ressursside fiktiivne kogumaksumus LPÜ GRAAFILINE LAHENDAMINE Saab lahendada 2 muutujat sisaldavat LPÜ-d. LPÜ kitsendusi rahuldavate muutujate väärtuste paarid kujutavad tasandil hulknurka. Z saavutab optim väärtuse selle hulknurga mingis tipus või külje kõikides punktides
vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks: ,,max" ülesande korral ,, " ja ,,min" ülesande korral ,, ". Duaalsuse põhiteoreem: Kui ühel ülesannetest alg- või duaalsel on olemas optimaalne lahend, siis on see olemas ka teisel ülesandel, kusjuures optimaalsete lahendite korral on sihifunktsioonide väärtused võrdsed: ckxk = biyi. Näide 1: Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada mõlemad ülesanded graafiliselt. f(x) = 10x1 + 10x2 (max) 2 x1 + 3 x 2 60 2 x1 + x 2 40 x k 0. Näide 2: Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada saadud ülesanne graafiliselt
või vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks: ,,max" ülesande korral ,, " ja ,,min" ülesande korral ,, ". Duaalsuse põhiteoreem: Kui ühel ülesannetest alg- või duaalsel on olemas optimaalne lahend, siis on see olemas ka teisel ülesandel, kusjuures optimaalsete lahendite korral on sihifunktsioonide väärtused võrdsed: ckxk = biyi. Näide 1: Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada mõlemad ülesanded graafiliselt. f(x) = 10x1 + 10x2 (max) 2 x1 + 3x 2 60 2 x1 + x 2 40 x k 0. Näide 2: Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada saadud ülesanne graafiliselt
kehale rakendada lisaks veel jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõu momendiga tema uue rakenduspunkti suhtes.) Peavektor. ( ~F=~F`=~F - seda jõudu nimetatakse peavektoriks; Peavektor on jõusüsteemi invariant) Taandamistsenter. ( Valitud punkti O nimetatakse taandamistsentriks) Jõusüsteemi invariant. ( Jõusüsteemiga seotud suurusi, mis ei sõltu taandamistsentri valikust nimetatakse jõusüsteemi invariantideks). Staatika põhiteoreem (Teoreem: Suvalise jõusüsteemi saab tsentrisse taandamise teel asendada ekvivalentselt jõusüsteemiga, mis koosneb ühest jõust (süsteemi peavektor) ja ühest jõupaarist (mille moment on võrdne jõusüsteemi peamomendiga valitud taandamistsentri suhtes).) Tsentraaltelg. (Kui vaadeldava jõusüsteemi korral saab leida sirge, mille punktidesse taandamisel jõusüsteem omab lihtsamat kuju, sest seda sirget nimetatakse jõusüsteemi tsentraalteljeks.) 17. Hõõrdejõud. Liughõõre
b) Tulude ebaühtlane jaotus c) Ebaefektiivsed otsused tarbija poolt Heaoluökonoomika - normatiivne majandusteaduse haru, mille raames uuritakse, kuidas majandustegevus peaks olema korraldatud ning mis püüab anda soovitusi, mida tuleks toota, kuidas peaks tootmine olema organiseeritud ja sissetulekud jaotatud, et heaolu oleks maksimaalne. Tootmisvõimaluste kõver on graafik, mis näitab toodangu hulka, mida on võimalik antud ressurssidega toota. Heaoluökonoomika põhiteoreem: kui tootjad ja tarbijad käituvad nagu tõelised konkurendid, st ostjad püüavad osta võimalikult odavalt ja müüjad müüa võimalikult kallilt, kui on olemas turud ning majandusagendid valdavad täielikku informatsiooni, siis on nendel turgudel esinev tasakaal Pareto- efektiivne ehk ei saa parandada kellegi heaolu ilma kellegi teise heaolu vähendamata. Pareto- efektiivne majandus ei ütle midagi selle kohta, kas ressursid on jaotatud õiglaselt!
Arvestatava osa ööpäevast veedab inimene privaatses sfääris. Samas, inimesele ettekirjutuste tegemine selle kohta, kuidas ta peaks käituma oma kodus, on väljaspool kaasaegset oksidentsiaalset nägemust vastuvõetava paternalistliku sekkumise ulatuse kohta. Selle probleemi üks lahendus on lasta suitsetajatel oma võimaliku ravimisega seotud kulud kinni maksta tubakatoodetele kehtestatud aktsiisimaksu kaudu. 10.Heaoluökonoomika esimene põhiteoreem. Kui tootjad ja tarbijad käituvad nagu tõelised konkurendid, s.t. ostjad püüavad osta võimalikult odavalt ja müüjad müüa võimalikult kallilt, kui on olemas turud ning majandusagentidel on täielik informatsioon, siis on nendel turgudel esinev tasakaal Pareto-efektiivne. 11.Pareto printsiip ja kasulikkuste võimaluste raja. Vilfredo Pareto (1848-1923) nime järgi nimetatakse iga ressursside paigutusviisi või kaupade jaotust
– Sellist ressursside jaotust, mille korral ei ole võimalik kellegi olukorda parandada ilma kellegi teise olukorda halvendamata, nimetatakse Pareto efektiivseks ressursside jaotuseks – Konkurentsiturgudel tekib teatud tingimustel ressursside jaotus, mis vastab niisugusele olukorrale – Turud võimaldavad algset ressursside paigutust parandada ning suurendavad sellega majanduse efektiivsust ning ühiskonna heaolu Heaoluökonoomika põhiteoreem - Kui tootjad ja tarbijad käituvad nagu tõelised konkurendid, st ostjad püüavad osta võimalikult odavalt ja müüjad müüa võimalikult kallilt, kui on olemas turud ning majandusagendid valdavad täielikku informatsiooni, siis on nendel turgudel esinev tasakaal Paeto-efektiivne EHK EI SAA parandada kellegi heaolu ilma kellegi teise heaolu vähendamata - Heaoluökonoomika põhiteoreemi kohaselt on majandus Pareto-efektiivne ainult teatud tingimuste olemasolul
Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 39 Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). Teoreem 1 (integraalarvutuse põhiteoreem) Ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest. Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1
(b) Kui f (x) ≤ g (x) iga x ∈ [a, b] korral ja funktsioonid f, g : [a, b] → R on integreeruvad, Siis (c) Olgu a ≤ b. Kui f on lõigus [a, b] integreeruv funktsioon, siis ka seosega |f| (x) := |f (x)| määratud funktsioon |f| on integreeruv ja 5) keskväärtusteoreem (lause 12.7): Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et 51. Diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreem (*) Tõestada keskväärtusteoreemi abil põhiteoreem 12.8 Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis funktsioon G on lõigus [a, b] diferentseeruv ja G′ (x) = f (x) iga x ∈ [a, b] korral. Teisisõnu, G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b]. Eeldame, et f : [a, b] → IR on pidev funktsioon. Olgu x ∈ [a, b] suvaline, näitame, et funktsioon G on punktis x diferentseeruv. Kui z ∈ [a, b] ning z ≠ x, siis, arvestades integraali aditiivsuseomadust (vt. lause 12.2) ja kokkulepet (12.1), saame, et
Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 39 Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). Teoreem 1 (integraalarvutuse põhiteoreem) Ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest. Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1
Need kaks ülesannet on duaalülesanded. Kuna optimaalsed lahendid z*=w*, siis järelikult 1/1=1/2, seega 1=2=. Lahendades ühe neist LP ülesannetest saamegi optimaalse segastrateegia, mida saab laiendada duaalülesande kaudu ka teisele mängijale. Märkused: Iga nullusummalist kahe isiku mängu saab lahendada LP ülesane abil, kui selleks pole vajadust lui leidub sadulpunkt. LP ülesande lahendamine käib tavalsite simpleksülesannete reeglite järgi. 29. Mänguteooria põhiteoreem, järeldused J. von Neumann: Mis tahes maatriksiga kahe isiku nullsummalises mängus on optimaalsed strateegiad. Teoreemi pole vaja tõestada, sest eelmises punktis toodud optimaalsete strat arvutamise eeskiri. Märkused: 1. Opt strat võib olla mitteühene 2. Optimaalsetel segastrat on sadulpunktiga sarnased omadused. Mängu hind on I mängija keskmine garanteeritud võit ja II mängija keskmine garanteeritud kaotus optimaalsete strat P* ja Q* korral. 3.
jõupaaride momentide algebralise summaga. 66. Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? 67. Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud üle kanda suvalisse punkti ja sealjuures lisada jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõumomendiga uue rakenduspunkti suhtes. 68. Sõnastada staatika põhiteoreem. Suvaline jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt valitud tsentrisse ühe jõuvektoriga, mis on võrdne jõusüsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ja ühe jõupaariga, mille moment on võrdne jõusüsteemi peamomendiga selle taandamistsentri suhtes. 69. Millega on võrdne jõusüsteemi peavektor? Kõikide süsteemi jõudude vektorsummat nim süsteemi peavektoriks. 70. Millega on võrdne jõusüsteemi peamoment mingi punkti suhtes?
jõupaaride momentide algebralise summaga. 66. Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? 67. Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud üle kanda suvalisse punkti ja sealjuures lisada jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõumomendiga uue rakenduspunkti suhtes. 68. Sõnastada staatika põhiteoreem. Suvaline jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt valitud tsentrisse ühe jõuvektoriga, mis on võrdne jõusüsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ja ühe jõupaariga, mille moment on võrdne jõusüsteemi peamomendiga selle taandamistsentri suhtes. 69. Millega on võrdne jõusüsteemi peavektor? Kõikide süsteemi jõudude vektorsummat nim süsteemi peavektoriks. 70. Millega on võrdne jõusüsteemi peamoment mingi punkti suhtes?
3. Määratud integraali arvutamine (asendusvõte, ositi integreerimine, sümmeetrilised rajad, ab- soluutväärtus). Eksamiteemad 1. Newton'i-Leibniz'i valem (teoreem 10.1) (koos tõestusega). 2. Integraalarvutuse keskväärtusteoreem (teoreem 10.2). 3. Määratud integraali arvutamine (asendusvõte, ositi integreerimine, sümmeetrilised rajad, ab- soluutväärtus). 4. Matemaatilise analüüsi põhiteoreem (koos tõestusega). PEATÜKK 10. MÄÄRATUD INTEGRAAL 10.1 Newton'i-Leibniz'i valem Teoreem 10.1 Newton'i-Leibniz'i valem. Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis kehtib Newton'i-Leibniz'i valem b f (x) dx = F (b) - F (a), (10.1) a kus F on funktsiooni f algfunktsioon.
- | järeldub, et - = 0 ja ka - = 0. q1 q2 r1 r2 · Olemegi näidanud, et = ja = . Definitsioon Algarvuks nimetatakse naturaalarvu p > 1, mille ainsad naturaalarvulised jagajad on 1 ja p. Naturaalarvu, mis on suurem kui 1 ja mis pole algarv, nimetatakse kordarvuks. Teoreem (Aritmeerika põhiteoreem) p1 Iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena (st leiduvad r ja ,..., pr p1 pr nii, et n = ,..., ) ning see esitus on ühene tegurite järjekorra täpsuseni. Teoreem Algarvude hulk on lõpmatu. TÕESTUS
71.Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? 72.Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jäigale kehale rakendatud jõudu võib ilma selle mõju muutmata kanda paralleelselt iseendaga keha mis tahes punkti, kui seejuures lisada jõupaar, mille moment võrdub ülekantava jõu momendiga uue rakenduspunkti suhtes. 8 73.Sõnastada staatika põhiteoreem. Jäigale kehale mõjuv mistahes jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt võetud tsentrisse ühe jõuga, mis võrdub süsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ning ühe jõupaariga, mille moment võrdub süsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. 74.Millega on võrdne jõusüsteemi peavektor? Jõusüsteemi peavektor on vektoriaalne suurus, mis on võrdne kõigi süsteemi jõudude vektorsummaga. 75. Millega on võrdne jõusüsteemi peamoment mingi punkti suhtes?
Sellist ressursside jaotust, mille korral ei ole võimalik kellegi olukorda parandada ilma kellegi teise olukorda halvendamata, nimetatakse Pareto efektiivseks ressursside jaotuseks Konkurentsiturgudel tekib teatud tingimustel ressursside jaotus, mis vastab niisugusele olukorrale Turud võimaldavad algset ressursside paigutust parandada ning suurendavad sellega majanduse efektiivsust ning ühiskonna heaolu Heaoluökonoomika põhiteoreem Kui tootjad ja tarbijad käituvad nagu tõelised konkurendid, st ostjad püüavad osta võimalikult odavalt ja müüjad müüa võimalikult kallilt, kui on olemas turud ning majandusagendid valdavad täielikku informatsiooni, siis on nendel turgudel esinev tasakaal Pareto-efektiivne ehk ei saa parandada kellegi heaolu ilma kellegi teise heaolu vähendamata Heaoluökonoomika põhiteoreemi kohaselt on majandus Pareto efektiivne ainult
5.3.4 Integraali keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4.1 Pidevate ja monotoonsete funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . 120 5.4.2 Katkevate funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.6 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.1 Lõpmatute rajadega integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.2 Tõkestamata funktsiooni päratu integraal . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
