ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS (0)

1 Hindamata

LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro

2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon . . . . . . . . 20 1.5 Reaalarvude korpuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud . . . . . . . . 21 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus . . . . . . . . 22 1.5.3 Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.5 Dedekindi lõiked . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine . . . . . . . . 27 1.6.2 Hölderi ja Minkowski võrratus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Arvjadad 30 2.1 Koonduvad jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Koonduvate jadade tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Jada osapiirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Ülemise ja alumise piirväärtuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Aritmeetilised ja kaalutud keskmised. Stolzi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.1 Aritmeetilised keskmised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.2 Kaalutud keskmised ja Stolzi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 3 Pidevad funktsioonid 53 3.1 Funktsiooni piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Funktsioooni pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Lõigus pideva funktsiooni omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.1 Bolzano–Cauchy teoreem nullkohast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 Bolzano–Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni tõkestatusest . . . . . . . . . 64 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest . 65 3.3.5 Pöördfunktsiooni pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon . . . . . . . 68 3.4.2 Eksponentfunktsioon y = ax, kus x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.4 Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid . . . . . 74 3.5 Ühtlaselt pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.1 Ühtlase pidevuse mõiste. Cantori teoreem . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.2 Lipschitzi funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.3 Ühtlase pidevuse kirjeldamine jadade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5.4 Funktsiooni ühtlane pidevus tõkestamata intervallis . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.5 Antud vahemikus ühtlaselt pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Pidevate funktsioonide lähendamine trepp- ja tükiti lineaarsete funktsioonidega . . . . 81 3.6.1 Lähendamine treppfunktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.2 Lähendamine tükiti lineaarsete funktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.2 Lagrange’i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused 94 4.2.3 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.5 L’Hospitali reegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Taylori valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Integreeruvad funktsioonid 106 5.1 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Riemanni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107

4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.2 Integraali tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.3 Integraali monotoonsusomadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3.4 Integraali keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4.1 Pidevate ja monotoonsete funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . 120 5.4.2 Katkevate funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.1 Lõpmatute rajadega integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.2 Tõkestamata funktsiooni päratu integraal . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.1 Wallise valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.2 Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 133 6.1 Funktsionaaljadad, nende punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . 133 6.1.1 Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid . . . . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Arvread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus . . . . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.3 Leibnizi koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.4 Integraaltunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.5 Cauchy kondensatsiooniprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.6 Abeli ja Dirichlet’ koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Ridade ümberjärjestused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5.1 Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . 156 6.5.2 Funktsionaalrea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Astmeread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6.1 Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem . . . . . . 160 6.6.2 Astmerea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.3 Funktsiooni Taylori rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Trigonomeetriliste funktsioonide defineerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Definitsioonid astmeridade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.2 Definitsioonid funktsionaalvõrrandite abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.3 Arv π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5 6.8 Funktsioonide arendamine astmereaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.9 Mõned astmeridadega seotud klassikalised tulemused . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.9.1 Abeli piirväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.9.2 Weierstrassi lähendusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.9.3 Stirlingi valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6 1 Reaalarvud 1 Reaalarvud Kõige lihtsama arvusüsteemi moodustavad loendamisel kasutatavad naturaalarvud 1, 2, 3, . . .,
nende hulka tähistame tähega N, niisiis N := {1, 2, 3, . . .} . Olgu N0 := {0} ∪ N ja Z := N0 ∪ {−n | n ∈ N} , hulga Z elemente nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude abil moodustatud harilikud murrud kirjeldavad ratsionaalarve, me tähistame Q := n m n | m ∈ Z, n ∈ N o . Paraku ei sobi ratsionaalarvud, millega me edukalt opereerime oma igapäevaelus, mate- maatilise analüüsi kui matemaatilise teooria aluseks, põhjuseks on hulga Q lünklikkus. Kui kujutada ratsionaalarve arvsirge punktidena, siis sellel sirgel on lünki. Nagu me käesoleva
peatüki lõpus veendume, on lünki teatavas mõttes rohkemgi kui ratsionaalarve endid. Juba
Pythagorase ajast — seega 5. sajandist enne Kristust — on teada, et leidub selliseid sirglõike,
mille pikkust ei saa väljendada ratsionaalarvuga. Tuntuim sellekohane näide on ühikruudu
diagonaal, mille pikkus √ 2 ei ole ratsionaalarv. 0 1 √ 2 Joonis 1.1: Arvsirge punktile √ 2 ei vasta ükski ratsionaalarv. Niisuguse korrektselt defineeritud arvusüsteemini, mis sisaldab kõiki ratsionaalarve, kuid milles on täidetud nendevahelised lüngad, jõudsid matemaatikud alles 19. sajandil. Selliseid
reaalarvude erinevaid esitusi on konstrueeritud mitmeid, tegelikult on nad ühe matemaatilise
struktuuri – täieliku järjestatud korpuse – konkreetsed esitused. Sellest tõsiasjast lähtudes
defineerime me käesolevas kursuses kõigi reaalarvude hulga R kui täieliku järjes- tatud korpuse. 1.1 Järjestatud korpused 1.1.1 Korpuse aksioomid Definitsioon. Korpuseks (ﬁeld, поле) nimetatakse hulka F , milles on defineeritud kaks bi-
naarset tehet, liitmine A: F × F → F , (a, b) 7→ a + b ja korrutamine M: F × F → F , (a, b) 7→ ab (= a · b) ,

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 7 nii et on täidetud järgmised tingimused (korpuse aksioomid):
(A1) a + b = b + a kõikide a, b ∈ F korral (liitmise kommutatiivsus), (A2) (a + b) + c = a + (b + c) kõikide a, b, c ∈ F korral (liitmise assotsiatiivsus), (A3) eksisteerib element 0 ∈ F , et b + 0 = b iga b ∈ F puhul (nullelemendi olemasolu), (A4) iga elemendi b ∈ F puhul leidub element −b ∈ F omadusega b + (−b) = 0 (vastand- elemendi olemasolu),
(M1) ab = ba kõikide a, b ∈ F korral (korrutamise kommutatiivsus), (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a, b, c ∈ F korral (korrutamise assotsiatiivsus), (M3) eksisteerib element 1 ∈ F {0} , et b·1 = b iga b ∈ F puhul (ühikelemendi olemasolu), (M4) iga elemendi b ∈ F {0} puhul leidub element b−1 ∈ F omadusega b · b−1 = 1 (pöörd- elemendi olemasolu),
(D) (a + b) c = ac + bc kõikide a, b, c ∈ F korral (distributiivsus). Aksioomidest (A1) – (A4) ja (M1) – (M4) tuleneb, et nullelement 0 ja ühikelement 1 on korpuses üheselt määratud (kontrollida!)z. Analoogiliselt on suvaliste elementide a ∈ F ja b ∈ F {0} korral üheselt määratud ka vastandelement −a ja pöördelement b−1 (veen- duda!)z, seejuures − (−a) = a ning b− 1−1 = b (1.1) (kontrollida!)z. Vastandelemendi abil defineeritakse liitmise pöördtehe lahutamine: a − b := a + (−b) . Vahetu kontroll näitab, et − (a + b) = −a − b kõikide a, b ∈ F korral (veenduda!)z. Jagamine, korrutamise pöördtehe, defineeritakse analoogiliselt: a : b := a b := ab−1 eeldusel, et b 6= 0. Seejuures (kontrollida!)z (ab)− 1 = a−1 · b−1 kõikide a, b ∈ F {0} korral. Korpuse aksioomidest ja eelnevatest märkustest tulenevad järgmised arvutuseeskirjad. Lause 1.1 (a) 0a = 0 iga a ∈ F korral.
(b) Kui ab = 0, siis vähemalt üks elementidest a ∈ F ja b ∈ F on võrdne nullelemendiga (s.t. F {0} ei sisalda nullitegureid).
(c) ( −a) b = − (ab) kõikide a, b ∈ F puhul. Muuhulgas (−1) b = −b iga b ∈ F korral. (d) ( −a) (−b) = ab kõikide a, b ∈ F puhul. Tõestus. (a) Olgu a ∈ F . Tänu aksioomile (D) saame, et 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a. Liidame selle võrduse pooltele elemendi 0a vastandelemendi ning saame, et 0a = 0.

8 1 Reaalarvud (b) Eeldame, et ab = 0 ja a 6= 0, ning näitame, et siis b = 0. Tõepoolest, tänu eeldusele a 6= 0 eksisteerib a− 1 , millega võrduse ab = 0 mõlemat poolt korrutades saame väite (a) ning aksioomi (M2) põhjal, et 0 = a− 10 = a−1 (ab) = a−1a b = b. (c) Olgu a, b ∈ F suvalised. Väite (a) ja aksioomi (D) kohaselt 0 = 0b = (a + (−a)) b = ab + ( −a) b. Seega rahuldab (−a) b elemendi ab vastandelemendi tingimust, järelikult kehtib võrdus (−a) b = − (ab). Võttes siin a := 1, saame väite teise osa. (d) Väite (c) ning aksioomide (M2) ja (M1) põhjal ( −a) (−b) = (−a) ((−1) b) = (( −1) (−a)) b = ab. 1.1.2 Järjestatud korpus Definitsioon. Korpust F nimetatakse järjestatud korpuseks (ordered ﬁeld, упорядоченное
поле ) , kui tema elementide vahel on defineeritud selline seos <, mis rahuldab järgmisi tingi- musi:
(O1) iga kahe elemendi a ja b korral kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a
(trihhotoomia reegel),
(O2) kui a 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus). Märgime, et tingimuse b < a võib kirjutada ka kujul a > b. Me nimetame elemente a > 0 positiivseteks ja elemente a < 0 negatiivseteks. Tähistame a 6 b, kui kehtib üks
tingimustest a 0 nimetame mittenegatiivseteks ja elemente a 6 0
mittepositiivseteks. Kui hulgas X ⊆ F leidub selline element a, et x 6 a iga x ∈ X korral, siis ütleme, et a on hulga X suurim element ja tähistame max X ehk max {x | x ∈ X}, samamoodi defineeritakse vähim element min X ehk min {x | x ∈ X}. Suurimat elementi nimetatakse ka maksimaalseks ja vähimat elementi minimaalseks. Märkus 1. Hulgateoorias nõutakse lineaarse järjestuse seoselt sageli, et ta oleks refleksiivne, antisüm- meetriline, transitiivne ning kõik elemendid oleks omavahel võrreldavad. Vahetu kontroll näitab, et 4 on
selline seos parajasti siis, kui < on seos, mis rahuldab aksioome (O1)–(O2), kus a 4 b ⇔ a < b ∨ a = b. Märkus 2. Kui järjestus 4 hulgas A pole lineaarne, st. kui leiduvad elemendid, mis pole omavahel võrreldavad, siis on suurima ja maksimaalse elemendi mõisted erinevad. Nimelt öeldakse, et a ∈ A on hulga X ⊆ A maksimaalne element, kui a ∈ X ning iga x ∈ X korral kehtib implikatsioon a 4 x ⇒
a = x. Seega iga suurim element on ühtlasi maksimaalne, aga mitte tingimata vastupidi. Samasugune
märkus kehtib vähima ja minimaalse elemendi kohta. Näiteks, jaguvusseos naturaalarvudel on järjestusseos, defineerides a 4 b kui a | b. Saab näidata, et 1 on hulga N vähim element seose 4 mõttes. Hulgal N \ {1} vähim element puudub, aga iga algarv on selle hulga minimaalne element seose 4 mõttes. Paneme tähele, et a 0 ⇔ −b < −a, (1.2) a 6 b ⇔ b − a > 0 ⇔ −b 6 −a

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 9 (kontrollida!)z ning kui a bc (1.3) (veenduda!)z. Märgime veel, et a2 := aa > 0 iga a 6= 0 puhul. (1.4) Tõepoolest, kuna a 6= 0, siis aksioomi (O1) kohaselt kas a > 0 või a < 0. Esimesel juhul saame võrratuse a2 > 0 aksioomist (O4), teisel juhul väitest (1.3). Erijuhul a = 1 saame
tähtsa võrratuse 0 < 1. Aksioomist (O3) tuleneb lihtsalt järgmine oluline fakt: kui a < c ja b < d, siis a + b < c + d (1.5) (veenduda!)z. Osutub, et a−1 > 0, kui a > 0, ning a−1 < 0, kui a < 0 (1.6) (kontrollida!)z. Seetõttu eeldusel 0 < a 0 on samaväärne sellega, et kas (i) a > 0 ja b > 0 või (ii) a < 0 ja b < 0.
(b) Tingimus ab < 0 on samaväärne sellega, et kas (i) a > 0 ja b < 0 või (ii) a < 0 ja b > 0. Tõestus. Lause väited tõestatakse juhtude läbivaatamise teel. Kui vähemalt üks elemen- tidest a ja b on 0, siis ka ab = 0 (vt. lauset 1.1(a)). Juhul a > 0 ja b > 0 saame ab > 0. Juhul
a > 0 ja b < 0 kehtib −b > 0 (miks?z) ning võrratuse a > 0 pooli positiivse elemendiga −b korrutades leiame, et a · (−b) > 0 · (−b), mistõttu −(ab) > 0 ehk ab < 0 (vt. lauset 1.1(c)). Analoogselt vaatame läbi ka ülejäänud kaks võimalust (iseseisvalt!)z. Definitsioon. Kahte järjestatud korpust F1 ja F2 nimetatakse isomorfseteks, kui eksis- teerib bijektiivne kujutus ϕ : F1 → F2, mis rahuldab tingimusi 1) ϕ (q + q′) = ϕ (q) + ϕ (q′),
2) ϕ (qq′) = ϕ (q) · ϕ (q′) ja 3) q < q′ korpuses F1 parajasti siis, kui ϕ (q) < ϕ (q′) korpuses F2. 1.1.3 Täielik järjestatud korpus Olgu X järjestatud korpuse F mittetühi alamhulk. Definitsioon. Öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud (bounded from above, ограниченное сверху ) , kui leidub selline a ∈ F , et võrratus x 6 a kehtib iga x ∈ X korral. Elementi a nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks (upper bound, верхняя грань). Analoogiliselt
nimetatakse hulka X ⊆ F alt tõkestatuks, kui leidub b ∈ F , et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x > b. Elementi b nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks. Ütleme, et hulk X
on tõkestatud (bounded, ограниченное), kui ta on nii ülalt kui ka alt tõkestatud.

10 1 Reaalarvud Selge, et igal ülalt (alt) tõkestatud hulgal leidub lõpmata palju ülemisi (alumisi) tõkkeid. Küsimus on vähima ülemise ning suurima alumise tõkke olemasolus. Definitsioon. Kui ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊆ F on olemas vähim üle- mine tõke, siis seda nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ehk supreemumiks (supremum,
точная верхняя граница ) ja tähistatakse sup X ehk sup {x | x ∈ X} (ka sup x∈X x). Alt tõkesta- tud mittetühja hulga X suurimat alumist tõket (kui see eksisteerib) nimetatakse selle hulga
alumiseks rajaks ehk infiimumiks (inﬁmum, точная нижняя граница) ja tähistatakse inf X
ehk inf {x | x ∈ X} (ka inf x∈X x). Kui mittetühi hulk X ⊆ F on ülalt tõkestamata, kirjutatakse sup X = ∞. Analoogselt, kui hulk X on alt tõkestamata, kirjutatakse inf X = −∞. Vahetu kontroll näitab, et kui sup X eksisteerib, siis on ta üheselt määratud (kontrol- lida!)z, sama kehtib ka alumise raja inf X puhul (veenduda!)z. Järgmised väited (a) ja (b) tulenevad vahetult eelnevast definitsioonist. Lause 1.3 Olgu X ⊆ F mittetühi alamhulk.
(a) Võrdus sup X = a kehtib parajasti siis, kui
(i) x 6 a iga x ∈ X korral ja (ii) iga c ∈ F korral, mis rahuldab võrratust c < a, leidub selline x0 ∈ X, et c < x0. Tingimuse (ii) võib esitada temaga samaväärsel kujul
(ii′) iga positiivse ε ∈ F korral leidub selline x0 ∈ X, et a − ε < x0. (b) Võrdus inf X = b kehtib parajasti siis, kui
(iii) x > b iga x ∈ X korral ja (iv) iga d ∈ F korral, mis rahuldab võrratust d > b, leidub selline x0 ∈ X, et x0 < d. Tingimuse (iv) võib esitada temaga samaväärsel kujul
(iv′) iga positiivse ε ∈ F korral leidub selline x0 ∈ X, et x0 < b + ε. Definitsioon. Järjestatud korpust F nimetatakse täielikuks (complete, полное), kui ta rahuldab järgmist pidevuse aksioomi : (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊆ F leidub ülemine raja. Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkesta- tud alamhulgal. Lause 1.4 Täielikus järjestatud korpuses F leidub igal alt tõkestatud mittetühjal hulgal alu-
mine raja. Tõestus. Iseseisvalt!z Järgmise lausega esitame edaspidiseks vajalikud arvutuseeskirjad supreemumi ning infii- mumi jaoks. Lause 1.5 Olgu X ja Y täieliku järjestatud korpuse F mittetühjad alamhulgad.
(a) Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y ülalt tõkestatud ja sup (X + Y ) = sup X + sup Y. (1.7)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 11 (b) Kui X ja Y on alt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y alt tõkestatud ja inf (X + Y ) = inf X + inf Y. (c) Kui X on ülalt ja Y alt tõkestatud, siis hulk X − Y := {x − y | x ∈ X, y ∈ Y } on ülalt tõkestatud ja sup (X − Y ) = sup X − inf Y. (d) Kui X on alt ja Y ülalt tõkestatud, siis hulk X − Y on alt tõkestatud ja inf (X − Y ) = inf X − sup Y. (e) Olgu X ja Y sellised hulgad, mille kõik elemendid on mittenegatiivsed. Kui X ja Y on
ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X · Y := {xy | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup (X · Y ) = sup X · sup Y. Tõestus. (a) Kuna hulgad X ja Y on ülalt tõkestatud, siis pidevuse aksioomi kohaselt leiduvad ülemised rajad a := sup X ja b := sup Y. Suvaliste x ∈ X ning y ∈ Y puhul kehtib võrratus x + y 6 a + b (vrd. (1.5)), tähendab, hulk X + Y on ülalt tõkestatud ja a + b on
tema ülemine tõke. Näitame, et kehtib võrdus (1.7). Olgu ε ∈ F suvaline positiivne element. Vastavalt lausele 1.3(a) fikseerime x′ ∈ X ning y′ ∈ Y nii, et a − ε
2 < x ′ ja b − ε 2 < y ′ , siis a + b − ε < x′ + y′ (vrd. (1.5)). Sama lause kohaselt a + b = sup (X + Y ) (selgitada!)z. Väide (b) tõestatakse analoogiliselt väitega (a) (iseseisvalt!)z.
(c) Kuna Y on alt tõkestatud hulk, siis on ülalt tõkestatud (selgitada!)z ning pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib ülemine raja sup {−y | y ∈ Y } = − inf Y . Väite
(a) abil saame, et sup (X − Y ) = sup {x + (−y) | x ∈ X, y ∈ Y } = sup X + = sup X − inf Y. Väite (d) tõestus on analoogiline väite (c) tõestusega.
(e) Olgu a := sup X ja b := sup Y . Väide kehtib ilmselt, kui vähemalt üks arvudest a ja b on võrdne nulliga (põhjendada!)z. Eeldame, et a 6= 0 ja b 6= 0, seostest 0 6 x 6 a ja
0 6 y 6 b tuleneb xy 6 ab (põhjendada!)z, niisiis on hulk X · Y ülalt tõkestatud ja ab on selle hulga ülemine tõke. Näitame, et ta on vähim ülemine tõke. Olgu ε ∈ F positiivne element. Lause 1.3(a) kohaselt leiduvad x0 ∈ X ning y0 ∈ Y , et x0 > a − ε 2b ja y0 > b − ε 2a , seega x0y0 = ab + (x0 − a) b + (y0 − b) x0 > ab + (x0 − a) b + (y0 − b) a > ab − ε 2b b − ε 2a a = ab − ε

12 1 Reaalarvud (kontrollida!)z. Sellega on võrdus sup (X · Y ) = ab tõestatud. Märkus. Tingimusega (e) analoogne väide kehtib ka infiimumi jaoks: olgu X ja Y sellised hulgad, mille kõik elemendid on mittenegatiivsed, siis ka hulga X · Y elemendid on mittenegatiivsed ning inf(X · Y ) = inf X · inf Y. Tõestuse skeem on järgmine. Tähistame a = inf X ja b = inf Y . Vahetu kontroll annab, et ab 6 xy iga x ∈ X ja y ∈ Y korral. 1) Juhul a = 0 ja Y = {0} on X · Y = {0}. 2) Kui a = 0 ning leidub y0 ∈ Y nii, et y0 > 0, siis vastavalt igale positiivsele elemendile ε ∈ F leiame
x0 ∈ X omadusega, et 0 6 x0 < ε y0 , nüüd 0 6 x0y0 < ε. 3) Olgu a > 0 ja b > 0. Näitamaks, et ab on hulga X · Y suurim alumine tõke, valime iga ε > 0 korral (eeldame, et ε < ab) elemendid x0 ∈ X ja y0 ∈ Y omadusega x0 < a + ε 4b ja y0 < b + ε 4a , siis x0y0 <
a + ε 4b
·
b + ε 4a
= ab + ε
4 + ε
4 + ε · ε 4ab < ab + ε. 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine Selles alapeatükis konstrueerime ühe konkreetse täieliku järjestatud korpuse. Lähtekohaks on hulgateooria
konstruktsioonid: tühja hulga olemasolu, uute hulkade moodustamine, kujutuse ja otsekorrutise mõiste. 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud Alustame naturaalarvude hulga moodustamisest. Tähistame 1 = ∅, olgu 1 naturaalarv. Kui n on naturaalarv, siis S(n) := n ∪ {n} olgu naturaalarvule n järgnev naturaalarv. Me tähistame 2 := S(1) =<, 3 := S(2) = {∅, {∅}}, 4 := S(3) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} jne. Kõigi ülaltoodud konstruktsiooni põhjal saadud hulkade hulka tähistame sümboliga N ning tema elemente nimetame naturaalarvudeks (natural
numbers, натуральные числа ). Järgnevalt viime naturaalarvude hulka sisse liitmise ja korrutamise. See toimub rekursiivselt: nõuame, et a+1 = S(a) ja a+S(b) = S(a+b), kus a, b ∈ N. Korrutamine: a·1 = a ja a·S(b) = a+(a·b). Kontroll näitab, et liitmine ja korrutamine on assotsiatiivsed, kommutatiivsed ning on seotud distributiivsuse
võrdustega. Defineerime veel, et a < b ⇔ ∃c ∈ N: a+c = b. Saadud seos < rahuldab trihhotoomia, transitiivsuse, liitmise ja korrutamise monotoonsuse nõudeid. Märkus. Sageli defineeritakse hoopis 0 = ∅ ning viiakse läbi ülaltoodud konstruktsioon, tulemuseks saadakse N = {0, 1, 2, . . .}. Nüüd koostame täisarvude hulga. Defineerime selleks hulgas N × N järgmise seose: (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c. Kontroll näitab, et seos ∼ on ekvivalentsusseos; faktorhulka N × N/ ∼ tähistame tähega Z ja tema elemente nimetame täisarvudeks (integers, целые числа). Liitmise ja korrutamise viime hulka Z sisse järgmiste valemitega: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)],
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)]. Osutub, et tegemist on algebraliste tehetega (sh. on definitsioonid korrektsed). Paneme tähele, et liitmise suhtes on [(1, 1)] nullelement (tähistame seda sümboliga 0) ning [(b, a)] on [(a, b)] vastandelement. Korrutamise suhtes on [(2, 1)] ühikelement. Defineerime ka [(a, b)] < [(c, d)],
kui a + d < b + c.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 13 Vahetu kontroll näitab, et kehtib järgmine lause. Lause 1.6 Täisarvude hulk on järjestatud ring, s.t. ring, kus on deﬁneeritud tehetega kooskõlas olev
järjestusseos. Iga naturaalarvu n samastame täisarvuga [(S(n), 1)]. Kontroll näitab, et see samastamine on koos- kõlas tehete ja järjestusega. Niisiis N ⊆ Z. Järgnevalt koostame ratsionaalarvude hulga (rational numbers, рациональные числа). Selleks defineerime hulgas Z × N järgmise seose:
(a, b) ∼ = (c, d) ⇔ ad = bc. Kontroll näitab, et seos ∼ = on ekvivalentsusseos; faktorhulka Z × N/ ∼ = tähistame tähega Q ja nimetame ratsionaalarvude hulgaks. Liitmise ja korrutamise viime hulka Q sisse järgmiste valemitega: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + cb, bd)],
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]. Osutub, et tegemist on algebraliste tehetega (sh. on definitsioonid korrektsed). Järjestus hulgas Q: [(a, b)] < [(c, d)], kui ad < bc. Vahetu kontroll näitab, et kehtib järgmine lause. Lause 1.7 Q on järjestatud korpus. Iga täisarvu n samastame ratsionaalarvuga [(n, 1)]. Kontroll näitab, et see samastamine on kooskõlas tehete ja järjestusega. Niisiis Z ⊆ Q. 1.2.2 Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon Nüüd saame asuda täieliku järjestatud korpuse konstrueerimisele. Teoreem 1.8 On olemas täielik järjestatud korpus F . Tõestus. Olgu F kõigi ratsionaalarvude hulga Q selliste alamhulkade A hulk, mis rahuldavad tingi- musi
(a) kui q ∈ A ja p < q, siis p ∈ A, (b) hulgas A ei ole suurimat elementi, (c) A 6= ∅, A 6= Q. Iga q ∈ Q puhul tähistame q := {p ∈ Q: p < q}, vahetu kontroll näitab, et q ∈ F ning kujutus T : Q → F, q 7→ q, on üksühene. Seega Q ⊆ F , selle sisalduvuse all mõistame tegelikult ⊆ F. Märgime, et iga A ∈ F on järjestatud korpuses Q ülalt tõkestatud alamhulk, olgu ˜ A hulga A kõigi ülemiste tõkete hulk, millest on välja jäetud vähim ülemine tõke, kui see eksisteerib. Seejuures omab A
vähima ülemise tõkke parajasti siis, kui A = q mingi q ∈ Q korral. Defineerime hulgas F järjestuse seosega A < B ⇔ A $ B. (1.8) Meie eesmärk on näidata, et sobivalt defineeritud liitmise ja korrutamise ning järjestusega (1.8) on F
täielik järjestatud korpus.

14 1 Reaalarvud (I) Defineerime hulgas F liitmise seosega A + B . (1.9) Osutub, et A + B ∈ F , seejuures rahuldab seosega (1.9) määratud liitmine aksioome (A1)–(A4). (A1): Võrdus A + B = B + A kehtib, sest A + B = {b + a: b ∈ B, a ∈ A} = B + A. (A2): Võrdus (A + B) + C = A + (B + C) kehtib, sest (A + B) + C = {a + (b + c): a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} = = A + (B + C). (A3): Iga A ∈ F korral A + 0 = A, s.t. 0 on nullelement. (A4): Elemendi A ∈ F vastandelement on −A := n −q : q ∈ ˜ A o , st. A + (−A) = 0. (II) Defineerime hulgas F korrutamise. Kui A > 0 ja B > 0, siis A · B := {ab: a ∈ A, a > 0, b ∈ B, b > 0} ∪ 0, (1.10) vahetu kontroll näitab, et A · B ∈ F . Defineerime 1) A · B := −(A · (−B)), kui A > 0 ja B < 0, 2) A · B := −((−A) · B), kui A < 0 ja B > 0, 3) A · B := (−A) · (−B)), kui A < 0 ja B < 0, 4) 0 · B := B · 0 := 0 ja kontrollime korrutamise aksioomide (M1)–(M4) täidetust. (M1): Kui A > 0 ja B > 0, siis A · B = {ab: a ∈ A, a > 0, b ∈ B, b > 0} = {ba · b ∈ B, b > 0, a ∈ A, a > 0} = B · A. Kui A > 0 ja B < 0, siis A · B = −(A · (−B)) = −((−B) · A) = B · A, analoogiliselt veendutakse korrutamise kommutatiivsuses juhul 2) ja 3). Kui A = 0, siis 0 · B = B · 0 = 0. (M2): Olgu A > 0, B > 0 ja C > 0, siis A · B > 0 ja B · C > 0. Seega (A · B) · C = {(ab)c: a ∈ A, a > 0, b ∈ B, b > 0, c ∈ C, c > 0} = A · (B · C). Vaatleme juhtu A > 0, B > 0 ja C < 0. Kuna A · B > 0 ja B · C = −(B · (−C)) < 0, siis (A · B) · C = −((A · B) · (−C)) = −(A · (B · (−C))) = −(A · (−(B · C))) = A · (B · C). Analoogiliselt kontrollitakse assotsiatiivsust ka ülejäänud variantide korral.
(M3): Vahetu kontroll näitab, et A · 1 = A, s.t. 1 on ühikelement. (M4): Olgu A > 0, defineerime pöördelemendi A−1 := 1 A := 1 q : q ∈ ˜ A
∪ {q ∈ Q: q 6 0},

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 15 siis A−1 ∈ F ja A · A−1 = 1. Edasi defineerime A−1 := − (−A)− 1 , kui A < 0. Sel juhul A−1 < 0 ning korrutamise reeglite kohaselt A · A− 1 = (−A) · (−A)−1 = 1. (III) Distributiivsuse aksioomi (D) kehtivuse kontrollimiseks olgu A, B, C ∈ F . Kui üks neist kom- ponentidest on 0, siis seos A · (B + C) = A · B + A · C (1.11) ilmselt kehtib. Olgu A > 0, B > 0 ja C > 0, siis B + C > 0, mistõttu A · (B + C) = {a(b + c): a ∈ A, a > 0, b ∈ B, b > 0, c ∈ C, c > 0} ∪ 0 ∪ 0 = = A · B + A · C. (1.12) Ülejäänud juhud taandatakse siinvaadeldud juhule vastavalt korrutise definitsioonile. Seega on seostega (1.9) ja (1.10) defineeritud tehete korral hulgas F rahuldatud kõik korpuse ak- sioomid, s.t. F on korpus. (IV) Veendume, et tegemist on järjestatud korpusega. See, et aksioomid (O1) ja (O2) on ra- huldatud, on selge järjestuse definitsioonist 1.8. Aksioomi (O3) kontroll on lihtne: kui A $ B, siis A + C $ B + C, s.t. A 0 ja C > 0, siis A · C > 0 (vrd. (1.10)). Seega, kui A 0) ja C > 0, siis B · C − A · C = (B − A) · C > 0 ehk B · C > A · C. (V) Lõpuks on vaja näidata, et korpus F on täielik, s.t. igal ülalt tõkestatud alamhulgal A ⊆ F on ülemine raja. Defineerime sup A := [ A∈A A, siis sup A on korpuse F element. Element sup A ∈ F on kindlasti hulga A ülemine tõke, sest B $ iga B ∈ A korral. Teisalt, iga C C. Järelikult on sup A tõepoolest hulga A vähim ülemine tõke. 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses Käesoleva alapeatüki eesmärk on näidata, et igas järjestatud korpuses on (isomorfismi täp-
suseni) alamhulgana olemas ratsionaalarvude korpus. Selleks „leiame“ kõigepealt „üles“ igas
järjestatud korpuses naturaalarvude hulga. 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod Naturaalarvude identifitseerimisel lähtume järgmisest ideest. Korpuse F ühikelemendi 1 ∈ F põhjal määrame ülejäänud elemendid seostega 2 := 1 + 1, 3 := 1 + 1 + 1, 4 := 1 + 1 + 1 + 1 jne.

16 1 Reaalarvud Nii moodustatud hulk, mille me tähistame esialgu tähega N , koosneb seega kõikvõimalikest lõplikest summadest 1 + 1 + . . . + 1. Hulga N omaduste uurimiseks võtame kasutusele induktiivse hulga mõiste. Definitsioon. Korpuse F alamhulka M nimetatakse induktiivseks, kui ta rahuldab tin- gimusi
(i) 1 ∈ M ja (ii) kui a ∈ M, siis a + 1 ∈ M. Induktiivseid alamhulki korpuses F kindlasti leidub: hulk F ise on induktiivne, samuti hulga F kõigi positiivsete elementide hulk (selgitada!)z. Definitsioon. Kõigi induktiivsete alamhulkade M ⊆ F ühisosa tähistame tähega N , s.t. N := \ M ⊆F, M on induktiivne M. Hulga N elemente nimetame naturaalarvudeks korpuses F . Definitsioonist tuleneb vahetult, et N on induktiivne hulk (kontrollida!)z, seejuures vä- him sisalduvuse mõttes, sest ta sisaldub igas teises induktiivses hulgas. Lause 1.9 (matemaatilise induktsiooni printsiip). Kui mingi alamhulk A ⊆ N rahul- dab tingimusi
(i) 1 ∈ A, (ii) [a ∈ A] ⇒ [a + 1 ∈ A], siis A = N . Tõestus. Ühelt poolt A ⊆ N lause eelduse põhjal. Teisalt, kuna A rahuldab induktiivse hulga definitsiooni tingimusi, siis N ⊆ A. Kokkuvõttes A = N . Lausel 1.9 põhineb matemaatilise induktsiooni meetod. Olgu P (n) mingi väide, mis omab mõtet iga naturaalarvu n korral. Kui on vaja tõestada, et väide P (n) kehtib iga
naturaalarvu n korral, siis piisab näidata, et
(a) P (1) kehtib ja
(b) kui kehtib P (n), siis kehtib ka P (n + 1).
Tõepoolest, kui tingimused (a) ja (b) on täidetud, siis hulk A := {n ∈ N | P (n) kehtib} on induktiivne (selgitada!)z ning lause 1.9 kohaselt A = N . Näide 1.1. Olgu 0 6= x > −1. Tõestame matemaatilise induktsiooni abil, et Bernoulli võrratus (1 + x)n > 1 + nx kehtib kõikide naturaalarvude n > 2 puhul. Olgu P (n) järgmine väide: (1 + x) n+1 > 1 + (n + 1) x. Väide P (1) on õige, sest (1 + x) 2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x. Seega on tingimus (a) täidetud. Tingimuse (b) kontrollimiseks võtame suvalise n > 1 ja veendume, et väitest P (n) järeldub
väide P (n + 1). Tõepoolest, kui eeldada, et (1 + x) n+1 > 1 + (n + 1) x, siis (1 + x) n+2 = (1 + x) (1 + x)n+1 > (1 + x) (1 + (n + 1) x) = 1 + (n + 1) x + x + (n + 1) x2 > 1 + (n + 2) x,

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 17 s.t. P (n) ⇒ P (n + 1) . Matemaatiline induktsioon võimaldab rekursiivselt defineerida naturaalarvulise ar- gumendiga kujutusi A: N → Z, kus Z on mingi (mittetühi) hulk. Selleks tuleb defineerida A (1) ja esitada eeskiri, kuidas elemendist A (n) saadakse A (n + 1). Näiteks:
• arvu x ∈ F astmete x n defineerimiseks määrame x1 := x ja xn+1 := xn · x, • naturaalarvude faktoriaalide n! defineerimiseks määrame 1! := 1 ja (n + 1)! := n!·(n + 1) , • lõplike summade n X k=1 xk := x1 + . . . + xn defineerimiseks määrame 1 X k=1 xk := x1 ja seejärel n+1 X k=1 xk := n X k=1 xk + xn+1. Viimane näide võimaldab ka rekursiivselt defineerida käesoleva alapunkti alguses vaadel- dud hulka N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . } . Lause 1.10 N = N . Tõestus. Kuna N on induktiivne hulk (selgitage!)z, siis lause 1.9 põhjal piisab kontrol- lida sisalduvust N ⊆ N , selleks rakendame matemaatilise induktsiooni meetodit. Selge, et 1 ∈ N . Kui hulga N element n = 1 + . . . + 1 kuulub hulka N , siis (tänu hulga N induktiivsusele) ka n + 1 kuulub hulka N . Seega sisaldab N hulga N kõik elemendid. Järgnevalt veendume, et korpuses F defineeritud naturaalarvude tehetega seotud oma- dused ei erine meile koolimatemaatikast tuntud vastavatest omadustest. Omadus 1.11 Kahe naturaalarvu summa ja korrutis on naturaalarvud. Tõestus. Paneme tähele, et iga fikseeritud m ∈ N puhul on hulk {n ∈ N | n + m ∈ N induktiivne (selgitada!)z, lause 1.9 põhjal langeb ta hulgaga N kokku. Seega n + m ∈ N suvaliste m ∈ N ja n ∈ N korral. Korrutise jaoks on tõestus analoogiline (iseseisvalt!)z. Arvestades omadust 1.11, on N kui järjestatud korpuse F naturaalarvude hulga tähis, õigustatud. Nimelt, defineerides kujutuse ϕ : N → N ⊆ F võrdustega ϕ(∅) = 1 ja ϕ(S(n)) = n + 1, on kujutus ϕ bijektsioon, kooskõlas tehete ja järjestusega. See kujutus võimaldab
samastada alapeatükis 1.2.1 defineeritud hulga N ja igas järjestatud korpuses leitava kõigi induktiivsete hulkade ühisosa N . Omadus 1.12 Hulga N vähim element on 1. Tõestus. Hulk {n ∈ N: n > 1} on induktiivne, seega sisaldab kõigi induktiivsete hulkade ühisosa N. Järelikult iga n ∈ N korral kehtib n > 1. Lemma 1.13 Kui m ∈ N ja m 6= 1, siis m − 1 ∈ N.

18 1 Reaalarvud Tõestus. Olgu m ∈ N {1} , oletame vastuväiteliselt, et m − 1 /∈ N. Näitame, et hulk A := N {m} on induktiivne, siis lause 1.9 kohaselt saame vastuolu seose N {m} = N näol. Kuna 1 6= m, siis 1 ∈ A, seega induktiivse hulga definitsiooni tingimus (i) on täidetud. Näitame, et ka (ii) on täidetud. Olgu n ∈ A, siis n ∈ N, järelikult n + 1 ∈ N, sest N on induktiivne. Seejuures n + 1 6= m (selgitada!)z, s.t. n + 1 ∈ A. Tõestatud lemmat rakendame naturaalarvude lahutamistehte kirjeldamisel. Omadus 1.14 Kui m, n ∈ N ning m > n, siis m − n ∈ N. Tõestus. Olgu m ∈ N {1} suvaliselt fikseeritud, näitame induktsioonimeetodit kasu- tades, et m − n ∈ N iga naturaalarvu n < m puhul. Väide kehtib juhul n = 1, sest lemma 1.13 põhjal m − 1 ∈ N.
Eeldame, et väide kehtib juhul n, s.t. m − n ∈ N, ja veendume, et m − (n + 1) ∈ N. Selleks rakendame veel kord lemmat 1.13, mille kohaselt m − (n + 1) = (m − n) − 1 ∈ N. Väide on tõestatud. Järeldus 1.15 Kui m, n ∈ N ning m > n, siis m > n + 1. Tõestus. Rahuldagu naturaalarvud m ja n võrratust m > n, siis omaduse 1.14 põhjal m − n ∈ N. Nüüd jääb üle rakendada omadust 1.12 (iseseisvalt!z). Induktsioonimeetodiga saab veel lihtsalt tõestada (iseseisvalt!)z, et järjestatud korpuse igas lõplikus alamhulgas on olemas suurim ja vähim element. Lõpmatute hulkade puhul see
üldjuhul nii ei ole, küll aga kehtib järgmine väide. Omadus 1.16 Igas naturaalarvude hulga mittetühjas alamhulgas on vähim element. Tõestus. Tõestuseks näitame induktsioonimeetodil, et väide P (n) : igas alamhulgas M ⊆ N, mis sisaldab arvu n, on vähim element kehtib iga n ∈ N korral. Väide P (1) on õige: kuna arv 1 on hulga N vähim element, siis on ta vähim ka igas teda sisaldavas alamhulgas M ⊆ N. Näitame, et P (n) ⇒ P (n + 1) . Selleks eeldame, et igal arvu n sisaldaval naturaalarvude hulgal on vähim element, ja veendume, et siis on vähim element ka igal arvu n + 1 sisaldaval
naturaalarvude hulgal. Olgu M ⊆ N suvaline arvu n + 1 sisaldav hulk. Kui ka n ∈ M, siis on väide tõestatud. Kui n / ∈ M, siis moodustame hulga N := M ∪ {n}, olgu n0 hulga N vähim element. Juhul n0 ∈ M on väide tõestatud (selgitada!)z. Kui n0 /∈ M, siis n0 = n ja
m > n, järelikult m > n + 1 (vrd. järeldus 1.15) iga m ∈ M korral, mistõttu n + 1 on hulga M vähim element.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 19 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus Tähistame N0 := N ∪ {0} ning moodustame hulga Z := N0 ∪ {−n | n ∈ N}, selle elemente nimetame täisarvudeks. Arusaadavalt sisaldub Z korpuses F , tänu omadusele 1.14 võ (kontrollida!)z. Seetõttu m + n ∈ Z ja m − n ∈ Z suvaliste m, n ∈ Z puhul (selgitada!)z, samuti on lihtne veenduda, et mn ∈ Z kõikide m, n ∈ Z korral (selgitada!)z. Niisiis, alamhulk Z ⊆ F on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Valides kujutuse ϕ : Z → Z ⊆ F , mis on defineeritud võrdusega ϕ([(a, b)]) = a − b, on ϕ korrektselt defineeritud, bijektsioon, kooskõlas tehete ja järjestusega. Seega on hulgad Z ja Z kujutuse ϕ abil samastatavad. Edasi, kui m ∈ Z ja n ∈ N, siis korpus F sisaldab ka elemendi m n := m 1 n , teisisõnu, F sisaldab kõigi ratsionaalarvude hulga Q := n m n | m ∈ Z, n ∈ N o (paneme tähele, et need ratsionaalarvud mn−1 ja m1n−1 1 , mille korral mn1 = nm1, on võrd- sed). Paneme tähele, et Q on alamkorpus. Tõepoolest, kui a = m n ja b = p
q on ratsionaalarvud (s.o. taandatud harilikud murrud), siis korpuses F kehtivad seosed a + b = m n + p
q = m 1 n + p 1
q = mq 1 nq + np 1 nq = 1 nq (mq + np) = mq + np nq , ab = m n · p
q = m 1 n · p 1
q = mp nq , (1.13) seega a + b ∈ Q ning ab ∈ Q . Seostest (1.13) näeme, et igas korpuses F toimub ratsio- naalarvude liitmine ja korrutamine meile tuntud harilike murdude liitmise ja korrutamise
reeglite järgi. Sama võib öelda ka järjestuse kohta: m n > p
q ⇔ m n − p
q > 0 ⇔ mq − np nq > 0 ⇔ mq > np (1.14) (selgitada!)z, see on harilike murdude loomulik järjestus. Kokkuvõttes oleme selgitanud, et
ϕ : Q → Q ⊆ F , kus ϕ([(a, b)]) = ab− 1 , on järjestatud korpuste isomorfism. Eelneva arutelu võtame kokku järgmises lauses 1.17. Lause 1.17 Iga järjestatud korpus F sisaldab alamkorpust Q , mis on isomorfne kõigi rat- sionaalarvude järjestatud korpusega Q. Lõpuks märgime veel üht hulga Q tähelepanuväärset omadust. Meenutame, et hulka A ni- metatakse loenduvaks, kui tema ja kõigi naturaalarvude hulga N elementide vahel eksisteerib üksühene vastavus. Omadus 1.18 Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on loenduv. Tõestus. Iseseisvalt!z

20 1 Reaalarvud 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon Praeguseks me juba teame, et täielikke järjestatud korpusi eksisteerib. Käesolevas
alapeatükis anname vastuse küsimusele, kas selline korpus on üheselt määratud. Teoreem 1.19 Suvalised kaks täielikku järjestatud korpust F1 ja F2 on isomorfsed. Tõestus. Teatavasti sisaldab iga järjestatud korpus alamkorpust, mis on isomorfne kõigi ratsionaal- arvude korpusega Q (vt. punkt 1.3.2), tähistame need korpuste F1 ja F2 puhul vastavalt Q1 ja Q2. Olgu
ϕ : Q1 → Q2. Rõhutame, et ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q) ja ϕ(p · q) = ϕ(p) · ϕ(q) kõikide p, q ∈ Q1 korral ja võrratusest p < q korpuses Q1 järeldub ϕ(p) < ϕ(q) korpuses Q2. Defineerime otsitava kujutuse
ψ : F1 → F2 seosega ψ(x) := , (1.15) kus Cx := {r ∈ Q1 : r < x} (x ∈ F1) ja supreemum on võetud korpuses F2. Vahetu kontroll näitab, et kujutus ψ on korrektselt defineeritud, seejuures ψ(x) = ϕ(x) iga x ∈ Q1 korral. Kujutus ψ säilitab järjestuse, s.t. x < y ⇒ ψ(x) < ψ(y). Sellest implikatsioonist tuleneb vahetult ka kujutuse ψ injektiivsus. Kuna suvalise y ∈ F2 korral kehtib ψ(x) = y, kus x := ja Cy := {p ∈ Q2 : p < y}, siis ψ on sürjektiivne. Tõestame, et ψ(x + x′) = ψ(x) + ψ(x′). Olgu q ∈ Cx+x′, tähistame ε := x + x′ − q, seega ε > 0. Leiame sellised r ∈ Cx ja s ∈ Cx′, et x − ε
2 < r, x′ − ε
2 < s, siis q = x + x′ − ε < r + s < x + x′. Teisi sõnu, iga q ∈ Cx+x′ korral leiduvad r ∈ Cx ja s ∈ Cx′ omadusega q < r + s < x + x′. Niisiis, ψ(x + x′) = = = = = = + = = ψ(x) + ψ(x′). Analoogiliselt veendutakse, et ψ(xx′) = ψ(x)ψ(x′). Definitsioon. Reaalarvudeks nimetame täieliku järjestatud korpuse elemente. Kõigi reaal- arvude hulka (täpsemalt, järjestatud korpust) tähistame tähega R. Kuna käesolevas kursuses on kõik vaadeldavad arvud reaalarvud, siis tähendab sõna arv järgnevas alati reaalarvu.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 21 1.5 Reaalarvude korpuse omadused 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud Teatavasti ei ole positiivsetel arvudel üldjuhul ratsionaalse väärtusega ruutjuurt. Seevastu,
nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar-
vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra-
tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn 1 < x n 2 (põhjendada!)z. Väide kehtib ilmselt juhul b = 0, siis x = 0, seega võime piirduda juhuga b > 0.
A. Vaatleme esiteks juhtu b > 1. Tähistame X , selge, et 1 ∈ X, järelikult X 6= ∅. Hulk X on ülalt tõkestatud, nimelt on arv b ise hulga X ülemiseks tõkkeks (põhjendada!)z. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib x := sup X, kuna
1 ∈ X, siis x > 1, mistõttu xk > x > 1 iga k ∈ {1, . . . , n} puhul. (1.16) Meie eesmärgiks on näidata, et xn = b, selleks veendume, et mõlemad vastuväitelised oletused
xn b viivad vastuolule. (a) Olgu xn < b, siis c := b − x n > 0. Suvalise a ∈ R korral (x + a) n = xn + n 1
xn−1a + n 2
xn−2a2 + . . . + an, seejuures M := max n k
xn−k | k ∈ {1, . . . , n}
> 1. Võtame a := min 1, c nM , siis 0 < ak 6 a ja (x + a) n 6 xn + Ma + Ma2 + . . . + Man 6 xn + nMa 6 xn + c = b. Järelikult x + a ∈ X, kuid see on vastuolus asjaoluga, et x on hulga X ülemine tõke. (b) Vaatleme juhtu xn > b. Võtame c := xn − b ning defineerime arvud M ja a nii nagu eespool. Analoogiline arutelu annab võrratused (x − a) n > xn − nMa > xn − c = b (1.17) (kontrollida!)z. Samal ajal, kuna x − a < x, siis vastavalt lausele 1.3(a) leidub z ∈ X omadusega x − a < z 6 x. Seega (x − a) n < zn 6 b, mis on vastuolus tingimusega (1.17). Niisiis on väide juhul b > 1 tõestatud.

22 1 Reaalarvud B. Kui 0 1, juhul A tõestatu kohaselt eksisteerib y > 0 omadusega yn = d. Tähistame x := 1 y , siis xn = 1 y n = 1 yn = 1
d = b. Lause on tõestatud. Definitsioon. Reaalarvu b > 0 korral nimetatakse tema n-ndaks juureks ehk n-astme juureks (nth root, корень n-й степени) mittenegatiivset arvu x, mille puhul xn = b, seda
tähistatakse n √ b. Lause 1.21 Kui a ja b on mittenegatiivsed arvud, siis n √ ab = n √ a · n √ b. Tõestus. Tähistame y := n √ a, x := n √ b ja z := n √ ab. Kuna a = yn ja b = xn, siis (xy) n = xnyn = ab = zn. Lause 1.20 kohaselt on positiivse arvu ab n-s juur üheselt määratud, seetõttu z = n √ ab = xy ehk n √ ab = n √ a · n √ b. Lausest 1.20 selgub muuhulgas tõsiasi, et meie poolt defineeritud kõigi reaalarvude hulk R on rangelt suurem kui kõigi ratsionaalarvude hulk Q, näiteks √ 2 := 2 √ 2 ∈ RQ. Definitsioon. Arve z ∈ RQ nimetatakse irratsionaalarvudeks. 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus Selles punktis selgitame, kuidas paiknevad naturaalarvud ja ratsionaalarvud korpuses R. Arutelu aluseks on järgmine oluline järeldus pidevuse aksioomist. Lause 1.22 (Archimedese printsiip). Iga reaalarvu a korral leidub selline naturaalarv n,
et a < n. Teisisõnu, kõigi naturaalarvude hulk N ei ole tõkestatud korpuses R. Tõestus. Oletame vastuväiteliselt, et hulk N on ülalt tõkestatud, pidevuse aksioomi põhjal on tal siis ülemine raja b := sup N. Kuna b − 1 ei ole hulga N ülemine tõke, siis saame valida sellise m ∈ N, et b − 1 < m ehk b < m + 1. Seejuures m + 1 ∈ N (põhjendada!)z, niisiis ei saa b olla hulga N ülemiseks tõkkeks. Saime vastuolu, mis näitab, et vastuväiteline oletus on väär. Järeldus 1.23 Iga reaalarv paikneb kahe järjestikuse täisarvu vahel: suvalise a ∈ R korral leidub selline n ∈ Z, et n − 1 6 a < n. Sealjuures n on üheselt määratud. Tõestus. Tähistame arvu a ∈ R korral S , lause 1.22 kohaselt S 6= ∅, seejuures on arv a hulga S alumine tõke. Vastavalt lausele 1.4 eksisteerib inf S =: c. Kuna c on hulga S suurim alumine tõke, siis a 6 c 6 k iga k ∈ S puhul

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 23 (selgitage!)z, kuid c+1 ei ole hulga S alumiseks tõkkeks. Järelikult leidub selline n ∈ S ⊆ Z, et n < c + 1 ehk n − 1 < c. Seega n − 1 /∈ S, mistõttu n − 1 6 a. Kokkuvõttes n − 1 6 a < n. Oletades, et leiduvad m, n ∈ Z nii, et m < n ja m − 1 6 a < m ja n − 1 6 a < n, saame esimesest ja teisest võrdusest m lahutamisel, et n − m − 1 6 a − m < 0. Et n − m > 0 ja
n − m ∈ Z, siis n − m ∈ N, seega n − m > 1 (vt. omadust 1.12). Saadud vastuolu näitab, et täisarv n on üheselt määratud (selgitage!)z. Märkus. Järelduses 1.23 esinevat täisarvu n − 1 nimetatakse reaalarvu a alumiseks täisosaks (ﬂoor, пол) ja tähistatakse ⌊a⌋. Analoogselt saab defineerida ka ülemise täisosa
(ceiling, потолок ) : see on täisarv k + 1 nii, et k < a 6 k + 1. Analoogselt alumise täisosaga saab ka tõestada, et igal reaalarvul on olemas üheselt määratud ülemine täisosa. Järeldus 1.24 inf 1 n | n ∈ N = 0. Tõestus. Archimedese printsiibi kohaselt saab iga ε > 0 jaoks leida niisuguse n ∈ N, et n > 1 ε ehk 1 n < ε. Seega inf
1 n | n ∈ N = 0. Lihtne on veenduda, et iga kahe reaalarvu vahel leidub veel reaalarve (selgitada!)z. Te- gelikult kehtib järgmine tugevam väide, mis ütleb, et nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaal-
arvud paiknevad reaalarvude hulgas R tihedalt. Teoreem 1.25 Olgu a ja b niisugused reaalarvud, et a < b.
(a) Leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b.
(b) Leidub niisugune irratsionaalarv ρ, et a < ρ < b. Tõestus. (a) Kuna a < b, siis 1 b−a > 0, Archimedese printsiibi kohaselt leidub selline n ∈ N, et n > 1 b−a ehk 1 n < b − a. (1.18) Järelduse 1.23 põhjal leiame arvu na jaoks m ∈ Z omadusega m − 1 6 na < m, niisiis m n − 1 n 6 a < m n . Tänu seosele (1.18) tuleneb siit, et a < m n 6 a + 1 n < a + (b − a) = b. Kokkuvõttes r := m n ∈ Q ja a < r < b. (b) Kui a < b, siis a √ 2 < b √ 2 ja väite (a) põhjal leidub r ∈ Q {0} omadusega a √ 2 < r < b √ 2 (selgitada!)z. Siis r √ 2 on irratsionaalarv (põhjendada!)z ning a < r √ 2 < b. Teoreemi 1.25(a) abil tõestame järgmise olulise lause. Lause 1.26 Kõigi ratsionaalarvude järjestatud korpus Q ei ole täielik.

24 1 Reaalarvud Tõestus. Näitame, et alamhulgal A := n r ∈ Q | r < √ 2 o , mis on korpuses Q ülalt tõkestatud, ei ole selles korpuses ülemist raja. Vastavalt teoreemile 1.25(a) √ 2 = sup A korpuses R (põhjendada!)z. Teatavasti √ 2 / ∈ Q, seega hulga A kõik ratsionaalarvulised ülemised tõkked on suuremad kui √ 2 (selgitada!)z. Oletame vastuväite- liselt, et nende hulgas leidub vähim, tähistame selle tähega s. Kuna √ 2 < s (põhjendada!)z, siis teoreemi 1.25 kohaselt leidub selline r ∈ Q, et √ 2 < r < s, järelikult ei ole s hulga A vähim ratsionaalne ülemine tõke. Saime vastuolu, mis tähendab, et korpuses Q ei ole hulgal
A ülemist raja. 1.5.3 Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid Arvu a ∈ R absoluutväärtuseks (absolute value, абсолютная величина) nimetatakse arvu |a| := a, kui a > 0, −a, kui a < 0. Definitsioonist järeldub vahetult, et |a| = 0 parajasti siis, kui a = 0. Selge, et |a| = max {a, −a} , selle seose kohaselt
1) a 6 |a| ja −a 6 |a| , 2) |a| > 0, 3) |−a| = |a| (selgitada!)z. Olulist rolli järgnevas mängib järgmine absoluutväärtuse omadus. Lause 1.27 Arvude a ja c korral kehtib võrratus |a| 6 c parajasti siis, kui −c 6 a 6 c. Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 1.28 Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited:
(a) |a + b| 6 |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus), (b) |a − b| 6 |a| + |b|, (c) ||a| − |b|| 6 |a − b|, (d) |ab| = |a| |b|. Tõestus. Iseseisvalt!z Absoluutväärtuse abil saab konstrueerida reaalarvude hulga R lihtsa ja mugava geomeet- rilise mudeli – arvsirge. Olgu mingil sirgel fikseeritud kaks punkti, mis vastavad arvudele 0
ja 1. Suunda punkti 0 poolt punkti 1 poole loeme positiivseks, vastupidist suunda negatiiv-
seks. Sirglõigu, mille otspunktideks on 0 ja 1, pikkuse loeme ühikuks. Arvu a puhul võtame
lõigu pikkusega |a| ning kanname ta punktist 0 lähtudes positiivses suunas, kui a > 0, ning negatiivses suunas, kui a < 0. Saadud punkt sirgel vastab arvule a. On selge, et |a| tä- histab punkti a kaugust punktist 0. Seda geomeetrilist mudelit silmas pidades nimetame
(mittenegatiivset) arvu |a − b| reaalarvude a ja b vaheliseks kauguseks.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 25 Arvsirge kui reaalarvude hulga geomeetriline mudel on oluliselt kujundanud ka reaalarvu- dega seotud terminoloogiat. Näiteks nimetame me reaalarve tihtipeale (arvsirge) punktideks,
teatavaid reaalarvude hulki aga intervallideks. Definitsioon. Intervalliks (interval, промежуток) nimetatakse mittetühja vähemalt kahe- elemendilist alamhulka X ⊆ R, millel on järgmine omadus: kui a, b ∈ X ja a < x < b, siis
x ∈ X. Iga kaks reaalarvu a ja b, kus a < b, määravad ära neli tõkestatud intervalli: vahemiku (open interval, интервал) (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} , poollõigud (half-open interval, полусегмент) (a, b] := {x ∈ R | a < x 6 b} ja
[a, b) ning lõigu (closed interval, сегмент) [a, b] := {x ∈ R | a 6 x 6 b}. Arvsirgest kui reaalarvude hulga mudelist lähtudes defineerime kaks uut objekti ∞ ja −∞ järgmiste tingimustega: i) −∞ < ∞ ja ii) −∞ < x < ∞ iga x ∈ R korral. Rõhutame, et −∞ ja ∞ ei kuulu reaalarvude hulka, seetõttu ei saa neid liita ega korru- tada, ei omavahel ega reaalarvudega. See-eest hõlbustavad nad paljudel juhtudel tingimuste
üleskirjutamist, näiteks tähistame ( −∞, b) := {x ∈ R | x < b} , (a, ∞) := {x ∈ R | a < x} , analoogiliselt ( −∞, b] := {x ∈ R | x 6 b} , [a, ∞) := {x ∈ R | a 6 x} . Neid nelja hulka nimetame tõkestamata intervallideks, neile lisandub (−∞, ∞) := R. Definitsioon. Olgu ε > 0. Reaalarvu (ehk punkti) a ∈ R puhul nimetatakse tema ε-ümbruseks (ε-neighbourhood, ε-окрестность) alamhulka Uε (a) . Lause 1.27 põhjal Uε (a) = (a − ε, a + ε) (veenduda!)z. Definitsioon. Alamhulga X ⊆ R punkti x nimetatakse tema sisepunktiks (interior point, внутренная точка ) , kui leidub selline δ > 0, et ümbrus Uδ (x) sisaldub hulgas X, s.t. (x − δ, x + δ) ⊆ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka nimetame tema sisemuseks ning tähistame Xo. 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus
Kõigepealt tõestame ühe tõkestatud intervallidega seotud väite. Lause 1.29 Kui [an, bn], kus n ∈ N, on sellised lõigud, et [a1, b1] ⊇ [a2, b2] ⊇ . . . ⊇ [an, bn] ⊇ . . . , siis ∞ T n=1 [an, bn] 6= ∅.

26 1 Reaalarvud Tõestus. Kuna ak < bn suvaliste indeksite k ja n puhul (selgitada!)z, siis {ak | k ∈ N} on ülalt tõkestatud hulk. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {ak | k ∈ N} =: c. See- juures c 6 bn iga n korral (selgitada!)z, järelikult c ∈ [an, bn] suvalise n ∈ N puhul. Seega ∞ T n=1 [an, bn] 6= ∅. Lause 1.29 abil tõestame nüüd reaalarvude hulga R mitteloenduvuse. Lause 1.30 Ükski vahemik (a0, b0) ⊆ R ei ole loenduv hulk. Seega on ka hulk R mitteloenduv. Tõestus. Võtame vahemikus (a0, b0) suvalise loenduva alamhulga E = {x1, x2, . . .} ja näitame, et E 6= (a0, b0). Selleks kasutame järgmist lihtsat tähelepanekut (kontrollida!)z:
(∗) antud vahemiku (a, b) ja punkti x ∈ R korral saab leida lõigu [c, d] ⊆ (a, b) omadusega x / ∈ [c, d] . Selle kohaselt valime kõigepealt lõigu [a1, b1] ⊆ (a0, b0) omadusega x1 /∈ [a1, b1]. Edasi leiame lõigu [a2, b2] ⊆ (a1, b1) nii, et x2 /∈ [a2, b2] jne. Kui a1, b1, . . . , an, bn on valitud, siis leiame an+1 ja bn+1 nii, et [an+1, bn+1] ⊆ (an, bn) ja xn+1 /∈ [an+1, bn+1]. Kokkuvõttes saame sisestatud lõigud [a1, b1] ⊇ [a2, b2] ⊇ . . . ⊇ [an, bn] ⊇ . . ., lause 1.29 põhjal leidub z ∈ T∞ n=1 [an, bn]. Seejuures z ∈ (a0, b0) \ E (selgitada!)z, mistõttu E 6= (a0, b0) . Kuna alamhulk (a0, b0) ⊆ R on mitteloenduv, siis ei ole ka R loenduv. 1.5.5 Dedekindi lõiked Kui on antud kaks reaalarvude hulka A ja B, mis rahuldavad tingimusi
1) A ∪ B = R,
2) A 6= ∅, B 6= ∅,
3) suvaliste a ∈ A ja b ∈ B korral kehtib võrratus a < b,
siis öeldakse, et nad moodustavad kõigi reaalarvude hulgas R Dedekindi lõike, tähistame seda A p B. Kui
leidub selline arv x, et a 6 x 6 b kõikide a ∈ A ning b ∈ B korral, siis arvu x nimetame lõike A p B
eraldusarvuks. Paneme tähele, et kui eraldusarv eksisteerib, siis on ta üheselt määratud. Tõepoolest, kui oletada, et antud lõike A p B korral leiduvad eraldusarvud x1 ja x2 nii, et x1 < x2, siis leidub arv z ∈ (x1, x2)
(põhjendada!)z, järelikult a 6 x1 < z < x2 6 b, mistõttu z / ∈ A ja z / ∈ B (selgitada!)z. See on vastuolus tingimusega 1). Osutub, et küsimus eraldusarvu olemasolust suvalise Dedekindi lõike puhul on samaväärne küsimusega ülalt tõkestatud hulga ülemise raja olemasolust. Paljudes õpikutes ongi pidevuse aksioom (P) sõnastatud Dedekindi lõike abil (ehk nn. lõikeaksioomina):
(P’) Igal Dedekindi lõikel A p B reaalarvude hulgas R on eraldusarv. Teoreem 1.31 Väited (P) ja (P’) on samaväärsed. Tõestus. (P) ⇒ (P’) Olgu A p B suvaline lõige hulgas R. Eeldame, et pidevuse aksioom (P) kehtib, ning näitame, et lõikel A p B on eraldusarv x. Hulk A ei ole tühi, seejuures on iga b ∈ B tema
ülemine tõke (vrd. 3)). Aksioomi (P) kohaselt leidub x := sup A, seejuures a 6 x iga a ∈ A korral. Kuna x on hulga A vähim ülemine tõke, siis x 6 b iga b ∈ B puhul. Kokkuvõttes a 6 x 6 b kõikide
a ∈ A ning b ∈ B korral. Seega on x = sup A lõike A p B eraldusarv. (P’) ⇒ (P) Eeldame, et väide (P’) kehtib. Olgu M mingi ülalt tõkestatud mittetühi reaalarvude hulk. Kui hulgas M on olemas suurim element max M, siis see ongi ülemine raja ja väide (P) kehtib.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 27 Eeldame, et suurimat elementi hulgas M ei ole. Olgu B hulga M kõigi ülemiste tõkete hulk, tähistame
A := RB. Kuna M ∩ B = ∅ (selgitada!)z, siis M ⊆ A. Veendume, et hulgad A ja B määravad lõike. Tingimused 1) ja 2) on ilmselt täidetud, kontrollime tingimust 3). Kui oletada, et mingite a0 ∈ A ja b0 ∈ B korral kehtib võrratus a0 > b0, siis oleks ka a0
hulga M ülemine tõke (selgitada!)z ning seega a0 ∈ B. See oleks vastuolus faktiga A = RB. Niisiis,
meil on lõige A p B. Eelduse (P’) põhjal leidub selline x ∈ R, et a 6 x 6 b kõikide a ∈ A ning b ∈ B
korral. Veendume, et x = sup M. Tõepoolest, kui z ∈ M, siis z ∈ A, seega z 6 x, järelikult on x hulga
M ülemine tõke. Kui b on hulga M suvaline ülemine tõke, siis b ∈ B, mistõttu x 6 b. Seega x on hulga M vähim ülemine tõke, s.t. x = sup M. Lõikeaksioomi (P’) tegelik sõnum on, et erinevalt ratsionaalarvude hulgast Q, reaalarvude hulgas R ei ole lünki. 1.6 Võrratused 1.6.1 Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine Valemist (a1 + a2) 2 = a2 1 + 2a1a2 + a 2 2 saame mittenegatiivsete arvude a1 ja a2 jaoks võrratuse a1 + a2 2 > √ a1a2 (1.19) (kontrollida!)z . Osutub, et kehtib järgmine üldisem väide. Lause 1.32 Suvaliste mittenegatiivsete reaalarvude a1, a2, . . . , an korral a1 + a2 + . . . + an n > n √ a1 · a2 · . . . · an. (1.20) Tõestus. Veendume, et väide (1.20), mida me järgnevas tähistame P (n) , kehtib iga n ∈ N korral. Tõestuse esimeses osas näitame, et P 2k on õige iga k ∈ N korral, teises osas põhjendame implikatsiooni P (n) ⇒ P (n − 1). Kokkuvõttes saame väite P (n) kehtivuse kõikide n ∈ N korral. (I) Näitame induktsioonimeetodi abil, et P (n) kehtib, kui n = 2k suvalise k ∈ N korral. Seose (1.19) põhjal kehtib väide P (2) . Eeldame, et väide P 2k on õige, ja veendume väite P 2k+1 õigsuses. Olgu 2k = n, siis 2k+1 = 2n, olgu antud 2n mittenegatiivset arvu a1, a2, . . . , a2n. Tähistame b1 := a1 + a2 2 , b2 := a3 + a4 2 , . . . , bn := a2n−1 + a2n 2 , siis bi > √a2i−1a2i kõikide i = 1, 2, . . . , n puhul. Eelduse P 2k põhjal a1 + a2 + . . . + a2n 2n = b1 + b2 + . . . + bn n > n p b1 · b2 · . . . · bn > 2n √ a1 · a2 · . . . · a2n (kontrollida!)z. Niisiis, väide P 2k+1 kehtib. (II) Näitame, et väitest P (n) järeldub suvalise n ∈ N korral P (n − 1). Kehtigu väide P (n) ja olgu a1, . . . , an−1 mittenegatiivsed arvud. Tähistame c1 := a1, c2 := a2, . . . , cn−1 := an−1, cn := a1+...+an−1 n−1 , eelduse P (n) järgi c1 + c2 + . . . + cn n > n √ c1 · c2 · . . . · cn ehk 1 n
a1 + . . . + an−1 + a1 + . . . + an−1 n − 1
> n r a1 · a2 · . . . · an−1 · a1 + . . . + an−1 n − 1 .

28 1 Reaalarvud Paneme tähele, et võrratuse vasak pool on a1+...+an−1 n−1 , paremat poolt teisendades saame a1 + . . . + an−1 n − 1 > n √ a1 · a2 · . . . · an−1 n r a1 + . . . + an−1 n − 1 = ( n−1 √ a1 · a2 · . . . · an−1) 1− 1 n a1 + . . . + an−1 n − 1
1 n ehk a1 + . . . + an−1 n − 1
1− 1 n > ( n−1 √ a1 · a2 · . . . · an−1) 1− 1 n , millest järeldub väide P (n − 1) . 1.6.2 Hölderi ja Minkowski võrratus Olgu r = m n ratsionaalarv, kus 0 < m < n, ning olgu x ja y positiivsed reaalarvud. Võttes a1 := a2 := . . . := am := x ja am+1 := . . . := an := y, saame võrratuse (1.20) kujul mx + (n − m) y n > xmyn−m
1 n , millest tuleneb võrratus rx + (1 − r) y > x ry1−r. Tuues sisse uued tähistused a := xr, b := y1−r, p := 1 r , q := 1 1−r (seega 1
p + 1
q = 1), jõuame siit järgmise väiteni: kui a ja b on positiivsed reaalarvud ning p ja q on sellised ratsionaalarvud, et p > 1 ja 1
p + 1
q = 1, siis kehtib võrratus ap p + bq q > ab. (1.21) Olgu nüüd a1, . . . , an, b1, . . . , bn mittenegatiivsed reaalarvud ja olgu p ning q sellised ratsionaalarvud, et 1 p + 1
q = 1. Võtame võrratuses (1.21) a := ai (a p
1 + . . . + a p n) 1
p , b := bi (b q
1 + . . . + b q n) 1
q kõikide i = 1, . . . , n korral ja liidame vastavad võrratused, saame 1
p a p
1 + . . . + a p n a p
1 + . . . + a p n + 1
q b q
1 + . . . + b q n b q
1 + . . . + b q n > a1b1 + . . . + anbn (a p
1 + . . . + a p n) 1
p (b q
1 + . . . + b q n) 1
q . Kuna viimase võrratuse vasak pool võrdub arvuga 1, siis n X i=1 aibi 6 n X i=1 a p
i ! 1
p n X i=1 b q
i ! 1
q . Seda võrratust nimetatakse Hölderi võrratuseks. Juhul p = 2 saame Cauchy-Schwarzi võrratuse n X i=1 aibi 6 v
u
u
t n X i=1 a2i v
u
u
t n X i=1 b2i.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 29 Hölderi võrratuse abil tuletame järgnevalt Minkowski võrratuse n X i=1 (ai + bi) p ! 1
p 6 n X i=1 a p
i ! 1
p + n X i=1 b p
i ! 1
p . (1.22) Tähistame S := n P i=1 (ai + bi) p ja paneme tähele, et S = n X i=1 ai (ai + bi) p−1 + n X i=1 bi (ai + bi) p−1 . Hölderi võrratust rakendades jõuame seoseni S 6 n X i=1 a p
i ! 1
p n X i=1 (ai + bi) (p−1)q ! 1
q + n X i=1 b p
i ! 1
p n X i=1 (ai + bi) (p−1)q ! 1
q ehk (peame silmas võrdust (p − 1) q = p) S 6 S 1
q   n X i=1 a p
i ! 1
p + n X i=1 b p
i ! 1
p   , millest tulenebki võrratus (1.22) (veenduda!)z. Minkowski võrratust (1.22) juhul p = 2 nimetatakse kolmnurga võrratuseks.

30 2 Arvjadad 2 Arvjadad Olgu D mingi mittetühi reaalarvude hulk, s.t. ∅ 6= D ⊆ R. Kui igale arvule x hulgast D on mingi eeskirja järgi seatud vastavusse üheselt määratud arv y =: f (x), siis öeldakse, et
hulgas D on defineeritud funktsioon f, mida me tavaliselt märgime f : D → R, mõnikord ka y = f (x) või x 7→ f (x). Hulka D nimetatakse seejuures funktsiooni f lähtehulgaks ehk määramispiirkonnaks (domain, область определения), hulka R aga väärtuste hulgaks (range, область значений). Punktide hulka Grf := {(x, f (x)) | x ∈ D} xy-tasandil nimetatakse funktsiooni f graafikuks. See, mis puudutab funktsioonide esitus-
viise, nende liike, graafikuid jne., on lugejale tuttav eelnevatest matemaatilise analüüsi kur-
sustest. 2.1 Koonduvad jadad 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused Arvjadaks (sequence, последовательность) nimetatakse reaalarvuliste väärtustega funkt-
siooni x, mille määramispiirkond on kõigi naturaalarvude hulk N. Selline funktsioon x: N → R seab igale naturaalarvule n vastavusse reaalarvu x (n), mis tavaliselt kirjutatakse kujul xn.
Neid funktsiooni väärtusi xn nimetatakse arvjada x liikmeteks, naturaalarve n ∈ N aga indeksiteks. Arvjada x ennast tähistame sümboliga (xn), vajaduse korral märgime juurde
indeksite määramispiirkonna, näiteks (xn) n∈N või (xn) ∞
n=1. Tihtipeale kasutame ka tähistust (x1, x2, . . .). Tavaliselt ütleme arvjada asemel lihtsalt jada. Mõnikord on kasulik võtta jada indeksite hulgaks N0 = N∪ {0}, sel juhul saame jada (x0, x1, x2, . . .). Definitsioon. Ütleme, et jada (xn) on tõkestatud (bounded, ограниченная), kui tema liikmete hulk {xn | n ∈ N} on tõkestatud. Selle definitsiooni kohaselt on jada (xn) tõkestatud parajasti siis, kui ∃m, M ∈ R : m 6 xn 6 M (n ∈ N) . (2.1) Tingimusega (2.1) on samaväärne tingimus ∃K > 0 : |xn| 6 K (n ∈ N) (selgitada!)z. Definitsioon. Ütleme, et jada (xn) koondub arvuks a (kirjutame kas lim n→∞ xn = a või xn → a), kui iga ε > 0 jaoks leidub selline N = N (ε) ∈ N, et |xn − a| < ε kõikide n > N korral. Arvu a nimetatakse sel juhul jada (xn) piirväärtuseks (limit, предел) ja jada ennast

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 31 koonduvaks (convergent, сходящаяся). Mittekoonduvaid jadasid nimetatakse hajuvateks (di-
vergent, расходящаяся ) . Niisiis, lim n→∞ xn = a : ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N : n > N ⇒ |xn − a| < ε, (2.2) selle seose parema poole võime kirjutada kujul ∀ε > 0 ∃N ∈ N : xn ∈ Uε (a) kõikide n > N korral (kontrollida!)z, kus Uε (a) on punkti a ε-ümbrus. Paneme tähele, et lim n→∞ xn = a ⇔ lim n→∞ (xn − a) = 0 ja lim n→∞ xn = 0 ⇔ lim n→∞ |xn| = 0 (selgitada!)z. Omadus 2.1 Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud: kui xn → a ja xn → b, siis
a = b. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.2 Koonduv jada on tõkestatud: kui xn → a, siis leiduvad sellised arvud m ja M, et m 6 xn 6 M iga n ∈ N korral. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.3 Kui xn → 0 ja (yn) on tõkestatud jada, siis xnyn → 0. Tõestus. Iseseisvalt!z Näide 2.1. Lihtsaimaks näiteks koonduvast jadast on konstantne jada (a, a, . . .) , sel juhul on piirväärtuseks arv a. Tõepoolest, iga ε > 0 ning n ∈ N korral kehtib võrratus
|xn − a| = |a − a| = 0 < ε, seega võib piirväärtuse definitsiooni tingimuses (2.2) suvali- se ε > 0 korral võtta N := 1. Samuti on koonduv ka nn. statsionaarne jada, s.o. jada
(x1, . . . , xn 0 , a, a, . . .), mis on konstantne mingist indeksist n0 + 1 alates. Näide 2.2. Archimedese printsiibi kohaselt lim n→∞ 1 n = 0 (tõestada! z , kasutada järeldust 1.24.) Näide 2.3. Jada ((−1) n) hajub, sest suvalise a ∈ R korral jääb lõpmata palju selle jada liikmeid välja ümbrusest U1/2 (a) (selgitada!)z. Definitsioon. Ütleme, et jadal (xn) on lõpmatu piirväärtus ∞ (kirjutame lim n→∞ xn = ∞ või xn → ∞), kui iga M > 0 jaoks leidub selline N ∈ N, et xn > M kõikide n > N korral. Seega lim n→∞ xn = ∞ :⇔ ∀M > 0 ∃N ∈ N : n > N ⇒ xn > M. Piirväärtus lim n→∞ xn = −∞ defineeritakse analoogiliselt (defineerida!)z. Rõhutame, et lõpmatu piirväärtusega jada on tõkestamata, seega on ta hajuv. Samas ei pruugi tõkestamata jadal lõpmatut piirväärtust olla (tooge näide!)z.

32 2 Arvjadad 2.1.2 Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused Omadus 2.4 (piirväärtuse monotoonsus) Olgu a, b ∈ R. Kui xn → a ja yn → b ning see- juures leidub selline N0 ∈ N, et xn 6 yn iga n > N0 korral, siis a 6 b. Tõestus. Iseseisvalt!z Järeldus 2.5 Olgu a, c ∈ R. Kui xn → a ja leidub selline N0 ∈ N, et xn 6 c (xn > c) iga
n > N0 korral, siis a 6 c (a > c) . Tõestus. Iseseisvalt!z Järeldus 2.6 Kui leidub selline N ∈ N, et xn ∈ [a, b] iga n > N korral, ja xn → c, siis
c ∈ [a, b] . Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.7 (piirväärtuse keskmise muutuja omadus) Kui lim n→∞ xn = lim n→∞ yn = a ∈ R ja seejuures leidub selline N0 ∈ N, et xn 6 zn 6 yn iga n > N0 korral, siis lim n→∞ zn = a. Tõestus. Eeldame, et xn 6 zn 6 yn (n > N0) (2.3) ning xn → a ja yn → a, olgu ε > 0. Meie eesmärk on tõestada sellise N ∈ N olemasolu, et kehtiks tingimus |zn − a| < ε iga n > N korral. (2.4) Vastavalt eeldusele leiame niisugused N1 ∈ N ja N2 ∈ N, et n > N1 ⇒ |xn − a| < ε ja n > N2 ⇒ |yn − a| < ε. Võtame N := max {N0, N1, N2}. Kui n > N, siis |xn − a| < ε ja |yn − a| < ε, teisisõnu,
xn ∈ (a − ε, a + ε) ning yn ∈ (a − ε, a + ε) . Pidades silmas võrratusi (2.3), saame, et a − ε < xn 6 zn 6 yn < a + ε (n > N) (selgitada!)z, niisiis on väide (2.4) tõestatud. Märkus. Formaalselt kehtib omadus 2.7 ka juhul, kui a = ∞ ja a = −∞. Täpsemalt, kui lim n→∞ xn = ∞ ja leidub selline N0 ∈ N, et xn 6 zn iga n > N0 korral, siis ka lim n→∞ zn = ∞. Analoogiliselt, kui lim n→∞ yn = −∞ ja leidub selline N0 ∈ N, et zn 6 yn iga n > N0 korral, siis ka lim n→∞ zn = ∞. (Iseseisvalt!)z

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 33 2.1.3 Koonduvate jadade tehetega seotud omadused Alustame järgmise lihtsa lemmaga. Lemma 2.8 Kui jada (xn) koondub nullist erinevaks arvuks a, siis leidub selline N ∈ N, et |a| 2 < |xn| < 3 |a| 2 iga n > N korral. (2.5) Tõestus. Eeldame, et lim n→∞ xn = a 6= 0. Võtame ε := |a| 2 ja leiame vastavalt piirväärtuse definitsioonile (2.2) sellise N ∈ N, et |xn − a| < | a|
2 kõikide n > N korral. Siis ||xn| − |a|| < |a| 2 iga n > N puhul (vrd. lause 1.28(c)), mis on samaväärne tingimusega (2.5). Omadus 2.9 Olgu a, b ∈ R. Kui xn → a ja yn → b, siis
(a) xn + yn → a + b, (b) xnyn → ab, (c) λyn → λb iga λ ∈ R puhul, (d) xn − yn → a − b, (e) 1 yn → 1 b (eeldusel, et b 6= 0), (f) xn yn → a b (eeldusel, et b 6= 0). Tõestus. (b) Eeldame, et xn → a ja yn → b. Kõigepealt märgime, et kui üks arvudest a ja b võrdub nulliga, siis väide järeldub eelpool tõestatud omadustest 2.3 ja 2.2 (selgitada!)z.
Vaatleme juhtu, kus a 6= 0 ja b 6= 0, olgu ε > 0. Peame veenduma, et saab valida N0 ∈ N omadusega n > N0 ⇒ |xnyn − ab| < ε. (2.6) Jada (yn) on omaduse 2.2 põhjal tõkestatud, seega leidub M > 0, et |yn| 6 M iga n ∈ N korral. Leiame N1, N2 ∈ N, et n > N1 ⇒ |xn − a| < ε 2M ja n > N2 ⇒ |yn − b| < ε 2 |a| , ning võtame N0 := max {N1, N2}. Kui n > N0, siis |xnyn − ab| ±ayn = |(xn − a) yn + a (yn − b)| 6 |xn − a| |yn| + |a| |yn − b| < ε 2M M + |a| ε 2 |a| = ε, seega kehtib (2.6). Väide (c) tuleneb väitest (b). Nimelt, kui vaatleme jada (xn), kus xn := λ iga n ∈ N korral, siis lim n→∞ xn = λ (vt. näide 2.1) ja väite (b) kohaselt lim n→∞ λyn = lim n→∞ xnyn = λb. Väide (d) järeldub vahetult väidetest (a) ja (c) (selgitada!)z.

34 2 Arvjadad (e) Olgu ε > 0. Eelduse kohaselt yn → b 6= 0, peame näitama, et ∃N ∈ N : n > N ⇒
1 yn − 1 b
< ε. Vastavalt lemmale 2.8 fikseerime sellise N1 ∈ N, et |yn| > | b| 2 , kui n > N1. Tähendab,
1 yn − 1 b
= |yn − b| |yn| |b| 6 2 |b| 2 |yn − b| (n > N1) . (2.7) Edasi valime vastavalt definitsioonile (2.2) indeksi N2 omadusega n > N2 ⇒ |yn − b| < ε |b| 2 2 . (2.8) Paneme tähele, et kui n > N := max {N1, N2}, siis kehtivad mõlemad võrratused (2.7) ja
(2.8), mistõttu
1 yn − 1 b
< ε. Väide (f) tuleneb väidetest (b) ja (e) (selgitada!)z. 2.1.4 Tähtsad piirväärtused Lause 2.10 (a) Kui |a| < 1, siis lim n→∞ an = 0. Juhul a = 1 kehtib võrdus lim n→∞ an = 1. Kui a = −1 või |a| > 1, siis jada (a n) hajub. (b) Kui a > 0, siis lim n→∞ n √ a = 1. (c) lim n→∞ n √ n = 1. Tõestus. (a) Ilmselt kehtib väide juhul kui a = 0 või a = 1, samuti on selge, et juhul a = −1 saame hajuva jada (−1, 1, −1, 1, . . .) (vt näidet 2.3). Kui 0 < |a| < 1, siis b := 1 |a| − 1 > 0. Binoomvalemi kohaselt 1 |a| n = (1 + b) n = 1 + nb + n (n − 1) 2 b2 + . . . + bn > nb, mistõttu 0 < |a n| = |a| n < 1 b 1 n → 0, omaduse 2.7 põhjal lim n→∞ an = 0 (selgitada!)z. Kui |a| > 1, siis b := |a| − 1 > 0 ja |a| n = (1 + b)n > nb → ∞, seega ei ole jada (an) tõkestatud. Omaduse 2.2 põhjal on ta hajuv. (b) Kui a = 1, siis väide kehtib. Olgu a > 1, siis ka n √ a > 1 (selgitada!)z, seega n √ a = 1 + xn, kus xn := n √ a − 1 > 0 suvalise n ∈ N korral. Binoomvalemist saame, et a = (1 + xn) n > nx n (n ∈ N) , niisiis 0 < xn < a 1 n → 0, mistõttu n √ a → 1.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 35 Kui a < 1, siis b := 1 a > 1, seega n √ b → 1 ning (vrd. lause 1.21) n √ a = n r 1 b = 1 n √ b → 1. (c) Kuna iga n = 2, 3, . . . korral n √ n > 1, siis xn := n √ n − 1 > 0. Binoomvalemi abil saame võrratuse n = (1 + xn) n > 1 + n (n − 1) 2 x2 n ehk x2 n < 2 (n − 1) n (n − 1) = 2 n , millest tuleneb, et 0 < xn < √ 2 √ n → 0, järelikult n √ n → 1. 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi Selles alapunktis esitame neli pidevuse aksioomist järelduvat fundamentaalse tähendusega
teoreemi. 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip Definitsioon. Ütleme, et jada (xn) on
1) kasvav (increasing, неубывающая), kui xn+1 > xn iga n ∈ N korral, 2) rangelt kasvav (strictly increasing, возрастающая), kui xn+1 > xn iga n ∈ N korral, 3) kahanev (decreasing, невозрастающая), kui xn+1 6 xn iga n ∈ N korral, 4) rangelt kahanev, kui xn+1 < xn iga n ∈ N korral. Jada (xn) nimetatakse monotoonseks (monotonic, монотонная), kui ta on kas kasvav või
kahanev. Teoreem 2.11 (monotoonsuseprintsiip). Monotoonne jada (xn) koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Kui (xn) on seejuures kasvav, siis lim n→∞ xn = , kui (xn) on kahanev, siis lim n→∞ xn = . Tõestus. Tarvilikkus on ilmne, sest iga koonduv jada on tõkestatud.
Piisavus. Olgu (xn) kasvav tõkestatud jada, siis pidevuse aksioomi kohaselt =: b. Näitame, et lim n xn = b. Olgu ε > 0, vastavalt ülemise raja definit- sioonile leidub niisugune indeks N, et xN > b − ε (selgitada!)z. Kuna jada (xn) kasvab, siis b − ε < xn 6 b N puhul (2.9) ehk |xn − b| < ε, kui n > N. Niisiis, iga ε > 0 korral saab valida indeksi N nii, et |xn − b| < ε kõikide n > N puhul, s.t. lim n→∞ xn = b. Analoogiliselt tõestatakse väide kahaneva tõkestatud jada puhul (iseseisvalt!)z.

36 2 Arvjadad 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem Definitsioon. Olgu (xn) mingi arvjada ning (nk) rangelt kasvav naturaalarvude (indeksite)
jada, s.t. nk ∈ N ja n1 < n2 < n3 < . . . . . Jada (xn k ) = (xn1 , xn2 , . . .) nimetatakse esialgse jada (xn) osajadaks (subsequence, подпоследовательность). Märgime, et indeksite jada (nk) range kasvavus ja järeldus 1.15 aitavad matemaatilise induktsiooni meetodil tõestada, et iga k ∈ N korral nk > k. (Iseseisvalt!)z Teisisõnu, osajada on jada, mis saadakse esialgsest jadast lõpliku või loenduva arvu liik- mete väljajätmisel. Märgime, et rangelt kasvava naturaalarvude jada (nk) korral kehtib omadus (tõestage!)z: nk > k, k ∈ N. Omadus 2.12 (a) Tõkestatud jada iga osajada on tõkestatud.
(b) Piirväärtuseks a koonduva jada (xn) iga osajada (xn k ) koondub samuti piirväärtuseks a: kui lim n→∞ xn = a, siis lim k→∞ xn k = a. Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 2.13 Iga jada sisaldab monotoonse osajada. Tõestus. Tõestuseks kasutame jada tippkoha mõistet. Ütleme, et indeks m on jada (xn) tippkoht, kui xn 6 xm iga n > m korral. Põhimõtteliselt on jada (xn) puhul kolm võimalust:
1) tal on lõpmata palju (täpsemalt loenduv arv) tippkohti,
2) tal on lõplik arv tippkohti ja
3) tal ei ole üldse tippkohti.
Juhul 1) paneme tähele, et tippkohtade n1 < n2 < . . . järgi moodustub kahanev osajada
(xn k ): kui nk on tippkohale nk −1 järgnev tippkoht, siis xnk 6 xnk−1 (põhjendada!)z. Juhul 2) konstrueerime kasvava osajada (xn i ) järgmiselt. Olgu n1 mingi indeks, mis on suurem kõikidest tippkohtadest, siis on võimalik leida indeks n2 > n1 nii, et xn 2 > xn1 (põhjenda- da!)z. Edasi leiame sellise n3 > n2, et xn 3 > xn2 jne. Tulemuseks saame kasvava osa jada (xn 1 , xn2 , . . .) . Samamoodi toimime ka juhul 3), võttes n1 := 1. Lause on tõestatud. Lausest 2.13 ja monotoonsuseprintsiibist tuleneb vahetult järgmine teoreem. Teoreem 2.14 (Bolzano–Weierstrassi teoreem). Iga tõkestatud jada sisaldab koonduva
osajada. Tõestus. Olgu (xn) tõkestatud jada, vastavalt lausele 2.13 on tal monotoonne osajada (xn k ), mis samuti on tõkestatud (vrd. omadus 2.12(a)). Monotoonsuseprintsiibi 2.11 põhjal osajada (xn k ) koondub.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 37 2.2.3 Cauchy kriteerium Järgnevalt defineerime Cauchy jada mõiste, mis kirjeldab jada liikmete omavahelist võn-
kumist. Tõestame, et arvjada on koonduv parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. Cauchy
tingimuse põhiline eelis jada piirväärtuse definitsiooni ees on asjaolu, et kui uurime, kas ja-
da on koonduv või hajuv, ei pea me teadma (ega aimama) piirväärtuse kandidaati. Cauchy
tingimus iseloomustab ainult jada liikmete sisemist vahekorda ning vahetult ei tegele lähe-
nemisega mingile kindlale suurusele. Definitsioon. Öeldakse, et jada (xn) on Cauchy jada, kui iga ε > 0 korral leidub selline indeks N ∈ N, et |xn − xm| < ε kõikide n, m > N korral. Omadus 2.15 Iga koonduv jada on Cauchy jada. Tõestus. Eeldame, et xn → a. Olgu ε > 0 suvaline, leiame N ∈ N omadusega |xn − a| < ε
2 iga n > N korral. (2.10) Kui n, m > N, siis seosest (2.10) saame, et |xn − xm| 6 |xn − a| + |xm − a| < ε
2 + ε
2 = ε, seega on (xn) Cauchy jada. Omadus 2.16 Iga Cauchy jada on tõkestatud. Tõestus. Eeldame, et (xn) on Cauchy jada. Definitsiooni kohaselt leidub selline N ∈ N, et |xn − xm| < 1 kõikide n, m > N korral. Tähistame A := xN , siis |xn − A| < 1 iga n > N korral ehk A − 1 < xn < A + 1 (n > N) (selgitada!)z. Võttes m := ja M := max {x1, . . . , xN−1, A + 1} , saame, et m 6 xn 6 M iga n ∈ N korral. Seega on jada (xn) tõkestatud. Me tõestame nüüd kolmanda koonduvuseprintsiibi, mida nimetatakse Cauchy kriteeriu- miks. Teoreem 2.17 (Cauchy kriteerium). Jada koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada.

38 2 Arvjadad Tõestus. Tarvilikkus on tõestatud omadusega 2.15.
Piisavus. Olgu (xn) Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano– Weierstrassi teoreemi 2.14 kohaselt sisaldab jada (xn) koonduva osajada (xn k ) . Tähistame a := lim k→∞ xn k ja näitame, et xn → a. Olgu ε > 0, vastavalt Cauchy jada definitsioonile valime indeksi N omadusega n, m > N ⇒ |xn − xm| < ε
2 . (2.11) Kui K ∈ N on valitud nii, et K > N ja |xn K − a| < ε
2 (2.12) (põhjendada sellise K olemasolu!)z, siis tingimuste (2.11) ja (2.12) tõttu |xn − a| 6 |xn − xn K | + |xn K − a| < ε
2 + ε
2 = ε kõigi indeksite n > N puhul (selgitada!)z, järelikult xn → a. 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest Vaatleme üksteisesse sisestatud lõike [a1, b1] ⊇ [a2, b2] ⊇ . . . ⊇ [an, bn] ⊇ . . . . (2.13) Nende vasakpoolsete otspunktide jada (an) on kasvav ning parempoolsete otspunktide jada
(bn) on kahanev, seejuures ak < bn suvaliste k, n ∈ N puhul (vt. lause 1.29 tõestus). Seega on hulk {an | n ∈ N} ülalt tõkestatud ja bn on selle hulga ülemine tõke iga n ∈ N korral. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib a := , seejuures a 6 bn (n ∈ N) . Näeme, et a on hulga {bn | n ∈ N} alumine tõke, seega a 6 =: b. Niisiis, an 6 a 6 b 6 bn iga n ∈ N puhul, mistõttu [a, b] ⊆ \ n∈N [an, bn] 6= ∅. Märgime veel, et kuna (an) on kasvav ja (bn) kahanev jada, siis monotoonsuseprintsiibi 2.11 kohaselt kehtivad võrdused a = lim n→∞ an ja b = lim n→∞ bn.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 39 Kui lisaks eeldada, et lim n→∞ (bn − an) = 0, siis 0 = lim n→∞ (bn − an) = lim n→∞ bn − lim n→∞ an = b − a, s.t. b = a. Näitame, et sel juhul on a lõikude [an, bn] ainuke ühine punkt. Tõepoolest, kui
oletada vastuväiteliselt, et c on veel mingi punkt hulgast T n∈N [an, bn] ja c 6= a, siis lõik ots- punktidega a ja c sisaldub igas lõigus [an, bn] (põhjendada!)z ja |c − a| =: ε0 > 0. Seega
bn − an > ε0 kõikide n ∈ N korral, kuid see on vastuolus eeldusega lim n→∞ (bn − an) = 0. Tähendab, a on hulga T n∈N [an, bn] ainuke punkt. Me tõestasime järgmise teoreemi. Teoreem 2.18 (Cantori teoreem sisestatud lõikudest). Kui lõigud [a1, b1] ⊇ [a2, b2] ⊇ . . . ⊇ [an, bn] ⊇ . . . rahuldavad tingimust lim n→∞ (bn − an) = 0, siis leidub täpselt üks arv a, mis kuulub igasse lõiku [an, bn]. Seejuures a = lim n→∞ an = lim n→∞ bn. Märkus. Ülal tõestasime Bolzano–Weierstrassi teoreemi lähtudes vahetult monotoonsusprintsiibist. Teine võimalus selleks on kasutada Cantori teoreemi üksteisesse sisestatud lõikudest. Olgu (xn) tõkestatud jada, siis leiduvad reaalarvud a0, b0 nii, et iga n ∈ N korral a0 6 xn 6 b0. Iga k = 1, 2, . . . korral tegutseme järgnevalt. Moodustame indeksite hulgad N1 =
n ∈ N: xn ∈
ak−1, ak−1 + bk−1 2
, N2 =
n ∈ N: xn ∈ ak−1 + bk−1 2 , bk−1
. Ilmselt N1 ∪ N2 = N, mistõttu vähemalt üks hulkadest N1 ja N2 on lõpmatu. Kui N1 on lõpmatu, siis tähistame ak = ak−1 ja bk = ak−1+bk−1 2 ning valime nk ∈ N1 nii, et nk > nk−1 (kui k > 1). Kui N1 on lõplik (siis N2 on lõpmatu), tähistame ak = ak−1+bk−1 2 ja bk = bk−1 ning valime nk ∈ N2 nii, et nk > nk−1 (kui k > 1). (Selgitage sellise nk valiku võimalikkust!z) Tulemusena saadav üksteisesse sisestatud lõikude jada omab teoreemi 2.18 põhjal täpselt ühte ühist punkti c. On jäänud kontrollida, et limk→∞ xn k = c (tehke läbi!z). 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus Järgnevalt demonstreerime koonduvusteooria printsiipide rakendamist, selgitamaks reaal-
arvude üht esitusviisi – esitust lõpmatute kümnendmurdudena. Olgu z0 ∈ N0 ning z1, z2, . . . numbrid hulgast {0, . . . , 9}. Moodustame jada (an), kus an := z0 + z1 10 + z2 102 + . . . + zn 10n (n ∈ N0) . Paneme tähele, et jada (an) on kasvav (kontrollida!)z ja ülalt tõkestatud: an 6 z0 + 9 10 + 9 102 + . . . + 9 10n = z0 + 9 10
1 + 1 10 + . . . + 1 10n−1
= z0 + 9 10 1 − 1 10n 1 − 1 10 < z0 + 9 10 1 1 − 1 10 = z0 + 1 (n ∈ N) .

40 2 Arvjadad Monotoonsuseprintsiibi kohaselt eksisteerib piirväärtus a := lim n→∞ an. Tähistame lühidalt an =: z0, z1z2z3 . . . zn ja a =: z0, z1z2z3 . . . , seda kirjutusviisi nimetame (lõpmatuks) kümnendmurruks, täpsemalt, reaalarvu a kümnend-
esituseks. Seega esitab kümnendmurd z0, z1z2z3 . . . lühemal kujul jada (an), aga ka selle jada
piirväärtuse. Näitame, et iga reaalarv a ∈ R on esitatav kümnendmurruna. Vaatleme esiteks juhtu a ∈ [0, 1) . Jagame lõigu I0 := [0, 1] kümneks võrdseks osaks, selge, et arv a kuulub täpselt ühte poollõikudest 0, 1 10 , 1 10 , 2 10 , . . . , 9 10 , 1 . Teisisõnu, leidub üheselt määratud number z1, et z1 10 6 a < z1 + 1 10 . Edasi jagame lõigu I1 :=
z1
10 , z1+1 10
jälle kümneks võrdseks osaks ja leiame poollõikude
z1
10 + k 102 , z1
10 + k+1 102
hulgast selle, millesse kuulub arv a. Niisiis leidub üheselt määratud num- ber z2, et z1 10 + z2 102 6 a < z1 10 + z2 + 1 102 . Jagame lõigu I2 :=
z1
10 + z2 102 , z1
10 + z2+1 102 kümneks võrdseks osaks ja leiame z3 ∈ {0, . . . , 9}, et z1 10 + z2 102 + z3 103 6 a < z1 10 + z2 102 + z3 + 1 103 jne. Nii jätkates saame üksteisesse sisestatud lõigud I0 ⊇ I1 ⊇ . . . ⊇ In ⊇ . . . , mis kõik sisaldavad punkti a. Kuna lõikude In pikkused 1 10n protsessis n → ∞ lähenevad nullile, siis teoreemi 2.18 põhjal on a nende lõikude ainuke ühine punkt ja lim n→∞
z1 10 + z2 102 + . . . + zn 10n
= a. Eespool kokkulepitud tähistusviisi kohaselt a = 0, z1z2 . . . . Seejuures, kuna a < z1 10 + z2 102 + . . . + zn + 1 10n iga n ∈ N puhul (2.14) (selgitada!)z, siis ei ole võimalik, et a oleks esitatud sellise kümnendmurruna, mis lõpeb
numbriga 9 perioodis. Tõepoolest, kui oletada vastuväiteliselt, et saab valida m ∈ N omadu- sega zn = 9 iga n > m korral, siis a = m X n=1 zn 10n + 9 lim p→∞ m+p X n=m+1 1 10n = m X n=1 zn 10n + 9 10m+1 lim p→∞ p−1 X n=0 1 10n = m X n=1 zn 10n + 1 10m = m−1 X n=1 zn 10n + zm + 1 10m ,

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 41 mis on vastuolus võrratusega (2.14). Märgime veel üht kümnendesituse a = 0, z1z2 . . . omadust: 0, 0 . . . 0zk+1zk+2 . . . = lim m→∞ m X n=k+1 zn 10n < 1 10k suvalise k ∈ N0 puhul. (2.15) Nimelt, kuna vaadeldav kümnendmurd ei lõpe numbriga 9 perioodis, siis saame valida j > k,
et h := 9 − zj > 1, mistõttu lim m→∞ m X n=k+1 zn 10n = lim m→∞ m X n=k+1, n6=j zn 10n + 9 10j − h 10j 6 − h 10j + 9 lim m→∞ m X n=k+1 1 10n = − h 10j + 9 1 10k+1 1 − 1 10 = − h 10j + 1 10k < 1 10k . Üldjuhul, kui a on suvaline positiivne reaalarv, leiame kõigepealt (üheselt määratud) z0 ∈ N0 omadusega z0 6 a < z0 + 1. Siis a − z0 ∈ [0, 1) ja eelneva arutelu kohaselt saame esituse a − z0 = 0, z1z2 . . . ehk a = z0, z1z2 . . .. Näitame, et selline esitus a = z0, z1z2 . . . on alati ühene. Oletame vastuväiteliselt, et arvul a leidub kaks erinevat kümnendesitust z0, z1z2 . . . ja u0, u1u2 . . ., siis a = z0 + lim m→∞ m X n=1 zn 10n = u0 + lim m→∞ m X n=1 un 10n . Olgu k ∈ N vähim sellistest indeksitest n, et zn 6= un, konkreetsuse mõttes olgu zk < uk. Niisiis, zn = un (n = 0, 1, . . . , k − 1) ja zk 6 uk − 1. Kõigepealt paneme tähele, et kuna z0 ja
u0 on täisarvud ning z0 6 a < z0 + 1 ja u0 6 a < u0 + 1, siis järelduse 1.23 põhjal z0 = u0, mistõttu lim m→∞ m P n=1 zn 10n = lim m→∞ m P n=1 un 10n . Siit tuleneb võrdus zk 10k + lim m→∞ m X n=k+1 zn 10n = uk 10k + lim m→∞ m X n=k+1 un 10n (selgitada!)z, seega lim m→∞ m X n=k+1 zn 10n = uk − zk 10k + lim m→∞ m X n=k+1 un 10n > uk − zk 10k > 1 10k , mis on vastuolus eelpool kontrollitud seosega (2.15). Kokkuvõttes oleme tõestanud järgmise väite. Lause 2.19 Iga positiivne reaalarv on üheselt esitatav lõpmatu kümnendmurruna. Negatiivse arvu a puhul on −a esitatav kümnendmurruna −a = z0, z1z2z3 . . ., arvu a jaoks saame üheselt määratud negatiive kümnendmurru a = −z0, z1z2z3 . . . . = − lim n→∞
z0 + z1 10 + z2 102 + . . . + zn 10n
= lim n→∞
−z0 − z1 10 − z2 102 − . . . − zn 10n

42 2 Arvjadad 2.2.6 Arv e Vaatleme jada (xn), kus xn :=
1 + 1 n n . Binoomvalemi kohaselt xn :=
1 + 1 n n = 1 + n 1 n + n (n − 1) 1 · 2 1 n2 + n (n − 1) (n − 2) 1 · 2 · 3 1 n3 + . . . + n (n − 1) . . . (n − k + 1) 1 · 2 · . . . · k 1 nk + . . . + n (n − 1) . . . (n − n + 1) 1 · 2 · . . . · n 1 nn = 1 + 1 1! + 1 2!
1 − 1 n
+ 1 3!
1 − 1 n 1 − 2 n
+ . . . + 1 k!
1 − 1 n
. . .
1 − k − 1 n
+ . . . + 1 n!
1 − 1 n
. . .
1 − n − 1 n
. Seejuures on (xn) rangelt kasvav jada. Et selles veenduda, esitame xn+1 = 1 + 1 1! + 1 2!
1 − 1 n + 1
+ . . . + 1 k!
1 − 1 n + 1
. . .
1 − k − 1 n + 1
+ . . . + 1 n!
1 − 1 n + 1
. . .
1 − n − 1 n + 1
+ 1 (n + 1)!
1 − 1 n + 1
. . .
1 − n n + 1
ja paneme tähele, et xn+1 > xn (kontrollida!)z. Näitame, et jada (xn) on ülalt tõkestatud. Kuna xn 6 2 + 1 2! + 1 3! + . . . + 1 n! (selgitada!)z, siis tänu seosele 1 k! 6 1 2k−1 (k ∈ N) (veenduda!)z saame võrratuse xn 6 1 + 1 + 1
2 + 1 22 + . . . 1 2n−1 . Seejuures on 1 + 1 2 + 1 22 + . . . 1 2n−1 geomeetrilise progressiooni liikmete summa, mistõttu 0 < xn 6 1 + 1 − 1 2n 1 − 1
2 = 1 + 2
1 − 1 2n
=: yn, (2.16) kui n =∈ N (selgitada!)z. Selge, et yn → 3, seega on jada (yn) tõkestatud, seoste (2.16) tõttu on ka jada (xn) tõkestatud. Niisiis on (xn) tõkestatud monotoonne jada, monotoonsuseprint-
siibi (vt. teoreem 2.11) kohaselt eksisteerib piirväärtus lim n→∞ xn =: e, seejuures 2 < e 6 3 (selgitada!)z.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 43 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus 2.3.1 Jada osapiirväärtused Definitsioon. Arvjada (xn)∞ n=1 osajadade piirväärtusi nimetatakse selle jada osapiirväär- tusteks (subsequential limit, частичный предел). Tõestame nüüd käesoleva alapunkti põhitulemuse. Lause 2.20 Jada (xn) koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks osa-
piirväärtus. Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et lim n→∞ xn = a, siis (xn) on tõkestatud ja ka iga osajada (xn k ) koondub piirväärtuseks a (selgitage!)z, mis on seega jada (xn) ainus osapiirväärtus. Piisavus. Olgu (xn) tõkestatud jada, millel on parajasti üks osapiirväärtus a. Oletame vastuväiteliselt, et a ei ole selle jada piirväärtus. Sel juhul leidub selline ε > 0, et xn / ∈ Uε (a) lõpmata paljude indeksite n korral (selgitada!)z. Tähendab, lõpmata paljude indeksite n
korral kas xn 6 a − ε või xn > a + ε. Esimesel juhul eksisteerib osajada (xn k ) omadusega xnk 6 a − ε, sellest saab Bolzano- Weierstrassi teoreemi kohaselt moodustada koonduva osajada
xn ki
. Olgu c := lim i→∞ xn ki , siis c 6 a − ε < a (selgitada!)z. Teisalt on c jada (xn) osapiirväärtus, mistõttu c = a. Saime vastuolu. Analoogiliselt jõutakse vastuoluni, kui eeldada võrratust xn > a + ε lõpmata paljude indeksite n korral (veenduda!)z. Seega on meie vastuväiteline oletus, et a ei ole jada (xn)
piirväärtus, väär. Osapiirväärtuse mõistega on seotud järgmised väited: • igal tõkestatud jadal on vähemalt üks reaalarvuline osapiirväärtus (miks?)z;
• igal jadal (tõkestatud või tõkestamata) on vähemalt üks osapiirväärtus (selgitage!)z;
• tõkestamata jadal võivad reaalarvulised osapiirväärtused puududa (tooge näide!)z;
• kui arv b esineb jada (xn) liikmena lõpmata palju kordi, siis b on selle jada osapiirväärtus (miks?)z. Järgnevas alapeatükis tõestatakse (vt. teoreemi 2.22 ja selle järel märkust), et igal jadal (ükskõik, kas tõkestatud või tõkestamata) leidub osapiirväärtus. 2.3.2 Ülemine ja alumine piirväärtus Järgnevalt defineerime jada piirväärtuse „nõrgemad variandid“ – ülemise ja alumise piirväär-
tuse. Järgmises alapeatükis näeme, et ülemise ja alumise piirväärtuse omadused sarnanevad
piirväärtuse omadustele (monotoonsus, aditiivsus jms.). Ülemise ja alumise piirväärtuse põ-
hiline eelis on, et nad on alati olemas (olgu siis reaalarvulised või lõpmatud), seega nendega
töötamisel langeb ära vajadus käsitleda juhtumeid, kui „piirväärtus puudub“. Definitsioon. Olgu (xn) = (xn)∞ n=1 ülalt tõkestatud arvjada. Piirväärtust lim n→∞ sup k>n xk (2.17)

44 2 Arvjadad nimetatakse jada (xn) ülemiseks piirväärtuseks (upper limit, верхний предел) ja tähistatakse
sümboliga lim n→∞ xn või lim sup n→∞ xn: lim n→∞ xn := lim sup n→∞ xn := lim n→∞ sup k>n xk. (2.18) Märgime, et piirväärtus (2.17) eksisteerib, sest (1) jada (xn) ülalt tõkestatuse tõttu eksisteerib iga n ∈ N korral lõplik ülemine raja sup k>n xk (selgitage!)z; (2) arvjada
sup k>n xk
∞ n=1 on kahanev ja seega eksisteerib tal (lõplik või lõpmatu) piirväärtus (miks?)z. Juhime tähelepanu, et ülalt tõkestatud arvjada (xn)∞ n=1 puhul saab tema ülemine piirväärtus (2.18) olla kas lõplik (s.t reaalarvuline) või −∞. Ülalt tõkestamata arvjada (xn)∞ n=1 puhul defineerime lim n→∞ xn := lim sup n→∞ xn := ∞. Arvjada alumine piirväärtus defineeritakse analoogiliselt tema ülemise piirväärtusega.
Definitsioon. Olgu (xn) = (xn)∞ n=1 alt tõkestatud arvjada. Piirväärtust lim n→∞ inf k>n xk (2.19) nimetatakse jada (xn) alumiseks piirväärtuseks (lower limit, нижний предел) ja tähistatakse
sümboliga lim inf n→∞ xn või lim n→∞ xn: lim n→∞ xn := lim inf n→∞ xn := lim n→∞ inf k>n xk. (2.20) (Selgitage, miks piirväärtus (2.19) eksisteerib!)z Juhime tähelepanu, et alt tõkestatud arvjada (xn)∞ n=1 puhul saab tema alumine piirväärtus (2.20) olla kas lõplik (s.t reaalarvuline) või ∞. Alt tõkestamata arvjada (xn)∞ n=1 puhul defineerime lim n→∞ xn := lim inf n→∞ xn := −∞. Järgnevalt on meie eesmärgiks seostada ülemise ja alumise piirväärtuse mõiste osapiir- väärtuste hulgaga. Osutub, et osapiirväärtuste hulgas leidub suurim ja vähim element (see
võib-olla ka ∞ või −∞), kusjuures jada suurim osapiirväärtus on jada ülemine piirväärtus ning jada vähim osapiirväärtus on tema alumine piirväärtus. Vaatame kõigepealt läbi üht tüüpi lõpmatu erijuhu.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 45 Lemma 2.21 Järgmised väited on samaväärsed. (i) lim n→∞ xn = ∞, (ii) lim n→∞ xn = ∞, (iii) jada (xn) iga osajada piirväärtus on ∞. Järgmised väited on samaväärsed. (i’) lim n→∞ xn = −∞, (ii’) lim n→∞ xn = −∞, (iii’) jada (xn) iga osajada piirväärtus on −∞. Tõestus. Väide (ii)⇔(iii) on ilmne (selgitage!)z. Tõestame, et (i)⇒(ii). Iga n ∈ N korral xn > inf k>n xk, seega, arvestades, et lim n→∞ inf k>n xk = lim n→∞ xn = ∞, kehtib ka lim n→∞ xn = ∞ (miks?)z. Tõestame, et (ii)⇒(i). Fikseerime arvu E > 0. Eelduse lim n→∞ xn = ∞ tõttu leidub indeks N ∈ N nii, et iga n ∈ N korral n > N ⇒ xn > 2E ⇒ > 2E > E (selgitage!)z. Oleme saanud, et lim n→∞ xn = lim n→∞ inf k>n xk = ∞. Väidete (i’)⇔(ii’)⇔(iii’) tõestus on analoogne. Teoreem 2.22 (a) Iga arvjada osapiirväärtuste hulgas on olemas suurim, kusjuures see suurim osapiirväärtus on võrdne selle jada ülemise piirväärtusega. Niisiis, jada ülemine
piirväärtus on selle jada suurim osapiirväärtus. (b) Iga arvjada osapiirväärtuste hulgas on olemas vähim, kusjuures see vähim osapiirväär- tus on võrdne selle jada alumise piirväärtusega. Niisiis, jada alumine piirväärtus on
selle jada vähim osapiirväärtus. Tõestus. Olgu (xn) = (xn)∞ n=1 suvaline arvjada. (a). Tähistame A := lim n→∞ xn. Väite tõestuseks piisab näidata, et (1) jada (xn) suvalise piirväärtust omava osajada (xn k ) ∞ k=1 korral lim k→∞ xn k 6 A;

46 2 Arvjadad (2) leidub jada (xn) osajada (xn k ) ∞ k=1, mille korral lim k→∞ xn k = A. Vaatleme eraldi juhtusid, kus A = ∞, A ∈ R ja A = −∞. Juhtum A = ∞. Olgu A = ∞, s.t jada (xn) on ülalt tõkestamata. Ilmselt eeldusel, et eksisteerib lim k→∞ xn k , kehtib lim k→∞ xn k 6 ∞. Konstrueerime jada (xn) osajada, mille piirväärtus oleks ∞. Defineerime n1 := 1 ning, edasi, kui mingi naturaalarvu k > 2 korral on defineeritud naturaalarv nk−1, siis, arvestades, et jada (xn) ülalt tõkestamatuse tõttu hulk xn : n > nk−1 on ülalt tõkestamata (miks?)z, saame valida naturaalarvu nk > nk−1 nii, et xn k > k. Ilmselt rahuldab selliselt konstrueeritud osajada (xn k ) ∞ k=1 tingimust lim k→∞ xn k = ∞ = A. Juhtum A ∈ R. (1). Olgu (xn k ) ∞ k=1 jada (xn) osajada, millel on olemas piirväärtus. Iga k ∈ N korral xn k 6 sup m>k xm (sest nk > k), järelikult jada piirväärtuse monotoonsuse tõttu (vt. omadust 2.4) lim k→∞ xn k 6 lim k→∞ sup
m>k xm = lim n→∞ xn = A. (2). Defineerime n1 := 1 ning, edasi, kui mingi naturaalarvu k > 2 korral on defineeritud naturaalarv nk−1, siis, arvestades, et A = lim n→∞ xn = lim n→∞ sup k>n xk, saame leida naturaalarvu Lk > nk−1 (kuidas leiame?)z nii, et sup m>Lk xm > A − 1 k , niisiis saame me leida naturaalarvu nk > Lk > nk−1 nii, et xn k > A − 1 k (selgitage nk leidmist!)z. Nüüd iga k ∈ N, k > 2, korral (arvestades, et nk > k) A − 1 k < xn k 6 sup m>k xm; niisiis, arvestades, et eksisteerivad piirväärtused lim k→∞
A − 1 k
= A ja lim k→∞ sup m>k xm = lim n→∞ xn = A, eksisteerib (omaduse 2.7 põhjal) ka piirväärtus lim k→∞ xn k = A. Juhtum A = −∞. See juhtum on lemmaga 2.21 analoogne (selgitage!)z. Väide (b) tõestatakse analoogselt väitega (a) (iseseisvalt!)z.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 47 Märkus. Teoreemi 2.22 osa (2) juures võib arutleda ka nii: kuna A − 1
k Lk xm < A + 1
k , siis valime nk > Lk nii, et xn k ∈ A − 1 k , sup m>Lk xm ! . Seega A − 1 k < xn k < A + 1 k ning rakendame keskmise muutuja omadust (vt. omadus 2.7). 2.3.3 Ülemise ja alumise piirväärtuse omadused Teoreem 2.22 võimaldab jada ülemist ja alumist piirväärtust arvutada kahes keeles – üle-
mise/alumise raja keeles ja osajadade keeles. Kõiki järgmisi omadusi saab tõestada mõlemas
keeles. Omadus 2.23 Olgu (xn) ja (yn) tõkestatud jadad, kusjuures iga n ∈ N korral xn 6 yn. Siis lim n→∞ xn 6 lim n→∞ yn, lim n→∞ xn 6 lim n→∞ yn. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.24 Olgu (xn) tõkestatud jada. Kui c > 0, siis lim n→∞ (cxn) = c · lim n→∞ xn, lim n→∞ (cxn) = c · lim n→∞ xn; kui c < 0, siis lim n→∞ (cxn) = c · lim n→∞ xn, lim n→∞ (cxn) = c · lim n→∞ xn. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.25 Olgu (xn) ja (yn) tõkestatud jadad. Siis lim n→∞ xn + lim n→∞ yn 6 lim n→∞ (xn + yn), lim n→∞ (xn + yn) 6 lim n→∞ xn + lim n→∞ yn. Tõestame ainult esimese võrratuse, teise võrratuse tõestus on analoogiline.
Tõestus „sup/inf keeles“. Jadad (xn) ja (yn) on alt tõkestatud, seega ka (xn + yn) on alt tõkestatud (miks?)z, mistõttu nende kõigi jadade alumised piirväärtused on reaalarvud. Märgime un := inf k>n xk ja vn := inf k>n yk. Siis kehtib iga n ∈ N korral võrratus un + vn 6 (2.21) Tõepoolest, iga k > n korral xk > un ja yk > vn, seega un + vn on hulga {xk + yk : k > n} mingi alumine tõke.

48 2 Arvjadad Minnes nüüd võrratuses (2.21) piirile n → ∞, saame piirväärtuse monotoonsuse (vt. omadust 2.4) kohaselt, et lim n→∞ xn + lim n→∞ yn = lim n→∞ un + lim n→∞ vn = lim n→∞ (un + vn) 6 6 lim n→∞ = lim n→∞ (xn + yn) (selgitage detaile!)z. Tõestus „osajadade keeles“. Olgu jada (xn + yn) osajada (xn k + ynk ) ∞ k=1 selline, et lim k→∞ (xn k + ynk ) = lim n→∞ (xn + yn) (miks osajada leidub?)z. Kuna jada (xn k ) on tõkestatud, siis tal leidub Bolzano–Weierstrassi teoreemi (vt. teoreemi 2.14) kohaselt koonduv osajada
xn kj
∞ j=1 . Et yn kj = (xn kj + ynkj ) − xnkj , siis ka
yn kj
on koonduv jada (selgitage!)z. Kokkuvõttes jada piirväärtuse monotoonsuse tõttu (vt. omadust 2.4) kehtib lim n→∞ xn + lim n→∞ yn 6 lim j→∞ xn kj + lim j→∞ yn kj = lim j→∞ (xn kj + ynkj ) = lim n→∞ (xn + yn). Teoreem 2.26 Arvjadal (xn)∞ n=1 eksisteerib piirväärtus parajasti siis, kui selle jada alumine ja ülemine piirväärtus on võrdsed: lim n→∞ xn = lim n→∞ xn. (2.22) Seejuures on selle jada piirväärtus võrdne tema alumise ja ülemise piirväärtuse ühise väär-
tusega: lim n→∞ xn = lim n→∞ xn = lim n→∞ xn. (2.23) Tõestus. Tarvilikkus. Eksisteerigu piirväärtus lim n→∞ xn. Teoreemi 2.22 põhjal leiduvad jada (xn) osajadad (xk n ) ∞ n=1 ja (xln ) ∞ n=1 nii, et lim n→∞ xk n = lim n→∞ xn ja lim n→∞ xl n = lim n→∞ xn. Omaduse 2.12(b) põhjal on jada (xn) kõik osapiirväärtused võrdsed selle jada enda piirväär-
tusega, seega lim n→∞ xn = lim n→∞ xk n = lim n→∞ xn = lim n→∞ xl n = lim n→∞ xn, s.t võrdused (2.22) ja (2.23) kehtivad. Piisavus. Kehtigu võrdus (2.22). Kuna iga n ∈ N korral inf k>n xk 6 xn 6 sup k>n xk, kusjuures piirväärtused lim n→∞ inf k>n xk = lim n→∞ xn ja lim n→∞ sup k>n xk = lim n→∞ xn eksisteerivad ning on tingimuse (2.22) põhjal võrdsed, siis keskmise muutuja omaduse (vt. omadust 2.7) põhjal
eksisteerib ka piirväärtus lim n→∞ xn, kusjuures kehtib (2.23).

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 49 Märkus. Teoreemi 2.26 valguses on lause 2.20 kehtivus ilmne: koonduvus ehk reaalarvulise piirväär- tuse olemasolu tähendab ülemise ja alumise piirväärtuse võrdumist ehk seda, et osapiirväärtuste hulk on
ühe-elemendiline. Järgnevad kaks lauset selgitavad ülemise ja alumise piirväärtuse mõistete geomeetrilist sisu. Lause 2.27 Olgu (xn) tõkestatud jada. Võrdus a = lim n→∞ xn kehtib parajasti siis, kui iga ε > 0 puhul arv a rahuldab võrratust xn > a − ε lõpmata paljude jada liikmete xn korral (2.24) ja võrratust xn > a + ε vaid lõpliku arvu jada liikmete xn korral. (2.25) Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et arv a on jada (xn) suurim osapiirväärtus, olgu ε suvaline positiivne arv. Punkti a ümbruses Uε (a) on lõpmata palju jada (xn) liikmeid, seega kehtib tingimus (2.24). Oletame
vastuväiteliselt, et tingimus (2.25) ei ole täidetud. Siis eksisteerib osajada (xn k ), mille kõik liikmed on suuremad kui a+ε. Bolzano-Weierstrassi teoreemi kohaselt sisaldab jada (xn k ) koonduva osajada
xn ki
, tähistame tähega c tema piirväärtuse. Kuna
xn ki
on ka esialgse jada (xn) osajada, siis on c jada (xn) osapiirväärtus. Seejuures võrratusest xn ki > a + ε tuleneb tingimus a < a + ε 6 c (põhjendada!)z, mis on vastuolus eeldusega a = lim n→∞ xn. Niisiis, eeldusest a = lim n→∞ xn järelduvad tingimused (2.24) ja (2.25). Piisavus. Olgu tingimused (2.24) ja (2.25) täidetud suvalise ε > 0 puhul, siis punkti a ümbruses Uε (a) on lõpmata palju jada (xn) liikmeid (põhjendada!)z. See tähendab, et arv a on jada (xn) osapiirväärtus.
Seejuures ükski punkt c > a ei saa osapiirväärtus olla: kui võtame ε := 1 2 (c − a), siis punkti c ümbruses Uε (c) on vaid lõplik arv jada (xn) liikmeid. Tähendab, a = lim n→∞ xn. Analoogiliselt eelnevaga tõestatakse ka järgmine lause (iseseisvalt!)z. Lause 2.28 Olgu (xn) tõkestatud jada. Võrdus b = lim n→∞ xn kehtib parajasti siis, kui iga ε > 0 puhul arv b rahuldab võrratust xn < b + ε lõpmata paljude jada liikmete xn korral ja võrratust xn < b − ε vaid lõpliku arvu jada liikmete xn korral. 2.4 Aritmeetilised ja kaalutud keskmised. Stolzi teoreem 2.4.1 Aritmeetilised keskmised Olgu (xk) mingi arvjada, moodustame uue jada (zn) tema liikmete aritmeetilistest keskmistest z1 := x1, z2 := x1 + x2 2 , z3 := x1 + x2 + x3 3 , . . . , zn := x1 + x2 + . . . + xn n , . . . , s.t. (zn) = 1 n n X k=1 xk ! n∈N . Esitame kaks küsimust.

50 2 Arvjadad 1. Kui jada (xk) on koonduv, kas siis koondub ka jada (zn)?
2. Kas jada (zn) koonduvusest järeldub jada (xk) koonduvus? Esimesele küsimusele annab positiivse vastuse järgmine lause. Lause 2.29 (Cauchy piirväärtusteoreem). Kui lim k→∞ xk = a , siis lim n→∞ 1 n (x1 + . . . + xn) = a. Tõestus. (1) Näitame kõigepealt, et väide kehtib juhul a = 0. Olgu ε > 0. Kuna xk → 0, siis leidub selline m ∈ N, et |xk| < ε
2 iga k > m korral. Seega iga n > m + 1 korral |xm+1 + . . . + xn| n − m 6 |xm+1| + . . . + |xn| n − m < (n − m) ε
2 n − m = ε
2 , millest tuleneb, et |xm+1 + . . . + xn| n < |xm+1 + . . . + xn| n − m < ε
2 (n > m) . Teisalt, kuna m on fikseeritud, siis lim n→∞ |x1+...+xm| n = 0 (selgitada!)z. Järelikult saab valida sellise indeksi l, et | x1+...+xm| n < ε 2 iga n > l korral. Niisiis, kui n > N := , siis |x1 + . . . + xn| n 6 | x1 + . . . + xm | n + |xm+1 + . . . + xn| n < ε
2 + ε
2 = ε, s.t. lim n→∞ x1+...+xn n = 0. (2) Üldjuhul, kui xk → a, kus a on suvaline reaalarv, siis xk − a → 0 ja tõestuse esimese osa põhjal x1 + . . . + xn n − a = (x1 − a) + . . . + (xn − a) n → 0, s.t. lim n→∞ x1+...+xn n = a. Vastus teisele küsimusele on eitav, see selgub järgmisest näitest.
Näide 2.4. Vaatleme jada
( −1) k
, s.t. x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, . . .. Kuna sellel jadal on kaks osapiirväärtust lim k→∞ x2k = 1 ja lim k→∞ x2k−1 = −1 (selgitada!)z, siis lause 2.20 kohaselt ta hajub. Samal ajal zn = x1 + x2 + . . . + xn n = ( −1) + 1 + . . . + (−1) n n =
− 1 n , kui n = 2i − 1, 0, kui n = 2i (i ∈ N) , seega lim n→∞ zn = 0. Cauchy piirväärtusteoreemiga analoogiline väide kehtib ka positiivsete liikmetega jada (xk) geomeet- riliste keskmiste z1 := x1, z2 := √ x1x2, . . . , zn := n √ x1x2 . . . xn, . . . korral.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 51 Lause 2.30 Kui xk > 0 iga k ∈ N korral ja lim k→∞ xk = a, siis lim n→∞ n √ x1x2 . . . xn = a. Tõestus. Kõigepealt märgime, et a > 0 (põhjendada!)z. Vaatleme algul juhtu a > 0. Allpool tõestame, et logaritmfunktsioon on pidev (vt. alaptk. 3.4.3), seetõttu eeldusest xk → a järeldub, et
ln xk → ln a (selgitada!)z. Seega lause 2.29 põhjal αn := ln zn = ln x1 + ln x2 + . . . + ln xn n → ln a (n → ∞) . Eksponentfunktsiooni pidevust (vt. alaptk. 3.4.2) kasutades saame, et zn = e αn → elna = a (n → ∞) (selgitada!)z. Juhul a = 0 kasutame võrratust n √ x1x2. . . xn 6 1 n (x1+ . . . + xn) (vrd. lause 1.32), millest tänu lausele 2.29 saame, et lim n→∞ n √ x1x2 . . . xn = 0. 2.4.2 Kaalutud keskmised ja Stolzi teoreem Aritmeetiliste keskmiste üldistusena vaadeldakse antud jada kaalutud keskmisi. Nende defineerimiseks
fikseeritakse nn. kaalude jada (pk), kusjuures eeldatakse, et pk > 0 ja Pn:= p1+p2+ . . . + pn → ∞. Jada (xk) jaoks defineeritakse tema kaalutud keskmiste jada (zn) seosega zn := 1 Pn n X k=1 pkxk. Selle definitsiooni kohaselt on aritmeetilised keskmised kaaluga 1, s.t. pk= 1 iga k ∈ N korral. Kaalutud keskmiste puhul kehtib järgmine lausega 2.29 analoogiline väide. Lause 2.31 Kui lim k→∞ xk = a, siis lim n→∞ p1x1+p2x2+...+pnxn Pn = a. Tõestus. Iseseisvalt!z. (Tõestus kordab lause 2.29 tõestust.) Kaalutud keskmiste abil saab anda lihtsa tõestuse järgmisele lausele. Lause 2.32 (Stolzi teoreem). Olgu (vk) tõkestamata rangelt kasvav positiivsete arvude jada. Kui
(uk) on selline jada, et lim k→∞ uk − uk−1 vk − vk−1 = a, siis lim k→∞ uk vk = a.

52 2 Arvjadad Tõestus. Olgu u0 := v0 := 0, võtame lauses 2.31 pk := vk − vk−1. Siis pk > 0 ja Pn → ∞ (kontrollida!)z ning lausest 2.31 järeldub, et un vn = p1 u1−u0 v1−v0 + p2 u2−u1 v2−v1 + . . . + pn un−un−1 vn−vn−1 Pn → a. Lause on tõestatud. Stolzi teoreemi rohkearvulistest rakendustest toome järgmise näite. Näide 2.5. Leida piirväärtus lim k→∞ 1r + 2r + . . . + kr kr+1 , kus r on mingi naturaalarv. Rakendame lauset 2.32, võttes selles uk := 1r + 2r + . . . + kr ja vk := kr+1, siis uk − uk−1 = kr ja vk − vk−1 = k r+1 − (k − 1) r+1. Lause 2.32 põhjal lim k→∞ 1r + 2r + . . . + kr kr+1 = lim k→∞ kr kr+1 − (k − 1) r+1 . Kuid Newtoni binoomvalemi kohaselt (k − 1) r+1 = kr+1 − (r + 1) kr + . . . + (−1)r+1 , kust kr+1 − (k − 1) r+1 = (r + 1) kr + . . . + (−1)r iga k ∈ N korral. Saame, et lim k→∞ kr kr+1 − (k − 1) r+1 = lim k→∞ kr (r + 1) kr + . . . + ( −1) r = 1 r + 1 , niisiis, lim k→∞ 1r+2r+...+kr kr+1 = 1 r+1 . Märkus. Arvutades Riemanni integraali funktsioonist f (x) = xr lõigus [0, 1] kahel viisil – integraal- summade piirväärtusena ja Newton–Leibnizi valemi abil –, saame alternatiivse viisi näites 2.5 toodud
piirväärtuse arvutamiseks (vt. ptk. 5).

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 53 3 Pidevad funktsioonid 3.1 Funktsiooni piirväärtus Definitsioon. Ütleme, et arv a ∈ R on 1) hulga D ⊆ R sisepunkt (interior point, внутренная точка) (kirjutame a ∈ Do), kui leidub selline ρ > 0, et (a − ρ, a + ρ) ⊆ D, 2) hulga D ⊆ R isoleeritud punkt, kui a ∈ D ja (a − σ, a + σ) ∩ D = {a} mingi σ > 0 korral, 3) hulga D ⊆ R kuhjumispunkt (limit point, предельная точка), kui iga ρ > 0 korral sisaldab punkti a ümbrus (a − ρ, a + ρ) lõpmata palju hulga D punkte. Paneme tähele, et • hulga kõik sisepunktid on tema kuhjumispunktid (selgitage!)z, kuid vastupidine väide on väär (tooge näide!)z,
• isoleeritud punkt ei saa olla kuhjumispunkt (selgitage!)z,
• arv a on hulga D kuhjumispunkt parajasti siis, kui punkti a iga ümbrus (a − ρ, a + ρ) sisaldab vähemalt ühe a-st erineva hulga D punkti (tõestage!)z,
• arv a on hulga D kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline jada (xn), et xn ∈ D {a} ning xn → a (tõestage!)z. Näide 3.1. Hulga D := 1 n | n ∈ N ∪ [1, 2] sisepunktideks on parajasti kõik vahemiku (1, 2) punktid, lisaks neile on kuhjumispunktid veel 0, 1 ja 2. Arvud 1 n , kus n = 2, 3, . . ., on isoleeritud punktid (põhjendada!)z. Definitsioon. Olgu a ∈ R hulga D kuhjumispunkt. Ütleme, et arv A on funktsiooni f : D → R piirväärtus punktis a (ütleme ka piirväärtus kohal a), ja tähistame lim x→a f (x) = A, kui ∀ε > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, 0 < |x − a| < δ] ⇒ |f (x) − A| < ε. (3.1) y x 0 y = f (x) a a − δ a + δ A A + ε A − ε Joonis 3.1: Funktsiooni piirväärtus. See on funktsiooni piirväärtuse definitsioon ε-δ-keeles (vrd. joonis 3.1). Juhime luge- ja tähelepanu kahele asjaolule. Esiteks, eeldus, et a on määramispiirkonna D kuhjumispunkt,
on oluline, sest kui mingi δ > 0 puhul Uδ (a) ∩ D = ∅, siis tingimuses (3.1) on implikat- siooni eeldust rahuldavate argumendi väärtuste hulk tühi ning formaalselt on tingimus (3.1)

54 3 Pidevad funktsioonid täidetud suvalise A ∈ R korral. Teiseks, nõue 0 < |x − a| (s.t. x 6= a) tingimuses (3.1) on vajalik ja asjakohane, kui a ∈ D, vastasel juhul sõltuks piirväärtuse olemasolu funktsiooni väärtusest kohal a (selgitada!)z. Ühepoolsed piirväärtused. Definitsioon. (a) Olgu a ∈ R hulga D ∩ (−∞, a) kuhju- mispunkt. Ütleme, et arv A on funktsiooni f vasakpoolne piirväärtus punktis a, ning tähis-
tame lim x→a− f (x) = A, kui ∀ε > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, 0 < a − x < δ] ⇒ |f (x) − A| < ε. (b) Olgu a ∈ R hulga D ∩(a, ∞) kuhjumispunkt. Ütleme, et arv A on funktsiooni f : D → R parempoolne piirväärtus punktis a, ning tähistame lim x→a+ f (x) = A, kui ∀ε > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, 0 < x − a < δ] ⇒ |f (x) − A| < ε. y x 0 y = f (x) y = f (x) a a − δ1 a + δ2 A A − ε1 A + ε1 B B + ε2 B − ε2 Joonis 3.2: Ühepoolsed piirväärtused. Näite sellest, et funktsiooni ühepoolsed piirväärtused antud punktis võivad olla erinevad, saame, kui vaatleme seosega sgnx :=    1, kui x > 0, 0, kui x = 0, −1, kui x < 0, määratud signum-funktsiooni, nimelt kehtivad võrdused lim x→0− sgnx = −1 ning lim x→0+ sgnx = 1 (veenduda!)z. Olgu a ∈ R mõlema hulga D ∩ (−∞, a) ja D ∩ (a, ∞) kuhjumispunkt. Vahetu kontroll näitab (veenduda!)z, et sel juhul lim x→a f (x) = A parajasti siis, kui lim x→a− f (x) = lim x→a+ f (x) = A. (3.2) Lõpmatud piirväärtused ja piirväärtused lõpmatuspunktides. Definitsioon. Ol- gu a ∈ R hulga D kuhjumispunkt. Funktsiooni f : D → R korral kirjutame lim x→a f (x) = ∞, kui ∀M > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, 0 < |x − a| < δ] ⇒ f (x) > M.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 55 Analoogiliselt defineeritakse lim x→a f (x) = −∞, samuti lõpmatud ühepoolsed piirväärtused kohal a (iseseisvalt!)z. Definitsioon. Olgu D ⊆ R selline hulk, et iga N > 0 puhul leidub x ∈ D omadusega1 x > N. Arvu A nimetatakse funktsiooni f : D → R piirväärtuseks protsessis x → ∞ ning tähistatakse lim x→∞ f (x) = A, kui ∀ε > 0 ∃M ∈ R : [x ∈ D, x > M] ⇒ |f (x) − A| < ε. Analoogiliselt defineeritakse lim x→−∞ f (x) = A (iseseisvalt!)z. Piirväärtuste kirjeldamisel koonduvate jadade abil on aluseks järgmine lause. Lause 3.1 (piirväärtuse Heine kriteerium). Olgu a ∈ R hulga D kuhjumispunkt. Arv
A on funktsiooni f : D → R piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga arvuks a koonduva argumendi väärtuste jada (xk) korral, kus xk 6= a (k ∈ N), funktsiooni väärtuste jada (f (xk)) koondub arvuks A. Teisisõnu, lim x→a f (x) = A parajasti siis, kui kehtib implikatsioon [xk ∈ D {a} (k ∈ N) , xk → a] ⇒ f (xk) → A. (3.3) Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et lim x→a f (x) = A, olgu (xk) selline hulga D {a} punk- tide jada, mis koondub arvuks a. Kuna a on hulga D kuhjumispunkt, siis selliseid jadasid
leidub. Meie eesmärgiks on näidata, et f (xk) → A. Olgu ε > 0 suvaline, leiame δ > 0 vastavalt tingimusele (3.1), s.t. |f (x) − A| < ε, kui x ∈ D ja 0 < |x − a| < δ. Kuna xk → a, siis saame fikseerida sellise N ∈ N, et
0 < |xk − a| < δ kõikide k > N puhul. Tingimuse (3.1) põhjal |f (xk) − A| < ε iga k > N korral, seega f (xk) → A. Piisavus. Eeldame, et implikatsioon (3.3) kehtib, ja oletame vastuväiteliselt, et A ei ole funktsiooni f piirväärtus punktis a, s.t. tingimus (3.1) ei kehti. Sel juhul ∃ε0 > 0 ∀δ > 0 ∃xδ ∈ D : 0 < |xδ − a| < δ, |f (xδ) − A| > ε0 (3.4) (veenduda, et see on tingimuse (3.1) eitus!z). Iga k ∈ N puhul saame arvu δ := 1 k jaoks valida punkti xk ∈ D vastavalt tingimusele (3.4), s.t. 0 < |xk − a| < 1 k ja |f (xk) − A| > ε0. Kui k → ∞, siis xk → a (selgitada!)z, kuid f (xk) 9 A (põhjendada!)z, nii saame vastuolu eeldusega (3.3). Järelikult lim x→a f (x) = A. Lihtne on tõestada lausega 3.1 analoogilised väited funktsiooni f : D → R vasak- ja parempoolse piirväärtuse jaoks, samuti piirväärtuste jaoks lõpmatuspunktides. Järgnevad
väited jäävad lugejale iseseisvalt tõestada:
• kui a ∈ R on hulga D ∩ (−∞, a) kuhjumispunkt, siis lim x→a− f (x) = A ⇔ [(xk ∈ D, xk < a (k ∈ N) , xk → a) ⇒ f (xk) → A] ; (3.5) 1Sel juhul öeldakse, et lõpmatuspunkt ∞ on hulga D kuhjumispunkt. See on põhjendatud, kui pidada silmas, et intervalle (N, ∞) nimetatakse lõpmatuspunkti ∞ ümbrusteks.

56 3 Pidevad funktsioonid • kui a ∈ R on hulga D ∩ (a, ∞) kuhjumispunkt, siis lim x→a+ f (x) = A ⇔ [(xk ∈ D, xk > a (k ∈ N) , xk → a) ⇒ f (xk) → A] ; (3.6) • kui hulk D ei ole ülalt tõkestatud, siis lim x→∞ f (x) = A ⇔ [(xk ∈ D (k ∈ N) , xk → ∞) ⇒ f (xk) → A] ; • kui hulk D ei ole alt tõkestatud, siis lim x→−∞ f (x) = A ⇔ [(xk ∈ D (k ∈ N) , xk → −∞) ⇒ f (xk) → A] . Piirväärtusega seotud omadused. Heine kriteerium võimaldab eespool tõestatud jadade piirväärtuse omadused (vt. alapunktid 2.1.1 – 2.1.3) kanda üle funktsiooni piirväär-
tustele. Olgu järgnevas f, g ja h hulgas D ⊆ R määratud funktsioonid ja olgu a hulga D kuhjumispunkt. Omadus 3.2 Funktsiooni piirväärtus antud punktis on üheselt määratud: kui lim x→a f (x) = A ja lim x→a f (x) = B, siis A = B. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 3.3 Kui lim x→a f (x) = A, siis leidub punktil a selline ümbrus Uδ (a), et funktsioon f on hulgas Uδ (a) ∩ D tõkestatud. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 3.4 Kui lim x→a f (x) = 0 ja funktsioon g on tõkestatud punkti a mingis ümbruses2 Uδ (a), siis lim x→a f (x) g (x) = 0. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 3.5 Olgu punktil a selline ümbrus Uδ (a), et f (x) 6 g (x) iga x ∈ Uδ (a) ∩ D \ {a} korral. Kui lim x→a f (x) = A ja lim x→a g (x) = B, siis A 6 B. Tõestus. Eeldame, et 1) lim x→a f (x) = A, 2) lim x→a g (x) = B, 3) f (x) 6 g (x) iga x ∈ Uδ (a) ∩ D \ {a} korral. Meie eesmärgiks on veenduda, et A 6 B. Olgu (xk) selline jada, et xk ∈ D {a} ning xk → a. Siis leidub N ∈ N, et xk ∈ Uδ (a) iga k > N korral, seega f (xk) 6 g (xk) , kui k > N. Eeldustest 1) ja 2) saame tänu Heine kriteeriumile, et f (xk) → A ja g (xk) → B. Rakendades jadadele (f (xk)) ja (g (xk)) omadust 2.4, saamegi võrratuse A 6 B. 2S.t. {f (x) | x ∈ Uδ (a) ∩ D} on tõkestatud hulk.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 57 Omadus 3.6 Olgu punktil a selline ümbrus Uδ (a), et f (x) 6 h (x) 6 g (x) iga x ∈ Uδ (a) ∩
D \ {a} korral. Kui lim x→a f (x) = lim x→a g (x) = A, siis lim x→a h (x) = A. Tõestus. Iseseisvalt!z Funktsioonidest f : D → R ja g : D → R lähtudes defineerime uued funktsioonid f ± g : D → R, x 7→ f (x) ± g (x) , λf : D → R, x 7→ λf (x) (λ ∈ R) , f g : D → R, x 7→ f (x) g (x) , f g : D → R, x 7→ f (x) g (x) (eeldusel, et g (x) 6= 0 iga x ∈ D korral). Nende puhul kehtivad järgmised väited. Omadus 3.7 Kui lim x→a f (x) = A ja lim x→a g (x) = B, siis (a) lim x→a (f (x) ± g (x)) = A ± B, (b) lim x→a λf (x) = λA, (c) lim x→a f (x) g (x) = AB, (d) lim x→a f (x) g(x) = A
B (eeldusel, et B 6= 0). Tõestus. Tõestame väite (c), ülejäänud väited tõestatakse analoogiliselt. Olgu (xk) selli- ne jada, et xk ∈ D {a} ja xk → a. Heine kriteeriumi põhjal piisab väite (c) tõestuseks näi- data, et fg (xk) → AB. Kuna lim x→a f (x) = A ja lim x→a g (x) = B, siis f (xk) → A ja g (xk) → B, omaduse 2.9(b) kohaselt fg (xk) = f (xk) g (xk) → AB. Omaduste 3.2 – 3.7 tõestused on lihtsalt ülekantavad nii ühepoolsete piirväärtuste juhule kui ka piirväärtustele lõpmatuspunktis. Landau sümbolid. Kahe funktsiooni võrdlemiseks mingis protsessis on kasutusel Landau sümbolid ehk O-notatsioon. Olgu ∞ hulga D kuhjumispunkt, olgu α ja β mingid funktsioo- nid määramispiirkonnaga D. Kirjutatakse, et α ∈ O(β), kui ∃K > 0 ∃M > 0: ∀x ∈ D x > M ⇒ |α(x)| 6 K|β(x)|. Sel juhul öeldakse, et α on asümptootiliselt ülalt tõkestatud β-ga (protsessis x → ∞). Kirjutatakse, et α ∈ Θ(β), kui α ∈ O(β) ja β ∈ O(α). Sel juhul öeldakse, et α on asümptootiliselt ülalt ja alt tõkestatud β-ga (protsessis x → ∞). Kirjutatakse, et α ∈ o(β), kui ∀K > 0 ∃M > 0: ∀x ∈ D x > M ⇒ |α(x)| 6 K|β(x)|. Sel juhul öeldakse, et α on β poolt domineeritud (protsessis x → ∞), või kui β(x) → 0, siis, et α on β suhtes kõrgemat järku lõpmata väike.

58 3 Pidevad funktsioonid Lihtne on näha, et α ∈ o(β) on samaväärne asjaoluga, et lim x→∞ α(x)
β(x) = 0. Kirjutatakse, et α ∼ β, kui lim x→∞ α(x)
β(x) = 1. Sel juhul öeldakse, et α ja β on ekvivalentsed (protsessis x → ∞). Analoogiliselt saab Landau sümbolid (tõkestatus ja domineeritus) defineerida ka kõigi teiste protsesside ning ka jada piirväärtuse jaoks. Märkus. Nagu jada piirväärtuse puhul, on võimalik defineerida ka funktsiooni f : D → R ülemine ja alumine piirväärtus, mis vabastavad meid olukorrast, kus piirväärtus puudub: lim x→a f (x) = lim δ→} , lim x→a f (x) = lim δ→} , lim x→∞ f (x) = lim N →∞ , lim x→∞ f (x) = lim N →∞ , lim x→−∞ f (x) = lim N →−∞ , lim x→−∞ f (x) = lim N →−∞ . Need piirväärtused (lõplikud või lõpmatud) eksisteerivad alati tänu monotoonsusprintsiibi pidevale ana-
loogile (vt. lauset 5.28). Funktsiooni ülemise ja alumise piirväärtuse omadused on analoogilised jada
ülemise ja alumise piirväärtuse vastavate omadustega. 3.2 Funktsioooni pidevus Funktsiooni piirväärtuse lim x→a f (x) mõiste defineerimisel lähtutakse seisukohast, et piirväärtu- se olemasolu ning tema väärtus ei tohi sõltuda sellest, kas funktsioon f on kohal a määratud
või mitte. Ammugi ei tohi ta sõltuda funktsiooni väärtusest f (a), kui see eksisteerib. Defi-
nitsioonis (3.1) saavutatakse see (nagu eespool rõhutatud) tingimusega 0 < |x − a|. Näide 3.2. Vaatleme funktsioone f1 : [0, ∞) → R, x 7→ x 2, f2 : [0, ∞) → R, x 7→ x2, kui x 6= 1, 0, kui x = 1, f3 : [0, ∞) \ {1} → R, x 7→ x3 − x 2 x − 1 . Tegemist on kolme erineva funktsiooniga, mis hulgas [0, ∞) \ {1} langevad kokku, seetõttu lim x→1 f1 (x) = lim x→1 f2 (x) = lim x→1 f3 (x) = lim x→1 x2 = 1. Definitsioon. Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks punktis a (ka pidevaks kohal a) (continuous at a, непрерывная в a), kui lim x→a f (x) = f (a) . Kui a ∈ D on hulga D ∩ (−∞, a) või hulga D ∩ (a, ∞) kuhjumispunkt ning kehtib vastavalt võrdus lim x→a− f (x) = f (a) või lim x→a+ f (x) = f (a), siis kõneldakse vastavalt vasakpoolsest ja parempoolsest pidevusest punktis a (left, right continuous at a, непрерывная слева, справа).

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 59 y x 1 0 y = f1(x) y x 1 0 y = f2(x) y x 1 0 y = f3(x) Joonis 3.3: Näide 3.2. Seose (3.2) põhjal on funktsioon f oma määramispiirkonna sisepunktis a pidev parajasti siis, kui ta on selles punktis vasakult ja paremalt pidev (selgitada!)z. Tuleme veel kord tagasi näite 3.2 juurde. Funktsioon f1 on pidev kohal x = 1, kuna lim x→1 f1 (x) = 1 = f (1). Erinevatel põhjustel on funktsioonid f2 ja f3 sel kohal mittepidevad: funktsioon f3 ei ole kohal x = 1 määratud ning lim x→1 f2 (x) = 1 6= 0 = f2 (1). See näide illustreerib hästi pidevuse geomeetrilist sisu: funktsioon f on oma määramispiir- konna sisepunktis a pidev parajasti siis, kui joon y = f (x) (s.t. funktsiooni f graafik) on
punktis (a, f (a)) pidev. Pidades silmas piirväärtuse definitsiooni (3.1), saame pidevuse definitsiooni ε-δ-keeles: olgu a ∈ D, olgu a hulga D kuhjumispunkt, funktsioon f : D → R on pidev punktis a para- jasti siis, kui ∀ε > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ D, |x − a| < δ] ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. (3.7) Kui piirväärtuse definitsioonis (3.1) oli oluline nõuda, et 0 < |x − a|, s.t. x 6= a, siis antud juhul on see nõue üleliigne: kui x = a, siis |f (a) − f (a)| = 0 < ε, seega kehtib implikatsiooni (3.7) väide automaatselt. Märkus. Nõuet, et a oleks funktsiooni f : D → R kuhjumispunkt, abstraktsemates kursustes (funkt- sionaalanalüüs, üldine topoloogia) lihtsuse huvides sageli ei püstitata. Seal piirdutakse nõudega, et a ∈ D. Kuhjumispunkti nõue võimaldab vältida olukorda, kus tingimus |x − a| < δ on alati väär ja seega implikatsioon |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε alati tõene, mistõttu f oleks sellises punktis alati pidev (sõltumata väärtusest f (a) ja funktsiooni f käitumisest). Nii näiteks funktsiooni f : {0} ∪ [1, 2] → R, kus f(x) = 5 iga x ∈ {0} ∪ [1, 2] korral, pidevuse kohta punktis 0 ei saa käesolevas kursuses üldse küsimust esitada, kuna 0 pole hulga {0}∪[1, 2] kuhjumispunkt.
Kui aga loobuda nõudest, et f pidevuse uurimiseks punktis 0 peab 0 olema hulga {0} ∪ [1, 2] kuhjumis-
punkt, on f punktis 0 pidev – tõepoolest, vastavalt antud arvule ε > 0 valime δ = 1 2 ning näeme, et implikatsioon |x| < 1 2 ⇒ |f (x) − f (0)| < ε on iga x ∈ {0} ∪ [1, 2] korral tõene. Järgmine oluline lause on vahetu järeldus lausest 3.1. Lause 3.8 (pidevuse Heine kriteerium). Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt. Funkt- sioon f : D → R on pidev punktis a parajasti siis, kui iga arvuks a koonduva argumendi väärtuste jada (xk) korral funktsiooni väärtuste jada (f (xk)) koondub piirväärtuseks f (a), s.t. kui kehtib implikatsioon [xk ∈ D (k ∈ N) , xk → a] ⇒ f (xk) → f (a) . (3.8)

60 3 Pidevad funktsioonid Lausega 3.8 analoogilised väited kehtivad parempoolse ja vasakpoolse pidevuse jaoks: • eeldusel, et a ∈ D on hulga D ∩ (−∞, a) kuhjumispunkt, on funktsioon f vasakult pidev punktis a parajasti siis, kui kehtib implikatsioon [xk ∈ D (k ∈ N) , a > xk → a] ⇒ f (xk) → f (a) ; • eeldusel, et a ∈ D on hulga D ∩ (a, ∞) kuhjumispunkt, on funktsioon f paremalt pidev punktis a parajasti siis, kui kehtib implikatsioon [xk ∈ D (k ∈ N) , a 6 xk → a] ⇒ f (xk) → f (a) . Tehted pidevate funktsioonidega. Lausest 3.7 järeldub vahetult järgmine väide. Lause 3.9 Olgu funktsioonid f : D → R ja g : D → R pidevad punktis a, siis ka funktsioonid
f + g, λf , f g ja f g on punktis a pidevad (funktsiooni f g puhul eeldame, et g (a) 6= 0). Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 3.10 (liitfunktsiooni pidevus). Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt ning olgu
f : D → R ja ϕ: E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊆ E. Kui f on pidev punktis a ja ϕ on pidev punktis b := f (a) , siis seosega ϕ ◦ f (x) := ϕ (f (x)) (x ∈ D) määratud liitfunktsioon ϕ ◦ f on pidev punktis a. Tõestus. Olgu (xk) selline jada, et xk ∈ D ja xk → a, meie eesmärgiks on näidata, et ϕ ◦ f (xk) → ϕ ◦ f (a) . Funktsiooni f pidevusest punktis a järeldub, et zk := f (xk) → f (a) = b, teiseks järeldub funktsiooni ϕ pidevusest punktis b = f(a) koonduvus ϕ (zk) → ϕ (b). Niisiis,
ϕ ◦ f (xk)) = ϕ (f (xk)) = ϕ (zk) → ϕ (b) = ϕ (f (a)) = ϕ ◦ f (a) . Katkevuspunktide klassifikatsioon. Olgu a hulga D kuhjumispunkt. Kui a / ∈ D või funktsioon f : D → R ei ole punktis a pidev, siis öeldakse, et a on funktsiooni f katkevuspunkt
(point of discontinuity, точка разрыва) . Kui funktsioonil f eksisteerib katkevuspunktis a piirväärtus lim x→a f (x), siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a kõrvaldatav katkevus. Näiteks, funktsioonil x 7→ sinx x on punktis x = 0 kõrvaldatav katkevus (kontrollida!)z. Mõnedes allikates eeldatakse, et lugeja kõrvaldab
katkevuse iseseisvalt, näiteks võidakse kirjutada f : R → R, f(x) = sinx x , ning oodatakse, et sellisest kirjutisest loetakse välja kogu reaalteljel pidev funktsioon f (x) =
sin x x , kui x 6= 0, 1, kui x = 0. Kui funktsioonil f eksisteerivad katkevuspunktis a mõlemad lõplikud ühepoolsed piir- väärtused, kusjuures need ühepoolsed piirväärtused on erinevad, siis kõneldakse esimest liiki
katkevusest, ülejäänud juhtude puhul on tegemist teist liiki katkevusega.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 61 Esimest liiki katkevuse puhul nimetatakse vahet lim x→a+ f (x) − lim x→a− f (x) 6= 0 funktsiooni f hüppeks punktis a. Näiteks funktsiooni x 7→ ⌊x⌋ puhul on kõik arvud n ∈ Z esimest liiki katkevuspunktid hüppega 1 (kontrollida!)z. Funktsiooni pidevus. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on pidev, kui ta on pidev igas punktis x ∈ D. Funktsiooni pidevus antud hulgas. Olgu D1 ⊆ D. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on pidev hulgas D1, kui ahend f|D 1 : D1 → R on pidev. (Teatavasti funktsiooni ahend on defineeritud järgmiselt: f|D 1 (x) = f (x) iga x ∈ D1 korral.) Selle definitsiooni kohaselt on funktsioon f pidev lõigus [a, b] parajasti siis, kui ta on pidev igas punktis x ∈ (a, b), vasakult pidev punktis b ja paremalt pidev punktis a. Märkus. On kiusatus defineerida funktsiooni f : D → R pidevus hulgas D1 ⊆ D järgmise tingimu- sega: ∀x ∈ D1 f on pidev punktis x. (3.9) Ent tingimuse (3.9) korral võib f pidevus hulgas D1 hakata sõltuma tema käitumisest hulgas D \ D1. Näiteks kui D = R ja D1 = [0, 1], on f pidevus punktis 0 mõjustatud ka asjaolust, kuidas f käitub
punktides x < 0 (tooge konkreetseid näiteid!)z. Kui nõutav on ahendi f |D 1 : D1 → R pidevus, siis uurimise all on ainult D1 kuhjumispunktid ning koondumise lim x→a f |D 1 (x) = f |D 1 (a) kontrollimisel kasutatakse ainult D1 punkte, mistõttu f käitumine hulgas D \ D1 ei mõjusta f pidevust hulgas D1. 3.3 Lõigus pideva funktsiooni omadused 3.3.1 Bolzano–Cauchy teoreem nullkohast Teoreem 3.11 (Bolzano–Cauchy teoreem lõigus pideva funktsiooni nullkohast).
Kui lõigus [a, b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides on erinevate märkidega,
siis leidub punkt c ∈ (a, b) omadusega f (c) = 0. Tõestus. Olgu konkreetsuse mõttes f (a) < 0 ja f (b) > 0. Jagame lõigu [a, b] pooleks punktiga a+b 2 . Võib juhtuda, et f a+b 2 = 0, siis on tõestus lõppenud. Kui see nii ei ole, siis kahest lõigust a, a+b 2
ja a+b 2 , b
ühe puhul on funktsioonil f lõigu otspunktides erimärgilised väärtused. Tähistame selle lõigu otspunktid vastavalt tähtedega a1 ja b1, siis f (a1) < 0 ja
f (b1) > 0 (põhjendada!)z. Jagame lõigu [a1, b1] pooleks ning valime (juhul f a1+b1 2 6= 0) samal põhimõttel lõikude a1, a1+b1 2 ja a1+b1 2 , b1 hulgast välja eelislõigu, mille tähistame [a2, b2]. Siis f (a2) < 0 ja f (b2) > 0. Edasi jagame lõigu [a2, b2] punktiga a2+b2 2 võrdseteks osadeks jne. See protsess kas katkeb mingil n-dal sammul (sel juhul f an+bn 2
= 0 ning tõestus on lõppenud) või jätkub lõpmatuseni. Lõpmatu protsessi korral saame üksteisesse
sisestatud lõikude jada [a, b] ⊇ [a1, b1] ⊇ [a2, b2] ⊇ . . . ⊇ [ak, bk] ⊇ . . . , kusjuures f (ak) < 0 ja f (bk) > 0 (3.10) ning lim k→∞ (bk − ak) = lim k→∞ b − a 2k = 0.

62 3 Pidevad funktsioonid Rakendame teoreemi 2.18 sisestatud lõikudest, selle kohaselt on lõikudel [ak, bk] parajasti üks
ühine punkt c, seejuures c = lim k→∞ ak = lim k→∞ bk. Kuna funktsioon f on pidev punktis c, siis Heine kriteeriumi 3.8 kohaselt f (c) = lim k→∞ f (ak) = lim k→∞ f (bk). Seejuures saame tingimustest (3.10) koonduvate jadade omadust 2.5 rakendades, et f (c) = lim k→∞ f (ak) 6 0 ja f (c) = lim k→∞ f (bk) > 0, niisiis f (c) = 0. Tõestatud teoreemi geomeetriline tähendus selgub järgmisest väitest. Järeldus 3.12 Kui lõigus pideva funktsiooni graafiku otspunktid asuvad teine teisel pool
x-telge, siis graafik lõikab x-telge vähemalt ühes punktis. Teoreemil 3.11 on ka rakenduslik väärtus, teda saab kasutada võrrandi lahendi olemasolu tõestamisel ja ka ligikaudse lahendi leidmisel. Näide 3.3. Vaatleme n-astme algebralist võrrandit f (x) := a0xn +a1xn−1 +. . .+an = 0, eeldame, et n on paaritu arv. Kirjutades funktsiooni f ümber kujul f (x) = xn
a0 + a1 x + a2
x2 + . . . + an
xn
, on lihtne näha, et kui võtta x küllalt suur, siis arvu f (x) märk on sama, mis kordaja a0
märk, aga kui x on küllalt väike negatiivne arv, siis on väärtusel f (x) vastupidine märk
(veenduda!)z. Seega saab fikseerida a ja b nii, et f (a) ja f (b) on erimärgilised. Teoreemi
3.11 põhjal on vaadeldaval võrrandil olemas lahend. Näide 3.4. Vaatleme võrrandit f (x) := x4 − x − 1 = 0 ja paneme tähele, et f (1) = −1 ning f (2) = 13. Teoreemi 3.11 põhjal on sel võrrandil vahe- mikus (1, 2) vähemalt üks lahend. Jagame lõigu [1, 2] kümneks võrdseks osaks ja arvutame
funktsiooni väärtuse neis jaotuspunktides: f (1,1) = −0,63 . . . ; f (1,2) = −0,12 . . . ; f (1,3) = 0,55 . . . . Seega peab üks lahend paiknema arvude 1,2 ja 1,3 vahel. Jagame nendevahelise lõigu küm-
neks võrdseks osaks, ning otsime üles osalõigu, mille otspunktides on funktsioonil f erimär-
gilised väärtused: f (1,22) = −0,004 . . . ; f (1,23) = 0,058 . . . . Tähendab, üks lahend paikneb arvude 1,22 ja 1,23 vahel. Me võime fikseerida ligikaudse
lahendi täpsusega 0,01. Nii jätkates saame me põhimõtteliselt leida lahendeid suvalise ette-
antud täpsusega. Kuigi praktiliseks rakendamiseks on selline meetod ebaefektiivne, näitab
ta kätte reaalselt rakendatava võrrandi lahendamise idee.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 63 3.3.2 Bolzano–Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest Teoreem 3.13 (Bolzano–Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest ( intermediate
value theorem, теорема о промежуточном значении) ). Olgu f intervallis D pidev funktsioon. Kui y1 ja y2 on selle funktsiooni kaks erinevat väärtust, siis iga arv A arvude y1
ja y2 vahel on funktsiooni f väärtus. Tõestus. Olgu D mingi (tõkestatud või tõkestamata) intervall. Eelduse kohaselt on y1 ja y2 funktsiooni kaks väärtust, s.t. y1, y2 ∈ R := {f (x) | x ∈ D} , kusjuures y1 6= y2. Konkreetsuse mõttes olgu y1 < y2. Võtame suvalise arvu A vahemikust
(y1, y2) ning näitame, et mingi a ∈ D korral A = f (a) . Kuna y1, y2 ∈ R, siis leiduvad intervallis D punktid x1 ja x2, et y1 = f (x1) ja y2 = f (x2) . Vaatleme juhtu, kus x1 < x2, vastupidisel juhul on tõestus analoogiline. Moodustame seosega h (x) := f (x) − A uue funktsiooni h: [x1, x2] → R, mis ilmselt on pidev. Seejuures h (x1) = y1 − A < 0 ning h (x2) = y2 − A > 0. Teoreemi 3.11 põhjal leidub a ∈ (x1, x2) omadusega h (a) = 0 ehk f (a) = h (a) + A = A. Väide on tõestatud. y x 0 y = f (x) x1 x2 f (x1) f (x2) A a Joonis 3.4: Teoreem vahepealsetest väärtustest. Järeldus 3.14 Intervallis pideva funktsiooni väärtuste hulk on intervall.

64 3 Pidevad funktsioonid Tõestus. Iseseisvalt!z Näide 3.5. Teoreemi 3.13 abil saab anda veel ühe (seejuures väga lihtsa) tõestuse teo- reemile n-astme juure olemasolust (vt. pt. 1, lause 1.20). Olgu b > 0 ja n ∈ N, näitame, et leidub parajasti üks selline c > 0, et cn = b, s.t. c = n √ b. Vaatleme funktsiooni f : [0, 1 + b] → R, x 7→ xn. See on pidev (kontrollida!)z, kusjuures f (0) = 0 ja f (1 + b) = (1 + b) n = 1 + nb + . . . + bn > nb > b. Teoreemi 3.13 põhjal leidub c ∈ (0, 1 + b) omadusega cn = b. Selle arvu c ühesuse kontrolli- miseks oletame, et võrdus dn = b kehtib veel mingi d > 0 korral. Siis 0 = dn − c n = (d − c) dn−1 + dn−2c + . . . + cn−1 ja kuna dn−1 + dn−2c + . . . + cn−1 > 0, siis d = c. 3.3.3 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni tõkestatusest Definitsioon. Funktsiooni f : D → R nimetatakse tõkestatuks, kui tema väärtuste hulk< on tõkestatud, s.t. ∃M > 0 : |f (x)| 6 M (x ∈ D) . Meid huvitab funktsioonide pidevuse ja tõkestatuse vahekord. Lihtne on leida näiteid pidevatest funktsioonidest, mis ei ole tõkestatud. Näiteks funktsioon f : (0, 1] → R, x 7→ 1 x on pidev (põhjendada!)z, kuid ei ole tõkestatud. Seevastu kehtib järgmine tähelepanuväärne
teoreem. Teoreem 3.15 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest). Lõi-
gus pidev funktsioon on selles lõigus tõkestatud. Tõestus. Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon, oletame vastuväiteliselt, et funktsioon f ei ole tõkestatud, s.t. tema väärtuste on tõkestamata. Siis iga naturaalarvu n jaoks saab leida arvu xn ∈ [a, b], mille puhul |f (xn)| > n (selgitage!)z. Saame tõkestatud jada (xn) (peame silmas, et a 6 xn 6 b), Bolzano–Weierstrassi teoreemi (vt.
teoreem 2.14) põhjal leidub tal koonduv osajada (xn k ). Tähistame c := lim k→∞ xn k , siis c ∈ [a, b] (vrd. omadus 2.6). Tänu funktsiooni f pidevusele kohal c saame, et f (c) = lim k→∞ f (xn k ) (vrd. lause 3.8). Seega on funktsiooni f väärtuste jada (f (xn k )) koonduv, järelikult ka tõkestatud. See fakt on vastuolus punktide xn valikuga, mille kohaselt |f (xn k ) | > nk > k iga k ∈ N korral. Saadud vastuolu põhjal on meie vastuväiteline oletus on väär. Teoreem on tõestatud.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 65 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest Sellest, et funktsioon f on oma määramispiirkonnas D tõkestatud, tuleneb pidevuse ak-
sioomi kohaselt tema väärtuste hulga ülemise ja alumise raja olemasolu, s.t. eksisteerivad< ja inf {f (x) | x ∈ D}. Kuid üldjuhul ei tähenda see veel suurima ja vä- hima väärtuse olemasolu. Näiteks funktsiooni f : [0, 1) → R, x 7→ x 1 + x väärtused on ülalt tõkestatud arvuga 1 2 , kusjuures sup
x 1+x : x ∈ [0, 1) = lim x→1− x 1+x = 1
2 , samal ajal f (x) 6= 1 2 iga x ∈ [0, 1) korral. Seega ei ole funktsioonil f poollõigus [0, 1) suurimat väärtust. Nii nagu tõkestatus, on ka ekstremaalste väärtuste olemasolu pideva funktsiooni korral garanteeritud, kui määramispiirkonnaks on lõik. See selgub järgmisest teoreemist. Teoreem 3.16 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest
väärtustest). Lõigus pideval funktsioonil on selles lõigus suurim ja vähim väärtus. Tõestus. Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon. Teoreemi 3.15 põhjal on ta tõkestatud ning pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib M := . Meie eesmärk on veenduda sellise c ∈ [a, b] olemasolus, et f (c) = M. Oletame vastuväiteliselt, et f (x) 6= M iga x ∈ [a, b] puhul, ja moodustame funktsiooni g : [a, b] → R, g (x) := 1 M − f (x) . Kuna g on pidev funktsioon (selgitada!)z, siis on ta lause 3.15 põhjal tõkestatud, s.t. leidub
C > 0, et 1 M −f(x) 6 C kõikide x ∈ [a, b] korral ehk f (x) 6 M − 1 C (x ∈ [a, b]) . Järelikult on arv M − 1 C väärtuste hulga {f (x) | x ∈ [a, b]} ülemine tõke, kuid see on vastuolus asjaoluga, et M on selle hulga vähim ülemine tõke. Saadud vastuolu lükkab ümber meie
vastuväitelise oletuse. Analoogiliselt tõestatakse vähima väärtuse m := olemasolu. Käesolevas alapunktis tõestatud tulemused annavad kokkuvõttes järgmise tähelepanu- väärse teoreemi. Teoreem 3.17 Lõigus [a, b] pideva mittekonstantse funktsiooni f väärtuste hulk R on lõik
[m, M] , kus m := ja M := max {f (x) | x ∈ [a, b]} . Tõestus. Teoreemi 3.16 kohaselt m, M ∈ R, seega R ⊆ [m, M]. Teoreemist 3.13 tuleneb, et (m, M) ⊆ R. Kokkuvõttes R = [m, M] .

66 3 Pidevad funktsioonid 3.3.5 Pöördfunktsiooni pidevus Kui funktsioon f : D → R on selline, et igale funktsiooni väärtusele y ∈ R := {f (x) | x ∈ D} vastab ainult üks argumendi väärtus x ∈ D omadusega y = f (x), siis saame defineerida funktsiooni f −1 : R → D, f (x) 7→ x, seda nimetatakse funktsiooni f pöördfunktsiooniks (inverse function, обратная функция). Paneme tähele, et kui pöördfunktsioon on esitatud kujul x = f−1 (y), siis langeb tema graafik ühte funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui aga vaadelda pöördfunktsiooni kujul
y = f −1 (x), siis on tema graafik funktsiooni y = f (x) graafiku peegelpilt sirge y = x suhtes
(vt. joonis 3.5). y x 0 f (a) a f (b) b a b y = f (x) y = f −1(x) y = x Joonis 3.5: Pöördfunktsiooni graafik. Pöördfunktsiooni olemasolu sõltub funktsiooni f monotoonsusomadustest. Definitsioon. Funktsiooni f : D → R nimetatakse hulgas X ⊆ D 1) kasvavaks, kui võrratusest x < x′ hulgas X järeldub võrratus f (x) 6 f (x′),
2) rangelt kasvavaks, kui võrratusest x < x′ hulgas X järeldub võrratus f (x) < f (x′),
3) kahanevaks, kui võrratusest x < x′ hulgas X järeldub võrratus f (x) > f (x′) ,
4) rangelt kahanevaks, kui võrratusest x < x′ hulgas X järeldub võrratus f (x) > f (x′) .
Kui on täidetud üks neist neljast tingimusest, siis kõneleme vastavalt monotoonsest või ran-
gelt monotoonsest funktsioonist. Märkus. Funktsiooni monotoonsusomadustega seotud sõnu kasutatakse eri allikates eri tähenduses. Ranget võrratust sisaldava tingimusega funktsiooni kohta öeldakse mõnikord hoopis „kasvav“, mitterange
juht on sel juhul „mittekahanev“ või „monotoonselt kasvav“. Lause 3.18 Kui f on rangelt kasvav (rangelt kahanev) funktsioon hulgas D, siis tal on
pöördfunktsioon g := f−1, mis on hulgas R rangelt kasvav (rangelt kahanev). Tõestus. Funktsiooni f rangest monotoonsusest tuleneb, et f (x1) 6= f (x2) , kui x1, x2 ∈ D ja x1 6= x2

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 67 (kontrollida!)z. Seega vastab igale arvule y ∈ R tõepoolest üks arv x ∈ D, mille puhul kehtib võrdus y = f (x). Niisiis, funktsioonil f on olemas pöördfunktsioon, tähistame selle
tähega g. Kontrollime funktsiooni g ranget monotoonsust. Eeldame, et f on rangelt kasvav funkt- sioon, ja näitame, et siis on ka g rangelt kasvav. Olgu y1, y2 ∈ R ja y1 < y2. Kui oletada vastuväiteliselt, et z2 := g (y2) 6 g (y1) =: z1, siis y2 = f (g (y2)) = f (z2) 6 f (z1) = f (g (y1)) = y1, mis on vastuolus arvude y1 ja y2 valikuga. Rangelt kahaneva funktsiooni f puhul on tõestus
analoogiline. Lause 3.19 Lõigus [a, b] pideva rangelt monotoonse funktsiooni f pöördfunktsioon g := f−1
on pidev lõigus otspunktidega f (a) ja f (b) . Tõestus. Olgu funktsioon f konkreetsuse mõttes lõigus [a, b] rangelt kasvav, siis pöörd- funktsiooni g määramispiirkond on lõik [f (a) , f (b)] (põhjendada!)z. Teisisõnu, m = f (a)
ja M = f (b), kus m := min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M := max {f (x) | x ∈ [a, b]}. Selles lõigus
[m, M] on g eelneva lause 3.18 põhjal rangelt kasvav. Tema pidevuse tõestamiseks näitame,
et g on
1) vasakult pidev igas punktis y ∈ (m, M] ning 2) paremalt pidev igas punktis y ∈ [m, M) (selgitada!)z. Tõestame väite 1), teine väide tõestatakse analoogiliselt. Olgu y0 ∈ (m, M] suvaline punkt. Kuna m < y0, siis a = g (m) < g (y0) =: x0, sest g on rangelt kasvav funktsioon. Olgu ε suvaline positiivne arv. Meie eesmärk on näidata
niisuguse δ > 0 olemasolu, et kehtiks implikatsioon [y ∈ [f(a), f(b)] , y0 − y < δ] ⇒ |g (y) − g (y0)| < ε, (3.11) see tähendaks seost g (y0) = lim y→y0− g (y) ehk funktsiooni g vasakpoolset pidevust punktis y0. Valime ε nii, et x0 −ε > a (miks selline valik ei kitsenda üldisust?z), võrratuste a < x0 −ε <
x0 tõttu m < f (x0 − ε) < f (x0) = y0. Tähistame δ := y0 − f (x0 − ε), siis 0 < δ < y0 − m, järelikult (y0 − δ, y0) ⊆ (m, M), seejuures g (y0 − δ) = g (f (x0 − ε)) = x0 − ε = g (y0) − ε. (3.12) Kui y on suvaline punkt vahemikust (y0 − δ, y0), s.t. 0 < y0 − y < δ, siis seosest (3.12) ja funktsiooni g rangest monotoonsusest saame, et g (y0) − ε = g (y0 − δ) < g (y) < g (y0) < g (y0) + ε ehk |g (y) − g (y0)| < ε. Niisiis kehtib implikatsioon (3.11) ning väide on tõestatud. Teoreem 3.20 (pöördfunktsiooni pidevusest). Intervallis D pideva ja rangelt mono-
toonse funktsiooni f pöördfunktsioon g := f−1 on pidev intervallis R := {f (x) | x ∈ D}.

68 3 Pidevad funktsioonid Tõestus. Bolzano-Cauchy teoreemi 3.14 põhjal on R intervall. Näitame, et g on pidev suvalises punktis y0 ∈ R. Olgu x0 := g (y0) ning x0 ∈ [a, b] ⊆ D. Funktsioon f on pidev ja rangelt monotoonne lõigus [a, b] , seejuures väärtuste hulk f ([a, b]) =: [c, d] on lõik intervallis
R ja g : [c, d] → R on funktsiooni f : [a, b] → R pöördfunktsioon (selgitada!)z. Lause 3.19 kohaselt on g lõigus [c, d] pidev, seega pidev ka punktis y0. 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus Selles alapunktis on meie eesmärgiks defineerida põhilised elementaarfunktsioonid (v.a. sii-
nus ja koosinus) ja veenduda nende pidevuses. Me lähtume ratsionaalse argumendiga ekspo-
nentfunktsioonist, mis defineeritakse aritmeetiliste tehete abil, ning rakendades piirprotsessi,
jätkame selle reaalarvulistele argumentidele. Logaritmfunktsioon määratakse kui eksponent-
funktsiooni pöördfunktsioon, astmefunktsioon ja hüperboolsed funktsioonid saadakse ekspo-
nentfunktsioonist vastavate liitfunktsioonide moodustamise teel. Trigonomeetriliste funkt-
sioonide defineerimise viime täielikult läbi siis, kui oleme arvridade teooria välja arendanud. 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon Ratsionaalse argumendiga astmefunktsioon. Kuna funktsioon idR : R → R, x 7→ x on pidev, siis astmefunktsioon y = xp kui pidevate funktsioonide korrutis on iga p ∈ N korral lause 3.9 kohaselt pidev hulgas R. Sama lause põhjal on ka funktsioon y = x−p = 1 xp pidev kõikide p ∈ N puhul hulgas R {0}. Edasi, funktsioon y = q √ x = x 1
q kui pideva rangelt monotoonse funktsiooni x = yq, kus y > 0, pöördfunktsioon on suvaliste
q = 2, 3, . . . puhul pidev (vrd. teoreem 3.20). Olgu nüüd r := p q , kus p ∈ Z ja q ∈ N. Funktsioon f : (0, ∞) → R, x 7→ x p/q = q √ x p kui pidevate funktsioonide liitfunktsioon on pidev. Ratsionaalse argumendiga eksponentfunktsioon. Olgu a > 0, siis vastavalt eel- öeldule funktsioon f : Q → R, r 7→ a r on määratud (selgitada!)z.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 69 Lause 3.21 Olgu a > 0, eeldame, et a 6= 1.
(a) Kehtib võrdus f (r1 + r2) = f (r1) · f (r2), s.t. a r1+r2 = ar1ar2 suvaliste r1, r2 ∈ Q korral. (b) Juhul a > 1 on funktsioon f rangelt kasvav, s.t. kui r1 < r2, siis ar1 < ar2 . Juhul
0 < a < 1 on f rangelt kahanev: kui r1 < r2, siis ar1 > ar2 .
(c) Funktsioon r 7→ a r on pidev punktis 0, s.t. lim r∈Q , r→0 ar = 1. (d) Kui (rn) on korpuses R koonduv ratsionaalarvude jada, siis reaalarvude jada (arn) on koonduv. Tõestus. (a) Selge, et aq+n = aqan ja aq−n = a q an suvaliste naturaalarvude q ja n puhul. Seega, kuna iga täisarv m on esitatav kujul m = q − n, kus q, n ∈ N (vt. alapunkt 1.2.2), kehtib väide suvaliste täisarvude r1 ja r2 korral: kui r1 = q1 − n1 ja r2 = q2 − n2, siis a r1+r2 = a(q1−n1)+(q2−n2) = a(q1+q2)−(n1+n2) = aq1+q2 an1+n2 = aq1aq2 an1an2 = aq1 an1 aq2 an2 = aq1−n1aq2−n2 = ar1ar2. Olgu r1 = p
q ∈ Q ja r2 = m n ∈ Q, kus p, m ∈ Z ja q, n ∈ N, siis ar1+r2 = a p
q + m n = a np +mq nq =
a 1 nq np+mq =
a 1 nq np ·
a 1 nq mq = a np
nq · a mq nq = a p
q a m n = a r1 ar2 (põhjendada kõiki võrdusi!)z. (b) Väide kehtib, kui r1 ja r2 on täisarvud (kontrollida!)z. Olgu r1 = p
q < r2 = m n , kus p, m ∈ Z ja q, n ∈ N, siis pn
qn < qm qn ehk pn < qm. Juhul a > 1 kehtib võrratus a 1 qn > 1 (selgitada!)z, seetõttu ar1 = a pn
qn =
a 1 qn pn <
a 1 qn qm = a qm qn = ar2. Kui 0 < a < 1, siis b := 1 a > 1, mistõttu b r1 < br2 ning ar1 = 1 br1 > 1 br2 = ar2. (c) Vaatleme algul juhtu a > 1. Olgu ε > 0 suvaline. Kuna lause 2.10(b) kohaselt a1/n → 1 ja a−1/n → 1 protsessis n → ∞, siis ∃N1 ∈ N : n > N1 ⇒
a1/n − 1
< ε, ∃N2 ∈ N : n > N2 ⇒
a−1/n − 1
< ε ning indeksi m := max {N1, N2} jaoks kehtivad võrratused 1 − ε < a− 1/m < a1/m < 1 + ε (kontrollida!)z. Olgu δ := 1 m . Kui |r| < δ, s.t. − 1 m < r < 1 m , siis väite (b) kohaselt 1 − ε < a− 1/m < ar < a1/m < 1 + ε,

70 3 Pidevad funktsioonid seega |ar − 1| < ε. Niisiis, lim r∈Q, r→0 ar = 1. Kui 0 < a < 1, siis b := 1 a > 1, mistõttu lim r∈Q, r→0 ar = lim r∈Q, r→0 1 br = 1 lim r∈Q, r→0 br = 1. (d) Vaatleme esialgu juhtu a > 1. Olgu (rn) koonduv ratsionaalarvude jada. Tema tõkes- tatuse tõttu saame valida sellise ratsionaalarvu s, et iga n ∈ N korral rn < s, väite (b) kohaselt arn < as =: M. Olgu ε > 0. Seosest lim r∈Q, r→0 ar = 1 (vt. väide (c)) lähtudes leiame δ > 0 omadusega [ |r| < δ, r ∈ Q] ⇒ |a r − 1| < ε M . Kuna (rn) (kui koonduv jada) on Cauchy jada, siis leidub N ∈ N, et n, m > N ⇒ |rn − rm| < δ, mistõttu n, m > N ⇒
arn−rm − 1
< ε M . Väite (a) põhjal |a rn − arm| = arn 1 − arm−rn < M ε M = ε (n, m > N) , mis tähendab, et (arn) on Cauchy jada, seega koonduv. Kui 0 < a < 1, siis b := 1 a > 1, seega eksisteerib lim n→∞ brn ning lim n→∞ arn =
lim n→∞ brn
−1 . Lause on tõestatud. 3.4.2 Eksponentfunktsioon y = ax, kus x ∈ R Nagu eelnevas eeldame ka siin, et a on positiivne reaalarv ning a 6= 1. Kuna kõigi ratsionaal- arvude korpus Q paikneb tihedalt korpuses R, s.t. iga kahe erineva reaalarvu vahel leidub ratsionaalarve, siis kehtib järgmine lause. Lause 3.22 Iga reaalarvu x korral saab leida sellise ratsionaalarvude jada (rn), mis koondub arvuks x. Tõestus. Iseseisvalt!z Lausest 3.22 lähtudes defineerime ax := lim n→∞ arn, (3.13) kus rn ∈ Q ja rn → x. Lause 3.21(d) põhjal piirväärtus lim n→∞ arn eksisteerib. Definitsiooni (3.13) korrektsuse kontrollimiseks peame näitama, et see piirväärtus ei sõltu konkreetse jada

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 71 (rn) valikust, s.t. lim n→∞ arn = lim n→∞ ar ′ n , kui lim n→∞ rn = lim n→∞ r′n = x. Tõepoolest, kuna rn −r′n → 0, siis lause 3.21(c) kohaselt arn−r ′ n → 1, mistõttu lim n→∞ a r′n = lim n→∞
a r′n − arn
+ lim n→∞ a rn = lim n→∞ a rn
a r′n−rn − 1
+ lim n→∞ a rn = lim n→∞ arn lim n→∞
ar ′ n −rn − 1
+ lim n→∞ arn = lim n→∞ arn. Loetleme seosega (3.13) defineeritud funktsiooni f : R → R, x 7→ a x omadusi. Lause 3.23 (a) Kehtib võrdus f (x1 + x2) = f (x1) · f (x2), s.t. ax1+x2 = ax1ax2 suvaliste
x1, x2 ∈ R korral. (b) f (x) > 0 iga x ∈ R puhul. (c) Juhul a > 1 on funktsioon f rangelt kasvav, s.t. kui x1 < x2, siis ax1 < ax2 . Juhul
0 < a < 1 on f rangelt kahanev: kui x1 < x2, siis ax1 > ax2.
(d) Funktsioon f on pidev punktis 0, s.t. lim x→0 ax = 1. Tõestus. Piisab tõestada väited juhul a > 1. Nimelt, kui väited (a) – (d) on juhul a > 1 tõestatud, siis kehtivad nad tänu seosele a x = a−1− x ka juhul 0 < a < 1, vaid väites (c) asendub range kasvamine range kahanemisega (kontrol-
lida!)z. Niisiis eeldame, et a > 1. (a) Olgu (rn) ja (sn) sellised ratsionaalarvude jadad, et rn → x1 ja sn → x2, sel juhul rn + sn → x1 + x2 ning definitsiooni (3.13) kohaselt a rn → ax1, asn → ax2 ja arn+sn → ax1+x2. Samas lause 3.21(a) ja omaduse 2.9(b) põhjal arn+sn = arnasn → a x1 ax2, koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõttu kehtib võrdus ax1+x2 = ax1ax2. (b) Olgu x > 0 ja (rn) selline ratsionaalarvude jada, et rn → x. Siis leidub N ∈ N, et rn > 0 kõikide n > N korral (selgitada!)z. Kuna arn > 1, kui n > N (põhjendada!)z, siis
ax = lim n→∞ arn > 1 > 0. Kui x = 0, siis ax = a0 = 1 > 0. Olgu nüüd x < 0, siis −x > 0, ja kui ratsionaalarvude jada (rn) koondub arvuks x, siis jada (−rn) koondub positiivseks arvuks −x ning ax = lim n→∞ arn = lim n→∞ 1 a−rn = 1 lim n→∞ a−rn = 1 a−x > 0. (c) Olgu x1 < x2. Vastavalt definitsioonile (3.13) valime ratsionaalarvude jadad (rn) ja (sn) nii, et rn → x1 ja sn → x2, siis a x1 = lim n→∞ arn ja ax2 = lim n→∞ asn. Leiame ratsionaalarvud r ja s, mis rahuldavad tingimusi x1 < r < s < x2 (selgitada sellise valiku võimalikkust!)z

72 3 Pidevad funktsioonid ning tähistame ε := min {r − x1, x2 − s}, seega ε > 0. Kuna rn → x1 ja sn → x2, siis saame leida sellise N ∈ N, et |rn − x1| < ε ja |sn − x2| < ε kõikide n > N korral. Järelikult iga n > N puhul kehtib ühelt poolt võrratus rn − x1 < r − x1 ehk rn < r, teiselt poolt x2 − sn < x2 − s ehk sn > s. Neist tulenevad lause 3.21(b) kohaselt võrratused a rn < ar < as < asn (n > N) . Protsessis n → ∞ saame soovitud tulemuse: ax1 = lim n→∞ arn 6 ar < as 6 lim n→∞ asn = ax2. (d) Olgu (xn) suvaline reaalarvude jada, mis koondub piirväärtuseks 0. Väide on tõesta- tud, kui meil õnnestub veenduda, et axn → 1 (selgitada!)z. Valime ratsionaalarvude jadad (rn) ja (sn) nii, et xn − 1 n < rn < xn < sn < xn + 1 n (n ∈ N) (põhjendada selliste jadade olemasolu!)z. Väite (c) põhjal arn < axn < asn kõikide n ∈ N korral. Kuna rn → 0 ja sn → 0 (põhjendada!)z, siis arn → 1 ja asn → 1 vastavalt lausele 3.21(c). Omaduse 2.7 kohaselt axn → 1. Lause 3.23 põhjal formuleerime eksponentfunktsiooni kirjeldamiseks järgmise lause. y x 0 1 y = ax, a > 1 y x 0 1 y = ax, 0 < a < 1 Joonis 3.6: Eksponentfunktsioon y = ax. Lause 3.24 Eksponentfunktsioon f : R → R, x 7→ a x, kus a > 0, on pidev. Juhul a > 1 on f rangelt kasvav, juhul a < 1 on f rangelt kahanev
funktsioon. Mõlemal juhul on funktsiooni f väärtuste hulgaks intervall (0, ∞) .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 73 Tõestus. Funktsiooni monotoonsusomadused tõestasime me juba eespool, kontrollime funktsiooni f pidevust suvalises punktis z ∈ R. Tõepoolest, kui x → z, siis x − z → 0 ning lause 3.23(d) põhjal lim x→z ax−z = 1, mistõttu lim x→z ax = lim x→z azax−z = az lim x→z ax−z = az. Kuna f on intervallis (−∞, ∞) pidev funktsioon, siis vastavalt Bolzano–Cauchy teoreemi järeldusele 3.14 on tema väärtuste hulk samuti intervall. Lause 3.23(b) kohaselt koosneb see
positiivsetest reaalarvudest. Seejuures juhul a > 1 kehtivad võrdused lim x→∞ ax = ∞ ja lim x→∞ a−x = 0, juhul 0 < a < 1 aga vastupidised seosed. Mõlemal juhul moodustavad funktsiooni väärtused
intervalli (0, ∞) . Hüperboolsed funktsioonid määratakse seostega sinh x := ex − e− x 2 , cosh x := ex + e−x 2 , tanh x := sinh x cosh x ja coth x := cosh x sinh x . Nad on pidevad, sest aritmeetilised tehted pidevate funktsioonidega annavad tulemuseks
pideva funktsiooni. 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon Logaritmfunktsioon. Olgu a > 0 ja a 6= 1. Logaritmfunktsioon y = loga x defineeritakse kui eksponentfunktsiooni x = ay pöördfunktsioon. Kuna viimase väärtuste hulgaks on intervall
(0, ∞), siis see on logaritmfunktsiooni määramispiirkond. Vastavalt lausele 3.24 on juhul a > 1 eksponentfunktsioon rangelt kasvav ja juhul 0 < a < 1 rangelt kahanev, lause 3.18
kohaselt on sama omadusega ka tema pöördfunktsioon. Eksponentfunktsiooni pidevusest
tuleneb logaritmfunktsiooni pidevus oma määramispiirkonnas (vrd. teoreem 3.20). y x 0 1 y = loga x, a > 1 y x 0 1 y = loga x, 0 < a < 1 Joonis 3.7: Logaritmfunktsioon y = log a x. Kui a = e, siis kasutatakse logaritmfunktsiooni tähistamiseks sümbolit ln, arvu ln x := loge x

74 3 Pidevad funktsioonid nimetatakse arvu x ∈ (0, ∞) naturaallogaritmiks. Astmefunktsioon. Naturaallogaritmi abil defineeritakse astmefunktsioon. Kui α ∈ R, siis suvalise x > 0 korral tähistame xα := eα ln x. Seega on funktsioon x 7→ xα defineeritud liitfunktsioonina f := ϕ ◦ g, kus g : (0, ∞) → R, x 7→ α ln x ja ϕ : R → R, z 7→ e z . Kuna mõlemad komponendid g ja ϕ on pidevad, siis ka liitfunktsioon f on pidev oma mää-
ramispiirkonnas (0, ∞) . 3.4.4 Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide sin : R → [−1, 1] , cos: R → [−1, 1] defineerimise lükkame edasi, kuni oleme välja arendanud arvridade teooria (vt. alaptk. 6.7). Tangens- ja kootangensfunktsioon määratakse seostega tan x := sin x cos x
x ∈ R n π 2 + kπ | k ∈ Z o ja cot x := cos x sin x (x ∈ R {kπ | k ∈ Z}) . (3.14) Alapeatükis 6.7 tõestatakse, et 0 < |sin x| < |x| < |tan x| , kui 0 < |x| < 1. (3.15) Samuti tõestatakse alapeatükis 6.7, et siinus- ja koosinusfunktsioon on pidevad igas punk- tis x ∈ R. Funktsioonide tan ja cot pidevus tuleneb seostest (3.14) (selgitada!)z. Võrratustest (3.15) lähtudes saab tõestada, et lim x→0 sin x x = 1. Nimelt tuleneb seostest (3.15), et cos x < sin x x < 1, kui 0 < |x| < 1 (kontrollida!)z. Kuna cos on pidev kohal x = 0, siis 1 = cos 0 = lim x→0 cos x 6 lim x→0 sin x x 6 1, s.t. lim x→0 sin x x = 1.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 75 Arv π kui kahekordne koosinusfunktsiooni vähimast positiivsest nullkohast, defineeritakse alapeatükis 6.7. Selgub, et siinus on rangelt kasvav lõigus −π 2 , π 2 ja koosinus on rangelt kahanev lõigus [0, π]. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid arcsin : [ −1, 1] → h − π 2 , π 2 i , arccos : [ −1, 1] → [0, π] ning arctan : R →
− π 2 , π 2
, arccot : R → (0, π) on pidevad kui pidevate rangelt monotoonsete funktsioonide pöördfunktsioonid. 3.5 Ühtlaselt pidevad funktsioonid 3.5.1 Ühtlase pidevuse mõiste. Cantori teoreem Olgu f : D → R pidev funktsioon, s.t. ∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃δ = δ (x, ε) > 0 : [x′ ∈ D, |x′ − x| < δ] ⇒ |f (x′) − f (x)| < ε. (3.16) Ühtlase pidevuse definitsiooni juurde toob meid tähelepanek, et mõnede funktsioonide f
puhul saab tingimuses (3.16) fikseeritud arvu ε > 0 korral δ > 0 määrata nii, et see ei
sõltu punktist x, teiste funktsioonide puhul aga sellist universaalset positiivset arvu δ leida
ei õnnestu. Definitsioon. Ütleme, et funktsioon f : D → R on hulgas X ⊆ D ühtlaselt pidev (uni- formly continuous in X, равномерно непрерывная на X) , kui iga ε > 0 korral saab leida sellise δ > 0, et suvaliste x, x′ ∈ X korral, mis rahuldavad tingimust |x − x′| < δ, kehtib võrratus |f (x) − f (x′)| < ε. Niisiis, erinevalt tingimusest (3.16) sõltub arv δ ühtlase pidevuse definitsioonis vaid arvust ε ja ei sõltu punktide x, x′ ∈ X valikust. Seega on iga hulgas X ühtlaselt pidev funktsioon selles hulgas pidev. Nagu selgub järgnevatest näidetest, on vastupidine väide üldjuhul vale. Näide 3.6. Näitame, et ruutfunktsioon f : R → R, x 7→ x 2 ei ole oma määramispiirkonnas D = R ühtlaselt pidev, kuigi on pidev. Selleks võtame ε := 1 ja leiame iga fikseeritud δ > 0 korral x ja x′, et |x − x′| < δ ja |f (x) − f (x′)| > 1. Nimelt, kui x := 1 δ ning x ′ := 1 δ + δ
2 , siis |x − x ′| = δ 2 < δ, kuid |f (x) − f (x′)| =
x 2 − (x′) 2
= |x + x ′| |x − x′| = 2 δ + δ
2 δ 2 > 1. Näide 3.7. Vaatleme pidevat funktsiooni f : (0, 1] → R, x 7→ 1 x ,

76 3 Pidevad funktsioonid näitame, et ta ei ole poollõigus (0, 1] ühtlaselt pidev. Võtame ε := 1 2 ja paneme tähele, et suvalise δ ∈ (0, 1) korral rahuldavad arvud x := √ δ ja x′ := √ δ − δ
2 tingimusi 0 < x ′ < x < 1 ning |x − x′| < δ, kuid |f (x) − f (x′)| =
1 x′ − 1 x
= |x − x′| |x′x| > δ/2 √ δ √ δ = 1
2 . y x 0 y = 1 x (x > 0) ε ε δ1 δ1 Joonis 3.8: Funktsioon y = 1 x ei ole intervallis (0, 1] ühtlaselt pidev (vt. näide 3.7). Niisiis, üldjuhul mingis intervallis pidev funktsioon ei ole selles intervallis ühtlaselt pidev. Samas kehtib järgmine teoreem. Teoreem 3.25 (Cantori teoreem ühtlasest pidevusest). Lõigus pidev funktsioon on
selles lõigus ühtlaselt pidev. Tõestus. Olgu funktsioon f lõigus [a, b] pidev, oletame vastuväiteliselt, et ta ei ole üht- laselt pidev selles lõigus. Siis leidub selline ε0 > 0, et iga δ > 0 puhul saab valida punktid
x, x′ ∈ [a, b] omadusega |x − x′| < δ ja |f (x) − f (x′)| > ε0. Suvalise n ∈ N puhul leiame arvule 1 n vastavad punktid xn ∈ [a, b] ja x ′ n ∈ [a, b], s.t. |xn − x′n| < 1 n , |f (xn) − f (x′n)| > ε0 (n ∈ N) . Saadud jadad (xn) ja (x′ n) on tõkestatud, Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal on neil koon- duvaid osajadasid. Olgu (xn k ) jada (xn) osajada, mis koondub mingiks punktiks c, siis c ∈ [a, b] (vrd. omadus 2.6). Eraldame jadast (x′n) samade indeksitega osajada x′n k
. Kuna 0 <
xn k − x′n k
< 1 nk → 0, kui k → ∞, siis lim k→∞ xn k − x′n k = 0, mistõttu lim k→∞ x′ nk = lim k→∞ xn k − xn k − x′n k = lim k→∞ xn k − lim k→∞ xn k − x′n k = c.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 77 Tänu funktsiooni f pidevusele lim k→∞ f (xn k ) = lim k→∞ f x′ nk = f (c) (selgitada!)z, niisiis lim k→∞ f (xn k ) − f x′n k = 0. Jada koonduvuse definitsiooni kohaselt on mingist indeksist N alates täidetud tingimus
f (xn k ) − f x′n k
< ε0 (selgitada!)z, kuid see on vastuolus punktide xn ja x′n valikuga. Oleme jõudnud vastuoluni, järelikult on meie vastuväiteline oletus vale, s.t. funktsioon f on
lõigus [a, b] ühtlaselt pidev. 3.5.2 Lipschitzi funktsioonid Vaatleme näitena üht ühtlaselt pidevate funktsioonide klassi. Definitsioon. Olgu D mingi intervall. Kui funktsiooni f : D → R puhul leidub selline C > 0, et
f (x) − f x′
6 C
x − x′
kõikide x, x′ ∈ D korral, (3.17) siis nimetatakse funktsiooni f Lipschitzi funktsiooniks (ehk Lipschitzi mõttes pidevaks funktsiooniks). Kirjutades Lipschitzi tingimuse (3.17) ümber kujul
f (x) − f (x′) x − x′
6 C x, x′ ∈ D, x 6= x′ , saame sellele anda lihtsa geomeetrilise tähenduse. Vaatleme funktsiooni f graafiku punkte (x, f (x)) ja
(x′, f (x′)) , kus x, x′ ∈ D ning x 6= x′. Murd f (x)−f(x′) x−x′ kirjeldab neid punkte ühendava lõikaja tõusu, täpsemalt, ta on selle tõusunurga tangens. Seega tähendab Lipschitzi tingimus (3.17) seda, et kõikide
funktsiooni f graafiku kahte punkti omavahel ühendavate lõikajate tõusude hulk on tõkestatud. Lause 3.26 Iga intervallis D määratud Lipschitzi funktsioon on selles hulgas ühtlaselt pidev. Tõestus. Iseseisvalt!z Näide 3.8. Lipschitzi funktsioonide klass on rangelt kitsam, kui kõigi ühtlaselt pidevate funktsioonide klass. Nimelt leidub lõigus (ühtlaselt) pidevaid funktsioone, mis ei rahulda selles lõigus Lipschitzi tingimust
(3.17). Olgu f (x) = √ x ning D = [0, 1], ilmselt on f pidev ning seega ühtlaselt pidev hulgas [0, 1]. Seejuures
f (x) − f x′
√ x − √ x′
= 1 √ x + √ x′
x − x′
x, x′ ∈ (0, 1] , x 6= x′ . Kui oletada, et f on Lipschitzi funktsioon lõigus [0, 1], siis 1 √ x + √ x′
x − x′
6 C
x − x′
x, x′ ∈ (0, 1]
mingi C > 0 korral ehk 1 √ x + √ x′ 6 C (x, x′ ∈ (0, 1]) , mis ilmselt ei ole õige (põhjendada!)z.

78 3 Pidevad funktsioonid 3.5.3 Ühtlase pidevuse kirjeldamine jadade abil Lihtne on näha, et iga Lipschitzi funktsioon f : D → R rahuldab hulgas D järgmist tingimust: kui xk, x′k ∈ D ja xk − x′k → 0, siis f (xk) − f x′k → 0 (3.18) (kontrollida!)z . Nagu selgub järgmisest lausest, osutub see pideva funktsiooni f ühtlase pidevuse tarvi- likuks ja piisavaks tingimuseks. Lause 3.27 Pidev funktsioon f : D → R on intervallis D ühtlaselt pidev parajasti siis, kui on täidetud tingimus (3.18). Tõestus. Tarvilikkus. Iseseisvalt!z
Piisavus. Eeldame, et intervallis D pidev funktsioon f rahuldab tingimust (3.18), ja oletame vastu- väiteliselt, et ta ei ole ühtlaselt pidev. Sel juhul ∃ε0> 0 ∀δ > 0 ∃xδ, x′δ∈ D : |xδ − x′δ| < δ , | f (xδ) − f (x′δ)| > ε0 . (3.19) Seega saame iga n ∈N jaoks leida punktid xn, x′n∈ D omadusega |xn − x′n| < 1 n , | f (xn) − f (x′n)| > ε0. Kuna xn − x′n → 0 , siis eelduse (3.18) tõttu f (xn) − f (x′n) → 0 . Seega leidub N ∈N , et |f (xn) − f (x′n)| < ε0 iga n > N korral . See on vastuolus punktide xn, x′n ∈ D valikuga, järelikult on vastuväiteline oletus (3.19) väär. Näide 3.9. Veendume lause 3.27 abil veel kord (vrd. näide 3.6), et pidev ruutfunktsioon f : R → R, x 7→ x2 ei ole hulgas R ühtlaselt pidev. Tõepoolest, kui xn := √ n + 1 ja x′n := √ n, siis xn − x′n = √ n + 1 − √ n = 1 √ n + 1 + √ n → 0 (n → ∞) , kuid (xn) 2 − (x′n) 2 = 1 9 0. Lause 3.28 (a) Kui hulgas D määratud funktsioon f on selles hulgas ühtlaselt pidev, siis iga Cauchy jada (xn) puhul, kus xn ∈ D, on (f (xn)) Cauchy jada. (3.20) (b) Kui hulk D on tõkestatud, siis tingimus (3.20) on ka piisav funktsiooni f ühtlaseks pidevuseks hulgas
D. Tõestus. (a) Eeldame, et f : D → R on hulgas D ühtlaselt pidev funktsioon. Olgu ε > 0 , leiame (vastavalt ühtlase pidevuse definitsioonile) sellise δ > 0 , et [x, x′ ∈ D , |x − x′| < δ] ⇒ |f (x) − f (x′)| < ε . (3.21) Edasi, olgu (xn) Cauchy jada hulgas D , peame veenduma, et (f (xn)) on Cauchy jada. Vastavalt Cauchy jada definitsioonile saame leida N ∈ N omadusega n, m > N ⇒ |xn − xm| < δ ,

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 79 tingimuse (3.21) põhjal |f (xn) − f (xm)| < ε kõikide n, m > N korral . See tähendabki, et (f (xn)) on Cauchy jada. (b) Olgu D ⊆ R tõkestatud hulk, eeldame, et funktsioon f : D → R rahuldab tingimust (3.20). Tõestuseks oletame vastuväiteliselt, et f ei ole hulgas D ühtlaselt pidev, ja leiame sellise Cauchy jada
(zk) hulgas D , et (f (zk)) ei ole Cauchy jada. Nii nagu lause 3.27 tõestuses saame valida ε0> 0 ja jadad (xn) ning (x′n) hulgas D omadusega |xn − x′n| < 1 n , | f (xn) − f (x′n)| > ε0 (selgitada!)z . Kuna D on tõkestatud, siis Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal sisaldab jada (xn) koonduva osajada (xn k ), tähistame a := lim k→∞ xn k . Paneme tähele, et xn −x′n→ 0 (n → ∞) , seega xn k −x′n k → 0 (k → ∞) ning seosest x′ nk = xnk + x ′ nk − xnk saame , et lim k→∞ x′n k = a. Moodustame jada (zk) := xn 1 , x ′ n1 , xn2 , x ′ n2 , xn3 , x ′ n3 , . . . , see koondub hulgas R piirväärtuseks a (kontrollida!)z , seega on ta hulgas D Cauchy jada. Arvude xn ja x′ n valiku kohaselt |f (z2k−1) − f (z2k)| =
f (xn k ) − f x′n k
> ε0 iga k ∈N korral, mistõttu (f (zk)) ei ole Cauchy jada. Näide 3.10. Veendume lause 3.28 abil veel kord (vrd. näide 3.7), et funktsioon f : (0, 1] → R, x 7→ 1
x ei ole hulgas (0, 1] ühtlaselt pidev. Tõepoolest, kui xn := 1 n , siis (xn) on Cauchy jada, kuid (f (xn)) = (n) ei ole Cauchy jada. Näide 3.11. Lause 3.28(b) ei kehti üldjuhul, kui D ei ole tõkestatud: ruutfunktsioon f : R → R, x 7→ x 2 ei ole hulgas R ühtlaselt pidev (vrd. näited 3.6 ja 3.9), kuigi iga Cauchy jada (xn) puhul on (f (xn)) Cauchy jada (kontrollida!)z. 3.5.4 Funktsiooni ühtlane pidevus tõkestamata intervallis Tähelepanuväärne on järgmine piisav tingimus funktsiooni ühtlaseks pidevuseks tõkestamata intervallis. Lause 3.29 Kui pideval funktsioonil f : [a, ∞) → R on lõplik piirväärtus lim x→∞ f (x) =: A, siis f on hulgas [a, ∞) ühtlaselt pidev. Tõestus. Olgu ε > 0 suvaline, peame veenduma sellise δ > 0 olemasolus, et kehtiks implikatsioon
x − x′
< δ, x, x′ ∈ [a, ∞) ⇒
f (x) − f x′
< ε. (3.22) Kuna lim x→∞ f (x) = A, siis saab valida sellise M > a, et |f (x) − A| < ε
2 kõikide x > M korral.

80 3 Pidevad funktsioonid Kasutades asjaolu, et f on pidev lõigus [a, M + 1], ning rakendades Cantori teoreemi 3.25, saame leida
δ1 > 0 omadusega
x − x′
< δ1 ⇒
f (x) − f x′
< ε, (3.23) kui x, x′ ∈ [a, M + 1] (selgitada!)z. Võtame δ := min {1, δ1} ja vaatleme arve x, x′ ∈ [a, ∞), mis rahuldavad tingimust |x − x′| < δ. Siis kas x, x′ ∈ [a, M + 1] või x, x′ ∈ [M, ∞) (selgitada!)z . Esimesel juhul tuleneb implikatsioon (3.22) tingimusest (3.23), sest δ 6 δ1. Teisel juhul
f (x) − f x′
6 |f (x) − A| +
f x′ − A
< ε
2 + ε
2 = ε (põhjendada!)z. Väide on tõestatud. Näide 3.12. Kuna lim x→∞ e− x= 0 , siis funktsioon f : [a, ∞) →R, x 7→ e− x on iga a ∈ R korral intervallis [a, ∞) ühtlaselt pidev. 3.5.5 Antud vahemikus ühtlaselt pidevad funktsioonid Eelpool toodud lihtsa näite 3.7 põhjal võime väita, et poollõigus või vahemikus pidev funktsioon ei pruugi
selles intervallis olla ühtlaselt pidev. Küsimusele, millistel eeldustel on vahemikus pidev funktsioon selles
vahemikus ühtlaselt pidev, annab vastuse järgmine lause. Lause 3.30 (funktsiooni pidevast jätkamisest). Vahemikus (a, b) määratud funktsioon f on selles
vahemikus ühtlaselt pidev parajasti siis, kui ta on pidevalt jätkatav lõiku [a, b], s.t. kui leidub selline lõigus
[a, b] pidev funktsioon ϕ, et ϕ (x) = f (x) iga x ∈ (a, b) korral. Tõestus. Piisavus (iseseisvalt!)z.
Tarvilikkus. Olgu f vahemikus (a, b) ühtlaselt pidev funktsioon. Näitame, et teda saab pidevalt jätkata nii punkti a kui ka punkti b. Teisisõnu, peame defineerima uue funktsiooni ϕ: [a, b] → R, mis vahemikus
(a, b) langeb kokku funktsiooniga f ning oleks punktis a paremalt pidev ja punktis b vasakult pidev. Olgu (xk) vahemiku (a, b) punktide suvaline jada, mis koondub arvuks a. Sel juhul on ta Cauchy jada (selgitada!)z ning kuna f on vahemikus (a, b) ühtlaselt pidev funktsioon, siis lause 3.28(a) järgi
on (f (xk)) samuti Cauchy jada. Cauchy kriteeriumi kohaselt eksisteerib lim k→∞ f (xk) =: L. Näitame, et seejuures ei sõltu piirväärtus L jada (xk) valikust. Tõepoolest, kui ka mingi teine jada (x′k) vahemikus
(a, b) koondub piirväärtuseks a, siis jada (zj) := (x1, x′1, x2, x′2, x3, x′3, . . .) koosneb vahemiku (a, b)
punktidest ning koondub arvuks a (kontrollida!)z. Lause 3.28(a) põhjal on (f (zj)) Cauchy jada, seega
eksisteerib lim j→∞ f (zj) =: L′. Kuna (xk) on jada (zj) osajada, siis f (xk) → L′ (selgitada!)z, järelikult L′ = L (selgitada!)z. Niisiis koondub jada (f (x′ k)) samuti piirväärtuseks L, seega lim k→∞ f (xk) = L iga sellise vahemiku (a, b) punktide jada (xk) korral, mis koondub arvuks a. Piirväärtuse Heine kriteeriumit
silmas pidades, võime väita, et lim x→a+ f (x) = L (vrd. (3.6)). Analoogiliselt defineerime M := lim k→∞ f (xk) = lim x→b− f (x) (vrd. (3.5)), kus xk ∈ (a, b) iga k ∈ N korral ja xk → b. Moodustame uue funktsiooni ϕ : [a, b] → R, ϕ(x) =      L, kui x = a, f (x), kui x ∈ (a, b), M, kui x = b.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 81 Selge, et ϕ on pidev igas punktis x ∈ (a, b), kuid kuna ϕ (a) = L = lim x→a+ f (x) = lim x→a+ ϕ (x) ja ϕ (b) = M = lim x→b− f (x) = lim x→b− ϕ (x) , siis on funktsioon ϕ pidev ka punktides a ja b. Kokkuvõttes on ϕ: [a, b] → R ühtlaselt pidev ning
ϕ (x) = f (x) iga x ∈ (a, b) korral. Lause on tõestatud. 3.6 Pidevate funktsioonide lähendamine trepp- ja tükiti lineaarsete funktsioonidega 3.6.1 Lähendamine treppfunktsioonidega Lõigus [a, b] määratud funktsiooni h nimetame treppfunktsiooniks, kui lõigu [a, b] saab jaotada lõplikuks
arvuks sellisteks osaintervallideks, milles h on konstantne. Täpsemalt, h: [a, b] → R on treppfunktsioon
parajasti siis, kui [a, b] = n [ i=1 Ii, kus Ii ∩ Ij = ∅ (i 6= j) ning I1, . . . , In on sellised intervallid, et h (x) = ci (x ∈ Ii; i = 1, . . . , n) . Näiteks täisosa-funktsioonil h , kus h (x) := [x], on lõigus [0, 100] 101 erinevat väärtust, ta on tüüpiline treppfunktsioon. Lause 3.31 Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon. Siis iga ε > 0 jaoks leidub selline treppfunktsioon
h : [a, b] → R, mis rahuldab tingimust |f (x) − h (x)| < ε iga x ∈ [a, b] korral. y x 0 y = f (x) y = h(x) a x1 x2 x3 x4 b Joonis 3.9: Pideva funktsiooni f lähendamine treppfunktsiooniga h. Tõestus. Olgu ε > 0 suvaline. Kuna f on Cantori teoreemi kohaselt lõigus [a, b] ühtlaselt pidev, siis ühtlase pidevuse definitsiooni kohaselt saab valida positiivse arvu δ omadusega
x − x′
< δ, x, x′ ∈ [a, b] ⇒
f (x) − f x′
< ε.

82 3 Pidevad funktsioonid Võtame arvu n ∈ N nii suure, et ρ := b−a n < δ, ja jaotame lõigu [a, b] n võrdse pikkusega osaintervallideks I1 := [a, a + ρ) , I2 := [a + ρ, a + 2ρ) ,. . . , Ii := [a + (i − 1) ρ, a + iρ) ,. . . , In := [a + (n − 1) ρ, a + nρ] = [b − ρ, b] . Defineerime igas osaintervallis Ii konstantse funktsiooni si seosega si (x) := f (a + (i − 1)ρ) (x ∈ Ii) ning lõigus [a, b] funktsiooni h seosega h (x) := si (x) , kui x ∈ Ii (i = 1, . . . , n) . Sel juhul |f (x) − si (x)| = |f (x) − f (a + (i − 1)ρ)| < ε iga x ∈ Ii korral (i = 1, . . . , n) (põhjendada!)z, mis tähendab, et |f (x) − h (x)| < ε iga x ∈ [a, b] korral. 3.6.2 Lähendamine tükiti lineaarsete funktsioonidega Öeldakse, et funktsioon h on lõigus [a, b] tükiti lineaarne, kui lõigu [a, b] saab jaotada lõplikuks arvuks
osaintervallideks, milles h on lineaarne. Täpsemalt, funktsioon h: [a, b] → R on tükiti lineaarne parajasti
siis, kui [a, b] = n [ i=1 Ii, Ii ∩ Ij = ∅ (i 6= j) ning I1, . . . , In on sellised intervallid, et h (x) = Aix + Bi (x ∈ Ii) , kus Ai ja Bi on iga i = 1, . . . , n puhul konstantsed kordajad. Lihtne on veenduda, et tükiti lineaarne
funktsioon h on pidev parajasti siis, kui ta graafik on pidev murdjoon. y x 0 y = f (x) y = h(x) a x1 x2 x3 b Joonis 3.10: Pideva funktsiooni f lähendamine tükiti lineaarse funktsiooniga h. Lause 3.32 Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon. Siis leidub iga ε > 0 jaoks lõigus [a, b] pidev tükiti
lineaarne funktsioon h, mis rahuldab tingimust |f (x) − h (x)| < ε iga x ∈ [a, b] korral. (3.24)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 83 Tõestus. Olgu ε > 0. Samuti nagu eelmise väite tõestuses leiame δ > 0 tingimusega
x − x′
< δ, x, x′ ∈ [a, b] ⇒
f (x) − f x′
< ε/2 ja moodustame intervallid I1, . . . , In täpselt samamoodi, kui eelmises tõestuses. Igas intervallis Ii defi-
neerime lineaarse funktsiooni si selliselt, et tema graafik ühendaks funktsiooni f graafiku punkte (a + (i − 1) ρ, f (a + (i − 1) ρ)) ja (a + iρ, f (a + iρ)) . Funktsioon h defineeritakse seosega h (x) = si (x) (x ∈ Ii; i = 1, . . . , n) . Analüütiliselt esitatakse funktsioon h valemiga h (x) = f (xi−1) + f (xi) − f (xi−1) xi − xi−1 (x − xi−1) (x ∈ Ii; i = 1, . . . , n) , kus xi := a + iρ on lõigu jaotuspunktid. Siis iga x ∈ [a, b] korral leidub selline i ∈ {1, . . . , n}, et x ∈ Ii, seega |f (x) − h (x)| =
f (x) − f (xi−1) − f (xi) − f (xi−1) xi − xi−1 (x − xi−1)
6 |f (x) − f (xi−1)| + |f (xi) − f (xi−1)| |x − xi−1| |xi − xi−1| 6 |f (x) − f (xi−1)| + |f (xi) − f (xi−1)| < ε. Vahetu kontroll näitab, et
1) igas intervallis Ii on funktsioon h lineaarne (veenduda!)z ja
2) punktides xi on h pidev.
Väite 2) kontrollimiseks paneme tähele, et lim x→xi− h (x) = lim x→xi+ h (x) = f (xi) (kontrollida!)z , seega on funktsioon h tõepoolest pidev igas jaotuspunktis xi. Kokkuvõttes on h pidev funktsioon, mis rahuldab tingimust (3.24). 3.7 Heine-Boreli lemma 3.7.1 Heine-Boreli lemma Reaalarvude omadus, mida kirjeldab alljärgnev väide, on lähtepunktiks olulisele ja ulatuslikule uurimis-
suunale üldises topoloogias – kompaktsete ruumide teooriale. Teoreem 3.33 (Heine-Boreli lemma). Kui arvsirge lõik [a, b] on kaetud lõpmatu arvu vahemikega,
siis nende hulgast saab valida lõpliku arvu vahemikke, mis katavad lõigu [a, b] . Tõestus. Olgu ∆ niisugune vahemikest S koosnev lõpmatu hulk, mis katab lõigu [a, b], niisiis, [a, b] ⊆ S {S | S ∈ ∆} . Meie eesmärk on veenduda, et hulk ∆ sisaldab niisuguse lõpliku alamhulga ∆0 ⊆ ∆ , millesse kuuluvad vahemikud samuti katavad [a, b] , s.t. [a, b] ⊆ S {S | S ∈ ∆0} .

84 3 Pidevad funktsioonid Olgu X kõigi niisuguste arvude x ∈ [a, b] hulk, et lõiku [a, x] saab katta lõpliku arvu vahemikega hulgast ∆, s.t. X := n x ∈ [a, b] | leidub lõplik ∆x ⊆ ∆ : [a, x] ⊆ o . Märgime, et
1) X ei ole tühihulk, sest a ∈ X (põhjendada!)z ning
2) kui x ∈ X ja a 6 z 6 x , siis z ∈ X (selgitada!)z . Väide on tõestatud, kui oleme veendunud, et b ∈ X. Selge, et b on hulga X ülemine tõke, seetõttu saame rakendada pidevuse aksioomi, mille kohaselt ek- sisteerib c := sup X. Näitame kõigepealt, et c ∈ X. Kuna X ⊆ [a, b], siis c ∈ [a, b] (põhjendada!)z. See-
ga leidub niisugune vahemik S0 = (α0, β0) ∈ ∆, et c ∈ S0. Paneme tähele, et vahemik S0 peab sisaldama
mingi punkti x0 hulgast X, s.t. x0 ∈ S0 ∩ X: kui oletada, et S0 ∩ X = ∅, siis α0 oleks hulga X ülemine
tõke, mis seose α0 < c tõttu on vastuolus sellega, et c on hulga X ülemine raja. Hulga X definitsiooni
kohaselt leidub lõplik alamhulk {S1, S2, . . . , Sn} ⊆ ∆ omadusega [a, x0] ⊆ S {Sk | k = 1, 2, . . . , n} ,
siis [a, c] ⊆ S {Sk | k = 0, 1, 2, . . . , n} (põhjendada!)z, niisiis, c ∈ X. Näitame, et c = b. Oletame vastuväiteliselt, et c < b, siis eelpool vaadeldud vahemikus S0 leidub mingi punkt x∗ omadusega x∗ > c, x∗ ∈ [a, b] . Kuid sel juhul x∗ ∈ X (põhjendada!)z, mis on vastuolus
tõsiasjaga, et c on hulga X ülemine raja. Tähendab, b = c ∈ X, mida me tahtsimegi tõestada. 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil Käesoleva peatüki punktis 3.2 tõestasime Bolzano–Cauchy teoreemi vahepealsetest väärtustest (teoreem
3.13), mis väidab, et kui arvud y1 ja y2, kus y16= y2 , on mingis intervallis pideva funktsiooni f väärtused, siis iga arv A, mis asub arvude y1 ja y2 vahel, on samuti funktsiooni f väärtus. See teoreem järeldub otseselt teoreemist lõigus pideva funktsiooni nullkohast (teoreem 3.11): kui lõigus [a, b] pideva funktsiooni
f väärtused lõigu otspunktides on erinevate märkidega, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c omadusega
f (c) = 0. Teoreemi 3.11 tõestus oli üles ehitatud teoreemile sisestatud lõikudest (vt. teoreem 2.18). Järgnevalt näitame, et teoreemi 3.11 (seega ka teoreemi 3.13) võib vaadelda järeldusena Heine–Boreli lemmast. Teoreemi 3.11 tõestus. Eeldame, et funktsioon f : [a, b] → R on pidev ning (konkreetsuse mõttes) f (a) < 0 ja f (b) > 0. Oletame vastuväiteliselt, et f (x) 6= 0 iga x ∈ [a, b] korral. Funktsiooni pidevuse definitsioonist tuleneb järgmine väide:
kui funktsioon f : D → R on pidev punktis z ja f (z) > 0 (f (z) < 0) siis leidub punktil z selline ümbrus Uδ (z), et f (x) > 0 (f (x) < 0) iga x ∈ Uδ (z) ∩ D korral (tõestada!)z. Selle väite ning meie vastuväitelise oletuse kohaselt saab iga x ∈ [a, b] jaoks leida talle vastava δx > 0 nii, et funktsioon f säilitab märki hulgas Uδ x (x) ∩ [a, b] (põhjendada!)z. On selge, et [a, b] ⊆, niisiis on lõik [a, b] kaetud vahemikega Uδ x (x) (x ∈ [a, b]). Teoreemi 3.33 kohaselt leiduvad punktid x1 < x2 < . . . < xn lõigus [a, b] nii, et [a, b] ⊆ n [ k=1 Uδ xk (xk). Sealjuures, võime eeldada, et Uδ xi (xi) ∩ Uδxi+1 (xi+1) 6= ∅ iga i = 1,. . ., n − 1 puhul (miks?) z . Kuna a ∈ Uδ x1 (x1) ning f (a) < 0 ja f säilitab hulgas Uδx1 (x1) ∩[a, b] märki, siis f (x) < 0 iga x ∈ Uδ x1 (x1) ∩[a, b] korral. Sellest, et f säilitab hulgas Uδx2 (x2) ∩[a, b] märki ja Uδx1 (x1) ∩Uδx2 (x2) 6= ∅, tuleneb, et f (x) < 0 iga x ∈ Uδ x2 (x2) ∩[a, b] korral. Korrates sama mõttekäiku n korda, jõuame

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 85 tulemuseni, et f (x) < 0 iga x ∈ Uδ xn (xn) ∩[a, b] korral. Kuid see on vastuolus meie eeldusega f (b) > 0, sest b ∈ Uδ xn (xn) ∩ [a, b] . Saadud vastuolu kinnitab funktsiooni f nullkoha olemasolu. 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil Punktis 3.2 tõestatud Weierstrassi teoreemid väidavad, et iga lõigus pidev funktsioon on selles lõigus
tõkestatud (teoreem 3.15) ja ta saavutab selles lõigus oma suurima ja vähima väärtuse (teoreem 3.16).
Teoreem 3.16 tuleneb teoreemist 3.15, mille tõestuseks rakendatakse Bolzano-Weierstrassi teoreemi. Me näitame järgnevalt, et teoreem 3.15 (siis ka teoreem 3.16) on tuletatav Heine-Boreli lemmast. Teoreemi 3.15 tõestus. Eeldame, et funktsioon f : [a, b] → R on pidev, olgu ε > 0. Iga x ∈ [a, b] korral saab valida tema sellise ümbruse Uδ x (x), et f (x) − ε < f (z) < f (x) + ε kõikide z ∈ Uδ x (x) ∩ [a, b] korral (3.25) (selgitada!)z. Kuna [a, b] ⊆ S x∈[a,b] Uδ x (x), siis on lõik [a, b] kaetud vahemikega Uδx (x). Heine-Boreli lemma põhjal saab lõigus [a, b] valida punktid x1, x2, . . . , xn omadusega [a, b] ⊆ n [ k=1 Uδ xk (xk) . Seejuures on funktsioon f seoste (3.25) tõttu igas hulgas Uδ xk (xk) ∩[a, b] tõkestatud (selgitada!) z , mistõttu leiduvad arvud mk ja Mk, et mk 6 f (x) 6 Mk x ∈ Uδ xk (xk) ∩ [a, b] , k = 1, . . . , n . Tähistame m := min 16k6n mk ja M := max 16k6n Mk, siis m 6 f (x) 6 M (x ∈ [a, b]) (selgitada!)z. Seega on funktsioon f lõigus [a, b] tõkestatud. Märkus. Ka teoreemi 3.16 saab tõestada Heine–Boreli lemma abil. Nimelt, olgu f tõkestatud lõigus [a, b], olgu M = sup x∈[a,b] f (x) ning oletame väitevastaselt, et f (x) < M iga x ∈ [a, b] korral. Iga x ∈ [a, b] jaoks olgu valitud εx ∈ (0, M −f(x)). Kuna f on pidev lõigus [a, b], siis iga x ∈ [a, b] jaoks leidub δε x > 0 omadusega, et f (z) < f (x) + εx < M, kui z ∈ Uδ εx (x) ∩ [a, b]. Nüüd Heine–Boreli lemma võimaldab lõigu [a, b] kattest S Uδ εx : x ∈ [a, b] eraldada lõpliku alamkatte S n Uδ εxk : k = 1, . . . , n o ⊇ [a, b]. Niisiis osutub, et iga z ∈ [a, b] jaoks f(z) < < M, mis on vastuolus sellega, et M on f väärtuste hulga vähim ülemine tõke. 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil Cantori teoreem (vt. teoreem 3.25), mis väidab, et iga lõigus pidev funktsioon on selles lõigus ühtlaselt
pidev, on oluline abivahend matemaatilise analüüsi paljude tulemuste tõestamisel. Punktis 3.3 esitatud
tõestus toetub Bolzano-Weierstrassi teoreemile. Näitame järgnevalt, et Cantori teoreemi saab suhteliselt lihtsalt tõestada Heine-Boreli lemma abil.

86 3 Pidevad funktsioonid Teoreemi 3.25 tõestus. Eeldame, et funktsioon f : [a, b] → R on pidev. Olgu ε > 0. Meie eesmärgiks on näidata niisuguse δ > 0 olemasolu, et |f (x) − f (x′)| < ε, kui x, x′ ∈ [a, b] ja |x − x′| < δ (vrd.
ühtlase pidevuse definitsioon alapunktis 3.5). Pidevuse definitsioonist tulenevalt saame iga x ∈ [a, b] puhul fikseerida arvu δx > 0 nii, et |f (x) − f (z)| < ε
2 kõikide z ∈ Uδ x (x) ∩ [a, b] korral. (3.26) Paneme tähele, et kui x′ ∈ Uδ x (x) ∩ [a, b], siis
f x′ − f (z)
< ε (z ∈ Uδ x (x) ∩ [a, b]) (kontrollida!)z. Vaatleme punktide x ümbrusi U δ x 2 (x) = x − δx 2 , x + δx 2 . Kuna [a, b] ⊆ [ x∈[a,b] Uδx 2 (x), siis Heine-Boreli lemma põhjal leiduvad punktid x1, x2, . . . , xn omadusega [a, b] ⊆ n [ k=1 U δx k 2 (xk) . Tähistame δ := min 16k6n δx k 2 , rahuldagu punktid x, x ′ ∈ [a, b] tingimust |x − x′| < δ. On selge, et x′ ∈ n S k=1 U δx k 2 (xk), seega x′ ∈
xk 0 − δx k0 2 , xk 0 + δx k0 2
∩ [a, b] ⊆ Uδ xk0 (xk 0 ) ∩ [a, b] mingi k0 ∈ {1, . . . , n} korral. Kuna |x − xk 0 | 6
x − x′
x′ − xk 0
< δ + δx k0 2 6 δx k0 2 + δx k0 2 = δx k0 , siis x ∈
xk 0 − δxk0 , xk0 + δxk0
∩ [a, b] = Uδ xk0 (xk 0 ) ∩ [a, b] , ning seose (3.26) kohaselt
f (x) − f x′
6 |f (x) − f (xk 0 )| +
f (xk 0 ) − f x′
< ε
2 + ε
2 = ε. Teoreem on tõestatud.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 87 4 Diferentseeruvad funktsioonid 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus Olgu D ⊆ R. Olgu a ∈ D selline, et leidub intervall X omadusega a ∈ X ⊆ D. Vaatleme funktsiooni f : D → R. Definitsioon. Funktsiooni f tuletiseks punktis a ∈ D (derivative, производная) nimeta- takse piirväärtust f ′ (a) := lim x→a f (x) − f (a) x − a = lim h→0 f (a + h) − f (a) h . (4.1) Kui piirväärtus f′ (a) on lõplik, siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv (diﬀerentiable,
дифференцируемая ) punktis a ∈ D. Kui eksisteerib ühepoolne piirväärtus f ′ − (a) := lim x→a− f (x) − f (a) x − a või f′ + (a) := lim x→a+ f (x) − f (a) x − a , siis kõneldakse vastavalt vasak- ja parempoolsest tuletisest kohal a. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on diferentseeruv, kui ta on diferent- seeruv igas punktis x ∈ D. Funktsiooni f′ : D → R nimetatakse sel juhul funktsiooni f tuletiseks ehk tuletisfunktsiooniks. Olgu D1 ⊆ D. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on diferentseeruv hulgas D1, kui ahend f |D 1 : D1 → R on diferentseeruv. Me kasutame allpool funktsiooni f (või avaldise f (x)) tuletise tähistamiseks tihti ka kirjutusviisi (f (x))′, näiteks (vt. näide 4.6)) (sin x)′ = cos x iga x ∈ R korral. Kui funktsioon f′ on hulgas D diferentseeruv, siis tähistame f(2) := f′′ := (f′)′, seda funktsiooni nimetatakse funktsiooni f teiseks ehk teist järku tuletiseks hulgas D. Kui f′′ on
hulgas D diferentseeruv, siis f(3) := f′′′ := (f′′)′ on funktsiooni f kolmas ehk kolmandat järku
tuletis hulgas D, jne. Üldjuhul tähistame funktsiooni n-dat järku tuletist sümboliga f(n). Lause 4.1 Kui funktsioon f on punktis a ∈ D diferentseeruv, siis on ta selles punktis pidev. Tõestus. Iseseisvalt!z Meenutame diferentseeruvuse mõiste geomeetrilist sisu. Tõmbame läbi funktsiooni f graafiku punktide P = (a, f (a)) ja Q = (x, f (x)) lõikaja (vt. joonis 4.1), see on määratud
võrrandiga Y = f (a) + f (x) − f (a) x − a (X − a) , (4.2) kus (X, Y ) on vaadeldava sirge punkt (selgitada!)z. Eeldame, et funktsioon f on kohal a
diferentseeruv, siis protsessis x → a graafiku punkt Q läheneb punktile P (põhjendada!)z, seejuures saab võrrand (4.2) kuju Y = f (a) + f ′ (a) (X − a) .

88 4 Diferentseeruvad funktsioonid Sellega määratud sirget nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujaks punktis P. Niisiis,
kohal a diferentseeruva funktsiooni f korral defineeritakse tema graafiku punktis (a, f (a))
puutuja kui punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a, tuletis
f ′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga (vt. joonis 4.1). Seega iseloo-
mustab diferentseeruvat funktsiooni tema graafiku teatav siledus, asjaolu, et graafik on "ilma
nurkadeta". y x 0 a α β z f (z) − f(a) y = f ′(a)(x − a) + f(a) P Q y = f (x) Joonis 4.1: Diferentseeruva funktsiooni graafiku puutuja. Funktsiooni diferentseeruvuse mõiste analüütiline sisu avaldub järgmise lausena. Lause 4.2 Funktsioon f : D → R on kohal a ∈ D diferentseeruv parajasti siis, kui leidub reaalarv A ja funktsioon α ∈ o(x − a) (protsessis x → a) nii, et iga x ∈ D korral kehtib valem f (x) = f (a) + A · (x − a) + α(x). (4.3) Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et f on punktis a diferentseeruv. Valime A := f′(a) ja α(x) = f (x) − f(a) − f′(a) · (x − a). Nüüd α ∈ o(x − a) ning iga x ∈ D korral valem (4.3) kehtib (selgitage!)z. Piisavus. Saame, et f (x) − f(a) x − a = A + α(x) x − a . Kuna α ∈ o(x − a) protsessis x → a, siis lim x→a f (x) − f(a) x − a = A (selgitage!)z, mistõttu f′(a) = A ja järelikult f on diferentseeruv punktis a. Lause 4.2 väidab järgmist: f diferentseeruvus kohal a on samaväärne sellega, et leidub A ∈ R nii, et leiab aset koondumine (selgitage!z): lim x→a f (x) − T1(x) x − a = 0, (4.4) kus T1(x) = f(a) + A · (x − a). Sealjuures on arvu A rollis sel juhul arv f′(a).

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 89 Koondumisest (4.4) järeldub, et kehtib ka koondumine lim x→a (f (x) − T1(x)) = lim x→a f (x) − T1(x) x − a · (x − a) = 0. Niisiis, kui f on diferentseeruv kohal a, on f punkti a ümbruses lähendatav lineaarfunkt-
siooniga T1. Kõrgemat järku polünoomidega lähendamist punkti a ümbruses (kasutades sobivat järku diferentseeruvust) uuritakse alapeatükis „Taylori valem“ (vt. 4.3). Tuletise definitsioonist lähtudes leitakse lihtsamate elementaarfunktsioonide tuletised. Näiteks,
1) konstantse funktsiooni f : R → R, x 7→ c puhul f′ (x) = 0 iga x ∈ R korral (kontrollige!)z, 2) (cx + d)′ = c iga x ∈ R korral (kontrollige!)z, 3) (xn)′ = nxn−1 iga x ∈ R korral (kontrollige!)z. Seevastu absoluutväärtusega määratud funktsioonil x 7→ |x| ei ole punktis a = 0 tuletist (veenduge!)z. Näide 4.1. Leiame eksponentfunktsiooni f : R → R, x 7→ e x tuletise. Selleks arvutame suvalise a ∈ R puhul piirväärtuse3 f ′ (a) = lim h→0 ea+h − e a h = lim h→0 eaeh − e a h = ea lim h→0 eh − 1 h = ea, niisiis, (ex)′ = ex iga x ∈ R korral. Näide 4.2. Siinusfunktsiooni f : R → R, x 7→ sin x jaoks (vt. ptk. 6.7) kehtib võrdus sin(x + y) = sin x cos y − cos x sin y, millest järeldame, et
sin x − sin y = 2 cos x+y 2 sin x−y 2 ning seetõttu f ′ (a) = lim h→0 sin (a + h) − sin a h = lim h→0 2 cos a + h 2 sin h 2 h = lim h→0 cos
a + h 2
lim h→0 sin h 2 h 2 = cos a, s.t. (sin x)′ = cos x iga x ∈ R korral. Analoogiliselt veendutakse, et (cos x)′ = − sin x iga x ∈ R korral (kontrollida!)z. 3Piirväärtuse lim h→ 0 e h − 1 h arvutamiseks teeme muutujavahetuse z := e h − 1, siis h = ln (z + 1) . Kui h → 0, siis ka z → 0, ning lim h→ 0 e h − 1 h = lim z→ 0 z ln(z+1) = 1.

90 4 Diferentseeruvad funktsioonid 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Lause 4.3 Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f +g ja f −g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g)′ (a) = f′ (a)±g′ (a) . Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 4.4 Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis ka funktsioon λf on iga λ ∈ R korral selles punktis diferentseeruv ning (λf)′ (a) = λf′ (a) . Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 4.5 Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a diferentseeruvad, siis ka nende korrutis fg on selles punktis diferentseeruv funktsioon ning (fg)′ (a) = f (a) g′ (a) +
f ′ (a) g (a). Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 4.6 Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a diferentseeruvad ning
g (a) 6= 0, siis ka funktsioon f g : D′ → R, x 7→ f (x) g (x) , kus D′ := {x ∈ D | g (x) 6= 0}, on selles punktis diferentseeruv ja f g
′ (a) = f ′ (a) g (a) − f (a) g′ (a) g (a) 2 . Tõestus. Paneme tähele, et hulk D′ ei pruugi olla intervall, kuid ilmselt on a mingi alamintervalli D′′ ⊆ D′ sisepunkt või otspunkt: kuna g (a) 6= 0, siis kehtib kas g (a) < 0 või
g (a) > 0, seega saame valida sellise δ > 0, et D′′ := (a − δ, a + δ) ⊆ D′ (otspunkti korral D′′ := [a, a + δ) või D′′ := (a − δ, a]) ja g (x) < 0 (vastavalt g (x) > 0) iga x ∈ D′′ korral (selgitada!)z. Vaatleme algul juhtu, kus f on konstantne funktsioon väärtusega 1, siis lim x→a 1
g (x) − 1
g (a) x − a = lim x→a 1 g(x) − 1 g(a) x − a = lim x→a 1 g (x) g (a) g (a) − g (x) x − a = 1 g (a) 2 (−g ′ (a)) . Sellest valemist saame lauset 4.5 rakendades, et f g
′ (a) =
f 1
g
′ (a) = f (a) 1 g
′ (a) + f ′ (a) 1
g (a) = f (a) −g′ (a) g (a) 2 + f ′ (a) 1 g (a) = f ′ (a) g (a) − f (a) g′ (a) g (a) 2 .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 91 Lause on tõestatud. Loetletud diferentseerimisreegleid rakendades on lihtne veendudaz, et 1) iga polünoom P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 on igas punktis x ∈ R diferentseeruv ning P ′ (x) = nanxn−1 + (n − 1) an−1xn−2 + · · · + a1, 2) (tan x)′ = sinx cos x
′ = 1 cos2 x iga x ∈ R π 2 ± kπ | k = 0, 1, 2, . . . korral, 3) (cot x)′ = − 1 sin2 x iga x ∈ R {±kπ | k = 0, 1, 2, . . . } korral. 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine Järgmine lause esitab eeskirja kahest komponendist koosneva liitfunktsiooni diferentseeruvu-
seks, analoogiline eeskiri on meile hästi tuntud ka suurema arvu komponentide puhul. Seda
eeskirja nimetatakse ka ahelareegliks. Lause 4.7 Olgu funktsioon f : D → R kohal a ∈ D diferentseeruv. Kui f (x) ∈ E iga x ∈ D korral ja funktsioon h: E → R on punktis b := f (a) diferentseeruv, siis ka liitfunktsioon h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) on punktis a diferentseeruv ja (h ◦ f) ′ (a) = h′ (b) f′ (a) . Tõestus. Eeldame, et funktsioon u = f (x) on kohal a ja funktsioon y = h (u) kohal b = f (a) diferentseeruv. Meie eesmärgiks on veenduda, et lim x→a h ◦ f (x) − h ◦ f (a) x − a = h′ (f (a)) f ′ (a) . Defineerime abifunktsiooni ϕ : E → R, ϕ (u) :=
h(u)−h(b) u−b , kui u 6= b, h′ (b) , kui u = b. Kuna funktsioon h on punktis b diferentseeruv, siis ϕ on kohal b pidev: lim u→b ϕ (u) = lim u→b h (u) − h (b) u − b = h′ (b) = ϕ (b) . (4.5) Kuna funktsioon f on kohal a diferentseeruv, siis lause 4.1 kohaselt on ta selles punktis
pidev. Et funktsioon ϕ on pidev kohal b = f (a), siis liitfunktsioon ϕ ◦ f on lause 3.10 põhjal pidev punktis a, seega lim x→a ϕ (f (x)) = ϕ (f (a)) . (4.6) Paneme tähele, et h (u) − h (b) = ϕ (u) (u − b) iga u ∈ E puhul, niisiis h (f (x)) − h (f (a)) = ϕ (f (x)) (f (x) − f (a)) iga x ∈ D korral. (4.7)

92 4 Diferentseeruvad funktsioonid Seostest (4.7) ja (4.6) saame, et (h ◦ f) ′ (a) = lim x→a h ◦ f (x) − h ◦ f (a) x − a = lim x→a h (f (x)) − h (f (a)) x − a = lim x→a ϕ (f (x)) f (x) − f (a) x − a = lim x→a ϕ (f (x)) lim x→a f (x) − f (a) x − a = ϕ (f (a)) f ′ (a) = h′ (f (a)) f ′ (a) . Lause on tõestatud. Teiseks tõestame pöördfunktsiooni diferentseerimise reegli. Meenutame, et kui f : D → R on hulgas D rangelt monotoonne funktsioon, siis tal on rangelt monotoonne pöördfunkt- sioon g := f−1 (vt. lause 3.18). Kui seejuures D on intervall ja f on pidev, siis tema väärtuste
hulk R := {f (x) | x ∈ D} , mis on pöördfunktsiooni g määramispiirkond, on samuti intervall (vrd. teoreem 3.13). Lause 4.8 Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D → R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon g : D′ → R on punktis b := f (a) diferentseeruv parajasti siis, kui f′ (a) 6= 0. Sel juhul g′ (b) = 1 f ′ (a) . (4.8) Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et pöördfunktsioon g on punktis b = f (a) diferentseeruv. Kuna g (f (x)) = x iga x ∈ D korral, siis lause 4.7 kohaselt g′ (f (a)) f′ (a) = (g ◦ f)′ (a) = 1. Siit järeldub, et f′ (a) 6= 0 ja kehtib võrdus (4.8) Piisavus. Olgu f′ (a) 6= 0. Peame silmas, et f (x) 6= f (a) iga x ∈ D {a} korral, seega on funktsioon F : D {a} → R, x 7→ x − a f (x) − f (a) korrektselt defineeritud, kusjuures lim x→a F (x) = 1 f ′(a) (selgitada!) z . Tähistades y = f (x) (seega x = g (y)) ja pidades silmas, et funktsioon g on pidev punktis b (põhjendada!)z,
saame seose lim y→b x = lim y→b g (y) = a. Niisiis, lim y→b g (y) − g (b) y − b = lim x→a F (x) = 1 f ′ (a) . Lause on tõestatud. Näide 4.3. Leiame valemi (4.8) abil logaritmfunktsiooni f : (0, ∞) → R, x 7→ ln x tuletise. Kuna y = f (x) on eksponentfunktsiooni g : R → R, y 7→ e y pöördfunktsioon, siis lause 4.8 kohaselt f ′ (x) = 1 g′ (y) = 1 ey = 1 eln x = 1 x iga x ∈ (0, ∞) korral.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 93 Näide 4.4. Kuna f : [ −1, 1] → R, x 7→ arcsin x on pideva rangelt kasvava funktsiooni g : h − π 2 , π 2 i → [−1, 1] , y 7→ sin y pöördfunktsioon, siis valemi (4.8) kohaselt f ′ (x) = 1 cos y = 1 p1 − sin2 y = 1 √ 1 − x2 iga x ∈ (−1, 1) korral. Analoogiliselt tuletatakse valemid (arccos x)′ = − 1 √ 1 − x2 (x ∈ (−1, 1)) ning (arctan x)′ = 1 1 + x2 ja (arccot x)′ = − 1 1 + x2 (x ∈ R) (kontrollida!)z. 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem Alustame olulise tähelepanekuga tuletise seosest funktsiooni ekstreemumitega. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioonil f : D → R on punktis a ∈ D suurim (vä- him) väärtus ehk globaalne maksimum (miinimum) (global, absolute maximum, абсолютный
максимум ) , kui iga x ∈ D korral kehtib võrratus f (x) 6 f (a) (vastavalt f(x) > f(a) iga x ∈ D korral). Kui funktsiooni f määramispiirkonna D sisepunktil a on ümbrus Uδ (a) omadusega f (x) 6 f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (local, relative maximum,
локальный максимум ) . Kui f (x) > f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis kõneldakse lokaalsest miinimumist. Kui funktsioonil on vaadeldavas punktis kas lokaalne maksimum või lokaalne
miinimum, siis öeldakse, et tal on lokaalne ekstreemum. Lause 4.9 (Fermat’ teoreem, tarvilik tingimus lokaalseks ekstreemumiks). Olgu
funktsioon f : D → R intervalli D sisepunktis a diferentseeruv ning olgu tal selles punktis lokaalne ekstreemum. Siis f′ (a) = 0. Tõestus. Konkreetsuse mõttes olgu funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. Olgu δ > 0 selline arv, et f (x) 6 f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral. Siis f (x) − f (a) x − a > 0 kõikide x ∈ (a − δ, a) korral

94 4 Diferentseeruvad funktsioonid ja f (x) − f (a) x − a 6 0 kõikide x ∈ (a, a + δ) korral (selgitada!)z. Diferentseeruvuse eelduse tõttu eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused lim x→a− f (x) − f (a) x − a > 0 ja lim x→a+ f (x) − f (a) x − a 6 0 (põhjendada!)z. Kuna need peavad olema võrdsed, siis f′ (a) = lim x→a f (x)−f(a) x−a = 0. Lokaalse miinimumi korral on tõestus analoogiline. Geomeetriliselt tähendab lause 4.9 väide seda, et kui punktis a diferentseeruval funkt- sioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud
puutuja on paralleelne x-teljega (selgitada!)z. Rõhutame, et tegemist on vaid tarviliku, üld-
juhul mitte piisava tingimusega, lihtsaks kontranäiteks on funktsioon y = x3 (kontrollida!)z. Lause 4.10 (Rolle’i teoreem). Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon, mis vahemikus (a, b)
on diferentseeruv. Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c ∈ (a, b), et f′ (c) = 0. Tõestus. Kui f on seejuures konstantne funktsioon, siis f′ (x) = 0 iga x ∈ (a, b) pu- hul. Mittekonstantse funktsiooni f korral märgime kõigepealt seda, et Weierstrassi teoreemi
kohaselt (vt. teoreem 3.16) on funktsioonil f lõigus [a, b] nii globaalne maksimum kui ka
miinimum. Kuna f ei ole konstantne, siis peab vähemalt üks neist ekstreemumitest olema
vahemikus (a, b) (selgitada!)z, olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 4.9 põhjal f′ (c) = 0. Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahe- mikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku punkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbib selline
lõikaja, mis on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel selline graafiku punkt (c, f (c)) ,
milles võetud puutuja on x-teljega paralleelne. 4.2.2 Lagrange’i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused Ei ole põhjust arvata, et Rolle’i teoreemi väide kehtib vaid x-teljega paralleelsete lõikajate ja
puutujate puhul. Järgmine lause – Lagrange’i keskväärtusteoreem – ütlebki, et lõigus [a, b]
pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f korral saab vähemalt ühes graafi-
ku punktis (c, f (c)) võtta puutuja, mis on paralleelne läbi punktide (a, f (a)) ja (b, f (b))
tõmmatud lõikajaga (vt. joonis 4.2). Lause 4.11 (Lagrange’i keskväärtusteoreem). Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon, mis
vahemikus (a, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c ∈ (a, b), et f ′ (c) = f (b) − f (a) b − a . (4.9) Tõestus. Defineerime abifunktsiooni g : [a, b] → R seosega g (x) := f (x) − f (b) − f (a) b − a (x − a) .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 95 y x 0 a b c y = f (x) f (a) f (b) Joonis 4.2: Lagrange’i keskväärtusteoreem. See on lõigus [a, b] pidev (põhjendada!)z ning vahemikus (a, b) diferentseeruv: g′ (x) := f ′ (x) − f (b) − f (a) b − a (x ∈ (a, b)) . Kuna seejuures g (a) = g (b) (veenduda!)z, siis saame funktsioonile g rakendada Rolle’i
teoreemi. Selle kohaselt leidub niisugune punkt c ∈ (a, b), et 0 = g′ (c) = f ′ (c) − f (b) − f (a) b − a , s.t. kehtib (4.9). Tingimus (4.9) esitatakse tihti kujul f (a + h) − f (a) = f′ (a + θh) h mingi θ ∈ (0, 1) korral. Lagrange’i keskväärtusteoreem võimaldab meil lihtsalt rakendada funktsiooni tuletist sel- le funktsiooni monotoonsusomaduste kirjeldamisel. Lause 4.12 Olgu f : D → R pidev funktsioon, mis intervalli D kõigis sisepunktides x ∈ Do on diferentseeruv.
(a) Kui f ′ (x) = 0 iga x ∈ D o korral, siis f on konstantne funktsioon. (b) Kui f ′ (x) > 0 (f ′ (x) > 0) iga x ∈ D o korral, siis f on rangelt kasvav (kasvav) funktsioon. (c) Kui f ′ (x) < 0 (f ′ (x) 6 0) iga x ∈ D o korral, siis f on rangelt kahanev (kahanev) funktsioon. Tõestus. Olgu y ja z suvalised punktid intervallis D, eeldame, et y < z. Eelduse ko- haselt on funktsioon f lõigus [y, z] pidev ning vahemikus (y, z) diferentseeruv, seega leidub
Lagrange’i keskväärtusteoreemi põhjal c ∈ (y, z) omadusega f (z) − f (y) = f′ (c) (z − y) . (4.10)

96 4 Diferentseeruvad funktsioonid Seejuures on c hulga D sisepunkt (põhjendada!)z. Juhul (a) kehtib võrdus f′ (c) = 0, seega f (z) − f (y) = 0 ehk f (y) = f (z) suvaliste y, z ∈ D puhul. (b) Kui f ′ (x) > 0 iga x ∈ D o korral, siis seose (4.10) kohaselt f (z) − f (y) = f′ (c) (z − y) > 0, seega on f rangelt kasvav. Analoogiliselt saadakse väite (b) teine pool, samuti väide (c)
(iseseisvalt!z). Lause 4.13 Olgu δ > 0 ja olgu funktsioon f : D → R pidev punktis a ∈ Do ning dife- rentseeruv mõlemas vahemikus (a − δ, a) ja (a, a + δ) .
(a) Kui f ′ (x) > 0 iga x ∈ (a − δ, a) korral ja f′ (x) 6 0 iga x ∈ (a, a + δ) korral, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum.
(b) Kui f ′ (x) 6 0 iga x ∈ (a − δ, a) korral ja f′ (x) > 0 iga x ∈ (a, a + δ) korral, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum. Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 4.13 võimaldab funktsiooni lokaalsete ekstreemumite olemasolu testida ka neis punktides, kus funktsioon on pidev, kuid ei ole diferentseeruv. Näide 4.5. Teatavasti ei ole absoluutväärtusega määratud pidev funktsioon f : R → R, x 7→ |x| kohal x = 0 diferentseeruv, kuid f ′ (x) = 1, kui x > 0, −1, kui x < 0. Seega suvalise δ > 0 puhul f′ (x) < 0 intervallis (−δ, 0) ning f′ (x) > 0 intervallis (0, δ), lause 4.13(b) kohaselt tähendab see funktsiooni lokaalset (tegelikult globaalset) miinimumi
punktis 0. 4.2.3 Funktsiooni kumerus ja nõgusus Olgu D ⊂ R. Definitsioon. Funktsiooni f : D → R nimetatakse kumeraks intervallis D1 ⊂ D, kui iga x, y ∈ D1 ja iga λ ∈ [0, 1] korral kehtib võrratus f (λx + (1 − λ)y) 6 λf(x) + (1 − λ)f(y). Funktsiooni f nimetatakse rangelt kumeraks intervallis D1, kui λ ∈ (0, 1) korral see võrratus on range.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 97 4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem Lause 4.14 (Cauchy keskväärtusteoreem). Olgu f ja g lõigus [a, b] pidevad funktsioonid,
mis vahemikus (a, b) on diferentseeruvad, ning olgu g′ (x) 6= 0 iga x ∈ (a, b) korral. Siis leidub selline punkt c ∈ (a, b), et f (b) − f (a) g (b) − g (a) = f ′ (c) g′ (c) . (4.11) Tõestus. Kõigepealt märgime, et g (b) 6= g (a) , sest vastasel juhul rahuldaks g Rolle’i teoreemi tingimusi ning g′ (x) võrduks nulliga vähemalt ühes punktis x ∈ (a, b). Moodustame abifunktsiooni h (x) := f (x) − f (b) − f (a) g (b) − g (a) (g (x) − g (a)) ja paneme tähele, et h: [a, b] → R on pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv: h′ (x) = f ′ (x) − f (b) − f (a) g (b) − g (a) g′ (x) iga x ∈ (a, b) korral. Kuna h (b) = h (a) = f (a) (kontrollida!)z, siis Rolle’i teoreemi kohaselt h′ (c) = 0 mingis
punktis c ∈ (a, b). Nii saamegi seose (4.11). Analoogiliselt Lagrange’i keskväärtusteoreemiga saab ka valemile (4.11) anda teistsuguse kuju f (a + h) − f (a) g (a + h) − g (a) = f ′ (a + θh) g′ (a + θh) mingi θ ∈ (0, 1) korral. 4.2.5 L’Hospitali reegel Cauchy keskväärtusteoreemil põhineb lihtne ja efektiivne meetod funktsioonide piirväär- tuse arvutamiseks määramatuste 0 0 ja ∞ ∞ puhul. Lause 4.15 (l’Hospitali reegel). Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad hulgas (a, a + θ),
kus θ on mingi positiivne arv. Sealjuures olgu g′(x) 6= 0 iga x ∈ (a, a + θ) korral. Kui kas lim x→a+ f (x) = lim x→a+ g (x) = 0 (4.12) või lim x→a+ |f (x)| = lim x→a+ |g (x)| = ∞ (4.13) ning eksisteerib piirväärtus lim x→a+ f ′ (x) g′ (x) =: L, (4.14) siis lim x→a+ f (x) g (x) = L. (4.15)

98 4 Diferentseeruvad funktsioonid Tõestus. A. Vaatleme algul juhtu (4.12). Eeldame, et funktsioonid f ja g on hulgas (a, a + θ) diferentseeruvad ja rahuldavad tingimusi (4.12) ja (4.14). Defineerime pidevad
(kontrollida!)z abifunktsioonid F : [a, a + θ) → R ja G: [a, a + θ) → R seostega F (x) := f (x) , kui x ∈ (a, a + θ) , 0, kui x = a, ja G (x) := g (x) , kui x ∈ (a, a + θ) , 0, kui x = a, need on vahemikus (a, a + θ) diferentseeruvad, seejuures G′ (x) = g′ (x) 6= 0. Siit tuleneb, et
G (x) 6= 0 vahemikus (a, a + θ): kui oletada, et mingi x0 ∈ (a, a + θ) puhul G (x0) = 0, siis Rolle’i teoreemi põhjal leiduks c ∈ (a, x0) omadusega G′ (c) = 0. Funktsioonidele F ja G saame rakendada Cauchy keskväärtusteoreemi (selgitada!)z, selle kohaselt leidub iga x ∈ (a, a + θ) korral c (x) ∈ (a, x) omadusega f (x) g (x) = F (x) − F (a) G (x) − G (a) = F ′ (c (x))
G′ (c (x)) = f ′ (c (x)) g′ (c (x)) (selgitada!)z. Arvestades, et c (x) asub punktide a ja x vahel, läheme viimases võrduses
piirile x → a ning saame, et lim x→a+ f (x) g(x) = L (tehke läbi ε-δ-keeles!)z. B. Juhul (4.13) on tõestus keerulisem. Eeldame, et funktsioonid f ja g on hulgas (a, a + θ) diferentseeruvad ja rahuldavad tingimusi (4.13) ning (4.14). Olgu ε > 0 suvaline. Meie ees-
märk on veenduda sellise δ > 0 olemasolus, et
f (x) g (x) − L
< ε iga x ∈ (a, a + δ) puhul, see tähendabki väidet (4.15). Valime kõigepealt η > 0 omadusega η < min
1, ε 2 + |L|
, sel juhul η (η + 1) + |L| η < 2η + |L| η = η (2 + |L|) 6 ε. (4.16) Edasi valime h ∈ (0, θ) nii väikese, et 1) g′ (x) 6= 0 iga x ∈ (a, a + h) korral (vrd. (4.14)), 2) f (x) 6= 0 ja g (x) 6= 0 iga x ∈ (a, a + h) korral (vrd. (4.13)) ja
3)
f ′(x) g′(x) − L
< η iga x ∈ (a, a + h) korral (vrd. (4.14)) (selgitada täpsemalt sellise valiku võimalikkust!)z. Paneme tähele, et kui x ja t on kaks
erinevat punkti vahemikus (a, a + h) , siis vastavalt Cauchy keskväärtusteoreemile 4.14 saab
nende vahel leida punkti c omadusega f (x) − f (t) g (x) − g (t) = f ′ (c) g′ (c) ,

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 99 järelikult
f (x) − f (t) g (x) − g (t) − L
< η kõikide x, t ∈ (a, a + h) korral, kui x 6= t (4.17) (selgitada!)z. Olgu x0 ∈ (a, a + h) fikseeritud punkt. Tänu eeldusele (4.13) saame valida sellise ρ ∈ (0, h), et f (x) 6= f (x0) ja g (x) 6= g (x0) kõikide x ∈ (a, a + ρ) korral. Tähistame suvalise x ∈ (a, a + ρ) puhul ϕ (x) := 1 − g(x0) g(x) 1 − f (x0) f (x) , siis lim x→a+ ϕ (x) = 1 (kontrollida!)z. Seostest (4.17) ja f (x) − f (x0) g (x) − g (x0) = f (x) g (x) 1 − f (x0) f (x) 1 − g(x0) g(x) = 1 ϕ (x) f (x) g (x) saame võrratuse
1 ϕ (x) f (x) g (x) − L
< η (x ∈ (a, a + ρ)) ehk
f (x) g (x) − Lϕ (x)
< η |ϕ (x)| (x ∈ (a, a + ρ)) , millest omakorda järeldub, et
f (x) g (x) − L
6
f (x) g (x) − Lϕ (x)
+ |Lϕ (x) − L| (4.18) < η |ϕ (x)| + |L| |ϕ (x) − 1| (x ∈ (a, a + ρ)) . Valime nüüd δ ∈ (0, ρ] nii väikese, et iga x ∈ (a, a + δ) korral kehtib võrratus |ϕ (x) − 1| < η (peame silmas, et lim x→a+ ϕ (x) = 1), siis |ϕ (x)| = ϕ (x) < η + 1 (x ∈ (a, a + δ)) . (4.19) Seostest (4.18), (4.19) ja (4.16) tulenevad võrratused
f (x) g (x) − L
< η (η + 1) + |L| η < ε (x ∈ (a, a + δ)) . Lause on tõestatud. Analoogiliselt tõestatakse sama väide vasakpoolsete piirväärtuste puhul.

100 4 Diferentseeruvad funktsioonid Lause 4.16 (l’Hospitali reegel). Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad hulgas (a − θ, a), kus θ on mingi positiivne arv. Sealjuures olgu g′(x) 6= 0 iga x ∈ (a − θ, a) korral. Kui kas lim x→a− f (x) = lim x→a− g (x) = 0 või lim x→a− |f (x)| = lim x→a− |g (x)| = ∞ ning eksisteerib piirväärtus lim x→a− f ′ (x) g′ (x) =: L, siis lim x→a− f (x) g (x) = L. Lausetest 4.15 ja 4.16 tuleneb vahetult l’Hospitali reegel kahepoolse piirväärtuse jaoks. Lause 4.17 (l’Hospitali reegel). Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad mõlemas va-
hemikus (a − θ, a) ja (a, a + θ), kus θ on mingi positiivne arv. Sealjuures olgu g′(x) 6= 0 iga
x ∈ (a − θ, a) ∪ (a, a + θ) korral. Kui kas lim x→a f (x) = lim x→a g (x) = 0 või lim x→a |f (x)| = lim x→a |g (x)| = ∞ ning eksisteerib piirväärtus lim x→a f ′ (x) g′ (x) =: L, siis lim x→a f (x) g (x) = L. Tõestus. Iseseisvalt!z Märgime veel, et eelnevatega samasugused väited kehtivad piirprotsesside x → ∞ ja x → −∞ puhul. (Tõestamiseks saab teostada muutujavahetuse t = 1
x .) Olukorras, kus L = ∞ või L = −∞, läheb tõestuse A-osa (x → a) läbi analoogiliselt. B-osa (x → ∞) jaoks piisab märgata, et lim x→∞ f ′(x) g′(x) = ∞ annab, et lim x→∞ g′(x) f ′(x) = 0 (pare- malt). Ülalpool toodu abil saab veenduda, et sel juhul lim x→∞ g(x) f (x) = 0 (paremalt), mistõttu lim x→∞ f (x) g(x) = ∞. Analoogiline käitumine toimub juhul L = −∞.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 101 4.3 Taylori valem Olgu funktsioon f : D → R intervalli D punktis a diferentseeruv. Tähistame h1 (x) := f (x) − f (a) x − a − f′ (a) , siis f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + h1 (x) (x − a) =: T1 (x) + R1 (a, x) (x ∈ D) . Lause 4.2 põhjal on funktsioon f kohal a lineaarselt lähendatav funktsiooniga T1, kus T1 (x) := f (a) + f ′ (a) (x − a) . Niisiis võib lineaarse polünoomi T1 väärtusi T1 (x) vaadelda funktsiooni f ligikaudsete väär-
tustena punkti a ümbruses, avaldis R1 (a, x) kirjeldab seejuures tehtavat viga. Sellise lineaarse lähendamise täpsus on väike. Suurema täpsuse saavutamiseks lähenda- takse funktsiooni f kõrgemat järku polünoomidega. Eeldame, et funktsioon f : D → R on n korda diferentseeruv intervallis D, olgu a ∈ D. Seame endale eesmärgiks leida niisugune n-astme polünoom P (x) := an (x − a) n + a n−1 (x − a) n−1 + . . . + a 1 (x − a) + a0, mis võimalikult hästi lähendaks funktsiooni f punkti a teatavas ümbruses. Selleks nõuame,
et polünoom P rahuldaks tingimusi P (a) = f (a) , P ′ (a) = f ′ (a) , P ′′ (a) = f ′′ (a) , . . . , P (n) (a) = f(n) (a) . (4.20) Neist esimene ütleb, et (a, f (a)) on funktsioonide f ja P graafikute ühine punkt, teise
tingimuse kohaselt on graafikutel selles punktis ühine puutuja jne. See annab alust arvata,
et polünoom P on funktsioonile f tõepoolest hea lähend. Tingimused (4.20) võimaldavad meil polünoomi P kordajad üheselt määrata. Selge, et f (a) = P (a) = a0. Kuna P ′ (x) = nan (x − a) n−1 + . . . + 2a 2 (x − a) + a1, siis a1 = P ′ (a) = f ′ (a) . Edasi, P ′′ (x) = n (n − 1) an (x − a) n−2 + . . . + 3 · 2a3 (x − a) + 2a2, mistõttu a2 = 1
2 P ′′ (a) = 1
2 f ′′ (a) . Üldiselt, kui 1 6 k 6 n, siis P (k) (x) = n (n − 1) . . . (n − k + 1) an (x − a) n−k+. . .+(k + 1) k·. . .·2ak+1 (x − a)+k (k − 1) . . . 2ak

102 4 Diferentseeruvad funktsioonid ja ak = 1 k! P (k) (a) = 1 k! f (k) (a) . Tähistame Tn (x) := f (a) + f ′ (a) (x − a) + 1
2 f ′′ (a) (x − a) 2 + . . . + 1 n! f (n) (a) (x − a) n = n X k=0 1 k! f (k) (a) (x − a) k (siin f(0) := f), polünoomi Tn nimetatakse funktsiooni f n-järku Taylori polünoomiks. Olgu Rn (a, x) := f (x) − Tn (x) , siis saame valemi f (x) = f (a) + 1 1! f ′ (a) (x − a) + . . . + 1 n! f (n) (a) (x − a) n + R n (a, x) , (4.21) mida nimetatakse funktsiooni f Taylori valemiks punktis a. Avaldist Rn (a, x) nimetatakse
Taylori valemi jääkliikmeks. Järgnevalt näitame, et protsessis x → a läheneb jääkliige Rn (a, x) kiiremini nullile kui (x − a) n (vrd. (4.22)) (jääkliikme Peano kuju) ning esitame ta Lagrange’i kujul (4.23). Teoreem 4.18 Olgu D ⊆ R mingi intervall ja a ∈ D, olgu n ∈ N.
(a) Kui funktsioon f : D → R on n korda diferentseeruv, siis Rn (a, x) ∈ o ((x − a) n) protsessis x → a. (4.22) (b) Kui funktsioon f : D → R on n + 1 korda diferentseeruv, siis iga x ∈ D {a} korral leidub punktide a ja x vahel selline punkt c ∈ D, et Rn (a, x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x − a) n+1 . (4.23) Tõestus. (a) Tõestuse viime läbi induktsiooniga n järgi.
Kui n = 1, on tarvis näidata, et lim x→a f (x) − f(a) − f′(a)(x − a) x − a = 0. See koondumine kehtib tänu sellele, et f on dieferentseeruv punktis a (selgitage!)z Kehtigu nüüd väide mingi n korral; vaatleme väidet kujul, kus n rollis on n + 1. Niisiis, f : D → R on n + 1 korda diferentseeruv ning tarvis on näidata, et lim x→a f (x) − Tn+1(x) (x − a)n+1 = 0. Paneme tähele, et tuletisfunktsioon f′ : D → R on n korda diferentseeruv, sealjuures tema n-järku Taylori polünoom on f ′(a) + f ′′(a)(x − a) + 1
2 f ′′′(a)(x − a) 2 + . . . + 1 n! f (n+1)(a)(x − a) n = T ′ n+1(x).

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 103 Niisiis induktiivse eelduse tõttu saame, et lim x→a f ′(x) − T ′n+1(x) (x − a)n = 0. (4.24) Avaldise f (x) − Tn+1 (x) (x − a) n+1 (x ∈ D {a}) puhul on protsessis x → a tegemist määramatusega 0 0 (selgitada!) z , rakendame selle avaldise piirväärtuse leidmiseks l’Hospitali reeglit. Saame, et lim x→a f (x) − Tn+1 (x) (x − a) n+1 = lim x→a f ′ (x) − T ′n+1 (x) (n + 1) (x − a) n = 0, viimase võrduse juures kasutasime koondumist (4.24). (b) Eeldame nüüd, et f on n + 1 korda intervallis D diferentseeruv. Olgu x ∈ D {a} , meie eesmärk on veenduda sellise c ∈ D olemasolus, mis paikneb punktide a ja x vahel ning rahuldab tingimust (4.23), seega võrdust 0 = f (n+1) (c) − Rn (a, x) (x − a) n+1 (n + 1)!, (4.25) mille me kirjutame kujul 0 = f (n+1) (c) − T (n+1) n (c) − Rn (a, x) (x − a) n+1 (n + 1)! (peame silmas, et T (n+1) n (t) = 0 iga t korral). Tähistame h (t) := f (t) − Tn (t) − Rn (a, x) (x − a) n+1 (t − a) n+1 (t ∈ D) , siis h (a) = h′ (a) = . . . = h(n) (a) = 0 (kontrollida!)z, samuti h (x) = 0. Funktsioon h
rahuldab lõigus otspunktidega a ja x kõiki Rolle’i teoreemi tingimusi (veenduda!)z, selle
põhjal leidub c1 punktide a ja x vahel, et h′ (c1) = 0. Edasi rakendame Rolle’i teoreemi
funktsioonile h′ lõigus otspunktidega a ja c1 ning leiame c2 punktide a ja c1 vahel omadusega
h′′ (c2) = 0, jne. Lõpuks leidub c := cn+1 punktide a ja x vahel (täpsemalt, punktide a ja cn
vahel), et h(n+1) (c) = 0. Kuna h(n+1) (t) = f (n+1) (t) − T (n+1) n (t) − (n + 1)! Rn (a, x) (x − a) n+1 = f (n+1) (t) − (n + 1)! Rn (a, x) (x − a) n+1 iga t ∈ D korral, siis rahuldab punkt c tingimust (4.25). Teoreem on tõestatud. Järgmise lause kohaselt on n + 1 korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni f puhul Taylori polünoomi näol tegemist selle funktsiooni parima lähendiga kõikvõimalike n-astme
polünoomide hulgas.

104 4 Diferentseeruvad funktsioonid Lause 4.19 Kui funktsioon f on n + 1 korda pidevalt diferentseeruv mingis intervallis D ja P (x) = n P k=0 ak (x − a) k on selline polünoom, et a ∈ D ja lim x→a f (x) − n P k=0 ak (x − a) k (x − a) n = 0, (4.26) siis P = Tn, s.t. ak = 1 k! f (k) (a) kõikide k = 0, ..., n korral. Tõestus. Asendame seosest (4.21) f (x) valemisse (4.26), saame, et lim x→a n X k=0 1 k! f (k) (a) − ak (x − a) k (x − a) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (c) (x − a) ! = 0. Valime intervallis D lõigu I, mis sisaldab punkti a (otspunkti või sisepunktina). Kuna f(n+1)
on pidev lõigus I, siis Weierstrassi teoreemi 3.15 põhjal on ta selles lõigus tõkestatud. Seega lim x→a 1 (n+1)! f (n+1) (c) (x − a) = 0, mistõttu kehtib võrdus lim x→a n X k=0 1 k! f (k) (a) − ak (x − a) k (x − a) n = 0 (selgitada!)z. Näitame, et see on võimalik vaid juhul, kui ak = 1 k! f (k) (a) kõikide k = 0, ..., n korral. Tähistame uk := 1 k! f (k) (a) − ak, siis 0 = lim x→a n X k=0 uk (x − a) n−k = lim x→a
u0 (x − a) n + u1 (x − a) n−1 + . . . + un
= lim x→a u0 + u1 (x − a) + . . . + un (x − a) n (x − a) n , (4.27) järelikult lim x→a (u0 + u1 (x − a) + . . . + un (x − a) n) = 0, seega u 0 = 0. Seosest (4.27) saame võrduse 0 = lim x→a u1 + u2 (x − a) + . . . + un (x − a) n−1 (x − a) n−1 , millest (analoogiliselt eelnevaga) tuleneb u1 = 0. Nii jätkates veendume, et uk = 0 kõikide
k = 0, . . . , n korral, seega P = Tn. Lause on tõestatud. Näide 4.6. Leiame eksponentfunktsiooni y = ex esituse Taylori valemi abil punkti a = 0 ümbruses. Valemi (4.21) kohaselt ex = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 + . . . + 1 n! xn + ec (n + 1)! xn+1,

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 105 kus c on punktide 0 ja x vahel (kontrollida!)z. Jääkliige Rn (0, x) = e c (n+1)! x n+1 kirjeldab viga funktsiooni väärtuse ex asendamisel polünoomi 1 + 1 1! x + 1 2! x 2 + . . . + 1 n! x n väärtusega. Selle vea hindamiseks paneme tähele, et kui b > 0, siis
ec (n + 1)! xn+1
6 bn+1 (n + 1)! eb ( |x| 6 b) .

106 5 Integreeruvad funktsioonid 5 Integreeruvad funktsioonid 5.1 Kõvertrapetsi pindala Kui f : [a, b] → R on selline pidev funktsioon, et f (x) > 0 kõikide x ∈ [a, b] korral, siis tema graafik AB ning sirged y = 0, x = a ja x = b moodustavad xy-tasandil kõvertrapetsi aABb.
Jagame lõigu [a, b] suvalisel viisil n osaks punktidega a = x0 < x1 < . . . < xn = b, niisugust jaotust nimetame edaspidi lõigu [a, b] alajaotuseks (partition, разбиение) ja tähista-
me T [x0, . . . , xn] või lühidalt T. Ta jaotab lõigu [a, b] osalõikudeks [a, x1] , [x1.x2] , . . . , [xn−1, b] , seejuures on ∆xk := xk − xk−1 k-nda osalõigu [xk−1, xk] pikkus. Tänu funktsiooni f pidevusele eksisteerivad Mk := max x∈[xk−1,xk] f (x) ja mk := min x∈[xk−1,xk] f (x) , vaatleme ristkülikuid alusega [xk−1, xk] ja kõrgusega Mk, kus k = 1, . . . , n. Iga sellise ristkü-
liku pindala on Mk∆xk, summa S (T ) := n P k=1 Mk∆xk kirjeldab neist ristkülikutest koosneva ristküliksumma P ∗ (T ) pindala. Samadele alustele [xk−1, xk] kõrgusega mk konstrueeritud
ristkülikud moodustavad teise ristküliksumma P∗ (T ) pindalaga s (T ) := n P k=1 mk∆xk (vt. joonis 5.1). Paneme tähele, et P∗ (T ) ⊆ aABb ⊆ P ∗ (T ) . (5.1) y x 0 a x1 x2 x3 b y = f (x) A B Joonis 5.1: Kõvertrapets ja ristküliksummad. Vaatleme kõikvõimalikke alajaotusi T lõigus [a, b], tähistame nende hulga gooti tähega T, vajaduse korral täpsemalt T[a,b]. Suvalise kahe alajaotuse T, T ′ ∈ T puhul P∗ (T ) ⊆ P ∗ (T ′), mistõttu s (T ) 6 S (T ′). Seega on iga arv S (T ′) arvude hulga {s (T ) | T ∈ T} ülemine tõke.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 107 Pidevuse aksioomi põhjal leidub S∗ := sup {s (T ) | T ∈ T}, seejuures S∗ 6 S (T ′) iga T ′ ∈ T korral. Niisiis eksisteerib S∗ := inf {S (T ′) | T ′ ∈ T} ning S∗ 6 S∗. Kui S∗ = S∗ =: SaABb, siis sisalduvusi (5.1) silmas pidades on loomulik lugeda arvu SaABb kõvertrapetsi aABb pindalaks.
Küsimus sellest, kas võrdus S∗ = S∗ iga pideva mittenegatiivse funktsiooni f : [a, b] → R korral tõepoolest kehtib, jääb esialgu lahtiseks. 5.2 Riemanni integraal 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks Erinevalt eelmisest punktist ei eelda me järgnevas funktsiooni f : [a, b] → R pidevust ega mittenegatiivsust. Olgu lõigus [a, b] fikseeritud mingi alajaotus T [x0, . . . , xn]. Fikseerime iga
k korral suvaliselt punkti ξk ∈ [xk−1, xk], tähistame ξ := (ξ1, . . . , ξn) ja moodustame (alajaotusest T ning punktide ξk ∈ [xk−1, xk] järjendist ξ sõltuva) integraalsumma σ (T, ξ) := n X k=1 f (ξk) ∆xk (vajaduse korral – kui juttu on kahe või enama funktsiooni integraalsummadest – kirjutame
σ (T, ξ) asemel σ (f, T, ξ) või σf (T, ξ)). Tähistame alajaotuse T korral λ (T ) := . Suurust λ(T ) nimetatakse mõnikord ka alajaotuse T normiks või diameetriks (mesh, шаг). Definitsioon. Kui leidub reaalarv I nii, et iga ε > 0 puhul saab leida sellise δ > 0, et kui λ (T ) < δ, siis
n X k=1 f (ξk) ∆xk − I
< ε suvaliste ξk∈ [xk−1, xk] korral, (5.2) siis öeldakse, et funktsioon f on lõigus [a, b] (Riemanni mõttes) integreeruv (Riemann in-
tegrable, интегрируемая по Риману ) . Piirväärtust (5.3) nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraaliks lõigus [a, b] ja tähistatakse R b a f (x) dx. Märkus 1. Definitsiooni nõuet pannakse sageli lühemalt kirja järgmiselt: R ∋ I = lim λ(T )→0 n X k=1 f (ξk) ∆xk, (5.3) Siiski tuleb olla taolise piirväärtuse omaduste kasutamisel ettevaatlik, kuna tegemist ei ole
eelnevates peatükkides vaadeldud jada ega funktsiooni piirväärtusega. Märkus 2. Jada, funktsiooni ja integraalsumma piirväärtuse mõistet üldistatakse topoloogia kursuses pere piirväärtuse mõisteks. Sellisel juhul oleks pere liikmed integraalsummad, indeksid oleks paarid (T, ξ)
ning järjestus defineeritud nii, et (T, ξ) 4 (T ′, ξ′), kui T jaotuspunktid on kõik T ′ jaotuspunktid. Saab
näidata, et selline indeksite hulk on suunatud hulk.

108 5 Integreeruvad funktsioonid Märkus 3. Ilmselt toob tingimus λ (T ) → 0 endaga kaasa protsessi n → ∞, vastupidine implikatsioon ei tarvitse olla õige (selgitada!)z. Näide 5.1. Kui f : [a, b] → R on seosega f (x) = c määratud konstantne funktsioon, siis iga alajaotuse T korral n X k=1 f (ξk) ∆xk = c n X k=1 ∆xk = c (b − a) . Järelikult sobib tingimuses (5.2) arvu I rolli c (b − a), mistõttu Z b a f (x) dx = c (b − a) (selgitada!)z. Seega on kõik lõigus [a, b] konstantsed funktsioonid selles lõigus integreeru-
vad, kusjuures integraali väärtuseks on funktsiooni graafiku ja sirgete y = 0, x = a ja x = b
poolt määratud ristküliku pindala. Integreeruvate funktsioonide kirjeldamist alustame järgmise olulise lausega. Lause 5.1 (tarvilik tingimus integreeruvuseks). Iga lõigus [a, b] integreeruv funktsioon
f on selles lõigus tõkestatud. Tõestus. Kui f : [a, b] → R on integreeruv funktsioon, siis integreeruvuse definitsiooni kohaselt saab leida lõigu [a, b] sellise alajaotuse T [x0, . . . , xn], et
n P k=1 f (ξk) ∆xk − I
< 1 kõikvõimalike valikute ξk ∈ [xk−1, xk] korral. Suvaliste ck, dk ∈ [xk−1, xk] puhul
n X k=1 f (ck) ∆xk − I
< 1 ja
n X k=1 f (dk) ∆xk − I
< 1, mistõttu
n X k=1 f (ck) ∆xk − n X k=1 f (dk) ∆xk
< 2. Kui ck = dk kõikide k = 2, 3, . . . , n korral, siis 2 > |f (c1) − f (d1)| ∆x1 ehk |f (c1) − f (d1)| < 2 ∆x1 , millest omakorda järeldub võrratus |f (c1)| < 2 ∆x1 + |f (d1)| (selgitada!)z. Fikseerides punkti d1 ∈ [a, x1], saame hinnangu |f (x)| < M1 := 2 ∆x1 + |f (d1)| (x ∈ [a, x1]) . Seega on f osalõigus [a, x1] tõkestatud. Analoogiliselt veendutakse, et f on ülejäänud osa-
lõikudes [x1, x2] , . . . , [xn−1, b] tõkestatud, mis kokkuvõttes tähendab tõkestatust kogu lõigus
[a, b] . Teoreemis 5.1 toodud tingimus ei ole piisav, allpool (vt. näide 5.2) näeme, et üldjuhul tõkestatud funktsioon ei pruugi olla integreeruv.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 109 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused Kõigepealt lepime kokku, et kahe alajaotuse T, T ′ ∈ T puhul mõistame me sisalduvuse T ⊆ T ′ all nende jaotuspunktide sisalduvust, s.t. alajaotuse T iga jaotuspunkt on ka alajaotuse T ′
jaotuspunkt. Sel juhul ütleme, et T ′ on peenem kui T , antud alajaotusele uute jaotuspunktide
lisamisel kõneleme alajaotuse peenendamisest. Teiseks, me kirjutame allpool T ′′ = T ∪ T ′, kui alajaotuse T ′′ jaotuspunktideks on para- jasti need arvud, mis on kas T või T ′ jaotuspunktid. Funktsiooni f : [a, b] → R integreeruvuse uurimisel on integraalsumma σ (T, ξ) kõrval kasulik vaadelda sellest oluliselt lihtsamaid Darboux’ summasid. Eeldame, et f on lõigus
[a, b] tõkestatud funktsioon, siis eksisteerivad M := sup x∈[a,b] f (x) ning m := inf x∈[a,b] f (x) . Olgu T [x0, . . . , xn] ∈ T suvaline alajaotus, tähistame Mk := sup x∈[xk−1,xk] f (x) ja mk := inf x∈[xk−1,xk] f (x) (k = 1, . . . , n) ning moodustame S (T ) := n X k=1 Mk∆xk ja s (T ) := n X k=1 mk∆xk (ka siin kirjutame vajaduse korral S (T ) ja s (T ) asemel S (f, T ) ja s (f, T )). Summasid
S (T ) ja s (T ) nimetatakse funktsiooni f (alajaotusele T ∈ T vastavaks) Darboux’ ülem- ja alamsummaks (upper, lower Darboux sum, верхняя, нижняя сумма Дарбу). Pidades silmas, et
suvalise ξk ∈ [xk−1, xk] korral mk 6 f (ξk) 6 Mk, saame võrratused (selgitada!)z s (T ) 6 σ (T, ξ) 6 S (T ) . Paneme tähele, et Darboux’ summad s (T ) ja S (T ) on antud alajaotuse T korral kons- tantsed, integraalsumma σ (T, ξ) aga sõltub punktide ξk ∈ [xk−1, xk] valikust. Seejuures ülemsumma S (T ) on integraalsumma σ (T, ξ) väärtuste ülemine raja. Täpsemalt, iga fikseeritud alajaotuse T [x0, . . . , xn] korral (vrd. lause 1.5(a)) sup ξk∈[xk−1,xk] (16k6n) n X k=1 f (ξk) ∆xk = n X k=1 sup ξk∈[xk−1,xk] f (ξk) ∆xk = n X k=1 Mk∆xk = S (T ) . Analoogiliselt saame võrduse inf ξk∈[xk−1,xk] (16k6n) n X k=1 f (ξk) ∆xk = s (T ) , niisiis, alamsumma s (T ) on integraalsumma σ (T, ξ) väärtuste alumine raja.

110 5 Integreeruvad funktsioonid Kokkuvõttes, fikseeritud alajaotuse T ∈ T korral S (T ) = sup σ (T, ξ) ja s (T ) = inf σ (T, ξ) , (5.4) kus rajad on võetud üle kõikide valikute ξ := (ξ1, . . . , ξn), milles ξk ∈ [xk−1, xk] . Olgu f : [a, b] → R tõkestatud funktsioon. Suvalise alajaotuse T [x0, ..., xn] puhul tä- histame ωk (T ) := Mk − mk, kus Mk := sup x∈[xk−1,xk] f (x) ja mk := inf x∈[xk−1,xk] f (x) ning k = 1, . . . , n . Seejuures S (T ) − s (T ) = n X k=1 (Mk − mk) ∆xk = n X k=1 ωk (T ) ∆xk. Arvu ωk (T ) (vajaduse korral kirjutame ωk (f, T )) nimetatakse funktsiooni f võnkumiseks
lõigus [xk−1, xk]. Darboux’ summade omaduste kirjeldamist alustame järgmise lausega. Lause 5.2 Olgu T ja T ′ lõigu [a, b] kaks alajaotust, kus T ⊆ T ′ ning T ′ on alajaotusest T saadud p jaotuspunkti lisamisel. Siis 0 6 S (T ) − S (T ′) 6 p (M − m) λ (T ) , (5.5) 0 6 s (T ′) − s (T ) 6 p (M − m) λ (T ) . (5.6) Tõestus. 1. Vaatleme kõigepealt juhtu, kus p = 1, niisiis saadakse T ′ esialgsest alajao- tusest T = T [x0, . . . , xn] ühe jaotuspunkti x′ lisamisel. Kui x′ asub jaotuspunktide xi−1 ja
xi vahel, siis alajaotusele T ′ vastav ülemsumma S (T ′) on kujul S (T ′) = n X k=1 k6=i Mk∆xk + M 1 i (x ′ − xi−1) + M2i (xi − x′) , kus M1 i := sup x∈[xi−1,x′] f (x) ja M2i := sup x∈[x′,xi] f (x). Kuna M1i 6 Mi ja M 2 i 6 Mi, siis 0 6 Mi − M 1 i 6 M − m ja 0 6 Mi − M 2 i 6 M − m, mistõttu S (T ) − S (T ′) = Mi∆xi − M 1 i (x ′ − xi−1) − M2i (xi − x′) = Mi − M 1 i (x′ − xi−1) + Mi − M 2 i (xi − x′) 6 (M − m) ∆xi 6 (M − m) λ (T ) . Seejuures on avaldis (Mi − M1i) (x′ − xi−1) + (Mi − M2i) (xi − x′) ilmselt mittenegatiivne, sellest tuleneb võrratus S (T ) − S (T ′) > 0. Kokkuvõttes oleme näidanud, et 0 6 S (T ) − S (T ′) 6 (M − m) λ (T ) . (5.7)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 111 2. Olgu nüüd p > 1, s.t. alajaotus T ′ saadakse alajaotusest T teatavate (mingil viisil num-
merdatud) p jaotuspunkti lisamise teel. Tähistame T0 := T , olgu T1 saadud alajaotusest T0
esimese jaotuspunkti lisamisega, T2 saadakse alajaotusest T1 teise jaotuspunkti lisamisega
jne., T ′ = Tp saame alajaotusele Tp−1 p-nda jaotuspunkti lisamisel. Tõestuse esimeses osas tõestatud seoste (5.7) kohaselt 0 6 S (T0) − S (T1) 6 (M − m) λ (T0) , 0 6 S (T1) − S (T2) 6 (M − m) λ (T1) , . . . 0 6 S (Tp−1) − S (Tp) 6 (M − m) λ (Tp−1) , nende võrratuste liitmisel saame, et 0 6 S (T ) − S (T ′) = S (T0) − S (T p) 6 (M − m) (λ (T0) + . . . + λ (Tp−1)) 6 p (M − m) λ (T0) = p (M − m) λ (T ) (selgitada!)z. Sellega on võrratus (5.5) tõestatud, võrratuse (5.6) tõestus on analoogiline. Omadus 5.3 Alajaotuse peenendamisel ei saa Darboux’ ülemsumma kasvada ega alamsum-
ma kahaneda. Tõestus. See on vahetu järeldus võrratustest (5.5) ja (5.6). Omadus 5.4 Ükski alamsumma ei ole suurem ühestki ülemsummast. Tõestus. Olgu T ja T ′ lõigu [a, b] kaks suvalist alajaotust, meie eesmärk on veenduda, et s (T ′) 6 S (T ). Kui T ′′ = T ∪T ′, siis T ′′ on peenem alajaotustest T ja T ′, mistõttu omadusest 5.3 saame võrratused s (T ′) 6 s (T ′′) 6 S (T ′′) 6 S (T ) (selgitada!)z. 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium Omadusest 5.4 järeldub, et tõkestatud funktsiooni f : [a, b] → R suvaline ülemsumma S (T ) on kõigi alamsummade ülemine tõke. Pidevuse aksioomi kohaselt =: I∗, (5.8) arvu I∗ nimetatakse funktsiooni f Darboux’ alamintegraaliks (lower Darboux integral, нижний
интеграл Дарбу ) . Kuna I∗ 6 S (T ) suvalise alajaotuse T korral (põhjendada!)z, siis I∗ := > I∗ (põhjendada!)z. Arvu I∗ nimetatakse funktsiooni f Darboux’ ülemintegraaliks. Niisiis, lõigu
[a, b] suvalise alajaotuse T puhul kehtivad võrratused s (T ) 6 I∗ 6 I∗ 6 S (T ) . (5.9)

112 5 Integreeruvad funktsioonid Öeldakse, et funktsioon f on Darboux’ mõttes integreeruv, kui I∗ = I∗. Peatselt tõestame (vt. teoreemi 5.6), et f on Riemanni mõttes integreeruv ⇔ f on Darboux’ mõttes integreeruv. Integreeruvuse uurimine Darboux’ mõttes on otstarbekas eeskätt seetõttu, et Rieman- ni integraalide definitsioonides on (lisaks alajaotusele) veel üks täiendav suurus – punktide
valiku vektor ξ = (ξ1, . . . , ξn). Lisaks sellele, Darboux’ mõttes integreeruvus on rajade võrdu-
mine. Raja definitsioonis on peidus tingimus „iga ε korral leidub mingi element, mis rahuldab
võrratust“. Riemanni mõttes integreeruvus tähendab aga piirväärtuse olemasolu. Piirväär-
tuse definitsioonis nõutakse, et „iga ε korral leidub δ nii, et kõik elemendid, mis klapivad
δ-ga, rahuldaks võrratust“. Seetõttu teatud vaatepunktist on Riemanni mõttes integreeruvust
keerukam kontrollida. Rajade ja piirväärtuste sidumiseks tõestame kõigepealt Darboux’ lemma. Lemma 5.5 Olgu f : [a, b] → R tõkestatud funktsioon. Iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et kui mingi alajaotus T ∈ T rahuldab tingimust λ (T ) < δ, siis I∗ − ε < s (T ) 6 S (T ) < I∗ + ε. Märkus. Darboux’ lemma väidet saab piirväärtuse keeles panna kirja võrdustega I∗ = lim λ(T )→0 s(T ), I∗ = lim λ(T )→0 S(T ). Tõestus. Ilmselt kehtib lemma konstantse funktsiooni f korral (põhjendada!)z. Vaat- leme juhtu, kus f ei ole konstantne, s.t. M − m > 0. Olgu ε > 0. Lähtudes seosest (5.8), leiame vastavalt ülemise raja definitsioonile sellise alajaotuse T1 [x0, . . . , xn] ∈ T, mis rahul- dab tingimust s (T1) > I∗ − ε
2 . (5.10) Võtame δ1 := ε 2 (n − 1) (M − m) , rahuldagu alajaotus T ∈ T tingimust λ (T ) < δ1. Moodustame uue alajaotuse T ′ := T ∪ T1, seega saadakse T ′ alajaotusest T ülimalt n − 1 uue jaotuspunkti lisamisel. Olgu p lisatud jaotuspunktide tegelik arv, siis p 6 n − 1. Eelpool tõestatud seost (5.6) rakendades saame, et s (T1) 6 s (T ′) 6 s (T ) + p (M − m) λ (T ) < s (T ) + p (M − m) ε 2 (n − 1) (M − m) = s (T ) + pε 2 (n − 1) 6 s (T ) + ε
2 ning seost (5.10) arvestades I∗ − ε < s (T ) . See võrratus kehtib iga tingimust λ (T ) < δ1 rahuldava alajaotuse T ∈ T korral.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 113 Analoogiliselt leitakse selline arv δ2 > 0, et kui λ (T ) < δ2, siis S (T ) < I∗ + ε. Kuna võrratus s (T ) 6 S (T ) kehtib kõikide alajaotuste T puhul, siis arv δ := min {δ1, δ2} rahuldab lemma tingimusi. Eelneva lemma abil tõestame järgmise teoreemi, mis selgitab Darboux’ summade ja Dar- boux’ integraalide rolli funktsioonide integreeruvuse kirjeldamisel. Teoreem 5.6 Lõigus [a, b] tõkestatud funktsiooni f korral on järgmised väited samaväärsed:
(a) f on (Riemanni mõttes) integreeruv,
(b) lim λ(T )→0 S (T ) = lim λ(T )→0 s (T ), (c) lim λ(T )→0 (S (T ) − s (T )) = lim λ(T )→0 n P k=1 ωk(T )∆xk = 0, (d) iga ε > 0 korral leidub lõigu [a, b] selline alajaotus T , et S (T ) − s (T ) < ε, (e) I∗ = I∗. Tõestus. (a) ⇒ (b) Eeldame, et funktsioon f on lõigus [a, b] integreeruv, olgu ε suvaline positiivne arv. Vastavalt integraali definitsioonile leidub selline δ > 0, et kui alajaotuse
T [x0, . . . , xn] maksimaalse osalõigu pikkus λ (T ) on väiksem kui δ, siis |I − σ (T, ξ)| < ε
2 ehk I − ε
2 < σ (T, ξ) < I + ε
2 , (5.11) kus σ (T, ξ) = n P k=1 f (ξk) ∆xk on alajaotusele T vastav integraalsumma ning I := R b a f (x) dx, s.t. I = lim λ(t)→0 σ (T, ξ). Seejuures kehtivad võrratused (5.11) punktide ξk ∈ [xk, xk+1] kõik- võimalike valikute puhul. Nagu me eespool veendusime (vt. (5.4)), on Darboux’ ülemsumma
S (T ) ja alamsumma s (T ) vastavalt integraalsumma σ (T, ξ) väärtuste ülemine ja alumine
raja. Seetõttu saame eeldusel λ (T ) < δ seostest (5.11) võrratused I − ε 0 suvaline, eeldame, et S (T ) − s (T ) < ε mingi alajaotuse T ∈ T korral. Seoste (5.9) põhjal 0 6 I∗ − I∗ < ε, s.t. mittenegatiivne arv I∗ − I∗ on väiksem igast positiivsest arvust ε. Niisiis, I∗ = I∗. (e) ⇒ (a) Eeldame, et I∗ = I∗ =: I. Olgu ε > 0. Darboux’ lemma 5.5 kohaselt saame leida niisuguse δ > 0, et kui T [x0, . . . , xn] on alajaotus omadusega λ (T ) < δ, siis I − ε < s (T ) 6 S (T ) < I + ε, mistõttu I − ε < n X k=1 f (ξk) ∆xk < I + ε

114 5 Integreeruvad funktsioonid ehk
n X k=1 f (ξk) ∆xk − I
< ε iga valiku ξk ∈ [xk−1, xk] korral. Seega on f integreeruv ja I = R b a f (x) dx. Näide 5.2. Olgu f : [0, 1] → R Dirichlet’ funktsioon, s.t. f (x) := ( 1, kui x on ratsionaalarv,
0, kui x on irratsionaalarv. Suvalise alajaotuse T [x0, . . . , xn] ∈ T[0,1] puhul saab valida kõik ξk ∈ [xk−1, xk] ratsionaal-
sed (põhjendada!)z, siis f (ξk) = 1 ning σ (T, ξ) = n P k=1 ∆xk = 1. Kuid samuti võib valida kõik ξk irratsionaalsed (selgitada!)z, siis f (ξk) = 0 ja σ (T, ξ) = 0. Niisiis, s (T ) = 0 ja
S (T ) = 1, seega lim λ(T )→0 (S (T ) − s (T )) = 1, teoreemi 5.6 põhjal ei ole funktsioon f lõigus [0, 1] integreeruv. Näitest 5.2 selgub oluline tõsiasi: tõkestatus ei ole piisav tingimus funktsiooni integreeru- vuseks. 5.3 Riemanni integraali omadused 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus Omadus 5.7 Kui funktsioon f on integreeruv lõigus [a, b], siis on ta integreeruv igas osa-
lõigus [a1, b1] ⊆ [a, b]. Tõestus. Olgu ε suvaline positiivne arv. Kuna f on lõigus [a, b] integreeruv funktsioon, siis teoreemi 5.6 kohaselt saame valida sellise δ > 0, et iga alajaotuse T korral, mis rahuldab
tingimust λ (T ) < δ, kehtib võrratus S (T ) − s (T ) < ε. Olgu T1 lõigu [a1, b1] suvaline selline alajaotus, mille maksimaalse osalõigu pikkus on väiksem kui δ. Jaotame lõigud [a, a1] ning [b1, b] mingil viisil osalõikudeks, mille pikkused on
samuti väiksemad kui δ. Koos jaotusega T1 oleme niiviisi lõigus [a, b] tekitanud alajaotuse T ′
omadusega λ (T ′) < δ, seega P T ′ ωk (T ′) ∆xk = S (T ′) − s (T ′) < ε (siin P T ′ ωk (T ′) ∆xk on alajaotusele T ′ vastav summa). On selge, et
1) S (T1) − s (T1) = P T1 ωk (T ′) ∆xk sisaldab vaid osa liidetavaid summast P T ′ ωk (T ′) ∆xk ja
2) kõik liidetavad summas P T ′ ωk (T ′) ∆xk on mittenegatiivsed, seetõttu S (T1) − s (T1) = X T1 ωk (T ′) ∆xk 6 X T ′ ωk (T ′) ∆xk < ε. Seega S (T1)−s (T1) < ε lõigu [a1, b1] iga alajaotuse T1 korral, mille kõigi osalõikude pikkused on väiksemad kui δ. Tähendab, lim λ(T1)→0 (S (T1) − s (T1)) = 0, väide tuleneb teoreemist 5.6. Riemanni integraali defineerimisel lähtusime me lõigust [a, b], s.t. eeldasime, et a < b. Lepime kokku, et Z a a f (x) dx := 0 ja Z b a f (x) dx := − Z a b f (x) dx, kui b < a.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 115 Omadus 5.8 (integraali aditiivsus). Olgu a < b. Kui funktsioon f on integreeruv lõiku-
des otspunktidega vastavalt a ja c ning c ja b, siis on ta integreeruv lõigus [a, b] ja Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx. Sama väide kehtib ka juhul b < a. Tõestus. Väide kehtib ilmselt juhul c = a või c = b, see tuleneb eelnevast kokkuleppest.
Vaatleme kõigepealt juhtu a < c < b. Olgu σ (T, ξ) = n P k=1 f (ξk) ∆xk lõigu [a, b] ala- jaotusele T [x0, ..., xn] ja punktide komplektile ξ = (ξ1, ..., ξn) vastav integraalsumma. Kuna
c ∈ (a, b), siis c paikneb mingis osalõigus [xi−1, xi]. Moodustame summad σ′ (T, ξ′) := i−1 X k=1 f (ξk) ∆xk +f (c) (c − xi−1) ja σ′′ (T, ξ′′) := f (c) (xi − c)+ n X k=i+1 f (ξk) ∆xk, need on funktsiooni f integraalsummad vastavalt lõigus [a, c] ja [c, b] . Fikseerime arvu ε > 0;
eelduse kohaselt eksisteerivad reaalarvud δ1, δ2 > 0 nii, et kehtivad implikatsioonid λ(T ) < δ1 ⇒
σ′ (T, ξ′) − Z c a f (x) dx
< ε
3 , λ(T ) < δ2 ⇒
σ′′ (T, ξ′′) − Z b c f (x) dx
< ε
3 . Kuna σ (T, ξ) = σ′ (T, ξ′) + σ′′ (T, ξ′′) + (f (ξi) − f (c)) ∆xi (veenduda!)z ja leidub δ3 > 0 omadusega, et kui λ(T ) < δ3, siis |(f (ξi) − f (c)) ∆xi| < ε
3 (selgitada!)z, siis eeldusel λ(T ) < kehtib võrratus
σ (T, ξ) − Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx
6 6
σ′ (T, ξ′) − Z c a f (x) dx
σ′′ (T, ξ′′) − Z b c f (x) dx
+ |(f (ξi) − f (c)) ∆xi| < < 3 · ε
3 = ε. Järelikult Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx. Olgu nüüd c > b (juhul c < a on tõestus analoogiline). Eelduse kohaselt on funktsioon f integreeruv lõigus [a, c], omaduse 5.7 põhjal siis ka lõigus [a, b], kusjuures tõestuse eelneva
osa kohaselt R c a f (x) dx = R b a f (x) dx + R c b f (x) dx, millest (tänu eelnenud kokkuleppele) Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx − Z c b f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx. Analoogiliselt tõestatakse vastavad väited juhul b < a. Omadustest 5.7 ja 5.8 saame järgmise väite. Omadus 5.9 Kui funktsioon f : [a, b] → R on integreeruv, siis suvaliste c, c′ ∈ [a, b] korral Z c a f (x) dx − Z c′ a f (x) dx = Z c c′ f (x) dx (5.13) Tõestus. Iseseisvalt!z

116 5 Integreeruvad funktsioonid 5.3.2 Integraali tehetega seotud omadused Omadus 5.10 Kui funktsioonid f ja g on lõigus [a, b] integreeruvad, siis ka nende summa
f + g on lõigus [a, b] integreeruv ja Z b a (f (x) + g (x)) dx = Z b a f (x) dx + Z b a g (x) dx. Tõestus. Olgu σ (f, T, ξ) := n P k=1 f (ξk) ∆xk ja σ (g, T, ξ) := n P k=1 g (ξk) ∆xk vastavalt funkt- siooni f ja g integraalsumma lõigu [a, b] mingi alajaotuse T [x0, . . . , xn] korral. Fikseerime
ε > 0; eelduse põhjal leiduvad δ1 > 0 ja δ2 > 0 nii, et kehtivad implikatsioonid λ(T ) < δ1 ⇒
σ (f, T, ξ) − Z b a f (x) dx
< ε
2 , λ(T ) < δ2 ⇒
σ (g, T, ξ) − Z b a g (x) dx
< ε
2 . Olgu λ(T ) < , siis
σ (f + g, T, ξ) − Z b a f (x) dx + Z b a g (x) dx
= =
n X k=1 (f (ξk) + g (ξk)) ∆xk − Z b a f (x) dx + Z b a g (x) dx
6 6
n X k=1 f (ξk) ∆xk − Z b a f (x) dx
n X k=1 g (ξk) ∆xk − Z b a g (x) dx
< < ε
2 + ε
2 = ε. Järelikult R b a (f (x) + g (x)) dx = R b a f (x) dx + R b a g (x) dx. Omadus 5.11 Kui funktsioon f on lõigus [a, b] integreeruv, siis iga reaalarvu λ korral on
ka funktsioon λf integreeruv ja Z b a λf (x) dx = λ Z b a f (x) dx. Tõestus. Iseseisvalt!z Omaduse 5.10 abil saab lihtsalt tõestada järgmise olulise väite. Omadus 5.12 Olgu funktsioon f lõigus [a, b] integreeruv ja olgu g : [a, b] → R selline funkt- sioon, mis erineb funktsioonist f vaid lõpliku arvu argumendi väärtuste korral. Siis g on
lõigus [a, b] integreeruv ning Z b a g (x) dx = Z b a f (x) dx. (5.14)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 117 Tõestus. Eeldame, et f : [a, b] → R on integreeruv ja {x ∈ [a, b] | g (x) 6= f (x)} on lõplik hulk. Tähistame h (x) := g (x) − f (x) iga x ∈ [a, b] korral ja näitame, et R b a h (x) dx = 0, siis omaduse 5.10 põhjal on g integreeruv ning kehtib võrdus (5.14) (selgitada!)z. Funktsiooni h väärtused on mingi lõpliku arvu punktide c1, c2, . . . , cp ∈ [a, b] korral nul- list erinevad, olgu M := max {|h (ci)| | i = 1, . . . , p}. Lõigu [a, b] iga alajaotuse T [x0, . . . , xn] puhul saab punkt ci kuuluda üheaegselt ülimalt kahte osalõiku [xk−1, xk]. Järelikult on funkt- siooni h integraalsummas σ (h, T, ξ) suvaliste ξk ∈ [xk−1, xk] korral ülimalt 2p nullist erinevat liidetavat, mistõttu
n X k=1 h (ξk) ∆xk
6 n X k=1 |h (ξk)| ∆xk 6 2pMλ (T ) , seega Z b a h (x) dx = 0 (selgitage!)z. Väide on tõestatud. Omadus 5.13 Kui funktsioonid f ja g on lõigus [a, b] integreeruvad, siis ka nende korrutis
f g on selles lõigus integreeruv. Tõestus. Integreeruvad funktsioonid f ja g on lõigus [a, b] tõkestatud: leiduvad arvud M > 0 ja K > 0, et |f (x)| 6 M ning |g (x)| 6 K iga x ∈ [a, b] puhul. Seejuures |f (x) g (x)| 6 MK iga x ∈ [a, b] korral, tähendab, fg on tõkestatud funktsioon lõigus [a, b]. Olgu T [x0, . . . , xn] lõigu [a, b] mingi alajaotus, meie eesmärk on veenduda, et iga ε > 0 jaoks leidub δ > 0 omadusega λ(T ) < δ ⇒ n X k=1 ωk (f g, T ) ∆xk < ε kus ωk (fg, T ) tähistab funktsiooni fg võnkumist lõigus [xk−1, xk], seejuures (vrd. lause 1.5) ωk (f g, T ) = sup x∈[xk−1,xk] (f (x) g (x)) − inf x∈[xk−1,xk] (f (x) g (x)) = sup x,x′∈[xk−1,xk] f (x) g (x) − f x′ g x′ z = sup x,x′∈[xk−1,xk]
f (x) g (x) − f x′ g x′
. Me näitame järgnevalt, et ωk (f g, T ) 6 Mωk (g, T ) + Kωk (f, T ) (k = 1, ..., n) . (5.15) Olgu x ja x′ suvalised punktid lõigus [xk−1, xk], siis seosest f (x) g (x) − f (x′) g (x′) = f (x) (g (x) − g (x′)) + g (x′) (f (x) − f (x′)) saame võrratuse
f (x) g (x) − f x′ g x′
6 M
g (x) − g x′
+ K
f (x) − f x′

118 5 Integreeruvad funktsioonid Järelikult ωk (f g, T ) = sup x,x′∈[xk−1,xk]
f (x) g (x) − f x′ g x′
6 M sup x,x′∈[xk−1,xk]
g (x) − g x′
+ K sup x,x′∈[xk−1,xk]
f (x) − f x′
, niisiis kehtib võrratus (5.15) (selgitada!)z. Fikseerime arvu ε > 0.
Lause eelduste kohaselt leiduvad arvud δ1 > 0 ja δ2 > 0 nii, et kehtivad implikatsioonid λ(T ) < δ1 ⇒ n X k=1 ωk (f, T ) ∆xk < ε 2K , λ(T ) < δ2 ⇒ n X k=1 ωk (g, T ) ∆xk < ε 2M . Tänu võrratusele (5.15) saame, et 0 6 n X k=1 ωk (f g, T ) ∆xk 6 M n X k=1 ωk (g, T ) ∆xk + K n X k=1 ωk (f, T ) ∆xk, (põhjendage!)z, millest eeldusel λ(T ) < järeldub, et n X k=1 ωk (f g, T ) ∆xk < ε (selgitage!)z. See aga tähendab teoreemi 5.6 põhjal funktsiooni f g integreeruvust lõigus [a, b] (selgitage!)z. Väide on tõestatud. 5.3.3 Integraali monotoonsusomadused Omadus 5.14 (a) Kui f (x) > 0 iga x ∈ [a, b] korral ja f : [a, b] → R on integreeruv, siis R b a f (x) dx > 0. (b) Kui f (x) 6 g (x) iga x ∈ [a, b] korral ja funktsioonid f, g : [a, b] → R on integreeruvad,
siis R b a f (x) dx 6 R b a g (x) dx. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 5.15 Olgu a 6 b. Kui f on lõigus [a, b] integreeruv funktsioon, siis ka seosega
|f| (x) := |f (x)| määratud funktsioon |f| on integreeruv ja
Z b a f (x) dx
6 Z b a |f (x)| dx. (5.16) Tõestus. Paneme tähele, et antud alajaotuse T [x0, . . . , xn] korral (vrd. lause 1.5(c)) ωk ( |f| , T ) := sup x∈[xk−1,xk] |f (x)| − inf x′∈[xk−1,xk] |f (x′)| = sup x, x′∈[xk−1,xk] ( |f (x)| − |f (x′)|) 6 sup x, x′∈[xk−1,xk] |f (x) − f (x′)| = sup x, x′∈[xk−1,xk] (f (x) − f (x′)) = sup x∈[xk−1,xk] f (x) − inf x′∈[xk−1,xk] f (x′) = ωk (f, T ) (k = 1, . . . , n) .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 119 Funktsiooni |f| Darboux’ summade S (|f| , T ) ja s (|f| , T ) jaoks järeldub siit, et 0 6 S ( |f| , T ) − s (|f| , T ) = n X k=1 ωk( |f|, T )∆xk 6 n X k=1 ωk(f, T )∆xk = S (f, T ) − s (f, T ) . Seega lim λ(T )→0 (S ( |f| , T ) − s (|f| , T )) = 0 (põhjendage!)z. Teoreemi 5.6 põhjal on funktsioon |f| integreeruv lõigus [a, b] (selgitage!)z. Võrratuse (5.16) saamiseks piisab märgata, et −|f| 6 f 6 |f| ja rakendada omadust 5.14. Märgime, et ilma eelduseta a 6 b kehtib valem (5.16) kujul
Z b a f (x) dx
6
Z b a |f (x)| dx
(selgitada!)z. 5.3.4 Integraali keskväärtusteoreem Omadus 5.16 (keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on lõigus [a, b] integreeru-
vad ning g säilitab märki, siis leidub selline arv µ, et m := inf x∈[a,b] f (x) 6 µ 6 sup x∈[a,b] f (x) =: M ja Z b a f (x) g (x) dx = µ Z b a g (x) dx. Tõestus. Omaduse 5.13 kohaselt on funktsioon fg lõigus [a, b] integreeruv. Olgu (konk- reetsuse mõttes) g (x) > 0 iga x ∈ [a, b] korral. Võrratustest m 6 f (x) 6 M järelduvad võrratused mg (x) 6 f (x) g (x) 6 Mg (x), integraali monotoonsusomadustest 5.14 saame, et m Z b a g (x) dx 6 Z b a f (x) g (x) dx 6 M Z b a g (x) dx, kusjuures R b a g (x) dx > 0. Kui R b a g (x) dx = 0, siis R b a f (x) g (x) dx = 0 (miks?) z ja väide kehtib. Kui R b a g (x) dx > 0, siis võtame µ := R b a f (x) g (x) dx R b a g (x) dx , see arv rahuldab väite mõlemat tingimust (kontrollida!)z. Järeldus 5.17 Olgu funktsioonid f ja g nagu omaduses 5.16, eeldame, et f on seejuures
pidev. Siis leidub selline punkt c ∈ [a, b], et Z b a f (x) g (x) dx = f (c) Z b a g (x) dx. Tõestus. Iseseisvalt! (Kasutada teoreemi 3.13.)z

120 5 Integreeruvad funktsioonid 5.4 Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine 5.4.1 Pidevate ja monotoonsete funktsioonide integreeruvus Cantori teoreemi 3.25 kasutades tõestame järgmise tähtsa väite. Lause 5.18 Iga lõigus pidev funktsioon on selles lõigus integreeruv. Tõestus. Eeldame, et funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis Cantori teoreemi põhjal on ta selles lõigus ühtlaselt pidev. Olgu ε suvaline positiivne arv. Vastavalt ühtlase pidevuse
definitsioonile (vt. alapunkt. 3.5.1) leidub selline δ > 0, et kui x, x′ ∈ [a, b] ja |x − x′| < δ, siis |f (x) − f (x′)| < ε b − a . (5.17) Valime lõigu [a, b] alajaotuse T [x0, . . . , xn] nii, et λ (T ) < δ, siis suvaliste x ja x′ puhul osalõigust [xk−1, xk] kehtib võrratus (5.17). Kuna f on pidev lõigus [xk−1, xk], siis Weierstrassi teoreemi 3.16 kohaselt mk = min {f (x) | x ∈ [xk−1, xk]} ja Mk = max {f (x) | x ∈ [xk−1, xk]}, niisiis mk = f (x′ k) ja Mk = f (x ′′ k) mingite x ′ k, x ′′ k ∈ [xk−1, xk] korral, järelikult Mk −mk < ε b−a . Niisiis, S (T ) − s (T ) < ε b − a n X k=1 ∆xk = ε b − a (b − a) = ε, teoreemi 5.6 kohaselt on f integreeruv lõigus [a, b] . Tulles tagasi alapunkti 5.1 juurde, võime teoreemi 5.6 silmas pidades sõnastada Riemanni integraali geomeetrilise tähenduse: kui mittenegatiivne funktsioon f on lõigus [a, b] pidev, siis tema graafiku ja sirgetega x = a, x = b ning y = 0 määratud kõvertrapetsil on pindala
ning see on võrdne integraaliga R b a f (x) dx. Tõepoolest, selline funktsioon f on lause 5.18 kohaselt integreeruv, mistõttu teoreemi 5.6 põhjal S∗ = I∗ = I∗ = S∗ ja SaABb = R b a f (x) dx. Järeldusest 5.17 ja lausest 5.18 tuleneb vahetult järgmine pidevate funktsioonide in- tegraalarvutuse keskväärtusteoreem. Järeldus 5.19 Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et Z b a f (x) dx = f (c) (b − a) . Tõestus. Iseseisvalt!z Selle keskväärtusteoreemi geomeetrilist sisu illustreerib joonis 5.2: kui f on lõigus [a, b] pi- dev mittenegatiivne funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et alusele [a, b] ehitatud ristkülik kõrgusega f (c) ja funktsiooni f graafikuga määratud kõvertrapets on pindalalt võrdsed. Pidevus ei ole tarvilik tingimus integreeruvuseks, see selgub järgmisest väitest. Lause 5.20 Iga lõigus monotoonne tõkestatud funktsioon on integreeruv.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 121 C D c y x 0 a b y = f (x) Joonis 5.2: Integraalarvutuse keskväärtusteoreem. Tõestus. Kui f on konstantne funktsioon, siis on ta integreeruv (vt. näide 5.1). Olgu f lõigus [a, b] kasvav mittekonstantne tõkestatud funktsioon ja olgu T [x0, . . . , xn] selle lõigu
mingi alajaotus. Siis on lihtne kirjeldada funktsiooni f võnkumist ωk (T ) osalõigus [xk−1, xk], see on f (xk) − f (xk−1). Olgu ε suvaline positiivne arv, võtame δ := ε f (b)−f(a) . Kui λ (T ) < δ, siis n X k=1 ωk (T ) ∆xk < δ n X k=1 (f (xk) − f (xk−1)) = δ (f (b) − f (a)) = ε, mis teoreemi 5.6 kohaselt tähendabki funktsiooni f integreeruvust lõigus [a, b] . Kahaneva funktsiooni puhul on tõestus analoogiline. 5.4.2 Katkevate funktsioonide integreeruvus Katkevate funktsioonide integreeruvust kirjeldab järgmine lause. Lause 5.21 Kui tõkestatud funktsioonil f : [a, b] → R on lõigus [a, b] vaid lõplik arv katke- vuspunkte, siis f on integreeruv. Tõestus. 1. Vaatleme juhtu, kus funktsiooni f ainsaks katkevuspunktiks on üks lõigu otspunktidest. Olgu selleks punkt a, punkti b korral on tõestus analoogiline. Olgu ε > 0
suvaline. Valime sellise punkti x1 ∈ (a, b), mis rahuldab tingimust x1 − a < ε 2ω , kus ω := sup x∈[a,b] f (x) − inf x∈[a,b] f (x) on funktsiooni f võnkumine lõigus [a, b] (miks ω > 0?)z. Lõigus [x1, b] on funktsioon f pidev, seega ka integreeruv, vastavalt teoreemile 5.6 leiame
selle lõigu alajaotuse T ′ [x1, . . . , xn] omadusega n X k=2 ωk (T ′) ∆xk < ε
2 .

122 5 Integreeruvad funktsioonid Siis lõigu [a, b] alajaotuse T [x0, x1, . . . , xn], mis saadakse osalõigu [x1, b] alajaotusest T ′ jao-
tuspunkti x0 := a lisamisel, on rahuldatud teoreemi 5.6 tingimus (d): S (T ) − s (T ) = n X k=1 ωk (T ) ∆xk = sup x∈[a,x1] f (x) − inf x∈[a,x1] f (x) ! (x1 − a) + n X k=2 ωk (T ′) ∆xk < ω ε 2ω + ε
2 = ε. Seega on funktsioon f integreeruv lõigus [a, b] . 2. Vaatleme üldist juhtu, kus vahemikus (a, b) on funktsioonil katkevuspunktid c1 < c2 < . . . < cp. Valime punktid d1, d2, . . . , dp+1 nii, et a < d1 < c1 < d2 < c2 < . . . < cp < dp+1 < b, siis igas lõigus [a, d1] , [d1, c1] , [c1, d2] , . . . , [dp+1, b] võib funktsioon f olla katkev vaid lõigu
ühes otspunktis. Tõestuse esimese osa kohaselt on f igas sellises osalõigus integreeruv, vas-
tavalt aditiivsuse omadusele 5.8 on ta integreeruv lõigus [a, b] . 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem Käesolevas alapunktis tõestame teoreemi, mis seob matemaatilise analüüsi kaks haru, diferent-
siaal- ja integraalarvutuse. Selle teoreemi kõige tähtsam järeldus, mida nimetatakse Newton–
Leibnizi valemiks, on meile hästi tuntud eelnevatest matemaatilise analüüsi kursustest. Olgu funktsioon f lõigus [a, b] integreeruv. Omaduse 5.7 kohaselt eksisteerib iga x ∈ [a, b] korral integraal G (x) := Z x a f (t) dt. (5.18) Funktsiooni G : [a, b] → R abil kirjeldataksegi seost integraali ja tuletise vahel.
Teoreem 5.22 (põhiteoreem). Olgu f lõigus [a, b] integreeruv funktsioon.
(a) Seosega (5.18) määratud funktsioon G on lõigus [a, b] ühtlaselt pidev.
(b) Kui f on punktis c ∈ [a, b] pidev, siis funktsioon G on selles punktis diferentseeruv ja G′ (c) = f (c) . Tõestus. (a) Olgu ε > 0. Kuna f on integreeruv, siis on ta tõkestatud lõigus [a, b], s.t. ∃ M > 0 : |f (x)| 6 M (x ∈ [a, b]) . Võtame δ := ε M . Kui x, x ′ ∈ [a, b] ning |x − x′| < δ, siis, rakendades eelpool tõestatud omadusi 5.8 ja 5.15, saame, et |G (x) − G (x′)| =
Z x a f (t) dt − Z x′ a f (t) dt
Z x x′ f (t) dt
6
Z x x′ |f (t)| dt
6 M |x − x′| < Mδ = ε, s.t. G on lõigus [a, b] ühtlaselt pidev funktsioon.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 123 (b) Eeldame, et funktsioon f on punktis c ∈ [a, b] pidev. Olgu ε > 0, leiame δ > 0, et [ |x − c| < δ, x ∈ [a, b]] ⇒ |f (x) − f (c)| < ε. Seostest G (x) − G (c) x − c − f (c) = R x c f (t) dt x − c − f (c) = R x c (f (t) − f (c)) dt x − c saame tingimusel 0 < |x − c| < δ ja x ∈ [a, b], et
G (x) − G (c) x − c − f (c)
6
R x c |f (t) − f (c)| dt
|x − c| < ε x − c x − c = ε (selgitada!)z. Seega lim x→c G(x)−G(c) x−c − f (c)
= 0 ehk G′ (c) = lim x→c G (x) − G (c) x − c = f (c) . Teoreem on tõestatud. Märkus. Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreemi saab tõestada ka integraalarvutuse keskväär- tusteoreemi (vt. järeldus 5.17) kasutades. Nimelt, kuna G(x) − G(c) x − c = 1 x − c Z x c f (t) dt ning keskväärtusteoreemi kohaselt leidub c ja x vahel punkt ξ omadusega f (ξ) = 1 x − c Z x c f (t) dt, siis piisab minna piirile x → c ja märgata, et seejuures ka ξ → c. Et f on pidev punktis c, siis ka lim x→c f (ξ) = f (c). Kokkuvõttes G′(c) = f (c), nagu soovitud. Järgmine näide kinnitab, et ilma eelduseta funktsiooni f pidevusest kohal c ∈ [a, b] ei pruugi teoreemi 5.22 väide (b) kehtida, s.t. funktsioon G ei pruugi olla punktis c dife-
rentseeruv. Näide 5.3. Vaatleme funktsiooni f : [0, 2] → R, mis on määratud seosega f (x) := x, kui 0 6 x < 1, x + 1, kui 1 6 x 6 2, paneme tähele, et f ei ole punktis x = 1 pidev (veenduda!)z. Seosest G (x) = Z x 0 f (t) dt =
x2 2 , kui 0 6 x < 1, x2 2 + x − 1, kui 1 6 x 6 2, (selgitada!)z näeme, et G : [0, 2] → R on teoreemi 5.22(a) põhjal pidev funktsioon. Teoreemi 5.22(b) kohaselt G′ (x) := x, kui 0 < x < 1, x + 1, kui 1 < x < 2,

124 5 Integreeruvad funktsioonid (selgitada!)z, kuid kuna lim x→1− G (x) − G (1) x − 1 = lim x→1− x2 2 − 1
2 x − 1 = 1
2 lim x→1− (x + 1) = 1, lim x→1+ G (x) − G (1) x − 1 = lim x→1+ x2 2 + x − 1 − 1
2 x − 1 = 1
2 lim x→1− (x + 3) = 2, siis funktsioon G ei ole punktis x = 1 diferentseeruv. Meenutame, et funktsiooni F : D → R nimetatakse funktsiooni f : D → R algfunktsioo- niks intervallis D, kui iga x ∈ D korral F ′(x) = f(x).
Järeldus 5.23 Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis seosega (5.18) määratud funkt-
sioon G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b]. Tõestus. Iseseisvalt!z Järelduse 5.23 abil saame tõestada Newton–Leibnizi valemi. Kõigepealt kirjeldame funkt- siooni kõigi algfunktsioonide omavahelist vahekorda. Lause 5.24 Olgu D intervall, olgu funktsioonid F ja G funktsiooni f : D → R algfunktsioo- nid intervallis D. Siis leidub C ∈ R nii, et G(x) = F (x) + C. Tõestus. Vaadelge funktsiooni H(x) = G(x) − F (x), leidke, et H′(x) = 0 ning järeldage lause 4.12 abil, et H on konstantne funktsioon (iseseisvalt!z). Lause 5.24 tõttu on intervallis D funktsiooni f : D → R kõigi algfunktsioonide üldkuju F (x) + C, kus F : D → R on funktsiooni f mingi algfunktsioon. Algfunktsiooni üldkuju F (x) + C märgitakse sümboliga R f(x) dx ning nimetatakse funktsiooni f määramata in- tegraaliks. Juhime tähelepanu asjaolule, et määramata integraali leidmine on tuletise pöörd-
operatsioon ning määramata integraal pole otseselt seotud funktsiooni integreeruvuse ega
integraalsummadega. Järeldus 5.25 (Newton-Leibnizi valem). Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis Z b a f (x) dx = F (b) − F (a) , (5.19) kus F on funktsiooni f suvaline algfunktsioon lõigus [a, b]. Tõestus. Järelduse 5.23 kohaselt on G(x) = R x a f (t) dt funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b]. Edasi kasutage lauset 5.24 (iseseisvalt!z). Märkus. Tõestasime Newton–Leibnizi valemi eeldusel, et integrand f on pidev lõigus [a, b]. Tegeli- kult kehtib ka üldisem valem, kus nõutakse ainult f integreeruvust lõigus [a, b]. Sellise Newton–Leibnizi
valemi tõestamiseks tuleb vaadelda lõigu [a, b] suvalist alajaotust T , leida igas alalõigus Lagrange’i kesk-
väärtusteoreemi kohaselt punkt ξk ∈ (xk−1, xk) omadusega F (xk) − F (xk−1) = f(ξk)∆xk ning minna
piirile protsessis λ(T ) → 0. Peatüki lõpetuseks toome veel kaks praktilist juhist funktsiooni määratud integraali leid- miseks. 1. Ositi integreerimine.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 125 Lause 5.26 Olgu funktsioonide f, g : [a, b] → R tuletised f′ ja g′ pidevad (lõigus [a, b]). Siis Z b a f (x)g′(x) dx = f (b)g(b) − f(a)g(a) − Z b a f ′(x)g(x) dx. Tõestus. Kasutage korrutise tuletise valemit (vt. lauset 4.5) märkamaks, et funktsioon f · g on funktsiooni f′ · g + f · g′ algfunktsioon lõigus [a, b]. Edasi rakendage Newton–Leibnizi valemit ning integraali aditiivsust (iseseisvalt!)z. 2. Muutuja vahetus. Lause 4.7 liitfunktsiooni diferentseerimisest annab, et kui F : T → R on funktsiooni f : T → R algfunktsioon intervallis T ning ϕ: D → R on intervallis D diferentseeruv, kusjuures ϕ(D) ⊆ T , siis liitfunktsiooni F ◦ ϕ: D → R tuletis kohal x ∈ D on f(ϕ(x)) · ϕ′(x). Seda asjaolu saab märkida lühidalt kujul Z f (ϕ(x)) · ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C. Lause 5.27 Olgu ϕ: [a, b] → R pidev ja diferentseeruv ning olgu tuletis ϕ′ pidev lõigus [a, b]. Kehtigu sisalduvus ϕ([a, b]) ⊆ [ϕ(a), ϕ(b)] ning olgu funktsioon F funktsiooni f algfunktsioon lõigus [ϕ(a), ϕ(b)]. Siis Z ϕ(b) ϕ(a) f (t) dt = Z b a f (ϕ(x)) · ϕ′(x) dx. Tõestus. Kuna f, ϕ ja ϕ′ on pidevad, siis funktsioon x 7→ f(ϕ(x)) · ϕ′(x) on pidev lõigus [a, b]. Et ϕ([a, b]) ⊆ [ϕ(a), ϕ(b)], siis selle funktsiooni algfunktsioon lõigus [a, b] on
x 7→ F (ϕ(x)), mistõttu Z b a f (ϕ(x)) · ϕ′(x) dx = F (ϕ(b)) − F (ϕ(a)) = Z ϕ(b) ϕ(a) f (t) dt, nagu soovitud. Märkus 1. Nõue, et ϕ([a, b]) ⊆ [ϕ(a), ϕ(b)] on garanteeritud (koguni võrdusena) näiteks juhul, kui ϕ on rangelt kasvav. Rangelt kahaneva ϕ jaoks saab sõnastada analoogse tulemuse,
kasutades kokkulepet, et kui ϕ(b) > ϕ(a), kehtib R ϕ(b) ϕ(a) f (t) dt = − R ϕ(a) ϕ(b) f (t) dt. Märkus 2. Nõuet, et ϕ([a, b]) sisalduks lõigus otspunktidega ϕ(a), ϕ(b), ei saa kõrvale jätta. Valime näiteks [a, b] = [−1, 2], ϕ(x) = x2, f(t) = 1 t2 , kus f : [1, 4] → R. Siis algfunkt- sioon on F (t) = −1 t ning Z ϕ(b) ϕ(a) f (t) dt = Z 4 1 1 t2 dt = F (4) − F (1) = 3
4 , aga määratud integraalis Z b a f (ϕ(x)) · ϕ′(x) dx = Z 2 −1 f (x2) · 2x dx nõutakse funktsiooni f väärtuste arvutamist väljaspool tema lähtehulka (kuna ϕ([−1, 2]) =
[0, 4] * [1, 4] = [ϕ(−1), ϕ(2)]). Seda määratud integraali R b a f (ϕ(x)) · ϕ ′(x) dx = R 2 −1 2 x3 dx ei eksisteeri (isegi mitte päratu integraalina).

126 5 Integreeruvad funktsioonid 5.6 Päratud integraalid 5.6.1 Lõpmatute rajadega integraal Olgu funktsioon f määratud intervallis [a, ∞) . Olgu f integreeruv igas lõigus [a, l], kus l > a. Piirväärtust lim l→∞ Z l a f (x) dx, (5.20) nimetatakse funktsiooni f päratuks integraaliks rajades a-st ∞-ni (improper integral, несобственный
интеграл ) ja tähistatakse Z ∞ a f (x) dx. (5.21) Kui seejuures piirväärtus (5.20) on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal (5.21) on koonduv.
Mittekoonduvaid päratuid integraale nimetatakse hajuvateks. Analoogiliselt defineeritakse päratu integraal Z b −∞ f (x) dx ja tema koonduvus (defineerida!)z. Vaatleme nüüd funktsiooni f : R → R. Eksisteerigu mingi c ∈ R korral mõlemad päratud integraalid Z c −∞ f (x) dx, Z ∞ c f (x) dx. Kui mõlemad integraalid on lõplikud, siis defineerime, et Z ∞ −∞ f (x) dx := Z c −∞ f (x) dx + Z ∞ c f (x) dx, (5.22) ning ütleme, et päratu integraal Z ∞ −∞ f (x)dx on koonduv. Kui mõlemad integraalid Z c −∞ f (x) dx ja Z ∞ c f (x) dx on ∞, või üks on lõplik ja teine ∞, siis defineerime Z ∞ −∞ f (x)dx = ∞. Analoogselt, kui mõlemad integraalid on −∞, või üks on lõplik ja teine −∞, siis defineerime Z ∞ −∞ f (x)dx = −∞. Juhul, kui mõlemad integraalid on eri märgiga lõpmatused, me päratut integraali Z ∞ −∞ f (x)dx ei defineeri. (NB! Kõigil selles lõigus märgitud juhtudel on päratu integraal Z ∞ −∞ f (x)dx hajuv.) Olgu funktsioon f igas osalõigus [a, l], kus l > a, integreeruv, siis Z ∞ a f (x) dx koondub parajasti siis, kui Z ∞ a1 f (x) dx koondub iga a1 > a korral, (5.23)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 127 see tuleneb (tänu integraali aditiivsusomadusele 5.8 kehtivast) seosest Z l a f (x) dx = Z a1 a f (x) dx + Z l a1 f (x) dx. Samasugune väide kehtib muidugi ka integraali R b −∞ f (x) dx puhul. Siit järeldub (kuidas?) z , et kui päratu integraal (5.22) koondub, siis ei sõltu selle väärtus arvu c ∈ R valikust. Märkus. Vaadeldakse ka päratu integraali üldisemat varianti – Cauchy peaväärtust. Kui f on integ- reeruv igas lõigus [−l, l], kus l > 0, siis defineeritakse p.v. Z ∞ −∞ f (x)dx = lim l→∞ Z l −l f (x)dx. Vahetult saab kontrollida, et kui päratu integraal Z ∞ −∞ f (x)dx on koonduv, siis sama väärtusega on ka Cauchy peaväärtus p.v. Z ∞ −∞ f (x)dx, ning et leidub funktsioone, mille Cauchy peaväärtus p.v. Z ∞ −∞ f (x)dx on lõplik, kuid päratu integraal Z ∞ −∞ f (x)dx on hajuv. (Iseseisvalt!)z Näide 5.4. Olgu q > 0 ja a > 0, uurime päratu integraali Z ∞ a 1 xq dx (5.24) koonduvust. Juhul q = 1 kehtib võrdus F (l) := R l a 1
x dx = ln l − ln a iga l > a korral, on selge, et lõplikku piirväärtust lim l→∞ F (l) sel juhul ei eksisteeri. Seevastu, kui q 6= 1, siis F (l) = 1 (1−q)lq−1 − 1 (1−q)aq−1 ja lõplik piirväärtus lim l→∞ F (l) on olemas parajasti siis, kui q > 1. Niisiis, integraal (5.24) koondub parajasti siis, kui q > 1. Järgnev lause on jadade monotoonsuseprintsiibi pidev analoog. Lause 5.28 Olgu F : [a, ∞) → R kasvav funktsioon. Lõplik piirväärtus lim x→∞ F (x) leidub parajasti siis, kui hulk {F (x): x ∈ [a, ∞)} on ülalt tõkestatud. Sealjuures, kui nii on, siis lim x→∞ F (x) = . Tõestus. Tarvilikkus. Leidugu piirväärtus L = lim l→∞ F (l), siis mingi reaalarvu N ∈ [a, ∞) korral garanteerib nõue x > N selle, et kehtib L − 1 < F (x) < L + 1 (selgitage!)z Nüüd iga x ∈ [a, ∞) korral F (x) 6 L + 1 (miks?)z, mis tähendabki, et F väärtuste hulk on ülalt tõkestatud. Piisavus. Olgu F väärtuste hulk ülalt tõkestatud, siis eksisteerib L = . Näitame, et lim x→∞ F (x) = L. Fikseerime reaalarvu ε > 0, siis lause 1.3 kohaselt leidub x0 ∈ [a, ∞) omadusega, et F (x0) > L − ε. Kui nüüd x > x0, siis L − ε < F (x0) 6 F (x) 6 L < L + ε,

128 5 Integreeruvad funktsioonid mis tõestab koondumise lim x→∞ F (x) = L (põhjendage!)z. Rakendame lauset 5.28 järgmises situatsioonis. Olgu f : [a, ∞) → R mittenegatiivne, s.t. f (x) > 0 iga x > a korral, eeldame, et f on igas osalõigus [a, l], kus l > a, integreeruv.
Tähistame F (l) := R l a f (x) dx, funktsioon F : [a, ∞) → R on intervallis [a, ∞) kasvav ja mittenegatiivne: kui l > a, siis F (l) > 0 (vrd. lause 5.14), ning a < l1 < l2 ⇒ F (l2) = F (l1) + Z l2 l1 f (x) dx > F (l1) . Järeldus 5.29 Olgu mittenegatiivne funktsioon f integreeruv igas osalõigus [a, l], kus l >
a. Lõplik piirväärtus lim l→∞ F (l) = R ∞ a f (x) dx eksisteerib (s.t. päratu integraal R ∞ a f (x) dx koondub) parajasti siis, kui funktsioon F on tõkestatud intervallis [a, ∞). Sel juhul Z ∞ a f (x) dx = . Tõestus. Kuna kasvava funktsiooni F väärtuste hulk {F (l): l ∈ [a, ∞)} on alt tõkestatud arvuga F (a), järeldub see tulemus vahetult eelmisest lausest 5.28. Järelduse 5.29 ja seose (5.23) abil saab lihtsalt tõestada järgmise lõpmatute rajadega integraalide võrdluslause. Lause 5.30 Kui funktsioonid f ja g on igas lõigus [a, l], kus l > a, integreeruvad ning
0 6 f (x) 6 g (x) iga x ∈ [a, ∞) korral, siis integraali R ∞ a g (x) dx koonduvusest järeldub integraali R ∞ a f (x) dx koonduvus. Kui integraal R ∞ a f (x) dx hajub, siis hajub ka integraal R ∞ a g (x) dx. Tõestus. Pidades silmas seost (5.23), võime lähtuda eeldusest a = a1 (selgitada!)z. Tähistame G (l) := R l a g (x) dx, siis intervallis [a, ∞) kehtivast eeldusest 0 6 f (x) 6 g (x) saame võrratuse F (l) 6 G (l) iga l ∈ [a, ∞) korral (vrd. lause 5.14). Kui eksisteerib piirväär- tus R ∞ a g (x) dx = lim l→∞ G (l), siis järelduse 5.29 põhjal on funktsioon G tõkestatud intervallis [a, ∞), järelikult on ka funktsioon F samas intervallis tõkestatud. Järelduse 5.29 kohaselt eksisteerib lim l→∞ F (l) = R l a f (x) dx. Kui R ∞ a f (x) dx hajub, on tõkestamata hulk, järelikult on tõkesta- mata ka {G (l) | l ∈ [a, ∞)}, mistõttu R ∞ a g (x) dx hajub. Näide 5.5. Integraal R ∞ 1 cos2 x 1+x2 dx on koonduv, sest 0 6 cos2 x 1 + x2 < 1 x2 (x ∈ [1, ∞)) ja R ∞ 1 1 x2 dx koondub näite 5.4 põhjal.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 129 5.6.2 Tõkestamata funktsiooni päratu integraal Olgu funktsioon f : [a, b) → R poollõigu [a, b) igas osalõigus [a, l], kus a < l < b, integreeruv (siis ka tõkestatud), kuid poollõigus [a, b) tõkestamata. Sel juhul ütleme, et funktsioon f on
punkti b ümbruses tõkestamata. Piirväärtust lim l→b− Z l a f (x) dx, (5.25) nimetatakse funktsiooni f päratuks integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse (nagu tava-
list Riemanni integraali) R b a f (x) dx. Kui piirväärtus (5.25) on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal R b a f (x) dx on koonduv. Analoogiliselt defineeritakse päratu integraal Z b a f (x) dx := lim m→a+ Z b m f (x) dx juhul, kui funktsioon f : (a, b] → R on punkti a ümbruses tõkestamata, kuid igas osalõigus
[m, b] ⊆ (a, b] integreeruv. Kui f : (a, b) → R on mõlema punkti a ja b ümbruses tõkestamata, kuid mingi c ∈ (a, b) puhul eksisteerivad päratud integraalid R c a f (x) dx ja R b c f (x) dx, mille väärtused ei ole eri märgiga lõpmatused, siis defineeritakse päratu integraal Z b a f (x) dx := Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx. Seda nimetatakse koonduvaks, kui võrduse parema poole mõlemad päratud integraalid koon-
duvad. Ka sel juhul vaadeldakse mõnikord Cauchy peaväärtust, mis defineeritakse piirväärtusena p.v. Z b a f (x)dx = lim ε→0+ Z c a+ε f (x)dx + Z b−ε c f (x)dx
. On võimalik defineerida päratu integraal ka olukorras, kui mõni raja võib olla lõpmatus ning samal ajal punkte, mille ümbruses funktsioon on tõkestamata, on integreerimispiirkon-
nas suvaline lõplik arv. Selline päratu integraal defineeritakse sobiva summana ülaltoodud
päratu integraali kahest „põhitüübist“. Näide 5.6. Vaatleme integraali Z b a dx (b − x) q (5.26) kus a 0. Kui q = 1, siis F (l) := R l a dx b−x = ln (b − a) − ln (b − l) ning lim l→b− F (l) = ∞. Kui q 6= 1, siis F (l) = 1 1−q (b − a) 1−q − 1 1−q (b − l) 1−q ning integraal (5.26) koondub parajasti siis, kui q < 1. Analoogiliselt lausega 5.30 tõestatakse järgmine võrdluslause.

130 5 Integreeruvad funktsioonid Lause 5.31 Kui funktsioonid f ja g on poollõigus [a, b) tõkestamata, igas lõigus [a, l], kus
a < l < b, integreeruvad ning leidub a1 ∈ [a, b), et 0 6 f (x) 6 g (x) iga x ∈ [a1, b) korral, siis päratu integraali R b a g (x) dx koonduvusest järeldub päratu integraali R b a f (x) dx koonduvus ning päratu integraali R b a f (x) dx hajuvusest päratu integraali R b a g (x) dx hajuvus. Samasugune väide kehtib ka punkti a ümbruses tõkestamata funktsioonide f ja g puhul. Näide 5.7. Integraal R 2 1 dx x √ 3x2−2x−1 koondub, sest 0 < 1 x √ 3x2 − 2x − 1 = 1 x √ 3x + 1 √ x − 1 < 1 √ x − 1 (x ∈ (1, 2]) ja integraal R 2 1 dx √ x−1 koondub (vt. näide 5.6). Märkus. Nii lõpmatute rajadega päratu integraali kui tõkestamata funktsiooni päratu integraali jaoks on võimalik tõestada ka II võrdluslause. Nii näiteks kui f, g : [a, ∞) → R, kusjuures f ja g on igas lõigus [a, l] integreeruvad, f(x) > 0 ja g(x) > 0 iga x ∈ [a, ∞)
korral ning piirväärtus lim l→∞ f (l) g(l) on positiivne reaalarv, siis koonduvad ja hajuvad päratud integraalid R ∞ a f (x) dx ja R ∞ a g(x) dx samaaegselt. II võrdluslause tõestus matkib vastavat arvridade II võrdluslause tõestust (vt. lauset 6.18). 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal 5.7.1 Wallise valem Tähistame Jm := Z π/2 0 sinm xdx (m = 0, 1, . . . ) ning paneme tähele, et J0 = π 2 ja J1 = 1. Kui m > 1, siis rakendame integraali Jm arvutamiseks ositi integreerimise valemit, mille kohaselt Jm = Z π/2 0 sinm−1 xd ( − cos x) = − sin m−1 x cos x| π/2
0 + (m − 1) Z π/2 0 sinm−2 x cos2 xdx = (m − 1) Z π/2 0 sinm−2 xdx − (m − 1) Z π/2 0 sinm xdx = (m − 1) Jm−2 − (m − 1) Jm ehk Jm = m − 1 m Jm−2. Juhul m = 2n saame viimast seost kasutades, et J2n = (2n − 1) (2n − 3) . . . 3 · 1 2n (2n − 2) . . . 4 · 2 π 2 , juhul m = 2n + 1 aga J2n+1 = 2n (2n − 2) . . . 4 · 2 (2n + 1) (2n − 1) . . . 3 · 1 .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 131 Kui tähistada m!! := ( (2n)(2n − 2) . . . 4 · 2, kui m = 2n, (2n + 1)(2n − 1) . . . 3 · 1, kui m = 2n + 1, saame tulemuse üles kirjutada kujul Z π/2 0 sinm xdx = ( (m−1)!! m!! π 2 , kui m on paarisarv, (m−1)!! m!! , kui m on paaritu arv. (5.27) Saadud seose abil tõestame järgnevalt Wallise valemi π 2 = lim n→∞ 1 2n + 1
(2n)!! (2n − 1)!!
2 . Lähtudes võrratustest 0 6 sin2n+1 x 6 sin2n x 6 sin2n−1 x (x ∈ [0, π/2]) (põhjendada!)z, saame seosed Z π/2 0 sin2n+1 xdx 6 Z π/2 0 sin2n xdx 6 Z π/2 0 sin2n−1 xdx (põhjendada!)z. Valemi (5.27) kohaselt (2n)!! (2n + 1)!! 6 (2n − 1)!! (2n)!! π 2 6 (2n − 2)!! (2n − 1)!! . Jagades võrratuse liikmeid arvuga (2n−1)!! (2n)!! , saame, et xn := 1 2n + 1
(2n)!! (2n − 1)!!
2 6 π 2 6 1 2n
(2n)!! (2n − 1)!!
2 =: zn (n ∈ N) . Seejuures zn − xn = 1 2n 1 2n + 1
(2n)!! (2n − 1)!!
2 6 1 2n π 2 → 0 (n → ∞) , mistõttu seostest 0 6 π 2 − xn 6 zn − xn → 0 (n → ∞) järeldub, et lim n→∞ xn = lim n→∞ zn = π 2 . Valem on tõestatud. 5.7.2 Euler–Poissoni integraal Wallise valemit rakendatakse paljude keeruliste integraalide arvutamisel. Me leiame järgnevalt selle valemi
abil Euler–Poissoni integraali K := Z ∞ 0 e−x 2 dx väärtuse. Tegemist on päratu integraaliga, mis mängib tähtsat rolli tõenäosusteoorias. Vaatleme kõigepealt funktsiooni f (t) = (1 + t) e−t.

132 5 Integreeruvad funktsioonid Uurides selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkondi, on lihtne veenduda, et f saavutab oma mak-
simaalse väärtuse 1 punktis t = 0 (kontrollida!)z, niisiis, (1 + t) e−t < 1 iga t 6= 0 puhul. Võttes t := ±x2, saame võrratused 1 − x2 ex 2 < 1 ning 1 + x2 e−x 2 < 1, seega 1 − x 2 < e−x 2 < 1 1 + x2 (x > 0) (kontrollida!)z. Siit tuleneb, et suvalise n ∈ N korral 0 < 1 − x 2n < e−nx 2 (x ∈ (0, 1)) ja e− nx2 < 1 (1 + x2) n (x > 0) . Integreerime esimese võrratuse mõlemat poolt rajades 0-st 1-ni ja teise mõlemat poolt rajades 0-st ∞-ni: Z 1 0 1 − x 2n dx 6 Z 1 0 e−nx 2 dx < Z ∞ 0 e−nx 2 dx 6 Z ∞ 0 1 (1 + x2) n dx (5.28) (põhjendada!)z. Muutujavahetuse t := √ nx abil on lihtne veenduda, et Z ∞ 0 e−nx 2 dx = 1 √ n K (5.29) (kontrollida!)z. Valemist (5.27) saame muutujavahetust x = cos t kasutades seose Z 1 0 1 − x 2n dx = Z π/2 0 sin2n+1 tdt = (2n)!! (2n + 1)!! (5.30) (kontrollida!)z ning muutujavahetuse x = cot t abil Z ∞ 0 1 (1 + x2) n dx = Z π/2 0 sin2n−2 tdt = (2n − 3)!! (2n − 2)!! π 2 (5.31) (kontrollida)!z. Seostest (5.28) – (5.31) järeldub, et √ n (2n)!! (2n + 1)!! < K 6 (2n − 3)!! (2n − 2)!! π 2 √ n (n ∈ N) , millest omakorda tuleneb, et xn := n 2n + 1 1 2n + 1
2n!! (2n − 1)!!
2 < K2 6 n 2n − 1 (2n − 1) (2n − 3)!! (2n − 2)!!
2
π 2
2 =: zn (kontrollida!)z. Wallise valemi kohaselt lim n→∞ xn = lim n→∞ n 2n + 1 lim n→∞ 1 2n + 1
(2n)!! (2n − 1)!!
2 = π 4 ja lim n→∞ zn =
π 2
2 lim n→∞ n 2n − 1 lim n→∞ (2n − 1) (2n − 3)!! (2n − 2)!!
2 =
π 2
2 1
2 2 π = π 4 , tähendab, K2 = π 4 ehk Z ∞ 0 e−x 2 dx = √ π 2 .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 133 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.1 Funktsionaaljadad, nende punktiviisi ja ühtlane koonduvus 6.1.1 Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus Olgu (fk) selline funktsioonide jada, mille kõik liikmed fk on määratud mingis mittetüh-
jas hulgas D ⊆ R. Sellist jada nimetame edaspidi (hulgas D määratud) funktsionaaljadaks
(sequence of functions, функциональная последовательность) . Definitsioon. Ütleme, et funktsionaaljada (fk) koondub punktiviisi hulgas D (converges pointwise, сходится поточенно ) , kui iga x ∈ D korral eksisteerib lõplik piirväärtus f (x) := lim k→∞ fk (x) . (6.1) Seos (6.1) määrab hulgas D funktsiooni f, mida nimetatakse funktsionaaljada (fk) piir- funktsiooniks (limit function, предельная функция). Lühidalt kirjutame sel juhul ”fk → f punktiviisi hulgas D”. Põhiprobleem koonduvate funktsionaaljadade puhul on küsimus piirfunktsiooni ana- lüütilistest omadustest. Kas funktsioonide fk tähtsamad omadused (pidevus, diferentseeru-
vus, integreeruvus jm.) kanduvad üle seosega (6.1) määratud funktsioonile f? Järgnevad lihtsad näited kinnitavad, et üldjuhul on vastus esitatud küsimusele eitav. Näide 6.1. Funktsionaaljada (fn), kus fn : R → R, x 7→ n X k=0 x2 (1 + x2) k , koondub kogu arvteljel R ja f (x) = lim n→∞ fn (x) = 1 + x2, kui x ∈ R {0} , 0, kui x = 0. Jada liikmed on pidevad funktsioonid (kontrollida!)z, kuid kuna lim x→0 f (x) = 1 6= 0 = f (0), siis piirfunktsioon f ei ole pidev punktis x = 0. Selle näite põhjal võime öelda, et punktiviisi koonduva pidevate funktsioonide jada piir- funktsioon ei pruugi olla pidev. Veelgi enam, kuna funktsioonid fn on diferentseeruvad, tule-
neb näitest 6.1, et punktiviisi koonduvate diferentseeruvate funktsioonide jada piirfunktsioon
ei pruugi olla pidev, ammugi siis diferentseeruv. Näide 6.2. Vaatleme funktsionaaljada (fk), kus fk : [0, 1] → R, x 7→ 1 k xk. Selge, et f (x) = lim k→∞ fk (x) = 0, seega f ′ (x) = 0 iga x ∈ [0, 1] korral. Seejuures f′k (x) = x k−1 , niisiis on tuletiste jada (f′ k) punktiviisi koonduv lõigus [0, 1] ning lim k→∞ f ′k (x) = 0, kui x ∈ [0, 1) , 1, kui x = 1.

134 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Näeme, et lim k→∞ f ′k (x) 6=
lim k→∞ fk (x)
′ , kui x = 1. Niisiis, punktiviisi koonduva diferentseeruvate funktsioonide jada puhul üldjuhul ei ole lubatud piirileminek tuletise märgi all. Näide 6.3. Kui funktsionaaljada (fk) liikmeteks on funktsioonid fk : [0, 1] → R, x 7→ kx 1 − x 2k , siis suvalise x ∈ (0, 1) korral lim k→∞ fk (x) = x lim k→∞ k 1 − x 2k = x lim k→∞ k 1 1−x2 k = 0, seega lim k→∞ fk (x) = 0 iga x ∈ [0, 1] puhul. Seejuures lim k→∞ Z 1 0 fk (x) dx = lim k→∞ k Z 1 0 x 1 − x 2k dx = − 1
2 lim k→∞ k Z 1 0 1 − x 2k d 1 − x2 = − lim k→∞ k 2 (k + 1) h 1 − x 2k+1 i1 0 = lim k→∞ k 2 (k + 1) = 1
2 6= 0 = Z 1 0
lim k→∞ fk (x)
dx. Niisiis, üldjuhul lim k→∞ Z b a fk (x) dx 6= Z b a
lim k→∞ fk (x)
dx. 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus See, kas koonduva funktsionaaljada analüütilised omadused kanduvad üle tema piirfunkt-
sioonile või mitte, sõltub selle jada koonduvuse iseloomust, täpsemalt sellest, kui hästi saab
piirfunktsiooni f lähendada funktsioonidega fk. ”Heaks” koonduvuseks osutub järgnevalt
defineeritav ühtlane koonduvus. Definitsioon. Ütleme, et funktsionaaljada (fk) koondub funktsiooniks f ühtlaselt hulgas D (converges uniformly, сходится равномерно), kui ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N: k > N ⇒ [|fk (x) − f (x)| < ε iga x ∈ D korral ] . (6.2) Lühidalt kirjutame sel juhul ”fk → f ühtlaselt hulgas D”. Võrdluseks esitame ε-N-keeles punktiviisi koonduvuse definitsiooni: funktsionaaljada (fk) koondub funktsiooniks f punktiviisi hulgas D parajasti siis, kui ∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃N = N (x, ε) ∈ N: k > N ⇒ |fk (x) − f (x)| < ε. Nende kahe tingimuse võrdlemisel on selge, et kehtib järgmine väide.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 135 Lause 6.1 Kui fk → f ühtlaselt hulgas D, siis fk → f punktiviisi hulgas D. Tõestus. Iseseisvalt!z Geomeetriliselt illustreerib funktsionaaljada (fk) ühtlast koonduvust funktsiooniks f lõi- gus [a, b] joonis 6.1: suvalise etteantud ε > 0 korral leidub selline indeks N, et iga k > N
korral asub funktsiooni fk graafik . y x 0 a b y = f (x) y = f (x) + ε y = f (x) − ε Joonis 6.1: Funktsionaaljada ühtlane koonduvus. Vahetult definitsioonist (6.2) saame ühtlase koonduvuse jaoks järgmise kriteeriumi. Lause 6.2 Funktsionaaljada (fk) koondub hulgas D ühtlaselt funktsiooniks f parajasti siis,
kui lim k→∞ rk = 0, kus rk := . Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et fk → f ühtlaselt hulgas D, olgu ε > 0 suvaline. Vastavalt definitsioonile (6.2) leiame N ∈ N omadusega k > N ⇒ h |fk (x) − f (x)| < ε
2 iga x ∈ D korral i , seega on arv ε 2 hulga {|fk (x) − f (x)| | x ∈ D} ülemine tõke iga k > N puhul. Seetõttu sama hulga vähim ülemine tõke rk rahuldab tingimust rk 6 ε
2 < ε (k > N) , niisiis, lim k→∞ rk = 0. Piisavus. Eeldame, et rk = sup {|fk (x) − f (x)| | x ∈ D} eksisteerib iga k ∈ N korral ja lim k→∞ rk = 0, olgu ε > 0. Arvjada piirväärtuse definitsiooni kohaselt leidub selline N ∈ N, et rk < ε, kui k > N, seega |fk (x) − f (x)| 6 sup {|fk (x) − f (x)| | x ∈ D} < ε iga x ∈ D ja k > N korral. See tähendabki, et fk → f ühtlaselt hulgas D.

136 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Näide 6.4. Toome lihtsa näite punktiviisi koonduvast funktsionaaljadast, mis ei koondu ühtlaselt. Kui fk : [0, 1] → R, x 7→ x k, siis f (x) := lim k→∞ fk (x) = 0, kui x ∈ [0, 1) , 1, kui x = 1, seega koondub jada (fk) punktiviisi lõigus [0, 1] funktsiooniks f. See koonduvus ei ole ühtlane,
sest rk := = 1 (k ∈ N) . Teoreem 6.3 (Cauchy kriteerium ühtlase koonduvuse jaoks). Hulgas D määratud
funktsionaaljada (fk) koondub selles hulgas ühtlaselt parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub
selline N ∈ N, et k, m > N ⇒ [|fk (x) − fm (x)| < ε iga x ∈ D korral] . (6.3) Tõestus. Tarvilikkus. Olgu ε > 0 suvaliselt fikseeritud. Kui fk → f ühtlaselt hulgas D, siis leidub N ∈ N, et |fk (x) − f (x)| < ε 2 iga k > N ja x ∈ D puhul. Siit tuleneb tingimus (6.3): kui k, m > N, siis iga x ∈ D korral |fk (x) − fm (x)| 6 |fk (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| < ε. Piisavus. Kehtigu tingimus (6.3), siis iga fikseeritud x ∈ D korral on arvjada (fk (x)) koonduv (selgitada!)z. Tähistame f (x) := lim k→∞ fk (x), seega fk → f punktiviisi hulgas D. Näitame, et see koonduvus on ühtlane. Olgu ε > 0 ja olgu N valitud vastavalt eeldusele
(6.3), s.t. |fk (x) − fm (x)| < ε 2 kõikide k, m > N ja x ∈ D korral. Protsessis m → ∞ saame, et |fk (x) − f (x)| 6 ε
2 < ε iga k > N ja x ∈ D korral. Seega fk → f ühtlaselt hulgas D. 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid Olgu D ⊆ R mittetühi hulk ja olgu funktsioonid fk : D → R, kus k ∈ N, pidevad, s.t. lim t→x fk (t) = fk (x) kõikide x ∈ D ja k ∈ N korral. Eeldame, et fk → f punktiviisi hulgas D, s.t. lim k→∞ fk (x) = f (x) iga x ∈ D korral. Piirfunktsiooni f pidevus punktis x ∈ D tähendab võrdust lim t→x f (t) = f (x), niisiis lim t→x lim k→∞ fk (t) = lim t→x f (t) = f (x) = lim k→∞ fk
lim t→x t
= lim k→∞ lim t→x fk (t) . Me tõestasime järgmise väite.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 137 Lause 6.4 Kui pidevate funktsioonide jada (fk) koondub hulgas D punktiviisi funktsiooniks
f, siis piirfunktsiooni f pidevuseks hulgas D on tarvilik ja piisav tingimus lim t→x lim k→∞ fk (t) = lim k→∞ lim t→x fk (t) (x ∈ D) . (6.4) Teoreem 6.5 Kui hulgas D pidevate funktsioonide jada (fk) koondub ühtlaselt selles hulgas funktsiooniks f, siis f : D → R on pidev funktsioon. Tõestus. Eeldame, et 1) fk : D → R on pidev iga k ∈ N korral ja 2) fk → f ühtlaselt hulgas D. Fikseerime suvalise x ∈ D ning kontrollime funktsiooni f pidevust punktis x. Olgu ε > 0. Vastavalt eeldusele 2) leiame N ∈ N, et |f (t) − fk (t)| < ε
3 suvaliste t ∈ D ja k > N korral. Eelduse 1) põhjal on funktsioon fN pidev kohal x, seega eksisteerib niisugune δ > 0, et [t ∈ D, |t − x| < δ] ⇒ |fN (t) − fN (x)| < ε
3 . Kokkuvõttes, kui t ∈ D ja |t − x| < δ, siis |f (t) − f (x)| 6 |f (t) − fN (t)| + |fN (t) − fN (x)| + |fN (x) − f (x)| < ε
3 + ε
3 + ε
3 = ε, seega on funktsioon f pidev punktis x. Järgmine näide ütleb, et ühtlane koonduvus ei ole tarvilik tingimus punktiviisi koonduva funktsionaaljada piirfunktsiooni pidevuseks. Näide 6.5. Pidevate funktsioonide fk (x) := sin kx, kui 0 6 x 6 π k , 0, kui π k < x 6 π, jada (fk) koondub lõigus [0, π] punktiviisi pidevaks funktsiooniks f, mis on määratud seosega
f (x) = 0 iga x ∈ [0, π] korral (kontrollida!)z. Kuna rk := sup n sin kx | x ∈ h 0, π
k io = 1 (k ∈ N) , siis lause 6.2 põhjal ei ole see koonduvus ühtlane. Teoreemi 6.5 abil tõestame järgnevalt väited, mis kirjeldavad koonduva funktsionaaljada piirfunktsiooni diferentseerimise ning integreerimisega seotud omadusi. Seejuures kasutame
me diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreemi 5.22. Meenutame, et kui funktsioon f on
lõigus [a, b] integreeruv, siis eksisteerib G (x) := Z x a f (t) dt (x ∈ [a, b]) ning funktsioon G on lõigus [a, b] pidev. Kui seejuures f on punktis x0 ∈ [a, b] pidev, siis G on punktis x0 diferentseeruv ning G′ (x0) = f (x0). Alustame järgmise lemmaga.

138 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Lemma 6.6 Kui lõigus [a, b] pidevate funktsioonide jada (fk) koondub ühtlaselt selles lõigus funktsiooniks f, siis Z x a fk (t) dt → Z x a f (t) dt ühtlaselt lõigus [a, b] . Tõestus. Kõigepealt märgime, et kuna fk → f ühtlaselt lõigus [a, b] ja kõik funktsioonid fk : [a, b] → R on pidevad, siis funktsioon f : [a, b] → R on teoreemi 6.5 põhjal pidev. Lause 6.2 =: rk → 0, seega, kuna 0 6 max
Z x a fk (t) dt − Z x a f (t) dt
| x ∈ [a, b]
6 max Z x a |fk (t) − f (t)| dt | x ∈ [a, b]
6 rk max Z x a dt | x ∈ [a, b]
= (b − a) rk, siis väide järeldub lausest 6.2 (selgitada!)z. Lemma 6.6 abil tõestame teoreemid piirileminekust vastavalt integraali- ja tuletisemärgi all. Järgmine väide on vahetu järeldus lemmast 6.6. Teoreem 6.7 (piirileminekust integraalimärgi all). Kui lõigus [a, b] pidevate funktsioo-
nide jada (fk) koondub ühtlaselt selles lõigus funktsiooniks f, siis lim k→∞ Z b a fk (t) dt = Z b a f (t) dt. Tõestus. Iseseisvalt!z Märkus 1. Teoreem 6.7 kehtib ka nõrgemal eeldusel: pidevuse asemel piisab eeldada funktsioonide fk, k ∈ N, integreeruvust. Tõestuseks piisab märkida, et vastavalt antud arvule ε > 0 saab leida funktsionaaljada (fk) ühtlase koonduvuse tõttu indeksi N, et kui k > N, siis iga x ∈ [a, b] korral
|fk(x) − f(x)| < ε a−b . Edasi on jäänud rakendada integraali monotoonsusomadusi. Märkus 2. Kui integreeruvate funktsioonide jada (fk) koondub ühtlaselt piirfunktsiooniks f, on f ka integreeruv. Selle märkamiseks fikseeritakse ε > 0 ning leitakse N nii, et iga x ∈ [a, b] korral fN (x) − ε
2 < f (x) < fN (x) + ε
2 . Nüüd osutub, et lõigu [a, b] iga alajaotuse T korral kehtib võrratus Sf (T ) − sf (T ) 6 Sf N (T ) − sf N (T ) + ε(b − a), mis garanteerib funktsiooni f integreeruvuse lõigus [a, b]. Teoreem 6.8 (piirileminekust tuletisemärgi all). Kui funktsioonid fk : [a, b] → R, kus
k ∈ N, rahuldavad tingimusi 1) iga funktsioon fk on lõigus [a, b] pidevalt diferentseeruv, s.t. f′ k : [a, b] → R on pidev, 2) funktsionaaljada (fk) koondub punktiviisi lõigus [a, b] mingiks funktsiooniks f,
3) tuletiste jada (f′ k) koondub ühtlaselt lõigus [a, b] mingiks funktsiooniks ϕ, siis fk → f ühtlaselt lõigus [a, b], funktsioon f on diferentseeruv ja f ′ (x) = ϕ (x) iga x ∈ [a, b] korral. (6.5)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 139 Tõestus. Funktsionaaljadale (f′ k) saab rakendada lemmat 6.6 (kontrollige eeldusi!)z. Seega saame, et Z x a f ′k(t) dt → Z x a ϕ(t) dt ühtlaselt lõigus [a, b]. Teiselt poolt tänu Newton–Leibnizi valemile (järeldus 5.25) kehtib võrdus fk(x) = fk(a) + Z x a f ′ k(t) dt. Kuna ühtlasest koonduvusest järeldub punktiviisi koonduvus, oleme saanud, et f (x) = f (a) + Z x a ϕ (t) dt (x ∈ [a, b]) (selgitage!)z. Selle võrduse mõlemast poolest võtame tuletise ning kasutame diferentsiaal-
integraalarvutuse põhiteoreemi (teoreem 5.22), et saada tõestatav võrdus (6.5) (selgitage,
miks ϕ on pidev!)z. Koondumine fk → f on ühtlane, sest fk(x) − f(x) = (fk(a) − f(a)) + Z x a f ′ k(t) dt − Z x a ϕ(t) dt
, kusjuures iga ε > 0 korral võib leida N, et kui k > N, on mõlemad sulgavaldised võrduse
paremal pool absoluutselt väiksemad kui ε 2 (selgitage detaile!) z . 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest Teoreemi 6.5 kohaselt on lõigus ühtlaselt koonduva pidevate funktsioonide jada (fn) piirfunktsioon f
selles lõigus pidev. Kuid nagu selgus näitest 6.5, ei ole ühtlane koonduvus üldjuhul tarvilik tingimus
piirfunktsiooni pidevuseks. Järgmine teoreem kirjeldab situatsiooni, kus ühtlase koonduvuse eeldus on
tõepoolest tarvilik piirväärtuseks oleva funktsiooni pidevuseks . Lause 6.9 (Dini teoreem funktsionaaljada ühtlaseks koonduvuseks). Olgu (fk) selline lõigus [a, b]
pidevate funktsioonide jada, mis koondub punktiviisi selles lõigus pidevaks funktsiooniks f. Kui jada
(fk) on lõigus [a, b] monotoonne, siis fk → f ühtlaselt lõigus [a, b] . Tõestus. Konkreetsuse mõttes olgu (fk) lõigus [a, b] kasvav jada, s.t. fk (x) 6 fk+1 (x) (x ∈ [a, b] , k ∈ N) . Tähistame hk := f − fk, siis funktsioonid hk on lõigus [a, b] pidevad, seejuures hk (x) → 0 ja hk (x) >
hk+1 (x) iga x ∈ [a, b] korral. Paneme tähele, et hk (x) > 0 kõikide k ∈ N ning x ∈ [a, b] puhul. Nimelt, kui oletada vastuväiteliselt, et hk 0 (x0) < 0 mingite k0 ∈ N ning x0 ∈ [a, b] korral, s.t. ε := fk 0 (x0) − f (x0) > 0, siis fk (x0) − f (x0) > fk 0 (x0) − f (x0) = ε > 0 (k > k0) , seega fk (x0) 9 f (x0), mis on vastuolus lause eeldustega. Näitame, et hk → 0 ühtlaselt lõigus [a, b]. Kuna (hk) on kahanev jada, siis piisab veenduda, et iga ε > 0 puhul saab valida sellise indeksi k0, et hk 0 (x) < ε iga x ∈ [a, b] korral (põhjendada!)z.

140 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Oletame vastuväiteliselt, et teatava ε0 > 0 korral see tingimus ei ole täidetud. Siis iga k ∈ N jaoks leidub xk ∈ [a, b] omadusega hk (xk) > ε0. Jada (xk) on tõkestatud, Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal sisaldab ta koonduva osajada (xk i ), olgu c := lim i→∞ xk i . Siis c ∈ [a, b] ja lim i→∞ hn (xk i ) = hn (c) (n ∈ N) (selgitada!)z. Teiselt poolt, iga n ∈ N puhul saab fikseerida nii suure i, et ki > n. Sel juhul hn (xk i ) > hki (xki ) > ε0 , kust protsessis i → ∞ saame võrratuse hn (c) > ε0 iga n ∈ N jaoks. See on vastuolus eeldusega, mille kohaselt hk (x) → 0 lõigus [a, b] . Järelikult on meie vastuväiteline oletus väär. Näide 6.6. Tõestame Dini teoreemi kasutades, et funktsionaaljadad fn(x) = n X k=0 xk k! , gn(x) =
1 + x
n
n koonduvad piirfunktsiooniks f (x) = ex ühtlaselt igas lõigus [0, a]. Jada (fn) punktiviisi koonduvus on põhjendatud näites 4.6, monotoonsus tuleneb sellest, et iga monoom x k k! on mittenegatiivne, kui x > 0. Jada (gn) punktiviisi koonduvus tuleneb (tänu muutujavahetusele n x = t) sellest, et kehtib koondu- mine (funktsiooni piirväärtus) lim t→∞
1 + 1 t
t = e. (6.6) Tõepoolest, jada piirväärtusena on see koondumine tuntud juba alapeatükist 2.2.6. Kui nüüd ⌊t⌋ = n, siis n 6 t < n + 1, mistõttu 1 n+1 < 1 t 6 1n. Seega
1 + 1 n + 1
n <
1 + 1 t
t <
1 + 1 n
n+1 . Et selles ahelvõrratuses nii vasakul kui paremal seisva jada piirväärtus on e (miks?)z, kehtib keskmise
muutuja omaduse kohaselt koondumine (6.6). Arvjada (gn(x)) kasvavuse tõestame järgmiselt. Saame, et
1 + x n+1
n+1 1 + x n
n =
n(n + 1 + x) (n + 1)(n + x)
n · n + 1 + x n + 1 =
1 − x (n + 1)(n + x)
n ·
1 + x n + 1
> >
1 − n · x (n + 1)(n + x)
·
1 + x n + 1
= 1 + x2 (n + 1)2(n + x) > 1, sealjuures võrratuse saamiseks kasutasime Bernoulli võrratust (1 − t)n > 1 − tn (siin n ∈ N, t ∈ [0, 1)), mida saab tõestada induktsiooniga n järgi. Dini teoreemi kohaselt fn(x) → ex ja gn(x) → ex ühtlaselt igas lõigus [0, a].
Analoogiliselt tõestatakse ühtlane koonduvus piirväärtuse e−x = lim n→∞ 1 − x
n
n korral.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 141 6.2 Arvread, nende koonduvus 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus Definitsioon. Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + . . . + un + . . . nimetame arvreaks (enamasti lühidalt reaks) (series, ряд), arve uk selle rea liikmeteks (term).
Tavaliselt tähistame rida u1 + u2 + . . . + un + . . . sümboliga ∞ P k=1 uk. Antud rea ∞ P k=1 uk puhul moodustame tema osasummad (partial sum, частичная сумма) s1 := u1, s2 := u1 + u2, . . . , sn := n X k=1 uk, . . . ja osasummade jada (sn). Definitsioon. Rea ∞ P k=1 uk summaks (sum, сумма) nimetatakse tema osasummade jada (sn) piirväärtust lim n→∞ sn =: s, kui see eksisteerib. Sel juhul kirjutame ∞ P k=1 uk = s. Kui s ∈ R, ütleme, et rida ∞ P k=1 uk on koonduv. Mittekoonduvat rida nimetatakse hajuvaks (divergent, расходящийся ) . Niisiis tähistab sümbol ∞ P k=1 uk nii rida ennast kui ka tema summat, kui see on olemas. Rõhutame, et juhul ∞ P k=1 uk = ∞ või ∞ P k=1 uk = −∞ on tegemist hajuva reaga. Näide 6.7. Geomeetriline rida ∞ P k=0 qk koondub parajasti siis, kui |q| < 1, kusjuures sel juhul ∞ P k=0 qk = 1 1−q (põhjendada!) z . Lause 6.10 (tarvilik tingimus rea koonduvuseks). Kui rida ∞ P k=1 uk koondub, siis lim k→∞ uk = 0. Tõestus. Iseseisvalt!z Näide 6.8. Rida ∞ P k=1 ( −1) k hajub. Seda saab põhjendada vahetult osasummade uurimise ja hajuvuse definitsiooni kaudu (tehke läbi!)z. Kõige hõlpsam on aga kasutada lauset 6.10
ning tähelepanekut, et lim k→∞ uk = 0 ⇔ lim k→∞ |uk| = 0. Nimelt, praegusel juhul lim k→∞ |(−1) k| = 1 6= 0.

142 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread NB! Lause 6.10 väide on ainult ühtepidi implikatsioon ∞ X k=1 uk on koonduv ⇒ lim k→∞ uk = 0. Teistpidine implikatsioon üldiselt ei kehti, tuntud kontranäide on harmooniline rida ∞ P k=1 1
k (vt. näidet 6.9). Seega tarvilik tingimus lim k→∞ uk = 0 ei ole piisav rea ∞ P k=1 uk koonduvuseks. Tihti on otstarbekas nummerdada rea liikmed nii, et esimene liige on indeksiga 0, s.t. ∞ X k=0 uk = u0 + u1 + u2 + . . . + un + . . . . Kuid rea indeksid võivad alata ka suvalisest täisarvust, näiteks rida ∞ X k=p+1 uk := up+1 + up+2 + . . . nimetatakse esialgse rea ∞ P k=1 uk p-ndaks jääkliikmeks (remainder, остаток). Omadus 6.11 Rida ∞ P k=1 uk koondub parajasti siis, kui rida ∞ P k=p+1 uk koondub suvalise p ∈ N0 korral. Tõestus. Iseseisvalt!z Lihtne on veenduda (iseseisvalt!)z, et koonduva rea jääkliikmed moodustavad nulliks koonduva jada, s.t. lim p→∞ ∞ P k=p+1 uk = 0. Igale reale ∞ P k=1 uk vastab (üheselt määratud) osasummade jada (sn) = n P k=1 uk
. Vastu- pidi, iga jada (xn)∞ n=1 korral leidub üheselt määratud rida ∞ P k=1 uk, mille osasummade jada on (xn), selleks tuleb võtta un := xn − xn−1 (siin x0 := 0). Niisiis, kõigi ridade hulga ja kõigi jadade hulga vahel on olemas selline üksühene vastavus, et koonduvatele ridadele vastavad
koonduvad jadad (selgitada!)z. Seetõttu on ridadele lihtsalt ülekantavad jadade koonduvust
puudutavad väited. Järgmine lause demonstreerib seda Cauchy kriteeriumi näitel. Lause 6.12 (Cauchy kriteerium ridade jaoks). Rida ∞ P k=1 uk koondub parajasti siis, kui ∀ε > 0 ∃N ∈ N : m > n > N ⇒
m X k=n+1 uk
< ε. (6.7)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 143 Tõestus. Definitsiooni järgi tähendab rea ∞ P k=1 uk koonduvus tema osasummade jada (sn) koonduvust. Cauchy kriteeriumi kohaselt (vt. teoreem 2.17) koondub jada (sn) parajasti
siis, kui ta on Cauchy jada, see tähendab, kui iga ε > 0 korral leidub niisugune N ∈ N, et
|sm − sn| < ε suvaliste m, n > N puhul. Kuna eeldusel m > n kehtib võrdus sm − sn = m X k=1 uk − n X k=1 uk = m X k=n+1 uk, siis saamegi, et rea ∞ P k=1 uk koonduvus on samaväärne tingimusega (6.7) (selgitada!)z. Näide 6.9. Veendume, et rida ∞ P k=1 1 kα hajub, kui α 6 1. Tähistame sn = 1 + 1 2α + . . . + 1 nα , siis s2n − sn = 1 (n + 1)α + . . . + 1 (2n)α > 1 n + 1 + . . . + 1 2n > 1 2n + . . . + 1 2n = 1
2 suvalise n ∈ N korral. Saadud tulemus näitab, et Cauchy kriteeriumi tingimus on rikutud
(selgitage!)z ja järelikult rida ∞ P k=1 1 kα on hajuv. Rea koonduvuse definitsioonist ning koonduvate jadade omadustest (vt. omadus 2.9 (a) ja (c)) tuleneb järgmine väide. Omadus 6.13 Kui ∞ P k=1 uk ja ∞ P k=1 vk koonduvad vastavalt summaks s ja t, siis rida ∞ P k=1 (uk + vk) koondub summaks s + t ning rida ∞ P k=1 λuk summaks λs, kus λ on suvaline reaalarv. Tõestus. Iseseisvalt!z 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus Lihtne on näha, et kui rea liikmed uk on kõik mittenegatiivsed, siis osasummade jada (sn)
on kasvav: sn = n X k=1 uk = n−1 X k=1 uk + un = sn−1 + un > sn−1 (n ∈ N) . Monotoonsuseprintsiibi kohaselt kehtib järgmine väide. Omadus 6.14 Mittenegatiivsete liikmetega rida ∞ P k=1 uk koondub parajasti siis, kui ta osasum- made jada (sn) on tõkestatud.

144 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Tõestus. Iseseisvalt!z Lepime kokku, et mittenegatiivsete liikmetega rea ∞ P k=1 uk puhul märgib kirjutis ∞ P k=1 uk < ∞ selle rea koonduvust, seevastu ∞ P k=1 uk = ∞ tähendab hajuvust. Definitsioon. Ütleme, et rida ∞ P k=1 uk koondub absoluutselt (converges absolutely, сходится абсолютно ) , kui ∞ P k=1 |uk| < ∞. Selge, et mittenegatiivsete liikmetega rida koondub parajasti siis, kui ta koondub abso- luutselt.
Omadus 6.15 Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Tõestus. Olgu rida ∞ P k=1 uk absoluutselt koonduv, s.t. ∞ P k=1 |uk| < ∞. Näitame Cauchy kriteeriumi (vt. lause 6.12) abil, et ∞ P k=1 uk koondub. Olgu ε > 0 suvaline. Kuna rida ∞ P k=1 |uk| koondub, siis leidub selline N ∈ N, et m > n > N ⇒ m X k=n+1 |uk| < ε. Absoluutväärtuse kolmnurgaomaduse kohaselt
m X k=n+1 uk
6 m X k=n+1 |uk| < ε, kui m > n > N, lause 6.12 põhjal tähendab see rea ∞ P k=1 uk koonduvust. Omadus 6.16 Üldine harmooniline rida ∞ P k=1 1 kα koondub parajasti siis, kui α > 1. Tõestus. Näites 6.9 on juba tõestatud uuritava rea hajuvus, kui α 6 1.
Olgu α > 1, näitame, et ∞ P k=1 1 kα < ∞. Tähistame r := 1 − α < 0 ning paneme tähele, et 1 2α + 1 3α < 2 2α = 2 r, 1 4α + 1 5α + 1 6α + 1 7α < 4 22α = 2 2r , jne, üldiselt suvalise n ∈ N korral s2n+1−1 − s2n−1 = 1 (2n) α + · · · + 1 (2n+1 − 1) α < 1 (2n)α + · · · + 1 (2n)α = 2n (2n)α = 2nr. Seega kokkuvõttes sn 6 s2n+1−1 6 1 + 2 r + . . . + 2nr = 1 − (2 r)n+1 1 − 2r 6 1 1 − 2r =: M (selgitada!)z. Näeme, et positiivsete liikmetega rea ∞ P k=1 1 kα osasummad on tõkestatud, oma- duse 6.14 järgi on see rida koonduv.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 145 6.3 Ridade koonduvustunnused Ridade koonduvuse testimiseks on leitud mitmeid koonduvustunnuseid. Enamasti on need
rakendatavad mittenegatiivsete liikmetega ridade korral või siis rea absoluutse koonduvuse
kindlakstegemisel. Tavaliselt võrreldakse uuritavat rida mingi lihtsama tuntud reaga. 6.3.1 Võrdluslaused Lause 6.17 (esimene võrdluslause). Leidugu ridade ∞ P k=1 uk ja ∞ P k=1 vk puhul indeks N ∈ N, et 0 6 uk 6 vk iga k > N korral. (6.8) (a) Kui rida ∞ P k=1 vk koondub, siis koondub ka rida ∞ P k=1 uk. (b) Kui rida ∞ P k=1 uk hajub, siis hajub ka rida ∞ P k=1 vk. Tõestus. Teatavasti (vt. omadus 6.11) koonduvad read ∞ P k=1 uk ja ∞ P k=1 vk parajasti siis, kui vastavalt koonduvad mittenegatiivsete liikmetega read ∞ P k=N uk ja ∞ P k=N vk. Nende ridade osasummade jaoks saame seostest (6.8) võrratused 0 6 n X k=N uk 6 n X k=N vk suvalise n > N puhul. (6.9) (a) Kui rida ∞ P k=1 vk koondub, siis koondub ka rida ∞ P k=N vk, järelikult on tema osasummade jada
n P k=N vk
∞ n=N ülalt tõkestatud, s.t. leidub M > 0, et 0 < n P k=N vk 6 M iga n > N korral. Tänu seostele (6.9) on ka rea ∞ P k=N uk osasummade jada
n P k=N uk
∞ n=N tõkestatud (selgitada!)z, mistõttu omaduse 6.14 kohaselt rida ∞ P k=N uk koondub. Omaduse 6.11 põhjal koondub siis ka rida ∞ P k=1 uk. Väide (b) tuleneb vahetult väitest (a) . Lause 6.18 (teine võrdluslause). Olgu ∞ P k=1 uk ja ∞ P k=1 vk sellised positiivsete liikmetega read, et eksisteerib lõplik piirväärtus lim k→∞ uk vk =: L 6= 0. Sel juhul rida ∞ P k=1 uk koondub parajasti siis, kui koondub rida ∞ P k=1 vk.

146 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Tõestus. Rakendame jadale
uk vk
lemmat 2.8, selle kohaselt leidub niisugune N ∈ N0, et L 2 < uk vk < 3L 2 iga k > N korral ehk vk < 2 L uk ja uk < 3L 2 vk (k > N) (selgitada!)z. Nendest võrratustest saame esimest võrdluslauset 6.17 rakendades väite (sel-
gitada!)z. 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus Tõestatud võrdluslausete abil saab leida konkreetseid koonduvustunnuseid, kui võrrelda uuri-
tavat rida mingi konkreetse reaga. Järgnevalt tõestame kaks lauset, kus rida ∞ P k=1 uk võrreldakse geomeetrilise reaga ∞ P k=0 qk. Lause 6.19 (Cauchy koonduvustunnus). Rida ∞ P k=1 uk koondub absoluutselt, kui c := lim k→∞ k p|uk| < 1, ja hajub, kui c > 1. Tõestus. Eeldame, et c < 1, ja fikseerime suvalise q ∈ (c, 1) . Paneme tähele, et võrratus k p|uk| > q saab kehtida vaid lõpliku arvu indeksite k korral, vastasel juhul saaksime moo- dustada osajada
ki p|uk i |
, mis koondub arvust c suuremaks piirväärtuseks (selgitada!)z. Seega leidub niisugune indeks N, et k p|uk| 6 q kõikide k > N puhul ehk |uk| 6 q k, kui k > N. Geomeetrilise rea ∞ P k=0 qk koonduvusest tuleneb esimese võrdluslause põhjal rea ∞ P k=1 |uk| koon- duvus, seega koondub rida ∞ P k=1 uk absoluutselt. Kui c > 1, siis võtame ε > 0 nii väikese, et 1 < c − ε < c. Kuna arv c on jada
k p|uk|
osapiirväärtus, siis sisaldab tema ümbrus Uε (c) lõpmata palju selle jada liikmeid. Kõik need
liikmed on suuremad kui arv 1, seetõttu ei saa rea ∞ P k=1 uk liikmed rahuldada tingimust uk → 0, mis on tarvilik rea koonduvuseks (selgitage!)z. Lause 6.20 (d’Alembert’i tunnus). Olgu ∞ P k=0 uk selline rida, et uk 6= 0 iga k ∈ N korral. See rida koondub absoluutselt, kui eksisteerib piirväärtus d := lim k→∞
uk+1 uk
ning d < 1. Kui d > 1, siis rida ∞ P k=0 uk hajub.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 147 Tõestus. Olgu d < 1, näitame, et ∞ P k=0 |uk| < ∞. Valime arvu q omadusega d < q < 1, olgu ε := q − d. Kuna
uk+1 uk
→ d protsessis k → ∞, siis mingist indeksist N alates kuuluvad jada
uk+1 uk
liikmed punkti d ümbrusse Uε (d), need liikmed rahuldavad võrratust
uk+1 uk
< q (kontrollida!)z. Niisiis, iga k > N + 1 puhul |uk| |uN| = |uk| |uk−1| · |uk−1|
|uk−2| · · · · · |uN+1| |uN| < qk−N ehk |uk| < |uN| q k−N (k > N + 1) . Kuna rida ∞ P k=N +1 |uN| q k−N = |uN| ∞ P i=1 qi koondub (põhjendada!)z, siis omaduse 6.11 põhjal koondub ka rida ∞ P k=1 |uN| q k−N ja lause 6.17 kohaselt ∞ P k=0 |uk| < ∞ (selgitada!)z. Teiseks vaatleme juhtu d > 1. Olgu ε > 0 selline arv, et 1 < d − ε < d. Mingist indeksist N alates kuuluvad jada
uk+1 uk
liikmed punkti d ümbrusse Uε (d), seega rahuldavad nad võrratust
uk+1 uk
> 1 (kontrollida!) z , mistõttu |uk| |uN| = |uk| |uk−1| · |uk−1|
|uk−2| · · · · · |uN+1| |uN| > 1 ehk |uk| > |uN| > 0 (k > N) . Seega ei ole täidetud rea koonduvuseks tarvilik tingimus uk → 0. Märkus 1. Saab näidata, et kui (uk) on positiivsete liikmetega jada, siis lim k→∞ uk+1 uk 6 lim k→∞ k √ uk 6 lim k→∞ k √ uk 6 lim k→∞ uk+1 uk . (6.10) Võrratustest (6.10) järeldub, et kui arvrea P k uk jaoks eksisteerib lõplik piirväärtus d := lim k→∞
uk+1 uk
, siis ka lim k→∞ k p|uk| = d (miks?)z. Niisiis, kui d’Alembert’i tunnus ei tööta põhjusel, et d = 1, on ka Cauchy tunnuses c = 1. Märkus 2. Näitena reast, mille korral d’Alembert’i tunnus ei tööta ja Cauchy tunnus töötab, sobib rida ∞ X k=1 2−k+(−1) k = 1 22 + 1 21 + 1 24 + 1 23 + 1 26 + 1 25 + . . .. Tähistades uk = 2−k+(−1) k , saame, et lim k→∞
uk+1 uk
= 1
8 ja lim k→∞
uk+1 uk
= 2 (veenduge!)z ning lim k k p|uk| = 1
2 (kontrollige!)z. NB! See näide ei vähenda d’Alembert’i tunnuse väärtust, sest arvu d leidmine on sageli lihtsam kui arvu c leidmine. Märkus 3. Saab näidata, et kui lim k→∞
uk+1 uk
< 1, siis rida P k uk koondub absoluutselt, ning kui lim k→∞
uk+1 uk
> 1, siis rida P k uk hajub.

148 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.3.3 Leibnizi koonduvustunnus Olgu uk > 0 iga k ∈ N korral. Öeldakse, et rida P∞ k=1(−1) kuk on vahelduvate märkidega rida. Piisava tingimuse vahelduvate märkidega rea koonduvuseks annab Leibnizi tunnus. Lause 6.21 (Leibnizi tunnus). Olgu uk > 0 iga k ∈ N korral, kusjuures jada (uk) olgu
kahanev ja koondugu nulliks. Siis vahelduvate märkidega rida ∞ P k=1 ( −1) k u k on koonduv. Tõestus. Eelduse kohaselt lim k uk = 0, kusjuures uk > uk+1 > 0. Vaatleme eraldi paaris- ja paaritu indeksiga osasummasid s2n−1 = 2n−1 X k=1 ( −1) k u k ja s2n = 2n X k=1 ( −1) k u k (n ∈ N) , siis s2n+2 = s2n − u2n+1 + u2n+2 6 s2n (kontrollida!)z, seega on jada (s2n) kahanev. Et s2n = −u1 + (u2 − u3) + . . . + (u2n−2 − u2n−1) + u2n > −u1, on jada (s2n) alt tõkestatud. Monotoonsuseprintsiibi kohaselt leidub lõplik piirväärtus lim n→∞ s2n = s. Paneme tähele, et s2n+1 = s2n − u2n+1 → s + 0 = s (n → ∞), seega on ka paaritu indeksiga osasummade jada piirväärtus s. Jääb üle veenduda, et lim m→∞ sm = s. Olgu ε > 0 suvaline, leiame sellised indeksid N1 ja N2, et n > N1 ⇒ |s2n−1 − s| < ε ja n > N2 ⇒ |s2n − s| < ε. Kui m > N, kus N := max {2N1, 2N2}, siis |sm − s| < ε iga m > N puhul (kontrollida!)z, seega lim m→∞ sm = s. Sellega on väide tõestatud. Märkus 1. Nõuet, et uk > 0, pole tegelikult vaja püstitada: eeldused, et jada (uk) on monotoonne ja koondub nulliks, garanteerivad juba, et leiab aset üks kahest: kas 0 6 uk ց 0, s.t. jada (uk) koondub kahanedes nulliks, või 0 > uk ր 0. Teisel juhul valime vk = −uk ning
rakendame Leibnizi tunnust reale ∞ P k=1 ( −1) kvk = − ∞ P k=1 ( −1) kuk). Sealjuures paneme ka tähele, et null-liikmed ei mõjusta rea koonduvust ega rea summat, mistõttu võime nad juba enne
koonduvuse uurimist kõrvaldada. Märkus 2. Kuna juhul 0 6 uk ց 0 paarisarvuliste indeksitega osasummade jada (s2n) kahaneb summaks s = ∞ P k=1 ( −1) k u k ja paarituarvuliste indeksitega osasummade jada (s2n−1) kasvab summaks s, seega s2n−1 6 s 6 s2n, siis saame seosed 0 6 s − s2n−1 6 s2n − s2n−1 = u2n, 0 6 s2n − s 6 s2n − s2n+1 = u2n+1 (n ∈ N) .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 149 Kokkuvõttes oleme leidnud kasuliku võrratuse vahelduvate märkidega rea ∞ P k=1 ( −1) k u k jääk- liikme hindamiseks:
∞ X k=n+1 ( −1) k u k
6 |un+1| (n ∈ N) . (6.11) Kui 0 > uk ↑ 0, siis s2n 6 s 6 s2n+1 iga n ∈ N puhul ning eelnevaga analoogiline arutelu näitab, et hinnang (6.11) on õige ka sel juhul (kontrollida!)z. Näide 6.10 (koonduvast reast, mis ei ole absoluutselt koonduv). Eelpool veendu- sime, et harmooniline rida ∞ P k=1 1 kα hajub, kui α 6 1. Leibnizi tunnuse kohaselt on rida ∞ P k=1 (−1) k kα koonduv iga α > 0 korral (põhjendada!)z. 6.3.4 Integraaltunnus Tõestame koonduvustunnuse mittenegatiivse kahaneva üldliikmega ridade jaoks. Lause 6.22 Olgu N ∈ N, olgu funktsioon f : [N, ∞) → R mittenegatiivne ja kahanev. Siis rida ∞ P n=N f (n) on koonduv parajasti siis, kui päratu integraal ∞ R N f (x) dx on koonduv. Tõestus. Paneme tähele, et iga x ∈ [N, n] korral f(n) 6 f(x) ning iga x ∈ [n, ∞) korral f(x) 6 f (n), mistõttu iga täisarvu n > N jaoks Z n+1 n f (x) dx 6 Z n+1 n f (n) dx = f (n) ning kui n > N + 1, siis f (n) = Z n n−1 f (n) dx 6 Z n n−1 f (x) dx. Seega, võttes täisarvu m > N , saame, et Z m+1 N f (x) dx 6 m X n=N f (n) 6 f (N ) + Z m N f (x) dx (selgitage detaile!)z. Piirileminek m → ∞ koos I võrdluslause rakendamisega annab nüüd tõestatava väite (selgitage!)z. Integraaltunnus on otstarbekas juhtudel, kui päratu integraali uurimine on lihtne, rea uurimine aga keeruline või vastupidi. Näiteks see, et üldine harmooniline rida ∞ P k=1 1 kα koondub parajasti siis, kui α > 1, järeldub asjaolust, et päratu integraal Z ∞ 1 dx
xα =          lim l→∞ (ln l − ln 1) = ∞, kui α = 1, lim l→∞
1 α−1 − l1−α α−1
= 1 α−1 , kui 1 − α < 0, lim l→∞
1 α−1 − l1−α α−1
= ∞, kui 1 − α > 0 koondub parajasti juhul α > 1.

150 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.3.5 Cauchy kondensatsiooniprintsiip Järgnevas on veel üks koonduvustunnus mittenegatiivse kahaneva üldliikmega ridade jaoks. See tunnus
võtab osasummade asemel uurimise alla sellised osasummad, kus liikmed on plokiti asendatud, plokkide
pikkused on 2 astmed. Tulemusena saadav rida koondub parajasti siis, kui koondub uuritav rida. Lause 6.23 Olgu iga naturaalarvu k korral uk > uk+1 > 0. Siis rida ∞ P k=1 uk koondub parajasti siis, kui koondub rida ∞ P k=0 2ku2k. Tõestus. Antud read on mittenegatiivsete liikmetega. Näitame, et nende osasummade jadad on tõkestatud üheaegselt; kui see on tehtud, siis monotoonsuseprintsiip (vt. omadus 6.14) annab vajaliku
väite. Olgu Un = n P k=1 uk ja Vm = m P k=0 2ku2k. Vahetu kontroll näitab, et kui n 6 2 m, siis n < 2m+1 − 1 ja seega Un 6 U2m+1−1 6 Vm (tehke läbi!z). Samuti näitab vahetu kontroll, et kui n > 2 m, siis Un > U2m > 1
2 Vm (tehke läbi! z ). Niisiis osasummade jadad (Un) ja (Vm) on tõkestatud üheaegselt. Cauchy kondensatsiooniprintsiip on kasulik ridade ∞ P k=1 1 kα , ∞ P k=2 1 n(ln n)α jms. koonduvuse uurimisel. Näiteks on printsiibi põhjal rea ∞ P k=1 1 kα koonduvus samaväärne rea ∞ P k=0 (21−α)k koonduvusega (kontrollige!z). Viimane on aga geomeetriline rida, mis koondub parajasti siis, kui 21−α < 1 ehk α > 1. 6.3.6 Abeli ja Dirichlet’ koonduvustunnused Järgnevalt tuletame kaks koonduvustunnust niisuguste ridade koonduvuse testimiseks, mis on esitatud
kujul ∞ X k=1 vkuk. Selliste ridade uurimisel kasutatakse sageli Abeli teisendust. Lemma 6.24 (Abeli teisendus). Suvaliste arvude u1, . . . , un ja v1, . . . , vn korral kehtib võrdus n X k=1 vkuk = n−1 X k=1 (vk − vk+1) sk + vnsn, kus sk := u1 + . . . + uk. Tõestus. n−1 X k=1 (vk − vk+1) sk = (v1 − v2) u1 + (v2 − v3) (u1 + u2) + . . . + (vn−1 − vn) (u1 + u2 + . . . + un−1) = u1 ((v1 − v2) + (v2 − v3) + . . . + (vn−1 − vn)) + u2 ((v2 − v3) + . . . + (vn−1 − vn)) + . . . + un−1 ((vn−1 − vn)) = u1v1 + u2v2 + . . . + un−1vn−1 − (u1 + . . . + un−1) vn
= u1v1 + u2v2 + . . . + un−1vn−1 + unvn − (u1 + . . . + un−1 + un) vn = n X k=1 vkuk − vnsn.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 151 Abeli teisendusest tuleneb vahetult järgmine oluline tähelepanek. Lause 6.25 Rida ∞ P k=1 vkuk on koonduv, kui koonduvad jada (vnsn) ja rida ∞ P k=1 (vk − vk+1) sk. Kui jada (vk) on monotoonne ja rea ∞ P k=1 uk osasummade jada (sn) on tõkestatud, s.t. leidub L > 0 nii, et |sn| 6 L iga n ∈ N puhul, siis kehtib hinnang
n X k=1 vkuk
6 L ( |v1| + 2 |vn|) (n ∈ N) . (6.12) Tõestus. Olgu jada (vnsn) ja rida ∞ P k=1 (vk −vk+1) sk koonduvad, rea ∞ P k=1 vkuk koonduvus tuleneb sel juhul vahetult lemmast 6.24 (selgitada!)z. Kui seejuures (vk) on monotoonne ja |sn| 6 L kõikide
n ∈ N puhul, siis
n X k=1 vkuk
6 n−1 X k=1 |vk−vk+1| |sk| + |sn| |vn| 6 L n−1 X k=1 |vk−vk+1| + |vn| ! 6 L ( |v1| +2 |vn|) (n ∈ N) (selgitada!)z. Valem (6.12) on lähtekohaks kahe järgneva koonduvustunnuse tõestamisel. Lause 6.26 (Abeli koonduvustunnus). Kui rida ∞ P k=1 uk koondub ning jada (vk) on monotoonne ja tõkestatud, siis rida ∞ P k=1 vkuk koondub. Tõestus. Jada (vk) tõkestatus tähendab, et ∃K > 0 : |vk| 6 K. Olgu ε suvaline positiivne arv. Kuna rida ∞ P k=1 uk koondub, siis Cauchy kriteeriumi (vt. lause 6.12) kohaselt leidub selline N ∈ N, et kui m > n > N, siis |un+1 + . . . + um| < ε 3K . Kasutame hinnangut (6.12), kus L = ε 3K (selgitada!) z :
m X k=n+1 vkuk
m−n X k=1 vn+kun+k
< ε 3K ( |vn+1| + 2 |vm|) 6 ε (m > n > N) . Cauchy kriteeriumi kohaselt rida ∞ P k=1 vkuk koondub. Näide 6.11. Abeli tunnuse kohaselt koondub rida ∞ X k=1 ( −1) k arctan k √ k . Nimelt, kui võtame vk := arctan k ja uk := (−1) k √ k , siis lause 6.26 eeldused on täidetud (veenduda!)z. Abeli teisendust kasutame ka järgmise Dirichlet’ koonduvustunnuse tuletamisel.

152 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Lause 6.27 (Dirichlet’ koonduvustunnus). Kui rea ∞ P k=1 uk osasummad on tõkestatud ning jada (vk) on monotoonne ja koondub nulliks, siis rida ∞ P k=1 vkuk koondub. Tõestus. Rea ∞ P k=1 uk osasummade tõkestatus tähendab, et ∃M > 0 : |sn| 6 M. Olgu ε suvaline positiivne arv. Kuna vk → 0, siis leidub selline N ∈ N, et |vk| < ε 6M iga k > N korral. Kui m > n > N , siis
m X k=n+1 uk
= |sm − sn| 6 |sm| + |sn| 6 2M ja, võttes hinnangus (6.12) L := 2M, saame, et
m X k=n+1 vkuk
m−n X k=1 vn+kun+k
6 2M ( |vn+1| + 2 |vm|) < 2M
3 ε 6M
= ε (m > n > N ) . Cauchy kriteeriumi kohaselt rida P k vkuk koondub. Märgime, et Leibnizi koonduvustunnus on Dirichlet’ tunnuse erijuht (veenduda!)z. Näitame, et Abeli koonduvustunnus järeldub Dirichlet’ tunnusest. Kui Abeli tunnuse eeldused on täidetud, siis jada (vk) on
koonduv (põhjendada!)z, olgu a := lim k→∞ vk. Kirjutame rea P k vkuk ümber kujul ∞ X k=1 (vk − a) uk + a ∞ X k=1 uk. Teine rida koondub Abeli tunnuse eelduste kohaselt, esimene koondub Dirichlet’ tunnuse järgi (veenduda!)z. Näide 6.12. Rea ∞ X k=1 sin kx k koonduvuse saab kindlaks määrata Dirichlet’ tunnuse abil. Ilmselt see rida koondub, kui x := mπ, kus
m = 0, ±1, ±2, . . . , eeldame, et x 6= mπ, ning võtame uk := sin kx ja vk := 1
k . Jada (vk) puhul on lause 6.27 eeldused täidetud. Kuna
n X k=1 sin kx
= 1 2
sin x 2
n X k=1 2 sin x 2 sin kx
= 1 2
sin x 2
n X k=1
cos
x 2 − kx
− cos
x 2 + kx
= 1 2
sin x 2
cos x 2 − cos
n + 1
2
x
6 1 2
sin x 2
cos x 2
+
cos
n + 1
2
x
6 1
sin x 2
(n ∈ N) , siis rahuldab ka jada (uk) lause 6.27 eeldusi.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 153 6.4 Ridade ümberjärjestused Olgu (mk) selline naturaalarvude jada, milles iga n ∈ N esineb täpselt üks kord. Teiste sõnadega, jada (mk) saadakse mingi bijektiivse teisenduse σ : N → N, k 7→ mk rakendamisel.
Rida ∞ P k=1 um k nimetatakse esialgse rea ∞ P k=1 uk ümberjärjestuseks. Definitsioon. Rida ∞ P k=1 uk nimetatakse tingimatult koonduvaks (unconditionally, безусловно), kui tema iga ümberjärjestus ∞ P k=1 um k koondub. Koonduvat rida, mis ei koondu tingimatult, nimetatakse tingimisi koonduvaks (conditionally, условно). Kuna antud rea ∞ P k=1 uk ja tema ümberjärjestuse ∞ P k=1 um k vastavad osasummad sn = n P k=1 uk ning s′ n := n P k=1 um k koosnevad üldjuhul (kas täielikult või osaliselt) erinevatest liidetavatest, siis ei ole selge, kas jada (sn) koonduvus toob endaga kaasa jada (s′ n) koonduvuse. Niisiis, me otsime vastust küsimusele, kas koonduva rea ∞ P k=1 uk korral koondub ka rida ∞ P k=1 um k . Lause 6.28 (Dirichlet’ teoreem). Absoluutselt koonduva rea ∞ P k=1 uk iga ümberjärjestus ∞ P k=1 um k koondub samaks summaks, mis esialgne rida. Tõestus. Olgu ∞ P k=1 um k absoluutselt koonduva rea ∞ P k=1 uk suvaliselt valitud ümberjär- jestus. Rida ∞ P k=1 uk on koonduv (vt. omadus 6.15), tähistame tema summa tähega s, s.t. s = lim n→∞ sn. Meie eesmärgiks on veenduda, et s = lim n→∞ s′ n, kus s ′ n := n P k=1 um k . Selleks näita- me, et lim n→∞ (s′n − sn) = 0, sest sel juhul lim n→∞ s′ n = lim n→∞ (s′ n − sn) + lim n→∞ sn = s. Olgu ε > 0 suvaline. Kuna ∞ P k=1 |uk| < ∞, siis Cauchy kriteeriumi (vt. lause 6.12) kohaselt saab leida niisuguse indeksi N1, et N1 6 i < r ⇒ |ui+1| + |ui+2| + . . . + |ur| < ε. (6.13) Valime indeksi N0 > N1 nii suure, et kõik arvud 1, 2, . . . , N1 kuuluvad hulka {m1, m2, . . . , mN 0 (selgitada sellise valiku võimalikkust!z). Olgu n > N0, vaatleme vahet s′ n − sn. Kuna rea liikmed u1, u2, . . . , uN 1 esinevad mõlemas osasummas sn = n P k=1 uk ja s′n = n P k=1 um k , siis vahes

154 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread s′n − sn on vaid sellised liikmed uk, kus k > N1. Seega tingimuse (6.13) kohaselt |s′n − sn| =
X k∈{m1,m2,...,mn}{1,...,N1} uk − n X k=N1+1 uk < X k=N1+1 |uk| < ε, kui n > N0 (selgitada!)z. See tähendabki, et jada (s′ n − sn) koondub nulliks. Teoreem on tõestatud. Dirichlet’ teoreemi kohaselt on iga absoluutselt koonduv rida tingimatult koonduv. Nagu selgub järgmisest teoreemist, kehtib ka vastupidine väide. Teoreem 6.29 Rida koondub absoluutselt parajasti siis, kui ta on tingimatult koonduv. Tõestus. Tarvilikkus tuleneb lausest 6.28.
Piisavus. Eeldame, et rida ∞ P k=1 uk koondub tingimisi ja leiame niisuguse ümberjärjestuse ∞ P k=1 um k , mille osasummade jada ei ole tõkestatud, siis see ümberjärjestus ha jub. Tähistame arvu a ∈ R korral a+ := |a| + a 2 = a, kui a > 0, 0, kui a 6 0, a− := |a| − a 2 = −a, kui a 6 0, 0, kui a > 0. Siis
1) a+, a− > 0,
2) a+ − a− = a ja 3) a+ + a− = |a|
(selgitada!)z. Paneme tähele, et kui üks ridadest ∞ P k=1 u +
k ja ∞ P k=1 u− k koondub, siis koondub ka teine (kontrollida!)z. Sellest omakorda tuleneb, et kuna ∞ P k=1 |uk| = ∞, siis mõlemad read hajuvad (veenduda!)z. Kui jadast u+ k
jätta välja kõik nulliga võrduvad liikmed, saame jada (uk) kõigi positiivsete liikmete osajada, tähistame selle (pk). Ülejäänud liikmetest moodustub
osajada (−qk), see on jada (uk) kõigi mittepositiivsete liikmete osajada. Selge, et jada (uk) iga liige esineb ühes ja ainult ühes jadadest (pk) ja (−qk). Kuna ∞ P k=1 u+ k = ∞, siis rida ∞ P k=1 pk hajub, täpsemalt, tema osasummade jada n P k=1 pk
on ülalt tõkestamata (põhjendada!)z. Seetõttu on võimalik leida indeks l1, et T1 := l1 P k=1 pk > 1, kuid r P k=1 pk 6 1 kõikide r = 1, . . . , l1 − 1 puhul. Edasi valime l2 > l1 omadusega T2 := l1 X k=1 pk − q1 + l2 X k=l1+1 pk > 2, kuid r X k=1 pk − q1 6 2 kõikide r = 1, . . . , l2 − 1 puhul.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 155 Järgmisel sammul leiame vähima indeksi l3, et T3 := l1 X k=1 pk − q1 + l2 X k=l1+1 pk − q2 + l3 X k=l2+1 pk > 3, jne. Niimoodi saame esialgse rea P k uk ümberjärjestuse p1 + . . . + pl 1 + ( −q1) + pl 1+1 + . . . + pl2 + ( −q2) + pl 2+1 + . . . + pl3 + ( −q3) + pl 3+1 + . . . . See hajub, sest meie konstruktsiooni kohaselt on tema osasummade jada (Ti) tõkestamata
(põhjendada!)z. Teoreemi 6.29 kohaselt sisaldab iga tingimisi koonduv rida hajuvaid (tegelikult tõkesta- mata osasummadega) ümberjärjestusi. Nagu selgub järgnevast Riemanni teoreemist, tingi-
misi koonduvast reast saab moodustada suvalise soovitud summaga ümberjärjestuse. Teoreem 6.30 (Riemanni teoreem). Kui ∞ P k=1 uk on tingimisi koonduv rida, siis iga arvu a ∈ R korral leidub selline ümberjärjestus ∞ P k=1 um k , mis koondub summaks a ∈ R. Tõestus. Kasutame samu tähistusi, mis teoreemi 6.29 tõestuses. Kuna osasummade jadad
n P k=1 pk
ning
n P k=1 qk
on ülalt tõkestamata, siis on võimalik leida vähim indeks n1, et n1 X k=1 pk > a, kuid r X k=1 pk 6 a kõikide r = 1, 2, . . . , n1 − 1 korral. Samuti saab leida vähima indeksi n2, et n1 X k=1 pk + n2 X k=1 ( −qk) < a, kuid n1 X k=1 pk + r X k=1 ( −qk) > a kõikide r = 1, 2, . . . , n2 − 1 korral. Edasi leidub vähim indeks n3, et n1 P k=1 pk + n2 P k=1 ( −qk) + n3 P k=n1+1 pk > a jne. Tulemuseks on rida p1 + . . . + pn 1 + ( −q1) + . . . + (−qn 2 ) + pn1+1 + . . . + pn3 + ( −qn 2+1) + . . . + ( −qn 4 ) + . . . , (6.14) mis on esialgse rea ∞ P k=1 uk ümberjärjestus. Tähistame P1 := p1 + . . . + pn 1 , Q1 := p1 + . . . + pn 1 + ( −q1) + . . . + (−qn 2 ) , P2 := p1 + . . . + pn 1 + ( −q1) + . . . (−qn 2 ) + pn1+1 + . . . + pn3 , Q2 := P2 − qn 2+1 − . . . − qn 4 , jne. Siis 0 < Pi − a 6 pn 2i−1 ja 0 < a − Qi 6 qn 2i iga i ∈ N korral

156 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread (põhjendada!)z. Kuna pn i → 0 ja qn i → 0 protsessis i → ∞ (põhjendada!)z, siis Pi → a ja Qi → a. Olgu s′ m ümberjärjestuse (6.14) m-s osasumma. Siis leidub i ∈ N, et kehtib kas Qi −1 6 s ′ m 6 Pi või Qi 6 s′m 6 Pi (põhjendada!)z. Seejuures i → ∞, kui m → ∞, mistõttu s′m → a, s.t. vaadeldav
ümberjärjestus koondub summaks a. Märkus. Teoreemi 6.29 tõestuse käigus sisuliselt juba näidati, et teoreem 6.30 kehtib ka juhul a = ∞ ja a = −∞. Näiteks juhul a = ∞ võib indeksiteks n1, n2, . . . , nj, . . . , valida vähimad naturaalarvud, mille korral järgmine summa rahuldaks võrratust n1 X k=1 pk + ( −q1) + n2 X k=n1+1 pk + ( −q2) + . . . + nj X k=nj−1+1 pk > j. Nagu näha, vahele võetakse alati üks negatiivne liige. 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus 6.5.1 Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus Olgu funktsioonid fk, kus k ∈ N, määratud mingis mittetühjas hulgas D ⊆ R. Avaldist ∞ X k=1 fk = f1 + f2 + . . . + fn + . . . nimetatakse hulgas D määratud funktsionaalreaks. Definitsioon. Öeldakse, et funktsionaalrida ∞ P k=1 fk koondub hulgas D 1) punktiviisi, kui arvrida ∞ P k=1 fk (x) koondub iga x ∈ D korral, 2) absoluutselt, kui ∞ P k=1 |fk (x)| < ∞ iga x ∈ D korral. Tähistame sn (x) := n X k=1 fk (x) (x ∈ D, n ∈ N) . Arvrea koonduvuse definitsiooni kohaselt koondub funktsionaalrida ∞ P k=1 fk punktiviisi hulgas D parajasti siis, kui lõplik piirväärtus lim n→∞ sn (x) =: s (x) eksisteerib iga x ∈ D korral, funktsiooni s: D → R nimetatakse sel juhul funktsionaalrea ∞ P k=1 fk summaks. Seega koondub funktsionaalrida ∞ P k=1 fk punktiviisi summaks s parajasti siis, kui sn → s punktiviisi hulgas D. Definitsioon. Öeldakse, et funktsionaalrida ∞ P k=1 fk koondub ühtlaselt summaks s hulgas D, kui sn → s ühtlaselt hulgas D.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 157 Lause 6.31 (Weierstrassi koonduvustunnus). Olgu funktsionaalrida ∞ P k=1 fk määratud hulgas D. Kui leidub selline arvrida ∞ P k=1 uk, et |fk (x)| 6 uk iga x ∈ D ja k ∈ N korral (6.15) ning ∞ P k=1 uk < ∞, siis funktsionaalrida ∞ P k=1 fk koondub hulgas D ühtlaselt ja absoluutselt. Tõestus. Eeldame, et mittenegatiivsete liikmetega arvrida ∞ P k=1 uk koondub ja funktsio- naalrea ∞ P k=1 fk liikmed rahuldavad tingimust (6.15). Olgu ε > 0 suvaline, vastavalt arvridade Cauchy kriteeriumile (vt. lause 6.12) leidub selline indeks N, et kui m > n > N, siis
m P k=n+1 uk
< ε. Eelduse (6.15) kohaselt |sm (x) − sn (x)| =
m X k=n+1 fk (x)
6 m X k=n+1 |fk (x)| 6
m X k=n+1 uk
< ε (m > n > N) suvalise x ∈ D korral. Funktsionaaljadade Cauchy kriteeriumi (vt. lause 6.3) põhjal on
(sn) hulgas D ühtlaselt koonduv, see tähendab funktsionaalrea ∞ P k=1 fk (x) ühtlast koonduvust hulgas D. Absoluutne koonduvus tuleneb arvridade võrdluslausest 6.17 (selgitada!)z. Näide 6.13. Funktsionaalrida ∞ P k=1 ak sin kx koondub ühtlaselt ja absoluutselt kogu arv- teljel R, kui ∞ P k=1 |ak| < ∞ (põhjendada!)z. Näide 6.14. Funktsionaalrea ∞ P k=1 1 k2+x2 ühtlane ja absoluutne koonduvus kogu arvteljel R järeldub Weierstrassi tunnusest, sest 1) 0 < 1 k2+x2 6 1 k2 kõikide x ∈ R ja k ∈ N puhul ning 2) rida ∞ P k=1 1 k2 koondub. 6.5.2 Funktsionaalrea summa omadused Nagu eespoolgi on järgnevates tõestustes sn funktsionaalrea ∞ P k=1 fk n-s osasumma, s.t. sn : D → R, x 7→ n X k=1 fk (x) (n ∈ N) . Lause 6.32 Hulgas D punktiviisi koonduva pidevate funktsioonide funktsionaalrea ∞ P k=1 fk summa on selles hulgas pidev parajasti siis, kui lim t→x ∞ X k=1 fk (t) = ∞ X k=1 lim t→x fk (t) (x ∈ D) .

158 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Tõestus. Iseseisvalt!z Funktsionaalrea summa pidevuse, diferentseeruvuse ja integreeruvuse uurimine taandub lihtsalt eespool tõestatud teoreemidele funktsionaaljada piirfunktsiooni vastavatest omadus-
test. Teoreem 6.33 Kui funktsioonid fk : D → R on pidevad ja funktsionaalrida ∞ P k=1 fk koondub ühtlaselt hulgas D, siis rea summa s: D → R on pidev funktsioon. Tõestus. Eelduste kohaselt on funktsioonid sn pidevad ja sn → s ühtlaselt hulgas D. Teoreemi 6.5 põhjal on s pidev funktsioon. Teoreem 6.34 Olgu funktsioonid fk : [a, b] → R pidevad ja koondugu funktsionaalrida ∞ P k=1 fk ühtlaselt lõigus [a, b]. Siis Z b a ∞ X k=1 fk (x) dx = ∞ X k=1 Z b a fk (x) dx. Tõestus. Kuna funktsioonid sn : [a, b] → R on pidevad ja sn → s ühtlaselt hulgas [a, b], siis teoreemi 6.7 kohaselt Z b a s (x) dx = lim n→∞ Z b a sn (x) dx = lim n→∞ Z b a n X k=1 fk (x) dx = lim n→∞ n X k=1 Z b a fk (x) dx = ∞ X k=1 Z b a fk (x) dx. Teoreem on tõestatud. Teoreem 6.35 Eeldame, et
1) funktsioonid fk : [a, b] → R on pidevalt diferentseeruvad,
2) funktsionaalrida ∞ P k=1 fk koondub lõigus [a, b] punktiviisi summaks s : [a, b] → R,, 3) funktsionaalrida ∞ P k=1 f ′ k koondub lõigus [a, b] ühtlaselt summaks ϕ : [a, b] → R. Siis ∞ P k=1 fk koondub lõigus [a, b] ühtlaselt summaks s, funktsioon s on diferentseeruv ning s′ (x) = ϕ (x) iga x ∈ [a, b] korral. Tõestus. Kuna eelduste põhjal on funktsioonid sn : [a, b] → R pidevalt diferentseeru- vad, sn → s punktiviisi ning s′n → ϕ ühtlaselt lõigus [a, b], siis teoreemist 6.8 saame, et
funktsionaalrida ∞ P k=1 fk koondub ühtlaselt summaks s, mis on diferentseeruv, ja s′ = ϕ.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 159 Näide 6.15. Arvutame piirväärtuse lim x→0 ∞ P k=0 cos 3kx 3k . Paneme kõigepealt tähele, et vaadel- dav funktsionaalrida koondub ühtlaselt kogu arvteljel: kuna
cos 3kx 3k
6 1 3k (x ∈ R, k ∈ N0) ning ∞ X k=0 1 3k < ∞, siis Weierstrassi koonduvustunnuse kohaselt koondub rida ∞ P k=0 cos 3kx 3k ühtlaselt hulgas R. Tema liikmed on pidevad funktsioonid, teoreemi 6.33 põhjal on rea summa pidev ja (vrd. lause 6.32) lim x→0 ∞ X k=0 cos 3kx 3k = ∞ X k=0 lim x→0 cos 3kx 3k = ∞ X k=0 1 3k = 3
2 . Näide 6.16. Arvutame integraali R ln 3 ln 2 ∞ P k=1 ke−kx
dx. Kuna 1) funktsioonid fk (x) = ke−kx on pidevad lõigus [ln 2, ln 3] ja 2) funktsionaalrida ∞ P k=1 ke−kx koondub ühtlaselt lõigus [ln 2, ln 3] (kontrollida!)z, siis teoreemi 6.34 kohaselt Z ln 3 ln 2 ∞ X k=1 ke−kx ! dx = ∞ X k=1 k Z ln 3 ln 2 e−kxdx = − ∞ X k=1 e−kx
ln 3 ln 2 = ∞ X k=1 1 (eln 2) k − 1 (eln 3) k ! = ∞ X k=1 1 2k − ∞ X k=1 1 3k = 1 − 1
2 = 1
2 . Näide 6.17. Arvutame funtsionaalrea ∞ P k=0 k+1 2k arccos x k+1 summa s tuletise väärtuse s ′ (0) . Paneme tähele, et
1) f ′ k (x) = − k+1 2k √ (k+1)2−x2 x ∈ −1 2 , 1
2
, k ∈ N0 , 2) |fk (x)| 6 π(k+1) 2k kõikide x ∈ − 1
2 , 1
2 ja k ∈ N0 korral ning ∞ P k=0 π(k+1) 2k < ∞, 3) |f′k (x)| 6 k+1 2k √ (k+1) 2−1/4 kõikide x ∈ − 1
2 , 1
2 ja k ∈ N0 korral ning ∞ P k=0 k+1 2k √ (k+1) 2−1/4 < ∞ (kontrollida!)z, siis on teoreemi 6.35 tingimused 1) – 3) täidetud (selgitada!)z, mistõttu s′ (0) = ∞ X k=0 f ′k (0) = ∞ X k=0 1 2k = −2.

160 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.6 Astmeread 6.6.1 Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem Olgu (ak) k∈N0 mingi arvjada. Astmereaks (power series, степенной ряд ) nimetatakse funkt- sionaalrida kujul ∞ X k=0 akx k (6.16) või üldisemalt ∞ X k=0 ak (x − a) k , (6.17) kus a ∈ R on fikseeritud. (Astmeridade teemas arvestame, et kehtib kokkulepe 00 = 1.) Paneme tähele, et astmerea osasummadeks on polünoomid. Kõigepealt otsime vastust küsimusele, milliste arvude x ∈ R korral rida ∞ P k=0 akxk koondub (absoluutselt). Teisisõnu, meie eesmärk on kirjeldada hulki X := ( x ∈ R | rida ∞ X k=0 akx k koondub ) ja A := ( x ∈ R | ∞ X k=0
akx k
< ∞ ) , mida nimetatakse vastavalt astmerea (6.16) koonduvuspiirkonnaks ja absoluutse koonduvuse
piirkonnaks. Selge, et {0} ⊆ A ⊆ X. Definitsioon. Astmerea (6.16) koonduvusraadiuseks nimetatakse suurust r = sup ( |x| ∈ R: ∞ X k=0 akx k on koonduv ) . On selge, et r on alati olemas: kas mittenegatiivne reaalarv või ∞. Järgnevast, Cauchy–Hadamardi teoreemist selgub, 1) kuidas arvutada koonduvusraadiust r,
2) et astmerida on absoluutselt koonduv kogu vahemikus (−r, r) ning hajuv lõigust [−r, r] väljaspool. Seega (−r, r) on suurim vahemik, kus astmerida on (absoluutselt) koonduv. Teoreem 6.36 Koonduvusraadiust võib arvutada järgmise valemi abil: r = 1 lim k→∞ k p|ak| . (Juhul, kui nimetaja on 0, siis kehtib r = ∞ ning kui nimetaja on lõpmatus, siis r = 0.)
Sealjuures, kui r > 0, siis astmerida ∞ P k=0 akxk koondub absoluutselt vahemikus ( −r, r) ja hajub hulgas (−∞, −r) ∪ (r, ∞), s.t. ( −r, r) ⊆ A ⊆ X ⊆ [−r, r] .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 161 Juhul r = 0 koondub rida ∞ P k=0 akxk vaid punktis x = 0. Tõestus. Kõigepealt on selge, et juhul x = 0 on rida (6.16) koonduv, sõltumata korda- jatest. Vaatame siis edasises juhtu |x| > 0. Rakendame rea (6.16) koonduvuse uurimiseks Cauchy koonduvustunnust (vt. lause 6.19). Tähistame c = lim k→∞ k p|ak| · |xk|. Saame järgmised väited: • kui c < 1, siis rida ∞ P k=0 akxk koondub absoluutselt; • kui c > 1, siis rida ∞ P k=0 akxk hajub. On kolm võimalust.
Esiteks, kui lim k→∞ k p|ak| = ∞, siis ka c = |x| lim k→∞ k p|ak| = ∞ ning rida (6.16) on hajuv. Seega sellel juhul rida koondub ainult punktis x = 0. Teiseks, kui jada
k p|ak|
k∈N0 on tõkestatud ning lim k→∞ k p|ak| > 0, siis c = |x| lim k→∞ k p|ak| ning saame, et |x| < 1 lim k→∞ k p|ak| ⇒ rida (6.16) on absoluutselt koonduv, |x| > 1 lim k→∞ k p|ak| ⇒ rida (6.16) on hajuv. Kolmandaks, kui lim k→∞ k p|ak| = 0, siis iga x ∈ R korral c = |x| lim k→∞ k p|ak| = 0 ning järelikult sellel juhul on astmerida (6.16) koonduv iga x ∈ R korral. Paneme tähele, et Cauchy–Hadamardi teoreem ei väida midagi koonduvuse kohta koondu- vusvahemiku (−r, r) otspunktides −r ja r. Et saada ettekujutust võimalikest situatsioonidest,
piisab analüüsida lihtsaid näiteid ∞ P k=0 xk, ∞ P k=1 xk k ja ∞ P k=1 xk
k2 (iseseisvalt!) z . 6.6.2 Astmerea summa omadused Olgu r > 0 astmerea ∞ P k=0 akxk koonduvusraadius ja funktsioon s : ( −r, r) → R selle rea summa, s.t. s (x) := ∞ P k=0 akxk iga x ∈ (−r, r) korral. Enne, kui asume uurima funktsiooni s omadusi, tõestame lause, mis kirjeldab astmerea ühtlast koonduvust. Lause 6.37 Astmerida ∞ P k=0 akxk koondub ühtlaselt igas lõigus [a, b] , kus −r < a < b < r. Tõestus. Olgu [a, b] koonduvusvahemiku (−r, r) suvaline osalõik, tähistame η := max {|a| , |b|}, siis [a, b] ⊆ [−η, η] ⊆ (−r, r) (selgitada!)z. Paneme tähele, et
akx k
6 |ak| η k (x ∈ [−η, η] , k ∈ N0) ,

162 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread kusjuures arvrida ∞ P k=0 |ak| η k koondub (selgitada!)z. Weierstrassi koonduvustunnuse (vt. lau- se 6.31) kohaselt koondub astmerida ∞ P k=0 akxk ühtlaselt lõigus [ −η, η], seega ka lõigus [a, b]. Teoreem 6.38 (summa pidevusest). Astmerea ∞ P k=0 akxk summa s : ( −r, r) → R on pidev funktsioon. Tõestus. Olgu x suvaline punkt vahemikus (−r, r), näitame, et funktsioon s on selles punktis pidev. Leiame sellise η > 0, et x ∈ [−η, η] ⊆ (−r, r). Kuna rida ∞ P k=0 akxk koon- dub lause 6.37 põhjal lõigus [−η, η] ühtlaselt ning rea liikmed on pidevad funktsioonid (põhjendada!)z, siis s on lõigus [−η, η] pidev funktsioon (vrd. teoreem 6.33). Seega on s punktis x pidev. Teoreem 6.39 (astmerea summa integreerimisest ja diferentseerimisest). (a) Ast-
merida ∞ P k=0 akxk võib igas lõigus otspunktidega 0 ja x, kus x ∈ (−r, r), liikmeti integreerida, seejuures Z x 0 s (t) dt = ∞ X k=0 ak k + 1 xk+1 ning saadud astmerea koonduvusraadius on samuti r. (b) Astmerida ∞ P k=0 akxk võib igas punktis x ∈ (−r, r) liikmeti diferentseerida, seejuures s′ (x) = ∞ X k=1 kakx k−1 = ∞ X k=0 (k + 1) ak+1x k (6.18) ja astmerea (6.18) koonduvusraadius on r. Tõestus. See, et pärast manipulatsiooni saadud rea koonduvusraadius on endiselt r, järeldub järgmistest tähelepanekutest (teeme läbi juhu (b) jaoks):
1) ridadel ∞ P k=1 kakxk−1 ning ∞ P k=1 kakxk = x ∞ P k=1 kakxk−1 on sama koonduvusraadius ja 2) implikatsiooni lim k→∞ k p|ak| = 1
r (miks?)z ⇒ lim k→∞ k pk |ak| = 1
r tõttu on rea ∞ P k=1 kakxk koonduvusraadiuseks r. (a) Kuna astmerida ∞ P k=0 akxk koondub ühtlaselt lõigus otspunktidega 0 ja x, siis teoreemi 6.34 põhjal Z x 0 s (t) dt = ∞ X k=0 ak Z x 0 t kdt = ∞ X k=0 ak k + 1 x k+1.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 163 (b) Olgu x ∈ (−r, r), valime sellise η > 0, et x ∈ [−η, η] ⊆ (−r, r), ja rakendame teoreemi 6.35. Kuna astmerida ∞ P k=1 kakxk−1 on lõigus [ −η, η] ühtlaselt koonduv ning ka teoreemi 6.35 teised eeldused on täidetud (veenduda!)z, siis s′ (x) = ∞ X k=1 kakx k−1 = ∞ X k=0 (k + 1) ak+1x k. Teoreem on tõestatud. 6.6.3 Funktsiooni Taylori rida Üldisest astmereast ∞ X k=0 ak (x − a) k (6.19) saame muutujavahetusega z := x − a seni vaadeldud tüüpi astmerea ∞ P k=0 akzk. Kui viimase koonduvusraadius on r, siis astmerida (6.19) koondub absoluutselt vahemikus (a − r, a + r) . Samas vahemikus on rea (6.19) summa s teoreemi 6.39(b) põhjal diferentseeruv (seega pidev)
funktsioon ning kehtib valem s′ (x) = ∞ X k=1 kak (x − a) k−1 (6.20) (selgitada!)z. Matemaatilise induktsiooni abil on lihtne veenduda, et me võime astmerida
(6.19) vahemikus (a − r, a + r) kuitahes palju kordi liikmeti diferentseerida, koonduvusraa- dius r seejuures ei muutu ja suvalise n ∈ N korral avaldub funktsiooni s n-dat järku tuletis
s(n) kujul s (n) (x) = ∞ X k=n k (k − 1) . . . (k − n + 1) ak (x − a) k−n (x ∈ (a − r, a + r)) (kontrollida!)z. Siit saame valemi s(n) (a) = n!an ehk an = s(n) (a) n! (n ∈ N0) (6.21) (kokkuleppeliselt 0! = 1), mis seob omavahel astmerea kordajad ning selle rea summa ja ta
tuletiste väärtused punktis x = a. Kordajad (6.21) on meile tuttavad Taylori valemist. Teatavasti avaldist n P k=0 f (k)(a) k! (x − a) k nimetatakse funktsiooni f n-astme Taylori polünoomiks punktis a. Kui funktsioon f on
mingis intervallis D lõpmata palju kordi diferentseeruv, siis Taylori valemi (4.21) ja teoreemi
4.18 kohaselt kehtib iga punkti a ∈ D korral valem f (x) = n X k=0 f (k) (a) k! (x − a) k + R n (a, x) (x ∈ D) , (6.22)

164 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread kusjuures jääkliige Rn (a, x) rahuldab tingimust lim x→a Rn (a, x) (x − a) n = 0. Seejuures võib jääkliikme Rn (x) esitada Lagrange’i kujul Rn (a, x) = 1 (n + 1)! f (n+1)(cn) (x − a) n+1 , kus c n on punkt arvude a ja x vahel. (6.23) Definitsioon. Olgu r > 0 ja funktsioon f punkti a ∈ R ümbruses Ur (a) = (a − r, a + r) lõpmata palju kordi diferentseeruv funktsioon. Astmerida ∞ P k=0 ak (x − a) k, mille kordajad on määratud valemiga an = f (n) (a) n! (n ∈ N0) , nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks punktis a. Taylori rida punktis a = 0 nimetatakse
funktsiooni f Maclaurini reaks. Väljend arendage funktsioon f Taylori reaks punkti a ümbruses (mõnikord öeldakse ka: arendage funktsioon f Taylori reaks punktis a) tähendab järgmist:
tuleb leida r > 0 ning kordajate jada (ak) nii, et iga x ∈ Ur(a) korral f (x) = ∞ X k=0 ak(x − a) k. Kerkib üles küsimus, millised funktsioonid võivad olla astmerea summaks ehk, teisiti sõnastades, milliseid funktsioone f saab punkti a ümbruses arendada Taylori reaks. On
selge, et need funktsioonid f peavad vaadeldavas intervallis Ur(a) = (a − r, a + r) olema piiramatu arv kordi diferentseeruvad, s.t. neil peavad eksisteerima mistahes järku tuletised
selles hulgas. (Sealjuures on teada, et kordajad ak avalduvad valemiga ak = f (k)(a) k! .) Osutub, et see tingimus ei ole piisav. Järgnevast näitest selgub, et isegi siis, kui kogu arvteljel lõpmata
palju kordi diferentseeruva funktsiooni Taylori rida on koonduv, ei pruugi selle summaks olla
funktsioon ise. Täpsemalt, see näide demonstreerib, et implikatsioon ∀x ∈ Ur(a) f(x) = ∞ X k=0 ak(x − a) k = ⇒    f vahemikus Ur(a) kuitahes palju kordi diferentseeruv, ∀k ∈ N0 ak = f (k)(a) k! üldiselt paremalt vasakule ei kehti. Näide 6.18. Olgu f (x) := ( e−1/x 2 , kui x 6= 0, 0, kui x = 0. Leiame f ′ (x) = 2 x3 e −1/x2 , f′′ (x) = − 6 x4 + 4 x6 e−1/x 2 , . . . , üldiselt on funktsiooni f n-dat järku tuletis punktis x 6= 0 kujul f(n) (x) = P3n 1 x e−1/x 2 , kus P3n (t) on teatav 3n-astme polünoom

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 165 muutuja t suhtes. Teatavasti kasvab eksponentfunktsioon argumendi piiramatul kasvamisel kiiremini kui
mistahes astmefunktsioon, seetõttu lim x→0 f (n) (x) = lim x→0 P3n 1
x
e1/x 2 = 0 (n ∈ N) . Kuna kõik funktsioonid f (n) on ilmselt pidevad punktis x = 0, siis f (n) (0) = lim x→0 f (n) (x) = 0. Seega on funktsioon f lõpmata palju kordi diferentseeruv kogu arvteljel ja tema Taylori rea kordajad ak on kõik
võrdsed nulliga. Niisiis ei ole funktsioon f oma Taylori rea summa. Lause 6.40 Intervallis Ur(a) piiramata arv kordi diferentseeruva funktsiooni f Taylori rida ∞ P k=0 f (k)(a) k! (x − a) k koondub selles intervallis summaks f parajasti siis, kui lim n→∞ f (n+1) (cn) (n + 1)! (x − a) n+1 = 0 iga x ∈ Ur(a) korral. Tõestus. Iseseisvalt!z Kuna arve cn arvude a ja x vahel ei õnnestu üldjuhul leida, siis on kasulik omada liht- salt kontrollitavaid piisavaid tingimusi selleks, et Rn+1 (a, x) → 0 vahemikus (a − r, a + r) protsessis n → ∞. Järgmine lause esitab neist ühe. Lause 6.41 Kui intervallis Ur(a) = (a − r, a + r) lõpmata palju kordi diferentseeruv funkt- sioon f rahuldab tingimust leiduvad α > 0 ja C > 0, et
f (n) (x)
6 αCn kõikide x ∈ (a − r, a + r) ja n ∈ N korral, (6.24) siis tema Taylori rida ∞ P k=0 f (k)(a) k! (x − a) k koondub ühtlaselt hulgas (a − r, a + r) summaks f. Tõestus. Eeldusel (6.24) saame seostest (6.22) ning (6.23), et
f (x) − n X k=0 f (k) (a) k! (x − a) k
1 (n + 1)! f (n+1)(cn) (x − a) n+1
6 α |x − a| n+1 (n + 1)! Cn+1 < α (Cr) n+1 (n + 1)! (x ∈ (a − r, a + r) , n ∈ N) , millest lim n→∞ bn
n! = 0 iga b > 0 puhul (miks?)z (6.25) tulenebki ühtlane koonduvus n P k=0 f (k)(a) k! (x − a) k → f (x) hulgas (a − r, a + r).

166 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.7 Trigonomeetriliste funktsioonide defineerimine 6.7.1 Definitsioonid astmeridade abil Defineerime iga x ∈ R korral sin x = ∞ X n=0 ( −1) n x2n+1 (2n + 1)! , (6.26) cos x = ∞ X n=0 ( −1) n x 2n (2n)! . (6.27) Funktsioonide sin ja cos korrektselt defineeritus (ehk vastavate arvridade koondumine) järeldub Cauchy (või d’Alembert’i) tunnusest (iseseisvalt!)z. Järgnevalt kontrollime üle siinuse ja koosinuse mõned hästi tuntud omadused.
Olgu f, g : R → R. Vaatleme tingimusi ∀x, y ∈ R g(x − y) = g(x)g(y) + f(x)f(y) (6.28) ja ∀x ∈ (0, 1) 0 < xg(x) < f(x) < x. (6.29) Teoreem 6.42 Funktsioonid f(x) = sin x ja g(x) = cos x on mittekonstantsed, pidevad ning
rahuldavad tingimusi (6.28) ja (6.29). Tõestus. Ilmselt f(0) = 0 ja g(0) = 1. Funktsioone f ja g määravad astmeread koondu- vad Weierstrassi tunnuse põhjal ühtlaselt igas lõigus [−x, x] (selgitage!)z. Seega võib neid kogu reaalteljel liikmeti diferentseerida; saame, et f′ = g ning g′ = −f. Et f′(0) = 1 ning f′ on pidev, leidub intervall [−x0, x0], milles f on rangelt kasvav (selgitage!)z. Kuna f(0) = 0, siis f(x0) > 0. Seega leidub intervall [x0 − ε, x0 + ε], milles g′ = −f < 0. Järelikult on kõnealuses intervallis g rangelt kahanev (selgitage!)z. Kokkuvõttes ei ole f ja
g konstantsed funktsioonid. Diferentseeruvus ühtlasi annab, et f ja g on pidevad.
Tingimuse (6.28) täidetuses veendumiseks tegutseme järgnevalt.
Tõestame, et iga x ∈ R korral g(x)2 + f(x)2 = 1. Funktsiooni x 7→ g(x)2 + f(x)2 tuletised on kõik nullid kogu reaalteljel, seega tema arendis Maclaurini ritta on g(x)2 + f(x)2 =
g(0)2 + f (0)2 = 1 (selgitage!)z. Muuhulgas ka iga x ∈ R korral |f(x)| 6 1 ja |g(x)| 6 1. Fikseerime nüüd x ∈ R ja tähistame h(y) = g(x)g(y) + f (x)f (y). Siis h on lõpmata palju kordi diferentseeruv, kusjuures h′(y) = −g(x)f(y) + f(x)g(y), h′′(y) = −g(x)g(y) − f(x)f(y) = −h(y), h′′′(y) = −h′(y), h(4)(y) = h(y),

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 167 mistõttu h(4k)(x) = g(x)2 + f (x)2 = 1, h(4k+1)(x) = 0, h(4k+2)(x) = −g(x) 2 − f(x)2 = −1, h (4k+3)(x) = 0 Taylori valemist (kohal x) saame, et (ξ asub x ja y vahel)
h(y) − n X k=0 h(k)(x) · (y − x) k k!
h(n+1)(ξ) · (y − x) n+1 (n + 1)!
6 2 |x − y| n+1 (n + 1)! −→ n 0. Seega h(y) = ∞ X n=0 h(n)(x) · (y − x) n n! = ∞ X n=0 ( −1) n · (y − x) 2n (2n)! = g(x − y), mistõttu kehtib tingimus (6.28). Uurime tingimust (6.29). Vaja on, et iga x ∈ (0, 1) korral 0 < xg(x) < f (x) < x. Võrratus f(x) < x järeldub Leibnizi tunnuse jääkliikme hinnangust, sest x 2n+1 (2n+1)! > x2n+3 (2n+3)! (veenduge!)z. Samal moel näeme, et xg(x) > 0, kuna xg(x) = P∞ n=0(−1) n x2n+1 (2n)! ja x2n+1 (2n)! > x2n+3 (2n+2)! . Võrratuse f(x) − xg(x) > 0 saamiseks paneme tähele, et (f (x) − xg(x))′ = xf(x) = ∞ X n=0 ( −1) n · x2n+2 (2n + 1)! > 0, kuna x ∈ (0, 1) tõttu jälle x2n+2 (2n+1)! > x2n+4 (2n+3)! . Seega on funktsioon h(x) = f (x) − xg(x) intervallis [0, 1] rangelt kasvav. Järelikult f(x) − xg(x) > 0 (selgitage!)z, nagu vaja. 6.7.2 Definitsioonid funktsionaalvõrrandite abil Järgmine teoreem näitab, et tingimused (6.28) ja (6.29) määravad mittekonstantsete pidevate funktsioo-
nide klassis täielikult ära siinuse ja koosinuse. Teoreem 6.43 Olgu f, g : R → R mittekonstantsed pidevad funktsioonid, mille korral kehtivad tingi-
mused (6.28) ja (6.29). Siis f (x) = sin x ja g(x) = cos x. Teoreemi 6.43 tõestamiseks teeme kõigepealt eeltööd, uurides lähemalt tingimusi (6.28) ja (6.29). Lause 6.44 Rahuldagu funktsioonid f ja g tingimust (6.28). Siis g on paarisfunktsioon. Tõestus. Paneme tähele, et g(y − x) = g(x − y) iga x, y ∈ R korral (selgitage!)z. Lause 6.45 Rahuldagu mittekonstantsed funktsioonid f ja g tingimust (6.28). Siis f on paaritu funkt-
sioon.

168 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Tõestus. Valemist ∀x, y ∈ R g(x + y) = g(x)g(y) + f(x)f(−y) järeldame, et ∀x, y ∈ R f(x)f(−y) = f(y)f(−x), ∀x ∈ R f(x) 2 = f(−x)2. Tõestame, et funktsioon f on paaritu. Kui mingi x0 ∈ R on selline, et f(x0) = 0, siis f(−x0) = −f(x0) (selgitage!)z. Oletame, et x0 6= 0 ning f(−x0) = f(x0). Siis f(x) = f(−x) iga x ∈ R korral, mistõttu g(x + y) = g(x − y) iga x, y ∈ R korral. Seega on g konstantne funktsioon, mis on võimatu (selgitage detaile!)z. Lause 6.46 Rahuldagu mittekonstantsed funktsioonid f ja g tingimust (6.28). Siis mistahes x, y ∈ R
korral g(x + y) = g(x)g(y) − f(x)f(y), f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), f (x − y) = f(x)g(y) − g(x)f(y). Tõestus. Esimene valem järeldub vahetult tingimusest (6.28) ja sellest, et f on paaritu.
Edasi saame, et g(x + y + z) = (g(x)g(y) − f(x)f(y))g(z) − f(x + y)f(z) = = g(x)(g(y)g(z) − f(y)f(z)) − f(x)f(y + z), millest (f (x + y) − f(y)g(x))f(z) = (f(y + z) − f(y)g(z))f(x). Fikseerime z0 ∈ R selliselt, et f(z0) 6= 0, siis, tähistades h(y) = 1 f (z0) · (f(y + z0) − f(y)g(z0)), saame, et ∀x, y ∈ R f(x + y) − f(y)g(x) = h(y)f(x). (6.30) Tõestame, et tegelikult h = g. Tingimuses (6.30) valime x rolli −y, siis saame, et f(y)(h(y)−g(y)) = 0. Nüüd x ja y vahetamisel saame, et f (x)(h(y) − g(y)) = f(y)(h(x) − g(x)). Tulemusena leiame, et ∀x, y ∈ R 0 = f(x)f(y)(h(y) − g(y)) = f(y) 2(h(x) − g(x)), millest h = g, kuna f on mittekonstantne (selgitage kõiki samme!)z. Nüüd on jäänud tingimuse (6.30) põhjal tõestatavad valemid välja kirjutada. Järeldus 6.47 Rahuldagu mittekonstantsed funktsioonid f ja g tingimust (6.28). Siis mistahes x, y ∈ R
korral f (2x) = 2f (x)g(x), g(2x) = g(x)2 − f(x) 2 Järeldus 6.48 Rahuldagu mittekonstantsed funktsioonid f ja g tingimust (6.28). Siis mistahes x, y ∈ R
korral g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y). (6.31)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 169 Võrrandit (6.31) nimetatakse ka d’Alembert’i või Poissoni funktsionaalvõrrandiks. Lause 6.49 Rahuldagu mittekonstantsed pidevad funktsioonid f ja g tingimusi (6.28) ja (6.29). Siis lim x→0 f (x) x = 1. Tõestus. Asjaolu, et f on paaritu funktsioon, võimaldab saada tingimuse (6.29) analoogi ka nega- tiivsete arvude jaoks. Tõestuse detailid on jäetud lugejalez. Lause 6.50 Rahuldagu mittekonstantsed funktsioonid f ja g tingimust (6.28). Siis ∀x ∈ R f(x) 2 + g(x)2 = 1. Tõestus. Teame, et lause eeldustel f (0) = 0, seega järeldub väide kergesti kontrollitavast tingimusest ∀x ∈ R f(x) 2 + g(x)2 = g(0) = f(0)2 + g(0)2 (iseseisvalt!)z. Lause 6.51 Rahuldagu mittekonstantsed pidevad funktsioonid f ja g tingimusi (6.28) ja (6.29). Siis f
ja g on kuitahes palju kordi diferentseeruvad, kusjuures f ′ = g, g′ = −f. Tõestus. Paneme tähele, et g rahuldab tingimusega (6.31) duaalset tingimust ∀x, y ∈ R g(x + y) − g(x − y) = −2f(x)f(y). Kuna f on pidev, siis saame, et g on igas punktis x0 ∈ R diferentseeruv: g′(x0) = lim x→x0 g(x) − g(x0) x − x0 = lim x→x0 −2f x+x0 2 f x−x0 2
x − x0 = −f(x0) (selgitage detaile!)z. Analoogiliselt, kasutades tingimusi ∀x, y ∈ R f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)g(y),
∀x, y ∈ R f(x + y) − f(x − y) = 2g(x)f(y), leiame, et f on diferentseeruv, kusjuures ∀x ∈ R f′(x) = g(x) (iseseisvalt!)z. Teoreemi 6.43 tõestus. Kasutame Taylori valemit jääkliikmega Lagrange’i kujul juhul a = 0. Kuna iga x ∈ R korral |f(x)| 6 1 ja |g(x)| 6 1 (miks?)z, siis
f (x) − n X k=0 ( −1) k x2k+1 (2k + 1)!
f 2n+2(ξ) (2n + 2)! · x 2n+2
6 |x|2n+2 (2n + 2)! −→n 0 (põhjendage!)z. Analoogiliselt näitame g(x) koondumise kehtivust. Teoreemid 6.42 ja 6.43 näitavad, et leidub täpselt üks mittekonstantsete pidevate funktsioonide paar, mis rahuldab tingimusi (6.28) ja (6.29). Mõnikord defineeritaksegi siinus- ja koosinusfunktsioon kui neid
(või mingeid analoogilisi) tingimusi rahuldavad funktsioonid f ja g. Märkus. Funktsionaalvõrranditega defineerimise asemel võib piirduda astmeridadega, nagu tegime alapeatüki alguses. Siiski on tingimuste (6.28) ja (6.29) abil defineerimine mõnevõrra elegantsem, kuna
sel juhul nõutakse funktsioonidelt ainult pidevust; kuitahes palju kordi diferentseeruvus saadakse juba
järeldusena. Lisaks sellele annavad funktsionaalvõrrandid (6.28), (6.31) jmt. võimaluse defineerida siinuse
ja koosinuse analoogid ka hulkadel, kus pidevuse aksioom ei tule kõne alla ja funktsionaalridade teooria
väljaarendamine pole võimalik.

170 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 6.7.3 Arv π Definitsioonid (6.26) ja (6.27) on matemaatiliselt vettpidavad, kuna nad tuginevad ainult
reaalarvude aksiomaatikale ning ei sisalda piltlikke kaalutlusi, nagu nurgale vastava täis-
nurkse kolmnurga kaatetite suhte leidmist jms. Ometi on sellisel kujul siinuse ja koosinuse
sissetoomisel tõsine puudus, mis tuleb kõrvaldada: seni puudub täielikult seos trigonomeet-
riliste funktsioonide ja arvu π vahel; õigupoolest, arv π on isegi defineerimata. Meie järgnev eesmärk on defineerida arv π kui kahekordne koosinusfunktsiooni vähimast positiivsest nullkohast ning veenduda, et π käitub trigonomeetriliste funktsioonide seisuko-
halt nii, nagu koolis õpitud. Oletame, et iga x > 0 korral cos x 6= 0, siis iga x > 0 korral cos x > 0 (miks?)z. Seega on siinus rangelt kasvav intervallis [0, ∞), järelikult positiivne (selgitage!)z. Nüüd saame, et niipea, kui 0 < x < y, kehtib (sin x)(y − x) < R y x sin t dt = cos x − cos y 6 1. Vastuolu (miks?)z. Seega leidub x > 0 nii, et cos x = 0. Olgu T = {x > 0: cos x = 0}. Et hulk T on alt tõkestatud, leidub tal alumine raja x0. Nüüd leidub jada (xn) elementidega hulgast T nii, et limn xn = x0 (miks?)z. Seega x0 ∈ T (põhjendage!)z. Tähistame π = 2x0. Nüüd sin π 2 = ±1; tänu sellele, et koosinus on positiivne vahemikus 0, π 2
, on siinus vastavas lõigus rangelt kasvav, mistõttu sin π 2 = 1. Lause 6.52 Iga x ∈ R korral kehtivad võrdused cos
π 2 − x
= sin x, sin
π 2 − x
= cos x, cos (π − x) = − cos x, sin(π − x) = sin x, cos(π + x) = − cos x, sin(π + x) = − sin x, sin(2π − x) = − sin x, cos(2π − x) = cos x, sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x Tõestus. Iseseisvalt!z (Kasutage teoreemi 6.42 ja lauset 6.46.) Praeguseks tuletatud valemite põhjal saab arvutada kõik koolist tuntud siinuse ja koosi- nuse täpsed väärtused. Järgmises punktis tõestatakse (vt. näidet 6.22 ja teoreemi 6.53), et π 4 = 1 − 1
3 + 1
5 − . . . = ∞ X k=0 ( −1) k 2k + 1 .

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 171 Leibnizi tunnuse jääkliikme hinnang võimaldab anda kuitahes täpsed tõkked arvule π: π 4 6 1, π 4 > 1 − 1
3 , π 4 6 1 − 1
3 + 1
5 , . . . Osutub, et π ∈ (3,14, 3,15). Punktis 5.7.1 näidatakse, et π 2 = lim n→∞ 1 2n + 1
(2n)!! (2n − 1)!! 2 6.8 Funktsioonide arendamine astmereaks Esitame mõnede elementaarfunktsioonide reaksarendused. Näide 6.19. Leiame seosega f (x) = ex määratud eksponentfunktsiooni f : R → R Maclaurini rea. Valemi (4.21) kohaselt suvalise x ∈ R korral ex = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 + . . . + 1 n! xn + ecn (n + 1)! xn+1 (vrd. näide 4.6). Jääkliikme Rn (0, x) = e cn (n+1)! x n+1 hindamiseks paneme tähele, et kui b > 0, siis
ecn (n + 1)! xn+1
6 bn+1 (n + 1)! eb ( |x| 6 b) . Seost (6.25) arvestades saame, et lim n→∞ Rn (0, x) = 0 suvalise x ∈ R puhul (selgitada!)z, s.t. ex = ∞ X k=0 xk k! iga x ∈ R korral. Sama tulemuse saame ka vahetult lauset 6.41 rakendades. Näide 6.20. Arendame funktsiooni f (x) = ln (1 + x), f : (−1, 1) → R, Maclaurini ritta. Saame, et f ′(x) = 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x3 + . . . = ∞ X k=0 ( −1) k xk (x ∈ (−1, 1)). Seega Newton–Leibnizi valemi ning lause 6.39(a) põhjal ln(1 + x) = f (x) = f (0) + Z x 0 f ′(t) dt = 0 + Z x 0 ∞ X k=0 ( −1) k tk ! dt = = ∞ X k=0 Z x 0 ( −1) k tkdt = ∞ X k=0 ( −1) k x k+1 k + 1 = = x − x2 2 + x3 3 − x4 4 + . . . (x ∈ (−1, 1))

172 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread (põhjendada!)z. Näide 6.21. Funktsioonid f(x) = sin x ja g(x) = cos x ongi juba defineeritud teatavate astmeridade summana (vt. ptk. 6.7), täpsemalt sin x = x − x3 3! + x5 5! − . . . = ∞ X k=0 ( −1) k x2k+1 (2k + 1)! (x ∈ R) , cos x = 1 − x2 2! + x4 4! − . . . = ∞ X k=0 ( −1) k x2k (2k)! (x ∈ R) . Näide 6.22. Kuna (arctan x)′ = 1 1 + x2 = 1 − x 2 + x4 − . . . = ∞ X k=0 ( −1) k x2k (x ∈ (−1, 1)) , siis lause 6.39(a) kohaselt arctan x = x − x3 3 + x5 5 − . . . = ∞ X k=0 ( −1) k x 2k+1 2k + 1 (x ∈ (−1, 1)) (selgitada!)z. 6.9 Mõned astmeridadega seotud klassikalised tulemused 6.9.1 Abeli piirväärtusteoreem Astmerea ∞ P k=0 akxk summa omadusi kirjeldavad teoreemid 6.38 ja 6.39 kehtivad koonduvusraadiusega r määratud koonduvusvahemikus (−r, r) . Paljudel juhtudel koondub see astmerida ka selle vahemiku ühes
või mõlemas otspunktis. Seoses sellega kerkib üles küsimus astmerea summa analüütilistest omadustest
sellistes otspunktides. Summa pidevust koonduvusvahemiku otspunktis kirjeldab järgmine teoreem. Teoreem 6.53 (Abeli teoreem astmerea summa pidevusest koonduvusvahemiku otspunktis). Olgu r ∈ (0, ∞) astmerea ∞ P k=0 akxk koonduvusraadius. Kui see astmerida koondub punktis r, siis summa f : ( −r, r] → R on vasakult pidev selles punktis, s.t. lim x→r− ∞ X k=0 akx k = ∞ X k=0 akr k. Tõestus. Piisab, kui tõestada väide eeldusel r = 1. Nimelt, suvalise r ∈ (0, ∞) korral teeme muu- tujavahetuse y :=x r , kui x → r−, siis y → 1−, ja eeldusel, et väide kehtib juhul r = 1, saame väite ka suvalise r ∈ (0, ∞) puhul: lim x→r− ∞ X k=0 akx k = lim y→1− ∞ X k=0
akr k
yk = ∞ X k=0 akr k.

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 173 Niisiis, vaatleme juhtu r = 1. Siis eelduse kohaselt rida ∞ P k=0 ak koondub, s.t. tema osasummade sn := n P k=0 ak jada (sn) on koonduv. Astmerea osasummad saame esitada kujul (siin s−1 := 0) n X k=0 akx k = n X k=0 (sk − sk−1) x k = (1 − x) n−1 X k=0 skx k + snxn (veenduda!)z. Fikseerides suvalise x ∈ (−1, 1) , saame protsessis n → ∞ seose f (x) = (1 − x) ∞ X k=0 skx k (6.32) (põhjendada!)z. Tähistame s := lim n→∞ sn
= ∞ P k=0 ak
. Olgu ε > 0 suvaline, valime sellise N ∈ N, et iga n > N puhul |sn − s| < ε 2 . Seostest (6.32) ja (1 − x) ∞ P k=0 xk = 1 (selgitada!)z saadakse, et |f (x) − s| =
(1 − x) ∞ X k=0 (sk − s) x k
6 (1 − x) N X k=0 |sk − s| |x| k + (1 − x) ∞ X k=N +1 |sk − s| |x| k , seejuures (1 − x) ∞ X k=N +1 |sk − s| |x| k 6 ε
2 (1 − x) |x| N +1 1 − x < ε
2 (kontrollida!)z . Valime δ > 0 nii, et δ < 1 ja δ < ε
1 + 2 N P k=0 |sk − s|
−1 . Siis iga x ∈ (1 − δ, 1) korral (1 − x) N X k=0 |sk − s| |x| k < ε
2 (kontrollida!)z. Kokkuvõttes 0 < 1 − x < δ ⇒ |f (x) − s| < ε, s.t. lim x→1− f (x) = s = f (1). Teoreem on tõestatud. Märkus. Abeli piirväärtusteoreemi saab vahetult järeldada Abeli tunnusest funktsionaalrea ühtlaseks koonduvuseks: kui funktsionaalrida ∞ P k=1 fk(x) koondub ühtlaselt hulgas D ning (gk) on monotoonne hulgas D ühtlaselt tõkestatud funktsionaaljada, siis funktsionaalrida ∞ P k=0 fk(x)gk(x) koondub ühtlaselt hulgas D. Tõestus on analoogne arvridade variandi tõestusega (vt. lauset 6.26). Tõepoolest, me valime D = [0, 1], fk(x) = ak ning gk(x) = xk. Funktsionaaljada (gk) monotoonsus järeldub sellest, et xk > xk+1, kus x ∈ D. Abeli tunnus annab, et funktsionaalrida ∞ P k=0 akxk koondub ühtlaselt oma summaks S(x) hulgas [0, 1]. Rakendades teoreemi 6.33, saame, et lim x→1− ∞ X k=0 akx k = lim x→1− S(x) = S(1) = ∞ X k=0 ak.

174 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Märgime, et ka Dirichlet’ koonduvustunnusel (vt. lauset 6.27) on analoog funktsionaalridade ühtlase koonduvuse jaoks. Näide 6.20 (jätk). Eespool saime valemi ln (1 + x) = ∞ X k=0 ( −1) k x k+1 k + 1 ( −1 < x < 1) . (6.33) Abeli teoreemi abil võib selle võrduse laiendada ka vahemiku otspunkti x = 1. Leibnizi tunnuse kohaselt
on rida ∞ P k=0 ( −1) k xk+1 k+1 selles punktis koonduv, seega ∞ X k=0 ( −1) k 1 k + 1 = lim x→1− ln (1 + x) = ln 2. 6.9.2 Weierstrassi lähendusteoreem Alapunkti 6.6.3 tulemuste kohaselt saab mingis lõigus lõpmata palju kordi diferentseeruvat funktsiooni,
mis rahuldab tingimust (6.24), ühtlaselt lähendada samas lõigus selle funktsiooni Taylori polünoomidega.
Analoogiline väide kehtib oluliselt suurema funktsioonide klassi korral, kui me Taylori polünoomide asemel
lubame lähendamist suvaliste polünoomide jadaga. Teoreem 6.54 (Weierstrassi lähendusteoreem). Iga lõigus [a, b] pideva funktsiooni f jaoks leidub selline polünoomide jada (Pn) , mis koondub funktsiooniks f ühtlaselt lõigus [a, b]. Tõestus. Lihtsuse mõttes (ja üldisust kitsendamata) eeldame, et 1) a = 0, b = 1 (vajaduse korral rakendame muutujate vahetust x = (b − a) t + a , siis funktsioon
h : [0, 1] → R, t 7→ f ((b − a) t + a) on pidev ning kui polünoomide P ′n (t)) jada koondub ühtlaselt lõigus [0, 1] funktsiooniks h, siis, tehes neis polünoomides muutuja vahetuse t = x−a b−a , saame polünoomide jada (Pn (x)), mis koondub ühtlaselt lõigus [a, b] funktsiooniks f (selgitada!)z),
2) f (0) = f (1) = 0, vastasel korral vaatleme funktsiooni g = g (x) , kus g (x) := f (x) − f (0) − x [f (1) − f (0)] , see on lõigus [0, 1] pidev funktsioon ning g (0) = g (1) = 0; kui väide kehtib funktsiooni g korral, siis
kehtib ta ka funktsiooni f korral, sest f − g on polünoom (selgitada!)z,
3) f on määratud kogu reaalteljel R, kusjuures f (x) = 0, kui x /∈ [0, 1] .
Vastavalt eeldusele 2) on f hulgas R pidev funktsioon (kontrollida!)z. Moodustame iga n ∈ N korral 2n-astme polünoomi Qn (x) := cn 1 − x 2n , kus kordajad cn valime nii, et kehtiks võrdus Z 1 −1 Qn (x) dx = 1. (6.34)

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 175 Me ei vaja tõestuseks kordajate cn täpseid väärtusi, piisab seostest 0 < cn < √ n iga n ∈ N korral, mis eeldusel (6.34) tulenevad võrratusest 1 − x2
n > 1 − nx2 (kontrollida matemaatilise induktsiooni abil!)z: 1 cn = Z 1 −1 1 − x 2n dx = 2 Z 1 0 1 − x 2n dx > 2 Z 1/ √ n 0 1 − x 2n dx > 2 Z 1/ √ n 0 1 − nx 2 dx = 4
3 1 √ n > 1 √ n . Edasi, kui 0 < δ < 1, siis δ 6 x 6 1 ⇒ 0 6 Qn (x) 6 √ n 1 − δ 2n , (6.35) kusjuures √ n 1 − δ 2n → 0 (n → ∞) (6.36) (kontrollida!)z. Tähistame Pn (x) := Z 1 −1 f (x + t) Qn (t) dt (x ∈ [0, 1] , n ∈ N) (6.37) ja näitame, et Pn on 2n-astme polünoom. Kõigepealt paneme tähele, et kuna f (z) = 0 kõikide z ∈
R \ [0, 1] korral, siis Pn (x) = Z 1−x −x f (x + t) Qn (t) dt = Z 1 0 f (t) Qn (t − x) dt (x ∈ [0, 1] , n ∈ N) . Teiseks, 1 cn Qn (t − x) = 1− (t − x) 2n = n P j=0 ( −1) j n j
(t − x) 2j = n P j=0 ( −1) j n j
2j P i=0 ( −1) i 2j i
t 2j−ixi = 2n P i=0 ( −1) i xi 2n P j= [ i 2 ] ( −1) j n j 2j i
t 2j−i = 2n P i=0 ( −1) i r i (t) x i, kus ri (t) := 2n P j= [ i 2 ] ( −1) j n j
2j i t2j−i ja t ∈ [0, 1] . Siit järeldubki, et Pn on 2n-astme polünoom: Pn (x) = R 1 0 f (t) cn 2n P i=0 ( −1) i r i (t) x idt = cn 2n P i=0 ( −1) i R 1 0 f (t) ri (t) dtx i = cn 2n P i=0 ( −1) i b ix i, kui tähistada bi := R 1 0 f (t) ri (t) dt. Näitame, et Pn → f ühtlaselt lõigus [0, 1] . Fikseerime suvalise ε > 0. Kuna f on hulgas R ühtlaselt pidev funktsioon (põhjendada!)z, siis saab leida niisuguse δ > 0, et |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε
2 . (6.38)

176 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread Ilmselt on f hulgas R tõkestatud (põhjendada!)z, seega M := sup x∈R |f (x)| < ∞. Eelpool tõestatud seostest (6.34) – (6.38) järeldub suvalise x ∈ [0, 1] korral, et |f (x) − Pn (x)| =
Z 1 −1 [f (x + t) − f (x)] Qn (t) dt
6 Z 1 −1 |f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt 6 2M Z −δ −1 Qn (t) dt + ε
2 Z δ −δ Qn (t) dt + 2M Z 1 δ Qn (t) dt 6 4M √ n 1 − δ 2n + ε
2 . Vastavalt seosele (6.36) leidub selline N ∈ N, et kui n > N, siis 4M √ n 1 − δ2
n < ε 2 , seega |f (x) − Pn (x)| < ε iga x ∈ [0, 1] korral.Teoreem on tõestatud. Lõpuks märgime, et Weierstrassi teoreemi võib sõnastada ka teisiti: iga lõigus [a, b] pideva funktsiooni f ja arvu ε > 0 korral saab leida sellise polünoomi P, et |f (x) − P (x)| < ε iga x ∈ [a, b] puhul. 6.9.3 Stirlingi valem Lähtudes logaritmfunktsiooni x 7→ ln (1 + x) reaksarendusest ln (1 + x) = ∞ X k=1 ( −1) k+1 x k k ( −1 < x 6 1) (6.39) (vt. näide 6.20 ja selle jätk), tõestame Stirlingi valemi lim n→∞ n! √ 2πnn+ 1
2 e−n = 1 ehk n! ∽ √ 2πnn+ 1
2 e−n, kui n → ∞, (6.40) mis kirjeldab jada (n!) asümptootilist käitumist protsessis n → ∞. Valemi (6.39) kohaselt ln 1 + x
1 − x = ln (1 + x) − ln (1 − x) = ∞ X k=1 ( −1) k+1 x k k − ∞ X k=1
− xk k
= 2x ∞ X i=0 x2i 2i + 1 (x ∈ (−1, 1)) . Võttes siin x := 1 2n+1 , saame, et ln
1 + 1 n
= ln 1 + 1 2n+1 1 − 1 2n+1 = 2 2n + 1
1 + 1
3 1 (2n + 1) 2 + 1
5 1 (2n + 1) 4 + ...
= 1 n + 1 2 ∞ X k=0 1 2k + 1 1 (2n + 1) 2k

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 177 ehk
n+ 1
2
ln
1+ 1 n
= 1+ ∞ X k=1 1 2k + 1 1 (2n + 1) 2k < 1+ 1
3 ∞ X k=1 1 (2n + 1) 2k = 1+ 1
3 1 (2n+1)2 1 − 1 (2n+1)2 = 1+ 1 12n (n + 1) . Niisiis, 1 < n + 1 2 ln 1 + 1 n < 1+ 1 12n(n+1) , mistõttu e <
1 + 1 n
n+ 1 2 < e 1+ 1 12n(n+1) iga n ∈ N korral (6.41) (selgitada!)z. Tähistame xn := n!en nn+ 1
2 (n ∈ N) , siis xn xn+1 = 1 e
1 + 1 n
n+ 1 2 > 1 (vrd. (6.41)), tähendab, jada (xn) on kahanev. Kuna ta on alt tõkestatud, siis eksisteerib piirväärtus
a := lim n→∞ xn. Tähistame zn := e− 1 12n xn , kuna lim n→∞ e− 1 12n = 1, siis lim n→∞ zn= a ja zn zn+1 = 1+ 1 n n+ 1
2 e 1+ 1 12n(n+1) < 1 (vrd. (6.41)), seega on jada (zn) kasvav. Näeme, et 0 < z1 < zn < a < xn (n ∈ N) , meie jaoks on oluline fakt, et a > 0 . Seetõttu on olemas selline jada (εn), et εn → 0 ja xn = a (1 + εn) (n ∈ N) (põhjendada!)z. Niisiis, n!e n n n + 1 2 = a (1 + εn) ehk n! = a nn+ 1
2 en (1 + εn) , (6.42) millest saame valemi (6.40), kui õnnestub näidata, et a = √ 2π. Wallise valemi (vt. pt. 5) kohaselt π 2 = lim n→∞ 1 2n+1
(2n)!! (2n−1)!!
2 , seejuures seose (6.42) põhjal (2n)!! (2n − 1)!! = [(2n)!!] 2 (2n)! = 22n (n!) 2 (2n)! = a r n 2 (1 + εn) 2 1 + ε2n (kontrollida!)z. Tähendab, π 2 = lim n 1 2n + 1 a2 n 2 (1 + εn) 4 (1 + ε2n) 2 = a2 4 ehk a = √ 2π.

Document Outline

Reaalarvud
- Järjestatud korpused
  - Korpuse aksioomid
  - Järjestatud korpus
  - Täielik järjestatud korpus
- Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine
  - Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud
  - Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon
- Ratsionaalarvud järjestatud korpuses
  - Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod
  - Ratsionaalarvude alamkorpus
- Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon
- Reaalarvude korpuse omadused
  - n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud
  - Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus
  - Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid
  - Hulga R mitteloenduvus
  - Dedekindi lõiked
- Võrratused
  - Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine
  - Hölderi ja Minkowski võrratus
Arvjadad
- Koonduvad jadad
  - Koonduvate jadade üldised omadused
  - Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused
  - Koonduvate jadade tehetega seotud omadused
  - Tähtsad piirväärtused
- Koonduvuseteooria neli printsiipi
  - Monotoonsuseprintsiip
  - Bolzano–Weierstrassi teoreem
  - Cauchy kriteerium
  - Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest
  - Reaalarvu kümnendesitus
  - Arv e
- Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus
  - Jada osapiirväärtused
  - Ülemine ja alumine piirväärtus
  - Ülemise ja alumise piirväärtuse omadused
- Aritmeetilised ja kaalutud keskmised. Stolzi teoreem
  - Aritmeetilised keskmised
  - Kaalutud keskmised ja Stolzi teoreem
Pidevad funktsioonid
- Funktsiooni piirväärtus
- Funktsioooni pidevus
- Lõigus pideva funktsiooni omadused
  - Bolzano–Cauchy teoreem nullkohast
  - Bolzano–Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest
  - Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni tõkestatusest
  - Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest
  - Pöördfunktsiooni pidevus
- Elementaarfunktsioonid, nende pidevus
  - Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon
  - Eksponentfunktsioon y=ax, kus xR
  - Logaritm- ja astmefunktsioon
  - Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid
- Ühtlaselt pidevad funktsioonid
  - Ühtlase pidevuse mõiste. Cantori teoreem
  - Lipschitzi funktsioonid
  - Ühtlase pidevuse kirjeldamine jadade abil
  - Funktsiooni ühtlane pidevus tõkestamata intervallis
  - Antud vahemikus ühtlaselt pidevad funktsioonid
- Pidevate funktsioonide lähendamine trepp- ja tükiti lineaarsete funktsioonidega
  - Lähendamine treppfunktsioonidega
  - Lähendamine tükiti lineaarsete funktsioonidega
- Heine-Boreli lemma
  - Heine-Boreli lemma
  - Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil
  - Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil
  - Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil
Diferentseeruvad funktsioonid
- Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid
  - Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus
  - Tehetega seotud diferentseerimisreeglid
  - Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine
- Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused
  - Fermat' ja Rolle'i teoreem
  - Lagrange'i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused
  - Funktsiooni kumerus ja nõgusus
  - Cauchy keskväärtusteoreem
  - L'Hospitali reegel
- Taylori valem
Integreeruvad funktsioonid
- Kõvertrapetsi pindala
- Riemanni integraal
  - Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks
  - Tõkestatud funktsiooni Darboux' summad, nende omadused
  - Darboux' ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium
- Riemanni integraali omadused
  - Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus
  - Integraali tehetega seotud omadused
  - Integraali monotoonsusomadused
  - Integraali keskväärtusteoreem
- Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine
  - Pidevate ja monotoonsete funktsioonide integreeruvus
  - Katkevate funktsioonide integreeruvus
- Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem
- Päratud integraalid
  - Lõpmatute rajadega integraal
  - Tõkestamata funktsiooni päratu integraal
- Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal
  - Wallise valem
  - Euler–Poissoni integraal
Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread
- Funktsionaaljadad, nende punktiviisi ja ühtlane koonduvus
  - Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus
  - Funktsionaaljada ühtlane koonduvus
  - Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid
  - Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest
- Arvread, nende koonduvus
  - Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus
  - Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus
- Ridade koonduvustunnused
  - Võrdluslaused
  - Cauchy ja d'Alembert'i koonduvustunnus
  - Leibnizi koonduvustunnus
  - Integraaltunnus
  - Cauchy kondensatsiooniprintsiip
  - Abeli ja Dirichlet' koonduvustunnused
- Ridade ümberjärjestused
- Funktsionaalread, nende koonduvus
  - Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus
  - Funktsionaalrea summa omadused
- Astmeread
  - Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem
  - Astmerea summa omadused
  - Funktsiooni Taylori rida
- Trigonomeetriliste funktsioonide defineerimine
  - Definitsioonid astmeridade abil
  - Definitsioonid funktsionaalvõrrandite abil
  - Arv
- Funktsioonide arendamine astmereaks
- Mõned astmeridadega seotud klassikalised tulemused
  - Abeli piirväärtusteoreem
  - Weierstrassi lähendusteoreem
  - Stirlingi valem

.PDF Laadi alla originaalfail 177 lk · .pdf · 11 allalaadimist

100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.

~ 177 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2020-11-25 Kuupäev, millal dokument üles laeti

11 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

332481 Õppematerjali autor

Õpik

Reaalarvud Arvjadad Pidevad funktsioonid Diferentseeruvad funktsioonid Integreeruvad funktsioonid Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c ∈ (a, b), et f′ (c) = 0. Eeldame, et f on lõigus [a, b] pidev ning vahemikus (a, b) diferentseeruv funktsioon omadusega f (a) = f (b). Selge, et väide kehtib, kui f on seejuures konstantne funktsioon, siis f ′ (x) = 0 iga x ∈ (a, b) puhul. Olgu f mittekonstantne funktsioon. Kuna ta on lõigus [a, b] pidev, siis Weierstrassi teoreemi põhjal on tal selles lõigus nii minimaalne kui ka maksimaalne väärtus. Seejuures vähemalt ühe neist globaalsetest ekstreemumitest, mis sel juhul on ka lokaalne ekstreemum, saavutab funktsioon vahemikus (a, b), olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 6.1 kohaselt f′ (c) = 0. Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku otspunkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbiv lõikaja on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel vähemalt üks

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

* Ütleme, et jada koondub suuruseks a ehk jada piirväärtus on a kui iga 0 < ε ∈ R 1). ∀ u ∈ V ||u||≥ 0 ;||u||=0 u=Θ korral leidub n ∈ N nii et Xn ∈ Uε(a) iga n > N korral. Jada piirväärtuse omadused + ühe tõestus: 1)konstantse PV jada PV on seesama konstant; 2)kui jada {x n} koondub ja PV=a, siis 2). ∀ u ∈ V α ∈ R||αu||=|α |∗¿∨u∨¿ koondub ka {|xn|},kusjuures selle PV on |a|; 3)Iga koonduv jada on tõkestatud;

Matemaatiline analüüs 1

odt

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x ∈ X ∧ y = f(x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 3.Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jada – Funktsioon f(x), mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N. Jada piirväärtus - Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga

Matemaatiline analüüs 1

docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑¿ .

Matemaatiline analüüs 1

odt

Matemaatiline Analüüs I kollokvium spikker

1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a) 2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u||

Matemaatiline analüüs

pdf

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y = f ( x ) ja kirjutatakse: y = f ( x ) , x X . Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y tema sõltuvaks muutujaks. Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka

Matemaatiline analüüs i

pdf

Matemaatiline analüüs II 1. kollokviumi spikker

∞ 3. Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. (Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, √𝑛 , 𝑘 = 0, 𝒂𝟏 , 𝒇(𝟐) = 𝒂𝟐 , 𝒇(𝟑) = 𝒂𝟑 , … . Siis kehtivad järgmised kaks väidet: *Kui päratu integraal ∫𝟏 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 koondub, siis koondub ka otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y(n), st

Matemaatiline analüüs 2

pdf

Kollokvium I, 2012

Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt pa

Matemaatika analüüs i

Rohkem sarnaseid