Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium (0)

1. Norm ja kaugus ( meetrika ). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu  ühepoolsed
ümbrused. Lõpmatuse  ümbrused.
Kauguseks  ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V
∈  seab vastavusse 
skalaari d(u,v)  R,
∈   kusjuures  on täidetud järgmised tingimused: 
1   u
∀ ,v V
∈        d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0 v
⇔  = u 
2   u
∀ ,v V
∈        d(u,v) = d(v,u) 
3   u
∀ ,v,w∈V    d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) 
Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u   
∈ V seab vastavusse skalaari        ||u||   
∈ R, 
kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 
1) u
∀    
∈ V                   | u|| ≥ 0; ||u|| = 0   
⇔ u = 0,
2) u
∀    
∈ V, α   
∈ R        ||αu|| = |α| ||u| ,
3) u
∀ , v   
∈ V               | u + v|  ≤ ||u|| + ||v|
Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab 
punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. 
Punkti ε-ümbrus
Hulka Uε(a) := {x   
∈ V|d(a, x)  0} nimetatakse punkti a   
∈ V ε-ümbruseks.
Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse  suvalist  poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0.
Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+ε), kus ε > 0.
Suuruse  lõpmatus  ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M > 0.
Suuruse  miinus  lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞,−M), kus M > 0. 
2.Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond , 
muutumispiirkond . Paaris ja paaritud  funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised 
funktsioonid. Pöördfunktsioonid. Monotoonsed  funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad 
funktsioonid.
Funktsioon - Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X 
on määratud ( ühene) funktsioon f  ja seda vastavust tähistatakse  y = f(x) (x   
∈ X).
Määramispiirkond ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka 
f(X) = {y| x   
∈ X   
∧ y = f(x)}   
⊂ Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks.
Paaris funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on  sümmeetriline  nullpunkti suhtes, nimetatakse 
paarisfunktsiooniks, kui  x
∀    
∈ X : f(−x) = f(x).
Paaritu funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse 
paarituks funktsiooniks, kui  x
∀    
∈ X : f(−x) = −f(x).
Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0,
et iga x   
∈ X korral ka x ± T   
∈ X ja f(x + T) = f(x).
Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk  rangelt  kasvavaks piirkonnas
X, kui iga x1   
∈ X ja x2   
∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 0, et iga 
x korral, mis täidab tingimust 0  a
9.Hulgal  pidevad  funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja.
Pidevuse   aksioom . Weierstrassi  teoreemid  ja  Bolzano -Cauchy  teoreem .
Hulgal pidev funktsioon - Öeldakse, et funktsioon f(x) on pidev hulgal X c R, kui f(x) on pidev 
hulga X igas punktis. 
Lõiguv pidev funktsioon - Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm 
tingimust:
1.Ǝ f(a) 2. Ǝ lim f(x) 3. lim f(x)=f(a)
                     x-> a               x-> a
Ülemine raja – Hulga ∅  ≠ X c R vähimat  ülemist  tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja 
tähistatakse sup X
Alumine raja – Hulga ∅  ≠ X c R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja 
tähistatakse inf X
Pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt
tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 
Weierstrassi teoreemid -  Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel 
lõigul.
Bolzano-Cauchy teoreem – Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb 
ekstremaalsete väärtuste vahel.
10.Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus . Ühepoolsed  tuletised . Diferentseeruvuse ja pidevuse
seos.
Tuletis  – funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte  piirväärtus , kui argumendi 
muut läheneb nullile.
Diferentseeruvus – Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles 
punktis deferentseeruv. Tähistame f   C
∈ ¹ (a) või f   D
∈ (a).
(Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks)
Ühepoolsed tuletised - 
                                                                                                                                   def
Funktsiooni y = f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ' (x-)=lim Δy/Δx
                                                                                                                                      Δx→0-
                                                                                                                                     def
Funktsiooni y = f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ' (x+)=lim Δy/Δx
                                                                                                                                        Δx→0+
Diferentseeruvuse ja pidevuse seos – Funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis a  parajasti  siis, kui
punkti a ümbruses f(x) on esitatav kujul f(x) =f(a) + f ' (a)(x-a) + 0(x-a), kus lim 0(x-a) / (x-a) = 0
                                                                                                                                                                                         x→a
Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x, st
f(x)   D
∈ (x) => f(x) ∈ C(x)
KONKREETSED KÜSIMUSED
 Näidata, et hulgal X  pidevate  funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi 
ak
  sioome)||f| ∞   := sup |f(x)|. 
                               
 
 x X
∈
2   kahe reaalarvu  x1;x2 ∈ R, kaugust saame arvutada d(x1,x2) = x2 - x1
3   Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus.
lim (α(x) + β(x)) = lim α(x)+lim β(x)= 0+0=0 
x→a                                       x→a                x→a
 
5 Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada.
1 Konstantse jada piirväärtuseks on see konstant:   x 
∀ ∈ X(f(x) = c) =⇒ lim f(x) = c
                                                                                                                  x→a
Tõestus: lähtume jada piirväärtuse  definitsioonist . Et suvalise ε > 0 korral
|  xn  - c | = | c – c | = 0  0 ja ∀ n0  ∈ N : ∀ n  > n0 => |xn  - c | = 0   xn  → c 
2 Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus
3 Kui jada  piirväärtus  a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme 
absoluutväärtus suurem kui |a| / 2
4 Kui  jadadvõrratust  xn  ≤  yn  , siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende jadade  piirväärtused
 
7   Näidata et koonduv jada on Cauchy jada.
Eeldame, et limn→∞xn = a. Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N  N
∈   omadusega
 |xn −a|  N korral. Kui n > N, siis saame 
|xn+p −xn| = |xn+p −a +a−xn| ≤ |xn+p −a|+|xn −a|  0 korral leidub naturaalarv  N   N
∈ , nii et iga n > N 
              k=1
ja p > 0 korral kehtib
            |Sn+p − Sn| = |an+1 + an+2 + ... + an+p|  0, mis määrab punkti  x0  korral sellise ümbruse 
U δ(x0) = {x|  |x- x0|  |f(x) – a|  ||f(x)| - |a||  |f(x)|  f(x) = O(1) 
(x ∈ U δ(x0) / {x0})
3 Kui funktsiooni piirväärtus punktis  x0  on nullist erinev, siis leidub punkti  x0 selline ümbrus 
U(x0), et hulgal U(x0) /{x0} on funktsiooni f(x) absoluutväärtus suurem kui pool funktsiooni 
piirväärtuse absoluutväärtusest
4 Kui eksisteerivad funktsioonide f(x) ja g(x) piirväärtused punktis  x0  ja leidub punkti  x0  
serlline ümbrus U(x0), et hulga U(x0) /{x0} igas punktis kehtib  võrratus  f(x) ≤ g(x), siis 
samasugust võrratust rahuldavad ka nende funktsioonide piirväärtused.
10 Näidata, et lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike.
Olgu α(x) lõpmata väike suurus piirprotsessis x → x0  ja f(x) tõkestatud funktsioon suuruse x0 
mingis ümbruses Uγ (x0).
Kui ε > 0, siis lõpmata väikese suuruse definitsiooni põhjal leidub selline Uγ (x0), 
et |α(x) – 0|  0   
∃ μ > 0 : | α(x)f(x)|  0, et
                                           x→a
f (x) = b + α
  (x)              x
∀  ∈ (a -  δ, a +  δ) \ {a} 
, k
  us α
  (x) on piirprotsessis x →a lõpmata väike suurus.
Tõestus:   def
Olgu α(x) = f(x) – b. Et
lim α(x) = lim (f(x) – b) = lim f(x) – lim b = b - b = 0,
x → a               x → a                              x → a               x → a
siis suurus α(x) on lõpmata väike piirprotsessis  x → a.
15 Punktis pidevate funktsioonide omadusi. Üks tõestada.
1 Funktsioon f(x) on pidev punktis x0  parajasti siis, kui lim  Δy =0
                                                                                                                     Δx   → 0
f(x)   C(x
∈
0)  lim Δy =0
                                   Δx → 0
Tõestus: Funktsiooni pidevuse definitsioonis esinevale kolmandale tingimusele on antav kuju 
lim (f(x) – f(x0)) = 0
x → x0
ehk lim (f( x0  +(x – x0)) – f(x0)) = 0
       x – x0→0
või lim Δy =0
         Δx → 0
2 Funktsioon f(x) on pidev punktis x0 siis, kui see funkt on punkti  x0 ümbruses esitatav kujul f(x) = 
f(x0) + α(x), kus  α(x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis x → x0 
3 Kui funkt-id f1(x) ja f2(x) on pidevad punktis x0 ning c1 ,c2 ∈ R, siis punktis x0 on pidevad ka 
funkts-id  c1f1(x) +  c2f2(x) ja f1(x)f2(x) ning täiendaval tingimusel f2(x0) ≠ 0 ka funktsioon f1(x)/f2(x) 
4 Funkt. y=f(x) on pidev punktis x0 siis, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui paremalt
5 Kui funktsioon g(x) on pidev punktis a ja funktsioon f(u) on pidev punktis g(a), siis liitfunktsioon 
f|g(x)| on pidev punktis a.
16 Tõestada Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest.
Lause:
Lõigul [a,b] pidev funktsioon f(x) on tõkestatud sellel lõigul st. selle funktsiooni väärtuste hulk 
sellel lõigul Y = {f(x)|x   [a
∈ ,b]}on tõkestatud.
Tõestus:
Olgu f(x)   C[a
∈
,b]. Eeldame väitevastaselt, et funktsioon f(x) on tõkestamata sellel lõigul, st 
suvalise n   N
∈  korral leidub selline xn ∈ [a,b], et |f(xn)| ≥  n. Moodustame sel viisil , 
                                n→∞
kusjuures f(xn) → ∞. Et xn ∈ [a,b], siis on tõkestatud. Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal
võib tõkestatud  eraldada koonduva . Seega,∃ lim xnk = c   [a
∈ ,b].
                                                                                                                                                   k→+∞
 Kasutades funktsiooni pidevust lõigul [a,b], leiame, et lim f(xnk) = f(c), kusjuures suurus f(c) on
                                                                                        k→+∞
                                                                                     n→∞                          k→∞
lõplik.  Teisalt  järeldub tingimusest f(xn) → ∞ tingimus f(xnk)→ ∞. Oleme saanud vastuolu, mis oli 
tingitud väitevastasest eeldusest. Seega on lõigul pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul
17 Tõestada Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest.
Lause:
Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a,b] leiduvad 
punktid α   [a
∈ ,b] ja β   [a
∈ ,b], nii et min f(x) = f(α),              max f(x) = f(β)
                                                                           x   
∈ [a,b]                                       x   
∈ [a,b]
Tõestus:
Olgu f(x)   C[a
∈
,b]. Kuna pidev funktsioon on tõkestatud, siis pidevuse aksioomi põhjal leiduvad 
rajad
inf    f(x) = M               sup    f(x) = M¯.
x∈[a,b]                                      x [a,
∈ b]
Võime valida iga n N
∈  korral xn ∈ [a,b], nii et M¯ − 1/ n  ≤  f(xn) ≤ M¯. Kuna xn ∈ [a,b], siis võrratustes M¯ − 1 / nj ≤ f(xnj) ≤ M¯ piirile, saame M¯ = f(β) = sup  f(x). 
                                                                                                                                        x [a,
∈ b]
Seega ülemine raja  saavutatakse . (Analoogilselt näitame, et saavutatakse ka alumine raja.)
 
19 Näidata, et funktsioonil f(x) leidub tuletis punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses 
f(x) on esitatav kujul (siin A = f' (a))
f(x) = f(a) + A(x−a) +o(x−a), kus lim o(x−a) / x−a =  0.
                                                                          x→a
20 Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis.
f(x)   D
∈ (x) => f(x)   C(x)
∈
Tõestus: Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et 
  f '
∃
 (x) = lim   Δy /  Δx
                      Δx→0
Et iga mingis punktis piirväärtust omav suurus on selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse 
ja lõpmata väikese suuruse summana, siis
Δy /  Δx = f ' (x) + α(Δx)       (Δx→0),
kusjuures
lim α(Δx) = 0.
Δx→0
Seos on esitatav kujul
Δy = f ' (x) Δx + β( Δx)       (Δx→0),
kusjuures suurus  β( Δx) = α(Δx)Δx on piirprotsessis  Δx→0 kõrgemat järku lõpmata väike 
võrreldes suurusega  Δx, sest
lim β( Δx) / Δx = lim  α(Δx)Δx / Δx = lim α(Δx) = 0
Δx→0                           Δx→0                                  Δx→0
Seosest järeldub, et 
lim Δy = 0
Δx→0  
ehk  f(x) ∈ C(x)