docstxt/1313524765129285.txt
muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea. Üldiselt on see arvrida erinevate x-de korral erinev. Seega võib ta ühtede x väärtuste korral koonduda ja teiste x väärtuste korral hajuda. Muutuja x nende väärtuste hulka, mille korral funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. 34. Astmerida. S(x)= ai x i =a0+a1x+a2x+.... kus ai on reaalarv i=0 Astmerea koonduvuspiirkond on vahemik, mille keskpunkt 0, st vahemik kujul(-R,R).Arvu R nim astmerea koonduvusraadiuseks.Koondusvusraadiuseks võib olla ükskõik missugune mitteneg arv, k.a. lõpmatus.Kui R=0, on koonduvuspiirkond tühi hulk, st astmerida hajub kõikjal.kui R=lõpmatus, on koonduvuspiirkond kogu reaalarvude hulk R. Nihutatud astmerida:
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR)
Suurusi akϵR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
+(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. ∑∞𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . +𝒂𝒌 +. .. , kus 𝒂𝒌 (𝒌 ∈ 𝑵) on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese 𝒏liikme summat 𝑺𝒏 Kui astmerida ∑∞ 𝑘 t0) = e i ωt0 fb(ω) • F f(αt) = 1 /α fb( ω/ α ) , α > 0, • F f (r) (t) = (iω)r fb(ω)
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
absoluutväärtusest moodustatud rida hajub, siis nimetatakse rida ∞ ∑ un tingimisi kooduvaks. n=1 32.Funktsionaalrida(definitsioon) Rida, mille liikmed on funktsioonid nimetatakse funktsionaalreaks ∞ ∑ f k ( x) k=1 33.Taylori ja Maclaureni read(definitsioon, leidmine) f (k )(a) Astmerida, mille kordajad on antud valemiga ck= , nimetatakse k! Taylori reaks ∞ f (k )( 0) k Kui a=0 saame f (x)=∑ ∗x – sellist rida nimetatakse k=1 k! Maclaurini reaks 34
u n (x ) = u n ( x ) . n =0 n =0 26 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) Astmerida Def. Funktsionaalrida a n =0 n x n = a0 + a1 x + ... + a n x n + ... (1) a (x - a ) = a 0 + a1 ( x - a ) + ... + a n ( x - a ) + ... , (2) n n ehk üldisemalt n n =0
26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5. 6. 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal > Mat.Analüüs 2 Page 1 7
Integraaltunnus Kui f on pidev monotoonselt kahanev funktsioon piirkonnas [a, ¿ ja un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0 Astmerea Astmerea koonduvusvahemikuks nimetatakse vahemikku (a-R, a+R), kus koonduvusraadius suurus R on koonduvusraadius Astmerea Astmerea koonduvuspiirkonnaks nimetatakse hulka X={x R: rida koonduvuspiirkond
..+un(xo)+... Koonduvusküsimused: 1.Kui rida koondub lim S n ( x0 ) = S ( x0 ) DEF: Kõigi nende argumendi väärtuste hulka, mille puhul funktsionaal reale vastav arvrida (u(xo)) on koonduv nimetatakse vaadeldava funktsionaal rea koonduvus piirkonnaks. (See on alamhulk) xo kuulub koonduvuspiirkonda. S ( x0 ) S ( x) = lim S n ( x) , x kuulub hulka Y . n Funktsionaal rida määrab oma koonduvuspiirkonnas teatud funktsiooni. Astmerida ja tema koonduvuspiirkond Def: funktsionaalrida, mille liikmed on muutuja x positiivsete täisarvuliste astmetega funktsioonid u n ( x) = c n x n või u n ( x) = cn ( x - a) n , nim astmereaks. Märkus: esimene rida on teise rea erijuhtum, kus a=0. vastupidi, kui tähistada y=x-a, teiseneb rida 2 esimeseks. Seega on nad samaväärsed read. Abeli teoreem: 1) kui esimene rida koondub mingi x=x0 0 puhul, siis ta koondub absoluutselt kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x < x0
Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: = c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga: Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks: f(x) 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 65. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... Erijuhtum, kui a=0 66. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks: f(x) 67
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
mõiste Mis on diskonteerimine? Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Mis on astmerida? Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
3. Milline rida on absoluutselt koonduv, tingimisi koonduv? Esitada 1 näide kummagi juhu kohta! Absoluutne koonduvus on rea koonduvus, mille puhul koondub ka rea liikmete absoluutväärtuste rida. Tingimisi koonduvus on rea koonduvus, mille puhul ei koondu rea liikmete absoluutväärtuste rida. koondub koondub absoluutselt koonduv tingimisi koonduv 4. Mis on funktsionaalrida? Esitada näide! Rida, mille liikmed on funktsioonid, nimetatakse funktsionaalreaks. 5. Mis on astmerida? Esitada näide! a xi i Funktsionaal rea tähtis erijuhtub on astmerida i = 0 , kus a0 ,a1 , a2, ... , an , .... on konstandid. 6. Mis on koonduvusraadius ja koonduvusvahemik? Esitada näide! Koonduvusraadius on raadius, kus rida koondub. Koonduvusvahemik on vahemik, kus rida koondub.
rida. Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
juhul täidetud, tähendab rida hajub Sõnastada d'Alemberti koonduvustunnus(lause 10.2): Rida koondub absoluutselt, kui eksisteerib piirväärtus ning d < 1. Kui d >1, siis rida hajub Sõnastada Leibnizi koonduvustunnus (lause 10.3): Rida koondub, kui jada (ak) koondub nulliks monotoonselt Tuua näiteid nende tunnuste rakendamise kohta. C- → D- → L- kus α > 0. 41. Astmerida, selle koonduvuspiirkond (*) Selgitada, mis on astmerida, defineerida astmerea koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A. Veenduda, et A on nullpunkti suhtes sümmeetriline intervall.: Olgu (a0, a1, a2, . . . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks. Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka
Astmerea (6.16) koonduvusraadiuseks nimetatakse suurust ( ∞ ) X r = sup |x| ∈ R : ak xk on koonduv . k=0 On selge, et r on alati olemas: kas mittenegatiivne reaalarv või ∞. Järgnevast, Cauchy–Hadamardi teoreemist selgub, 1) kuidas arvutada koonduvusraadiust r, 2) et astmerida on absoluutselt koonduv kogu vahemikus (−r, r) ning hajuv lõigust [−r, r] väljaspool. Seega (−r, r) on suurim vahemik, kus astmerida on (absoluutselt) koonduv. Teoreem 6.36 Koonduvusraadiust võib arvutada järgmise valemi abil: 1 r= p . lim k |ak |
...> F(X) + G(X), ehk kahe genereeriva funktsiooni liitmisel liidetakse omavahel ka
kõik vastavad jada(astmerea) väärtused.
3).Nihkereegel: Kui
MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a =...
k . 38 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Astmeread Definitsioon: Öeldakse, et rida on astmerida, kui ta esitub kujul a n =0 n x n , kus a n R, x - sõltumatu muutuja. n X = x | lim a k x k - astmerea koonduvuse piirkond n k =0 n k A = x | lim a k x - astmerea absoluutse koonduvuse piirkond
Kui n = 0, siis A0 := I. 7.2 Maatrikspolu ¨ noom Avaldist p(A) := a0 I +a1 A + · · · + an An kus n on mittenegatiivne t¨aisarv, nimetatakse maatrikspol¨ unoo- miks. Samuti ¨oeldakse, et p(A) on pol¨ unoomi p(x) := a0 + a1 x + · · · + an xn v¨a¨artus kohal A. 7.3 Maatriksastmeread Olgu antud (koonduv) astmerida f (x) = an xn , |x| < r (koonduvusraadius) n=0 Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea f (x) = an An n=0 20 II. Maatriksarvutus ning u ¨tleme, et f (A) on funktsiooni f (x) v¨a¨artus kohal A. Vaiki-
annaabi.ee 
