Matemaatiline Analüüs I kollokvium spikker (1)

1. Norm ja kaugus ( meetrika ). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused
Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused:
1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ
2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u||
3 ∀u, v ∈ V ||u + v|| = 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u
2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u)
3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) 0} nimetatakse punkti a ∈ Vε-ümbruseks.
Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) ⊂ Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja elementi y sõltuvaks muutujaks
Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühene funktsioon f.
Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x).
Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x)
Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T 6= 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Vähimat positiivset arvu T , mille korral f(x + T) = f(x) ∀x ∈ X, nimetatakse funktsiooni f(x) perioodiks . antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral.
Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f ^ −1(y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x), st y f (−1→) x ⇔ x (f→) y.
Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis
kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev.
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1võrratus f(x1) Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈X korral, mis rahuldavad võrratust x1 f(x2).
3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus . Jada piirväärtuse omadused.
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille mää
Ü∞n=1 koondub suuruseks a (∞n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 N korral. Tähistame xn → a või xn (n→∞ →)a või lim xn = a
n→∞
Elementi b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust x ∈ Uδ(a) kehtib f(x) ∈ Uε(b).
Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. Konstantse jada piirväärtus on see konstant. Iga ulalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Iga koonduv jada on tõkestatud.
4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano -Weierstraß’i teoreem .< nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(d(xn, 0) 0 korral leidub N ∈ N, et iga naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus
Jada kuhjumispunktiks koondub parajasti siis, kui ta on tokestatud ja tal on vaid uks kuhjumispunkt.
6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused.
Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis taidab tingimust 0 Ühepoolsed: Arvu b nimetatakse funktsiooni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x ∈ (a − δ(ε), a) korral kehtib vorratus |f(x) − b| Arvu b nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x ∈ (a, a + δ(ε)) korral kehtib vorratus |f(x) − b| Funktsioonil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga jada Funktsioonil f eksisteerib punktis a arvuga b vorduv piirväärtus parajasti siis kui
Omadused: Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st.
Kui funktsioonil f(x) leidub piirväärtus punktis a, siis leidub punkti a
selline δ-umbrus, et funktsioon f (x) on tokestatud hulgal (a − δ, a + δ) \.
Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-umbrus, et iga 0