Matemaatilise analüüsi I kollokviumi vastused (0)

1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et  reaalarvu  abs.väärtus  rahuldab  normi ja  aksioome )Normiks 
vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile        seab vastavusse skalaari          , 
kusjuures  on täidetud järgnevad tingimused: 
1).                                           
2).                                          
1).                                        
*Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile          seab 
vastavusse skalaari d(u,v),  kusjuures on täidetud järgnevad tingimused:  
1).                                                        
2).                                 
3).                                                 
*Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. 
Tõestus:  
                                  
                                  
                                       
 
 
2*( ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti 
        - ümbrukseks nim. hulka                                        
*Reaalarvu a   R korral saame Uε(a) = {x   R|a − ε  0. 
*Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse  suvalist  vahemikku (M , ∞), kus M > 0. 
*Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M ), kus M > 0. 
 
 
3*(Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond,  muutumispiirkond . 
Paaris ja  paaritud  funkt)Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis 
öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y=f(x). 
*Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal 
X on määraud ühene funktsioon f.  
*Hulka X nimetatalse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x   X ∧ y = f (x )} ⊂ Y 
muutumispiirkonnaks.  
*Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse 
paarisfunktsiooniks, kui        : f(-x)=f(x)  ja paarituks funktsiooniks, kui      : f(-x)=-f(x). 
* Funktsiooni  f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T =/= 0, et iga x   X korral ka x ± T   
X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x)        korral. 
 
 
4*(Pöördfunktsioon.  Monotoonsed  funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni  
y = f (x) (x   X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y   Y = f (X ) 
seab vastavusse arvu x   X , kusjuures y = f (x). 
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või 
mittekahanev. 
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või 
kahanev. 
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2   X korral, mis rahuldavad võrratust 
x1 n1 Xn   Uε(a) 
 n > n2 Xn   Uε(b) 
*Kui N= max(n1; n2),siis: 
 n > N Xn   Uε(a) 
 n > N Xn   Uε(b) 
*Saame vastuolu, kuna vastavalt eeldustele Uε(a)   Uε(b) =   
  
 
6* (Näidata et kui                ja               , ning Xn