lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui lim = (). - · Funktsioon on pidev punktis a, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt. FUNKTSIOONI KATKEVUSPUNKTID Funktsiooni katkevuspunkti mõiste · Funktsiooni y = f(x) nim katkevaks punktis a, kui ta ei ole selles punktis pidev. · Punkti a nim funktsiooni katkevuspunktiks. · Seega, a on funktsiooni katkevuspunkt, kui ei ole täidetud tingimus lim = () . Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim () Katkevuspunktide liigid · I liiki katkevuspunkt kui on olemas mõlemad lõplikud ühepoolsed piirväärtused: lim = + lim =
Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x ) lim f ( x) f (a) xa ja f (a ) , kuid x a Teist liiki katkevuspunkt Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui
.. KAKS MUUTUJAT ON PÖÖRDVÕRDELISES SEOSES, KUI NENDE KORRUTIS ON MUUTUMATU ! Xy= a kus a on on mingi nullist erinev arv ehk siis a0 pöördvõrdelise seose põhikuju on y= a : x pöördvõrdelise seose graafikuks on hüperbool. Hüperbooliks nimetatakse niisugust punktihulka tasandil, kus iga punkti kaugused kahest kindlast punktist (hüperbooli fookused) annavad jääva suurusega vahe. X=0 on nn katkevuspunkt mida nimetatakse samuti hüperbooliks . Pöörvõrdelise seose tabel ja graafik: Y = 4:x x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y -1 - 4/3 -2 -4 4 2 4/3 1
3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15
fy' = (x ² + y ²) 2x y / (x ² + y ² ) ² 4. f(x, y ) = e x y ln y fx' = exy y lny + exy fy' = exy x lny + exy/ y Leida määramispiirkond ja kirjeldada neid 1. f (x, y) = 1 / x2 + y2 Kuna tegu on jagatisega, siis on kitsenduseks, et nimetaja st. x2 + y2 >=0 ning x >= y, kuid x=y / 0 sest vaadates funktsiooni ei saa 0 jagada, x= 0 on katkevuspunkt. x (-; 0) ja (0;), kuid funktsiooni X (0; ) 2. f (x, y) = arcsin( x2 + y2) Kitsendusena tuleb arvestada trigonomeetriliste funktsioonide omadusi, mistõttu on arcsin funktsiooni määramispiirkond X [-1; 1] 3. f (x, y) = 1 /(z x2 y2 ) Kitsendusena peab arvestama, et juure all olev avaldis on > 0 ja x2< z > y2 z x2 y2 > 0, x2< z y2
pidevaks kohal a, kui lim f(x) , x a = f(a) . Definitsioon nõuab kolme tingimuse täidetust: 1) funktsioon peab olema määratud kohal a 2) funktsioonil peab leiduma lõplik piirväärtus kohal a 3) peab kehtima võrdus lim f(x) , x a = f(a) 14. Katkev funktsioon- funktsioon y = f(x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x a = f(a) EI KEHTI. 15. Katkevuspunkt- Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 16. Esimest liiki katkevuspunkt- niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri
0 KATKEVUSPUNKTID Punkt, kus f-n ei ole pidev – katkevuspunkt. x0 4. Elementaarf-n on pidev oma määramispiirkonna f (x ) sisepunktides.
muut läheneb nullile, kui argumendi muut läheneb nullile · Pidevuse säilime aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a siis on selles punktis pidevad ka nende korrutis, summa, vahe ja jagatsi (eeldusel, et ) 2. Kui funktsioon on pidev punktis a ja funktsioon on pidev punktis siis on liitfunktsioon pidev punktis a. 14. · Funktsiooni katkevuspunkt punkt, kus funktsioon ei ole pidev. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Kui katkevuspunkt paikneb väljaspool määramispiirkonda siis rikub ta pidevuse esimest tingimust, kui määramispiirkonnas siis teist ja kolmandat. · Katkevuspunktide liigitus 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja siis nimetame seda punkti esimest liiki katkevuspunktiks.
Võrdelise seose graafikuks on sirge: Punktis (0;0) on pöördvõrdelise seose graafikul nn. Võrdelise seose graafik läbib alati 5 katkevuspunkt. 4 koordinaatide alguspunkti (0;0). 10 3 Graafiku asend koordinaat- · Lineaarfunktsioon 2 teljestikus sõltub võrdeteguri
Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali . Siiski on katkevat funktsiooni teatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal iga c (a,b) korral. Selleks, et saada integraalist integraali tuleb meil lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega defineeritakse päratu integraal järgmiselt: = . 2
f(x) ning f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks. 2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest f(x) või f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni y=f(x) teist liiki katkevuspunktiks. Näited: Funktsioon f(x) ei ole määratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja need on võrdsed. (esimest liiki katkevuspunkt) Funktsioon f(x) = sinx katkeb kohal x = 0 (teist liiki katkevuspunkt) 15. Ühepoolne pidevus. Funktsiooni pidevus vahemikus (a, b) ja lõigul [a, b]. Tuua näiteid. Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Ühepoolne pidevus. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. Funktsioon y = f(x) on määratud kohal a 2. Funktsioonil y = f(x) on lõplik vasakpoolne piirväärtus f(x) 3. Peab kehtima võrdus f(x) = f(a) Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Näited: 1) Paremalt pideva näide 2) Vasakult pideva näide
Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali () . Siiski on katkevat funktsiooniteatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal () iga c (a,b) korral. Selleks, et saada integraalist () integraali () tuleb meil lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega
suuruseks suhtes. Pideva funktsiooni definitsioon - Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui 1.f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim xa f(x). 3. lim xa f(x) = f(a). Pidevuse geomeetriline sisu - argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa -f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus limxa- f(x) = limxa+ f(x) = lim xa
See tähendab, et x1 ei ole ekstreemum. lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. Lagrange´i kuju Võtame p=1 siis saame Cauchy kuju Enamasti on x0 II liiki katkevuspunkt. 24. Teoreem 1 (integraalarvutuse 2) Kaldasümptoodid y=kx+b põhiteoreem) Ühe ja sama Vastavalt asümptoodi definitsioonile funktsiooni kaks algfunktsiooni
0 väikesteks (suurteks), kui lim( x läheneb x ) alfa x/beetax=1. Seda fakti tähistatakse 0 α(x)~β(x) (x⇢x 0) 31. telos 32. Funktsiooni pidevus. Katkev funktsioon, katkevuspunkt. Funktsiooni pidevuse omadused koos tõestustega. Liitfunktsiooni pidevus. Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a , kui lim(x→a) f(x)=f(a). Kui funktsioon f on pidev piirkonna X igas puntkis, siis öeldakse, et funktsioon f
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1
1 (arccos x)´= −¿ √1−x 2 1 (arctan x)´= 1+ x 2 −1 (arccot c)´= 1+ x 2 Funktsiooni diferentsuse ja pidevuse vaheline seos. Joonis 12. Pideva funktsiooni y=f(x) korral on täidetud tingimus. lim ∆ y =0 ∆ x→ 0 Kui see tingimus ei ole punktis x=x0 täidetud siis on selles punktis funktsioonil f(x) katkevuspunkt. Teoreem. Kui funktsioon y=f(x) on diferentseeruv punktis x=x0 , siis on see funktsioon pidev selles punktis. Näitame seda. Kuna eelduse kohaselt on funktsioonil y=f(x) tuletis punktis x=x0 olemas, siis on olemas ka järgmine piirväärtus: ∆y f ´ ( x0 )= lim ∆ x →0 ∆x Kirjutame piirväärtuse: ∆y ∗∆ x ∆x ∆y
1. Kui funktsioonid ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa +g, vahe -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis /g. 2. Kui funktsiooni y= (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis (a), siis liitfunktsioon z=g[ (x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x->a astmel
Päratu integraal defineeritakse valemiga b. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid b.1. Kui iga korral kehtivad võrratused ja integraal koondub, siis koondub ka integraal . b.2. Kui koondub, siis koondub ka . c. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest c.1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel , kus c on a ja b vahel, st . Järelikult eksisteerib määratud integraal Selleks, et saada integraalist intehraali , tuleb lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus , on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega defineeritakse päratu integraal järgmiselt c.2. Olgu funktsioon f pidev poollõigul ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt
pidevad ka summa ƒ +g, vahe ƒ -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis ƒ /g. 2. Kui funktsiooni y= ƒ (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis ƒ (a), siis liitfunktsioon z=g[ƒ (x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni ƒ katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x- >a astmel -) ƒ(x) ja lim(x->a astmel +) ƒ(x), siis nimetatakse seda
1 1 + 12. Kui x läheneb lõpmatusele, siis funktsioon x läheneb arvule e: n 1 lim 1 + = e x n 13. Logaritme alusel e = 2,718... nimetatakse naturaallogaritmideks. 14. 15. Argumendi muut ja funktsiooni muut (joonis). Funktsiooni pidevuse definitsioon. Elementaarsete põhifunktsioonide pidevus. Funktsiooni katkevus ja katkevuspunkt. Pidevate funktsioonide omadused koos joonistega. 16. Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x 0 + x , siis ka funktsioon muutub y (funktsiooni muudu) võrra ja saab väärtuse y 0 + y = x ( x 0 + x) .Funktsiooni muut y = f ( x 0 + x ) - f ( x0 ) . 17. x 18. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse argumendi väärtusel x = 0 (ehk punktis
f(x) ning f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks. 2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest f(x) või f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni y=f(x) teist liiki katkevuspunktiks. Näited: Funktsioon f(x) ei ole määratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja need on võrdsed. (esimest liiki katkevuspunkt) Funktsioon f(x) = sinx katkeb kohal x = 0 (teist liiki katkevuspunkt) 15. Ühepoolne pidevus. Funktsiooni pidevus vahemikus (a, b) ja lõigul [a, b]. Tuua näiteid. Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Ühepoolne pidevus. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. Funktsioon y = f(x) on määratud kohal a 2. Funktsioonil y = f(x) on lõplik vasakpoolne piirväärtus f(x) 3. Peab kehtima võrdus f(x) = f(a) Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Näited: 1) Paremalt pideva näide 2) Vasakult pideva näide
a funktsiooni teatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. f ( x i )++ f ( x i+1 ) Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c ∈ (a, b). Järelikult eksisteerib 1 (¿)∆ x i
d. Päratud teoreemid katkevates funktsioonides: d.i. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a,b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei pruugi omada lõplikku piirväärtust, mistõttu ei eksisteeri määratud integraali . Teatud juhtudel on seda võimalik ikkagi integreerida. d.i.1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a,b) ja b on selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on funktsioon f pidev kõigil lõikudel [a,c], kus c on a ja b vahel st Iga korral. Saamaks sellest tuleb c-d lähendada b-le d.i.2. Olgu funktsioon f pide poollõigul (a,b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus
kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine: 1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. 2.Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 13. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Liigitus: kõrvaldatav k.p., hüppepunkt, II liiki kp. 14. . Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. 17. Tuletiste arvutamise põhireeglid: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · · · 18.
nimetatakse pidevaks punktis , kui 1. ! on määratud argumendi väärtusel , st 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim,+ ! 3. lim,+ ! =! Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt argumendi väärtusel = pideva funktsiooni graafik on punktis = _ , ! ` pidev joon. 12) Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Olgu funktsiooni ! katkevuspunkt: 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim,+X ! ja lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiku katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus lim,+X ! = lim,U ! = lim,+ ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
Näide: 11. Millised tingimused peavad olema rahuldatud, et funktsioon oleks pidev? Esitage näide! Funktsiooni nimetatakse pidevaks argumendi väärtusel , kui on täidetud järgmised tingimused: 1. f-ni f(x) väärtus f(a) on määratud 2. on olemas lõplik piirväärtus 3. kehtib võrdus Näide: Uurin f-ni 1. 2. 3. Kuna kõik tingimused on rahuldatud, siis see f-n on pidev. 12. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? Esitage 2 näidet! Kui ei ole täidetud eelnimetatud tingimusi siis on f-n argumendi x väärtusel a katkev ja on selle f-ni katkevuspunktiks. Näited: järgmises punktis 13. Milline katkevuspunkt on I liiki, II liiki? Esitage mõlema juhu jaoks 1 näide! Esimest liiki katkevus on siis, kui on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Teist liiki katkevus on ülejäänud olukordades. Näited: Katkevuskoht on kohal 0, esineb esimest liiki katkevus
1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis f/g . 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti moiste.( ) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. () Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limf(x) ja limf(x), siis nimetatakse xa- xa+
41.Pideva funktsiooni mõiste 42.Vahemikus pidev funktsioon Funktsioon = f(x) on pidev antud vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis. 43.Lõigul pidev funktsioon Funktsioon = f(x) on pidev antud lõigul [a;b], kui ta on pidev vahemikus (a;b), st. pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b 44.Katkeva funktsiooni mõiste 45.Esimest liiki katkevuspunkti mõiste A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid A B. Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt, ehk hüppekoht. 46.Esimest liiki katkevuspunktide alamliigid 47.Teist liiki katkevuskoha mõiste Kui A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse, siis punktis x 0 on II liiki katkevuskoht. 48.Pidevate funktsioonide omadused Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile Kui funktsioonid u = u(x) ja v = v(x) on pidevad punktis a, siis nende
nim. funktsiooni z täismuuduks ja mis on määratud valemiga: z=f(x+x, y+y)-f(x,y). Joonisel kujutab täismuutu z lõik QQ'. Täismuut üldiselt ei võrdu osamuutude summaga, st. z xz+yz. 5. Punkti ümbruse mõiste. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Korduvad piirväärtused. Kahe muutuja funktsiooni pidevus punktis, võrduse tuletamine. Kahe muutuja funktsiooni katkevuspunkt (3 tingimust). Punkti M0(xo;y0) ümbruseks raadiusega r nim. punktide hulka, mille iga punkti koordinaadid rahuldavad võrratust , st. need punktid asetsevad ringi sees, mille raadius on r ja keskpunkt M0(xo;y0). Kui ütleme, et funktsioonil f(x,y) on mingi omadus punkti (xo;y0) ümbruses, siis mõistame selle all, et leidub niisugune ring keskpunktiga (xo;y0), mille kõigis punktides on funktsioonil see omadus olemas.
koondub, siis koondub ka integraal f ( x ) dx . a 2.Kui ¿ f ( x )dx koondub, siis koondub ka f ( x ) dx . a a Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest 1,Olgu funktsioon f pidev poollõigul ¿ ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a , c] , kus c on a ja b vahel, st c (a ,b) . Järelikult eksisteerib määratud integraal c c b f ( x ) dx iga c ( a , b ) korral Selleks, et saada integraalist f ( x ) dx intehraali f ( x ) dx , a a a
· Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f- g, korrutis fg ja eeldusel g(a)0 ka jagatis f/g. · Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) lim f(x),
· Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f- g, korrutis fg ja eeldusel g(a)0 ka jagatis f/g. · Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) lim f(x),
muut läheneb nullile. Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis . 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. 15. Ühepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus , 3. = f(a). Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b).
5. Kui iga x ≥ a korral kehtivad võrratused 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ja integraal R ∞ a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal R ∞ a f(x)dx. Teoreem 5.6. Kui R ∞ a |f(x)|dx koondub, siis koondub ka R ∞ a f(x)dx. Näide. Hindame päratu integraali R ∞ 1 sin xdx x2 koonduvust. Kuna iga x korral kehtib võrratus ¯ ¯ ¯ ¯ sin x x 2¯¯¯¯≤1x2 Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c ∈ (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal Z c a f(x)dx iga c ∈ (a, b) korral. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a, b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c, b], kus c ∈ (a, b). Päratu integraal R b a f(x)dx defineeritakse järgmise parempoolse piirväärtusega: Z b a f(x)dx = lim c→a+ Z b c f(x)dx . 43
seejuures xx0 nii, et x
seejuures xx0 nii, et x
(lk 17 – 18) Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A(a, f(a)) pidev joon 23. Tõestada, et pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui argumendi muut läheneb nullile. (lk 18) limx→a f(x) = f(a) ⇔ limx→a f(x) − f(a) = 0 ⇔ limx→a f(x) − limx→a f(a) = 0 ⇔ limx→a [f(x) − f(a)] = 0 ⇔ limx→a ∆y = 0 ⇔ lim ∆x→0 ∆y = 0 . 24. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? (lk 18) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 25. Defineerida hulgal pidev funktsioon. (lk 19) Olgu A vahemik, lõik või poollõik. Kui funktsioon f on pidev hulga A kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev hulgal A. Hulgal A pideva funktsiooni graafik on selle hulga kohal pidev joon. 26. Sõnastada teoreem funktsiooni nullkoha olemasolust. (lk 19)
Funktsioon on pidev piirkonnas D, kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Katkevuspunktideks nimetatakse neid punkte, mille jaoks leidub ümbrus, kus funktsioon on määratud (välja arvatud see punkt ise) ja kus tingimus (2.2) ei ole täidetud. 1) Kui f ( x 0 , y 0 ) ei eksisteeri (funktsioon ei ole määratud), kuid piirväärtus lim f ( x, y ) = a x x0 eksisteerib, siis punkt ( x 0 , y 0 ) on kõrvaldatav katkevuspunkt. y y0 lim f ( x, y ) 2) Kui piirväärtus x x0 ei eksisteeri või on lõpmatus, siis on see y y0 katkevuspunkt. Järeldus. Piirväärtuse uurimine sirgete kimbu abil on küll tarvilik, kuid ei garanteeri esialgse piirväärtuse olemasolu. Sõnastame kaks teoreemi, mis on analoogsed lõigul pideva funktsiooni kohta käivatega (Weierstrassi teoreemid).
Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim.........................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim....................................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus............................. siis nimetatakse
¨hepoolsed l~oplikud piirv¨a¨artused, st lim f (x) lim f (x). xx0 - xx0 + N¨ aide 4. Et Heaviside'i funktsiooni H(x) korral lim H(x) lim H(x) = 0 lim H(x) = 1, x0 x0- x0+ siis punkt 0 on funktsiooni H(x) esimest liiki katkevuspunkt. Nendime, et H(0) = 1. Seega v~oime r¨ a¨akida funktsiooni H(x) parempoolsest pidevusest punktis 0. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. N¨aide 5. Funktsiooni x/ (x + 2) katkevuspunkt x = -2 on teist liiki katkevuspunkt, sest x x lim = + lim = -.
2. Kui funktsioon y = f (x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f (a), siis on liitfunktsioon z = g[f (x)] pidev punktis a. 46 Need v¨aited j¨arelduvad otseselt §2.6 toodud piirv¨a¨artuste omadustest. Katkevuspunkti m~ oiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt v~oib paikneda n¨aiteks v¨aljaspool funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pi- deva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u
2. Kui funktsioon y = f (x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f (a), siis on liitfunktsioon z = g[f (x)] pidev punktis a. 46 Need v¨aited j¨arelduvad otseselt §2.6 toodud piirv¨a¨artuste omadustest. Katkevuspunkti m~ oiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt v~oib paikneda n¨aiteks v¨aljaspool funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pi- deva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim- f (x) ja
11. F-ni pidevus Def. F-n y=f(x) on p-s x0 IR Pidev juhul kui 1)f(x0)< 2)limx->x0f(x)=A 3)f(x0)=A *Järeldus: f-n on pidev piirkonnas D IR f-n pidev D igas p-s *Järeldus x0->x0+ x=> y=f(x0+ x)-f(x0)=>f-ni muut x->0 y->0 *Märkus1 põhilised elementaarf-nid on oma määramispiirkonnas pidevad *Märkus2 u,v ->pidevad f-nid =>u ± v, u*v, u/v(v 0), u(v(x)) pidevad *Katkevuspunktid: Def. Kui mõni pidevuse f-ni tingimustest ei ole täidetud, siis f-n katkev 1) I liiki katkevuspunkt: f(x0)= (x0 MP) (joonis) 2) II liiki katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1 A2(joonis) 12. F-ni tuletis, füüs ja geom. Tõlgendus *ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/ t-> hetkkiirust: t->0 =>v=lim t->0 s/ t isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton(1642-1727) ja Leibniz(1646-1716) *DEF f-n punktis x diferentseerunud parajasti siis, kui tuletis selles punktis on olemas (ainsas punktis, v. piirkonnas D). Tuletise leidmise protsessi me nimetame
Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks. Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A 3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A 2 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5
Funktsiooni f pidevusest punktis a järeldub, et zk := f (xk ) → f (a) = b, teiseks järeldub funktsiooni ϕ pidevusest punktis b = f (a) koonduvus ϕ (zk ) → ϕ (b). Niisiis, ϕ ◦ f (xk )) = ϕ (f (xk )) = ϕ (zk ) → ϕ (b) = ϕ (f (a)) = ϕ ◦ f (a) . Katkevuspunktide klassifikatsioon. Olgu a hulga D kuhjumispunkt. Kui a ∈ / D või funktsioon f : D → R ei ole punktis a pidev, siis öeldakse, et a on funktsiooni f katkevuspunkt (point of discontinuity, точка разрыва). Kui funktsioonil f eksisteerib katkevuspunktis a piirväärtus lim f (x), siis öeldakse, et x→a funktsioonil f on punktis a kõrvaldatav katkevus. Näiteks, funktsioonil x 7→ sinx x on punktis x = 0 kõrvaldatav katkevus (kontrollida!)z. Mõnedes allikates eeldatakse, et lugeja kõrvaldab
annaabi.ee 
