ning liikumise geomeetrilisi seaduspärasid. Trajektoor- punktmassi liikumise tee kindlas taustsüsteemis. Liikumisseadus- Vektoriaalne määramisviis r=r(t) Koordinaatviisiline määramisviis (telef), Loomulik liikumisseadus s=f(t) Punktmass- materiaalne keha, mille mõõtmeid liikumise uurimisel ei arvestata. Punkti kiirendus- tema kohavektor esimese tuletise järgi. Kiirus- vektor, mis on suunatud piki trajektooripuutujat liikumissuunas ja isel. Kohavektori pikkuse kui ka suuna muutus. (telef) Punkti kiirendus- kiirusvektori I tuletis aja järgi ehk kohavektori II tuletist aja järgi. Kiirendus- isel. Kiiruse muutust (telef) Rööpliikumine- kui keha liigub ühest punktist teise ja sellel olevad sirged on paralleelsed. (telef) Jäiga keha selline liikumine, mille puhul iga kohaga muutumatult seotud sirge jääb kogu liikumise kestel oma algsihiga paralleelseks. Ühe punkti liikumine tähendab kogu keha liikumist. Pöörlemine- telef
v r O taustkeha y x taustsüsteem r - punktmassi kohavektor vaadeldavas taustsüsteemis. v - punktmassi kiirusvektor vaadeldava taustsüsteemi suhtes. Punktmassi koordinaadid tema kohavektori komponendid (projektsioonid). r (t ) = i x(t ) + j z (t ) + k y (t ) = ( x, y , z ) . (1.1) Trajektoor keha liikumisjoon. Seda kirjeldavad võrrandid parameetrilised võrrandid, x = x(t ) y = y(t ), (1.2) z = z(t ) kus parameetriks on aeg. Punktmassi kiirusvektoriks nimetatakse tema kohavektori ajalist tuletist: dr
Punktmass keha, mille kuju ja mõõtmetega võib antud ülesandes arvestamata jätta.
Jäik keha on keha, mis vastastikmõjus või interaktsioonis teiste kehadega muudab oma
mõõtmeid tühisel määral.
Taustsüsteem kehade süsteem, mille suhtes antud liikumist vaadeldakse.
Liikumisseadus kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas:
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t).
Nihkevektor - r, kohavektori juurdekasv vaadeldava ajavahemiku jooksul.
Trajektoor on kõver, mida punktmass joonistab liikudes.
Kohavektor r määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistikus.
Teepikkus on kõigi antud vahemikus läbitud trajektoorlõikude summa.
2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine.
Kiirus on vektor/vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist
ajavahemikus.
Keskmine kiirus -
Kas siis seisab paigal või hakkab liikuma sama kiirendusega Hõõrdetegur- iseloomustab pinna karedust Fh=fN Jõud- kehade vastastikune mõju(otsene/kaudne) Jõu rööpküliku aksioom- 2 ühte punkti rakendatud jõudu võib asendada 1 jõuga, mis rakendatud samasse punkti Tasakaalus olevaks jõusüsteemiks nim jõusüsteemi, mis mõjutades paigalseisvale kehale ei kutsu esile selle liikumist Jõumoment punkti suhtes- vektor, mis võrdub jõu rakenduspunkti kohavektori ja jõuvektori vektorkorrutisega. Jõupaarimoment- vabavektor, risti jõupaari tasandiga ja seda võib lugeda lahendatuks ükskõik mis punkti antud kehal. R=Ruutj. F12+ F22+2 F1F2 cosa Jõusüsteemide tasakaal- R=Fi=0 Mo=Mo(Fi)=0 Koonduv jõusüsteem- lõikuvad kõik ühes punktis, keha tasakaal ei muutu. Ekvivalentne resultandiga, on rakendatud vaadeldava süsteemi jõudude mõjusirgete lõikepunktidele. Liikumine-keha asendi muutus taustsüsteemis
Kas siis seisab paigal või hakkab liikuma sama kiirendusega Hõõrdetegur- iseloomustab pinna karedust Fh=fN Jõud- kehade vastastikune mõju(otsene/kaudne) Jõu rööpküliku aksioom- 2 ühte punkti rakendatud jõudu võib asendada 1 jõuga, mis rakendatud samasse punkti Tasakaalus olevaks jõusüsteemiks nim jõusüsteemi, mis mõjutades paigalseisvale kehale ei kutsu esile selle liikumist Jõumoment punkti suhtes- vektor, mis võrdub jõu rakenduspunkti kohavektori ja jõuvektori vektorkorrutisega. Jõupaarimoment- vabavektor, risti jõupaari tasandiga ja seda võib lugeda lahendatuks ükskõik mis punkti antud kehal. R=Ruutj. F12+ F22+2 F1F2 cosa Jõusüsteemide tasakaal- R=Fi=0 Mo=Mo(Fi)=0 Koonduv jõusüsteem- lõikuvad kõik ühes punktis, keha tasakaal ei muutu. Ekvivalentne resultandiga, on rakendatud vaadeldava süsteemi jõudude mõjusirgete lõikepunktidele. Liikumine-keha asendi muutus taustsüsteemis
4. Leidke parameetri m väärtused, mille korral vektorid ja on risti. 5. Kas vektorid ja asuvad ühel sirgel? 6. Kas punktid , võivad olla püramiidi tippudeks? 7. Kontrolli, kas vektor on avaldatav vektorite ja kaudu? 8. Arvutada parabooli haripunkti kohavektori ja vektori summa koordinaadid. 9. Leidke nurk vektorite ja vahel. 10. RE(2000) Rööpküliku kolme tipu koordinaadid on K(1;0;3), L(0;1;5) ja M(-2;1;2). Leidke: a) tipu L vastastipu N koordinaadid b) diagonaalide lõikepunkti koordinaadid c) tipu L juures oleva nurga koosinus. Arvutage rööpküliku KLMN pindala.
14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage taustsüsteem, kohavektorid ja nihkevektor koos tähistustega. Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16. Mis on hetkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohevektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihkejärgi , trajektoori järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraali. 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endas kolme ajas sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse printsiip.
Joonis 1. Punkti liikumine mööda trajektoori Objekti liikumine mööda trajektoori asendist P1 asendisse P2 toimub aja t jooksul. Keskmine kiirus selle aja jooksul on r2 - r1 r v av = = t 2 - t1 t Skalaariga jagamine ei muuda vektori suunda. Seega v av on paralleelne nihkevektoriga r . Kui nüüd lasta r 0 , siis P2 P1 ja v av v . Seega r d r v = lim = t 0 t dt Kiirusvektor on kohavektori tuletis aja järgi. Kiiruse suund ühtib liikumise suunaga ja on trajektoorile puutujaks. Formaalselt saame hetkkiiruse (kui vektori) üles kirjutada komponentides: v = vx i + v y j + v z k Teiselt poolt saame kasutada teadmist, et kiirusvektor on nihkevektori ajaline tuletis: v= dr d = dt dt ( dx xi + y j + z k = i + dt dy dt
Et pöörleva keha punkti kiirus muudab pidevalt suunda, siis ka ta kiirendus erineb nullist. Kiirenduse arvutamiseks vaatleme ratast, mis pöörleb ühtlaselt vastupäeva nurkkiirusega = const . Valime paigaloleva koordinaatteljestiku selliselt, et ta alguspunkt asuks pöörlemisteljel ja z-telg oleks pöörlemistelje sihis. Siis ratta mingi punkti koordinaadid ( x, y , z ) kui tema kohavektori r vastavad komponendid avalduvad järgneva joonise põhjal: x = r cos , y = r sin , z = 0 , kus r kui kohavektori r moodul on selle punkti kaugus pöörlemisteljest. Et ühtlasel pöörlemisel valemit (2.4) arvestades saame =t , siis ratta punkti trajektoori võrrand esitub kujul x = r cos( t ) y = r sin( t ) . (2.11) z = 0
vy kiiruse y-telje suunaline komponent t väike ajavahemik p liikumishulga muut 3 F seinale mõjuva jõu suurus y kuubi külje pikkus Py rõhk kuubi ühele tahule P kogurõhk II v osakeste ruutkeskmine kiirus k Boltzmanni konstant T absoluutne temperatuur V koguruumala N osakeste arv koguruumalas Jõumoment ja pöörlemishulk jõumoment r uuritava punkti kohavektor F jõud nurk kohavektori ja jõuvektori vahel l jõu õlg r kohavektori pikkus F jõu suurus jõumomendi suurus O punkt, mille suhtes jõumoment arvutatakse F jõudude vektorsumma jõumomentide vektorsumma L pöörlemishulk v kiirusvektor m mass nurkkiirus I inertsimoment L pöörlemishulga suurus nurkkiirus vektorina Maa pöörlemise nurkkiirus (vektorina) R kaugus pöörlemisteljest Töö ja energia A töö F jõuvektor s nihkevektor
geomeetriline tähendus. Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid. Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid. Tasandi üldvõrrand. Sirge esitamine kahe tasandi lõikejoonena. Tasandi normaalvõrrand, punkti kaugus tasandist Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Sirge suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Punkti kauguse leidmine sirgest. Kahe kiivsirge vahelise kauguse ja nendele tõmmatud ühise ristsirge võrrandi leidmine. Teist järku joonte kanoonilised võrrandid Ellipsi, hüperbooli ja parabooli kanooniliste võrrandite tuletamine. Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused.
Kui keha asend valitud taustsüsteemis ei muutu, siis keha on selle taustsüsteemi suhtes paigal. -Pidevat joont, mille joonistab liikuv punkt antud taustsüsteemi suhtes nim punkti trajektooriks. -Kahe ajahetke vahet nim ajavahemikuks. -Punkti kiirendust iseloomustab punkti kiiruse muutmist aja hetkel. -Millega võrdub punkti kiirendus? Punktikiirendus antud hetkel võrdub kiirusvektori tuletisega aja järgi. -Millega võrdub punkti kiirus? Punkti kiirus antud hetkel võrdub selle punkti kohavektori tuletisega aja järgi. -Puutekiirendus iseloomustab kiiruse (mooduli v) muutumist. (Kiiruse mooduli v'ga samal sirgel!) -Normaalkiirendus iseloomustab kiirusvektori v suuna muutumist. (Kiiruse mooduli v'ga risti!) -Kui puutekiirendus on kiirusega samasuunaline, siis on punkti liikumine kiirenev, kui aga vastusuunaline, siis on liikumine aeglustuv. §7 -Ühtlaselt muutuvaks nim punkti sellist liikumist, mille puhul puutekiirenduse moodul on konstantne. (a(tau)=const)
o c) üksteisega risti. 2. Kuidas peavad olema vektorid suunatud, et nende o a) skalaarkorrutis oleks 0; risti o b) vektorkorrutis oleks 0? Samas suunas/ vastassuunas 3. Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on vektor, mis on tõmmatud koordinaadi alguspunktist etteantud punkti. Nihkevektor on vektor, mis on tõmmatud liikumise alguspunktist liikumise lõpp-punkti. Nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t 4. Mis on nihkevektor? Mis on trajektoor? Millal ühtib keha trajektoor nihkevektoriga? Nihkevektor on vektor, mis on tõmmatud liikumise alguspunktist liikumise lõpp-punkti. Trajektoor on tee, mida keha läbis liikudes alguspunktist lõpp-punkti. Kui liikumine on sirgjooneline ja ühes suunas. 5. Kuidas on omavahel seotud keha kohavektor, kiirus ja kiirendus? Keha kiirus on kohavektori tuletis aja järgi. Keha kiirendus on kiiruse tuletis aja järgi. 6
eespooltooduga. Samamoodi arvutame kiirendusvektori suvalisel ajahetkel ja saame a(t ) = -r 2 cos(t + 0 )i - r 2 sin (t + 0 )k (5) Ka kiirendusvektor muutub ajas. v2 Vektori pikkuseks saame a = 2 r ehk a = , mis näitab, et kiirenduse suurus on r konstantne. Kiirenduse suuna saame valemite (3) ja (5) võrdlusest. Valem (3) esitab kohavektori, mille suund on keskpunktist eemale. Valemi (5) mõlemad komponendid on võrreldes valemiga (3) vastasmärgilised. Järelikult on kiirendusvektor suunatud ringjoone keskpunkti poole. Nii kiirendusvektori suund kui suurus vihjavad asjaolule, et tegu on kiirenduse normaalkomponendiga, mis on ühtlasi kogu kiirenduseks, sest liikumine piki ringjoont on ühtlane. Ringliikumise puhul nimetatakse seda tsentripetaalkiirenduseks ehk kesktõmbekiirenduseks.
ringjoonel F Mida nimetatakse jõu õlaks punkti O suhtes üldjuhul ja millal on see null? Punktist O jõu mõjusirgele tõmmatud ristlõiku r nimetatakse jõu F õlaks. Null on see siis kui jõu F mõjusirge asub punktis O F Kuidas leida jõu momendi moodulit punkti O suhtes? Jõu momendi moodul on võrdne kohavektori mooduli absoluutväärtuse, jõu vektorimooduli absoluutväärtuse ja nende vektorite vahelise nurga siinuse korrutisega F Millistel juhtumitel on jõu moment punkti O suhtes võrdne nulliga? Jõu moment punkti O suhtes võrdub nulliga siis, kui 1) jõud võrdub nulliga 2) jõu õlg võrdub nulliga 3) sin=0. Defineerida jõu moment telje suhtes. Kirjutada ka valem.
MO r O F Nii näiteks mõjutab vaadeldaval joonisel jõud F pöörlemist päripäeva, mistõttu tema momendi vektor on suunatud joonise sisse. Määratleme jõu F rakenduspunkti kohavektori r punkti O suhtes. See on vektor, mis viib punktist O jõu rakenduspunkti. Siis võime vastavalt vektorkorrutise definitsioonile kirjutada jõumomendi definitsiooni järgmisel kujul. Jõu F momendiks punkti O suhtes nimetatakse punkti O jõu rakenduspunktiga ühendava vektori r ja jõu F vektorkorrutist: MO = r ×F . (6.5) Märkus
liikumised ühtlasteks ja muutuvateks. • Kiirus näitab, kui suure teepikkuse läbib keha ühe ajaühiku jooksul. • Kiirus on vektoriaalne suurus 24 Kiirus • Kiirus on nihkevektori tuletis aja järgi: 25 Hetkkiirus ja keskmine kiirus (1) • Hetkkiirus on kiirus konkreetsel ajahetkel. Siht ühtib eelmisel graafikul trajektoori puutuja sihiga konkreetsel ajahetkel. • Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus. • Teisiti r kohavektori öeldes dr tuletis aja v lim järgi:t 0 t dt 26 Hetkkiirus ja keskmine kiirus (2) • Keskmine kiirus on teatud ajavahemikul leitud keskmine kiirus ehk teepikkuse graafikul uuritavas ajavahemikus leitud tõus. • Koordinaadi muut jagatud selleks kulunud aja muuduga
2 1 r 2 r1 k r2 s y i j r=r1-r2 x s=s(t) 16. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal kiirusest aja järgi: 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Liikumisvõrrand kirjeldab keha koordinaadi muutust ajaühukus valemi näol(x=20+23t; x=t- 10t2) Liikumise sõltumatuse printsiip: igasuguse liikumise saab lahutada kolmeks osaks (x, y, z
Impulsi jäävuse seaduse (5.12) korral seda probleemi ei teki ja seda võib rakendada mistahes suletud süsteemi korral. MASSIKESKNE LIIKUMINE Keha masskeskmeks nimetatakse punkti, millele rakendatud resultantjõud ei muuda keha asendit. (Kui keha toetada tema masskeskmest, siis see keha jääb tasakaalu). Olgu meil n punktmassist koosnev süsteem. Tähistame i-nda punktmassi massi mi r ja tema kohavektori i . m2 m1 mn m3 ri mi Süsteemi masskeskme kohavektor arvutatakse valemist n n m r
Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja kaaskompleksid: 1 z1 = 3, z2 = −4i 2 u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i 3 w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu trigonomeetriline kuju −→ T¨ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨ umboliga r ning −→ olgu ϕ vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu trigonomeetriline kuju −→ T¨ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨ umboliga r ning −→
Mõõduks mass, my=Fiy Punktmassi liikumishulga momendiks punkti Mehaanilise en jäävuse s: Kin en ja pot en mõõdetakse kg. Mida suurem on mass seda mz=Fiz O suhtes nim liikumishulga ja selle summa on alati const(T+V=const) suurem on inertsus. Loomulikes koordinaatides: rakenduspunkti kohavektori vektorkorrutist. Mehaaniliseks en nim kin en ja pot en summat Punktmassiks nim materiaalset keha, mille m*s=Fit at (-raadius, Liikumishulga momentide summat Lo(m*v) (E=T+V=const) mõõtmeid selle keha liikumise uurimisel ei m*s²/=Fin an s-kiirus) nim kineetiliseks momendiks Lo. Punktmasside Punktmasside süsteemi liikumisel jääb tema arvestata. Üldjuhul kasutame raskuskeset
t s x 2 y 2 z 2 dt 0 Neid seob valem: Kirjutada punkti liikumise seadus trajektooril loomuliku koordinaadi kaudu. s f (t ) Kirjutada punkti liikumise seadus ristkoordinaatides. x f1 (t ) y f 2 (t ) z f 3 (t ) Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. ds v s dt Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Punkti kiirusvektori moodul on võrdne kaarepikkuse tuletisega aja järgi. Kiirusvektor on trajektoori sihis ja on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas. dr v r dt Defineerida täpselt punkti liikumise kiirus ja kiirendus. Kirjutada ka valemid.
3) mille suund määratakse kruvi reegliga. Kruvi reegel: Kui esimese teguri pööramine teise teguri peale mööda lühimat teed annab kruvi pöördliikumise suuna, siis kruvi kulgliikumise suund annab vektorkorrutise suuna. Kruvi reeglist järeldub vektorkorrutise antikommutatiivsus - tegurite järjekorra vahetamisel muutub vektorkorrutise märk vastupidiseks: × = - × 20. Keha kiirusvektori definitsioonvalem ja selle esitus projektsioonides. Keha kiirusvektor tema kohavektori tuletis aja järgi. = 21. Keha kiirendusvektori definitsioonvalem ja selle esitus projektsioonides. Keha kiirendusvektor tema kiirusvektori tuletis aja järgi. Ühtlase on see kohavektori teine tuletis aja järgi. = = projektsioonis = , = , = 22. Pöördenurga definitsioon ja ühik, joonis. Nurgaühikute vaheline seos. Pöördenurk keha mingi punkti poolt pöörlemisel läbitud teepikkuse jagatis selle punkti kaugusega pöörlemisteljest.
siis sellist liikumist nimetatakse kulgliikumiseks. Ka kulgliikumise puhul võib keha liikumist vaadelda materiaalse punkti liikumisena, sest liikumise iseloom ei olene sellest, keha millise osa liikumist vaadeldakse. Matemaatiline kirjeldus Liikumist on hõlbus määratleda funktsiooni abil, mis kirjeldab keha asukoha sõltuvust ajast. Selleks vaadeldakse koordinaatide alguspunktist keha asukohta viiva kohavektori sõltuvust ajas. Seda sõltuvust võib ka kirjeldada kolme erineva funktsiooni abil, mis näitavad keha asukoha kolme koordinaadi x = x(t), y = y(t), z = z(t) sõltuvust ajast. Selle vektorfunktsiooni (või selle mõne ristprojektsiooni) esimene tuletis aja järgi on hetkkiirus, teine tuletis aja järgi on hetkkiirendus. Kui kiirusvektor ei muutu, siis on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirendus on null. Kui
· Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on tõmmatud koordinaatide alguspunktist antud punkti. Nihkevektor on liikumise alguspunktist lõpp-punkti tõmmatud vektor. (nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t) · Näidata, et konstantse kiirendusega liikudes avaldub kiirus ajahetkel t järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. v= = a*t + c (integreerimiskonstant, antud juhul v0) = a*t + v0 · Milline liikumine on vaba langemine, kas konstantse kiirusega, konstantse kiirendusega või lihtsalt kiirendusega liikumine? (Põhjendada) Konstantse kiirendusega, sest a=g=9,8 m/s2 · Kuidas on seotud nurkkiirus ja pöördenurk
Ühikvektori konstrueerimist on vaja, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi: Üldjuhul teepikkus arvutatakse, kui integraal. 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. See ongi liikumise sõltumattuse printsiip. 18
Sellisel teel leitud summat nimetataksegi integraaliks (ld. integer, tervik). f Taustkeha ja kohavektor- Taustkeha on keha, mille suhtes vaadeldakse teiste kehade liikumist (täpsemalt, suhtelist liikumist).Taustkehaga seotakse sobiv koordinaadistik ja kell, mis koos moodustavad taustsüsteemi. Mingi keha asukoht taustkeha suhtes määratakse koordinaatidega vastavas koordinaadistikus. Kohavektor on selline vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Seetõttu on kohavektori koordinaadid võrdsed vektori lõpp- punkti koordinaatidega. r Ristkoordinaadid (ortonormaalne reeper) Koordinaadid. Termin kolmemõõtmeline väljendab vektori kirjapanekuks vajalike sõltumatute muutujate - koordinaatide - hulka. Igapäevakogemus kinnitab. et keha asukoha määramiseks piisab kolmest arvust (tinglikult pikkus, laius ja kõrgus). Nende kolme arvu saamiseks tuleb konstrueerida koordinaatsüsteem - reeglistik nimetatud arvude leidmiseks.
2 Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele ehitatud projektsioonide algebralise summaga. · Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse vektorit, mis on rakendatud sellesse punkti ja on võrdne sellest punktist jõuvektori rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõuvektori korrutisega. Mo=F*l · Panna kirja vektorvalem jõu F momendi kohta punkti O suhtes, ja kirjeldada selle alusel, kuhu täpselt on suunatud jõu F moment punkti O suhtes. Mo= F *r Jõu F moment on suunatud ümber punkti O kaugusel r asuval ringjoonel. · Mida nimetatakse jõu F õlaks punkti O suhtes üldjuhul ja millal on see null?
Joonis ja kaks näidet kursusest. c a b sin a b c 15) Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage taustsüsteem, kohavektorid ja nihkevektor koos tähistustega. Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16) Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutjasuunaline antud trajektoori punktis. Δr dr v lim Δt0 Δt dt Keskmine kiirus nihke järgi r v t Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal. ds v ,..........ds v dt ,....s v dt dt 17) Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip?
Taustsüsteemiks nimetatakse tingimisi liikumatuid kehi, mille suhtes trajektoor on otsustatud määrata keha asendit ruumis. Nihkevektor 16. Mis on hetkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutada teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi. Igas trajektoori punktis on see trajektoori puutuja suunaline: Keskmine kiirus avaldub: nihke järgi: ; trajektoori järgi: Teepikkus arvutatakse üldjuhul integraalina:
objekti antud hetkel vajalikke omadusi tõsiteaduslikult. (Absoluutselt elastne keha, absoluutselt mitteelastne selgitamiseks. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada Koos annavad need kohavektori muutumisvõrrandi ehk liikumisvõrrandi, mis on kinemaatika põhivõrrand. keha, absoluutselt jäik keha, ainepunkt, ainepunktide süsteem jne). hetkel vajaliku suunaga vektorit. | | 18
1. Punktmass:Teatud tingimustel võib jätta keha mõõtmed arvestamata ja vaadelda keha punktmassina. Taustsüsteem:Selleks, et uurida antud keha liikumist teiste kehade suhtes, tuleb kasutusele võtta taustsüsteem. Taustsüsteemi moodustavad taustkeha ja temaga seotud koordinaatteljed. Nihkevektor: kohavektori juurdekasv vaadeldava aja jooksul, kohavektor määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistukus. 2. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nim liikumist, kus keha kiirus muutub mis tahes võrdsetes ajavahemikes sama palju. 3. Kiirendus on füüsikaline suurus, mis iseloomustab keha kiiruse muutumist ajas. 4
Nihe on vektor, mis ühendab G G G punktmassi kahte asukohta suunaga ajaliselt hilisemasse asukohta r = r (t ) - r (t + t ) . G G Kiirus v ja kiirendus a on punktmassi (punkti) liikumist iseloomustavd füüsikalised G G dr suurused. Kiirus on punkti kohavektori tuletis aja järgi v = . Kiiruse projektsioonid dt dx dy dz ja moodul v = vx + v y + vz . 2 2 2 avalduvad valemitega v x = , vy = , vz = dt dt dt
) Punktmass - idealiseeritud objekt, mille puhul keha mass loetakse koondatuks ühte ruumipunkti. Keha võib vaadelda punktmassina, kui selle mõõtmed on antud ülesande kontekstis tühiselt väikesed. Punktmassi kinemaatiline võrrand ⃗r =⃗r (t) . Taustsüsteem- kehade süsteem, mille suhtes kehade kinemaatikat vaadeldakse. keha asukoht- Keha asukoha määramiseks on vajalik taustsüsteem (taustkeha ja koordinaatteljed ) nihkevektor- ∆ r⃗ , kohavektori juurdekasv vaadeldava aja jooksul, kohavektor ( ⃗r ) määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistukus. 2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus. Kui ⃗r =⃗r (t) on punktmassi liikumise kinemaatiline võrrand, siis t
võetud projektsioonide algebralise summaga. 39.Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, milest kahe mõjusirged lõikuvad, siis need jõud on ühes tasapinnas ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40.Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M o (F ) = r × F 41. Mida nimetatakse jõu F õlaks punkti O suhtes? Jõu F õlaks punkti O suhtes nimetatakse punktist jõu mõjusirgele tõmmatud ristlõiku. 42. Mida nimetatakse jõu F õlaks punkti O suhtes üldjuhul ja millal on see null? Jõu F õlaks punkti O suhtes nimetatakse punktist jõu mõjusirgele tõmmatud ristlõiku. See on null, kui jõu mõjusirge läbib punkti.
REFERAAT Heisenberg Kool Klass Nimi Aasta Sisukord Sissejuhatus.................................................................................................................................3 Kvantmehhaanika algus.............................................................................................................. 4 Algusaastad................................................................................................................................. 5 Vanematest..................................................................................................................................5 Haridustee................................................................................................................................... 5 Abielu...............................................................................................................................
funktsiooni x=f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y=f(x) DEF 14. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) (xX) on esitatud võtrrandi F(x;y)=0 abil ilmutamata kujul , kui iga x korral X kehtib F(x; f(x))=0 DEF 15. Funktsionaalse sõltuvuse y=f(x) (xX) esitust kujul x=(t) ja y=(t) (tT), kus (T)=X ja iga t korral T kehtib (t)=f((t)) nim. funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning kõneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim
t. kehad purunevad omavaheliste põrgete käigus osadeks või liituvad. Sellepärast pole viimases valemis kehade arv enne vastasmõju n ja pärast vastasmõju m omavahel võrdsed. 5.1b Masskeskme liikumise teoreem Keha masskeskmeks nimetatakse punkti, millele rakendatud resultantjõud ei muuda keha asendit. (Kui keha toetada tema masskeskmest, siis see keha jääb tasakaalu). Olgu meil n punktmassist koosnev süsteem. Tähistame i-nda punktmassi massi mi ja tema kohavektori ri . 2 m2 m1 mn m3
r1 k r2 s y i j r=r1-r2 x 1 2 s=s(t) 7. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust ühtlaselt kiireneval liikumisel? Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal kiirusest aja järgi: 8. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. ds dv v= a= dt dt 9. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 10
Seega saab püstitada x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 hüpoteesi, et R 1 ; , kui kolmnurga tippude koordinaadid on ( x1 ; y1 ) , 3 3 (x2 ; y 2 ) ja ( x3 ; y 3 ) . Nüüd tuleb see vaid üldkujus ära näidata. Soovitan proovida. Järgmisel sügisel mäletatakse hästi, et terve tahvel sai tõestust täis. Kasutades joonist 2 tahan veelkord juhtida tähelepanu kohavektori mõistele. Kui rakendada vektor AR = (- 3;-5) punkti A(4;5), siis punkti R koordinaatide saamiseks ei saa öelda, et liidan punkti A koordinaatidele vektori AR koordinaadid; õige oleks, et punkti A kohavektorile OA liidan vektori AR ja saan punkti R kohavektori OR = (1;0) , millest järeldan, et R(1;0). r r r r Vektorite skalaarkorrutise a b = a b cos definitsiooni võib küll pähe õppida ja
15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage taustsüsteem, kohavektorid ja nihkevektor koos tähistustega. Targalt valitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja aja mõõtmise viis (Taustsüsteem on mingi kehaga (taustkehaga) seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem.) 16. Mis on hetkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt?Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi , mooduli puhul Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal: 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Liikumisvõrrand kirjeldab keha koordinaadi muutust ajaühikus valemi näol (x=20+23t; x=t-10t2)
projektsioonide algebralise summaga. 39. Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme mitteparalleelse jõu mõjul, mis asetsevad ühes tasapinnas, siis nende jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40. Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõumomendiks punkti suhtes nim sellesse punkti rakendatud vektorit, mis on võrdne sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. Mo= ± Fh 41. Mida nimetatakse jõu F õlaks punkti O suhtes ja millal on see 0? Punktist O jõu mõjusirgele tõmmatud ristlõiku h nim jõu F õlaks punkti O suhtes. Jõu õlg on 0 siis, kui jõu mõjusirge läbib punkti O. 42. Kirjeldada kuhu on täpselt suunatud jõu F moment punkti O suhtes. Teha ka joonis.
projektsioonide algebralise summaga. 39. Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme mitteparalleelse jõu mõjul, mis asetsevad ühes tasapinnas, siis nende jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40. Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõumomendiks punkti suhtes nim sellesse punkti rakendatud vektorit, mis on võrdne sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. Mo= ± Fh 41. Mida nimetatakse jõu F õlaks punkti O suhtes ja millal on see 0? Punktist O jõu mõjusirgele tõmmatud ristlõiku h nim jõu F õlaks punkti O suhtes. Jõu õlg on 0 siis, kui jõu mõjusirge läbib punkti O. 42. Kirjeldada kuhu on täpselt suunatud jõu F moment punkti O suhtes. Teha ka joonis.
Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast. Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks. Kohavektori koordinaadid on samad, mis vektori lõpp koordinaadid. Sellist vektorit, mille pikkus on 0 ühikut, nim nullvektoriks. Sellist vektorit, mis on 1 ühik pikk nim ühikvektoriks.
f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim x 0 x Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df Liitfunktsiooniks nim funktsiooni z=g(f(x)) Monotoonne funktsioon on kogu oma määramispiirkonnas kas mittekahanev(monotoonselt kasvav) või-mittekasvav Polaarraadius-punkti x,y kohavektori pikkus, punkt mis moodustatakse x-teljega positiivses suunas-polaarnurk
koosinuse korrutisega, pra a cos . Olgu meil antud koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis. Punkti P kohavektoriks nimetatakse vektorit r , mille projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad punkti P koordinaatidega. Definitsioon. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedele. Võtame kohavektori r x, y, z . Vektori r 0 P 0 Px Px Pxy Pxy P komponendid ruumilise teljestiku telgede sihtidest. Toome sisse koordinaattelgede suunalised ühikvektorid: i 1,0,0 , i 1, j 0,1,0 , j 1, k 0,0,1 , k 1, 0 Px xi ,
Füüikalised suurused ja nende etalonid: Klassikaline mehaanika 2) Kulgliikumise kinemaatika põhimõisteid o Ainepunkt (punktmass)keha,mille kuju ja mõõtmetega või antud ülesandes arvestamata jätta o Taustsüsteem (+ joonis) on kehade süsteem,mille suhtes antud liikumist vaadeldakse o Kohavektor (+ joonis)kohavektor määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistikus o Nihkevektor (+ joonis) kohavektori juurdekasv vaadeldava ajavahemiku jooksul o Liikumisseadus (+ valem)Kui punkt liigub ruumis,siis tema koordinaadid muutuvad ajas o Kiirus ja kiirendus(+ valemid)kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus, Kiirendus on füüsikaline suurus, mis näitab, kui kiiresti keha kiirus muutub. Kui keha kiirus temale mõjuva
Sissejuhatus Füüsika uurib loodust ja sealhulgas ka liikumist. Füüsika see haru, mis uurib liikumist ja selle muutumise põhjusi, kannab nime mehaanika. Mehaanika tekkis antiikajal, mil hakati rasket käsitsitööd kergemaks muutvaid masinaid ehitama. Et masinaid täiustada, tuli lähemalt tundma õppida eelkõige neid nähtusi, mis masinates aset leidsid. Tuli uurida liikumist ning liikumist mõjutavaid tegureid. Sõna ,,mehaanika" ongi tulnud kreeka keelest (? -- masinatesse puutuv). Tänapäeval ei piirdu mehaanika ainult masinate ehitamisega, vaid uurib liikumist üldisemalt. Mehaanikat saab jaotada kolmeks haruks: Kinemaatika, dünaamika, staatika Alljärgnev referaat räägibki kinemaatika osast üldisemalt. Kinemaatika mõiste Kinemaatika (kreeka keelest kinma - liigutus, liikumine) on mehaanika osa, mis tegeleb keha või masspunkti liikumise matemaatilise kirjeldamisega. Kinemaatikaks nimetatakse teoreetilise mehaanika osa, milles uuritakse mate...
mingis ajaühikus. Kiiruse suurus on teepikkuse tuletis aja järgi. 26. Mis on punkti liikumise keskmine kiirus? s vk = tl - t a 27. Kuhu on suunatud kiirus kõverjoonelisel liikumisel? Joone puutujale liikumise suunas 28. Mis on punkti liikumise kiirendus? Punkti liikumise kiirendus on füüsikaline suurus, mis näitab ühtlasel muutuval liikumisel, kui palju muutub punkti kiirus ajaühikus. a = (v-v0)/t Kiirendus on kohavektori teine tuletis aja järgi. 29. Mis on kiirenduse tangentsiaalkomponent? Kiirenduse tangentsiaalkomponent on suunatud piki trajektoori puutujat ja ta näitab, kuidas muutub punkti liikumise kiiruse suurus; tema arvutamiseks tuleb kiiruse suurus diferentseerida aja järgi 30. Mis on kiirenduse normaalkomponent? Kiirenduse normaalkomponent on risti trajektooriga ja suunatud kõveruskeskpunkti; ta
Ühtlaseks nimetatakse keha niisugust liikumist, mille korral keha läbib mööda sirgjoont mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesugused teepikkused. Ü-s kiirus on konstantne ning avaldub nihke ja nihke läbimiseks kulunud ajavahemiku suhtega. Mitteühtlaseks nimetatakse keha niisugust liikumist, mille korral keha läbib mistahes võrdsete ajavahemike jooksul erinevad teepikkused Peab eristama hetkkiirust ja keskmist kiirust. Hetkkiirus on keha kohavektori tuletis aja järgi. Keskmine kiiruse saame kogu nihke jagamisel kogu ajaga. 4. Ühtlaselt muutuv sirgliikumine, kiirendus nimetatud liikumisel. Ühtlaselt muutuv sirgliikumine- konstantse kiirendusega s-liikumine (ühtlaselt aeglustuv või ühtlaselt kiirenv). Kiirendus võrdub kiiruse muudu ja selleks kulunud ajavahemiku suhtega. 5. Pöördenurk ühtlasel ringliikumisel. Pöördnurk on vektorsuurus, mille moodul on võrdne raadiusvektori poolt ∆t jooksul läbitud
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
