· A1 = A A0 = E · Au + Am = Au+m · (A-1)T = (AT)-1 · (Ap)T = (AT)p · (Ap)-1 = (A-1)p · (A B)-1 = B-1 A-1 · p = T = · (Au)m = Aum · (a A)T = a AT · E1 = E-1 = ET = Eu = E · (A +/- B)T = AT +/- BT · (A B)T = BT = AT 15. Nullmaatriksist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks nimetatakse teguriteks. AB A B = B A= Maatriksi polünoom ja selle nullkoht. N inda astme Pn(x) nimetatakse avaldist Pn(x) = 0 + 1x + 2x2 + 3x3 + ...+ nxn Reaalarvu x0, mille korral on rahuldatud tingimus Pn(X) = 0 nimetatakse polünoomi nullkohaks. N inda astme maatriks polünoom Pn(A) = 0 E + 1 A+ 2 A2 + 3 A3 + ...+ n An Ruutmaatriksi A0, mille korral on täidetud tingimus Pn(A0) = Lineaarsed võrrandi süsteemid Def : (m×n) järku lineaarseks võrrandi süsteemiks nimetatakse m- võrrandist ja n- tundmatust moodustatud hulka järgmisel kujul.
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
1. Millist funktsiooni nimetatakse lineaarfunktsiooniks ja mis on selle graafikuks? Lineaarfunktsioon on funktsioon y=ax+b, kus a ja b on mistahes reaalarvud. Selle graafikuks on sirgjoon 2. Mida nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks? Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse selliseid argumendiväärtuseid, mille korral on reaalne funktsiooni väärtus olemas 3. Millised võimalused on funktsiooni esitamiseks Valemina, tabelina, graafiliselt, järjestatud arvupaaridena, nool diagrammidega 4. Mida nimetatakse funktsiooni null kohaks ja mida negatiivsus piirkonnaks? Funktsiooni null koht on selline x väärtus kui graafik lõikab x telge. y = null. Negatiivsuspiirkonna moodustavad need argumendi väärtused, mille korral on funktsiooni väärtus negatiivne ehk y on väiksem 0 5. Millal on funktsioon kasvav? Kui suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus 6. Mis on funktsiooni ekstreemumkoht? Argumendi väärtust, mille korra...
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsioon Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgale X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y (Funktsioon on seos kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale väärtusele vastab üks kindel teise muutuja väärtus). Võrdelise seose valemiks on y = ax ja tunnuseks a = y/x. Graafikuks on sirgjoon, mis läbib punkte (0;0) ning (1;a). Pöördvõrdelise seose valemiks on y = a/x, kus x 0 ja tunnuseks a = xy. Graafikuks on hüperbool. Lineaarfunktsiooni valemiks on y = ax + b ning graafikuks sirgjoon, mis läbib punkte (0;b) ning (1;a+b). Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y ...
· Ruutfunktsioon y = ax² + bx + c Ruutfunktsioon y = x² Ruutliikme kordaja on 1 30 y Graafikut nimetatakse 25 PÕHIPARABOOLIKS 20 Graafik avaneb ÜLES 15 Graafik on sümmeetriline Y - TELJE SUHTES 10 Nullkoht on punktis ( 0 ; 0 ) 5 Haripunkt on punktis ( 0 ; 0 ) 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 Ruutfunktsioon y = ax² Ruutliikme kordaja on a 10 y Graafikut nimetatakse 8 PARABOOLIKS 6 Graafik avaneb ÜLES, kui a > 0
Elari Teras AR3 JUURFUNKTSIOONID Juurfunktsioonideks nimetatakse astmefunktsioonide (n > 1) pöördfunktsioone. Funktsioon (ruutjuur) on funktsiooni , x 0 pöördfunktsioon. Tema graafikuks on ruutparabooli üks haru, millele ytelg on puutujaks nullpunktis. Funktsiooni Omadused: Määramispiirkond Muutumispiirkond Nullkoht Funktsioon on kasvav kogu määramispiirkonnas Graafik on kumer kogu ulatuses Minimaalne väärtus y = 0 on kohal x = 0 Graafik läbib punkti (1;1) y= x; x 0 y =3 x
¨ integraal Ratsionaafunktsioonide integreerimine Horneri skeem Leiame polunoomi ¨ P6 (x) = x 6 - x 5 - 2x 4 - x 2 + x + 2 va¨ artuse ¨ kohal 1 kasutades Horneri skeemi. (kui x astmete kordajate summa on 0, siis sobib nullkohaks 1) 1 -1 -2 0 -1 1 2 1 Seega x = 1 on P6 (x) nullkoht ja me saame esituse P6 (x) = (x - 1)(x 5 - 2x 3 - 2x 2 - 3x - 2) ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 25 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Ratsionaafunktsioonide integreerimine Horneri skeem Leiame polunoomi ¨ P6 (x) = x 6 - x 5 - 2x 4 - x 2 + x + 2 va¨ artuse
Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x R x1, 2 Graafik asub x- teljest allpool (nullkoht!) – funktsiooni väärtused ei ole positiivsed > x Ø Graafik asub x- teljest ülevalpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg positiivsed > xR Graafik asub x- teljest allpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg negatiivsed > x Ø Kokkuvõte: Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) skitseerin parabooli a)määran, kas parabool avaneb alla või üles
-f(x) = f(-x) Võrdeline sõltuvus (sirge) X määramis piirkond y=ax X0 nullkoht X+ positiivsuspiirkond Funktsi X- negatiivsuspiirkond Pöördvõrdeline sõltuvus (hüperbool) Y muutumispiirkond y=a /x
Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)= Ortogonaalmaatriks: ruutmaatriks, mille korrutis oma transponeeritud maatriksiga võrdub ühikmaatriksiga E.
24. Pöördmaatriks A^-1 Ruutmaatriksi A pöördmaatriks mis rahuldab tingimust A*A^-1 = A^-1*A = E. 25. Vastandmaatriks -A Sama järku maatriks, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. 26. Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid ij, milles i-nda rea ja j-nda veeru ühine element on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga. 27. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. 28. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)=. 29. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks.
x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0 m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend. Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii: Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n
Näide 2 -1 0 2 x Positiivsuspiirkonna moodustavad need x väärtused, mille korral funktsiooni graafiku skits asub ülalpool x- telge. Antud juhul on positiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (1;0) (2; ) Näide 3 Näide Lahendame võrratuse x2(x + 2)(x - 1)3 < 0. Lahendus Vastava funktsiooni y = x2 (x + 2)(x - 1)3 nullkohad on x = 0, x = -2, x = 1. Nullkoht x = 0 on paarisjärku, mistõttu abijoon sellel kohal puudutab x- telge. Nullkohad x = -2 ja x = 1 on aga paaritut järku, mistõttu abijoon läbib neid kohti x - telge lõigates. -2 0 1 x Näide 3 Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = x2 (x + 2)(x - 1)3 negatiivsuspiirkonna leidmist. -2 0 1 x Antud juhul on negatiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk
tulpade nimesid! Koostada VBA funktsioon, mis võimaldab leida nullkohti etteant täpsusega , poolitusmeetodiga. 1) Kasutada seda funktsiooni nullkohtade täpsustamiseks, võtt graafikult lõigu otsapunktid, mille vahel on nullkoht, 2) Koostada tulpa Nullid Exceli If-funktsioon, mis võimaldab automaatset täpsustada nullkohti, arvestas märgi vahetust fun naaberväärtustel. F(x) F(c1) b1 ) c2 b0 a0 c1 c3
Kontrollime kumb punkt on maksimum. Selleks leiame teise tuletse (Q) = -6Q + 82 väärtused punktides Q1 ja Q2 . Saame vastavalt (24) = -62, (3 13 ) = 62. Kuna Q1 annab negatiivse teise tuletise, siis on see ka funktsiooni maksimumpunktiks. Seega võime öelda, et suurim tulu on garanteeritud kaubakoguse 24 korral. 2 Tulufunktsiooni maksimumiks on tulufunktsiooni tuletise nullkoht. 600 - 2Q = 0 Q = 300 Seega on suurim tulu garanteeritud kaubakoguse 300 korral. 8. Raadioid valmistav tehas müüb neid hinnaga 950 kr tükk. Kogukulufunktsioon on C(Q) = 0, 5Q2 - 10Q + 60000, kus Q on valmistatud ja müüdud raadiote hulk. Leida ka- sumifunktsioon. Milliste Q väärtuste korral on tehasel üldse mõtet raadioid toota? Milline tootmisplaan tagab suurima kasumi? Lahendus: Tulufunktsioon avaldub kujul R = 950Q
48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61
nimesid! x_0 #NAME? Koostada VBA funktsioon, mis võimaldab leida nullkohti e poolitusmeetodiga. y_1 1) Kasutada seda funktsiooni nullkohtade täpsustamiseks otsapunktid, mille vahel on nullkoht, 2) Koostada tulpa Nullid Exceli Iffunktsioon, mis võimald täpsustada nullkohti, arvestas märgi vahetust funktsiooni 100 150 200 250 300 350 400 450 F(x) F(c1) b1 (a0) c2 b0 a0 c1 c3
1 1 S ( x) = 8 6 - 2 x(6 - x) - 2 x(8 - x) = 48 - 14 x + 2 x , 2 2 2 mida oligi tarvis tõestada. Lahendus (III) Pindalafunktsiooni miinimumkoha määramiseks märgime, et funktsiooniks on ülespoole avanev ruutparabool, mille miinimumkoha leidmiseks tuleb funktsiooni diferentseerida ja leida seepeale tuletisfunktsiooni nullkoht: S ' ( x) = -14 + 4 x = 0, millest 7 4 x = 14 x = = 3,5. 2 Uurimaks, kas leitud kriitilises punktis on miinimum, leiame ka funktsiooni S(x)teist järku tuletise: S ' ' ( x ) = (-14 + 4 x)' = 4. Teist järku tuletis osutus kriitilises punktis positiivseks ja seega on tõesti funktsioonil S(x) sellel kohal miinimumkoht.
Mis on joone käänupunkt? Kui ühel pool punkti (a, f(a)) joon on kumer ning teisel pool nõgus, siis punkti (a, f(a)) nimetatakse joone y=f(x) käänupunktiks 18. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Tuleb leida funktsiooni teise tuletise nullkohad ja võrrelda teoreemiga, kus f''(x)>0 siis on nõgusus piirkond ja f''(x)<0, siis kumerus piirkond. Ühe vahetumine teisega on funktsiooni käänupunkt (teise tuletis nullkoht asendada esialgsesse funktsiooni) 19. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot? Asümptoot on sirge, millele funktsiooni graafik lõpmatult läheneb, kuid ei lõiku. Püstasümptoot x=a ehk vertikaalasümptoot, on risti x-teljega Joone y = f(x ) kaldasümptootideks on sirged y = kx+b. Asjaolu, et sirge y = kx+b on joone y = f(x) kaldasümptoodiks, tähendab seda, et protsessis
-2 -3 -4 -5 -6 F(x) F(c1) b1 ) c2 b0 a0 c1 c3 oolitamine lõpetakse, F(b0) i a1 a2 bi ai med meetrid: b0 - nullkohta sisaldava lõigu unktid - täpsus, millega leitakse nullkoht ujad - lõigu muutuvad otsapunktid õigu jooksev keskpunkt funktsiooni väärtus esialgses vasakus otsapunktis - a0. funktsiooni väärtus lõigu jooksvas keskpunktis - c. - lõigu muutuvad otsapunktid õigu jooksev keskpunkt funktsiooni väärtus esialgses vasakus otsapunktis - a0. funktsiooni väärtus lõigu jooksvas keskpunktis - c. mis võimaldab teha antud ühemuutuja ntaval lõigul [algus; lõpp] sammuga (lõpp- funktsioon F(x), mis võimaldab leida argumendi x jaoks.
Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest. Lõigus pideval funktsioonil on olemas maksimaalne ja minimaalne väärtus selles lõigus. Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel. Teoreem. Kui lõigus [a;b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides a ja b on vastupidiste märkidega, siis lõigus [a;b] leidub vähemalt üks funktsiooni f nullkoht, s.o. niisugune koht c, kus f (c) = 0. 31
Matemaatika ,,Funktsioon" test Võrdeline seos muutujad x ja y on seotud valemiga y=ax, kus (a0) Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib 0-punkti. a>0 I & III a<0 II & IV Suurust y nimetatakse sõltuvaks suurusest x, kui erinevatele x väärtustele vastavad kindlad y väärtused. · X-sõltumata muutuja · Y-sõltuv muutuja Funktsioon vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni posit...
Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... ( ). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige, ruutliige ja vabaliige. Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324.
kordaja a. Selle leidmiseks valime jooniselt veel ühe punkti, näiteks (0;2). Asendame selle võrrandisse 2 = a(0 + 1)(0 - 2) ja saame, et a = -1 ning valemi paraboolile y = -1( x + 1)( x - 2 ) = - x 2 + x + 2 . Joonis 11 Kindlasti on tarvis lahendada tekstist arusaamise oskusele suunatud ülesandeid. Näiteks: leidke ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c kordajad, kui x = 6 on ruutfunktsiooni nullkoht ja vähim väärtus -8 on kohal x = 4. Kas õpilased saavad aru: · et miinimumpunkti koordinaadid on (4;-8); · seega parabool avaneb ülespoole; · kui üks nullkohtadest on kohal 6, siis teine on kohal 2 (sest parabooli telg on x = 4). Nüüd on olemas vajalik info kordajate leidmiseks. Iga võtte omandamiseks tuleb lahendada teatud arv ülesandeid, kuid neid tulebki erinevalt esitada sõnastada. Ringjoonega on tegeldud põhikoolis planimeetria ülesandeid lahendades
Üldkuju on Lahendamiseks lahendame ruutvõrrandi, skitseerime graafiku ja leiame graafikult, kus on funktsiooni väärtused pos ja neg 4.5 Intervallmeetod Võrratuse a(x-a1)(x-a2)...(x-an)>0 (kus a>0) lahendamiseks kanname kõigepealt vastava funktsiooni nullkohad arvteljele. Niimoodi jaguneb arvtelg lõplikuks arvuks intervallideks, millest igaühes funktsioon säilitab oma märgi + või -. Tõmbame läbi nullkohtade abijoone, alustades paremalt ülalt. Seejuures abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise korsusega ning puudutab x-telge, kui on paarisarvulise kordsusega. Saadud jooniselt leiame võrratuse lahendid. 4.6 Murdvõrratused Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. 4.7 Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid Võrrand, kus tundmatut sisaldav avaldis on absoluutväärtuste märkide vahel. Nende lahendamisel tugineme arvu absoluutväärtuse definitsioonile 4.8 Absoluutväärtust sisaldavad võrratused
0 Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus. *Weierstrassi teoreem ektremaalsetest väärtustest: Lõigus pideval funktsioonil on olemas maksimaalne ja minimaalne väärtus selles lõigus. *Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast: kui lõigus [a;b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides a ja b on vastupidiste märkidega, siis lõigus [a;b] leidub vähemalt üks funktsiooni f nullkoht, s.o. niisugune koht c, kus f (c) = 0. 16 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. 0 *Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f'(x) kohal x nimetatakse piirväärtust: Kui see piirväärtus eksisteerib.
Näide 1: (x + 3)(x + 1)x(x - 2)(x 4) 0 (leiame vastava funktsiooni nullkohad) -3 -1 0 2 4 Kanname nullkohad arvteljele: Vastus: x3 v -1x0 v 2x4 Näide 2: 20 (x + 5)(x + 4)²(x 1)³(x 2)(x 3)² 0 -5 -4 1 2 3 Vastus: -5x1 v x2 Abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise kordusega ning puudutab x-telge, kui on paarisarvulise kordusega. Murdvõrratus Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. Lahendamiseks üritame jätta võrratuse ühele poole nulli ja teisele poole ühe murru. Siit tulenevalt saab murdvõrratust lahendada järgnevalt: a) Murru väärtus on positiivne, kui lugeja ja nimetaja on ühemärgilised: 2
Leiame funktsiooni väärtused lõigu otspunktides: f(-1) = - 6, f (4) = 14. Järjestame funktsiooni leitud väärtused: f (-1) < f (0) < f (4) . Seega lõigul [-1; 4] on funktsiooni suurim väärtus 14. Kommentaarid Diferentseeruva funktsiooni ekstreemumpunktide liigi võib määrata kas funktsiooni teist järku tuletise abil või uurides funktsiooni esimest järku tuletise märgi muutumist tuletise nullkohtade ümbruses. Olgu funktsiooni y f (x) tuletise nullkoht x0 . a) Ekstreemumpunkti liigi määramine teist järku tuletise abil: kui f " ( x0 ) < 0 , siis kohal x0 on funktsioonil maksimum, kui f " ( x0 ) > 0 , siis kohal x0 on funktsioonil miinimum. I y " = 6x 10 1 1 f " (3) = 8 > 0 x min = 3, f" =-8<0 x max = 3 3
2. Funktsiooni muutumispiirkond Vt lõppu. 3. Funktsiooni nullkohad. Lahendame võrrandi x3 – 4x2 = 0, x2(x – 4) = 0, millest x1 = x2 = 0, x3 = 4. Nullkohtade hulk on X0 = {0; 4}. 4. Funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. Skitseerime funktsiooni ligikaudse graafiku. – – – – – – – – – – – – – ++ Joone skitseerimisel arvestame sellega, et 0 on 0 4 kahekordne nullkoht, seega pöördub joon seal tagasi. X+ = ]4; [, X– = ]– ; 0[]0; 4[ 5. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Leiame f (x). f (x) = 3x2 – 8x Kasvamisvahemikes f (x) > 0 ning kahanemisvahemikes f (x) < 0. Skitseerime tuletis- funktsiooni ligikaudse graafiku ja leiame sealt vastavad vahemikud. ↑ ↑ 8 Tuletise graafik läbib x-telge punktides 0 ja 3 (need on
valgussignaali koostisosad natukene on ehituselt erineva lainepikkusega ning kulgevad erniveta kiirustega kius. Disperisiooni ühik on pS (nm*km) ja tema väärtus võib olla negatiivne või positiivne. Negatiivne disperisioon tähendab,et pikemad lainepikkused kulgevad kiiremini kui lühikesed ja positiivne disperisiooni puhul vastupidiselt. Mida väiksem on saadetava valguse spekter,seda vähem kromaatiline disperisoioon mõjub. Ühe laine kiu/SM) disperisiooni nullkoht on 1310 nm piirkonnas 1550 nm piirkonnas disperisioon on 18-20 pS(nm*km). Murdumispiirkonna profiili muutumisega saab disperisiooni miinimumkohta nihutada 1550nm piirkonda,kus on kvartsklaasi sumbuvuse miinimum. Sellised kiud on ITU-TG 655. Soovituse kohaselt kiud (madala disperisiooniga 1550nm-l) ja tavaline disperisioonikihiga kiud (DS). Kromaatiline disperisioon on kiu kui materjali omadus, ega selle väärtus muutu oluliselt installatsiooniprotsessi ega kasutuse ajal.
onade "iga" v~oi "suvaline" ehk "mis tahes" asemel. N¨aiteks v¨aites x > 1 x2 > x, st iga u¨hest suurema arvu x korral on x2 suurem kui x, r~ohutatakse, et see j¨areldus kehtib iga x > 1 korral. S¨umbolit kasutatakse s~ ona "eksisteerib" v~oi s~onapaari "on olemas" asemel. N¨aiteks v¨aidet "kui f (x) = x3 +ax2 +bx+c on reaalsete kordajatega kolmandat j¨arku pol¨ unoom, siis tal leidub reaalne nullkoht x1 " saame esitada kujul a, b, c R f (x) = x3 + ax2 + bx + c x1 R : f (x1 ) = 0. ~ Oppevahendist [17] leiate t¨ aiendavat informatsiooni eeltoodud l¨uhikirjapiltide kasu- tamisv~ oimaluste kohta. S¨ umbolit kasutatakse t~ umbolit n¨aite¨ oestuse l~opu t¨ahisena ja s¨ ulesande lahen- duse l~opu t¨ ahisena
) µ a b x m Joonis 1.5: V¨aa¨rtus suurima ja v¨ahima vahel J¨areldus 11.3. Kui pidev funktsioon f (x) omab l~oigul [a; b] negatiivseid ja positiivseid v¨a¨artusi, siis on sellel funtksioonil v¨ahemalt u ¨ks nullkoht l~oigul [a; b]. T~oepoolest, kui funktsioonil on negatiivseid v¨a¨artusi l~oigul [a; b], siis m < 0 ja kui on positiivseid v¨a¨artusi, siis M > 0. J¨arelikult m < 0 < M ja omaduse 2 j¨argi v¨ahemalt u ¨ks selline [a; b], et f () = 0. N¨ aide 11.1. V~orrandil x3 - 3x2 + 2 = 0 ¨ks lahend, sest funktsioon f (x) = x3 - 3x2 + 2 on on l~oigul [0; 2] v¨ahemalt u
3 3 Seega 2x2 f (x) = . x3 - 8 3 Kasutades tuletise valemit leiame funktsiooni kriitilised punktid. Need on sel- lised punktid, kus tuletis v~ordub nulliga v~oi l~oplik tuletis puudub. Ilmselt on tuletis nullkoht x = 0. Peale selle, tuletis ei ole m¨a¨aratud punktides, kus tema nimetaja 3 x3 - 8 nulliks muutub. Seega lahendame v~orrandi x3 - 8 = 0 x3 - 8 x3 = 8 x = 2. 3 J¨ arelikult on antud funktsioonil kaks kriitilist punkti x1 = 0 ja x1 = 2. Punktis x1 on tuletis null ja punktis x2 l~oplik tuletis puudub. Kanname need kaks punkti teljele: yyy yyy U
3 3 Seega 2x2 f (x) = 3 . x3 - 8 Kasutades tuletise valemit leiame funktsiooni kriitilised punktid. Need on sel- lised punktid, kus tuletis v~ordub nulliga v~oi l~oplik tuletis puudub. Ilmselt on tuletis nullkoht x = 0. Peale selle, tuletis ei ole m¨a¨aratud punktides, kus tema nimetaja 3 x3 - 8 nulliks muutub. Seega lahendame v~orrandi x3 - 8 = 0 x3 - 8 x3 = 8 x = 2. 3 J¨arelikult on antud funktsioonil kaks kriitilist punkti x1 = 0 ja x1 = 2. Punktis x1 on tuletis null ja punktis x2 l~oplik tuletis puudub. Kanname need kaks punkti teljele: yyy yyy oU
annaabi.ee 
