..n ak Juur murrust võrdub murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. a na n =n b b , kui b0 Juurte omadused. Tehted juurtega Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. np a mp = a n m Võrdus kehtib tingimusel, kui a>0 Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. m n a = mn a Juurte omadused. Tehted juurtega Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. ( a) m m n = n am = a n a =a 2 Aritmeetiline keskmine a1 + a 2 + ..... + a n a= n Positiivsete arvude geomeetriline keskmine n a1 a 2 ..... a n Protsent Üks sajandik = 1 protsent 1%= 1
Astme a n ja astendaja n põhjal astme aluse leidmist nimetatakse juurimiseks. (Astendamise pöördtehe). n a — n-nda astme juur arvust a (või n-es juur arvust a). juurija n a juure märk juuritav Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on negatiivne. 4. Iga n N korral, kui n2 n 0 0 ja n 1 1. 5
arvu tüvi (1 a 10) ja teiseks teguriks on kümne aste. Astme a n ja astendaja n põhjal astme aluse leidmist nimetatakse juurimiseks. (Astendamise pöördtehe). n n a — n-nda astme juur arvust a (või n-es juur arvust a). juurija a juure märk juuritav Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on negatiivne. 4. Iga n N korral, kui n 2 n 0 0 ja n 1 1 . 5. Iga n N korral 2n a 2n a Tehted juurtega: 1
Juure mõiste. Astendamise pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a. Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga n a , mida nimetatakse n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks. juurija juuritav Näide Kuna 33 27, siis 3 27 3. Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse sümbolit a , mida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3, siis nimetatakse juurt kuupjuureks. Näide 25 5, kuna 52 25. Juure mõiste. Paarituarvulise juurija korral on juurimistehte tulemus määratud üheselt iga reaalarvu a korral.
Juure mõiste (I) Astendamise pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a. Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga n a , mida nimetatakse n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks. juurija juuritav Näide Kuna 33 27, siis 3 27 3. Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse sümbolit a , mida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3, siis nimetatakse juurt kuupjuureks. Näide 25 5, kuna 52 25. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juure mõiste (II)
Arvu a n-ndaks juureks nimetatakse arvu (tähistatakse a ), mille astendamisel arvuga n saadakse arv a: ( a) n n =a . Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n ( n 0 ) korral n 0 = 0 ja n 1 = 1 . 2n a 2n = a 5. . 2 n +1 2 n +1 6. a =a.
ax x bx=(ab) nt: 2 x 5 =0,01 (2x5)=1/100=10 10=10 x=-2 2) sulgude ette toomine x1+x2 x1-x2 ax1 x ax2=a ax1/ax2=a 1)Ühesuguste alustega astme korrutamisel/jagamisel tulevad astendajad liita/lahutada 2)Astme astendamisel korrutatakse astendajad 3)Astme juurimisel tuleb astme näitajad jagada juurijaga 4)Juure astendamisel tuleb astendada juuritav 5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad Arvu logaritm b Olgu avaldis a =c b 1) kui on antud a ja b, siis c=a b 2) kui on antud b ja c, siis a=c b 3) kui on antud a ja c, siis b=loga a-logaritmi alus b-logaritmitav c-arvu b logaritm alusel a
nimetatakse niisugust mittenegatiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga: siis, kui ba2 = = ab ja b 0 Näide: , sest 9 =3 =9 3 2 Murrulise astendajaga astme defineerime nii: m , kusa >= 0, an n m m Z, n Z, n 2 a (loeme: n-es juur arvust a astmes m) Juurimisel kasutame järgmisi nimitusi: on juur, n n a m on juurija ja a juuritav. Ruutjuure korral jäetakse juurija kirjutamata. Kui n = 3, siis nimertame juurt kuupjuureks. Kui n > 3, siis erinimetusi juurtele antud ei ole, loeme: neljas juur, viies juur jne. Pea meeles! 1. Igal positiivsel arvul on parajasti üks n-es juur 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurija korral juurt 3. Negatiivsel arvul on paaritu juurija korral parajasti üks negatiivne juur 4. iga n N korral, kui n 2 n 0 =0
Arvu a n-ndaks juureks nimetatakse arvu (tähistatakse n a ), mille astendamisel arvuga n saadakse arv a: ( a) n n =a. Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n ( n 0 ) korral n 0 = 0 ja n 1 = 1 . 5. 2n a2n = a . 6. 2 n +1 a 2 n +1 = a . Tehted juurtega n ab = n a n b , kui a 0, b 0 (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 )
3.2 Juured n Arvu a n-ndaks juureks nimetatakse arvu (tähistatakse a ), mille astendamisel arvuga n saadakse arv a: ( a) n n =a. Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n ( n ≠ 0 ) korral n 0 = 0 ja n 1 = 1 . 5. 2n a 2 n = a . Muuhulgas a2 = a . 2 n +1 6. a 2 n +1 = a . Tehted juurtega n
a ), mille astendamisel arvuga n saadakse arv a: a n n a. Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n n 0 korral n 0 0 ja n 1 1 . 5. 2n a2n a . 6. 2 n 1 a 2 n 1 a . Tehted juurtega n
-1 4 y=–3 -2 -3 © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 12 FUNKTSIOONI y = x2 – 4 TÄIELIK UURIMINE 1. Funktsiooni määramispiirkond. Et juuritav peab olema mittenegatiivne, siis lahendame ruutvõrratuse x2 – 4 0. Seega X = ]–; –2] [2; [. –2 2 2. Funktsiooni muutumispiirkond. Juure väärtused saavad olla vaid mittenegatiivsed. Kui x, siis y, seega Y = [0; [. Sama tulemuseni jõuaksime pöördfunktsiooni uurides. 3. Funktsiooni nullkohad. x2 – 4 = 0, x2 – 4 = 0, x1 = –2 ja x2 = 2. Seega X0 = {–2; 2}. 4
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestri...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
