Matemaatiline analüüs (8)

Mat. analüüsi eksami küs. vastused:
OSA 1
1. Millisel tingimusel nimetatakse sümbolit x muutujaks mingis hulgas X?
Kui sümbol x tähistab hulga X suvalist elementi, siis nimetatakse sümbolit x muutujaks hulgas X
2. Tooge hulkade kohta 2 näidet!
Reaalarvude -, kompleksarvude-, vektorite-, maatriksite -, kaubahalli kauba hulk.
3. Mis on operaator ? Tooge 2 näidet!
Eeskirja
, mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja
väärtust hulgas Y, nimetatakse operaatoriks.
Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega, tehted vektoritega, tehted maatriksitega, kaubahalli kassiiri tegevus kauba hinna määramisel jne.
4. Milline operaator on determineeritud? Tooge näide!
Determineeritud operaatoriks nimetatakse operaatorit , mis seab muutuja x väärtusele vastavusse ühe või mitu muutuja f(x) kindlat väärtust.
5. Mis on argument? Tooge 2 näidet!
Muutujat x nimetatakse operaatori
sõltumatuks muutujaks ehk funktsiooni f(x) argumendiks.
Näide 1: Operaator
defineerib eeskirja, mille kohaselt f-ni
saamiseks tuleb argumendi väärtus võtta ruutu , ehk
Näide 2: Operaator
defineerib eeskirja, mille kohaselt f-ni
saamiseks tuleb argumendi väärtusest võtta ruutjuur , ehk
6. Mis on funktsioon? Tooge 2 näidet!
Muutujat f(x) nimetatakse operaatori
sõltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks.
F- niks nim. vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi kindel väärtus.
Näited:
ja
7. Defineerige 2 konkreetset operaatorit!
- liitmisoperaator
- korrutamisoperaator
8. Mis on funktsiooni f(x) määramispiirkond, muutumispiirkond . Esitage 2 näidet.
Määramispiirkond on muutuja x kõigi selliste väärtuste hulk, mille korral f-ni
väärtust saab arvutada. (x väärtuste hulk)
Muutumispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtustele vastavaid f-ni f(x) väärtuste hulka. (y väärtuste hulk)
Näited:
sest murrujoone alune avaldis ei tohi olla 0
Määramispiirkond on siis:
Muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk.
Määramispiirkond:
Muutumispiirkond:
9. Mis on reaalmuutuja funktsioon? Esitage 2 näidet!
Kui argumendi x ja funktsiooni f(x) väärtuseks on reaalarvud , siis funktsiooni f(x) nimetatakse reaalmuutuja funktsiooniks.
Näited: f(x)=2
10. Mis on funktsionaalne sõltuvus? Esitage 2 näidet!
Operaatori
tekitatud sõltuvust muutujate x ja y vahel nimetatakse funktsionaalseks sõltuvuseks, mida tähistatakse
Näited:
11. Mis on funktsiooni graafik ? Esitage 2 näidet!
F-ni graafik on f-ni esitus graafilisel kujul.
Funktsiooni f(x) graafik on arvupaaride (x, y), [kus y = f(x)], hulgale vastav geomeetriline kujutis koordinaattasapinnas Oxy.
Näited: Võtan f-ni ja teen selle graafiku.
12. Tooge 2 näidet operaatori esitamise kohta valemiga!
,
13. Demonstreerige 2 graafiku formaatimist (seadistamist) arvutil! seadete alt
14. Esitage 2 funktsionaalset seost tabelina!
15. Esitada 10 näidet operaatorite kohta Mathcadis!
- liitmisoperaator Näiteks:
- korrutamisoperaator Näiteks:
- jagamisoperaator Näiteks:
- astendamisoperaator Näiteks:
- ruutjuure leidmise operaator Näiteks:
- operaator juure leidmiseks Näiteks:
- operaator faktoriaali leidmiseks Näiteks:
pöördoperaator Näiteks:
- operaator esimest järku tuletise leidmiseks Näiteks:
- operaator kõrgemat järku tuletise leidmiseks Näiteks:
variante on
palju
16. Mis on Boole 'i operaator? Esitage 5 näidet!
Boole'i (pallet Boolean) operaator on loogika operaator, mis võimaldab kirjutada lauseid milles sisalduvad sõnad (võrdne, väiksem kui, suurem kui, väiksem-võrdne, suurem-võrdne, ei tohi võrduda, ei, ja, või jne)
Näited:
17. Mis on pöördoperaator, pöördfunktsioon? Esitage 2 näidet!
Operaatorit
, mis seab muutuja y väärtusele hulgas Y vastavusse muutuja x ühe kindla väärtuse hulgas X nimetatakse pöördoperaatoriks.
Funktsiooni, mida tekitab pöördoperaator
nimetatakse pöördfunktsiooniks.
Näited: v.t. järgmises punktis olevat näidet
18. Leida funktsiooni pöördfunktsioon!
Otsitav pöördf-n on selle võrduse paremal pool. Tähistan selle järgnevalt.
Siin on argumendiks y, tavaliselt tähistatakse leitud pöördf-ni argument taas sümboliga x. Nii saan:
19. Millal funktsiooni ja selle pöördfintktsiooni graafikud langevad kokku ja millal need on sümmeetrilised koordinaateljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes? Esitage 2 näidet
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud langevad kokku kui paigutada funktsiooni argumendi x väärtused koordinaatteljestiku Oxy x-teljele ja y väärtused y teljele, pöördfunktsiooni argumendi y väärtused y teljele ja pöördfunktsiooni lõppväärtused x-teljele.
F-ni ja pöördf-ni graafikud on sümmeetrilised koordinaateljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes, kui mõlema funktsiooni argumentide väärtused paigutada koordinaatteljestiku Oxy x-teljele ja funktsioonide väärtused y-teljele.
20. Mis on liitfunktsioon ? Esitada 2 näidet!
Liitfunktsioon on funktsioon, mille sees esineb kaks seotud funktsiooni.
Näiteks: On 2 f-ni:
ja
Leida liitf-nid
ja
- f(x)-s on x asendatud g(x)-ga
- g(x)-s on x asendatud f(x)-ga
21. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta parameetrilisel kujul!
Funktsionaalne sõltuvus
on antud parameetrilisel kujul võrdustega , , kus
Koostada selle f-ni graafik
22. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta polaarkoordinaatides!
,
. Suurusi p ja  võib vaadelda punkti koordinaatidena, mida nim. polaarkoordinaatideks.
OSA 2
1. Mis on ilmutamata kujul antud funktsioon? Esitage 2 näidet!
Öeldakse, et funktsionaalne sõltuvus
on esitatud võrrandiga
ilmutamata kujul, kui muutuja x iga väärtuse korral hulgast X on
Näited:
2. On antud võrrand . Ilmutada selle võrrandiga määratud funktsionaalne
sõltuvus y = f(x)!
On kaks funktsionaalset sõltuvust:
ja
3. Esitage 2 paarisfunktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud!
Paarisf-n:
4. Esitage 2 paaritu funktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud!
Paaritu f-n:
5. Nimetage elementaarsed põhifunktsioonid!
Astnef-nid, eksponentf -nid, logaritmf-nid, trigonomeetrilised f-nid, arkusf-nid
6. Mis on astmefunktsioon ? Esitage astmefunktsiooni näide ja koostage selle graafik!
Astmef-n on funktsioon, kus f-n on reaalarvulises astmes.
7. Mis on eksponentfunktsioon ? Esitage eksponentfunktsiooni näide ja koostage
selle graafik!
Eksponentf-n on f-n milles sisaldub e (....), mis on võetud astmesse x.
8. Mis on logaritmfunktsioon ? Esitage logaritmfunktsiooni näide ja koostage selle
graafik!
Logaritmf-n on eksponentf-ni pöördf-n.
9. Miks logaritmfunktsioon ja ja eksponentfunktsioon on koordinaatteljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes sümmeetrilised?
Sest nad on teineteise pöördf-nid.
10. Millega võrdub =?
11. Millega võrdub =?
12. Millega võrdub =?
13. Millega võrdub =?
14. Nimetage 2 nurgamõõtu! kraadid , radiaanid
15. Mis on radiaan ?
16. Kuidas defineeritakse trigonomeertilised funktsioonid?
17. Kuidas arvutatakse Mathcadis kasutatavat suurust deg?
18. Leidke Mathcadi abil 3 trigonomeetria põhivalemit!
19. Mis on asin(x)? Näidake graafiliselt, et sin(x) ja asin(x) graafikud on sümmeetrilised
koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes!
on
pöördf-n.
20. Mis on acos(x)? Näidake graafiliselt, et cos(x) ja acos(x) graafikud on sümmeetrilised
koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes!
on
pöördf-n.
21. Mis on atan(x)? Näidake graafiliselt, et tan(x) ja atan(x) graafikud on sümmeetrilised
koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes!
on
pöördf-n.
22. Mis on Mathcadi keskkonnas atan2(x, y) ja millal seda kasutatakse?
Mathcadi keskkonnas saab atan2(x, y) abil arvutada vektori suunanurka, seda kasutatakse kui punkt asub koordinaatteljestiku Oxy II ja III veerandis.
23. Koostada kahe tükiti defineeritud funksiooni graafik!
OSA 3
1. Mis on elementaarfunktsioon ? Tooge 2 näidet
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni mis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.
Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited:
(mõlemad on polünoomid).
Saab leida ,
2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet!
Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised.
Näited:
3. Mis on polünoomi kordajad , aste ja juured? Tooge 2 näidet!
Polünoomi üldkuju:
polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks ) , polünoomi astmeks on arv n, polünoomi juurteks (nullkohtadeks) on need argumendi x reaal- või kompleksarvulised väärtused, mille korral polünoom f(x)=0 (nullkohad).
Näited:
4. Mitu juurt on n-astme polünoomil? Tooge 2 näidet!
n-astme polünoomil on n reaal- või kompleksarvulist juurt.
Näited:
1. kui kahel n-astme polünoomil on argumendi x n + 1 erineva väärtuse korral
võrdsed väärtused, siis need polünoomid on võrdsed iga x väärtuse korral,
2. kui polünoom võrdub nulliga argumendi x iga väärtuse korral, siis selle kordajad
on võrdsed nulliga,
3. kui kaks polünoomi on võrdsed argumendi x iga väärtuse korral, siis ühe
polünoomi kordajad on võrdsed teise polünoomi vastavate kordajatega.
Mathcadis on polünoomi juurte leidmiseks funktsioon "polyroots v
5. Koostage üks 4-nda astme polünoom ja üks 3 astme polünoom !
- 4-nda astme polünoom
- 3-nda astme polünoom
6. Koostage polünoom, mille juured on 20, 15, 7 !
7. Millal kaks polünoomi on võrdsed? Tooge 2 näidet!
Kaks polünoomi on võrdsed, kui nende polünoomide kordajad on võrdsed.
Näited:
1. kui kahel n-astme polünoomil on argumendi x n + 1 erineva väärtuse korral
võrdsed väärtused, siis need polünoomid on võrdsed iga x väärtuse korral,
2. kui polünoom võrdub nulliga argumendi x iga väärtuse korral, siis selle kordajad
on võrdsed nulliga,
3. kui kaks polünoomi on võrdsed argumendi x iga väärtuse korral, siis ühe
polünoomi kordajad on võrdsed teise polünoomi vastavate kordajatega.
Mathcadis on polünoomi juurte leidmiseks funktsioon "polyroots v
8. Lahutage polünoom teguriteks !
Kontroll:
9. On antud võrdus .
Leida konstandid a, b, c, d, e!
Kontroll:
10. Leidke polünoomi juured!
need on selle
polünoomi juured
11. Konstrueerige polünoom, mille juurteks on ja .
12. Lahutage ratsionaalfunktsioon
osamurdudeks käsitsi!
Polünoomi juured on 1 ja 2.
A ja B leidmiseks korrutan mõlemad pooled läbi
ja saan:
Kui , siis
ehk
Kui , siis
ehk
Seega
Kontroll mathcadiga:
Mathcadis võib kasutada ka Symbolics---Variable---Convert to Partial Fraction
13. Mis on ratsionaalfunktsioon? Tooge 2 näidet!
Ratsionaalf-niks nim. f-ni , kus p(x) ja q(x) on polünoomid.
Näited:
14. Mis on liigmurd , lihtmurd ratsionaalfunktsioonide puhul? Esitage 2 näidet!
Kui murru lugeja aste on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu lihtmurruks, vastasel juhul liigmurruks .
Näited: lihtmurd:
liigmurd:
15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet!
Osamurd on murd kujul
, kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12
16. Mis on funktsiooni graafiku asümptoot? Tooge 2 näidet!
F-ni graafiku asümptoodiks nimetatakse sirget, mis tähistab graafiku lõpmatusepunkti, millele graafik läheneb piiramatult.
Näited: v.t. järgmist punkti
17. Mis on funktsiooni graafiku püstasümptoot, kaldasümptoot? Tooge 2 näidet!
Sirget x=a, kus a on funktsiooni f(x) graafiku lõpmatuspunkt, nimetatakse püstasümptoodiks. Sirget y=ax+b nimetatakse funktsiooni graafiku kaldasümptoodiks, kui funktsiooni f(x) graafik läheneb sellele piiiramatult.
Näited:
Antud juhul on sirge
püstasümptoot ja
sirge
kaldasümptoot
18. Milliseid funktsioone nimetatakse irratsionaalseteks? Tooge 2 näidet!
F-ni, mida defineerivas valemis on aritmeetiliste tehete hulgas ka juurimine nimetatakse irratsionaalfunktsiooniks.
Näited:
19. Defineerige sinh(x) ja asinh(x)! Näidake graafiliselt, et sinh(x) ja asinh(x) graafikud on sümmeetrilised koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes!
20. Defineerige cosh(x) ja acosh(x)! Näidake graafiliselt, et cosh(x) ja acosh(x) graafikud on sümmeetrilised koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes!
21. Defineerige tanh(x) ja atanh(x)! Näidake graafiliselt, et tanh(x) ja atanh(x) graafikud on sümmeetrilised koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes!
22. Mis on interpolatsioon?
Võimalikult lihtsa funktsiooni leidmine, mis omandab etteantud punktsides etteantud väärtused ja võimaldab arvutada piisava täpsusega suuruse y mõõtmata väärtusi mõõdetud väärtuste vahel.
23. Mis on lineaarne interpolatsioon? Tuua 2 näidet lineaarse interpolatsiooni kohta!
Lineaarse interpolatsiooni korral ühendatakse katseandmete vastavad punktid sirglõikudega.
Näide: On antud maatriks . Teostada selle tabeliga antud funktsiooni lineaarne interpolatsioon.
enne on vaja saada x väärtused kasvavas järjekorras
siis rea väljastamiseks tuleb transponeerida
ja x väärtused min kuni max, sest tahame sirglõike nende väärtuste vahel
Selle illustreerimiseks teen graafiku:
24. Mis on kuupsplaininterpolatsioon? Tuua 2 näidet kuupsplaininterpolatsiooni kohta
Kuupsplaininterpolatsioon võimaldab panna joone, mida nimetatakse kuupsplainiks, läbi etteantud punktide nii, et selle esimesed ja teised tuletised on pidevad igas punktis.
Kuupsplain moodustatakse kolme järjestikust punkti läbivate ja omavahel ühendatud kuupparabooli kaartest.
Näide: Teen eelmises punktis kasutatud andmete põhjal kuupsplaininterpolatsiooni.
Selleks leian:
25. Mis on splain ? Tuua 2 näidet splainide kohta!
Splainiks nimetatakse joont, mis ühendab omavahel etteantud punkte.
Näited: v.t. eelmiseid jooniseid
26. Tuua 2 näidet, milles on võimalik katseandmeid ühe polünoomiga interpoleerida
vt. Osa 7 punkt 1.15.2
27. Mis on ekstrapolatsioon? Esitada näide ekstrapolatsiooni kohta.
Vahel on tarvis hinnata funktsiooni väärtusi punktides, mis on väljaspool etteantud punktide piirkonda. Sellist protseduuri nimetatakse ekstrapoleerimiseks ehk ennustamiseks.
Näide:
28. On antud , , . Teostada arvuti abil lineaarne interpolatsioon
ja kuupsplaininterpolatsioon!
vt osa 7 punkt 1.15.1 lk 53
OSA 4
1. Mis on jada, arvrida ? Esitage 2 näidet!
Argumendi n väärtuste kasvamise järgi järjestatud funktsiooni f(n) väärtusi f(1), f(2), f(3),....,f(n),... nimetatakse jadaks .
Jada elementidest koostatud avaldist f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)+... nimetatakse arvreaks.
Näited:
1. Olgu n:=1,2..20. Naturaalarvulise argumendiga n funktsiooni
väärtused yn:=
moodustavad lõpliku jada. yT = ( 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 )
2. Mis on jada elemendid ja arvrea liikmed? Esitage 2 näidet!
Arve f(n) nimetatakse jada elementideks ja arvrea liikmeteks .
3. Mis on lõplik arvrida, jada? Esitage 2 näidet!
Jada ja arvrida nimetatakse lõplikuks kui selles on lõplik arv elemente või liikmeid. Näited:
4. Mis on lõpmatu jada, arvrida? Esitage 2 näidet!
Jada ja arvrida nimetatakse lõpmatuks kui selles on lõpmatu palju elemente või liikmeid. Näited:
5. Millised on tuntuimad jadad , arvread?
Aritmeetiline jada, geomeetriline jada.
6. Kodanik paneb panka 10000 krooni. Kui palju on temal pangas raha täpselt 10 aasta
pärast, kui intress on 10 aasta jooksul stabiilselt 3%.
7. Mis on rekurrentne seos? Esitage 2 näidet!
Seos, mis võimaldab jada k-ndat elemnti leida selle jada eelmiste elementide kaudu, nimetatakse rekurentseks seoseks.
8. Milline on esimest järku rekurrentne seos? Esitage näide!
Esimest järku rekurentne seos: , kus a ja b on konstandid ja n=1,2,....
9. Milline on teist järku rekurrentne seos? Esitage näide!
Teist järku rekurrentseks seoseks nimetatakse seost , kus a,b,c on konstandid.
10. Andke jada piirväärtuse matemaatiline definitsioon ja selgitage seda näite alusel graafiliselt!
Mingi kindel jada väärtus, mille ümber jada elemendid paiknevad ning jada ei haju ega koondu.
11. Millised on koonduvate jadade omadused! Koonduv jada läheneb lõplikule piirväärtusele. Omadused:
1. Iga koonduv jada f(n) on tõkestatud, s.t., et leiduvad reaalarvud M ja N, mille korral
iga naturaalarvu n > N korral.
2. Kui
ja , siis kehtivad võrdused:
2.1
2.2
2.3
2.4
(tingimusel, et
12. Leida jada piirväärtuskäsitsi!
Kontroll mathcadiga:
13. Milline jada on koonduv, hajuv ? Illustreerida konkreetset koonduvat ja hajuvat jada graafiliselt!
Koonduv jada läheneb lõplikule piirväärtusele, hajuva jada elemendid lähenevad lõpmatusele.
koondub
hajub
14. Milline jada läheneb arvule e = 2.718282.....?
Kontroll:
15. Milline arvrida on koonduv, hajuv? Esitada 1 näide koonduva arvrea kohta ja teine
näide hajuva arvrea kohta! Illustreerida näiteid graafiliselt!
Arvrida koondub, kui tal on olemas lõplik piirväärtus, hajub siis kui läheneb lõpmatusele.
koondub
hajub
Graafikud punktis 13 !
16. Millised on võimalused arvrea koonduvuse kindlakstegemiseks! Tuua 2 näidet!
Võrdlustestiga ja D'Alemberti testiga
17. Formuleerida positiivsete liikmetega rea võrdlustest. Tuua näide kasutamise kohta!
( I )
( II )
Kui , siis (II) arvrea koonduvusest järeldub (I) arvrea koonduvus ja (I) arvrea hajuvusest järeldub (II) arvrea hajuvus .
18. Formuleerida positiivsete liikmetega rea D'Alemberti test. Tuua näide kasutamise kohta
Kui positiivsete liikmete arvrea
korral eksisteerib piirväärtus . Kui see piirväärtus on väiksem ühest ( lim1 ), siis hajub ; ja kui on võrdne ühega ( lim = 1 ), siis jääb koonduvus lahtiseks
OSA 5
1. Punkt liigub seaduse , . Koostada arvuti abil punkti liikumise trajektoor ja punkti liikumist sellel trajektooril illustreeriv videoklipp!
2. Formuleerida vahelduvate märkidega rea Leibnizi koonduvustest! Esitada näide!
ja rida koondub, kui
Näited: järgmises punktis.
3. Milline rida on absoluutselt koonduv, tingimisi koonduv? Esitada 1 näide kummagi juhu kohta!
Absoluutne koonduvus on rea koonduvus, mille puhul koondub ka rea liikmete absoluutväärtuste rida.
Tingimisi koonduvus on rea koonduvus, mille puhul ei koondu rea liikmete absoluutväärtuste rida.
koondub
koondub
absoluutselt koonduv
tingimisi koonduv
4. Mis on funktsionaalrida ? Esitada näide!
Rida, mille liikmed on funktsioonid, nimetatakse funktsionaalreaks.
5. Mis on astmerida ? Esitada näide!
Funktsionaal rea tähtis erijuhtub on astmerida , kus a0 ,a1 , a2, ... , an , .... on konstandid.
6. Mis on koonduvusraadius ja koonduvusvahemik? Esitada näide!
Koonduvusraadius on raadius, kus rida koondub.
Koonduvusvahemik on vahemik, kus rida koondub.
Rea koonduvusraadius on 2, rida koondub vahemikus , kuid
Kui
ja , siis on rida hajuv
7. Kuidas arendada funktsioone astmeritta Mathcadi keskkonnas? Esitada näide!
Symbolics --- Variable --- Expand to series või käsuga "series" Symbolic palettilt
Näide:
8. Defineerige funktsiooni piirväärtus? Illustreerige seda konkreetse näite baasil tehtud animatsiooniga.
F-ni piirväärtus on väärtus, millele muutuja väärtused mingis piirprotsessis tulevad kui tahes lähedale.
9. Mis on vasakpoolne piirväärtus? Esitada näide!
Tähistatakse , argumendi x väärtuste jada läheneb piirväärtusele a vaskult.
Näide:
10. Mis on parempoolne piirväärtus? Esitada näide!
Tähistatakse , argumendi x väärtuste jada läheneb piirväärtusele a paremalt.
Näide:
11. Millised tingimused peavad olema rahuldatud, et funktsioon oleks pidev? Esitage näide!
Funktsiooni
nimetatakse pidevaks argumendi väärtusel , kui on täidetud järgmised tingimused:
1. f-ni f(x) väärtus f(a) on määratud
2. on olemas lõplik piirväärtus
3. kehtib võrdus
Näide: Uurin f-ni
1.
2.
3.
Kuna kõik tingimused on rahuldatud, siis see f-n on pidev.
12. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? Esitage 2 näidet!
Kui ei ole täidetud eelnimetatud tingimusi siis on f-n
argumendi x väärtusel a katkev ja
on selle f-ni katkevuspunktiks.
Näited: järgmises punktis
13. Milline katkevuspunkt on I liiki, II liiki? Esitage mõlema juhu jaoks 1 näide!
Esimest liiki katkevus on siis, kui on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused.
Teist liiki katkevus on ülejäänud olukordades .
Näited:
Katkevuskoht on kohal 0, esineb esimest liiki katkevus
Katkevuskoht on kohal -1, esineb teist liiki katkevus
14. Mis on funktsiooni hüpe? Esitage näide!
Esimest liiki katkevuse korral nimetatakse hüppeks parempoolse ja vasakpoolse piirväärtuse vahet.
Näide:
15. Nimetage lõigus pidevate funktsioonide 3 omadust ja illustreerige neid näidetega!
F-nil on olemas minimaalne ja maksimaalne väärtus lõigus [a,b].
F-n omandab iga väärtuse, mis paikneb minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel.
F-nil on olemas pidev pöördfunktsioon lõigus [a,b].
OSA 6
1. Punkt M liigub seaduse järgi. Milline on punkti M kiirus hetkel t = 3?
2. Mis on funktsiooni graafiku lõikaja ja puutuja ?
Graafiku lõikaja on sirge, mis läbib (lõikab) teise f-ni graafikut .
Graafiku puutuja on sirge, mis puutub mingis punktis vastu f-ni graafikut.
3. Defineerida funktsiooni tuletis ! Leida konkreetse funktsiooni tuletis definitsiooni põhjal ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga !
F-ni tuletis on piirväärtus f-ni juurdekasvu () ja argumendi juurdekasvu () jagatisest.
4. Milline on funktsiooni tuletise geomeetriline tõlgendus? Illustreerida seda tõlgendust konkreetse näite baasil tehtud animatsiooniga.
F-ni f(x) tuletis kohal x = a tähendab geomeetriliselt f-ni f(x) graafiku puutuja tõusu kohal x = a.
5. Koostada animatsioon , mis näitab, et parameetri h kahanemisel funktsiooni
graafik läheneb funktsiooni cos(x) graafikule! Põhjendada, miks see nii on?
Sest...
6. Defineerige parempoolne tuletis? Esitada 2 näidet!
Näited:
7. Defineerige vasakpoolne tuletis? Esitada 2 näidet!
Näited:
8. Kas kohal x = a pideval funktsioonil on alati olemas lõplik tuletis sellel kohal? Põhjendada näidetega!
Ei ole alati olemas. Osa 10 lk 94
9. Mis on funktsiooni f(x) diferentsiaal , argumendi x diferentsiaal? Esitada 2 näidet!
Diferentsiaal on f-ni lähendava lineaarf-ni muut selle punkti ümbruses, kus f-n on defineeritud.
Argumendi x diferentsiaal dx on võrdne selle juurdekasvuga .
10. Kas avaldised ja on samaväärsed? Miks? Esitada 2 näidet! Ei ole. Näited: lambist mingid
11. Arvutada tuletis käsitsi!
Kontroll mathcadiga:
12. Arvutada tuletis käsitsi!
Kontroll mathcadiga:
13. Arvutada tuletis käsitsi! Kontroll mathcadiga:
14. Arvutada tuletis käsitsi! Kontroll mathcadiga:
15. Arvutada tuletis käsitsi!
Kontroll mathcadiga:
16. Leida , kui
Võtan sellest tuletise
vastus
17. Leida , kui , Leian valemist :
x-i tuletis ( x' ):
y-i tuletis ( y' ):
18. Koostage animatsioon, mis näitab konkreetse funktsiooni f(x) korral funktsiooni I tuletise muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkonnad
19. Koostage animatsioon, mis näitab konkreetse funktsiooni f(x) korral funktsiooni II tuletise muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe piirkonnad.
20. Mis on funktsiooni f(x) ekstreemum ja selle funktsiooni graafiku käänupunkt? Esitage 2 näidet!
F-ni ekstreemumiteks nim. f-ni max ja min väärtusi.
- ekstreemumkohad
- ekstreemumid
- ekstreemumpunktid
Käänupunkt on punkt, kus f-ni graafiku kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi.
Näited: v.t. labor 8
21. Defineerida funktsiooni alternatiivne tuletis! Leida konkreetse funktsiooni tuletis alternatiivse tuletise definitsiooni abil ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga!
Näide: Leida f-ni
tuletis kohal .
Käsitsi:
Mathcadiga:
Alternatiivse tuletise valemitega:
22. Milline on funktsiooni alternatiivse tuletise geomeetriline tõlgendus? Illustreerida seda tõlgendust konkreetse näite baasil tehtud animatsiooniga.
23. Koostada animatsioon, mis näitab, et parameetri h kahanemisel funktsiooni graafik läheneb funktsiooni cos(x) graafikule! Põhjendada, miks see nii on?
Sest...
OSA 7
1. Defineerige joone (funktsiooni f(x) graafiku) kaare pikkus?
Graafiku kaare pikkuseks nimetatakse piirväärtust, millele läheneb murdjoone pikkus selle suurima lüli lähenemisel nullile koos lülide arvu lähenemisega lõpmatusele.
2. Defineerige kaarediferentsiaal?
3. Defineerige joone (funktsiooni f(x) graafiku) kõverus antud punktis?
Funktsiooni f(x) graafiku puutuja suunanurga
muutumise kiiruse absoluutväärtust
puutepunkti
liikumisel mööda graafikut nimetatakse (f-ni graafiku) kõveruseks.
4. Leidke ringjoone, raadiusega R kõverus?
F-ni graafiku kõveruse pöördväärtust nimetatakse kõverusraadiuseks.
5. Defineerige kõverusringjoon?
Ringjoont, millel on funktsiooni f(x) graafikuga ühine puutuja ja mis asub sellest puutujast funktsiooni f(x) graafikuga samal pool nimetatakse kõverusringjooneks
6. Kuidas muutub joone kõverusringjoon, kui selle puutepunkt joonega liigub mööda graafikut?
Kõverusringjoon väheneb kui ta liigub kõveruskeskpunkti suunas, kõveruskeskpunktist eemaldumisel kõverusringjoon suureneb.
7. Kuidas kõveruse järgi leida kõverusringjoone raadiust?
Kõveruse järgi kõverusringjooneraadiuse leidmiseks tuleb leida kõveruse pöördväärtus.
8. Mis on kõveruskeskpunkt? Kõveruskeskpunkt on kõverusringjoone keskpunkt.
9. Mis on evoluut ja evolvent?
Evoluut on joon, mille puutujad on antud joone normaalid. (joon, mis koosneb kõverusringjoonte keskpunktidest)
Evolvent on joon, mille normaalid on antud joone puutujad.
10. Kuidas saab geomeetriliselt joonestada ringjoone evolventi?
11. Kus tehnikas kasutatakse ringjoone evolventi? masinate konstrueerimisel
12. Illustreerige graafiliselt konkreetse funktsiooni f(x) graafiku baasil Rolle'i teoreemi!
Olgu antud f-n
ja selle graafiku puutuja võrrand
Jooniselt on näha, et Rolle'i teoreemi eeldused on täidetud: funktsiooni graafik on pidev ja diferentseeruv (graafik on ilma teravate nurkadeta ehk sile) ning f(0) = f (10) = 0. Kehtib ka Rolle'i teoreemi väide: leidub puutepunkt c (antud juhul c = 5), milles f'(c) = 0. Selles punktis on antud f-ni graafiku puutuja paralleelne x- teljega nagu see on ka näha kõrvaloleval joonisel.
13. Illustreerige graafiliselt konkreetse funktsiooni f(x) graafiku baasil Lagrange 'i teoreemi!
Olgu antud f-n , mille korral Lagrange'i teoreemi eeldused on lõigus [a, b], otspunktidega ,
täidetud. Tähistame sümboliga
lõikaja tõusu. F-ni f(x) graafiku lõikaja võrrand on , kus
. Leiame c operaatori "" abil, nii et
Lagrange'i teoreemi illustreerib järgnev joonis, kus
Lagrange'i teoreem (keskväärtusteoreem)
Kui funktsioon f(x) on lõigul [a;b] pidev ja selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks niisugune punkt c , kus .
14. Formuleerige L' Hospitali reegel ja esitage 2 näidet!
Näited: a) b)
L´Hospitali reegliga
L´Hospitali reegliga
Mathcadi abil
Mathcadi abil
15. Leida käsitsi piirväärtus !
Käsitsi:
Kontroll mathcadiga:
16. Leida käsitsi piirväärtus !
Käsitsi:
Kontroll mathcadiga:
17. Leida käsitsi piirväärtus !
Käsitsi:
Kontroll mathcadiga:
OSA 8
1. Defineerige Taylori rida! Esitada 2 näidet! Taylori reaks nimetatakse lõpmatut atmerida.
Näited:
2. Defineerige Maclaurini rida rida! Esitada 2 näidet!
Kui Taylori reas võtta , siis nimetatakse saadud rida Maclaurini reaks.
Näited:
3. Näidata animatsiooni abil kuidas konkreetse funktsiooni Taylori rida läheneb antud funktsioonile rea liikmete arvu kasvamisel
4. Millistel tingimustel on antud funktsioonil f(x) kohal x = x0 maksimaalne väärtus?
ehk I tuletis peab võrduma 0-ga ja II tuletis peab olema väiksem 0-st.
5. Millistel tingimustel on antud funktsioonil f(x) kohal x = x0 minimaalne väärtus?
ehk I tuletis peab võrduma 0-ga ja II tuletis peab olema suurem 0-st.
6. Tooge konkreetne näide funktsiooni kohta, millel ei ole ekstreemumi kohal x = x0, vaatamata sellele, et selle funktsiooni tuletis sellel kohal võrdub nulliga.
7. Tooge konkreetne näide f-ni kohta, millel on ekstreemum kohal x = x0, kus see f-n ei ole diferentseeruv
8. Leidke funktsiooni I tuletise kriitilised punktid!
Leian esmalt I tuletise:
Pärast lihtsustamist panen ta võrduma nulliga:
ja saan, et I tuletise kriitiliseks punktiks on 2
9. Leidke funktsiooni I tuletise kriitilised punktid!
Leian esmalt I tuletise:
Pärast lihtsustamist panen ta võrduma nulliga:
ja selgub, et I tuletise kriitilised p-id puuduvad.
10. Leidke funktsiooni I tuletise kriitilised punktid!
Leian esmalt I tuletise:
Pärast lihtsustamist panen ta võrduma nulliga:
ja saan, et I tuletise kriitiliseks punktiks on
11. Leidke funktsiooni II tuletise kriitilised punktid!
Leian esmalt II tuletise ning lihtsustan selle kohe:
Panen võrduma nulliga:
ja saan, et on kaks II tuletise kriitiliseks punkti:
ja
12. Leidke funktsiooni II tuletise kriitilised punktid!
Leian esmalt II tuletise:
Panen võrduma nulliga:
ja saan, et II tuletise kriitiliseks punktiks on
13. Leidke funktsiooni II tuletise kriitilised punktid!
Leian esmalt II tuletise:
Panen võrduma:
ja saan, et on kaks II tuletise kriitiliseks punkti:
ja
14. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad (muidu saab kindlaks teha parfrac'iga)
15. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad
16. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad
OSA 9
1. Defineerige määratud integraal !
F-ni y=f(x) määratud integraaliks lõigus [a;b] nimetatakse avaldist F(b)-F(a), kus F tähistab antud f-ni algf -ni.
2. Milline on integraalsumma geomeetriline tõlgendus?
3. Asendage funktsiooni sin(x) graafik lõigul [1, 2] 10 x-teljega paralleelsest lõigust koosneva treppjoonega!
Saab teha ceiliga.
4. Koostage funktsiooni sin(x) integraalsumma lõigul [1, 2]!
Integraalsumma üldvalem:

5. Kirjutage üles määratud integraali 3 omadust!
1) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi ette:
2) Summa integraal võrdub liidetavate integraalide summaga :
3) Kui lõigul [a;b], kus , f-nid
ja
rahuldavad tingimust , siis
6. Punkt M liigub kiirusega . Olgu s(t) punkti M poolt läbitud teepikkus . Teades, et , leida punkti M poolt läbitud teepikkuse sõltuvus ajas t, kui s(0) = 0 !
Teepikkuse leidmiseks tuleb leida, mille tuletis on v(t). Kasutan käsku " Integrate " ja saan teepikkuseks
Kontroll, kas leitud teepikkuse valem sobib:
peaks võrduma 0-ga, järelikult leitud valem veel ei sobi, teda tuleb edasi arendada:
Teen uue kontrolli: sobib ja kontrollin igaksjuhuks tuletist, kuigi ta ei saa juurde liidetavast arvust muutuda, kuna konstandi tuletis on nagunii 0 ja ta ei saa vastust mõjutada:
ka sobib
Pärast edukalt läbitud kontrolli saan punkti M poolt läbitud teepikkuse valemiks :
7. Mis on algfunktsioon ? Esitada 2 näidet!
Kõiki f-ne , mis rahuldavad võrdust , nimetatakse f-ni
algf-nideks.
Näited:
8. Leida funktsiooni
algfunktsioon?
Kontroll:
9. Leida funktsiooni
algfunktsioon?
Kontroll:
10. Millega võrdub algfunktsioon tuletis? Esitada 2 näidet
Algf-ni tuletis on võrdne integreeritava f-niga.
Näited: Olgu algf-n , siis selle tuletis on
, kui ma selle integreerin käsuga "Integrate" saan jälle
. Integrate asemel võib ka kasutada . Selliseid näiteid võib tuua veelgi.
11. Defineerige määramata integraal! Esitage 2 näidet määramata integraali arvutuse kohta!
F-ni
määramata integraaliks pirkonnas X nimetatakse avaldist
Näited: Leida antud määramata integraal käsitsi, kasutades muutujavahetust.
algul võtta kasutusele teine muutuja, siis asendus, tagurpidi tuletis + C & siis teha tagasiasendus
(a)
(b)
õige
tuletis
mathcadiga
õige
mathcadiga
12. Kirjutage üles Newton -Leibnizi valem! Esitage 2 näidet selle valemi kasutuse kohta!
Näide:
, F(x) on sel juhul
Valemist saan:
Kontroll mathcadiga:
13. Mis on muutujavahetuse mõte määramata integraalis ? Esitage 2 näidet!
Muutujavahetuse mõte määramata integraalis on lihtsustada integreerimist.
Näide: v.t. näiteid punktis 11.
14. Millisel juhul kasutatakse enamasti ositi integreerimist? Esitage käsitsi arvutuse näide!
Ositi integreerimist kasutatakse peamisel niisuguste avaldiste integreerimisel, milles on kahe avaldise korrutis.
Näide: Leida antud määramata integraal ositi integreerimise võttega. Kontrollida tulemust Mathcadiga.
NB! v(x) saab leida ka f-ni "integrate" abil, kui ei tea peast
mathcadiga
15. Leida käsitsi integraal ?
mathcadiga:
16. Leida käsitsi integraal ?
mathcadiga:
17. Leida käsitsi integraal ?
mathcadiga:
18. Leida käsitsi integraal ?
mathcadiga:
19. Leida käsitsi integraal ?
Mathcadiga:
20. Leida käsitsi integraal ?
mathcadiga:
OSA 10
1. Defineerige lõpmatute rajadega päratu integraal! Esitage arvutusnäide!
Piirväärtust
nimetatakse funktsiooni f(x) päratuks integraliks, mida tähistatakse
. See eksisteerib iga x korral, mis rahuldab tingimust .
2. Defineerida integraal katkevast funktsioonist! Esitage arvutusnäide!
3. Leida käsitsi !
mathcadiga:
4. Leida käsitsi !
mathcadiga:
5. Millal päratu integraal hajub? Esitage näide!
Päratu integraal hajub, kui
ei oma lõplikku väärtust.
6. Millal päratu integraal koondub? Esitage näide!
Päratu integraal koondub, kui
omab lõplikku väärtust.
7. Koostada üks ristkülikvalem ja kasutada seda integraali arvutamisel!
8. Kuidas on omavahel seotud antud funktsiooni integraalsumma ja ristkülikvalemid?
Ristkülikuvalemid on integraalsumma erikujud.
9. Milline ristkülikvalemi koostamise idee?
10. Milline trapetsvalemi koostamise idee?
11. Milline Simpsoni valemi koostamise idee?
12. Leida käsitsi integraal , kus (x) on Heaviside funktsioon.
13. Leida arvuti abil parameetrilisel kujul antud joonega x = cos(t), y = t ja y-teljega
piiratud piirkonna pindala!
14. Parabool jaotab ringi kaheks osaks. Leida arvuti abil mõlema osa
pindalad !
15. Leida arvuti abil joontega ,
piiratud kujundi pindala!
16. Leida arvuti abil joonega piiratud tasapinnalise kujundi pindala!