Majandusmatemaatika teooriaküsimused (2)

TEOORIAKÜSIMUSED nr 1
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja ? Mis on sõltuv muutuja?
Funktsioon on eeskiri , mis määrab seose, kus igale elemendile hulgast X on vastavusse seatud üks elemented hulgast Y.
Sõltumatu muutuja on x ehk argument.
Sõltuv muutuja on y.
2. Mis on funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond ? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond?
Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks.
Hulka f(X) nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Hulk Y.
Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav.
3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid?
Põhilised esitusviisid: valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil.
4. Mis on funktsiooni graafik ?
Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride [x, f(x)] hulk, kus x on mää
5. Mis on pöördfunktsioon?
Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x)
x= f-1(y)
6. Mis on püsikulu, muutuvkulu , kogukulu ja keskmine kulu?
Püsikulu (TFC) - kulu, mis ei sõltu kauba tootmismahust
Muutuvkulu (TVC) - kulu, mis sõltub tootmismahust
Kogukulu TC(Q) = TFC + TVC - muutuvkulu ja püsikulu summa
Keskmine kulu AC(Q) - kogukulu jagatud toodetud kogusega,
7. Mis on tulu, keskmine tulu, kasum ja keskmine kasum?
Kogutulu R(Q) - tulu, mis saadakse toodangu müügist R(Q)=pQ
Keskmine tulu AR(Q)- tulu jagatud toodetud kogusega,
Kasum ∏(Q) - summa, mille võrra tulud ületavad kulusid , ∏(Q)=R(Q) - C(Q) [tulu-kogukulu]
Keskmine kasum A∏(Q)- kasum jagatud toodetud kogusega,
8. Mis on tasuvuspunkt ?
Tasuvuspunkt on müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on võrdsed.
9. Mis on nõudlusfunktsioon ja nõudlus, pakkumisfunktsioon ja pakkumine?
Nõudlusfunktsioon - nõutav kogus Q on toote ühikuhinna p funktsioon
Q=f(p)
Nõudlus on kaupade ja teenuste hulk, mida tarbija on valmis ja võimeline kindla hinnaga ostma.
Pakkumisfunktsioon - pakutav kogus Q on toote ühikuhinna p funktsioon
Q=f(p) või QS=f(p)
Pakkumine on kaupade ja teenuste hulk, mida tootjad on valmis ja võimelised kindla hinnaga müüma.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 2
1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest.
Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a kui on täidetud kolm tingimust:
1) eksisteerib f(a)
2)eksisteerib
3) x1 siis f(x2) > f (x1)
Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsooni antud piirkonnas kahanevaks.
iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) 1)
Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotoomsel kasvav
iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) ≥ f (x1)
ja monotoomsel kahanev
iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) ≤ f (x1)
iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoomselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti.
5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ? Kuidas neid leida?
f´(x)=0
Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et
f(x) ≤ f(a)
Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks.
Kui f´´(a)0 siis punktis A range lokaalne miinumum.
Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks.
6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida?
Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas.
Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks miinimumiks piirkonnas A kuulub hulka X nimetatakse tema vähimat väärtust selles piirkonnas.
Globaalne eksreemum kui lokaalne ekstreemum kehtib iga x korral.
Leidmiseks:
1) leida funktsiooni kriitlised punktid f´(x)=0
2) arvutada funktsiooni väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides
3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim
7. Kirjelda kasumi maksimeerimise kuldreeglit.
Kasumifunktsioon on ∏(Q)= R(Q) - C(Q)
Ekstreermumi tarviliku tingimuse järgi maksimum punktis kus ∏´(Q) = 0
Tootjale optimaalne toodete väljalaste hulk vastab marginaalkulu ja marginaaltulu võrdsusele.
MR(Q)=MC(Q)
Täieliku konkurentsi tingimustes: tootjale optimaalse toodete väljalaste korral ühtib marginaalkulu turul oleva hinnaga p MC(Q)=p
TEOORIAKÜSIMUSED nr 5
1. Defineerida joone kumerus ja nõgusus.
Kumer :
Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides funktsiooni f(x) teine tuletis on negatiivne, st f´´(x)0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus nõgus.
2. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera funktsiooni graafiku suhtes? Kuidas asetseb joone puutuja igast punktis nõgusa funktsiooni graafiku suhtes?
Kumer:
Funktsioon f graafik on vahemikus X kumer, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja astseb ülalpool graafikut .
Nõgus:
Funktsioon f graafik on vahemikus X nõgus, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja astseb allpool graafikut.
3. Mis on joone käänupunkt?
Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse joone käänupunktiks. Kui tuletisel f´(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt.
Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub
4. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte?
Kumeruspiirkond:
f´´(x)0
Käänupunkt:
f´´(x)=0 või kui f´´ puudub
5. Selgita, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümptoot ja kaldasümptoot?
Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile , siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks.
Püstasümptoot:
püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x- teljega . Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine.
Kaldasümptoot:
Kaldasümptoodid on asümptoodid, mille võrrand avaldub kujul y=mx+b.
Parempoolsed kaldasümptoodid y=m+x+b+
m+= b+=
Vasakpoolsed kaldasümptoodid y=m-x+b-
m-= b-=
kui kehtivad võrdused:
m+=m-=m ja b+=b-=b siis sirge y=mx+b on joone y=f(x) kahepoolne kaldasümptoot.
Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 6
1. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon ?
Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral.
2. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal ?
Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul:
konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks
3. Nimetada määramata integraali omadusi.
1)
2)
3)
4. Defineerida määratud integraal.
Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) - F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse:
5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus?
Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a;b]
6. Nimetada integraali omadusi.
1)
2)
3)
4)
5)
kui f(x)≤g(x) iga x korral
7. Newton-Leibnizi valem?
Olgu f(x) lõigul [a;b] integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x), siis:
TEOORIAKÜSIMUSED nr 7
1. Defineerida päratu integraal.
Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtust
2. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,∞).
Päratu integraal on arvuliselt võrdne lõiguga OD, joonega f(x)=Re-ix ja x-teljega piiratud lahtise kujundi pindalaga
3. Mis on tarbija ja tootja hinnavaru ?
Tarbija hinnavaruks nimetatakse kogukasulikkuse ja oastukulutuste vahet SOCBF - p*Q* , tähistatakse sümboliga HVtarbija
HVtarbija=
Tarbija hinnavaru näitab kui palju on tarbija n õus kauba eest turuhinnast rohkem maksma.
Tootja hinnavaruks nimetatakse tulude ja muutkuude vahet p*Q* - SOCBG , tähistatakse sümboliga HVtootja
HVtootja = p*Q* -
4. Milline on päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas ?
Päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas on perpetuiteet ehk lõpmatu rent.
5. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja?
Kui igale arvupaarile (x;y) ehk punktile P=(x;y) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z=f(x;y) ja kirjutatakse:
z=f(x;y) (x;y) e D ehk z=f(P) Pe D
x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid
z- sõltuv muutuja
6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik?
D -määramispiirkond< - muutumispiirkond
Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 8
1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised.
Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu ∆xz ja argumendi x muudu ∆x suhte piirväärtust ∆x lähenemisel nullile:
Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi:
osamuut: ∆xz = f(x + ∆x, y) - f(x;y)
Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi:
∆yz=f(x;y+∆y) - f(x,y)
Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut:
∆z= f(x+∆x; y+∆y) - f(x;y)
2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient?
Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis.
gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0))
Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust.
3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini?
Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 9
1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral.
Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon.
Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja x suhtes nimetatakse f osatuletist x järgi.
MfX(x;y) = f´X(x,y)
Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja y suhtes nimetatakse f osatuletist y järgi.
Mfy(x,y) = f´Y(x,y)
2. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral.
Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus (y väärtus) muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (x ei muutu).
3. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon?
Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojoonte võrrandiks nimetatakse võrrandit f(x,y)=C
4. Mis on isokvant , isokost ja ükskõiksuskõver?
Isokvant:
Olgu toodangufunktsioon Q=Q(x,y). Kui lugeda Q konstantseks C, sis saame võrrandi mis esitab kõikvõimalikke (x,y) punkte, mis annavad toodangu suuruseks C. Seda nivoojoont nimetatakse isokvandiks ehk samatoodangukõveraks.
Isokost:
Kui C=f(x,y) esitab tootmistegurite X ja Y kulusid, siis nimetatakse selle funktsiooni nivoojoont isokostiks. Seega annab isokost meile kõik mahtude paarid (x,y) mille korral kulu on ühesugune.
Kui r=2 ja w=3, siis vastab kuludele 6 rahaühikut isokost 2K+3L=6
Isokost - võrrand vms.
Ükskõiksuskõver:
Olgu U=f(x,y) mingi kasulikkusefunktsioon (kus x ja y on tarbitavate kaupade X ja Y mahud). Siis eistab selle funktsiooni nivoojoon kõik võimalikud kaupade X ja Y suuruste paarid (x,y), kus kasulikkus on ühesugune ja konstantselt võrdne C-ga. Seda nivoojoont nimetatakse antud juhul ükskõiksuskõveraks ehk samakasulikkuse kõveraks.
5. Mis on tootmistegurite asendatavuse piirmäär? Tootmisfunktsiooni Q = f (K, L), kus K on kapital ning L tööjõud, korral on ∆LK=−1,5. Selgitada, mida see tähendab.
Kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär esitub kujul:
∆LK= -
Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbmimisest võib loobuda , kui täiendavalt tarbija üks ühik kaupa x.
Kui tarbida üks ühik kapitali siis tuleb loobuda 1,5ühikust tööjõust.
6. Olgu U = f (x, y) mingi kasulikkusefunktsioon (kus x ja y on tarbitavate kaupade X ja Y mahud). Mis on kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär? Mida tähendab, et ∆xy= −3?
Kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär esitub kujul:
∆yX= -
Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbmimisest võib loobuda, kui täiendavalt tarbija üks ühik kaupa x.
Et tarbida täiendavalt üks ühik y tuleb loobuda 3st ühikust x-st.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 10
1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid.
Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne miinimum , kui f(x0,y0) Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne maksimum , kui f(x0,y0) > f(x,y) kõigi punktile (x0,y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral.
Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne ekstreermum , kui tal on selles punktis lokaalne miinumum või maksimum.
2. Mis on võrdlev staatika?
Võrdlev staatika uurib, mis juhtub süsteemi optimeerivate väärtustega ( kas nad suurenevad või vähenevad), kui muutuvad parameetrid .
3. Ettevõtte kasum avaldub valemiga ∏ = f (K, L, a,b), kus K on kapital, L tööjõud ning a ja b on positiivsed parameetrid. On leitud, et kasum saavutab maksimumi, kui K = 3a − b ja L = a + 2b. Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend mõtet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 12
1. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande lahendamine.
max min z = f(x;y)
g(x;y) = 0
2. Selgitada Lagrange ’i kordaja majanduslikku tähendust.
λ on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel .
Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 14
1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa.
Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st:
U=
2. Koonduva ja hajuva rea mõiste.
Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks.
Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U=∞ või U=-∞ siis öeldakse, et rea summa on ∞ või -∞.
3. Mis on diskonteerimine ?
Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi.
TEOORIAKÜSIMUSED nr 15
1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse?
Rea koonduvus tarvilik tunnus:
Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv).
2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi.
Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv.
U=u1+u2+u3+...+ui+...
V=v1+v2+v3+...+vi+...
U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+...
Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant)
cU=cu1+cu2+...+cui+...
3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus.
Kuna geomeetriline rida koondub 0 1, siis:
Posiitivne rida
koondub kui
≤ q ≤ 1 ja hajub kui
Kui eksisteerib piirväärtus:
= C
siis positiivne rida

• koondub kui C
• hajub kui C > 1
  

C= 1 korral jääb küsimus lahtiseks.
4. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus.
Positiivne rida

• koondub kui D= ≤ q ≤ 1
  
• hajub kui D = ≥ 1
  

Kui eksisteerib piirväärtus
= D
Positiivne rida

• koondub kui D
• hajub kui D > 1
  
• D= 1 korral jääb küsimus lahtiseks
  

5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste?
Rida
nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida
Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv.
Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda.
Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi.
6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks?
= a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral.
Koondub kui on täidetud tingimused:
1) = 0
2) a1 ≥ a2 ≥ a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi
TEOORIAKÜSIMUSED nr 16
1. Mis on funktsionaalrida ? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon ?
Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid.
= u1(x) + u2(x)...+ui(x)+...
See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks.
Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks.
2. Mis on astmerida ?
Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul:
= c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ...
3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida?
Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga:
Cn=
nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse:
f(x)
Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks:
f(x)
4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
Selleks, et funktsiooni Taylori rida koonduks väärtuseks f(x), on nii piisav kui ka tarvilik, et:
Selle tingimuse täidetuse korral võib funktsiooni väärtuseligikaudseks arvutamiseks kasutada valemit:
f(x)